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§4.3 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．2．思考函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是． 答案 π3．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 4．函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为．⎝8282解析 由－π2＋k π<2x －3π4<π2＋k π(k ∈Z )，得π8＋k π2<x <5π8＋k π2(k ∈Z )， 所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递减区间为 ⎝⎛⎭⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )．题组三 易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 答案 B解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎫2x －π6的最小正周期T ＝2π2＝π， 又sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝1， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象关于直线x ＝π3对称． 6．函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z ) 解析 f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以要求f (x )的单调递减区间，只需求y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间． 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递减区间是⎣⎦12127．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是． 答案 sin68°>cos23°>cos97° 解析 sin68°＝cos22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数， ∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一 三角函数的定义域1．函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠π6 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π6(k ∈Z ) D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π6(k ∈Z ) 答案 D解析 由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.2．函数y ＝sin x －cos x 的定义域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 方法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z .方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．所以定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z . 3．函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z 解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值)例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min ＝2－ 3.(2)函数y ＝cos2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－32，－1 D.⎣⎡⎦⎤32，3答案 B解析 y ＝cos2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122－32，因为cos x ∈[－1,1]，所以原式的值域为⎣⎡⎦⎤－32，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则实数a 的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤π3，π解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，a ＋π6， ∵当x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，π2时，f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴由函数的图象(图略)知，π2≤a ＋π6≤7π6，∴π3≤a ≤π. (2)(2018·长沙质检)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为． 答案 ⎣⎡⎦⎤－12－2，1解析 设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x ·cos x ，sin x cos x ＝1－t22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1，t ∈[－2，2]．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型三 三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________． 答案 2或3解析 由题意得1<πk <2，k ∈N ，∴π2<k <π，k ∈N ， ∴k ＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为___________． 答案 2解析 由题意知ωπ6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点． (2)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x ＝π6对称答案 B解析 ∵当x ＝－π6时，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋π3＝0， ∴函数图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称． (2)若直线x ＝54π和x ＝94π是函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( ) A.34πB.π2C.π3D.π4 答案 A解析 由题意，函数的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫94π－54π＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴y ＝cos(x ＋φ)，当x ＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos ⎝⎛⎭⎫54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－54π，k ∈Z .当k ＝2时，可得φ＝34π.题型四 三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为． 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．(2)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间是． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z ) 解析 由k π－π2<2x ＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－5π12<x <k π2＋π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2－5π12，k π2＋π12(k ∈Z )．(3)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6 解析 ∵y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6(k ∈Z )．∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－5π6，2k π＋π6(k ∈Z )， 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. 命题点2 根据单调性求参数例4已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，54解析 由π2<x <π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4， 又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54. 引申探究本例中，若已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是． 答案 ⎣⎡⎦⎤32，74解析 函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14>0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 跟踪训练3 (1)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z ) 答案 D解析 函数的解析式可化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z )． (2)(2018·武汉联考)若函数g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫π6，7π24解析 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得 k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 又∵函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，a 3和⎣⎡⎦⎤4a ，7π6上均单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3≤π6，4a ≥2π3，4a <7π6，解得π6≤a <7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例(1)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos x |；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案 A解析 ①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A. (2)(2017·全国Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减答案 D解析 A 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确； B 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )， 所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确； C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π6， 所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确； D 项，因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )， 单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以⎝⎛⎭⎫π2，2π3是f (x )的单调递减区间，⎣⎡⎭⎫2π3，π是f (x )的单调递增区间，D 项错误． 故选D.(3)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析 由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，。
§4.7解三角形的实际应用最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．测量中的有关几个术语：概念方法微思考在实际测量问题中有哪几种常见类型，解决这些问题的基本思想是什么？提示实际测量中有高度、距离、角度等问题，基本思想是根据已知条件，构造三角形(建模)，利用正弦定理、余弦定理解决问题．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 题组二 教材改编2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出A ，C 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________m.答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B ，又B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．3．如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为60°，则山高h ＝______米．答案22a 解析 由题图可得∠P AQ ＝α＝30°，∠BAQ ＝β＝15°，在△P AB 中，∠P AB ＝α－β＝15°， 又∠PBC ＝γ＝60°，∴∠BP A ＝()90°－α－()90°－γ＝γ－α＝30°， ∴在△P AB 中，a sin30°＝PBsin15°，∴PB ＝6－22a ，∴PQ ＝PC ＋CQ ＝PB ·sin γ＋a sin β ＝6－22a ×sin60°＋a sin15°＝22a .题组三 易错自纠4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m答案 D解析 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40m.5．在某次测量中，在A 处测得同一半平面方向的B 点的仰角是60°，C 点的俯角是70°，则∠BAC ＝________. 答案 130°解析 60°＋70°＝130°.6．海上有A ，B ，C 三个小岛，A ，B 相距53海里，从A 岛望C 和B 成45°视角，从B 岛望C 和A 成75°视角，则B ，C 两岛间的距离是________海里． 答案 5 2解析 由题意可知∠ACB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC ，即53sin60°＝BC sin45°，得BC ＝5 2.题型一 测量距离问题1．(2018·长春检测)江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3 解析 如图，OM ＝AO tan45°＝30(m)， ON ＝AO tan30°＝33×30＝103(m)， 在△MON 中，由余弦定理得 MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m)．2.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB＝30°，∠ACD ＝60°， ∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.答案64解析 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AC ＝DC ＝32km. 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC·sin ∠BDC ＝32sin45°·sin30°＝64(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64km. ∴A ，B 两点间的距离为64km. 3．如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为3003m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠P AB ＝90°，∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________m.答案 900解析 由已知，得∠QAB ＝∠P AB －∠P AQ ＝30°. 又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°， ∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ .又PB 为公共边，∴△P AB ≌△PQB ， ∴PQ ＝P A .在Rt △P AB 中，AP ＝AB ·tan60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900m. 思维升华求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 题型二 测量高度问题例1(2018·福州测试)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100m ，汽车从B 点到C 点历时14s ，则这辆汽车的速度约为________m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案 22.6解析 因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝AD cos60°＝200.在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华 (1)高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求的高度(某线段的长度)纳入到一个可解的三角形中．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．跟踪训练1如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，则山高CD ＝____________.答案h cos αsin βsin (α－β)解析 由已知得∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即ACsin (90°－α)＝BCsin (α－β)，∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β).在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin (α－β).故山高CD 为h cos αsin βsin (α－β).题型三 角度问题例2如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东15°(∠BAC ＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P 的仰角为60°，已知山高为23千米．(1)船的航行速度是每小时多少千米？(2)若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处南偏东多少度的方向？ 解 (1)在△BCP 中，由tan ∠PBC ＝PC BC ，得BC ＝PCtan ∠PBC ＝2，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠BCA，即2sin15°＝ABsin45°，所以AB ＝2(3＋1)，故船的航行速度是每小时6(3＋1)千米．(2)在△BCD 中，BD ＝3＋1，BC ＝2，∠CBD ＝60°， 则由余弦定理得CD ＝6， 在△BCD 中，由正弦定理得CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠CDB，即6sin60°＝2sin ∠CDB ，所以sin ∠CDB ＝22， 所以，山顶位于D 处南偏东45°的方向． 思维升华解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角和方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用． 跟踪训练2如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°的方向上，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°的方向上，则灯塔A 在灯塔B 的______的方向上．答案 北偏西10°解析 由已知得∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°的方向上．1．(2018·武汉调研)已知A ，B 两地间的距离为10km ，B ，C 两地间的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10km B ．103km C ．105km D ．107km答案 D解析 如图所示，由余弦定理可得AC 2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC ＝107.2.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A.32B.22C.3－1D.2－1 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理得AB sin30°＝AC sin135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin15°CD＝3－1. 3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里 B ．103海里 C ．203海里 D ．202海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20， ∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得 BC sin30°＝ABsin45°， 解得BC ＝10 2.4.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 答案 B解析 依题意可得AD ＝2010，AC ＝305， 又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5．(2018·郑州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6答案 D解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin30°＝CD sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 故选D.6．(2018·广州模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案 C解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.7．(2018·哈尔滨模拟)如图，某工程中要将一长为100m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案 100 2解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝x sin45°，解得x ＝100 2. 8.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________．答案 2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos120°＝2800，得BC ＝207.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC， 即sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos30°－sin ∠ACB sin30°＝2114. 9．(2018·青岛模拟)一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时________海里．答案 10解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 10．(2018·泉州质检)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为______米．答案 507解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC ＝507.。
阶段自测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2019·浏阳六校联考)已知点P (－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)等于( ) A.35B.45C ．－35D ．－45 答案 A解析 ∵点P (－4,3)是角α终边上的一点， ∴sin α＝35，∴sin(π－α)＝sin α＝35.故选A.2．(2019·长春质检)函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为( ) A.3B ．2C ．23D ．4 答案 C解析 由题意可知f (x )＝3sin x ＋3cos x ＝23⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴－23≤23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤23，故函数f (x )＝3sin x ＋3cos x 的最大值为2 3. 故选C.3．(2019·长沙长郡中学调研)cos210°cos75°－2cos 215°sin15°等于( ) A.12B ．－22C ．－12D.22 答案 B解析 根据相应公式可得cos210°cos75°－2cos 215°sin15°＝－cos30°cos75°－sin30°cos15°＝－(sin15°cos30°＋cos15°sin30°)＝－sin45°＝－22，故选B. 4．(2019·安徽皖南八校联考)若角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则sin2α等于( ) A.725B.1625C ．－725D ．－1625答案 A解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352－1＝－725，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin2α，所以sin2α＝725.5．(2019·佛山禅城区调研)已知tan α＝2，则sin2α＋cos 2α等于( ) A.35B ．－35C ．－35或1D ．1 答案 D解析 sin2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋1tan 2α＋1， 又∵tan α＝2，∴sin2α＋cos 2α＝2×2＋122＋1＝1.故选D.6．(2019·惠州调研)为了得到函数y ＝sin2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 B解析 y ＝sin2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6，故应向右平移π12个单位长度．故选B. 7．(2019·成都七中诊断)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )，则A 的大小为( ) A ．30°B．60°C．120°D．150° 答案 C解析 ∵(b ＋c )sin(A ＋C )＝(a ＋c )(sin A －sin C )， ∴由正弦定理可得(b ＋c )b ＝(a ＋c )(a －c )， 整理可得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴由A ∈(0，π)，可得A ＝120°. 故选C.8.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2图象的一部分如图所示．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案 A解析 观察图象知，A ＝1，T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故选A.9．(2019·吉林通榆一中期中)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z答案 D解析 由题意可得函数的周期为2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，解得ω＝π，∴f (x )＝cos(πx ＋φ)，再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4＋φ＝π2，解得φ＝π4，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4，令2k π≤πx ＋π4≤2k π＋π，可解得2k －14≤x ≤2k ＋34，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.10．(2019·沈阳东北育才学校联考)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在[0，π]内的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，则ω的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23D ．[0,1]答案 A解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)， 当x ∈[0，π]时，cos x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ＋π3，由题意－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3≤12，结合余弦函数的性质，则π≤ωπ＋π3≤5π3，解得23≤ω≤43，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，43.故选A.11．(2019·赣州十四县(市)联考)在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝7，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOA →＋yOB →，其中0≤x ≤1,1≤y ≤2，动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )A.1036B.536C.103D.203 答案 A解析 如图以OA,2OB 为邻边作平行四边形OAED ，F 为AE 中点，根据题意知，P 点在以BF ，BD 为邻边的平行四边形上及其内部，∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB . 在△ABC 中，cos∠BAC ＝15，AC ＝6，BC ＝7，∴由余弦定理得，15＝AB 2＋36－492AB ·6，解得AB ＝5或AB ＝－135(舍去)，又O 为△ABC 的内心， ∴内切圆半径r ＝2S △ABCa ＋b ＋c，∴S △AOB ＝12·r ·|AB |，∴S △AOB ＝55＋6＋7·S △ABC ＝518×12×5×6×sin∠BAC ＝256·1－125＝563， ∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为1063.故选A.12．(2019·荆州质检)函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π3对称，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则实数m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞C ．(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 答案 D解析 函数f (x )＝2cos x sin(x ＋φ)＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象关于直线x ＝π3对称， 即f (x )＝2cos x (sin x cos φ＋cos x sin φ)＋m＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ＋sin φ＋m ＝sin(2x ＋φ)＋sin φ＋m ，当x ＝π3时，2×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12＋m ，由三角函数的单调性可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，f (x )min ＝－1＋m ，f (x )max ＝12＋m ，若在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上任取三个实数a ，b ，c ，总能以f (a )，f (b )，f (c )的长为边构成三角形，则2f (x )min ＞f (x )max ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2(－1＋m )>12＋m ，12＋m >0，∴m >52，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·南充适应性考试)已知sin θ＝13，则cos2θ＝________.答案 79解析 cos2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.14．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值是________． 答案33＋410解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α＝ tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝－17＋11＋17＝34，∴sin α＝35，cos α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝32sin α＋12cos α＝33＋410. 15．(2019·山师大附中模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝14，c ＝3，acos A＝bcos B ，则△ABC 的面积等于________． 答案3154解析 ∵a cos A ＝b cos B ，∴ sin A cos A ＝sin Bcos B，化简得sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， ∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π， ∴A ＝B ，∴a ＝b . 又∵cos C ＝14，c ＝3，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝14，解得a ＝b ＝6，且sin C ＝154， S △ABC ＝12ab sin C ＝3154. 16．(2019·长沙长郡中学调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2A 1＋cos2A ，2cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋A ，－1＋cos A 2.若m ·n ＝12，△ABC 的周长为a ＋4，△ABC 的面积为3，则a 的值是____． 答案 2 3解析 根据题意，有sin2A 1＋cos2A ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋A －2cos A 2·1＋cos A 2＝12， 整理得2sin A cos A 2cos 2A ·cos A sin A －2cos 2A 2＝12， 从而求得cos A 2＝12，因为A ∈(0，π)，所以A 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A 2＝π3，所以A ＝2π3，根据题意有b ＋c ＝4，12bc sin 2π3＝3，即bc ＝4，根据余弦定理，可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos2π3＝b 2＋c 2＋bc ＝(b ＋c )2－bc ＝16－4＝2 3. 三、解答题(本大题共70分)17．(10分)(2019·武汉示范高中联考)已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋3cos2x －1. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x )－m ＝2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解 f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3cos2x －1＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .(2)方程移项得f (x )＝m ＋2，方程有两解等价于函数f (x )与函数y ＝m ＋2有两个交点，画出两函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内的图象如图所示：由图象知3≤m ＋2<2，∴3－2≤m <0.18．(12分)(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的取值范围．解 (1)f (x )＝1－cos2ωx 2＋32sin2ωx＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12.因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，因此0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12≤32， 即f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 19．(12分)(2019·佛山禅城区调研)△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求角B ；(2)若cos A ＝35，试求cos C 的值．解 (1)已知a ＝b cos C ＋c sin B ，由正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C sin B,sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， cos B sin C ＝sin C sin B ，因为在△ABC 中sin C >0，所以cos B ＝sin B ， 因为sin B >0，所以cos B >0，所以tan B ＝sin Bcos B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为cos A ＝35，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，由(1)可知A ＋C ＝3π4，所以C ＝3π4－A,cos C ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－A ＝cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ， cos C ＝22(sin A －cos A )＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210. 20．(12分)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数．(1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，∴f (x ＋π)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0，∴cos B ＝12，∴B ＝π3.∵△ABC 是锐角三角形，∴0<C ＝2π3－A <π2，∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]，即f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3的取值范围为(0,1]．21．(12分)已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b .(1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称， ∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3， ∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增； 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12≤0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点． 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0， ∴满足条件的b ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 22．(12分)(2019·衡水中学考试)如图，在△ABC 中，P 是BC 边上的一点，∠APC ＝60°，AB ＝23，AP ＋PB ＝4.(1)求BP 的长；(2)若AC ＝534，求cos∠ACP 的值．解 (1)由已知，得∠APB ＝120°，又AB ＝23，AP ＋BP ＝4，在△ABP 中，由余弦定理，得(23)2＝BP 2＋(4－BP )2－2×BP ×(4－BP )cos120°， 整理，得BP 2－4BP ＋4＝0.解得BP ＝2.(2)由(1)知，AP ＝2，所以在△ACP 中，由正弦定理得AC sin60°＝AP sin∠ACP， 解得sin∠ACP ＝2×32534＝45. 因为2<534，所以AP <AC ， 从而∠ACP <∠APC ，即∠ACP 是锐角，所以cos∠ACP ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.。
第6节 正弦定理和余弦定理考试要求 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则sin__2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 2.三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .3.在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( ) (2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形.( )解析 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比. (3)已知三角时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 不一定为锐角三角形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋25－4930＝－12，由A ∈(0，π)，得A ＝2π3，即∠BAC ＝23π. 答案 C3.(必修5P10B2改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ) A.4 2B.30C.29D.2 5解析 由题意得cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2. 答案 A6.(2019·荆州一模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝22，cos A ＝34，sin B ＝2sin C ，则△ABC 的面积是________.解析 由sin B ＝2sin C ，cos A ＝34，A 为△ABC 一内角， 可得b ＝2c ，sin A ＝1－cos 2A ＝74， ∴由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得8＝4c 2＋c 2－3c 2， 解得c ＝2(舍负)，则b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×74＝7. 答案7考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 (a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则A ＝( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A.π2B.π3C.π4D.π6解析 (1)由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. (2)∵(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b )(a －b )＝c (c －b )，即b 2＋c 2－a 2＝bc . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3)因为a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，且S △ABC ＝a 2＋b 2－c24，所以S △ABC ＝2ab cos C 4＝12ab sin C ，所以tan C ＝1.又C ∈(0，π)，故C ＝π4. 答案 (1)75° (2)B (3)C规律方法 1.三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，4sinB ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13B.7C.37D.6(3)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个 B.2个 C.0个 D.无法确定解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为C ∈(0，π)，所以sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，又C ∈(0，π)，得C ＝π6.(2)由2cos 2A ＋B2－cos 2C ＝1，可得2cos 2A ＋B2－1－cos 2C ＝0，则有cos 2C ＋cos C ＝0，即2cos 2C ＋cos C －1＝0， 解得cos C ＝12或cos C ＝－1(舍)， 由4sin B ＝3sin A ，得4b ＝3a ，① 又a －b ＝1，②联立①，②得a ＝4，b ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋9－12＝13，则c ＝13. (3)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个. 答案 (1)B (2)A (3)B 考点二 判断三角形的形状【例2】 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，又B∈(0，π)，所以sin B>0，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.【训练2】若将本例(2)中条件变为“c－a cos B＝(2a－b)cos A”，判断△ABC的形状.解∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.考点三和三角形面积、周长有关的问题多维探究角度1与三角形面积有关的问题【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)由sin A ＋3cos A ＝0及cos A ≠0， 得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.角度2 与三角形周长有关的问题【例3－2】 (2018·上海嘉定区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A .若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________. 解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22，则(b＋c)2≤64，即b＋c≤8(当且仅当b＝c＝4时等号成立)，∴△ABC周长＝a＋b＋c＝4＋b＋c≤12，即最大值为12.答案12规律方法 1.对于面积公式S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2.与面积周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【训练3】(2019·潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A ＝0.(1)求B；(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，sin(A＋B)＋2sin C cos B＝0，又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，∴cos B＝－12，∵0<B<π，∴B＝23π.(2)由余弦定理，得9＝a2＋c2－2ac cos B.∴a2＋c2＋ac＝9，则(a＋c)2－ac＝9.∵a＋b＋c＝3＋23，b＝3，∴a＋c＝23，∴ac＝3，∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×32＝334.[思维升华]1.正弦定理和余弦定理其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.2.在已知关系式中，既含有边又含有角，通常的解题思路是：先将角都化成边或边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在△ABC中，若a2＋b2<c2，由cos C＝a2＋b2－c22ab<0，可知角C为钝角，则△ABC为钝角三角形.[易错防范]1.在利用正弦定理解有关已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论.另外三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象.2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去.答案 D2.在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c2c ，所以2cos 2B2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝a c，所以c 2＝a 2＋b 2.所以△ABC 为直角三角形. 答案 B3.(2019·石家庄一模)在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6，则AC ＋3BC 的最大值为( ) A.7B.27C.37D.47解析 在△ABC 中，AB ＝2，C ＝π6， 则AB sin C ＝BC sin A ＝ACsin B ＝4， 则AC ＋3BC ＝4sin B ＋43sin A＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＋43sin A ＝2cos A ＋63sin A＝47sin(A ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan θ＝39，所以AC ＋3BC 的最大值为47. 答案 D4.(2019·济宁模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝( ) A.2B.3C.4D.6解析 在△ABC 中，A ＝π3，b ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝36＋c 2－6c ，① 又3sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，∴3c 2cos C＝2ab ， 即cos C ＝3c 22ab ＝a 2＋b 2－c22ab ，∴a 2＋36＝4c 2，② 由①②解得c ＝4或c ＝－6(不合题意，舍去).因此c ＝4. 答案 C5.(2018·全国Ⅰ卷改编)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为( ) A.33B.233C.36D.433解析 由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C 及正弦定理， 得2sin B sin C ＝4sin A sin B sin C ， 易知sin B sin C ≠0，∴sin A ＝12. 又b 2＋c 2－a 2＝8，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4bc ，则cos A >0.∴cos A ＝32，即4bc ＝32，则bc ＝833.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×833×12＝233. 答案 B 二、填空题6.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B＝________，c ＝________.解析 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a sin A ＝217， 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴c 2－2c －3＝0，解得c ＝3. 答案217 37.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且B 为锐角，若sin A sin B ＝5c 2b ，sin B ＝74，S △ABC ＝574，则b 的值为________.解析 由sin A sin B ＝5c 2b ⇒a b ＝5c 2b ⇒a ＝52c ，①由S △ABC ＝12ac sin B ＝574且sin B ＝74得12ac ＝5，② 联立①，②得a ＝5，且c ＝2.由sin B ＝74且B 为锐角知cos B ＝34，由余弦定理知b 2＝25＋4－2×5×2×34＝14，b ＝14. 答案148.若不等式k sin 2B ＋sin A sin C >19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________. 解析 由正弦定理得kb 2＋ac >19bc ，即k >19bc －ac b 2，∴k >⎝ ⎛⎭⎪⎫19bc －ac b 2max，因为c <a ＋b ，所以19bc －ac b 2＝（19b －a ）c b 2<（19b －a ）（a ＋b ）b 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －92＋100≤100， 因此k ≥100，即k 的最小值为100. 答案 100 三、解答题9.(2018·北京卷)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17. (1)求∠A ； (2)求AC 边上的高.解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝437.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32.由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2.所以∠A ＝π3. (2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－ab －2b 2＝0. (1)若B ＝π6，求A ，C ； (2)若C ＝2π3，c ＝14，求S △ABC .解 (1)由已知B ＝π6，a 2－ab －2b 2＝0结合正弦定理化简整理得2sin 2A －sin A －1＝0， 于是sin A ＝1或sin A ＝－12(舍). 因为0<A <π，所以A ＝π2， 又A ＋B ＋C ＝π， 所以C ＝π－π2－π6＝π3.(2)由题意及余弦定理可知a 2＋b 2＋ab ＝196，① 由a 2－ab －2b 2＝0得(a ＋b )(a －2b )＝0， 因为a ＋b >0，所以a －2b ＝0，即a ＝2b ，② 联立①②解得b ＝27，a ＝47. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝14 3.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A.4πB.8πC.9πD.36π解析 由题意及正弦定理得2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2(R 为△ABC 的外接圆半径).即2R sin C ＝2. 又cos C ＝223及C ∈(0，π)，知sin C ＝13.∴2R ＝2sin C ＝6，R ＝3.故△ABC 外接圆面积S ＝πR 2＝9π. 答案 C12.(2019·武汉模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( ) A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A .于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.答案 C13.(2019·长春一模)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cosC ，且a ＝23，则△ABC 面积的最大值为________.解析 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A －sin C cos A ＝sin A cos C ，所以12b cos A ＝sin(A ＋C )，所以12b cos A ＝sin B ，所以cos A 2＝sin B b ， 又sin B b ＝sin Aa ，a ＝23，所以cos A 2＝sin A 23，得tan A ＝3，又A ∈(0，π)，则A ＝π3，由余弦定理得(23)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时取等号)， 从而△ABC 面积的最大值为12×12×32＝3 3. 答案 3 314.(2018·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3， 有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27. 因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以，sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.新高考创新预测15.(数学文化)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222.若a 2sin C ＝4sin A ，(a ＋c )2＝12＋b 2，则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为________.解析 根据正弦定理及a 2sin C ＝4sin A ，可得ac ＝4， 由(a ＋c )2＝12＋b 2，可得a 2＋c 2－b 2＝4， 所以S △ABC ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 222＝14×（16－4）＝ 3.答案 3。
第5讲三角函数的图象与性质[基础达标］1．最小正周期为π且图象关于直线x＝错误!对称的函数是（) A．y＝2sin错误!B．y＝2sin错误!C．y＝2sin错误!D．y＝2sin错误!解析：选B。
由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x＝错误!对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A，因为sin错误!＝sin π＝0，所以选项A不正确．对于D，sin错误!＝sin错误!＝错误!,所以D不正确，对于B，sin错误!＝sin错误!＝1，所以选项B正确,故选B。
2．(2019·合肥市第一次教学质量检测)函数y＝sin(ωx＋错误!)在x ＝2处取得最大值,则正数ω的最小值为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析:选D。
由题意得,2ω＋错误!＝错误!＋2kπ（k∈Z)，解得ω＝错误!＋kπ（k∈Z），因为ω〉0，所以当k＝0时，ωmin＝错误!,故选D.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)下列四个函数：y＝sin｜x｜，y＝cos｜x｜，y＝｜tan x|，y＝－ln｜sin x｜，以π为周期,在错误!上单调递减且为偶函数的是（）A．y＝sin｜x｜B．y＝cos｜x|C．y＝｜tan x| D．y＝－ln｜sin x｜解析：选D。
A。
y＝sin｜x|在错误!上单调递增,故A错误；B。
y＝cos|x｜＝cos x周期为T＝2π，故B错误；C。
y＝|tan x｜在错误!上单调递增,故C错误；D。
f(x＋π)＝－ln|sin(x＋π）｜＝－ln|sin x|，周期为π，当x∈错误!时，y＝－ln(sin x）是在错误!上单调递减的偶函数，故D正确，故选D。
4．（2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos（x＋错误!），则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝错误!对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝错误!D．f(x）在(错误!，π）单调递减解析:选D.根据函数解析式可知函数f(x）的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为－2π，A正确；当x＝错误!时,x＋错误!＝3π，所以cos错误!＝－1,所以B正确；f(x＋π）＝cos错误!＝cos错误!，当x＝错误!时，x＋错误!＝错误!，所以f（x＋π)＝0,所以C正确；函数f(x）＝cos错误!在错误!上单调递减，在错误!上单调递增,故D不正确．所以选D.5．若函数f（x）＝sin错误!（ω〉0)在区间(π,2π）内没有最值，则ω的取值范围是（）A．错误!∪错误!B．错误!∪错误!C．错误!D．错误!解析:选B。
1§4.3 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在??????－π 2，π2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴交点等)．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，??????π 2，1，(π，0)，??????3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，??????π 2，0，(π，－1)，??????3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )2对称轴方程 x ＝k π＋π2 x ＝k π 无概念方法微思考1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正 (余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．思考函数f ( x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)由sin ??????π6＋2π3＝sin π6知，2π3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × )(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( √ ) 题组二 教材改编2．函数f (x )＝cos??????2x ＋π4的最小正周期是．答案π3．y＝3sin??????2x－π6在区间??????0，π2上的值域是．答案??????－32，3解析当x∈??????0，π2时，2x－π6∈??????－π6，5π6，sin??????2x－π6∈??????－12，1，故3sin??????2x－π6∈??????－32，3，3即y＝3sin??????2x－π6的值域为??????－32，3. 4．函数y＝－tan??????2x－3π4的单调递减区间为．答案??????π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)解析由－π2＋kπ<2x－3π4<π2＋kπ(k∈Z)，得π8＋kπ2<x<5π8＋kπ2(k∈Z)，所以y＝－tan??????2x－3π4的单调递减区间为??????π8＋kπ2，5π8＋kπ2(k∈Z)．题组三易错自纠5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝π3对称的是( )A．y＝2sin??????2x＋π 3 B．y＝2sin??????2x－π 6C．y＝2sin??????x2＋π 3 D．y＝2sin??????2x－π 3答案 B解析函数y＝2sin??????2x－π6的最小正周期T＝2π2＝π，又sin??????2×π3－π6＝1，∴函数y＝2sin??????2x－π6的图象关于直线x＝π3对称．6．函数f(x)＝4sin??????π3－2x的单调递减区间是．答案??????kπ－π12，kπ＋512π(k∈Z) 解析f(x)＝4sin??????π3－2x＝－4sin??????2x－π 3. 所以要求f(x)的单调递减区间，只需求y＝4sin??????2x－π3的单调递增区间．由－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ(k∈Z)，得－π12＋kπ≤x≤512π＋kπ(k∈Z)．4所以函数f(x)的单调递减区间是??????－π12＋kπ，512π＋kπ(k∈Z)．7．cos23°，sin68°，cos97°的大小关系是．答案 sin68°>cos23°>cos97°解析 sin68°＝cos22°，又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，∴sin68°>cos23°>cos97°.题型一三角函数的定义域1．函数f(x)＝－2tan??????2x＋π6的定义域是( ) A.??????????x???x≠π 6 B.??????????x???x≠－π12 C.??????????x???x≠kπ＋π6?k∈Z? D.??????????x???x≠kπ2＋π6?k∈Z?答案 D解析由正切函数的定义域，得2x＋π6≠kπ＋π2，k∈Z，即x≠kπ2＋π6(k∈Z)，故选D.2．函数y＝sin x－cos x的定义域为．答案??????2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)解析方法一要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为??????????x???2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z. 方法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．5所以定义域为??????????x ???2k π＋π 4≤x ≤2k π＋5π 4，k ∈Z . 3．函数y＝lg(sin x ) ＋cos x －12的定义域为．答案??????????x ???2k π< x ≤2k π＋π3，k ∈Z解析 要使函数有意义，则?????sin x >0，cos x －12≥0，即?????sin x >0，cos x ≥12， 解得?????2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为??????????x ???2k π< x ≤2k π＋π3，k ∈Z . 思维升华三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．题型二 三角函数的值域(最值) 例1 (1)函数y ＝2sin ?? ????πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为()A ．2－3B ． 0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析因为0≤x ≤9，所以－ π3≤πx 6－π3≤7π6，6所以－32≤sin ???? ?πx6－π 3≤1，则－3≤y ≤2.所以y max ＋y min＝2－3.(2)函数y ＝cos2x ＋2cos x 的值域是( ) A ．[－1,3] B.??????－32，3C.??????－32，－1D.??????32，3答案 B解析y＝cos2x＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－1＝2??????cos x＋122－32，因为cos x∈[－1,1]，所以原式的值域为??????－32，3. 思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝sin??????x＋π6，其中x∈??????－π3，a，若f(x)的值域是??????－12，1，则实数a的取值范围是．答案??????π3，π解析∵x∈??????－π3，a，∴x＋π6∈??????－π6，a＋π6，∵当x＋π6∈??????－π6，π2时，f(x)的值域为??????－12，1，∴由函数的图象(图略)知，π2≤a＋π6≤7π6，∴π3≤a≤π. (2)(2018·长沙质检)函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为．答案??????－12－2，17解析设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin x cos x＝1－t22 2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，t∈[－2，2]．．当t＝1时，y max＝1；当t＝－2时，y min＝－12－2.∴函数的值域为??????－12－2，1. 题型三三角函数的周期性与对称性例2 (1)若函数f(x)＝2tan??????kx＋π3的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k 的值为________．．答案 2或3解析由题意得1<πk<2，k∈N，∴π2<k<π，k∈N，∴k＝2或3.(2)(2018·武汉模拟)若函数y＝cos??????ωx＋π6(ω∈N*)图象的一个对称中心是??????π6，0，则ω的最小值为___________．．答案 2解析由题意知ωπ6＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.思维升华 (1)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(2)求三角函数周期的方法①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.跟踪训练2 (1)函数y＝2sin??????2x＋π3的图象( ) A．关于原点对称8B．关于点??????－π6，0对称C．关于y轴对称D．关于直线x＝π6对称答案 B解析∵当x＝－π6时，函数y＝2sin??????－π6×2＋π3＝0，∴函数图象关于点??????－π6，0对称．(2)若直线x＝54π和x＝94π是函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为( ) A.34πB.π2C.π3D.π 4答案 A解析由题意，函数的周期T＝2×??????94π－54π＝2π，∴ω＝2πT＝1，∴y ＝cos(x＋φ)，当x＝54π时，函数取得最大值或最小值，即cos??????54π＋φ＝±1，可得54π＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－54π，k∈Z.当k＝2时，可得φ＝34π.题型四三角函数的单调性命题点1 求三角函数的单调区间例3(1)函数f(x)＝sin??????－2x＋π3的单调递减区间为．答案??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)解析f(x)＝sin??????－2x＋π3＝sin??????－??????2x－π 3＝－sin??????2x－π3，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.故所求函数的单调递减区间为9??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．(2)函数f(x)＝tan??????2x＋π3的单调递增区间是．答案??????kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)解析由kπ－π2<2x＋π3<kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－5π12<x<kπ2＋π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan??????2x＋π3的单调递增区间为??????kπ2－5π12，kπ2＋π12(k∈Z)．(3)函数y＝12sin x＋32cos x??????x∈??????0，π2的单调递增区间是．答案??????0，π6解析∵y＝12sin x＋32cos x＝sin??????x＋π3，由2kπ－π2≤x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得2kπ－5π6≤x≤2kπ＋π6(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为??????2kπ－5π6，2kπ＋π6(k∈Z)，又x∈??????0，π2，∴函数的单调递增区间为??????0，π6.命题点2 根据单调性求参数例4已知ω>0，函数f(x)＝sin??????ωx＋π4在??????π2，π上单调递减，则ω的取值范围是．答案??????12，54解析由π2<x<π，ω>0，得ωπ2＋π4<ωx＋π4<ωπ＋π4，又y＝sin x的单调递减区间为??????2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，所以?????ωπ2＋π4≥π2＋2kπ，ωπ＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，10解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z.又由4k＋12－??????2k＋54≤0，k∈Z且2k＋54>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈??????12，54.引申探究本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos??????ωx＋π4在??????π2，π上单调递增，则ω的取值范围是．答案??????32，74解析函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则?????ωπ2＋π4≥－π＋2kπ，ωπ＋π4≤2kπ，k∈Z，解得4k－52≤ω≤2k－14，k∈Z，又由4k－52－??????2k－14≤0，k∈Z且2k－14>0，k∈Z，得k＝1，所以ω∈??????32，74. 思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝2sin??????π4－2x，则函数f(x)的单调递减区间为( )A.??????3π8＋2kπ，7π8＋2kπ(k∈Z)B.??????－π8＋2kπ，3π8＋2kπ(k∈Z)C.??????3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)D.??????－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z) 答案 D解析函数的解析式可化为f(x)＝－2sin??????2x－π 4.11由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为??????－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)．(2)(2018·武汉联考)若函数g(x)＝sin??????2x＋π6在区间??????0，a3和??????4a，7π6上均单调递增，则实数a的取值范围是．答案??????π6，7π24解析由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，可得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴g(x)的单调递增区间为??????kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．又∵函数g(x)在区间??????0，a3和??????4a，7π6上均单调递增，∴?????a3≤π6，4a≥2π3，4a<7π6，解得π6≤a<7π24.三角函数的图象与性质纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．例(1)在函数①y＝cos|2x|；②y＝|cos x|；③y＝cos??????2x＋π6；④y＝tan??????2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A．①②③ B．①③④C．②④ D．①③答案 A解析①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；12③y＝cos??????2x＋π6的最小正周期T＝2π2＝π；④y＝tan??????2x－π4的最小正周期T＝π2，故选A. (2)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos??????x＋π3，则下列结论错误的是( )A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝π 6D．f(x)在??????π2，π上单调递减答案 D解析 A项，因为f(x)＝cos??????x＋π3的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；B项，因为f(x)＝cos??????x＋π3的图象的对称轴为直线x＝kπ－π3(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝8π3对称，B项正确；C项，f(x＋π)＝cos??????x＋4π 3.令x＋4π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ－5π6(k∈Z)，当k＝1时，x＝π6，所以f(x＋π)的一个零点为x＝π6，C项正确；D项，因为f(x)＝cos??????x＋π3的单调递减区间为??????2kπ－π3，2kπ＋2π3(k∈Z)，单调递增区间为??????2kπ＋2π3，2kπ＋5π3(k∈Z)，所以??????π2，2π3是f(x)的单调递减区间，??????2π3，π是f(x)的单调递增区间，D项错误．故选D.(3)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为．答案??????2k－14，2k＋34，k∈Z13解析由图象知，周期T＝2×??????54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝π4，∴f(x)＝cos??????πx＋π 4.由2kπ<πx＋π4<2kπ＋π，k∈Z，得2k－14<x<2k＋34，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为??????2k－14，2k＋34，k∈Z.(4)设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间??????π6，π2上具有单调性，且f??????π2＝f??????2π3＝－f??????π6，则f(x)的最小正周期为．答案π解析记f(x)的最小正周期为T.由题意知T2≥π2－π6＝π3，又f??????π2＝f??????2π3＝－f??????π6，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x1＝??????π2＋π6×12＝π3，x2＝??????π2＋2π3×12＝7π12，∴T4＝x2－x1＝7π12－π3＝π4，∴T＝π.1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为( )14A．y＝sin|x| B．y＝cos|x| C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0答案 B解析∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．2．函数f(x)＝sin??????2x－π4在区间??????0，π2上的最小值为( ) A．－1 B．－22C.22 D．0答案 B解析由已知x∈??????0，π2，得2x－π4∈??????－π4，3π4，所以sin??????2x－π4∈??????－22，1，故函数f(x)＝sin??????2x－π4在区间??????0，π2上的最小值为－22.故选B.3．函数y＝sin x2的图象是()答案 D解析函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝π2时函数取得最大值，排除B，故选D. 4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( ) A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2答案 D解析y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x15＝－sin2x－2sin x＋1，令t＝sin x，则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，所以y max＝2，y min＝－2.5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)??????|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f(x)图象的一个对称中心是( )A.??????－π3，0B.??????－π6，0C.??????π6，0D.??????π12，0答案 B解析函数f(x)＝2sin(2x＋φ)??????|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f(0)＝2sinφ＝3，∴sinφ＝32，又|φ|<π2，∴φ＝π3，则f(x)＝2sin??????2x＋π3，令2x＋π3＝kπ(k∈Z)，则x＝kπ2－π6(k∈Z)，当k＝0时，x＝－π6，∴??????－π6，0是函数f(x)的图象的一个对称中心．6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤??????f??????π4对任意x∈R恒成立，且f??????π6>0，则f(x)的单调递减区间是( ) A.??????kπ，kπ＋π4(k∈Z) B.??????kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z) C.??????kπ＋π4，kπ＋3π4(k∈Z) D.??????kπ－π2，kπ(k∈Z) 答案 C解析由题意可得函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π4对称，故有2×π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z.又f??????π6＝sin??????π3＋φ>0，所以φ＝2nπ，n∈Z，所以f(x)＝sin(2x＋2nπ)＝sin2x.令2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2，k∈Z，求得kπ＋π4≤x≤kπ＋3π4，16k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为??????kπ＋π4，kπ＋3π4，k∈Z. 7．函数y＝1tan??????x－π4的定义域为．答案??????????x???x≠kπ2＋π4，k∈Z解析要使函数有意义必须有tan??????x－π4≠0，则?????x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，x－π4≠kπ，k∈Z.所以x－π4≠kπ2，k∈Z，所以x≠kπ2＋π4，k∈Z，所以原函数的定义域为??????????x???x≠kπ2＋π4，k∈Z. 8．(2018·珠海模拟)设函数f(x)＝3sin??????π2x＋π4，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为．答案 2解析 |x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.9．已知函数f(x)＝2sin??????ωx－π6＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为．答案 6π 5解析由函数f(x)＝2sin??????ωx－π6＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－π6＝kπ＋π2，k∈Z，∴ω＝k＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴得函数f(x)的最小正周期为2π53＝6π 5.1710．已知函数f(x)＝??????tan??????12x－π6，则下列说法正确的是．(填序号)①f(x)的周期是π2；②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；③直线x＝5π3是函数f(x)图象的一条对称轴；④f(x)的单调递减区间是??????2kπ－2π3，2kπ＋π3，k∈Z. 答案④解析函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝5π3时，12x－π6＝2π3≠kπ2，k∈Z，∴x＝5π3不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－π2<12x－π6≤kπ，k∈Z，可得2kπ－2π3<x≤2kπ＋π3，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是??????2kπ－2π3，2kπ＋π3，k∈Z，④正确．11．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos??????2x－π3－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈??????－π4，π4时，f(x)≥－12. (1)解f(x)＝32cos2x ＋32sin2x－sin2x＝12sin2x＋32cos2x＝sin??????2x＋π3.所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π. (2)证明因为－π4≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π3≤5π6.所以sin??????2x＋π3≥sin??????－π6＝－12.所以当x∈??????－π4，π4时，f(x)≥－12.12．(2018·天津河西区模拟)已知函数f(x)＝2cos2x－cos??????2x＋π3－1.(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；18(2)讨论函数f(x)在??????－π4，π4上的单调性．解 (1)f(x)＝2cos2x－cos??????2x＋π3－1＝cos2x－12cos2x＋32sin2x＝sin??????2x＋π6，因为ω＝2，所以最小正周期T＝2πω＝π，令2x＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，所以对称轴方程为x＝π6＋kπ2，k∈Z.(2)令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，设A＝??????－π4，π4，B＝????????x???－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝??????－π4，π6，所以，当x∈??????－π4，π4时，f(x)在区间??????－π4，π6上单调递增；在区间??????π6，π4上单调递减．13．(2018·湖南衡阳八中月考)定义运算：a*b＝?????a，a≤b，b，a>b.例如1*2，则函数f(x)=sin x*cos x的值域为( )A.??????－22，22 B[－1,1] C.??????22，1 D.??????－1，22答案 D解析根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可，设x∈[0,2π]，当π4≤x≤5π4时，sin x≥cos x，此时f(x)＝cos x，f(x)∈??????－1，22，当0≤x<π4．19或5π4<x≤2π时，cos x>sin x，此时f(x)＝sin x，f(x)∈??????0，22∪[－1,0]．综上知f(x)的值域为??????－1，22. 14．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1??????ω>0，|φ|<π2，其图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f(x)>1对任意x∈??????－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( )A.??????－π6，π6B.??????－π4，0C.??????－π3，－π12D.??????0，π4答案 B解析由题意可得函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y＝3相邻两个交点的距离为2π3，∴f(x)的周期T＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f(x)＝2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)>1对任意x∈??????－π12，π6恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1>1，即cos(3x＋φ)>0对任意x∈??????－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2kπ－π2且π2＋φ≤2kπ＋π2，k∈Z，解得φ≥2kπ－π4且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－π4≤φ≤2kπ，k ∈Z.结合|φ|<π2可得，当k＝0时，φ的取值范围为??????－π4，0.15．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)??????0≤θ≤π2在??????－3π8，－π6上单调递增，若f??????π4≤m恒成立，则实数m的取值范围为．答案 [0，＋∞)解析f(x)＝cos(2x＋θ)??????0≤θ≤π2，当x∈??????－3π8，－π6时，－3π4＋θ≤2x＋θ≤－π3＋θ，?????－π由函数f(x)在??????－3π8，－π6上是增函数得＋2kπ≤－3π4＋θ，－π3＋θ≤2kπ，k∈Z，则2kπ－π4≤θ≤2kπ＋π3(k∈Z)．20又0≤θ≤π2，∴0≤θ≤π3，∵f??????π4＝cos??????π2＋θ，又π2≤θ＋π2≤5π6，∴f??????π4max＝0，∴m≥0.16．设函数f(x)＝2sin??????2ωx－π6＋m的图象关于直线x＝π对称，其中0<ω<12.(1)求函数f(x)的最小正周期．(2)若函数y＝f(x)的图象过点(π，0)，求函数f(x)在??????0，3π2上的值域．解 (1)由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin??????2ωπ－π6＝±1，∴2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即ω＝k2＋13(k∈Z)．又0<ω<12，∴ω＝13，∴函数f(x)的最小正周期为3π.(2)由(1)知f(x)＝2sin??????23x－π6＋m，∵f(π)＝0，∴2sin??????2π3－π6＋m＝0，∴m＝－2，∴f(x)＝2sin??????23x－π6－2，当0≤x≤3π2时，－π6≤23x－π6≤5π6，－12≤sin??????23x－π6≤1.∴－3≤f(x)≤0，故函数f(x)在??????0，3π2上的值域为[]－3，0.21。
第7节 解三角形的实际应用考试要求 能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知 识 梳 理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( ) 解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.(必修5P11例1改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522 m解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，又∵∠ABC ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin ∠ABC＝50×2212＝502(m).答案 A3.(必修5P15练习T3改编)如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一条直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形， AD ＝3a ，所以在Rt △ADB 中，AB ＝12AD ＝32a .答案32a4.(2018·济南月考)如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°解析 由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°， 又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 答案 D5.(2017·浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S 6，S 6＝________.解析 如图，连接正六边形的对角线，将正六边形分成六个边长为1的正三角形，从而S 6＝6×12×12×sin 60°＝332.答案3326.(2019·天津和平区调研)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________.解析 因为sin ∠BAC ＝223，且AD ⊥AC ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BAD ＝223，所以cos ∠BAD ＝223，在△BAD 中，由余弦定理， 得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝（32）2＋32－2×32×3×223＝ 3. 答案3考点一 求距离、高度问题 多维探究角度1 测量高度问题【例1－1】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m). 答案 100 6规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.【训练1】 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( )A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°， 所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°， AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 答案 D角度2 测量距离问题【例1－2】 如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC ，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登，已知∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰？(即从B 点出发到达C 点)解 在△ABD 中，由题意知，∠ADB ＝∠BAD ＝30°， 所以AB ＝BD ＝1 km ，因为∠ABD ＝120°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin ∠ABD，解得AD＝ 3 km ， 在△ACD 中，由AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 150°， 得9＝3＋CD 2＋23×32CD ，即CD 2＋3CD －6＝0，解得CD ＝33－32 km ，BC ＝BD ＋CD ＝33－12km ， 两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500米， 即2.5千米，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【训练2】 海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析 设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°. 由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°， 整理，得36x 2－9x －10＝0， 解得x ＝23或x ＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时. 答案 23考点二 测量角度问题【例2】 已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇.岛A 处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？ ⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：sin 38°≈5314，sin 22°＝3314解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x海里，则BC＝0.5x，AC＝5，依题意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝AC·sin∠BACBC＝5×327＝5314，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.规律方法 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD＝2010 m，AC＝30 5 m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 B考点三 正(余)弦定理在平面几何中的应用【例3】 (2019·洛阳二模)如图，已知扇形的圆心角∠AOB ＝2π3，半径为42，若点C 是AB ︵上的一动点(不与点A ，B 重合).(1)若弦BC ＝4(3－1)，求BC ︵的长； (2)求四边形OACB 面积的最大值.解 (1)在△OBC 中，BC ＝4(3－1)，OB ＝OC ＝42，所以由余弦定理得cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝32，所以∠BOC ＝π6，于是BC ︵的长为π6·42＝223π.(2)设∠AOC ＝θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，则∠BOC ＝2π3－θ，S 四边形OACB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×42×42sin θ＋12×42×42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝24sin θ＋83cos θ＝163sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，由于θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，当θ＝π3时，四边形OACB 的面积取得最大值16 3.规律方法 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果，求解时要灵活利用平面几何的性质，将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.【训练4】 (2019·临沂检测)如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值； (2)求CD 的长.解 (1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE＝CEsin B ，因为B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7， 所以sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)因为∠CED ＝B ＝2π3，所以∠DEA ＝∠BCE ， 所以cos ∠DEA ＝1－sin 2∠DEA ＝1－sin 2∠BCE ＝1－328＝5714.因为A ＝π2，所以△AED 为直角三角形，又AE ＝5， 所以ED ＝AE cos ∠DEA ＝55714＝27.在△CED 中，CD 2＝CE 2＋DE 2－2CE ·DE ·cos ∠CED ＝7＋28－2×7×27×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49.所以CD ＝7.[思维升华]利用解三角形解决实际问题时：(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义.[易错防范]在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C 两点之间的距离为()A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°，∴AC＝22×32＝6(km).答案 A2.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③解析对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离.答案 D3.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A.102海里B.103海里C.203海里D.202海里 解析 如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°， 解得BC ＝102(海里). 答案 A4.(2019·深圳模拟)一架直升飞机在200 m 高度处进行测绘，测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 mC.20033 mD.2003 m解析 如图所示.在Rt △ACD 中可得CD ＝20033＝BE ， 在△ABE 中，由正弦定理得AB sin 30°＝BEsin 60°，则AB ＝2003，所以DE ＝BC ＝200－2003＝4003(m). 答案 A5.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m). 答案 C 二、填空题6.如图，在△ABC 中，B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC＝3，则AB ＝________.解析 在△ACD 中，由余弦定理可得 cos C ＝49＋9－252×7×3＝1114，则sin C ＝5314.在△ABC 中，由正弦定理可得AB sin C ＝ACsin B ， 则AB ＝AC sin C sin B ＝7×531422＝562.答案5627.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.解析连接OC，由题意知CD＝150米，OD＝100米，∠CDO＝60°.在△COD中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°，即OC＝507.答案5078.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________.解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800⇒BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21 7.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.答案21 14三、解答题9.如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为多少米？(取2＝1.4，3＝1.7)解 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，所以∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21 000(m).又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB，所以BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2).因为CD ⊥AD ，所以CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1) ≈7 350(m).故山顶的海拔高度为10 000－7 350＝2 650(m).10.在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长. 解 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90， 所以a ＝310.又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010， 由题设知0<B <π4， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，因为AD ＝BD ，所以∠ABD ＝∠BAD ，所以∠ADB ＝π－2B . 由正弦定理，得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B ＝10.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米.A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为( )A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米解析 由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420(米).在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC.可得CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(米).答案 B12.(2019·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.解析 依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案 0.613.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2.解析 如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°， 由AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ， 得AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC＝32－62，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2).答案6－3414.如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD＝2π3，求CD的长.解(1)∵AD∶AB＝2∶3，∴可设AD＝2k，AB＝3k(k>0).又BD＝7，∠DAB＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2k cos π3，解得k＝1，∴AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝AD sin∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB⊥BC，∴cos∠DBC＝sin∠ABD＝21 7，∴sin∠DBC＝277，∴BDsin∠BCD＝CDsin∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
1高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题题型一三角函数的图象和性质例1(2016·山东)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g??????π6的值．解 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2＝23sin2x－(1－2sin x cos x) ＝3(1－cos2x)＋sin2x－1 ＝sin2x－3cos2x＋3－1 ＝2sin??????2x－π3＋3－1. 由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间是??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)??????或??????kπ－π12，kπ＋5π12?k∈Z?.(2)由(1)知f(x)＝2sin??????2x－π3＋3－1，把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sin??????x－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sin x＋3－1的图象，即g(x)＝2sin x＋3－1.所以g??????π6＝2sinπ6＋3－1＝3. 思维升华三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t ＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝5sin x cos x－53cos2x＋532(其中x∈R)，求：2(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．解 (1)因为f(x)＝52sin2x－532(1＋cos2x)＋532＝5??????12sin2x－32cos2x＝5sin??????2x－π3，所以函数的最小正周期T＝2π2＝π. (2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为??????kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为??????kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z)．(3)由2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z)．由2x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为??????kπ2＋π6，0(k∈Z)．题型二解三角形例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；3(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．解 (1)∵sin A＋3cos A＝0，∴tan A＝－3，又0<A<π，∴A＝2π3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即28＝4＋c2－2×2c×??????－12，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c2＝a2＋b2－2ab cos C，∴16＝28＋4－2×27×2×cos C，∴cos C＝27，∴CD＝AC cos C＝227＝7，∴CD＝12BC，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×4×2×32＝23，∴S△ABD＝12S△ABC＝3.思维升华根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.(1)求sin C的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sin C＝c sin Aa＝37×32＝3314. (2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×8×3×32＝63.4题型三三角函数和解三角形的综合应用例3(2018·南通考试)如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF<BE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米)．(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值．解 (1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝π2，∠FEM＝θ，所以EF＝2sinθ，ME＝2tanθ，故AF＝BM＝EF－EM＝2sinθ－2tanθ，所以f(θ)＝12(AF＋BE)×AB＝12×??????2sinθ－2tanθ＋2sinθ×2＝4sinθ－2tanθ，由题意可知，AF<BE，所以θ<π2，且当点E重合于点C时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝π4，所以函数f(θ)＝4sinθ－2tanθ的定义域为??????π4，π 2.(2)由(1)可知，5f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝4??????sin2θ2＋cos2θ22sinθ2cosθ2－22tanθ21－tan2θ2＝2????????tanθ2＋1tanθ2－????????1tanθ2－tanθ2＝3tanθ2＋1tanθ2≥23tanθ2·1tanθ2＝23，当且仅当3tanθ2＝1tanθ2时，等号成立，又θ∈??????π4，π2，θ2∈??????π8，π4，故当tanθ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π3时，四边形ABEF的面积最小，此时BE＝2sinθ＝433，AF＝2sinθ－2tanθ＝233，f(θ)＝4sinθ－2tanθ＝23.答当BE，AF的长度分别为433米，233米时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，最小值为23平方米．思维升华三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin B－b cos C＝c cos B.(1)判断△ABC的形状；(2)若f(x)＝12cos2x－23cos x＋12，求f(A)的取值范围．解 (1)因为a sin B－b cos C＝c cos B，由正弦定理可得sin A sin B－sin B cos C＝sin C cos B. 即sin A sin B＝sin C cos B＋cos C sin B，所以sin(C＋B)＝sin A sin B.因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin A＝sin A sin B，又sin A≠0，所以sin B＝1，B＝π2，所以△ABC为直角三角形．6(2)因为f(x)＝12cos2x－23cos x＋12＝cos2x－23cos x＝??????cos x－132－19，所以f(A)＝??????cos A－132－19，因为△ABC是直角三角形，所以0<A<π2，且0<cos A<1，所以当cos A＝13时，f(A)有最小值－19.所以f(A)的取值范围是??????－19，13.1.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)??????A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R的部分图象如图．(1)求函数f(x)的解析式．(2)求函数f(x)在区间??????0，5π12上的最值，并求出相应的x值．解 (1)由题干图象可知|A|＝2，又A>0，故A＝2.周期T＝43×??????13π12－π3＝43×3π4＝π，又T＝2πω＝π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，由题干图象知f??????π3＝2sin??????2π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，φ＝－π6＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π2，∴φ＝－π6，故f(x)＝2sin??????2x－π 6.7(2)∵x∈??????0，5π12，∴2x－π6∈??????－π6，2π3，∴sin??????2x－π6∈??????－12，1，2sin??????2x－π6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f??????π3＝2. 当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.2．(2018·天津联考)设函数f(x)＝2tan x4·cos2x4－2cos2??????x4＋π12＋1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期．(2)求f(x)在[－π，0]上的最值．解 (1)f(x)＝2sin x4cos x4－cos??????x2＋π 6＝sin x2－cos??????x2＋π6＝sin x2－32cos x2＋12sin x 2＝3sin??????x2－π6. 由x4≠π2＋kπ(k∈Z)，得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，故f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π. (2)∵－π≤x≤0，∴－2π3≤x2－π6≤－π6.∴当x2－π6∈??????－2π3，－π2，即x∈??????－π，－2π3时，f(x)单调递减，当x2－π6∈??????－π2，－π6，即x∈??????－2π3，0时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f??????－2π3＝－3，8又f(0)＝－32，f(－π)＝－32，∴f(x)max＝f(0)＝－32. 3.已知函数f(x)＝sin??????ωx＋π6＋sin??????ωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f(x)的单调递增区间．解 (1)f(x)＝3sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1) ＝2 ??????32sinωx－12cosωx－1＝2sin??????ωx－π6－1.由－1≤sin??????ωx－π6≤1，得－3≤2sin??????ωx－π6－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．．(2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin??????2x－π6－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调递增区间为??????kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．4．已知点P(3，1)，Q(cos x，sin x)，O为坐标原点，函数f(x)＝OP→·QP→. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若A为△ABC的内角，f(A)＝4，BC＝3，求△ABC周长的最大值．解 (1)由已知，得OP→＝(3，1)，QP→＝(3－cos x,1－sin x)，所以f(x)＝OP→·QP→＝3－3cos x＋1－sin x＝4－2sin??????x＋π3，9所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)＝4，所以sin??????A＋π3＝0，又0<A<π，所以π3<A＋π3<4π3，A＝2π 3.因为BC＝3，所以由正弦定理，得AC＝23sin B，AB＝23sin C，所以△ABC的周长为3＋23sin B＋23sin C＝3＋23sin B＋23sin??????π3－B＝3＋23sin?????B＋π 3. 因为0<B<π3，所以π3<B＋π3<2π3，所以当B＋π3＝π2，即B＝π6时，△ABC的周长取得最大值，最大值为3＋2 3.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝17，AD＝1292，求△ABC的面积．解 (1)a cos C＋3a sin C－b－c＝0，由正弦定理得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C，即sin A cos C＋3sin A sin C＝sin(A＋C)＋sin C，亦即sin A cos C＋3sin A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin C，则3sin A sin C－cos A sin C＝sin C.又sin C≠0，所以3sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝12.在△ABC中，0°<A<180°，则－30°<A－30°<150°，10所以A－30°＝30°，得A＝60°.(2)在△ABC中，因为cos B＝17，所以sin B＝437.所以sin C＝sin(A＋B)＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理，得a c＝sin A sin C＝75.设a＝7x，c＝5x(x>0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B，即1294＝25x2＋14×49x2－2×5x×12×7x×17，解得x＝1(负值舍去)，所以a＝7，c＝5，故S△ABC＝12ac sin B＝103.6．已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0)．(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间??? ???0，π2上有且只有一个零点，求实数k的取值范围．解 (1)f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＋t＝2sin??????2ωx＋π6＋t，f(x)的最小正周期为2π2ω＝π2，∴ω＝2，∵f(x)的图象过点(0,0)，∴2sinπ6＋t＝0，∴t＝－1，即f(x)＝2sin??????4x＋π6－1. 令2kπ－π2≤4x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，求得kπ2－π6≤x≤kπ2＋π12，k∈Z，11故f(x)的单调增区间为??????kπ2－π6，kπ2＋π12，k∈Z. (2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，可得y＝2sin??????4x－π2＋π6－1＝2sin??????4x－π3－1的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)＝2sin??????2x－π3－1的图象．∵x∈??????0，π2，∴2x－π3∈??????－π3，2π3，∴sin??????2x－π3∈??????－32，1，故g(x)＝2sin??????2x－π3－1在区间??????0，π2上的值域为[]－3－1，1.若函数F(x)＝g(x)＋k在区间??????0，π2上有且只有一个零点，由题意可知，函数g(x)＝2sin??????2x－π3－1的图象和直线y＝－k有且只有一个交点，根据图象(图略)可知，k＝－1或1－3<k≤3＋1. 故实数k的取值范围是{－1}∪(1－3，3＋1]．．。
§4.5 简单的三角恒等变换最新考纲 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β))2．二倍角公式 sin2α＝2sin αcos α；cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan2α＝2tan α1－tan 2α. 概念方法微思考1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k ·π2(k ∈Z )时的特殊情形．2．怎样研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 函数的性质？提示 先根据辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)，将f (x )化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再结合图象研究函数的性质．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( √ ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( × ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × ) 题组二 教材改编2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－210B.210C ．－7210D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210. 3．sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝. 答案22解析 sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58° ＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58° ＝sin58°cos77°＋cos58°sin77° ＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22. 4．tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝. 答案3解析 ∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°) ＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 题组三 易错自纠5.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝________.答案 12解析 原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.6．化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝________.答案2解析 原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝ 2. 7．(2018·烟台模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，则tan2θ＝.答案 －247解析 方法一 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，得sin θ－cos θ＝15，① θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，①平方得2sin θcos θ＝2425，可求得sin θ＋cos θ＝75，∴sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝43，tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 方法二 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝210，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝7210，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝17＝tan θ－11＋tan θ，∴tan θ＝43. 故tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－247. 8．化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝________.答案 4sin α 解析2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一 和差公式的直接应用1．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429答案 A解析 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141 D ．1答案 D解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3．(2018·青岛调研)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211B.211C.112D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34，又tan β＝－12，∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－211.4．计算sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°的值为． 答案 12解析sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二 和差公式的灵活应用命题点1 角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝. 答案2525解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， 因为sin(α＋β)＝35<sin α且α＋β>α，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( )A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225答案 B解析 因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425，故选B.命题点2 三角函数式的变换例2(1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ (0<θ<π)；(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°.解 (1)由θ∈(0，π)，得0<θ2<π2，∴cos θ2>0，∴2＋2cos θ＝4cos2θ2＝2cos θ2. 又(1＋sin θ＋cos θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝2cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2＝－2cos θ2cos θ，故原式＝－2cos θ2cos θ2cosθ2＝－cos θ.(2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10° ＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.引申探究化简：(1＋sin θ－cos θ)⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22－2cos θ (0<θ<π)．解 ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴2－2cos θ＝2sin θ2，又1＋sin θ－cos θ＝2sin θ2cos θ2＋2sin 2θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2，∴原式＝2sin θ2⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22sinθ2＝－cos θ.命题点3 公式的逆用与变形例3(1)已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝.答案 －5972解析 ∵sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，∴(sin α＋cos β)2＝19，(sin β－cos α)2＝14，即sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＝19，①sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝14.②①＋②得sin 2α＋2sin αcos β＋cos 2β＋sin 2β－2sin βcos α＋cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋(cos 2β＋sin 2β)＋2(sin αcos β－sin βcos α)＝1＋1＋2sin(α－β)＝2＋2sin(α－β)＝1336，则sin(α－β)＝－5972.(2)已知α－β＝π3，tan α－tan β＝3，则cos(α＋β)的值为．答案33－12解析 ∵tan α－tan β＝sin αcos α－sin βcos β＝sin (α－β)cos αcos β＝3，且α－β＝π3，∴cos αcos β＝36，又cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12，∴sin αsin β＝12－36，那么cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝33－12. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．跟踪训练 (1)计算：cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝.(用数字作答)答案 2解析cos10°－3cos (－100°)1－sin10°＝cos10°＋3cos80°1－cos80°＝cos10°＋3sin10°2·sin40°＝2sin (10°＋30°)2·sin40°＝ 2.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝.答案32解析 由已知可得sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32. (3)若3sin x ＋cos x ＝23，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝.答案 ±24解析 由3sin x ＋cos x ＝23，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±223，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝±24.用联系的观点进行三角变换三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系．变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的．例(1)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为．答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0， ∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.(2)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为． 答案 2解析 原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28° ＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28° ＝1＋1＝2.(3)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝.答案 －75解析cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴原式＝－75.1．sin20°cos10°－cos160°sin10°等于( )A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin30°＝12. 2．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35D.35 答案 C解析 因为α是第二象限角，且tan α＝－13， 所以sin α＝1010，cos α＝－31010， 所以sin2α＝2sin αcos α＝2×1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－35， 故选C. 3．(2018·成都模拟)若sin α＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α等于( ) A.225B ．－225 C.425D ．－425答案 A解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225. 4．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731答案 D解析 由题意得cos α＝－45，则sin2α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan2α＝－247，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋tan π41－tan2αtan π4＝－247＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－247×1＝－1731.5．已知α为锐角，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.26＋16 B.3－28C.3＋28 D.23－16答案 A解析 由于α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16，故选A.6．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值为() A ．－12B.12C ．－13D.2327答案 D解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79， 所以sin2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 7．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α 答案 B解析 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16>0，∴π4<α<π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3， ∴α＋β＝π3，又α>π4，∴β<π4<α. 8．(2018·新疆乌鲁木齐诊断)2cos10°－sin20°sin70°的值是． 答案 3 解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°cos20°＋sin30°sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3. 9.sin10°1－3tan10°＝.答案 14解析 sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°4sin (30°－10°)＝14. 10．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝. 答案 1718解析 由sin α＋cos α＝13，两边平方得1＋sin2α＝19， 解得sin2α＝－89， 所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 11．(2018·河南八市质检)化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝. 答案 12解析 原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·12·sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12·sin2αcos2α＝12. 12．(2018·吉林模拟)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝. 答案 7210解析 依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.又β是第三象限角，所以cos β＝－45.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝－sin βcos π4－cos βsin π4＝35×22＋45×22＝7210.13．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为() A ．－118B.118C ．－1718D.1718答案 C解析 由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知，cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.故选C.14．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为．答案 58解析 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14.所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22 ＝116＋916＝58.15．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos10°－1sin170°·cos15°＋sin15°cos15°－sin15°＝. 答案 －4 3解析 原式＝3sin10°－cos10°cos10°sin10°·1＋tan15°1－tan15°＝2sin (10°－30°)12sin20°·tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15° ＝－4·tan(45°＋15°)＝－4 3.16．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62，sin(α－β)＝－35，求sin β的值． 解 由sin α2＋cos α2＝62，平方可得sin α＝12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－32. 又∵－π2<α－β<π2，sin(α－β)＝－35， ∴cos(α－β)＝45. 故sin β＝sin []α－(α－β)＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝12×45－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝4－3310.。
第练高考大题突破练—三角函数与解三角形[基础保分练]．(·安徽省皖中名校联考)在△中，，，分别是内角，，所对的边，且满足＋＝. ()求角的值；()若＝，边上的中线＝，求△的面积．．(·河北衡水中学调研)已知函数()＝－.()求()的单调递增区间；()求()在区间[－π，]上的最小值．．已知函数()＝－＋，∈(，π)．()求()的单调递增区间；()设△为锐角三角形，角所对边＝，角所对边＝，若()＝，求△的面积．[能力提升练].函数()＝(π＋φ)的部分图象如图所示．()求φ及图中的值；()设()＝()＋，求函数()在区间上的最大值和最小值．答案精析基础保分练．解()∵＋＝，由正弦定理得，＋＝，即·＋·(－＋)＝，从而(＋)－·＝，即－·＝，又在△中，>°<<°，故＝，得＝°.()由＝(＋)，得＝(＋＋···°)，从而＝或＝－(舍)，故△＝·＝×××°＝.．解()()＝－＝－·＝＋－＝－，由π－≤＋≤π＋(∈)，得π－≤≤π＋(∈)．则()的单递递增区间为(∈)．()因为－π≤≤，所以－≤＋≤，当＋＝－，即＝－时，()＝－－.．解()函数()＝－＋＝＋，∈(，π)．由π－π≤≤π，∈，解得π－≤≤π，∈.＝时，π≤≤π，可得()的单调递增区间为.()∵△为锐角三角形，角所对边＝，角所对边＝，()＝，即有＋＝，解得＝，即＝.由余弦定理可得＝＋－，化为－＋＝，解得＝或，若＝，则＝<，即有为钝角，＝不成立，则＝，△的面积为＝＝×××＝.．解()∵图象过点，∴φ＝，又<φ<，∴φ＝，由＝，得＝或＝－＋，∈，又()的周期为，结合图象知<<，∴＝.()由题意可得()＝，＝＝＝－π，∴()＝()＋＝－π＝π－π－π＝π－π－π＝π－π＝，∵∈，∴－≤π＋≤，∴当π＋＝，即＝－时，()取得最大值，当π＋＝，即＝时，()取得最小值－.。
微专题五 三角函数问题的多解探究
[解题技法]
三角函数是高中数学的重要内容，是每年高考的必考知识点，也是与其它知识交汇频率较高的知识点，它与数列、向量、方程、不等式、解析几何等知识紧密联系，历来倍受各级各类命题者的青睐．
题目 已知3cos x ＋4sin x ＝5，求tan x 的值．
解 方法一 构造方程
由3cos x ＋4sin x ＝5两边平方，得
9cos 2x ＋24sin x cos x ＋16sin 2x ＝25.
而25＝25(sin 2x ＋cos 2x )，
所以上式可整理为9sin 2x －24sin x cos x ＋16cos 2x ＝0.
即(3sin x －4cos x )2＝0.
所以3sin x －4cos x ＝0，解得tan x ＝43
. 方法二 构造方程组
由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x ＋cos 2x ＝1，3cos x ＋4sin x ＝5，
消去cos x ， 整理得(5sin x －4)2＝0.
解得sin x ＝45，cos x ＝35
. 故tan x ＝sin x cos x ＝43
. 方法三 构造辅助角
由3cos x ＋4sin x ＝5⎝ ⎛⎭
⎪⎫45sin x ＋35 cos x ＝5sin(x ＋φ)＝5，其中cos φ＝45，sin φ＝35.所以tan φ＝34
. 所以x ＋φ＝2k π＋π2
(k ∈Z )， 于是tan x ＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k π＋π2－φ＝cot φ＝43. 方法四 代数换元
令tan x ＝t ，即t cos x ＝sin x ，代入3cos x ＋4sin x ＝5，
得3cos x ＋4t cos x ＝5，cos x ＝54t ＋3，sin x ＝5t 4t ＋3
. 再代入sin 2x ＋cos 2x ＝1，得⎝
⎛⎭⎪⎫54t ＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5t 4t ＋32＝1. 解得t ＝43，即tan x ＝43
. 方法五 运用三角函数定义
设P (m ，n )为角x 终边上任意一点，P 点到原点O 的距离为r ，则r ＝m 2＋n 2.
把sin x ＝n r ，cos x ＝m r 代入已知等式得
3·m r ＋4·n r
＝5.
即(3m ＋4n )2＝(5r )2＝25(m 2＋n 2)．
整理得(4m －3n )2＝0.所以4m ＝3n ，显然m ≠0. 故tan x ＝n m ＝43
. 方法六 构造直线斜率
由3cos x ＋4sin x ＝5可知点A (cos x ，sin x )在直线3x ＋4y ＝5上，同时也在单位圆x 2＋y 2
＝1上，所以点A 为直线与单位圆的切点．
由于直线的斜率为－34，所以OA 的斜率为43
， 即tan x ＝43
. 方法七 构造单位圆
因为3cos x ＋4sin x ＝5，即35cos x ＋45sin x ＝1. 设A (cos x ，sin x )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45， 则点A ，B 均在单位圆x 2＋y 2
＝1上．
所以过B 点的切线方程为35x ＋45
y ＝1. 可知点A (cos x ，sin x )也在切线35x ＋45
y ＝1上， 从而点A 也是切点，由切点的唯一性也可知A ，B 两点重合，所以cos x ＝35，sin x ＝45
，即tan x ＝43
. 方法八 构造平面向量
因为35cos x ＋45sin x ＝1，不妨令m ＝(cos x ，sin x )，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，45，可知|m |＝1，|n |＝1. 所以m ，n 均为单位向量，且m ·n ＝1.
由|m ||n |≥|m ·n |，等号成立的条件为：m ∥n ，
则有45cos x ＝35sin x ，即tan x ＝43
.。
