初二数学压轴几何证明题(含规范标准答案)

1 / 6初二数学平行四边形压轴：几何证明题1.在四边形中，E 、F 、G 、H 分别是、、、的中点，顺次连接、、、．（1）请判断四边形的形状，并给予证明；（2）试探究当满足什么条件时，使四边形是菱形，并说明理由。

2.如图，在直角三角形中，∠90°，10，将△绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 11． （1）线段A 1C 1的长度是 ，∠1的度数是 ． （2）连接1，求证：四边形1C 1是平行四边形．3. 如图，矩形中，点P 是线段上一动点，O 为的中点， 的延长线交于Q. （1）求证：；（2）若8厘米，6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示的长；并求t 为何值时，四边形是菱形．4.已知：如图，在□中，是边上的高，将△沿方向平移，使点E 与点C 重合，得△.⑴求证：；⑵若∠B 60，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论.5. 如图，在四边形中，∥，E 为的中点，连结、，⊥，延长交的延长线于点F ．求证：（1）＝；（2）＝＋．6.如图，在△中，，D 是的中点，连结，在的延长线上取一点E ，连结，. （1）求证：△≌△（2）当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？并说明理由.B FC GD H B A 1C 1A C ADG CBFEA Q C D PB O ABED A D EFCB2 / 67.如图，在平行四边形中，点E 是边的中点，的延长线与的延长线交于点F. （1）求证：△≌△（2）连结、，判断四边形的形状，并说明理由.8. 如图，已知点D 在△的边上，∥交于E ，∥交于F ． （1）求证：＝；（2）若平分∠，试判断四边形的形状，并说明理由．9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．10.在梯形中，∥，过点D 作⊥，垂足为点E ，并延长至点F ，使.连接、、. （1）求证：四边形是平行四边形；（2）若CE BE DE ⋅=2,求证：四边形是矩形.11.如图，△中，，、分别是∠和∠的外角平分线，⊥.（1）求证：⊥（2）试判断与是否相等？并说明理由。

1.四边形ＡBCＤ是正方形，△ＢEF是等腰直角三角形,∠BＥＦ＝９0°,BE＝ＥF,连接DF,G 为DF的中点，连接EG,CG,EC．ﻫ(1)如图1,若点Ｅ在ＣB边的延长线上，直接写出EG与GC 的位置关系及的值；ﻫ(2)将图1中的△BEＦ绕点Ｂ顺时针旋转至图2所示位置，请问(１）中所得的结论是否仍然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点Ｂ顺时针旋转α(0°<α<９0°),若BE＝１，AＢ=,当Ｅ，F,Ｄ三点共线时,求DF的长及tan∠ＡBＦ的值．解：（１）ＥＧ⊥CG，=,ﻫ理由是:过G作ＧH⊥ＥC于Ｈ,ﻫ∵∠FEB=∠DＣB=9０°，∴ＥF∥ＧＨ∥DC,ﻫ∵G为DF中点，ﻫ∴H为EＣ中点,ﻫ∴EG=ＧC，GH=(ＥF+DC）＝（ＥB＋ＢC）,ﻫ即ＧH=EH=HC，ﻫ∴∠ＥＧC=9０°，即△ＥＧC是等腰直角三角形，∴=；ﻫ（２）ﻫ解：结论还成立，ﻫ理由是:如图2,延长EG到H,使EG＝GＨ，连接CH、ＥC,过E作BC的垂线ＥM,延长CD,∵在△ＥFG和△ＨＤG中ﻫ∴△EFG≌△HDG（SAＳ）,∴ＤH=EF=BE,∠FEG＝∠DHＧ,∴EF∥ＤH,ﻫ∴∠1=∠2＝90°－∠3=∠4，ﻫ∴∠EBＣ=１80°－∠4=１80°－∠１=∠ＨDＣ，在△EBＣ和△HDC中ﻫ∴△EBC≌△HDC.ﻫ∴CＥ＝ＣH,∠ＢＣE=∠DCH,∴∠ECH＝∠DＣＨ+∠ＥＣD=∠BCE+∠ＥCD=∠ＢＣD=90°，∴△EＣH是等腰直角三角形,ﻫ∵G为ＥH的中点，ﻫ∴EG⊥GC，=,ﻫ即(１）中的结论仍然成立;ﻫﻫ（３）ﻫ解:连接BD，∵AＢ=，正方形AＢCD,ﻫ∴BＤ=２，ﻫ∴coｓ∠DＢE==,∴∠DBE=60°，ﻫ∴∠ABE=∠ＤBE-∠ABＤ=1５°,ﻫ∴∠ＡＢF=45°-１５°=３0°,∴ｔaｎ∠ABF＝，∴DE=BＥ=,∴ＤＦ＝ＤE-EＦ=-1．解析: （1)过G作GH⊥EＣ于H，推出EF∥GＨ∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH＝（EF＋ＤC）=(EB＋BC）,推出GH=ＥH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可;ﻫ（２)延长EG到H，使EG＝ＧH,连接CH、EC,过E作ＢC的垂线EM，延长ＣD，证△ＥFG≌△ＨDG，推出ＤH=EF=BE,∠ＦEG＝∠DHG,求出∠EBC=∠ＨＤC，证出△ＥBＣ≌△ＨDＣ，推出ＣＥ=CH,∠ＢCＥ=∠DＣH，求出△EＣＨ是等腰直角三角形,即可得出答案；3(ﻫ）连接BD，求出cｏs∠DBE＝＝，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=３０°，解直角三角形求出即可．2．已知正方形ABＣD和等腰直角三角形ＢEＦ，BE=EF，∠ＢEＦ＝9０°,按图１放置,使点E在BC上，取DF的中点Ｇ，连接ＥG，ＣＧ.（1)延长EG交DC于Ｈ，试说明:ＤＨ=BE.ﻫ(２）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°,连接DF,取DＦ中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=ＣG且EG⊥CＧ．在设法证明时他发现：若连接BD，则D,E，B三点共线.你能写出结论“EＧ=CG且EG⊥CG”的完整理由吗?请写出来.ﻫ（３)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α<90°)，再连接DＦ,取DF的中点Ｇ(如图3),第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．(1）证明:∵∠BＥＦ=9０°，∴EＦ∥DH,ﻫ∴∠EFG=∠GDH,ﻫ而∠ＥGＦ＝∠DGH，ＧF＝GD，ﻫ∴△GEF≌△GＨD，ﻫ∴EF=DH，而BＥ=EF,ﻫ∴DH=BＥ;ﻫ（2）连接DB，如图，ﻫ∵△BＥF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°，ﻫ而四边形ＡBCD为正方形，∴∠DBC=45°，ﻫ∴D，E,B三点共线.ﻫ而∠ＢEF＝90°，∴△FED为直角三角形，ﻫ而Ｇ为DF的中点，∴EG=ＧＤ＝GＣ，∴∠ＥGC=2∠EDＣ=９0°，∴EG=CＧ且EG⊥CG;ﻫﻫ（3)第２问中的结论成立.理由如下：连接ＡC、ＢD相交于点O,取BF的中点M，连接OG、ＥM、MG，如图,ﻫ∵Ｇ为DＦ的中点,Ｏ为BD的中点，Ｍ为BF的中点,ﻫ∴OＧ∥BF,ＧM∥OB，ﻫ∴四边形ＯGMＢ为平行四边形,∴OＧ=BM，GM=OB,而EM=BM，ＯC＝OB,∴EM=OG，MＧ=OC,∵∠ＤOG＝∠GMF,而∠DＯC=∠EＭF=9０°,∴∠EMＧ=∠GOC，ﻫ∴△ＭEG≌△ＯGＣ,∴EG=CG，∠EGM=∠OCＧ，ﻫ又∵∠MGF=∠BDF,∠ＦＧC=∠GDC＋∠GＣD，∴∠EGC=∠ＥＧＭ＋∠MGF+∠FGC=∠BDF＋∠ＧＤC+∠ＧＣD+∠OCG=4５°+４５°=90°,ﻫ∴EＧ=ＣG且EG⊥CG.解析：(1）由∠BEF＝90°,得到EF∥ＤH,而GF=GD,易证得△GＥF≌△GHD，得EF=DH,而BE=EF，即可得到结论.ﻫ(2)连接DB，如图2，由△ＢＥF为等腰直角三角形,得∠ＥBＦ=４５°，而四边形ABCD为正方形，得∠DＢC=45°,得到D,E,B三点共线,而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EＧ=ＧD=GC，于是∠EＧC=2∠EDC=90°，即得到结论.ﻫ（３）连接ＡC、BＤ相交于点O,取BF的中点M，连接OG、EM、ＭG，由G为ＤF的中点，Ｏ为BD的中点,M为ＢＦ的中点,根据三角形中位线的性质得OＧ∥BＦ，GM∥OB，得到OG=BM,GM=OB，而EM＝BM，OC＝OB，得到EM=ＯG,MＧ=OC,又∠DOG=∠GMF,而∠DＯＣ=∠EMF ＝90°，得∠ＥＭG＝∠GOC，则△MEG≌△OＧC，得到ＥG=CG,∠EGM=∠OCG,而∠MGF=∠BD Ｆ,∠FＧC＝∠GDC+∠ＧCD，所以有∠ＥGC＝∠ＥGM+∠MGF＋∠FＧC=∠ＢDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=4５°+４５°=90°.３.已知正方形ABCD和等腰Ｒt△BEF,ＢＥ=EF,∠BEF＝90°，按图①放置,使点F在BC上，取ＤＦ的中点Ｇ，连接EG、CＧ.ﻫ(１）探索EＧ、CG的数量关系和位置关系并证明;ﻫ（2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接ＤF,取DF中点Ｇ（如图②)，问(１)中的结论是否仍然成立．证明你的结论;(３）将图①中△ＢEF绕B点转动任意角度(旋转角在０°到９0°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③）,问(１）中的结论是否仍然成立,证明你的结论.ﻫ解：(1）EＧ=CG且EG⊥CＧ．ﻫ证明如下：如图①,连接BD.∵正方形ABCＤ和等腰Ｒｔ△BＥF,∴∠EＢF＝∠DBＣ＝4５°．∴B、E、D三点共线.ﻫ∵∠DEF=9０°,Ｇ为DF的中点,∠DCB=90°,∴EG=DG＝ＧF＝CG.ﻫ∴∠ＥGＦ=２∠EＤＧ,∠CGＦ＝2∠CＤG．ﻫ∴∠ＥＧＦ＋∠CGF=2∠ED Ｃ=９0°，ﻫ即∠EGC=９0°,∴EG⊥CG．ﻫﻫ（2）仍然成立，证明如下:如图②,延长EG交CD于点H.ﻫ∵BE⊥EF，∴EF∥ＣD,∴∠1=∠2.ﻫ又∵∠3=∠４，ＦG=DＧ，ﻫ∴△FEG≌△DHG，∴EF＝DH，ＥＧ=GＨ．∵△BＥF为等腰直角三角形，∴ＢE=EＦ,∴BE=DH．ﻫ∵CD=BC,∴CＥ=ＣH．∴△EＣＨ为等腰直角三角形．又∵EG=GH,∴EＧ=CG且ＥＧ⊥CG．ﻫ(3）仍然成立.证明如下：如图③，延长CG至H，使GH＝CG，连接HF交BＣ于Ｍ，连接ＥH、EC．∵GF=GＤ,∠HGＦ＝∠CGD,HG＝CG，ﻫ∴△HFG≌△CDG，ﻫ∴HＦ=CD，∠GHF＝∠ＧCD，∴HＦ∥CD．∵正方形ＡBCD，∴ＨＦ=ＢC，HF⊥BC．∵△ＢEＦ是等腰直角三角形,∴ＢE＝ＥF，∠EBC=∠HFE，∴△BＥC≌△FEH,ﻫ∴HE=EC,∠BEC＝∠FEH，ﻫ∴∠BEF＝∠HEC=90°，ﻫ∴△ECH为等腰直角三角形.又∵CG=GH,∴EG ＝CG 且ＥG ⊥C Ｇ.解析：（１）首先证明B 、Ｅ、Ｄ三点共线,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=ＤG=GF=CG,得到∠ＥGF=2∠ＥＤG ，∠CGF=2∠ＣDG,从而证得∠EGC=9０°;ﻫ(2)首先证明△FE Ｇ≌△DHG,然后证明△ＥCH 为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG 且EG ⊥C Ｇ．ﻫ（3）首先证明：△BEC ≌△ＦEH,即可证得:△ECH 为等腰直角三角形，从而得到:ＥG=C Ｇ且EG ⊥CG.已知，正方形A ＢCD 中，△BEF 为等腰直角三角形,且BF 为底,取DF 的中点G,连接EG 、C Ｇ．ﻫ（1）如图1，若△B ＥF 的底边B Ｆ在BC 上,猜想E Ｇ和ＣG 的数量关系为＿___＿＿;ﻫ（2)如图2，若△B ＥF 的直角边BE 在ＢC 上,则(１）中的结论是否还成立？请说明理由；（３）如图3，若△B ＥF 的直角边BE 在∠DB Ｃ内,则(1）中的结论是否还成立?说明理由． 解：（１)GC=EG,（1分)理由如下：ﻫ∵△ＢＥF 为等腰直角三角形,ﻫ∴∠DEF=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点, ∴EG= ＤF,∵A ＢCD 为正方形,ﻫ∴∠BCD=90°,又Ｇ为斜边ＤF 的中点，∴CG= ＤF,ﻫ∴G Ｃ=EG;ﻫ（２)成立.如图，延长ＥG 交CD 于Ｍ,Ｄ,∵∠BEF ＝∠FEC=∠BCD=90°,∴EF ∥Ｃ1 2 1 ２∴∠EFG=∠MD Ｇ,ﻫ又∠E ＧF=∠DGM ，D Ｇ=ＦG ，∴△G ＥF ≌△ＧMD,ﻫ∴EG=MG,即G 为EM 的中点．∴ＣＧ为直角△EC Ｍ的斜边上的中线，ﻫ∴ＣG=G Ｅ= EM;（3)成立．ﻫ取BF 的中点H,连接ＥH ，GH ，取BD 的中点O,连接O Ｇ,OC ． ∵CB=CD,∠DCB=９0°，∴C Ｏ= BD .ﻫ∵DG=G Ｆ，ﻫ∴GH ∥ＢD ，且GH= BD ，ﻫＯG ∥ＢF,且OG= B Ｆ,ﻫ∴CO ＝ＧH ．∵△ＢEF 为等腰直角三角形． B Ｆ∴EH=∴EH=OG ． ∵四边形O ＢHG 为平行四边形, ∴∠BOG ＝∠BH Ｇ．∵∠B ＯC=∠BH Ｅ＝9０°. ∴∠GOC=∠ＥHG ．ﻫ∴△GOC ≌△E ＨG ．ﻫ∴EG=GC ．此题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质.要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质,熟练运用全等知识是解本题的关键．解析:(1)E Ｇ=ＣG,理由为：根据三角形BEF 为等腰直角三角形，得到∠DEF 为直角，又G 为ＤF 中点，根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半，得到ＥG 为ＤF 的一半,同理在直角三角形DC Ｆ中,得到CG 也等于ＤF 的一半,利用等量代换得证;ﻫ(２）成立．理由为:延长ＥG 交CD 于M,如图所示,根据“A ＳA ”得到三角形E ＦG 与三角形ＧDM 全等,由全等三角形的对应边相等得到EG 与ＭG 相等，即G 为EM 中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到E Ｇ与ＣＧ相等都１２１2 １ 2 １ 2。

经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。

求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。

初二数学平行四边形：几何证明题 GH 、HE. CD DA 的中点，顺次连接EF 、 FG E1.在四边形ABCD 中，、F 、G H 分别是AB BC C 1 ）请判断四边形 EFGH 的形状，并给 予证明；（G D 是菱形，并说明理由。

2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH （F HB E ABC 沿顺时针方向旋转 90°得到△ A . ABC 中，/ ACB=90°，AC=BC=1Q 将厶ABC 绕点B2.如图， 在直角三角形 *. C 的长度是 ，/ CBA 的度数是（1）线段A- _____________________ CBAC是平行四边形.（2）连接CC 求证：四边形 CAA milQ. BC 于的中点， PO 的延长线交为 ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，OBD 如图，矩形3.OP=OQ ; （1）求证：t 运动时间为.设点PD 厘米/秒的速度向D 运动（不与重合）A2 （）若AD=8 厘米，AB=6厘米，P 从点岀发，以1是菱形.t 为何值时，四边形 PBQD 秒，请用t 表示PD 的GFC. 与点C 重合，得△ E 是BC 边上的高，将△ ABE 沿BC 方向平移，使点 AE4.已知：如图，在口 ABCD 中，?DG ⑴求证：BE.是菱形？证明你的结论与 BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFG 当B ⑵若/ ?50?\BG ADB C F EF . AE交BC的延长线于点E// BC,为CD的中点，连结AE、BE, BE X AE,延长5.如图，在四边形ABCD 中, AD AD；FC=求证：(1DA . BC+ ADAB( 2)=EBE , CE.BC, D是的中点，连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结6.如图，在厶ABC中，AB=AC ACE求证：△ ABE^^（1满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由.（2）当AE 与ADBAEDCF.的延长线与CD的延长线交于点的中点，ABCD中，点E是边ADBE7.如图，在平行四边形 F DFE ）求证：△ ABE^^（ 1.ABDF的形状，并说明理由BD2）连结、AF，判断四边形（EADBFACEDFABDEDABCBCACAB 如图，已知点在△于的边上，交//交•于, AEDFBACAD （）若的形状，并说明理由•平分/,试判断四边形E FFE , BDDEBF?上两点，且9.如图，在平行四边形中，点是对角线.1 ）写岀图中每一对你AC.、BF 、CF ,并延长 DE 至点 F ,使 EF=DE.连接 BCAD10.在梯形 ABCD 中,/ BC,AB=DC 过点 D 作DEI ,垂足为点 E ）求证：四边形 ABFC 是平行四边形；1 （2CEBEQE? ABFC 是矩形，（2） 若求证：四边形 D ADFAE 1 ）求证：；=A（2）选择（A DAE.的外角平分线，BE丄BACAEAB=AC11如图，△ ABC中，，AD 分别是/ BAC和/ B AEDA（ 1）求证：丄（DE与是否相等？并说明理由。

初二数学平行四边形压轴：几何证明题1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明； （2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由。

2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针方向旋转90°得到△A 1BC 1．（1）线段A 1C 1的长度是 ，∠CBA 1的度数是 ．（2）连接CC 1，求证：四边形CBA 1C 1是平行四边形．3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点， PO 的延长线交BC 于Q.（1）求证：OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 表示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形．4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE =DG ；⑵若∠B =60︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ．6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE.（1）求证：△ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.A B E F C G D H B A 1 C 1A C AD G CB F E A QCD P B OA BE D C A D EF C B7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F.（1）求证：△ABE ≌△DFE（2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由.8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．（1）求证：AE ＝DF ；（2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =．（1）写出图中每一对你认为全等的三角形；（2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明．10.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC.（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）若CE BE DE ⋅=2,求证：四边形ABFC 是矩形.11.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 的外角平分线，BE ⊥AE. （1）求证：DA ⊥AE（2）试判断AB 与DE 是否相等？并说明理由。

初二数教仄止四边形：几许道明题之阳早格格创做1.正在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中面，逆次对接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请推断四边形EFGH 的形状，并赋予道明； （2）试商量当谦脚什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并道明缘由.2.如图，正在曲角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕面B 沿逆时针目标转动90°得到△A1BC1．（1）线段A1C1的少度是，∠CBA1的度数是． （2）对接CC1，供证：四边形CBA1C1是仄止四边形．3. 如图，矩形ABCD 中，面P 是线段AD 上一动面，O 为BD 的中面，PO 的延少线接BC 于Q.（1）供证：OP=OQ ；（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从面A 出收，以1厘米/秒的速度背D 疏通（没有与D 沉合）.设面P 疏通时间为t 秒，请用t 表示PD 的少；并供t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，正在□ABCD 中，AE 是BC 边上的下，将△ABE 沿BC 目标仄移，使面E 与面C 沉合，得△GFC.⑴供证：BE DG ；⑵若∠B 60，当AB 与BC 谦脚什么数量闭系时，四边形ABFG 是菱形？道明您的论断.5. 如图，正在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中面，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延少AE 接BC 的延少线于面F ．供证：（1）FC ＝AD ；（2）AB ＝BC ＋AD ．6.如图，正在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中面，连结AD ，正在AD 的延少线上与一面E ，连结BE ，CE.（1）供证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 谦脚什么数量闭系时，四边形ABEC 是菱形？并道明缘由.7.如图，正在仄止四边形ABCD 中，面E 是边AD 的中面，BE 的延少线与CD 的延少线接于面F. （1）供证：△ABE ≌△DFE（2）连结BD 、AF ，推断四边形ABDF 的形状，并道明缘由. 8. 如图，已知面D 正在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 接AB 于E ，DF ∥AB 接B F C G D H B A 1 C 1A C A D G C B F E A D P OA B E D C A D E F C B A B C D E FAC 于F ．（1）供证：AE ＝DF ； （2）若AD 仄分∠BAC ，试推断四边形AEDF 的形状，并道明缘由． 9. 如图，正在仄止四边形中，面E F ，是对于角线BD 上二面，且BF DE =．（1）写出图中每一对于您认为齐等的三角形； （2）采用（110.正在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过面D E ，并延少DE 至面F ，使EF=DE.对接BF 、CF 、AC. （1）供证：四边形ABFC 是仄止四边形；（2）若CE BE DE ⋅=2,供证：四边形ABFC 是矩形. 11.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 战∠BAC 的中角仄分线，BE ⊥AE. （1）供证：DA ⊥AE（2）试推断AB 与DE 是可相等？并道明缘由. 12.如图，正在△ABC 中，AB=AC ，面D 是BC 上一动面（没有与B 、C 沉合），做DE ∥AC 接AB 于面E ，DF ∥AB 接AC 于面F.（1）当面D 正在BC 上疏通时，∠EDF 的大小（变大、变小、没有变）（2）当AB=10时，四边形EDF 的周少是几？ （3）面D 正在BC 上移动的历程中，AB 、DE 与DF 总存留什么数量闭系？请道明. 13.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 仄分∠BAD ，CE ∥AD 接AB 于E.（1）供证：四边形AECD 是菱形； （2）若面E 是AB 的中面，试推断△ABC 的形状，并什么缘由. 14.如图，正在仄止四边形ABCD 中，E 为BC 的中面，连结AE 并延少接DC 的延少线于面F. （1）供证：AB=CF （2）当BC 与AF 谦脚什么数量闭系时，四边形ABFC 是矩形？并道明. 15.如图，正在正圆形ABCD 中，G 是CD 上一面，延少BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延少接DE 于面F.（1）供证:△BCG ≌△DCE（2）将△DEC 绕面D 逆时针转动90°得到△DMA,推断四边形MBGD 是什么特殊四边形？并道明缘由.16.将仄止四边形纸片ABCD 如图办法合叠，使面C D’E AF C DB A B FC DE AF C D E B AB C FE DA B CDE A BF C D E处，合痕为EF.（1）供证：△ABE ≌△AD’F（2）连结CF ，推断四边形AECF 是什么特殊四边形，道明缘由.17.如图，正在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂脚为面D ，AN 是ABC 中角∠CAM 的仄分线，CE ⊥AN ，垂脚为E. （1）供证：四边形ADCE 是矩形； （2）当△ABC 谦脚什么条件时，四边形ADCE 是正圆形？道明缘由. 18.四边形ABCD 、DEFG 皆是正圆形，连结AE 、CG.（1）供证：AE=CG ；（2）预测AE 与CG 的位子闭系，并道明. 19.如图，正在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的笔曲仄分线EF 接BC 于面D ，接AB 于面E ，且CF=AE. （1）试商量四边形BECF 是什么特殊四边形，并道明缘由； （2）当∠A 的大小谦脚什么条件时，四边形BECF 是正圆形？请回问并道明您的论断.20.如图，正在□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对于角线AC 、BD 相接于面O ，将曲线AC 绕面O 逆时针转动，分别接BC 、AD 于面E 、F.（1）道明：当转动角为90°时，四边形ABEF 是仄止四边形；（2）试商量正在转动历程中，线段AF 与EC 有何如的数量闭系，并道明；（3）正在转动历程中，四边形BEDF 大概是菱形吗？如果没有克没有及，请道明缘由；如果能，道明缘由并供出此时AC 绕面O 逆时针转动的度数.21.如图，B 、C 、E 是共背来线上的三个面，四边形ABCD 与四边形CEFG 皆是正圆形，连结BG 、DE.（1）预测BG 与DE 之间的大小闭系，并道明您的论断；（2）正在图中是可存留通过转动不妨互相沉合的二个三角形？若存留，请指出，并道明转动历程；若没有存留，请道明缘由.22.如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的接面，过面、CD 的延少线分别接于面E 、F. （1）供证：△BOC ≌△DOF ； （2）当EF 与AC 谦脚什么闭系时，四边形AECF 23.如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别正在边BC 连结DE 并延少至面F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 战CF.（1 A B D F D ’ AB M NE A B C D EF G B E A C F DA B C D F E O A B C D F（2）推断四边形ABDF 的形状，并道明缘由.24. 如图，△ABC 是等边三角形，面D 是线段BC 上的动面(面D 没有与B 、C 沉合)， △ADE 是以AD 为边的等边三角形，过E 做BC 的仄止线，分别接AB 、AC 于面F 、G ，连结BE.（1）供证：△AEB ≌△ADC ； （2）四边形BCGE 是何如的四边形？道明缘由.A G E F。

八下数学期末复习专题几何压轴题专练1．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，△DAE＝△BAC，连接CE.设△BAC＝α，△DCE＝β.（1）求证：△DAB△△EAC.（2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝°.②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明.（3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明.2．如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4.（1）如图1，当△DAG＝30°时，求BE的长；（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长. 3．如图（1）如图1，在□ABCD中，AE平分△BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于cm。

（2）如图2，在□ABCD中，若AE，BE分别是△DAB，△CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则▱ABCD的周长为。

（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是△DAB，△CBA的平分线。

求证：DF=EC（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为。

4．已知,在▱ABCD中, AB⊥BD, AB＝BD, E为射线BC上一点,连接AE交BD 于点F．（1）如图1,若点E与点C重合,且AF=√5,求AB的长;（2）如图2,当点E在BC边上时,过点D作DG⊥AE于G,延长DG交BC于H,连接FH．求证: AF=DH+FH;（3）如图3,当点E在射线BC上运动时,过点D作DG⊥AE于G, M为AG 的中点,点N在BC边上且BN=1,已知AB=5√2,请直接写出MN的最小值．5．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．（1）若PQ△AB，由折叠性质可得△BPC＝°；（2）若a＝8，b＝6，且PQ△AB，求C到AB的距离及BP的长；（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．6．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC 绕点O顺时针旋转一个角度α(0°<α≤90°)，分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF与EC的数量关系，并证明；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并说明理由；（3）若AB＝1，BC＝√5，求当α等于多少度时，BF＝DF？7．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，其中点A，B的对应点分别为点A1，B1.连接AA1，BB1交于点D.（1）如图1，当点A1落在BC的延长线上时，求线段AB1的长；（2）如图2，当△ABC旋转到任意位置时，求证：点D为线段AA1中点；（3）若△A1B1C从图1的位置绕点C继续顺时针旋转α（0°<α≤90°），当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，求α的值.8．如图①，在平行四边形ABCD中，AD＝BD＝2，BD△AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．（1）求证BF＝AE；（2）如图②，若F点恰好落在AC，求OF的长；（3）如图③，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF 的面积.9．如图（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，证明线段BC，DC，EC之间满足的等量关系;（2）如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论;（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°若BD＝12，CD＝4，求AD的长.10．把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE.（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α=60°，求△ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分△BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE=DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出△F的度数（用含α的式子表示）.11．如图1，在平面直角坐标系中.直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D 恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC△ △CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上.是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．12．在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，AB=2．（1）如图①，点E为AD的中点，则点E到AB的距离为；（2）如图②，点M为AD上一动点，求12AM+MC的最小值．（3）（问题解决）如图③，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=（千米）处．13．已知Rt△ABC中，△BAC=90°，AB=AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE△AE，过点B作BD△AE，交AE的延长线于D．（1）如图1，求证BD=AE；（2）如图2，点H为BC中点，分别连接EH，DH，求△EDH的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上的一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG△FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH=6：5，△FHM 的面积为30，△EHB=△BHG，求线段EH的长．14．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求△APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′△△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出△APB ＝；（2）基本运用请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图②，△ABC中，△CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且△EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如图③，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．15．在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，且AB=AC，AD=AE.（1）如图1，如果点D在BC上，且BD=4，CD=3，求DE的长；（2）如图2，AD与BC相交于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD⊥BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM=AF，求证：CF=AN+MN；（3）如图3，若AD=AB，△ADE绕着点A旋转，取DE中点M，连接BM，取BM中点N，连接AN，点F为BC中点，连接DN，若DN恰好经过点F，请直接写出DF:DN:AN的值.16．如图1，△ABC是直角三角形，△ACB＝90°，点D在AC上，DE△AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.17．我们定义：如图1、图2、图3，在ΔABC中，把AB绕点A顺时针旋转α(0∘<α<180∘)得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180∘时，我们称ΔAB′C′是ΔABC的“旋补三角形”，ΔAB′C′边B′C′上的中线AD叫做ΔABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的ΔAB′C′均是ΔABC的“旋补三角形”.（1）①如图2，当ΔABC为等边三角形时，“旋补中线” AD与BC的数量关系为：AD=BC；②如图3，当∠BAC=90∘，BC=8时，则“旋补中线” AD长为.（2）在图1中，当ΔABC为任意三角形时，猜想“旋补中线” AD与BC的数量关系，并给予证明.18．在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．（1）在（图25-1）中证明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图25-2），求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=120°，FG//CE，FG=CE，分别连接BD、DG（如图25--3），直接写出∠BDG的度数．19．在△ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将过点A的直线l绕点A旋转，交射线CD于点E，BF△l于点F，DG△l于点G，连接OF，OG．（1）如图①当点E与点C重合时，请直接写出线段OF，OG的数量关系；（2）如图②，当点E在线段CD上时，OF与OG有什么数量关系？请证明你的结论；（3）如图③，当点E在线段CD的延长线上时，上述的结论是否仍成立？请说明理由．20．如图，在平行四边形ABCD中，AB△AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF.（1）如图1，在旋转的过程中，求证：OE＝OF；（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明你的结论；（3）若AB＝1，BC＝√5，且BF＝DF，求旋转角度α的大小.21．如图1，在Rt△ABC中，△A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD ＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值.22．如图，已知函数y=﹣12x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的图象交于点M，点M的横坐标为2．（1）求点A的坐标；（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y=﹣12x+b和y=x的图象于点C、D．①若OB=2CD，求a的值；②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析1．【答案】（1）证明：∵△DAE＝△BAC，∴△CAD﹣△DAE＝△CAD﹣△BAC，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAF AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS）（2）解：①130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB△△EAC，∴△ABC＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴β＝△ACB+△ACE＝△ACB+△ABC＝90°﹣12α+90°﹣12α＝180°﹣α，∴α+β＝180°（3）解：β＝α；理由：∵△DAE＝△BAC，∴△DAE﹣△BAE＝△BAC﹣△BAE，∴△CAE＝△BAD，在△DAB和△EAC中，{AB=AC∠BAD=∠CAB AD=AE∴△DAB△△EAC（SAS），∴△ABD＝△ACE，在△ABC中，AB＝AC，△BAC＝α，∴△ABC＝△ACB＝12（180°﹣△BAC）＝12（180°﹣α）＝90°﹣12α，∴△ACE＝△ABD＝180°﹣△ABC＝180°﹣（90°﹣12α）＝90°+12α，∴β＝△ACE﹣△ACB＝90°+ 12α﹣（90°﹣12α）＝α.2．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴△BAD＝90°，∵△DAG ＝30°，∴△BAG ＝60°由折叠知，△BAE ＝12△BAG ＝30°， 在Rt△BAE 中，△BAE ＝30°，AB ＝3，∴BE ＝√3（2）解：如图4，连接GE ，∵E 是BC 的中点，∴BE ＝EC ，∵△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，∵在矩形ABCD 中，∴△C ＝90°，∴△EFG ＝90°，∵在Rt△GFE 和Rt△GCE 中，{EG =EG EF =EC∴Rt△GFE△Rt△GCE （HL ），∴GF ＝GC ；设GC ＝x ，则AG ＝3+x ，DG ＝3﹣x ，在Rt△ADG 中，42+（3﹣x ）2＝（3+x ）2，解得x ＝43. （3）解：BE ＝323．【答案】（1）2（2）12（3）证明：∵在▱ABCD 中，CD△AB ，∴△DFA=△FAB.又∵AF是△DAB的平分线∴△DAF=△FAB，∴△DAF=△DFA，∴AD=DF，同理可得EC=BC.∵AD=BC，∴DF=EC（4）14．【答案】（1）解：如图1中，∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°,∵AB=BD,∠BAD=45°,∴∠BDA=∠BAD=45°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴E、C重合时BF=12BD=12AB,在RtΔABF中,∵AF2=AB2+BF2,∴(√5)2=(2BF)2+BF2,∴BF=1, AB=2,∴AB=2;（2）证明：如图2中，在AF上截取AK=HD,连接BK,∵AB⊥BD, DG⊥AE,∴∠ABF=∠FGD=90°,∵∠AFD=∠ABF+∠2=∠FGD+∠3, ∠ABF=∠FGD=90°,∴∠2=∠3,在ABK和ΔDBH中, {AB=BD ∠2=∠3 AK=HD,∴ΔABK≅ΔDBH,∴BK=BH, ∠6=∠1,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD//BC,∴∠4=∠1,由（1）知∠4=45°,∴∠l=∠6=45°,∴∠5=∠ABD−∠6=45°,∠5=∠1,在ΔFBK和ΔFBH中, {BF=BF ∠5=∠1 BK=BH,∴ΔFBK≅ΔFBH,∴KF=FH,∵AF=AK+KF，∴AF=DH+FH；（3）解：MN的最小值为√149−52．5．【答案】（1）45（2）解：如图，作CH△AB于H由翻折的性质可知：△APC=△QPC∵CH△AB，△BPC=45°∴CH=PH在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10∵12⋅AB ⋅CH =12⋅AC ⋅BC ，即 5CH =24 ∴CH= 245； （3）解：如图:连接BQ由翻折的性质可得：PA=PQ ，△QPC=△APC∵四边形BCPQ 是平行四边形∴PQ=BC=PA=b ，PQ//BC ，∴△QPC+△PCB=180°∵△BPC+△APC=180°∴△PCB=△BPC∴PB=BC=b∴AP=PB=b ，AB=2b ，在Rt△ABC 中，则有（2b ）2=a 2+b 2∴a 2=3b 2∵a>0.b>0，∴a= √3b ．6．【答案】（1）解：AF=CE.理由如下：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD // CB ，OA=OC.∴△FAO=△ECO.在 △AOF 和 △COE 中，∵{∠AOF =∠COE,OA =OC,∠FAO =∠ECO,∴△AOF ≌△COE(ASA) .∴AF=CE.（2）解：当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形.理由如下：∵△AOF= 90°，△BAC= 90°，∴AB //EF.又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE.∴四边形ABEF为平行四边形（3）解：当α等于45度时，BF＝DF.理由如下：∵AB=1，BC= √5，AB△AC，∴AC= √BC2−AB2=√(√5)2−12=2.∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=12AC=12×2=1，BO=DO.∴OA=AB=1.点O在线段BD的垂直平分线上.∴△ABO为等腰直角三角形.∴△AOB= 45°.当F在线段BD的垂直平分线上时，BF=DF，∴FO垂直平分BD.∴△BOF=90°.∴∠AOF=∠BOF−∠AOB=90°−45°=45°，即α=45°.∴当α等于45度时，BF＝DF.7．【答案】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=4，∴∠ACB=45°，AC=√AB2+BC2=√42+42=4√2.∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A1B1C，∴∠A1CB1=45°，B1C=BC=4.∴∠ACB1=180°−∠ACB−∠A1CB1=90°.∴AB1=√AC2+B1C2=√(4√2)2+42=4√3（2）证明：过点A1作A1E//AB交BB1的延长线于点E，∴∠ABD=∠DEA1.∵B1C=BC，∴∠CBB1=∠CB1B.∵∠ABC=∠A1B1C=90°，∴∠ABD+∠CBB1=∠CB1B+∠A1B1E=90°.∴∠A1B1E=∠ABD=∠DEA1.∴A1B1=A1E.∵AB=A1B1，∴AB=A1E.∵∠ADB=∠A1DE，∴△ADB≅△A1DE.∴AD=∠A1D.∴点D为线段AA1中点（3）解：如图3，当直线AB与直线A1B1相交于点A上方，延长BC交A1B1于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠CA1B1=45°，∴∠A1CE=∠PEB−∠CA1E=15°.如图4，当直线AB与直线A1B1相交于点A下方，延长BC交A1B1的延长线于点E，∵∠ABC=90°，∠P=30°，∴∠PEB=60°.∵∠A1B1C=90°，∴∠B1CE=∠A1B1C−∠PEB=30°.∴∠A1CE=∠B1CE+∠A1CB=75°.∴当直线AB与直线A1B1相交构成的4个角中最小角为30°时，α的值为15°或75°.8．【答案】（1）证明：根据旋转的性质可得，DE=DF，△EDF=90°∵BD△AD∴△ADB=90°∴△ADE=△BDF∵AD=BD∴△ADE△△BDF∴BF=AE（2）过点D 作DG△AC 于点G ，∵DE=DF ，△EDF=90°∴△DEF=△DFE=45°，△DEA=135°根据（1）可得，△ADE△△BDF∴△BFD=△DEA=135°，AE=BF∴△BFO=90°∵四边形ABCD 为平行四边形∴OB=OD∴△DGO△△BFO∴DG=BF ，OF=OG∴DG=EG=AE=BF设DG=a （a ＞0），则AG=2a在直角三角形ADG 中，∵AG 2+DG 2=AD 2∴（2a ）2+a 2=22解得a=2√55 ∴OF=OG=12×2√55=√55（3）过点D 作DN△AC 于点N ，将△DEN 绕点D 逆时针旋转90°得到△DFH ，∴DH=DN ，△DNE=△DH=90°，△DEN=△DFG∵△DEF=△FME=90°∴△DEM+△DFM=180°∴△DFH+△DFM=180°∴点H ，点F ，点M 三点共线∵△DHF=△DNM=△FMN=90°∴四边形DNMG 为矩形∵DN=DH∴四边形DNMH 为正方形∴S 四边形DEMF=S 四边形DNMH=（2√55）2=459．【答案】（1）解：∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE∵Rt△ABC中AB=AC∴∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴DB=EC∴BC=DC+DB=DC+EC（2）解：连结CE∵Rt△ABC与Rt△ADE中AB＝AC，AD＝AE∴∠B=∠ACE=45°，DE2=AD2+AE2=2AD2，∵由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC,∠ABD=∠ACE=45°∴∠ECD=90°∴Rt△ECD中，DE2=EC2+CD2=BD2+CD2∴2AD2=BD2+CD2（3）解：过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连结DE,CE∵∠ABC=∠ACB=45°∴AB⊥AC,AB=AC∵AE⊥AD,AE=AD∴由（1）同理可得△ABD≌△ACE∴DB=EC=12∵∠ADC=45°∴∠EDC=∠ADC+∠ADE=90°∴DE=√CE2−CD2=√122−42=8√2∴等腰直角△ADE中AD=810．【答案】（1）解：∵α=60°，△ABC△△ADE，∴ AD=AB，△ABC=△ADE.∴ △ABD=△DAB=60°.∴ △ABC=△ADE=△DAB+△ABD=120°.（2）解：∵ AC=AE,△EAC= α，∴ △E=△ACE.∵ △ABC△△ADE，∴ △ACB=△E.∴ △ACB=△ACE.∴ CA平分△BCE.（3）解：△F= 90°−α.如下图：延长AD交EF于点G，则根据图形旋转的性质得，△GAF=α，∵△ABC△△ADE∴AC=AE，∴△AEC为等腰三角形，在△AED和△ACD中，{AE=AC DE=CD AD=AD，∴ △AED △ △ACD（SSS），∴ △DAE=△DAC，∴ AD平分△EAC，∵△AEC为等腰三角形，∴AG△EF，即△AGF=90°，∴∠EAF=3∠CAF=32α，∴∠F=180°−∠GAF−∠AGF=90°−α.11．【答案】（1）证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，∴∠BCO=∠CDE，∵BC=CD，∴△BOC△ △CED．（2）解：∵△BOC△ △CED，∴OC=DE=m，BO=CE=3，∴D(m+3,m)，把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，∴2m=−m−3+6，∴m=1，∴D(4,1)，∵B(0,3)，C(1,0)，∴直线BC的解析式为y=−3x+3，设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，∴C′(133,0)，∴CC′=103，∴△BCD平移的距离是103个单位．（3）点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).12．【答案】（1）√34（2）解：如图，作CN⊥AB，垂足为N，此时12AM+MC最小，最小值等于CN，∵在正三角形ABC中，AB=BC=AC=2，∠ANC=90°，∴AN=1，由勾股定理得，CN=√3由（1）知，MN=12AM∴MN+CM=12AM+MC=CN=√3，即12AM+MC的最小值为√3（3）( 480−120√3 )13．【答案】（1）证明：∵CE△AE，BD△AE，∴△AEC＝△ADB＝90°，∵△BAC＝90°，∴△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，∴△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中{∠ACE=∠BAD ∠AEC=∠ADB AC=AB∴△CAE△△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）解：连接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴△BAH＝12∠BAC=12×90°=45°，△AHB＝90°，∴△ABH＝△BAH＝45°，∴AH＝BH，∵△EAH＝△BAH﹣△BAD＝45°﹣△BAD，△DBH＝180°﹣△ADB﹣△BAD﹣△ABH＝45°﹣△BAD，∴△EAH＝△DBH，在△AEH与△BDH中{AE=BD∠EAH=∠DBH AH=BH∴△AEH△△BDH（SAS），∴EH＝DH，△AHE＝△BHD，∴△AHE+△EHB＝△BHD+△EHB＝90°即△EHD＝90°，∴△EDH ＝△DEH ＝ 180°−90°2=45° ；（3）解：过点M 作MS△FH 于点S ，过点E 作ER△FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET△BC ，交HR 的延长线于点T ．∵DG△FH ，ER△FH ，∴△DGH ＝△ERH ＝90°，∴△HDG+△DHG ＝90°∵△DHE ＝90°，∴△EHR+△DHG ＝90°，∴△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中{∠HDG =∠HER ∠DGH =∠ERH DH =EH∴△DHG△△HER （AAS ），∴HG ＝ER ，∵ET△BC ，∴△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，∵△EHB ＝△BHG ，∴△HET ＝△ETF ，∴HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中{∠ETF =∠FHM ∠EFT =∠MFH EF =FM，∴△EFT△△MFH （AAS ），∴HF ＝FT ，∴HF·MS 2=FT·ER 2， ∴ER ＝MS ，∴HG＝ER＝MS，设GH＝6k，FH＝5k，则HG＝ER＝MS＝6k，HF·MS 2=5k·6k2=30，k＝√2，∴FH＝5 √2，∴HE＝HT＝2HF＝10 √2．14．【答案】（1）150°（2）解：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，△CAE′＝△BAE，△ACE′＝△B，△EAE′＝90°，∵△EAF＝45°，∴△E′AF＝△EAE′-△EAF=45°，∴△EAF＝△E′AF，在△EAF和△E′AF中，{AE=AE′∠EAF=∠E′AFAF=AF∴△EAF△△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵△CAB＝90°，AB＝AC，∴△B＝△ACB＝45°，∴△E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）解：如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，∵在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝√AB2−AC2=√3，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，△ABC=30°，∴△A′BC＝△ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵△C＝90°，AC＝1，△ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO＝OO′，△BOO′＝△BO′O＝60°，∵△AOC＝△COB＝△BOA＝120°，∴△COB+△BOO′＝△BO′A′+△BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C＝√BC2+A′B2=√(√3)2+22=√7，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝√7．15．【答案】（1）解：连接EC，又AB=AC，AD=AE，∴BD=CE=4，∠ACE=∠ABC，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°∴△ACE是直角三角形，∴DE=√CD2+CE2=√32+42=5；（2）解：∵∠BAD+∠DAC=90°,∠EAC+∠DAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵{AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△BAD≅△CAE(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵AD⊥BD∴∠BAD=90°−∠ABD∵∠BAC=90°∴∠DAC=90°−∠BAD∴∠DAC=∠ABD∴∠ACF=∠DAC∴AD//CF过点A作AP//BC交FC于点P，∴四边形ANCP是平行四边形∴AN=CP，NC=AP∵AP//BC∴∠FAP=∠ABC=45°{PA=NC∠PAF=∠NCM AF=CN∴△PAF≅△NCM(SAS)∴MN=PF∴AN+MN=CP+FP=CF；（3）DF:DN:AN=1:2:216．【答案】（1）EF＝CF（2）EF＝CF（3）解：猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN.∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF△AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF△AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，△FMA＝△ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，△AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，△AEN＝△EAN，△MCA＝△MAC，∵△MAC＝△EAN，∴△AMC＝△ANE，又∵△FMA＝△ANF，∴△ENF＝△FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，{MF=EN∠FMC=∠ENFMC=NF，∴△MFC△△NEF（SAS），∴FE＝FC.17．【答案】（1）12；4（2）解：结论：AD=12BC.理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接B′M，C′M，∵B′D=DC′，AD=DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′=B′M=AC，∵∠BAC+∠B′AC′=180∘，∠B′AC′+∠AB′M=180∘，∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，∴ΔBAC≅ΔAB′M，∴BC=AM，∴AD=12BC.18．【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB△CD，AD△BC∴△BAF=△F，△DAF=△CEF又∵AE平分△BAD∴△BAF=△DAF∴△F=△CEF∴CE=CF（2）如图，连接CG、BG.∵ABCD是平行四边形，△ABC＝90°∴平行四边形ABCD是矩形∴AB=DC，AB△DC，AD△BC，△BAD＝△ADC=△BCD＝△ECF＝90° ∴△F=△BAE，△DBC=△ADB∵△BAD＝90° ，△BAE＝12△BAD=45°∴AB=BE，△F=△BAE=45°∴CE=CF∴BC=BE+EC=AB+CF=CD+CF=DF又∵G 是EF 的中点，△ECF ＝90° ,CE=CF∴CG=FG=12EF,△ECG=12△ECF=45° ∴△ECG=△F∴△DFG△△BCG∴△FDG ＝△CBG ，DG=BG∴△DBG=△BDG∵△DBC=△ADB,△FDG ＝△CBG∴△DBC+△CBG=△ADB+△FDG即△DBG=△ADB+△FDG∴△BDG=△ADB+△FDG又∵△BDG+（△ADB+△FDG ）=90°∴△BDG=12△ADC=45° （3）如图，连接GB 、GE 、GC 。

初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。

如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。

求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。

M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。

2024年数学八年级几何证明专项练习题1（含答案）试题部分一、选择题：1. 在三角形ABC中，若∠A = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，则AC 的长度为（）。

A. 2cmB. 10cmC. 4cmD. 5cm2. 下列哪个条件不能判定两个三角形全等？（）A. SASB. ASAC. AASD. AAA3. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点对称的点是（）。

A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)4. 下列哪个比例式是正确的？（）A. 若a∥b，则∠1 = ∠2B. 若a∥b，则∠1 + ∠2 = 180°C. 若a⊥b，则∠1 = 90°D. 若a⊥b，则∠1 + ∠2 = 180°5. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，∠B = 70°，则∠C的度数为（）。

A. 70°B. 40°C. 55°D. 110°6. 下列哪个条件可以判定两个角相等？（）A. 对顶角B. 邻补角C. 内错角D. 同位角7. 在平行四边形ABCD中，若AD = 8cm，AB = 6cm，则对角线AC 的长度（）。

A. 10cmB. 14cmC. 12cmD. 15cm8. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 矩形D. 梯形9. 在三角形ABC中，若a = 8cm，b = 10cm，c = 12cm，则三角形ABC是（）。

A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定10. 下列哪个条件不能判定两个直线平行？（）A. 内错角相等B. 同位角相等C. 同旁内角互补D. 两直线垂直二、判断题：1. 若两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

（）2. 在等腰三角形中，底角相等。

（）3. 平行线的同位角相等，内错角相等。

（）4. 若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。

初二数学全等三角形压轴几何题(讲义及答案)含答案一、全等三角形旋转模型1．问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，120ABC ∠=︒，60MBN ∠=︒，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE ，CF ，EF 之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，再证明BFC BFE △≌△，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90BCD ∠=︒，BA BC =，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形ABCD 中，BA BC =，180BAD BCD ∠+∠=︒，2ABC MBN ∠=∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30的A 处舰艇乙在指挥中心南偏东70︒的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50︒的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E 、F 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70︒，试求此时两舰艇之间的距离．答案：E解析：EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．实际应用：210海里．【分析】延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸1：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；探究延伸2：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，先证明BCG BAE △≌△，可得BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，再证明BGF BEF ≌，可得GF=EF ，即可解题；实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF ，将AE 和CF 的长代入即可．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸1：结论EF=AE+CF 成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，在△BCG 和△BAE 中，90BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．探究延伸2：结论EF=AE+CF 仍然成立．理由：延长FC 到G ，使CG AE =，连接BG ，∵180BAD BCD ∠+∠=︒，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG 和△BAE 中，BC BA BCG BAE CG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BCG BAE △≌△（SAS ），∴BG=BE ，∠CBG=∠ABE ，∵∠ABC=2∠MBN ，∴∠ABE+∠CBF=12∠ABC ， ∴∠CBG+∠CBF=12∠ABC ， 即∠GBF=12∠ABC ， 在△BGF 和△BEF 中，BG BE GBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BGF ≌△BEF （SAS ），∴GF=EF ，∵GF=CG+CF=AE+CF ，∴EF=AE+CF ．实际应用：连接EF ，延长AE ，BF 相交于点C ，∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=12∠AOB ∵OA=OB ，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF= AE+CF 仍然成立即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．一位同学拿了两块45︒三角尺MNK ∆，ACB ∆做了一个探究活动：将MNK ∆的直角顶点M 放在ACB ∆的斜边AB 的中点处，设4AC BC ==.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM ∆，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的MNK ∆绕顶点M 逆时针旋转45︒，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将MNK ∆绕M 旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若1AD =，求出重叠部分图形的周长.答案：A解析：（1）4，4+；（2）4，8；（3）4；（4）4+【分析】()1根据4AC BC ==，90ACB ∠=，得出AB 的值，再根据M 是AB 的中点，得出AM MC =，求出重叠部分的面积，再根据AM ，MC ，AC 的值即可求出周长；()2易得重叠部分是正方形，边长为12AC ，面积为214AC ，周长为2.AC ()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、.E 求得Rt MHD ≌Rt MEG ，则阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积. ()4先过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，根据DMH EMH ∠∠=，MH ME =，得出Rt DHM ≌Rt EMG ，从而得出HD GE =，CE AD =，最后根据AD 和DF 的值，算出DM =.【详解】解：()14AC BC ==，90ACB ∠=，AB ∴== M 是AB 的中点，AM ∴=45ACM ∠=，AM MC ∴=，∴重叠部分的面积是42=， ∴周长为：44AM MC AC ++==+故答案为4，4+；()2重叠部分是正方形，∴边长为1422⨯=，面积为14444⨯⨯=， 周长为248⨯=．故答案为4，8．()3过点M 分别作AC 、BC 的垂线MH 、ME ，垂足为H 、E ， M 是ABC 斜边AB 的中点，4AC BC ==， 12MH BC ∴=， 12ME AC =， MH ME ∴=，又90NMK HME ∠∠==，90NMH HMK ∠∠∴+=，90EMG HMK ∠∠+=， HMD EMG ∠∠∴=，在MHD 和MEG 中，HMD GME MH MEDHM MEG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， MHD ∴≌()MEG ASA ，∴阴影部分的面积等于正方形CEMH 的面积， 正方形CEMH 的面积是1144422ME MH ⋅=⨯⨯⨯=； ∴阴影部分的面积是4；故答案为4．()4如图所示， 过点M 作ME BC ⊥于点E ，MH AC ⊥于点H ，∴四边形MECH 是矩形，MH CE ∴=，45A ∠=，45AMH ∠∴=，AH MH ∴=，AH CE ∴=，在Rt DHM 和Rt GEM 中，DMH EMG MH MEDHM GEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， Rt DHM ∴≌.Rt GEMGE DH ∴=，AH DH CE GE ∴-=-，CG AD ∴=，1AD =，1.DH ∴= 145DM ∴=+= ．∴四边形DMGC 的周长为：CE CD DM ME +++2AD CD DM =++425=+．【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．如图，△ABC 中，O 是△ABC 内一点，AO 平分∠BAC ，连OB ，OC ．（1）如图1，若∠ACB ＝2∠ABC ，BO 平分∠ABC ，AC ＝5，OC ＝3，则AB ＝ ； （2）如图2，若∠CBO +∠ACO ＝∠BAC ＝60°，求证：BO 平分∠ABC ；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC ＝3B 绕点O 逆时针旋转60°得点D ，直接写出CD 的最小值为 ．答案：A解析：（1）8；（2）见解析；（3）33【分析】（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，则：BD DC＝AB AC ．如图1中，延长CO 交AB 于E ，由OA 平分∠EAC ，推出AE AC ＝OE OC，推出AE EO ＝AC OC ＝53，设AE ＝5k ，OE ＝3k ，利用相似三角形的性质构建方程求出k 即可解决问题． （2）如图2中，过点O 作EF ⊥OA 交AB 于E ，交AC 于F ，作CG ∥EF 交AB 于G ，连接OG ．证明△AGO ≌△ACO （SAS ），推出OG ＝OC ，推出∠OGC ＝∠OCG ，证明O ，G ，B ，C 四点共圆，可得结论．（3）如图3中，以BC 为边向上作等边△BCH ，连接OH ，作HM ⊥BC 于M ．证明△HBO ≌△CBD （SAS ），推出OH ＝CD ，由（2）可知∠BOC ＝120°，推出当点O 落在HM 上时，OH 的值最小．【详解】解：（1）先补充证明角平分线的性质定理：如图，△ABC 中，AD 是角平分线，则：BD DC ＝AB AC． 理由：过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ，∵CE∥DA，∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴∠E＝∠3，∴AE＝AC，∵BDDC ＝BAAE，∴BDDC ＝ABAC．如图1中，延长CO交AB于E，∵OA平分∠EAC，∴AEAC＝OEOC，∴AEEO ＝ACOC＝53，设AE＝5k，OE＝3k，∵OB平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝2∠ABC，∴∠BCE＝12∠ACB＝∠EBC，∴EB＝EC＝3k+3，∵∠ACE＝∠ABC，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC，∴ACAB ＝AEAC，∴5533k k ＝55k，解得k＝58或﹣1（舍弃），∴AB＝8k+3＝8．故答案为：8．（2）如图2中，过点O作EF⊥OA交AB于E，交AC于F，作CG∥EF交AB于G，连接OG．∵AO平分∠AEF，∴∠OAE＝∠OAF，∵AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝∠AFE＝60°＝∠FOC+∠FCO，∵∠OBC+∠FCO＝60°，∴∠FOC＝∠OBC，∵EF∥CG，∴∠AGC＝∠AEF＝60°，∠ACG＝∠AFE＝60°，∴∠AGC＝∠ACG，∴AG＝AC，∵∠GAO＝∠CAO，AO＝AO，∴△AGO≌△ACO（SAS），∴OG＝OC，∴∠OGC＝∠OCG，∵∠FOC＝∠OCG，∴∠OBC＝∠OGC，∴O，G，B，C四点共圆，∴∠ABO＝∠OCG，∴∠ABO＝∠OBC，∴OB平分ABC．（3）如图3中，以BC为边向上作等边△BCH，连接OH，作HM⊥BC于M．∵△OBD，△BCH都是等边三角形，∴∠HBC＝∠OBD＝60°，BH＝BC，BO＝BD，∴∠HBO＝∠CBD，∴△HBO≌△CBD（SAS），∴OH＝CD，由（2）可知∠BOC＝120°，∴当点O落在HM上时，OH的值最小，此时OH＝HM﹣OM＝3﹣3，∴CD的最小值为3﹣3．故答案为：3﹣3．【点睛】本题主要考查角平分线、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、等边三角形等相关知识点，解题关键在于作出辅助线构造相应图形．5．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF=CD+BC ，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF ，又点D 、B 、C 共线，故：CD=BC+CF ； ②由（1）猜想并证明BD ⊥CF ，从而可知△FCD 为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC 三边的特点，再进一步判定其形状． 【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD=AF ，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°， ∴∠BAD=∠CAF ， 在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAF （SAS ）， ∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ； ∴BD=CF ， ∴CF=BC+CD ， ∵AC=AB=2，CD=1，∴BC ==∴CF=1；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得： BD=CF ， 即：CD=BC+CF②△AOC 是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ， 又∵∠BAC=90°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=45°， 则∠ABD=180°-45°=135°， ∴∠ABD=∠FCA=135° ∴∠DCF=135°-45°=90° ∴△FCD 为直角三角形．又∵四边形ADEF是正方形，对角线AE与DF相交于点O，∴OC=12DF，∴OC=OA∴△AOC是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．6．综合与探究问题情境在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接DE，CE．探究发现（1）如图1，BD＝CE，BD⊥CE，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD＝2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；探究拓广（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．答案：B解析：（1）证明见解析；（2）10AD BC=，理由见解析；（3）2222BD CD AD+=．【分析】（1）根据题意计算得∠BAD=∠CAE；再根据旋转的性质，通过证明△BAD≌△CAE，从而完成求解；（2）结合（1）的结论，通过△BAD≌△CAE，得CE；通过勾股定理，得2DE=；再通过勾股定理计算，记得得到答案；（3）过点A作AM BC⊥交BC于点M；根据等腰三角形三线合一的性质，得BM CM=，再根据直角三角形斜边中线的性质，得12AM BM CM BC===；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD，DC，AD之间的数量关系．【详解】（1）由题意得，∠BAC =∠DAE =90° ∵∠BAD +∠CAD =∠CAE +∠CAD ∴∠BAD =∠CAE∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ∴AD=AE 又∵AB=AC ， ∴△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45° ∴∠ECD =90°，BD ⊥CE ． （2）由（1）得：△BAD ≌△CAE ∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45° ∵13CD BC =，BD ＝2DC ，即23BD BC =, ∴23BD CE BC ==， ∵AD=AE ∴222DE AD AE AD =+=∴∠B =∠ACB =45° ∴∠BCE =∠ACB+∠ACE =90°∴CD 2+CE 2=DE 2，即22212()()233BC BC AD +=， ∴106AD BC =； （3）如图，过点A 作AM BC ⊥交BC 于点M∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ∴12BM CM BC ==∴12AM BM CM BC ===∴()1122AM BC BD CD ==-，()1122DM CM CD BC CD BD CD =+=+=+ ∵222AM DM AD +=∴()()2221122BD CD BD CD AD ⎡⎤⎡⎤-++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴2222BD CD AD +=． 【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．7．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324【分析】（1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B PAB A B ，'0'21B B PPO，可得点 A 坐标；（2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-=222n m n m+---=2m =-，当m 最小时，r 最大．得到22222n m nm 整理得：2224220nm n m，关于n的一元二次方程有解，即22244220m m化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为422-，即r 的最大值为2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324-．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC ∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC = ∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P - ∴1PO =∴AO BO CO PO === ∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BP B P AB A B∴'0'21B B PPO∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点 ∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP = ∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒ ∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒ ∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE =∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++ AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ， 由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EFr +-=22n m n m+---=2m =∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m nm 整理得： 2224220nm nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--（不合题意，舍去） ∴m 的最小值为422-r 2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键． 8．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决． （1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABCS= ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336；（2）Ⅰ135APB ∠=︒， 722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积； 【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形 ∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚， 如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP =2 ∴AE=1+2∴AB 2=AE 2+BE 2=7+22 ∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2，∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴2 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．9．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP'=120°，AP='AP=2，BP=CP'=4∴PP'3∵∠AP C'=120°，∠AP P'=30°，∴∠PP C'=90°，∴()2223427+=．当点P在△ABC外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '=23， ∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+= ． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．10．如图，直线y ＝﹣x +c 与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点C ，过点B ，C 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式和点A 的坐标；（2）P 是直线BC 上方抛物线上一动点，PA 交BC 于 D ．设t ＝PD AD，请求出t 的最大值和此时点P 的坐标；（3）M 是x 轴上一动点，连接MC ，将MC 绕点M 逆时针旋转90°得线段ME ，若点E 恰好落在抛物线上，请直接写出此时点M 的坐标． 答案：A解析：（1）y＝﹣x2+2x+3，A（﹣1，0）；（2）t的最大值为916，此时P （32，154）；（3）M（9332-，0）或（9332+，0）．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；（2）连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过等P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H．设M（m，0），利用全等三角形的性质求出点E的坐标（用m表示），再利用待定系数法解决问题即可．【详解】解：（1）∵直线y＝﹣x+c与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C，∴0＝﹣3+c，解得c＝3，∴C（0，3），∵抛物线经过B，C，∴9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0）；（2）如图，连接AC，PC，PB，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F．设P（m，﹣m2+2m+3）．∵AE∥PF，∴△PFD∽△AED，∴PDAD ＝PFAE，∵S△PBC＝12•BC•PF，S△ACB＝12•BC•AE，∴PDAD ＝PBCABCSS∆∆，∵S △ABC ＝12•AB •OC ＝12×4×3＝6， ∴t ＝PD AD ＝6PBC S ∆＝211133(23)332226m m m ⨯⨯+⨯⨯-++-⨯⨯＝﹣14m 2+34m ＝﹣14（m ﹣32）2+916， ∵﹣14＜0， ∴m ＝32时，t 有最大值，最大值为916，此时P （32，154）； （3）如图，过点E 作EH ⊥x 轴于H ，∵∠COM ＝∠EHM ＝∠CME ＝90°，∴∠EMH +∠CMH ＝90°，∠EMH +∠MEH ＝90°，∴∠MEH ＝∠CMO ，∵MC ＝ME ，∴△COM ≌△MHE （AAS ），∴OC ＝MH ＝3，OM ＝EH ，设M （m ，0），则E （m ﹣3，﹣m ），把E （m ﹣3，﹣m ）代入y ＝﹣x 2+2x +3，可得﹣（m ﹣3）2+2（m ﹣3）+3＝﹣m ， 整理得，m 2﹣9m +12＝0，解得m 933-933+， ∴M 933-，0933+0）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角形，利用几何的性质进行点坐标的求解．11．综合与实践实践操作：①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．问题解决：（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：请根据小明的探索直接写出图1中线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系为 ： （2）猜想图2中四边形ADGF 的形状，并说明理由；问题再探：（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB 的长为 ．答案：C解析：（1）CD+CF=AC ；（2）四边形ADGF 为正方形；理由见解析；（3）13【分析】（1）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；（2）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；（3）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．【详解】解：（1）如图：由旋转得：∠DAF=60°=∠BAC，AD=AF，∴∠BAD=∠CAF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴∠ADB=∠AFC，BD=CF，∵∠ADC+∠ADB=∠AFC+∠AFE=180°，∴C、F、E在同一直线上，∴AC=BC=BD+CD=CF+CD，+=；故答案为：CD CF AC（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：如图：∵Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，∴AF=AD，∠DAF=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠DAF=∠F=90°，∴四边形ADGF是矩形，∵AF=AD，∴四边形ADGF是正方形；（3）如图3，连接DE，∵四边形ADGF是正方形，DG=FG=AD=AF=6，∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF，∴∠BAD=∠EAF，BD=EF=2，∴EG=FG-EF=6-2=4，∵将△AFE沿AE折叠得到△AME，∴∠MAE=∠FAE，AF=AM，∴∠BAD=∠EAM，∴∠BAD+∠DAM=∠EAM+∠DAM，即∠BAM=∠DAE，∵AF=AD，∴AM=AD，在△BAM和△EAD中，∵AM ADBAM DAEAB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAM≌△EAD（SAS），∴BM=DE=22EG DG+=2246213+=．故答案为：213．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．12．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）求证：BF⊥AE；（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE＝∠CAB，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==，∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。

1.四边形是正方形，△是等腰直角三角形，∠90°，，连接，G 为的中点，连接，，．(1)如图1，若点E在边的延长线上，直接写出与的位置关系及的值；(2)将图1中的△绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若1，，当E，F，D三点共线时，求的长及∠的值．解：（1）⊥，=，理由是：过G作⊥于H，∵∠∠90°，∴∥∥，∵G为中点，∴H为中点，∴，（）=（），即，∴∠90°，即△是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，∵在△和△中∴△≌△（），∴，∠∠，∴∥，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠180°-∠4=180°-∠1=∠，在△和△中∴△≌△．∴，∠∠，∴∠∠∠∠∠∠90°，∴△是等腰直角三角形，∵G为的中点，∴⊥，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接，∵，正方形，∴2，∴∠，∴∠60°，∴∠∠∠15°，∴∠45°-15°=30°，∴∠，∴，∴1．解析：（1）过G作⊥于H，推出∥∥，求出H为中点，根据梯形的中位线求出，（）=（），推出，根据直角三角形的判定推出△是等腰直角三角形即可；（2）延长到H，使，连接、，过E作的垂线，延长，证△≌△，推出，∠∠，求出∠∠，证出△≌△，推出，∠∠，求出△是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接，求出∠，推出∠60°，求出∠30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形和等腰直角三角形，，∠90°，按图1放置，使点E在上，取的中点G，连接，．(1)延长交于H，试说明：．(2)将图1中△绕B点逆时针旋转45°，连接，取中点G(如图2)，莎莎同学发现：且⊥．在设法证明时他发现：若连接，则D，E，B三点共线．你能写出结论“且⊥”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接，取的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠90°，∴∥，∴∠∠，而∠∠，，∴△≌△，∴，而，∴；（2）连接，如图，∵△为等腰直角三角形，∴∠45°，而四边形为正方形，∴∠45°，∴D，E，B三点共线．而∠90°，∴△为直角三角形，而G为的中点，∴，∴∠2∠90°，∴且⊥；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，如图，∵G为的中点，O为的中点，M为的中点，∴∥，∥，∴四边形为平行四边形，∴，，而，，∴，，∵∠∠，而∠∠90°，∴∠∠，∴△≌△，∴，∠∠，又∵∠∠，∠∠∠，∴∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°，∴且⊥．解析：（1）由∠90°，得到∥，而，易证得△≌△，得，而，即可得到结论．（2）连接，如图2，由△为等腰直角三角形，得∠45°，而四边形为正方形，得∠45°，得到D，E，B三点共线，而G为的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，于是∠2∠90°，即得到结论．（3）连接、相交于点O，取的中点M，连接、、，由G为的中点，O为的中点，M为的中点，根据三角形中位线的性质得∥，∥，得到，，而，，得到，，又∠∠，而∠∠90°，得∠∠，则△≌△，得到，∠∠，而∠∠，∠∠∠，所以有∠∠∠∠∠∠∠∠45°+45°=90°．3.已知正方形和等腰△，，∠90°，按图①放置，使点F在上，取的中点G，连接、．(1)探索、的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△绕B点顺时针旋转45°，再连接，取中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接，取的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）且⊥．证明如下：如图①，连接．∵正方形和等腰△，∴∠∠45°．∴B、E、D三点共线．∵∠90°，G为的中点，∠90°，∴．∴∠2∠，∠2∠．∴∠∠2∠90°，即∠90°，∴⊥．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长交于点H．∵⊥，∴∥，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，，∴△≌△，∴，．∵△为等腰直角三角形，∴，∴．∵，∴．∴△为等腰直角三角形．又∵，∴且⊥．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长至H，使，连接交于M，连接、．∵，∠∠，，∴△≌△，∴，∠∠，∴∥．∵正方形，∴，⊥．∵△是等腰直角三角形，∴，∠∠，∴△≌△，∴，∠∠，∴∠∠90°，∴△为等腰直角三角形．又∵，∴且⊥．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明，得到∠2∠，∠2∠，从而证得∠90°；（2）首先证明△≌△，然后证明△为等腰直角三角形．可以证得：且⊥．（3）首先证明：△≌△，即可证得：△为等腰直角三角形，从而得到：且⊥．已知，正方形中，△为等腰直角三角形，且为底，取的中点G，连接、．（1）如图1，若△的底边在上，猜想和的数量关系为；（2）如图2，若△的直角边在上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△的直角边在∠内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1），（1分）理由如下： ∵△为等腰直角三角形，∴∠90°，又G 为斜边的中点， ∴ ， ∵为正方形， ∴∠90°，又G 为斜边的中点，∴ ，∴；（2）成立．如图，延长交于M ，∵∠∠∠90°，∴∥，∴∠∠，又∠∠，，1212∴，即G 为的中点．∴为直角△的斜边上的中线，∴ ；（3）成立．取的中点H ，连接，，取的中点O ，连接，．∵，∠90°，∴． ∵，∴∥，且 ，∥，且 ， ∴．∵△为等腰直角三角形．∴∴．∵四边形为平行四边形，∴∠∠．∵∠∠90°．∴∠∠．121 212 1 2∴．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1），理由为：根据三角形为等腰直角三角形，得到∠为直角，又G为中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到为的一半，同理在直角三角形中，得到也等于的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长交于M，如图所示，根据“”得到三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到与相等，即G为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到与相等都等于斜边的一半，得证；（3）成立．理由为：取的中点H，连接，，取的中点O，连接，，如图所示，因为直角三角形中，O为斜边的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到等于的一半，由为三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到等于一半，等于的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等于的一半，根据等量代换得到与相等，再根据为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠与∠相等，利用“”得到△与△全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。

1．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为，数量关系为②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE⊥BC？请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，2），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB＝AC；（2）∠CAP的度数是；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；（4）在（3）的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标：．（直接写出答案，不需要说明理由．）3．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE＝CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是度；（2）如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？5．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a ﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．7．已知AB∥CD（1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数；（2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝．8．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．9．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．10．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．（1）求证：BC＝AD．（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE 的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．12．知识背景我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系．发现：（1）BC与CF之间的数量关系为．探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论．拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF 的形状．13．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C 分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？15．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD＝CE，BE＝CF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．17．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE＝AC，连接DE．（1）求证：AB＝AC+CD；（2）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的平分线时，线段AB、AC、CD之间又有怎样的数量关系？只写出你的猜想，不用证明；（3）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．18．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”﹣﹣乔治•波利亚．（1）观察猜想如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D在AC上，点E在BC上，且CD ＝CE．则BE与AD的数量关系是，直线BE与直线AD的位置关系是；（2）拓展探究如图2，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，点M是AB 的中点．点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90°，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时∠CPM的值．19．已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，（1）若点E，F分别是AB，AC的中点，则△DEF是三角形；（2）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．参考答案与解析1．如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边且在AD 的右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的位置关系为垂直，数量关系为相等②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．（2）如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．探究：当∠ACB 多少度时，CE⊥BC？请说明理由．【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD ≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．【解答】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE＝BD．理由：如图1，∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又BA＝CA，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝∠B＝45°且CE＝BD．∵∠ACB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°+45°＝90°，即CE⊥BD．故答案为：垂直，相等；②都成立．∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△DAB与△EAC中，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴CE＝BD，∠B＝∠ACE，∴∠ACB+∠ACE＝90°，即CE⊥BD；（2）当∠ACB＝45°时，CE⊥BD（如图2）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，…（8分）在△GAD与△CAE中，∴△GAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠AGC＝45°，∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，即CE⊥BC．【点评】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．2．如图，在平面直角坐标系中，△AOP为等边三角形，A（0，2），点B为y轴上一动点，以BP为边作等边△PBC，延长CA交x轴于点E．（1）求证：OB＝AC；（2）∠CAP的度数是60°；（直接写出答案，不需要说明理由．）（3）当B点运动时，猜想AE的长度是否发生变化？并说明理由；（4）在（3）的条件下，在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，请写出点Q的坐标：（0，﹣2）或（0，6）．（直接写出答案，不需要说明理由．）【分析】（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，证出△PBO≌△PCA即可；（2）当点B在y轴正半轴上时，由（1）知∠PBO＝∠PCA，根据∠BAC＝∠BPC＝60°，当点B在y轴负半轴上时，判断出△APC≌△OPB（SAS），即可求出答案．（3）∠EAO＝60°，求出∠AEO＝30°，得出AE＝2AO，求出即可．（4）分点Q在y轴正半轴和负半轴两种情况计算即可．【解答】（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，∴∠APO+∠APB＝∠BPC+∠APB，即∠OPB＝∠APC，在△PBO和△PCA中，∴△PBO≌△PCA（SAS），∴OB＝AC；（2）解：当点B在y轴正半轴上时，由（1）知∠PBO＝∠PCA，∴∠BAC＝∠BPC＝60°，又∵∠OAP＝60°，∴∠CAP＝60°．当点B在y轴负半轴上时，如图，∵△AOP和△BCP是等边三角形，∴AP＝OP，PC＝PB，∠AOP＝∠APO＝∠BPC＝60°，∴∠APC＝∠OPB，∴△APC≌△OPB（SAS），∴∠CAP＝∠BOP＝180°﹣∠AOP＝120°，∵延长CA交x轴于点E，∴此种情况不符合题意，舍去，故答案为60°；（3）解：当B点运动时，AE的长度不发生变化，理由是：∵A（0，2），∴OA＝2，∵∠EAO＝∠BAC＝60°，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°，∴AE＝2AO＝4，即当B点运动时，AE的长度不发生变化．（4）由（3）知，AE＝4，∠OAE＝60°，当点Q在y轴负半轴时，∵OA⊥AE，∴点Q与点A关于x轴对称，∴Q（0，﹣2），当点Q在y轴正半轴时，EQ＝AE＝4，∴OQ＝OA+EQ＝6，∴Q（0，6）．即：满足条件的点Q的坐标为（0，﹣2）或（0，6），故答案为（0，﹣2）或（0，6）．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力．3．（1）在等边三角形ABC中，①如图①，D，E分别是边AC，AB上的点且AE＝CD，BD与EC交于点F，则∠BFE的度数是60度；②如图②，D，E分别是边AC，BA延长线上的点且AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，此时∠BFE的度数是60度；（2）如图③，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB是锐角，点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，点D，E分别在AC，OA的延长线上，AE＝CD，BD与EC的延长线交于点F，若∠ACB＝α，求∠BFE的大小．（用含α的代数式表示）．【分析】（1）只要证明△ACE≌△CBD，可得∠ACE＝∠CBD，推出∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°；（2）只要证明△ACE≌△CBD，可得∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°；（3）只要证明△AEC≌△CDB，可得∠E＝∠D，即可推出∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α；【解答】解：（1）如图①中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD，∴∠BFE＝∠CBD+∠BCF＝∠ACE+∠BCF＝∠BCA＝60°．故答案为60．（2）如图②中，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝CB，∠A＝∠BCD＝60°，∴∠CAE＝∠BCD＝′120°∵AE＝CD，∴△ACE≌△CBD，∴∠ACE＝∠CBD＝∠DCF，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠D+∠CBD＝∠BCA＝60°．故答案为60．（3）如图③中，∵点O是AC边的垂直平分线与BC的交点，∴OC＝OA，∴∠EAC＝∠DCB＝α，∵AC＝BC，AE＝CD，∴△AEC≌△CDB，∴∠E＝∠D，∴∠BFE＝∠D+∠DCF＝∠E+∠ECA＝∠OAC＝α．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．4．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE＝3cm，AD＝9cm．求：（1）DE的长；（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？【分析】（1）由余角的性质，推出∠CBE＝∠ECA，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE＝CD，CE＝AD，再由BE＝3cm，AD＝9cm，结合图形即可推出DE＝6cm，（2）根据余角的性质推出∠CBE＝∠ACD，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE＝CD，CE＝AD，再由BE＝3cm，AD＝9cm，结合图形即可推出DE＝12cm．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠ECA＝90°，∴∠CBE＝∠ECA，∠BEC＝∠CDA，∵在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴CD＝3cm，CE＝9cm，∴DE＝CE﹣CD＝6cm．（2）∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠CBE＝∠ACD，∵在△CBE和△ACD中，，∴△CBE≌△ACD（AAS），∴BE＝CD，CE＝AD，∵BE＝3cm，AD＝9cm，∴DE＝CD+CE＝BE+AD＝12cm．【点评】本题主要考查垂直的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于根据相关的判定定理推出相关的三角形全等．5．在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴，y轴于A（a，0），B（0，b），且满足a2+b2+4a ﹣8b+20＝0．（1）求a，b的值；（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为（4，0）；②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．②分两种情形：如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0∴a＝﹣2，b＝4．（2）①如图1中，∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0）．故答案为（4，0）．②∵a＝﹣2，b＝4∴OA＝2OB＝4又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．∴∠PCB＝∠BOA＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠BAP＝∠APB＝45°，∴BA＝BP，又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，∴△ABO≌△BPC（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，∴P（4，2）．②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．∴∠PDA＝∠AOB＝90°，又∵∠APB＝45°，∴∠ABP＝∠APB＝45°，∴AP＝AB，又∵∠BAD+∠DAP＝90°，∠DP A+∠DAP＝90°，∴∠BAD＝∠DP A，∴△BAO≌△APP（AAS），∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，∴P（2，﹣2）．综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为AB⊥BE；线段BD、AB、EB的数量关系为AB＝BD+BE；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）利用全等三角形的性质可得结论．（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可．（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可．【解答】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED＝•AD•EB＝×12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED＝•AD•EB＝×2×2＝2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知AB∥CD（1）如图，∠A＝40°，∠C＝78°，BP是∠ABG的平分线，DP是∠CDG的平分线，求∠P的度数；（2）如果∠A＝α，∠P＝β，其它条件不变，则∠C＝2β﹣α．【分析】（1）根据三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和以及平行线、角平分线的性质即可求解；（2）根据外角等于不相邻的两个内角的和可以求解．【解答】解：（1）∵AB∥CD，DP是∠CDG的平分线，∴∠CDA＝∠A＝40°，∠CDP＝∠PDA＝20°；同理，∠P AB＝∠CBP＝39°在△CDM中，∠DMG＝∠CDM+∠C＝78°+20°＝98°，在△BPM中，根据三角形的外角的性质可以得到：∠P＝∠DMG﹣∠PBM＝98°﹣39°＝59°；（2）∵AB∥CD∴∠ABP＝∠PBC＝∠C在△CDM和△PBM中，根据三角形的外角的性质，即可得到：∠DMB＝∠C+α＝∠P+∠PBC即：∠C+α＝β+∠C则∠C＝2β﹣α．【点评】本题主要考查了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，平行线和角平分线的性质，结合图形找出各角间的关系是解题的关键．8．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠AEB的度数．【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD＝BE；（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC＝120°，从而可以求出∠AEB的度数；【解答】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，又∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴AD＝BE；（2）在等边△ECD中，∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC＝∠ADC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°．【点评】主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．9．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAE＝∠ABD，根据“AAS”证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得到DE＝BD+CE；（2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得到∠BAD＝∠ACE，由AAS定理证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，DA＝CE，得出结论；（3）根据等边三角形的性质得到∠BAC＝120°，证明△BAD≌△ACE，得到BD＝AE，证明△BDF≌△AEF，得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理得到答案．【解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠EAF，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．10．如图，在△ABC与△ABD中，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，AD与BC交于点E．（1）求证：BC＝AD．（2）若AC＝6，BC＝8，求△ACE的周长．【分析】（1）由HL证得Rt△ABC≌Rt△BAD，即可得出结论；（2）由Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠ABC＝∠BAD，则AE＝BE，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC与△ABD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC＝AD；（2）解：由（1）知Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE＝AC+BC＝6+8＝14．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE 的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，即CG平分∠BCD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵CG平分∠BCD，∴．∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝46°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出△BCE是等腰三角形是解题的关键．12．知识背景我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题：如图1，△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，D是BC的中点，以AD为腰作等腰△ADE，且满足∠DAE＝90°，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系．发现：（1）BC与CF之间的数量关系为BC＝CF．探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论．拓展：（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出△BCF 的形状．【分析】（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而判断出△ABD≌△ACE，得出∠ACE＝∠B ＝45°，进而得出∠BCF＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法即可得出结论．【解答】解：（1）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．故答案为：BC＝CF；（2）BC＝CF．理由：∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠F＝90°，∴∠F＝45°，∴∠B＝∠F，∴BC＝CF．（3）△BCF是等腰直角三角形．理由：如备用图，∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°．∵∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．∵△ADE是以AD为腰的等腰三角形，∴AD＝AE．在△ABD与△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°．∵∠ACB＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠B+∠BFC＝90°，∴∠BFC＝45°，∴∠B＝∠BFC，∴△BCF是等腰三角形，∵∠BCF＝90°，∴△BCF是等腰直角三角形．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，判断出△ABD≌△ACE是解本题的关键．13．（1）如图①，OP是∠MON的平分线，点A为OP上一点，请你作一个∠BAC，B、C 分别在OM、ON上，且使AO平分∠BAC（保留作图痕迹）；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，△ABC的平分线AD，CE相交于点F，请你判断FE与FD之间的数量关系（可类比（1）中的方法）；（3）如图③，在△ABC中，如果∠ACB≠90°，而（2）中的其他条件不变，请问（2）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，说明理由．【分析】（1）在射线OM，ON上分别截取OB＝OC，连接AB，AC，则AO平分∠BAC；（2）过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FG＝FH＝FK，根据四边形的内角和定理求出∠GFH＝120°，再根据三角形的内角和定理求出∠AFC＝120°，根据对顶角相等求出∠EFD＝120°，然后求出∠EFG＝∠DFH，再利用“角角边”证明△EFG和△DFH全等，根据全等三角形对应边相等可得FE＝FD；（3）过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，首先证明∠GEF＝∠HDF，再证明△EGF≌△DHF可得FE＝FD．【解答】解：（1）如图①所示；（2）如图②，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FK，在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，∴∠F AC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠F AC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，∴∠EFD＝∠AFC＝120°，∴∠EFG＝∠DFH，在△EFG和△DFH中，，∴△EFG≌△DFH（ASA），∴FE＝FD；（3）成立，理由：如图c，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H．∴∠FGE＝∠FHD＝90°，∵∠B＝60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，∴∠F AC+∠FCA＝60°，F是△ABC的内心，∴∠GEF＝∠BAC+∠FCA＝60°+∠BAD，∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上，∴FG＝FH（角平分线上的点到角的两边相等）．又∵∠HDF＝∠B+∠BAD（外角的性质），∴∠GEF＝∠HDF．在△EGF与△DHF中，，∴△EGF≌△DHF（AAS），∴FE＝FD．【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形△AOB，点C为x正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形△CBD，连接DA并延长，交y轴于点E．（1）求证：△OBC≌△ABD．（2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【分析】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD；（2）由△AOB是等边三角形知∠BOA＝∠OAB＝60°，再由△OBC≌△ABD知∠BAD ＝∠BOC＝60°，根据∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD可得结论；（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得∠EAC＝120°，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，求得AC＝AE＝2，据此得到OC＝1+2＝3，即可得出点C的位置．【解答】解：（1）∵△AOB，△CBD都是等边三角形，∴OB＝AB，CB＝DB，∠ABO＝∠DBC，∴∠OBC＝∠ABC，在△OBC和△ABD中，∵，∴△OBC≌△ABD（SAS）；（2）点C在运动过程中，∠CAD的度数不会发生变化，理由如下：∵△AOB是等边三角形，∴∠BOA＝∠OAB＝60°，∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD＝∠BOC＝60°，∴∠CAD＝180°﹣∠OAB﹣∠BAD＝60°；（3）∵△OBC≌△ABD，∴∠BOC＝∠BAD＝60°，又∵∠OAB＝60°，∴∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠EAC＝120°，∠OEA＝30°，∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，∵在Rt△AOE中，OA＝1，∠OEA＝30°，∴AE＝2，∴AC＝AE＝2，∴OC＝1+2＝3，∴当点C的坐标为（3，0）时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形．【点评】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解决本题的关键是利用等腰三角形的性质求出点C的坐标．15．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD＝CE，BE＝CF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF＝60°，可以证出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，理由：∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B要△DEF是等边三角形，只要∠DEF＝60°．所以，当∠A＝60°时，∠B＝∠DEF＝60°，则△DEF是等边三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，关键是证明△DBE≌△ECF．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）由AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，BE＝CF，BD＝CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形．（2）根据∠A＝40°可求出∠ABC＝∠ACB＝70°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；。

1.如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，点M 、N 在边BC 上． （1）如图1，如果AM = AN ，求证：BM = CN ； （2）如图2，如果M 、N 是边BC 上任意两点，并满足45MAN ∠=︒，那么线段BM 、MN 、 NC 是否有可能使等式222MN BM NC =+ 成立？如果成立，请证明；如果不成立， 请说明理由．2.如图,把矩形ABCD 折叠,使点C 落在AB 上的点C ˋ处(C ˋ与A 、B 不重合),点D 落在点D ˋ处,此时C ˋD ˋ交AD 于点E,折痕为MN. （1） 如果AB=1,BC=34,当C ˋ点在什么位置时,可使△NBC ˋ≌△C ˋAE; （2） 如果AB=BC=1,使△NBC ˋ≌△C ˋAE 的C ˋ点还存在吗？,若存在,求出C ˋ点的位置;若不存在,请说明理由.3.已知：在△ABC 中，∠CAB 和∠ABC 的平分线AD 、BE 交于点P 。

（1） 当△ABC 为等边三角形（如图1）时，求证：EP =DP ；（2） 当△ABC 不是等边三角形，但∠ACB =600（如图2）时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

ABCM NED `C `NMDCBAAB（图1） AB CDEP（图2）4.已知在∆ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D 点在边BC 上，BF ⊥AC 分别交射线DA 、射线CA 于点E 、F ，若BD=4，∠BAD= 45. （1）如图5：若∠BAC 是锐角，则点F 在边AC 上，① 求证：∆BDE ≌∆ADC ； ② 若DC=3，求AE 的长；（2）若∠BAC 是钝角，AE=1，求AC 的长5.已知在△ABC 中，45ABC ︒∠=，高AD 所在的直线与高BE 所在的直线交于点F ，过点F 作FG ∥BC ，交直线AB 于点G ,联结CF .（1）当△ABC 是锐角三角形时（如图a 所示），求证：AD FG CD =+； （2）当BAC ∠是钝角时（如图b 所示），①写出线段AD 、CD 、FG 三者之间的数量关系，不必写出证明过程，直接写结论；②当BE FE =,4BD =时，求FG 的长.6.已知：如图，D 是等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上一动点，CE ⊥CD ，且CE =CD ．试探究：（1）在点D 的运动过程中，是否存在与线段AD 始终相等的线段？如果存在，请证明；如果不存在，请说明理由．（2）△ACD 与△EDB 能否全等？如果能，请指出这两个三角形全等时点D 的位置，并证明你的判断；如果不能，请说明理由．A BD CEF图5A BD C备用图GFEDCB A第27（a ）题GFEDBA第27（b ）题CABDE7.在△ABC 中，∠ACB =90°，D 是AB 的中点，过点B 作∠CBE =∠A ，BE 与射线CA 相 交于点E ，与射线CD 相交于点F ．(1)如图, 当点E 在线段CA 上时, 求证：BE ⊥CD ；(2)如果BE =CD ，那么线段AC 与BC 之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；(3)如果△BDF 是等腰三角形，求∠A 的度数．8.已知ABC ∆中，AC =BC , =120C ∠,点D 为AB 边的中点，60EDF ∠=,DE 、DF 分别交AC 、BC 于E 、F 点．（1）如图（图1），若EF ∥AB ．求证：DE =DF ．（2）如图（图2），若EF 与AB 不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．（图1）ABECD F（图2）ABECD F9.如图（图1）,已知ABC ∆中, BC =3, AC =4, AB =5,直线MD 是AB 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于M 、D 点. （1）求线段DC 的长度；（2）如图（图2），联接CM ，作ACB ∠的平分线交DM 于N .求证:CM ＝MN .10.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D （D 在BC 边上），BE ⊥AC ，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，联结ME 、MD 、ED 。

几何证明练习题及答案题目1：已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形ACD全等。

答案：由于AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角BAD等于角CAD。

又因为AD垂直于BC，所以角ADB和角ADC都是直角。

因此，我们有：- AD=AD（公共边）- ∠BAD=∠CAD（等腰三角形的性质）- ∠ADB=∠ADC=90°（直角）根据SAS（边角边）全等条件，三角形ABD与三角形ACD全等。

题目2：已知三角形ABC中，AB=AC，点E在AB上，点F在AC上，且BE=CF。

证明：三角形AEF是等腰三角形。

答案：由于AB=AC，三角形ABC是等腰三角形。

根据等腰三角形的性质，角ABC等于角ACB。

又因为BE=CF，我们可以得出：- AB=AC（已知）- BE=CF（已知）- ∠ABC=∠ACB（等腰三角形的性质）根据SSS（边边边）全等条件，三角形BEC与三角形CFB全等。

因此，角BEC等于角CFB。

由于角AEF是三角形AEF的外角，根据外角定理，角AEF等于角BEC加角CFB。

因此：- ∠AEF=∠BEC+∠CFB- ∠AEF=2∠BEC（因为∠BEC=∠CFB）由于角AEF是三角形AEF的两个相等的角，所以三角形AEF是等腰三角形。

题目3：已知四边形ABCD中，AB平行于CD，BC平行于AD，且AB=CD。

证明：四边形ABCD是平行四边形。

答案：由于AB平行于CD且BC平行于AD，根据平行四边形的定义，我们可以推断出AD也平行于BC。

因此，四边形ABCD的对边都是平行的。

又因为AB=CD，根据平行四边形的判定条件，我们可以得出四边形ABCD是平行四边形。

题目4：已知三角形ABC中，角A等于角C，点D在BC上，且AD垂直于BC。

证明：三角形ABD与三角形CBD是等腰三角形。

答案：由于角A等于角C，根据三角形内角和定理，我们可以得出角A+角C+角B=180°。

初中几何证明题经典题（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．求证：△PBC是正三角形．（初二）.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

.如下图做GH⊥AB,连接EO。

由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又CO=EO，所以CD=GF得证。

APCDBAFGCEBOD3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1 C B DA A 1 BF2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEFB 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD．（初三）经典1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、 设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．经典题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。

初二数学平行四边形：几何证明题之五兆芳芳创作1.在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 辨别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ． （1）请判断四边形EFGH 的形状，并赐与证明；（2）试探究当满足什么条件时，使四边形EFGH 是菱形，并说明理由.2.如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=10，将△ABC 绕点B 沿顺时针标的目的旋转90°得到△A1BC1． （1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是．（2）连接CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形．3. 如图，矩形ABCD 中，点P 是线段AD 上一动点，O 为BD 的中点，PO 的延长线交BC 于Q.（1）求证：OP=OQ ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向D 运动（不与D 重合）.设点P 运动时间为t 秒，请用t 暗示PD 的长；并求t 为何值时，四边形PBQD 是菱形． 4.已知：如图，在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将△ABE 沿BC 标的目的平移，使点E 与点C 重合，得△GFC. ⑴求证：BE DG ；⑵若∠B 60，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论.5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC ＝AD ； （2）AB ＝BC ＋AD ．6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE.（1）求证：△ABE ≌△ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由.7.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F. （1）求证：△ABE ≌△DFE （2）连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状，并说明理由.8. 如图，已知点D 在△ABC 的BC 边上，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC于F ．（1）求证：AE ＝DF ； （2）若AD 平分∠BAC ，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由．9. 如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BFDE ． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形；BF CG DH B A 1 C 1A C A D G C B F E A Q C D P B O A B E D C A D E F C B A B C D E F E A F D B（2）选择（110.在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=DC ，过点D 作E ，并延长DE 至点F ，使EF=DE.连接BF 、CF 、AC.（1）求证：四边形ABFC 是平行四边形；（2）若CE BE DE ⋅=2,求证：四边形ABFC 是矩形. 11.如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 、AE 辨别是∠BAC 和∠BAC 的外角平分线，BE ⊥AE.（1）求证：DA ⊥AE （2）试判断AB 与DE 是否相等？并说明理由.12.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 上一动点（不与B 、C 重合），作DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F.（1）当点D 在BC 上运动时，∠EDF 的大小（变大、变小、不变）（2）当AB=10时，四边形EDF 的周长是多少？ （3）点D 在BC 上移动的进程中，AB 、DE 与DF 总存在什么数量关系？请说明. 13.如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于E.（1）求证：四边形AECD 是菱形； （2）若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并什么理由. 14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连结AE 并延长交DC 的延长线于点F. （1）求证：AB=CF （2）当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形？并说明.15.如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE 于点F.（1）求证:△BCG ≌△DCE（2）将△DEC 绕点D 顺时针旋转90°得到△DMA,判断四边形MBGD 是什么特殊四边形？并说明理由.16.将平行四边形纸片ABCD 如图方法折叠，D’处，折痕为EF.（1）求证：△ABE ≌△AD’F （2）连结CF ，判断四边形AECF 17.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E.（1）求证：四边形ADCE 是矩形； （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是正方形？说明理由.18.四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连结AE 、CG.（1）求证：AE=CG ；A B F C D E A FC D E B AB C F E D A B C D EA B F C D E C A B D M N E AB F G（2）猜测AE 与CG 的位置关系，并证明.19.如图，在四边形ABFC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF=AE.（1）试探究四边形BECF 是什么特殊四边形，并说明理由；（2）当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请答复并证明你的结论.20.如图，在□ABCD 中，AB ⊥AC ，AB=1，BC=5，对角线AC 、BD 相交于点O ，将直线AC 绕点O 顺时针旋转，辨别交BC 、AD 于点E 、F.（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形；（2）试探究在旋转进程中，线段AF 与EC 有怎样的数量关系，并证明；（3）在旋转进程中，四边形BEDF 可能是菱形吗？如果不克不及，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.21.如图，B 、C 、E 是同一直线上的三个点，四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，连结BG 、DE. （1）猜测BG 与DE 之间的大小关系，并证明你的结论；（2）在图中是否存在通过旋转能够相互重合的两个三角形？若存在，请指出，并说明旋转进程；若不存在，请说明理由.22.如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过点、CD 的延长线辨别交于点E 、F.（1）求证：△BOC ≌△DOF ； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，四边形23.如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 辨别在边DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和（1（2）判断四边形ABDF 的形状，并说明理由. 24. 如图，△ABC 是等边三角形，点D 是线段重合)， △ADE 是以AD 为边的等边三角形，过E 、AC 于点F 、G ，连结BE.（1）求证：△AEB ≌△ADC ； （2）四边形BCGE 是怎样的四边形？说明理由.B E AC FD A B C D FE O A B CD F。