九年级数学上圆的基本性质能力提升测试(含答案)

人教版九年级数学上册 圆的基本性质 专题训练一、单选题1．如图，AB 是⊙O 的直径，若⊙BAC=35°，则⊙ADC=（ ）A ．35°B ．55°C ．70°D ．110°2．如图，两弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD ⊥，若30A ∠=︒，则弧BD 的度数为（ ）.A ．30°B ．50︒C ．60︒D ．70︒ 3．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，若110ADC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒ 4．下列说法中，正确的是（ ）A ．经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线B ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧C ．90°的圆周角所对的弦是直径D ．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弦相等．5．已知在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3，则⊙O 的面积是（ ） A ．9π B ．16π C ．25π D ．64π 6．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若056=∠OBC ，则A ∠的度数是（ ）.A ．28︒B ．30︒C ．34︒D ．56︒7．如图，在同圆中，弧AB 等于弧CD 的2倍，试判断AB 与2CD 的大小关系是（ ）A ．2AB CD > B ．2AB CD <C ．2AB CD = D ．不能确定 8．如图所示，⊙O 的半径为13，弦的长度是24，ON AB ⊥,垂足为N ，则ON =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．119．如图，⊙ABC 内接于⊙O ，若⊙OAB ＝26°，则⊙C 的大小为（ ）A ．26°B ．52°C ．60°D ．64°10．已知⊙ABC 内接于⊙O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，若⊙B ＝60°，⊙C ＝50°，则⊙ADB 的度数是（ ）A ．70°B ．80°C ．82°D ．85°11．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，点P 是弧BE 的一点，则⊙CPD 的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°12．如图, BC 是O e 的直径，AB 切⊙O 于点B ，8AB BC ==，点D 在⊙O 上，DE AD ⊥交BC 于E ，3BE CE =，则AD 的长是( )A B C ． D ．二、填空题13．如图，⊙O 中，直径20cm CD =，弦AB CD ⊥于点M ，:3:2OM MD =，则AB 的长是________cm .14．如图，⊙O 经过原点，并与两坐标轴分别交于A ，D 两点，已知30OBA ∠=︒，点A 的坐标为()2,0，则点D 的坐标为________.15．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，使弧AB 经过圆心O ，则⊙OAB=_______°.16．若⊙O 的半径为4cm ，弦AB ＝4cm ，则点O 到AB 的距离为_____cm ．17．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得10AD cm =，点D 在量角器上的读数为60o ，则该直尺的宽度为____________cm ．18．如图，AB 是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，AB ＝10，BC ＝6，过O 作OE ⊙AB 交AC 于点E ，则OE 的长为_____．19．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长CO 交圆于点E ，连接BE .若110A ∠=︒，70E ∠=︒ ，则OCD ∠=__________度.20．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙ABD ＝58°，则⊙BCD ＝_____．三、解答题21．如图，已知⊙O 的直径6AB =，E 、F 为AB 的三等分点，M 、N 为»AB 上两点，且MEB NFB ∠=∠60︒=，求EM FN +的值.22．如图，已知AB 、MD 是⊙O 的直径，弦CD⊙AB 于E ．（1）若CD=16cm ，OD=10cm ，求BE 的长；（2）若⊙M=⊙D ，求⊙D 的度数．23．如图，BC 为⊙O 的直径，AD BC ⊥，垂足为D ，点A 是弧BF 的中点，BF 和AD 相交于E ，求证：AE BE =．24．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切O e 于点A ，连结BC 交O 于点D ，E 是⊙O 上一点，且与点D 在AB 异侧，连结DE（1）求证：C BED ∠=∠；（2）若50C ∠=︒，2AB =，则»BD的长为（结果保留π）25．如图，AD 是⊙O 直径，B ，C 是圆上点且在AD 同侧．（1）如果30COD ︒∠=，则ACO ∠=________°．（2）如果2BOC COD ∠=∠，45BAD ∠=︒，求BAC ∠度数．26．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 、D 是⊙O 上的两个动点，且在AB 弦的异侧，连接CD ．（1）若AC=BC，AB平分⊙CBD，求证：AB=CD；（2）若⊙ADB=60°，⊙O的半径为1，求四边形ACBD的面积最大值．参考答案1．B2．C3．D4．C5．C6．C7．B8．A9．D10．B11．B12．A13．1614．（0， 15．3016．1718．154 19．50° 20．32°．21 22．（1）4cm ；（2）30° 23．略 24．（1）略；（2）59π 25．（1）15（2）30BAC ∠=︒26．（1）略；（2．。

第三章：圆的基本性质能力提升测试答案一．选择题：1.答案：B 解析：∵∠A=42°，∠APD=77°，∴000354277=-=∠C ，∴035=∠B ，故选择B2.答案：BA ．解析：小明的画法是，画线段AB=c ，画AB 的垂直平分线，找到AB 的中点O ，以O 为圆心，以c 21为半径画圆，过B 画弦BC=a ，连接AC ，即完成所作，故090=∠ACB ，依据为直径所对的圆周角是直角，故选择B3.答案：A解析：过O 作AC OH ⊥，连接OA ，∴HC HA =，∵060=∠B ，∴060=∠AOH ，∴030=∠OAH ，∵3224,2,422=-=∴=∴=AH OH OA ，∴34=AC ，故选择A4.答案：B解析：连接OC ，∵5:1:,12==PA PB AB ，∴10,2==PA PB ，∴AB 是直径，∴426=-=OP ，∵CD AB ⊥，∴DP CP =，在CPO Rt ∆中，524622=-=CP ，∴54=CD ，故选择B5.答案：B解析：连接OB ，OC ，∴ππ63606602=⨯==BOCS S 扇形阴影， 故选择B6.答案：D解析：作AH ⊥BC 于H ，作直径CF ，连结BF ，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF ，∴DE BF =∴DE=BF=6，∵AH ⊥BC ，∴CH=BH ，∵CA=AF ，∴AH 为△CBF 的中位线，∴AH=21BF=3． ∴点A 到弦BC 的距离为：3．故选择D7.答案：D解析：连接DC，分别过D作BCDKACDH⊥⊥,，在ABCRt∆中，∵D是AB的中点，且AB=2，∴DC=1，∴43601902ππ=⨯=DEFS扇形，∵KDPHDQDKPDHQDHDKBCAC∠=∠∠=∠=∴=,,,，∴△DHQ≌△DKP，∴21222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==DHCKDQCPSS，∴214-=π阴影S，故选择D8.答案：C解析：∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，∴OD⊥AC，∴AD＝21AO，∴∠AOD＝30°，OD＝33，同理可得：∠BOE＝30°，∴∠DOE＝150°－60°＝90°，∴点D所经过路径长为ππ2331803390=⨯. 故选C；9.答案：D解析：连接OC ，∵CD OA //，∴070=∠=∠AOD ODC ，∵OC OD =，∴070=∠=∠OCD ODC ，∴00040140180=-=∠DOC ，∴0001104070=+=∠BOC ，∴055=∠B ，故选择D10.答案：C解析：∵DC 平分∠PCH ，∴HCD PCD ∠=∠，∵BC DH AC DP ⊥⊥,，∴090=∠=∠DHC DPC ，∵DC=DC ，∴△DPC ≌△DHC （AAS ）∴CH CP =，故①正确；∵∠BDC 是弧BC 所对的圆周角，∠DBC 是弧DC 所对的圆周角，∴DAB BDC DBC ∠=∠+∠，∵DCH BDC DBC ∠=∠+∠，DCP DCH ∠=∠，DAB DCA ∠=∠，∵DCA ABD ∠=∠，∴DBA DAB ∠=∠，∴AD BD =，故②正确；∵DBH DAP ∠=∠，090=∠=∠BHD APD ，DH DP =，∴△APD ≌△AHD （AAS ）∴BH AP =，故③正确；∵条件没有给出AC AB =，故④错误，故正确答案：①②③共3个，故选择C二．填空题：11.答案：070解析：连接AC ，∵C 为BD 的中点，∴020=∠=∠BAC DAC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴090=∠ACB ，∴000702090=-=∠B12.答案：035解析：连接OC ，∵直径CD AB ⊥，∴DOB COB ∠=∠，∵020=∠D ，∴070=∠DOB ，∴070=∠COB ，∴035=∠A13.答案：060或0120解析：如图：∵AB OE ⊥，∴BE AE =，∵32=AB ，∴3=AE ， ∵2=OA ，∴()13222=-=OE ，∴0060,30=∠∴=∠AOE OAE ， ∴0120=∠AOB ，∴00120,240AB ADB ==， ∴00120,60=∠=∠ACB ADB14.答案：3解析：∵030,=∠=∠∴=ABC ACB AC AB ，∵BC 平分∠ABD ，∴030=∠DBC ，∵BD 是直径，∴△BCD 为直角三角形，∵2,1=∴=BD CD ，在BAD Rt ∆中，312,2,30220=-=∴==∠AD BD ADB15.答案：352或142解析：如图1，作BC OE ⊥，∵AB=AC ，连接AO ，∴A ，O ，E 在同一直线上，∵OB=7，OE=3，∴1023722=-=BE ，∴()3521021022=+=AB ， 如图2，在AHB Rt ∆中，()142410222=+=AB16.答案：①②④解析：连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴BC AD ⊥，∵AC AB =，∴DC BD =，故②正确，∴005.22452121=⨯=∠=∠BAC DAC ， ∴05.22=∠=∠CAD EBC ，故①正确；∵AB 是直径，∴090=∠AEB ，∵045=∠BAE ，∴045=∠=∠BAE ABE ，∴AE AB AC 2==，∴AC EC 222-=，故③错误；∵045=∠ABE ，∴弧AE 的度数为090，∵05.22=∠BAD ，∴弧BD 的度数为045，∴弧AE 的度数为弧BD 的度数的2倍，故④正确；∵,BE AE =在直角三角形BEC 中，BE BC >，∴AE BC >，故⑤错误，故正确的答案为：①②④三．解答题：17.解析：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.又∵∠A ＝30°，∴∠ABD ＝60°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝75°，∴∠DBC ＝15°.18.解析：(1)∵AC 是⊙O 的直径，∴AE ⊥BC .又∵OD ∥BC ，∴OD ⊥AE ，∴D 是AE 的中点．(2)∵D 是AE 的中点，∴AD DE =，∴∠ACD ＝∠DAE .∵AC 是⊙O 的直径，∴∠DAO ＋∠ACD ＝90°.∵AE ⊥BC ，∴∠B ＋∠BAD ＋∠DAE ＝90°，∴∠DAO ＝∠B ＋∠BAD .19.解析：解析：(1)∵060=∠=∠APC ABC ，060=∠=∠CPB BAC ，∴△ABC 为等边三角形；(2)PA ＋PB ＝PC .如图①，在PC 上截取PD ＝PA, 连结AD .∵∠APC ＝60°，∴△PAD 是等边三角形，∴PA ＝AD, ∠PAD ＝60°，又∵∠BAC ＝60°，∴∠PAB ＝∠DAC .又∵AB ＝AC ，∴△PAB ≌△DAC ，∴PB ＝DC .∵PD ＋DC ＝PC ，∴PA ＋PB ＝PC .(3)如图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F .∵S △PAB ＝21AB ·PE ， S △ABC ＝21AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝21AB (PE ＋CF ). 当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，∴此时四边形APBC 的面积最大．又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝3.∴S 四边形APBC ＝12×2×3＝3. 故当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大，最大面积为3.20解析：(1)BC ＝BD ，BC ⊥AC ，BC ＝2OF 等；连结OC.∵∠A ＝∠D ＝30°，∴AB ＝2BC ＝2.∵AC 2＝AB 2－BC 2，∴AC ＝3.∵OF ⊥AC ，∴AF ＝CF.∵AO ＝BO ＝21AB ＝1， ∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝21BC ＝21. ∵∠BOC ＝2∠A ＝60°，∴∠AOC ＝120°， ∴S 阴影＝S 扇形OAC －S △AOC ＝433213313601120-=⨯⨯-⨯ππ21.解析：（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AC的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC; (2)如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠PAO＝∠PCO，当DO＝DC，设∠DCO＝x，则∠DOC＝x，∠PAO＝x，∴∠OPC＝∠OCP＝x，∠PDO＝2x，∵∠OPA＝∠PAO＝x，∴∠POD＝2x，在△POD中，x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°，即∠PAO＝36°；当CO＝CD，设∠DCO＝x，则∠OPC＝x，∠PAO＝x，∴∠POD＝2x，∴∠ODC＝∠POD＋∠OPC＝3x，∵CD＝CO，∴∠DOC＝∠ODC＝3x，在△POC中，x＋x＋5x＝180°，解得x＝7180⎪⎭⎫⎝⎛，即∠PAO＝7180⎪⎭⎫⎝⎛.综上所述，∠A的度数为36°或0 7 180⎪⎭⎫⎝⎛22.解析：（1）∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，∴AB垂直平分CE，即H为CE中点，弧AC＝弧AE，又∵C 是AD ︵的中点，∴弧AC ＝弧CD ，∴弧AC ＝弧CD ＝弧AE ，∴∠ACH ＝∠CBD ；（2）由(1)知，∠ACH ＝∠CBD ，又∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠ACH ＝∠CAD ，∴AP ＝CP.又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，∴∠PCQ ＝90°－∠ACH ，∠PQC ＝∠BQD ＝90°－∠CBD ，∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，又∵AP ＝CP ，∴AP ＝PQ ，∴P 是线段AQ 的中点；（3）连结OC ，∵BH ＝8，OB ＝OC ＝5，∴OH ＝3，∴由勾股定理得：CH ＝43522=-，由(1)知：CH ＝EH ＝4，∴CE ＝8.23.解析：（1）∵BC OD ⊥，∴33362121=⨯==BC CE ， 设圆的半径为R ，在CEO Rt ∆中，33,3,=-==CE R OE R OC ， ∴()()222333-+=R R ，解得：6=R ； （2）∵AB 是⊙O 的直径，∴090=∠ACB ，在ABC Rt ∆中，∵36,12==BC AB ，()6361222=-=∴AC ；（3）∵6===AC OA OC ，∴AOC ∆为等边三角形，∴060=∠AOC ，∴ππ63606602=⨯=AOC S 扇形，39662321=⨯⨯⨯=∆AOC S ， ∴396-=π阴影S。

第三章 圆的基本性质能力提升训练(一）一．选择题：1．在⊙O 上作一条弦AB ，再作一条与弦AB 垂直的直径CD ，CD 与AB 交于点E ，则下列 结论中不一定正确是（ ）A. BE AE =B. AC BC =C. EO CE =D. AD BD = 2、如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC =40°，则∠BOD =（ ） A 、20°B 、40°C 、50°D 、80°3、在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）A 、若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直.B 、若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有四个公共点.C 、若两条弦所在直线平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的直径.D 、若两条弦所在直线不平行，则这两条弦一定在圆内有公共点.4．已知⊙O 的半径r =3，设圆心O 到一条直线的距离为d ，圆上到这条直线的距离为2的 点的 个数为m ，给出下列命题：①若d ＞5，则m =0；②若d =5，则m =1；③若1＜d ＜5，则m =2；④若d =1，则m =3；⑤若d ＜1，则m =4、其中正确命题的个数是( ) A.5B.4C.3D.25.如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC 、若AB =8，CD =2，则EC 的长为（ ）D. 8 6.如图，AB 是⊙O 的直径，==，∠COD =34°，则∠AEO 的度数是（ ）A.51°B.56°C.68°D.78°7.如图，圆O 的内接四边形ABCD 中，BC =DC ，∠BOC =130°，则∠BAD 的度数是（ ）A.120°B.130°C.140°D.150°8.如图，MN 是半径为2的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN =30°，点B 为劣弧AN 的中点、点P 是直径MN 上一动点，则P A +PB 的最小值为（ ） A 、42 B 、2C 、4D 、229.如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，且030=∠D ，下列四个结论：①BC OA ⊥;②BC = 63cm ；③四边形ABOC 是菱形、其中正确结论的序号是（ ）A. ①③B. ①②③C. ②⑨D. ①②10.某景点有一座圆形的建筑，如图，小江从点A 沿AO 匀速直达建筑中心点O 处，停留拍照后，从点O 沿OB 以同样的速度匀速走到点B ，紧接着沿BCA 回到点A ，下面可以近似地刻画小江与中心点O 的距离S 随时间t 变化的图象是（ ）二、填空题：11、如图，在O Θ中，040ACB ∠=，则AOB ∠= 度、12. 如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm .13、正n 边形的一个内角比一个外角大100º，则n ＝ .14、如图，点P （3a ，a ）是反比例函xky =（k ＞0）图像与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为π10，则反比例函数的解析式为___________15.如下图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ， CE ＝4，CD ＝6，则AE 的长为__________16. 如图，已知在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，垂足为点E ，如果30BAD ∠=︒，2OE =， 那么CD =17．如图，⊙O 的半径是4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，过圆心O 分别作AB 、BC 、AC 的垂线，垂足为E 、F 、G ，连接EF 、若OG ﹦1，则EF =18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD 、BC 的延长线相交于点E ，AB 、DC 的延长线相 交于点F 、若∠E ＋∠F ＝80°，则∠A ＝19．如图，□ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙O 上，顶点C 在⊙O 的直径BE 上，连接AE ， ∠E ＝36º，则∠ADC 的度数是20、如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90，半径OA =6、将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上点D 处，折痕交OA 于点C ，整个阴影部分的而积____________ 三、解答题：21.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，且四边形OABC 是一平行四边形、 （1）求∠AOC 的度数； （2）若⊙O 的半径为3，求图中阴影部分的面积.22.如图，点E是边长为1的正方形ABCD的边AB上任意一点（不含A、B），过B、C、E 三点的圆与BD相交于点F，与CD相交于点G，与∠ABC的外角平分线相交于点H、（1）求证：四边形EFCH是正方形；（2）设BE＝x，△CFG的面积为y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值、Array 23．（1）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF. 求证：BF=DF；(2)如图，在□ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，求阴影部分的面积、（结果保留π）24.正方形纸片ABCD 的对称中心为O ，翻折∠A 使顶点A 重合于对角线AC 上一点P ，EF 是折痕：（1）证明：AE ＝AF ；（2）尺规作图：在图中作出当点P 是OC 中点时的△EFP （不写画法，保留作图痕迹）；完成作图后，标注所作△EFP 的外接圆心M .25.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =60°，AC 为对角线、将ACD ∆ 绕点A 逆时针旋转60°得到AC D ''∆，连结DC '、（1）求证：ADC ∆≌ADC '∆、 （2）求在旋转过程中线段CD 扫过图形的面积、（结果保留π）.参考答案一．选择题：二．解答题： 21.（1）连结OB∵四边形OABC 是一平行四边形，∴AB ＝OC ；又∵⊙O 中，OA ＝OB ＝OC ，∴AB ＝OA ＝OB ，即△OAB 是等边三角形∴∠AOB ＝60º，同理∠BOC ＝60º，∴∠AOC ＝120º （2）S 阴影＝439634336122-=⨯-⨯ππ22.（1）证明：∵B 、H 、C 、F 、E 在同一圆上，且∠EBC ＝90° ∴∠EFC ＝90°，∠EHC ＝90° 又∠FBC ＝∠HBC ＝45°，∴CF ＝CH ∵∠HBF ＋∠HCF ＝180°，∴∠HCF ＝90°∴四边形EFCH 是正方形 （2）∵∠BFG ＋∠BCG ＝180°，∴∠BFG ＝90°由（1）知∠EFC ＝90°，∴∠CFG ＋∠BFC ＝∠BFE ＋∠BFC∴∠CFG ＝∠BFE ，∴CG ＝BE ＝x ∴DG ＝DC －CG ＝1－x易知△DFG 是等腰直角三角形∴△CFG 中CG 边上的高为DG 21()x -=121()1612141121212+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⋅=∴x x x y∴当21=x 时，y 有最大值 16123.（1）证明：∵四边形ABCD 和AEFG 都是正方形， ∴AB =AD ，AE =AG =EF =FG ，∠BEF =∠DGF =90°， ∵BE =AB ﹣AE ，DG =AD ﹣AG ， ∴BE =DG ，在△BEF 和△DGF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=GF EF DGF BEF DGBF∴△BEF ≌△DGF （SAS ） ∴BF =DF ；（2）解：过D 点作DF ⊥AB 于点F 、∵AD =4，AB =8，∠A =30° ∴DF =2 EB =AB -AE =4∴阴影部分的面积=8×2-2303604π⨯⨯-4×2×12=16-34π-4 =12-43π、24.(1)证明：设AP 交EF 于点Q ，∵P 是A 的对称点， ∴AP ⊥EF ， 在△AEQ 和△AFQ 中：∵点P 在AC 上，∴∠EAQ ＝∠F AQ ＝45° AQ 公共边，∠AQE ＝∠AQF ＝90°∴△AEQ ≌△AFQ （ASA ） ∴AE ＝AF（注：也可以证明△AEP ≌△AFP ，或证AEPF 是正方形.）（2）尺规作图：OC 中点P 作AP 垂直平分线EF 、 或PE 、PF 用角平分线、或过P 作垂直线等方法获得△EFP△EFP 的外接圆心M 的位置是EF 与AC 的交点（位置正确即可）()SAS C AD ADC ADAD C A AC CAD AD C ADC D C A AC D BAC ABCD '∆≅∆∴='=∴=∠='∠∴∆''∆='∠=∠∴ 000306030,.25得到旋转是由菱形。

第三章圆的基天性质能力提高训练(二)1.如图1，⊙O的半径为r(r>0)，若点P′在射线OP上，知足OP′?OP=r2，则称点P′是点P 对于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A，B对于⊙O的反演点，求A′B′的长.BO P'P O A图1图22.如图，四边形 ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2.3.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；2）若AB=4，AC=3，求DE的长．4.如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．1）求证：AB均分∠OAC；2）延伸OA至P使得OA=AP，连结PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．5.如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O订交于且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，求四边形A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，MANB面积的最大值6.如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值7.已知A、B、CAB、AC，点是半径为2的圆O上的三个点，此中点A是弧D、E分别在弦AB、AC上，且知足AD=CE.BC的中点，连结（1）求证：OD=OE；（2）连结BC，当BC=22时，求∠DOE的度数.（8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．1）求证：CB∥PD；2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．9.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，请探究OF和BC的关系并说明原因；(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中暗影部分的面积．(结果保存π)10.如图，点A和动点P在直线l上，点P对于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ:AB=3:4，作△ABQ的外接圆O.点C在点P右边，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右边的圆弧于点E。

班级姓名学号分数第二十四章圆（B卷·能力提升练）（时间：60分钟，满分：100分）一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。

）1．（2022•阜新）如图，A，B，C是⊙O上的三点，若∠C＝35°，则∠ABO的度数是（ ）A．35°B．55°C．60°D．70°【分析】由圆周角定理，即可求得∠AOB的度数，又由OA＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABO的度数．【解答】解：连接OA，∵∠C＝35°，∴∠AOB＝2∠C＝70°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．2．（2022•巴中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，，∠CDB＝30°，AC＝2，则OE ＝（ ）A．B．C．1D．2【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A＝∠CDB＝30°，根据锐角三角函数可得AE＝3，AB＝4，即可求解．【解答】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，，∴AB⊥CD，∵∠BAC＝∠CDB＝30°，，∴AE＝AC•cos∠BAC＝3，∵AB为⊙O的直径，∴，∴OA＝2，∴OE＝AE﹣OA＝1．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键．3．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（ ）A．B．C．D．【分析】解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC＝，∴cos∠CBE＝＝，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S＝＝，扇形BAE故选：C．【点评】本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．4．（2022•枣庄）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°【分析】连接OA，OB，利用圆周角定理求解即可．【解答】解：连接OA，OB．由题意，∠AOB＝86°﹣30°＝56°，∴∠ACB＝∠AOB＝28°，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是理解题意，掌握圆周角定理解决问题．5．（2022•济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）A．96πcm2B．48πcm2C．33πcm2D．24πcm2【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．【解答】解：∵底面圆的直径为6cm，∴底面圆的半径为3cm，∴圆锥的侧面积＝×8×2π×3＝24πcm2．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6．（2022•兰州）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝（ ）A．70°B．60°C．50°D．40°【分析】由CD是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出∠CAD＝90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠ACD与∠D互余，即可求得∠D的度数，继而求得∠B的度数．【解答】解：∵CD是⊙O的直径，∴∠ACD+∠D＝90°，∵∠ACD＝40°，∴∠ADC＝∠B＝50°．故选：C．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．（2022•牡丹江）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（ ）A．90°B．100°C．120°D．150°【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1＝2π，设圆心角的度数是n度．则＝2π，解得：n＝120．故选：C．【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8．（2022•牡丹江）如图，BD是⊙O的直径，A，C在圆上，∠A＝50°，∠DBC的度数是（ ）A．50°B．45°C．40°D．35°【分析】由BD是⊙O的直径，可求得∠BCD＝90°，又由圆周角定理可得∠D＝∠A＝50°，继而求得答案．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∵∠D＝∠A＝50°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝40°．故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．（2022•柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）A．16πB．24πC．48πD．96π【分析】先求出弧AA′的长，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．【解答】解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，所以扇形的面积为×8π×12＝48π，即圆锥的侧面积为48π，故选：C．【点评】本题考查圆锥的计算，掌握弧长公式以及扇形面积的计算公式是正确解答的前提．10．（2022•河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是（ ）A．25°B．35°C．40°D．50°【分析】由圆周角定理可求得∠AOP的度数，由切线的性质可知∠PAO＝90°，则可求得∠P．【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题主要考查切线的性质及圆周角定理，根据圆周角定理和切线的性质分别求得∠AOP和∠PAO 的度数是解题的关键．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．（2022•资阳）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC 的度数是　35　度．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC＝55°，再根据切线的性质可得∠BAD＝90°，即可求解．【解答】解：∵AB为直径，∴∠C＝90°，∵∠B＝35°，∴∠BAC＝55°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．故答案为：35．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．12．（2022•黄石）如图，圆中扇子对应的圆心角α（α＜180°）与剩余圆心角β的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则β﹣α的度数是　90°　．【分析】根据已知，列出关于α，β的方程组，可解得α，β的度数，即可求出答案．【解答】解：根据题意得：，解得，∴β﹣α＝225°﹣135°＝90°，故答案为：90°．【点评】本题考查圆心角，解题的关键是根据周角为360°和已知，列出方程组．13．（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC 的度数为　40°　．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．14．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD 的对角线交于点O ，以OC 为半径的扇形的圆心角∠FOH ＝90°．则图中阴影部分面积是 2π﹣4　．【分析】证明△OBE ≌△OCG （SAS ），推出S △OBE ＝S △OCG ，推出S 四边形OECG ＝S △OBC ＝4，再根据S 阴＝S 扇形OFH ﹣S 四边形OECG ，求解即可．【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∠OBE ＝∠OCG ＝45°，S △OBC ＝S 四边形ABCD ＝4，∵∠BOC ＝∠EOG ＝90°，∴∠BOE ＝∠COG ，在△BOE 和△COG 中，，∴△OBE ≌△OCG （SAS ），∴S △OBE ＝S △OCG ，∴S 四边形OECG ＝S △OBC ＝4，∵△OBC 是等腰直角三角形，BC ＝4，∴OB ＝OC ＝2，∴S 阴＝S 扇形OFH ﹣S 四边形OECG＝﹣4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．【点评】本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（2022•沈阳）如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，则的长是 （结果保留π）．【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【解答】解：连接OA、OB．∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB＝BC＝DC＝AD，∴＝＝＝，∴∠AOB＝×360°＝90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2＝42，解得：AO＝2，∴的长＝＝π，故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．16．（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为　cm　．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．17．（2022•青海）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 m．【分析】连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，根据垂径定理的推论得到CD⊥AB，在Rt△AOC中利用勾股定理得到22+（6﹣r）2＝r2，然后解方程即可．【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm，∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心，∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m，在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m，∴22+（6﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径长为m．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧．18．（2022•盐城）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝　35　°．【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，∵AD与⊙O相切于点A，∴∠OAD＝90°，∵∠BAD＝35°，∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，∴∠C＝∠E＝35°，故答案为：35．【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解答题（共6小题，46分）19．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠A＝60°，AC＝2，求的长．【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．【解答】（1）证明：连接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD＝60°．∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．在Rt△OCD中，OD＝CD tan∠DCO＝tan30°＝2．∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，∴∠ODB＝∠B＝30°．∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．∴的长＝．【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键．20．（2022•衢州）如图，C，D是以AB为直径的半圆上的两点，∠CAB＝∠DBA，连结BC，CD．（1）求证：CD∥AB．（2）若AB＝4，∠ACD＝30°，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理可得，∠ACD＝∠DBA，由已知条件可得∠CAB＝∠ACD，再根据平行线的判定方法即可得出答案；（2）连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．由∠ACD＝30°，可得∠ACD＝∠CAB＝30°，根据圆周角定理可得∠AOD＝∠COB＝60°，即可得出∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，即可算出S扇形BOD＝的面积，在Rt△ODE中，根据三角函数可算出DE＝cos30°OD的长度，即可算出S△BOD＝的面积，根据S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD代入计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠ACD＝∠DBA，又∵∠CAB＝∠DBA，∴∠CAB＝∠ACD，∴CD∥AB．（2）如图，连结OD，过点D作DE⊥AB，垂足为E．∵∠ACD＝30°，∴∠ACD＝∠CAB＝30°，∴∠AOD＝∠COB＝60°，∴∠COD＝180°﹣∠AOD﹣∠COB＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴S扇形BOD＝．在Rt△ODE中，∵DE＝cos30°OD＝＝，∴S△BOD＝＝＝，∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BOD，＝．∴S阴影＝．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握扇形面积的计算，平行线的性质与判定及圆周角定理进行求解是解决本题的关键．21．（2022•六盘水）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；（2）若∠COD＝162°，点M在上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．【分析】（1）设OA＝OC＝Rm，利用勾股定理求出R即可；（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，利用圆周角定理，圆内接四边形的性质求解即可．【解答】解：（1）设OA＝OC＝Rm，∵OA⊥CD，∴CB＝BD＝CD＝14m，在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，∴R2＝142+（R﹣12）2，∴R＝，∴OC＝≈14.2m．（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，∵∠N＝∠COD＝81°，∵∠CMD+∠N＝180°，∴∠CMD＝99°．∵∠CMB＝99°不变，是定值，∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况．【点评】本题考查垂径定理的应用，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．22．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OD，CD，根据含30度角的直角三角形的性质得出AC＝AB，求出∠A＝90°﹣∠B＝60°，根据直角三角形的性质得出BD＝AD＝AB，求出AD＝AC，根据等边三角形的判定得出△ADC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠ADC＝∠ACD＝60°，求出∠ODC＝∠DCO＝30°，求出OD ⊥AB，再根据切线的判定得出即可；（2）求出BD＝AC＝，BO＝2DO，根据勾股定理得出BO2＝OD2+BD2，求出OD，再分别求出△BDO 和扇形DOE的面积即可．【解答】（1）证明：连接OD，CD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，∵D为AB的中点，∴BD＝AD＝AB，∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，即OD⊥AB，∵OD过圆心O，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，又∵AC＝，∴BD＝AC＝，∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，即（2OD）2＝OD2+（）2，解得：OD＝1（负数舍去），所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S＝﹣＝﹣．扇形DOE【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识点，能熟记直角三角形的性质、切线的判定和扇形的面积公式是解此题的关键．23．（2022•盐城）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．求证：AM＝BM，，．证明：连接OA、OB，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵AB⊥CD，∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，∴，．【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．24．（2022•北京）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD．（1）求证：∠BOD＝2∠A；（2）连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F．若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，首先利用垂径定理得，知∠CAB＝∠BAD，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；（2）连接OC，首先由点F为AC的中点，可得AD＝CD，则∠ADF＝∠CDF，再利用圆的性质，可说明∠CDF＝∠OCF，∠CAB＝∠CDE，从而得出∠OCD+∠DCE＝90°，从而证明结论．【解答】证明：（1）如图，连接AD，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠A；（2）如图，连接OC，∵F为AC的中点，∴DF⊥AC，∴AD＝CD，∴∠ADF＝∠CDF，∵，∴∠CAB＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CDF＝∠CAB，∵OC＝OD，∴∠CDF＝∠OCD，∴∠OCD＝∠CAB，∵，∴∠CAB＝∠CDE，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠E＝90°，∴∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠OCD+∠DCE＝90°，即OC⊥CE，∵OC为半径，∴直线CE为⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．。

浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(―1,―2)，B2(1,―3)，C2(0,―5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,―1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C是BD的中点，∴CD=BC，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF= BF；（2）解：∵BC=CD，∴BC=CD=6．在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2=62+82=10，∴⊙O的半径为5；∵S△ABC= 12AB×CE= 12BC×AC，∴CE= BC×ACAB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.∴OD的长是圆心O到EF的距离.∵AB=90 cm，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2―O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52―32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP ，所以∠ADP=∠ADQ ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC ，因为AB 是直径，AB ⊥CD ，所以AC=AD ，CE=DE ，所以△ACP ≌△ADP （SSS ），所以∠ACP=∠ADP ，因为∠ACP=12ADQ ，∠ADQ=12ACQ ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ +ACQ ）=180°．。

人教版2018年九年级数学上册圆能力提高题一、选择题：1.如图，CD是⊙0的弦，0是圆心，把⊙0的劣弧沿着CD对折，A是对折后劣弧上的一点，∠CAD=110°.则∠B的度数是（）A．110°B．70°C．60°D．55°2.在半径为10的⊙O内有一点P,OP=6,在过点P的弦中,长度为整数弦的条数为（）A．5条B．6条C．7条D．8条3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一个圆环(阴影部分),为求该圆环的面积,只需测量一条线段的长度即可，这条线段是( )A．AD B．AB C．AC D．BD4.把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧BC的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°5.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）6.如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=2，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A．2π﹣B．π+C．π+2D．2π﹣27.如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A．B．C．D．8.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O、B的对应点分别为O/，B/，连接BB/，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．D．9.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）A．1.5 B．2﹣2 C．2﹣2 D．410.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．1.6 B．2 C．2.4 D．2.8二、填空题：11.两条边是6和8的直角三角形，其内切圆的半径是．12.如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为．13.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积为．14.如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为______．15.用等分圆周的方法，在半径为1的图中画出如图所示图形，则图中阴影部分面积为．16.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．三、解答题：17.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．18.如图，已知O点在ABC的边BC上，以OB为半径，作⊙O，过A点，与AC、BC分别交于D、E两点，连接OD，且OD=CD.(1)若∠B=42°，求∠C的度数；(2)若OA=5，AB=6，过A作AF⊥BC于F点，求AF的长.19.如图，AB为⊙O的直径，直线BM⊥AB于点B.点C在⊙O上，分别连接BC，AC，且AC的延长线交BM于点D.CF为⊙O的切线交BM于点F.（1）求证：CF=DF；（2）连接OF. 若AB=10，BC=6，求线段OF的长.20.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．（1）求证：△EFD为等腰三角形；（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．21.如图，点E为矩形ABCD的边BC的中点，以DE为直径的⊙0交AD于点H，过点H作HF AE于点F.(1)若AB=8, BC=12,求⊙0的面积；(2)求证:HF是⊙0的切线；(3)若DH=3, AF=2,求⊙0的半径.22.已知AB为⊙0的直径，过⊙0上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D且交⊙0于点F.连接BC, CF, AC.（1）求证:BC=CF；（2）若AD=3, DE=4，求BE的长；（3）若DF=1，求⊙O的半径.参考答案1.B2.D3.C4.C5.C6.D.7.A；8.C；9.B．10.C．11.答案为：﹣1或2．12.答案为：4；13.答案为：π．14.答案为：2π﹣4．15.答案为：π﹣．16.答案为：10.5．17.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．18.答案为：(1)∠C=32°；(2)AF=4.8.19.20.（1）证明：连接OD，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∵OC⊥AB，∴∠COF=90°，∴∠OCD+∠CFO=90°，∵GE为⊙O的切线，∴∠ODC+∠EDF=90°，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EFD=∠EDF，∴EF=ED．（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠EFD=∠EDF，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6．21.解：22.解：。

人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=8cm,则油面的深度为（）A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm第1题第2题第3题第4题2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的两点,连接AC,OD,CD,且AC//OD,若AB=6,∠ACD=15°,则AC的长为（）A.2√2B.4C.3√2D.3√33.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为⊙O的直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是（）A.15°B.25°C.35°D.65°4.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,若BD=BC,∠ABC=65°,则∠BOD 的度数（）A.65°B.60°C.50°D.25°5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,∠BAC=28°,则∠D的度数是（）A.56°B.58°C.60°D.62°第5题第6题第7题第8题6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=84°,则∠C的度数为（）A.88°B.92°C.106°D.138°7.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B的大小是（）.A.35°B.45°C.60°D.70°8.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°̂的中点,连接9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBDAF,BF,AC,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,交⊙O于点H.̂=DF̂②HC = BF③MF = FC④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂.其中现有以下结论:①CF成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,点P在⊙O的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上,点C,E,F,H 都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16,OP=√2,则DG 的长是（ ） A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3第10题 第11题 第12题 第13题11.如图,⊙O 经过菱形ABCD 的顶点A,B,C,顶点D 在⊙O 内,延长AD,CD 与⊙O 分别交于点E,F,连接 BE,BF.下列结论:①BE=BF ②AB ̂=AF ̂=EF ̂③∠ABC=90°+ 12∠EBF,其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①③ C. ②③ D.①②③12.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD ⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4,则AB 的长（ ）A.6√2B.10C.12D.6√513.如图,在半径为√13的⊙O 中,弦AB 与CD 交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD 的长（ ）A.2√6B.2√10C.2√11D.4√314.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为（ ）A.(4,176) B .(4,3) C.(5,176) D .(5,3) 15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=3.若P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为（ ）A.1.5B.√3C.√3D.216.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O 上的一动点,Q 为AP 的中点,连接CQ,则线段CQ 的最大值为（ ）A.3B.1+√6C.1+3√2D.1+√7二、填空题17.如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E 的度数_______.18.如图,AB,CD 是⊙O 的直径,弦BE 与CD 交于点F,F 为BE 中点,AF//ED,若AF 的长为 2√3,则BC 的长为___.第17题 第18题 第19题19.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E,AB̂=BF ̂,CE =1,AB=6,则弦AF 的长度为___. 20.如图,⊙E 与y 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的上方),与x 轴的正半轴相交于点C,且圆心E 的坐标为(m,0),半径为5;直线l 的函数表达式为y=34x+n,且经过点A 并与x 轴相交于点D(-/2,0).若以C为顶点的抛物线过点B,则该抛物线的函数表达式为___.第20题第21题第22题21.如图,AB是⊙O的弦,AB= 6√3,∠AOB=120°,C为⊙O上的一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连接DE,则线段DE的取值范围是____.22.如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE长的最小值为____.三、解答题̂的中点,连结CD,CA,AD.23.如图 1,AB是⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为ABD(1)求证:OC平分∠ACD.(2)如图 2,延长AC,DB相交于点E.①求证:OC//BE.②若CE = 4√5,BD =6,求⊙O的半径.24.如图,⊙O为Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4,点D是⊙O上的动点,且点C,D 分别位于AB的两侧.(1)求⊙O的半径;(2)当CD=4√2时,求∠ACD的度数;(3)设AD的中点为M,在点D的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点A,C 且与边AE,CE 分别交于点D,F,点B 是AĈ上一点,且DF̂=BC ̂,连接AB,BC,CD. (1)求证:△CDE ≌△ABC;(2)若AC 为⊙O 的直径,填空:①当∠E =______时,四边形ABCD 为正方形;②当∠E =____时,四边形OCFD 为菱形.26.已知⊙O 中,弦AB=AC,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA,PB,PC 之间的关系.参考答案一、选择题1-5 ADBCD 6-10 DABCB 11-15 BDCAB 16 D二、填空题17. 215° 18.2√619.485 20.y=−116(x −8)221.3√3-3≤DE ≤3√3+322.94 三、解答题23.(1)提示：圆心角定理，垂径定理.(2)①略②半径长5.24(1)半径长4.(2)15°(3)2√ 3+225.(1)略(2)①45°②60°26.(1)略(2)①PA=PB+PC。

圆的基本性质单元培优测试卷一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（ ）第1题图第2题图第4题图A．42°B．41°20'C．41°D．40°20'2．如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定3．在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，点B在第一象限内，AO=AB，∠OAB=120°，将△AOB绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转后，点B的坐标为（ ）A．(−3，3)B．(−3，0)C．(3，3)D．(−23，0)4．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD 的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）A．2−1B．2+1C．4−2D．22−25．△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B=∠EAC，根据弦AB的变化，两人分别探究直线EF 与⊙O的位置关系：甲：如图1，当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；乙：如图2，当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切；第5题图第6题图第7题图下列判断正确的是（ ）A ．甲对，乙不对B ．甲不对，乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都不对6．如图，等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2，若O 1O 2=2，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．43πC ．πD ．23π7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在边BC 上．结论Ⅰ：若⊙O 的半径为2，P 是边BC 的中点，则PE 的长为13；结论Ⅱ：连接PF ．若S △PEF =32，则EF 的长为π3，关于结论Ⅰ、Ⅱ，判断正确的是（ ）A ．只有结论Ⅰ对B ．只有结论Ⅱ对C ．结论Ⅰ、Ⅱ都对D ．结论Ⅰ、Ⅱ都不对8．已知等腰直角三角形OAC ，∠OAC ＝90°，以O 为圆心，OA 为半径的圆交OC 于点F ，过点F 作AC的垂线交⊙O 于点E ，交AC 于点B.连结AE ，交OC 于点D ，若OD ＝1+22，则AB 的长为（ ）第8题图 第9题图 第10题图A ．2B ．22C ．2+1D ．2+29．如图，在扇形BOC 中，∠BOC =60°，OD 平分∠BOC 交BC 于点D ，点E 为半径OB 上一动点．若OB =3，则阴影部分周长的最小值为（ ）A ．62+π2B ．22+π3C ．62+π3D ．2+2π310．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，点D 是半圆上两点，连结AC ，BD 相交于点P ，连结AD ，OD ．已知OD ⊥AC 于点E ，AB ＝2．下列结论其中正确的是（ ）①∠DBC +∠ADO ＝90°；②AD 2+AC 2＝4；③若AC ＝BD ，则DE ＝OE ；④若点P 为BD 的中点，则DE ＝2OE ．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E ．若∠AOC =45°，BC =2，则线段AE 的长为 ．第11题图 第12题图 第13题图12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2．以点A 为圆心，AD 长为半径作弧交AB 于点E ，再以AB为直径作半圆，与DE 交于点F ，则图中阴影部分的面积为 ．13．如图，直线l 与⊙O 相切于点A ，点C 为⊙O 上一动点，过点C 作CB ⊥l ，垂足为B ，已知⊙O 的半径为6，则BC +43AB 的最大值为　　．14．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，线段MN 在对角线BD 上运动，若⊙O 的面积为2π，MN =1，则（1）⊙O 的直径长为 ；（2）△AMN 周长的最小值是 ．第14题图 第15题图 第16题图15．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的点，连接CD ，AC ，OD ，且AB =4，OD ∥AC ，设CD =x,AC =y ，则y 与x 之间的函数表达式为 ．16．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，交AC 于点F ，DB 交AC于点G ，连结AD ．给出下面四个结论：①∠ABD ＝∠DAC ；②AF ＝FG ；③当DG ＝2，GB ＝3时，FG =142；④当BD =2AD ，AB ＝6时，△DFG 的面积是3，上述结论中，正确结论的序号有　　．三、综合题（17-19每题6分，20-21每题8分，22题12分，共46分）17．如图，已知OA是⊙O的半径，过OA上一点D作弦BE垂直于OA，连接AB，AE．线段BC为⊙O的直径，连接AC交BE于点F．（1）求证：∠ABE=∠C；（2）若AC平分∠OAE，求AFFC的值18．如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC．（1）求证：∠CBO=∠ABD；（2）若AE=4cm，CE=16cm，求弦BD的长．19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD，OD相交于点E，F．（1）求证：点D为AC的中点；（2）若DF=4，AC=16，求⊙O的直径．20．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD交于点E，AC＝BD，AC⊥BD．（1）猜想∠ACB的度数，并说明理由．（2）若⊙O的半径为10，∠BCD=60°，求四边形ABCD的面积．（3）若过圆心O作OF⊥BC于点F．求证：AD＝2OF．21．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.22．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC 于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．（1）求证：点B在⊙M上．（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．（3）当点D到移动到使∠CMG=30°时，求证：A E2+C F2=E F2．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 内接于圆O ，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠BCD 、∠EBC 分别是△EBC 和△ABF 的一个外角，∠EBC=∠A+∠F ，∠BCD=∠E+∠EBC ，∴∠BCD=∠E+∠A+∠F ，∴∠A+∠E+∠A+∠F=180°，∴2∠A+54°41'+43°19'=180°，解之：∠A=41°.故答案为：C. 2．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵OC ⊥AB ，且AB =43，∴∠ADO=90°，且AD =12AB =23，∵sin ∠AOC=sin60°=AD AO，∴AO =ADsin60°=2332=4，∵OP=5＞AO=4，∴点P 在圆O 外部.故答案为：C. 3．【答案】D【解析】【解答】解：过B 作BH ⊥y 轴于H ，在Rt△ABH中，∠AHB=90°,∠BAH=180°−120°=60°,AB=OA=2，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=1，OH=OA+AH=3，由勾股定理得BH=AB2−AH2=3，∴B(3,3)，由题意，可得：B1(−3,3),B2(−23,0),B3(−3,−3),B4(3,−3),B5(23,0),B6(3,3),⋯，6次一个循环，∵2024÷6=337……2，∴第2024次旋转后，点B的坐标为(−23,0)，故答案为：D．4．【答案】A【解析】【解答】解：连接CO，如图，由三角形两边之差小于第三边，当C、O、E共线时，OE最小，设⏜AC的弧度为x，则⏜BC的弧度为180°-x，∵∠CAB=∠CAD，∴⏜CD的弧度为180°-x，由折叠知：⏜AEC=⏜AC=x，⏜AD=x-(180°-x）=2x-180°，∵点E为弧AD的中点，∴⏜AE=12⏜AD=x-90°，∴⏜CE=⏜AC-⏜AE=90°，∴⏜CE所对圆心角为90°，∵直径AB=2，∴ CE=2，∴OE= CE-OC=2−1.故答案为：A.5．【答案】C【解析】【解答】解：甲：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°，∵∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，∴EF⊥AB，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线；乙：作直径AM，连接CM，如图所示：即∠B=∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∵∠EAC=∠B，∴∠EAC=∠AMC，∵AM是⊙O的直径，∴∠MCA=90°，∴∠MAC+∠AMC=90°，∴∠EAC+∠MAC=90°，∴EF⊥AM，∵OA是半径，∴EF是⊙O的切线．故答案为：C 6．【答案】D7．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接CE 、OB 、OC ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠BCD =∠CDE =(6−2)⋅180°6=120°，CD =DE ，∠BOC =360°6=60°，OB =OC ，∴∠DCE =∠DEC =12(180°−∠CDE)=30°，△OBC 是等边三角形，∴CH =EH =12CE =CD ⋅cos ∠DCE =3，∠PCE =∠BCD−∠DCE =90°，EF =BC =OB =OC =CD =2，∴CE =23，∵P 是边BC 的中点，∴CP =BP =12BC =1，∴PE =PC 2+CE 2=12+(23)2=13，故结论Ⅰ正确；设点N 是边BC 的中点，连接NO 并延长交EF 于点M ，连接OE 、OF ，过点D 作DH ⊥CE 于点H ，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴NM ⊥EF ，NM ⊥BC ，FM =EM =12EF =12a ，∠EOF =360°6=60°，EF ∥BC ，∴S △NEF =S △PEF =32，由Ⅰ的解答过程可知，CH=EH=12CE=CD⋅cos∠DCE=32a，∠NCE=∠BCD−∠DCE=90°，EF=BC=OB=OC=a，∴CE=3a，四边形NCEM是矩形，∴MN=CE=3a，∴12EF⋅MN=12×a×3a=32，∴a=1，∴EF的长为60π×1180=π3，故Ⅱ正确，故答案为：C.8．【答案】C【解析】【解答】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：设⊙O的半径为R∵∠OAC = 90°，OA=AC=R∴∠O=∠C=45°∴∠E=12∠O==22.5°在Rt△0AC中，由勾股定理得：OC = OA2+AC2=2R∵OD=2∴CD=OC-OD=2R−2∵EB⊥AC，∠C =45°∴△BFC为等腰直角三角形，∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°在Rt△ABE中，∠E =22.5°，∠ABE = 90°∴∠CAE =90°-∠E=67.5°∴∠CAE = ∠ADC∴AC=CD，即R= 2R−2，解得：r=2+2，即OA=2+2∵OH⊥AEOH是AE的垂直平分线∴AH = EH∴∠EAH= ∠E= 22.5°∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°∴△ABH为等腰直角三角形∴AB =BH∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°∴OH⊥AE，∠EAH=22.5°∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°∴AH =OA=2+2，在Rt△ABH中，AB = BH，AH=2+2由勾股定理得：A B2+B H2=A H2即2A B2=（2+2）2∴AB=2+1故答案为：2+1.9．【答案】A【解析】【解答】解：由于CD是定值，要求阴影部分周长的最小值，即求CE+DE最小值即可作点D关于OB对称的对称点D′，连接CD′与直线OB交于点E，则OC=OD′，CE+DE=CD′，此时CE+DE为最小值连接OD′，∵OD平分∠BOC，∠BOC=60°，∴∠BOD =∠COD =12∠BOC =30°，∴∠BOD =∠BOD ′=30°，∠COD ′=90°，在Rt △COD ′中，CD ′=OC 2+OD ′2=2OC =2OB =32，CD =30π×3180=12π，阴影部分周长的最小值为12π+32=62+π2．故答案为：A ．10．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =∠ACB =90°，∵OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴∠DBC =∠BDO ，∵∠BDO +∠ADO =90°，∴∠DBC +∠ADO =90°，①正确；∵∠ACB =90°，∴B C 2+A C 2=A B 2=4，AB =2，根据条件无法得到BC =AD ，②错误；∵AC =BD ，∴⏜AD =⏜BD ，∴⏜AD =⏜BC ，∵OD ⊥AC ，∴⏜AD =⏜CD ，∴⏜AD=⏜BC=⏜CD，∴∠AOD=13×180°=60°，∵OA=OD，∴△AOD为等边三角形∵AE⊥OD，∴DE=OE，③正确；若点P为BD的中点，则PD=PB，∵∠PED=∠BCP=90°，∠EPD=∠CPB，∴△EPD≅△CPB(AAS)，∴DE=BC，∵OD⊥AC，O为AB的中点，∴BC=2OE，∴DE=2OE，④正确；故答案为：B.11．【答案】212．【答案】3+23π【解析】【解答】解：连接AF，EF，过点F作FH⊥AB于点H，∵以点A为圆心，AD长为半径作弧交AB于点E，∴AD=AE=AF=2，∵再以AB为直径作半圆，与DE交于点F，∴AE=BE=2，AE=EF，∴AF=AE=EF=2，∴△AEF是等边三角形，∴∠FAE=∠AEF=60°，AH=1，∴FH=AH·tan∠FAE=AH·tan60°=3∴S扇形FAE=60π×22360=23π，S弓形AF=60π×22360−12×23=23π−3，∴S阴影部分=S半圆AB-S扇形FAE-S弓形AF=12×4π−23π−(23π−3)=3+23π故答案为：3+2 3π.13．【答案】83614．【答案】22；415．【答案】y=−12x2+416．【答案】①②③【解析】【解答】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=DC，由圆周角定理的推论得：∠ABD=∠DAC，故①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°，∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG，即②正确；在△ADG和△BDA，{∠ADG =∠BDA∠DAG =∠DBA ，∴△ADG ∽△BDA ，∴AD BD =GDAD ，即：AD 2+3=2AD，解得：AD =10，由勾股定理得：AG =AD 2+DG 2=10+4=14，∵AF =FG ，∴FG =12AG =142，故③正确；如图：假设半圆的圆心为O ，连接OD ,CO ,CD ，∵BD =2AD ，AB =6，D 是AC 的中点，∴AD =DC =13AB ,∴∠AOD =∠DOC =60°，∵OA =OD =OC ，∴△AOD ,△ODC 是等边三角形，∴OA =AD =CD =OC =OD =6，∴四边形ADCO 是菱形，∴∠DAC =∠OAC =12∠DAO =30°，∵∠ADB =90°，∴tan ∠DAC =tan30°=DGAD ，即33=DG 6，解得：DG =23，∴S △ADG =12AD ⋅DG =12×6×23=63，∵AF =FG∴S △DFG =12S △ADG =33，故④错误．故答案为：①②③．17．【答案】（1）证明：∵OA ⊥BE ，∴AB=AE，∴∠ABE=∠C；（2）解：∵AC平分∠OAE，∴∠OAC=∠EAC，∵∠EAC=∠EBC，∴∠OAC=∠EBC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C，∴∠EBC=∠C，∴BF=CF，由（1）∠ABE=∠C，∴∠ABE=∠C=∠EBC，∵BC为直径，∴∠BAC=90°，∴∠ABE+∠C+∠EBC=90°，∴∠ABE=30°，∴AF=12 BF，∴AF=12 CF，即AFCF=12．18．【答案】（1）证明：∵AC是直径，AC⊥BD ∴AB=AD∴∠ABD=∠C又∵OB=OC∴∠OBC=∠C∴∠CBO=∠ABD（2）解：∵AE=4cm，CE=16cm∴直径AC=AE+CE=20cm∴OA=OB=10cm∴OE=OA-AE=10-4=6cm∵AC是直径，AC⊥BD∴BE=ED= BO2−OE2=8cm∴BD=2BE=16cm19．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥BC，∴∠OFA＝90°，∴OF⊥AC，∴AC＝CD，即点D为AC的中点；（2）解：OF⊥AC，∴AF＝12AC＝8，∵DF＝4，∴OF＝OD−DF＝OA−4，∵OA2＝AF2＋OF2，∴OA2＝82＋(OA−4)2，∴OA＝10，∴⊙O的直径为20．20．【答案】（1）解：∠ACB＝45°，理由如下：∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°．∴∠ABE＋∠BAE＝90°．∴AD＋BC＝180°．∴AB＋CD＝180°．∵AC＝BD，∴AC＝BD．∴AC−AD=BD−AD．∴AB=CD．∴AB＝90°．∴∠ACB＝45°．（2）解：如图，连结BO，DO，过点O作OH⊥BD交BD于点H.∵∠BCD=60°, ∴∠BOD=120°.∵OH⊥BD,∴∠BOH=60°, BH=DH.在Rt△BHO中，∠BOH=60°,OB=10，∴OH=5,BH=53.∴BD=103=AC.∴S四边形ABCD=12×103×103=150.（3）证明：如图，延长BO交⊙O于点M，连结CM，DM．∵OF⊥BC，∴BF＝CF，即点F是BC的中点．又∵点O是BM的中点，∴OF是△BCM的中位线．∴CM＝2OF．∵DM⊥BD，AC⊥BD，∴DM∥AC．∴AD＝CM．∴AD＝2OF．21．【答案】（1）证明：如图1，∵AB=CD，∴AB=CD，即AC+BC=BD+BC，∴AC =BD ，∴∠A =∠D ，∴AM =DM ；（2）解：①∠M =90°−12α°.理由如下：连接AC ，如图，∵BE =BC =α°，∴∠CAB =12α°，∵AB ⊥CD ，∴∠AMC =90°，∴∠M =∠C =90°−12α°；②∵BE =BC =α°，∴∠CAB =∠EAB ，∵AB ⊥CD ，∴AC =AF ，∴∠ACF =∠AFC ，∵∠ACF =∠E ，∠AFC =∠DFE ，∴∠DFE =∠E ，∴DF =DE =7，∵AM =DM ，∴AM =MF +7，∵AM +MF =17，∴MF +7+MF =17，解得MF =5，∴AM =12，∴S △ADF =12×7×12=42.22．【答案】（1）证明：根据题意得CM=DM=12CD，∵∠ABC=90°，∴BM=12 CD，∴CM=DM=BM，∴点B在⊙M上．（2）解：连接DE，如图，∵CD⊥BE，CD为⊙M直径，∴BD=DE，∠ABC=∠DEC=90°，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAE=∠ADE=45°，∴DE=AE，∴AD=2DE=2BD，∴AD+BD=AB=(2+1)BD，∴BC=(2+1)BD，∴BCBD=2+1．（3）证明：过点B作BN⊥BG，过点A作AN⊥AE，交BN于点N，连接DE，NE，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠DAC=∠BCA=45°，∴∠BAN=∠BCF=45°，∵M为CD的中点，∴MD =MB =MC ，∵∠CMG =∠MBC +∠MCB =30°，∴∠MDB =∠MBD =75°，∠MBC =∠MCB =15°，∠DCE =∠BCE−∠MCB =30°，∴∠EDC =∠EBC =60°，∴∠EBF =∠EBC−∠MBC =45°，∴∠EBF =∠EBN =45°，∴∠ABN =90°−∠ABF =∠CBF ，∵{∠ABN=∠CBFAB =BC ∠BAN =∠BCF ，∴△BAN≌△BCF(ASA)，∴AN =CF ，BN =BF ，∵{BN =BF∠NBE =∠FBE BE =BE ，∴△NBE≌△FBE(SAS)，∴NE =EF ，在Rt △AEN 中，N E 2=A N 2+A E 2，∴E F 2=C F 2+A E 2．。