线性相关系数r的公式70页PPT

线性相关系数r的计算公式是什么
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。

由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。

1相关系数定义
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。

由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r表示，用来度量两个变量间的线性关系。

定义式
其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y 的方差
复相关系数：又叫多重相关系数。

复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。

例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

2相关系数r的计算。

相关系数r计算
相关系数r是用于衡量两个变量之间线性相关程度的指标。

计算相关系数r需要使用两个变量的一组数据，以下是计算r的公式：
r = nΣXY - ΣXΣY / [(nΣX^2 - (ΣX)^2)(nΣY^2 - (ΣY)^2)]^(1/2)
其中，n为数据组数，Σ为求和符号，X和Y分别表示两个变量的数据。

计算r的步骤如下：
1. 计算X和Y的平均数，分别表示为X和Y。

2. 计算每组数据的(X - X)和(Y - Y)的乘积，分别表示为XY。

3. 分别求出ΣX、ΣY、ΣXY、ΣX^2和ΣY^2。

4. 带入公式计算r的值，得到一个介于-1和1之间的数值，越接近1或-1表示两个变量线性相关程度越高，越接近0表示两个变量线性相关程度越低。

需要注意的是，相关系数r只能反映两个变量之间的线性关系，不能反映其他类型的关系。

同时，如果两个变量之间没有线性关系，计算出来的r也会接近0，但不能说明两个变量没有其他类型的关系。

- 1 -。

线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。

表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。

——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。

这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。

总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。

R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。

线性相关性
线性相关系数r又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r表示,用来度量两个变量间的线性关系。

相关系数是由统计学家卡尔·皮尔逊首先设计的统计指标。

这是一个研究变量之间线性相关程度的量，通常用字母r表示。

由于研究对象的不同，定义相关系数的方法很多，其中皮尔逊相关系数更为常用。

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。

相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

來冄须要表明的就是，皮尔頭逊條相关系数并不是唯一的相关系数，但是最常用的相关系数，以下表述都就是针对皮尔逊相关系数。

依据有关现象之间的相同特征，其统计数据指标的名称有所不同。

例如将充分反映两变量间线性相关关系的统计数据指标称作相关系数（相关系数的平方称作认定系数）；将充分反映两变量间曲线有关关系的统计数据指标称作非线性相关系数、非线性认定系数；将充分反映多元线性相关关系的统计数据指标称作为丛藓科扭口藓相关系数、为丛藓科扭口藓认定系数等。

有关关系就是一种非确定性的关系，相关系数就是研究变量之间线性相关程度的量。

由于研究对象的相同，相关系数存有如下几种定义方式。

直观相关系数：又叫做相关系数或线性相关系数，通常用字母r 则表示，用以度量两个变量间的线性关系。

线性相关系数r的计算公式是什么
相关系数是最早由统计学家卡尔·皮尔逊设计的统计指标，是研究变量之间线性相关程度的量，一般用字母r表示。

由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔逊相关系数。

1相关系数定义
相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。

由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。

简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r表示，用来度量两个变量间的线性关系。

定义式
其中，Cov(X,Y)为X与Y的协方差，Var[X]为X的方差，Var[Y]为Y 的方差
复相关系数：又叫多重相关系数。

复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。

例如，某种商品的季节性需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。

典型相关系数：是先对原来各组变量进行主成分分析，得到新的线性关系的综合指标，再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

2相关系数r的计算。

线性相关系数r2的计算公式
相关系数定义式为：若Y=a+bX，则有令E(X) = μ，D(X) = σ，则E(Y) = bμ+ a,D(Y) = bσ，E(XY) = E(aX + bX) = aμ+ b(σ+ μ)，Cov(X,Y) = E(XY) −E(X)E(Y) = bσ。

相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。

相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

注意事项：
相关表示两变量间的相互关系，是双方向的。

而回归则表示Y随X而变化，这种关系是单方向的。

医学资料中的有些资料用相关表示较适宜，比如兄弟与姐妹间的身长关系、人的身长与前臂长之间的关系等资料。

另有些资料用相关和回归都适宜，此时须视研究需要而定。

回归系数与相关系数的正负号都有两变量离均差积之和的符号业决定，所以同一资料的b 与其r的符号相同。

回归系数有单位，形式为（应变量单位/自变量单位）相关系数没有单位。

相关系数的范围在-1～+1之间，而回归系数没有这种限制。

直线回归相关系数r计算公式在我们的数学世界里，直线回归相关系数r 可是个相当重要的家伙！它就像是一个神奇的小魔杖，能帮我们揭示出两个变量之间线性关系的紧密程度。

先来说说直线回归相关系数 r 的计算公式，那就是：\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i -\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n} (y_i -\bar{y})^2}}\]哎呀，这一串公式看起来是不是有点让人头疼？别担心，咱们来慢慢拆解它。

就拿我之前教过的一个班级的学生成绩来说吧。

有一次考试，我们统计了数学成绩（x）和物理成绩（y），想看看这两门学科成绩之间的关系。

先算出数学成绩的平均值 \(\bar{x}\) 和物理成绩的平均值\(\bar{y}\) 。

然后把每一个同学的数学成绩减去数学平均成绩，物理成绩减去物理平均成绩，再把它们两两相乘并求和，这就是分子。

分母呢，就是数学成绩与平均值差值的平方求和，再乘以物理成绩与平均值差值的平方求和，然后开根号。

比如说，有个叫小明的同学，数学考了 85 分，全班数学平均成绩是 75 分，他的物理考了 70 分，全班物理平均成绩是 65 分。

那么对于小明，\((85 - 75)(70 - 65) = 50\) 。

就这样把每个同学的这个值都算出来再相加，就是分子。

通过这个公式算出来的 r 值，如果接近 1 ，那就说明这两个变量之间有很强的正相关关系，就好像是手牵手一起向前跑的好朋友；如果接近 -1 ，那就是很强的负相关关系，像是在拔河比赛中往相反方向用力的对手；要是接近 0 ，那这两个变量之间的线性关系就比较弱啦，就像只是偶尔碰面打个招呼的路人。

在实际应用中，直线回归相关系数r 可有用啦！比如说在经济学里，研究收入和消费的关系；在医学里，看看某种药物的剂量和疗效的关联；在农业中，瞧瞧施肥量和农作物产量的联系。

r相关系数公式在我们学习统计学和数学的过程中，r 相关系数公式可是个相当重要的家伙！咱们先来说说这 r 相关系数公式到底是啥。

简单来讲，它就是用来衡量两个变量之间线性关系紧密程度的一个指标。

公式看起来可能有点复杂：r = [Σ((x - x)(y - y))] / [√(Σ(x - x)²Σ(y - y)²)] 。

这里的 x 和 y 就是我们要研究的两个变量的值，x和y分别是它们的平均值。

为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲讲我曾经的一段经历。

有一次，我带着学生们做一个关于学生身高和体重关系的小研究。

我们收集了全班同学的身高和体重数据，然后准备用 r 相关系数公式来看看这两者之间的关系到底怎么样。

当时同学们那叫一个兴奋，叽叽喳喳地讨论着。

有的说：“肯定是越高越重啦！”有的则怀疑：“不一定吧，说不定有例外呢。

”我看着他们那好奇又急切的样子，心里觉得特别有趣。

我们把数据一个个认真地记录下来，然后开始计算平均值。

这过程中，有的同学粗心算错了，急得抓耳挠腮，旁边的小伙伴赶紧帮忙检查。

算到后面用公式的时候，大家一开始都有点懵，看着那些符号和算式，眼睛都直了。

我就耐心地一步一步带着他们，告诉他们先算什么，再算什么。

终于，当我们算出 r 相关系数的时候，同学们都瞪大眼睛盯着那个数字。

结果发现，身高和体重之间还真有比较强的正相关关系。

这时候，大家都恍然大悟似的，“哦！原来是这样！”那种通过努力探索得到答案的满足感，真是让人难忘。

再回到这个 r 相关系数公式，它不仅仅能在我们刚才说的身高体重这种日常生活中的例子里用，在很多科学研究、经济分析里都大有用处呢。

比如说，研究气温和用电量的关系，或者股票价格和公司业绩的关系等等。

而且哦，理解和运用好这个公式，还能帮助我们在做数据分析的时候更加准确和有说服力。

不会出现那种“凭感觉”“大概是”这样模糊的结论。

总之，r 相关系数公式虽然看起来有点复杂，但只要我们多动手、多实践，就能发现它的妙处，用它来揭示很多隐藏在数据背后的有趣关系。

线性回归方程中的相关系数rr=∑(Xi-X的平均数)(Yi-Y平均数)/根号下[∑(Xi-X平均数)^2*∑(Yi-Y平均数)^2]R2就是相关系数的平方，R在一元线性方程就直接是因变量自变量的相关系数，多元则是复相关系数判定系数R^2也叫拟合优度、可决系数。

表达式是:R^2=ESS/TSS=1-RSS/TSS该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。

问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。

——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需调整。

这就有了调整的拟合优度:R1^2=1-(RSS/(n-k-1))/(TSS/(n-1))在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。

总是来说，调整的判定系数比起判定系数，除去了因为变量个数增加对判定结果的影响。

R = R接近于1表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度密切；R接近于0表明Y与X1，X2 ，…，Xk之间的线性关系程度不密切相关系数就是线性相关度的大小，1为（100%）绝对正相关，0为0%，-1为（100%）绝对负相关相关系数绝对值越靠近1，线性相关性质越好，根据数据描点画出来的函数-自变量图线越趋近于一条平直线，拟合的直线与描点所得图线也更相近。

如果其绝对值越靠近0，那么就说明线性相关性越差，根据数据点描出的图线和拟合曲线相差越远（当相关系数太小时，本来拟合就已经没有意义，如果强行拟合一条直线，再把数据点在同一坐标纸上画出来，可以发现大部分的点偏离这条直线很远，所以用这个直线来拟合是会出现很大误差的或者说是根本错误的）。

分为一元线性回归和多元线性回归线性回归方程中,回归系数的含义一元：Y^=bX+a b表示X每变动（增加或减少）1个单位,Y平均变动（增加或减少）b各单位多元：Y^=b1X1+b2X2+b3X3+a 在其他变量不变的情况下，某变量变动1单位，引起y平均变动量以b2为例：b2表示在X1、X3（在其他变量不变的情况下）不变得情况下，X2每变动1单位，y平均变动b2单位就一个reg来说y=a+bx+ea+bx的误差称为explained sum of squaree的误差是不能解释的是residual sum of square总误差就是TSS所以TSS=RSS+ESS判定系数也叫拟合优度、可决系数。

相关系数r公式
相关系数r是统计学中一种常用的度量方法，用于衡量两个变量之间的线性相关程度。

它是一种统计指标，可以用来衡量两个变量之间的相关性，以及它们之间的线性关系。

相关系数r的计算公式如下：
r=∑(x-x̅)(y-y̅)/√[∑(x-x̅)^2∑(y-y̅)^2]
其中，x和y分别表示两个变量，x̅和y̅分别表示两个变量的平均值。

相关系数r的取值范围是-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有线性相关。

相关系数r的计算可以帮助我们了解两个变量之间的关系，从而更好地分析数据。

例如，如果我们想知道某个城市的人口增长率与经济增长率之间的关系，我们可以计算它们之间的相关系数，从而更好地了解它们之间的关系。

此外，相关系数r还可以用来检验假设。

例如，如果我们假设某个城市的人口增长率与经济增长率之间存在正相关，我们可以计算它们之间的相关系数，如果相关系数r的值接近1，则说明假设是正确的；如果相关系数r的值接近0，则说明假设是错误的。

总之，相关系数r是一种有用的统计指标，可以用来衡量两个变量之间的相关性，以及它们之间的线性关系。

它可以帮助我们更好地分析数据，并且可以用来检验假设。

线性相关系数在统计学中，线性相关系数是一种用来衡量两个变量之间线性关系强度的指标。

线性相关系数通常用字母r表示，取值范围为-1到1之间。

当r为1时表示完全正相关，当r为-1时表示完全负相关，当r为0时表示不相关。

计算方法线性相关系数r的计算方法如下所示：$$ r = \\frac{n(\\sum xy) - (\\sum x)(\\sum y)}{\\sqrt {[n\\sum x^2 - (\\sum x)^2] [n\\sum y^2 - (\\sum y)^2]}} $$其中，n表示样本量，x和y分别表示两个变量的取值。

$\\sum xy$表示x和y的乘积之和，$\\sum x$和$\\sum y$分别表示x和y的和，$\\sum x^2$和$\\sum y^2$分别表示x和y的平方和。

解释线性相关系数r的值越接近于1或-1，表示两个变量之间的线性关系越强；而当r接近0时，表示两个变量之间的线性关系较弱甚至不存在。

线性相关系数的方向（正相关或负相关）由r的符号确定。

应用线性相关系数在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们了解不同变量之间的关系，从而进行相关预测或分析。

在金融领域中，线性相关系数常常用于衡量不同资产之间的相关性，以帮助投资者进行资产配置。

在医学领域中，线性相关系数可以帮助研究人员分析不同变量（如疾病发作频率和环境因素）之间的关系，从而制定更有效的治疗策略。

结论线性相关系数是一种重要的统计指标，可以帮助我们理解和分析不同变量之间的线性关系。

通过计算线性相关系数，我们可以量化变量之间的相关程度，从而更好地理解数据背后的联系。

在实际应用中，线性相关系数被广泛应用于各个领域，为决策提供有力支持。

总体简单线性相关系数公式
总体简单线性相关系数公式
r值的绝对值介于0～1之间。

通常来说，r越接近1，表示x与y两个量之间的相关程度就越强，反之，r越接近于0，x与y两个量之间的相关程度就越弱。

线性相关系数性质：
(1)定理: | ρXY | = 1的充要条件是，存在常数a，b，使得
P{Y=a+bX}=1。

相关系数ρXY取值在-1到1之间，ρXY = 0时。

称X,Y不相关; | ρXY | = 1时，称X,Y完全相关，此时，X,Y之间具有线性函数关系; | ρXY | < 1时，X的变动引起Y的部分变动，ρXY的绝对值越大，X的变动引起Y的变动就越大， | ρXY | >
0.8时称为高度相关，当 | ρXY | < 0.3时称为低度相关，其它时候为中度相关。

相关系数公式r
相关系数公式r，也被称为皮尔逊相关系数，是衡量两个变量之间线性相关程度的一种常用方法。

其计算公式为：
r=(nΣxy-ΣxΣy)/sqrt[(nΣx^2-(Σx)^2)(nΣy^2-(Σy)^2)]
其中，n表示样本个数；Σ表示求和；x、y分别表示两个变量的观测值；x^2、y^2分别表示两个变量的观测值平方。

r的取值范围在-1到1之间，r接近1表示两个变量之间具有强的正相关关系；r接近-1表示两个变量之间具有强的负相关关系；r接近0表示两个变量之间不存在线性相关关系。

对于样本量较小（n<30）的情况，需要使用t检验来检验r是否具有显著性。