线性代数1-2章精选练习题

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

设有矩阵，（m≠n），下列运算结果不是阶矩阵的是（）.A、BAB、ABC、D、设矩阵A可以左乘矩阵B，则（）.A、B、C、D、若|A|=0，则A=（）.A、0矩阵B、数字0C、不一定是0矩阵D、A中有零元素两个n阶初等矩阵的乘积为（）.A、初等矩阵B、单位矩阵C、可逆阵D、不可逆阵若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关，则A的秩（）.A、大于mB、大于nC、等于nD、等于n矩阵A经有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、A与B相似B、A与B不等价C、A与B相等D、r(A)=r(B)设m×n阶矩阵A,B的秩分别为，则分块矩阵(A,B)的秩r适合关系式（）. A、B、C、D、矩阵A经过初等变换后（）.A、不改变它的秩B、改变它的秩C、改变它的行秩D、改变它的列秩设A为三阶方阵，且|A|=-2，则矩阵|A|A行列式||A|A|=（）.A、16B、-16C、8D、-8两矩阵A与B既可相加又可相乘的充要条件是（）.A、A、B是同阶方阵B、A的行数=B的行数C、A的列数=B的列数D、A的行数、列数分别等于B的行数、列数初等矩阵（）.A、相乘仍为初等阵B、相加仍为初等阵C、都可逆D、以上都不对线性方程组有解的充分必要条件是a=（）.A、B、-1C、D、1存在有限个初等矩阵，使是A为可逆矩阵的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件矩阵A经过有限次初等行变换后变成矩阵B，则（）.A、r(A)≠r(B)B、A与B相等C、A的行向量组与B的行向量组等价D、A与B不等价设，，，，则向量组共有（）个不同的极大无关组.A、1B、2C、3D、4设n阶矩阵A的秩为r，则结论（）成立.A、|A|≠0B、|A|=0C、r>nD、已知矩阵则（）.A、0B、1C、2D、3设A、B均为n阶方阵，则必有（）.A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、|AB|=|BA|D、若均为n阶可逆矩阵，则（）. A、B、C、D、阵的行向量组（）.A、一定线性无关B、一定线性相关C、不能确定D、以上都不对一个向量组若有两个或两个以上的极大无关组，则各个极大无关组所含向量个数必（）.A、不相等B、相等C、大于零且小于2D、大于零且小于3设是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的基础解系B、不一定是的解C、不一定是的解D、有可能是的基础解系设A,B均为n阶矩阵，如果则必有（）.A、A=EB、B=0C、A=BD、AB=BA设n阶矩阵A,B,C满足ABC=E，则必有（）.A、ACB=EB、BAC=EC、CBA=ED、BCA=E设矩阵，则下列结论不正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是可逆矩阵设矩阵，则下列结论正确的是（）.A、A是上三角矩阵B、A是下三角矩阵C、A是对称矩阵D、A是对角矩阵已知，则A=（）.A、B、C、D、下列矩阵中，不是初等矩阵的是（）.A、B、C、D、设是齐次线性方程组的二个线性无关的解向量，则（）.A、一定是的一个基础解系B、有可能是的一个基础解系C、不是的一个解D、不是的一个解设A为n阶方阵，且|A|=8，A*是A的伴随矩阵，则AA*是（）.A、数量矩阵B、单位矩阵C、三角矩阵若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含有D的r+1阶子式等于零，则一定有（）. A、B、设n阶方阵A可逆，数k≠0，则（）.A、B、C、D、给定矩阵，，，下列（）运算可行.A、ACB、CBC、ABCD、AB-BC. =（）.A、B、C、D、一个n维向量组线性相关的充要条件是其中（）.A、含有零向量B、有两个向量的对应分量成比例C、有一个向量是其余向量的线性组合D、每一个向量是其余向量的线性组合设A与B都是n阶方阵，则r(A+B)（）.A、B、C、D、?若A为n阶可逆矩阵，下列各式正确的是（）.A、B、C、D、C和D都不对若齐次线性方程组（Ⅰ）有非零解，则（Ⅰ）的系数行列式（）.A、等于1B、等于5C、等于零D、不等于零D不对设A是m×n矩阵，齐次线性方程组是非齐次线性方程组的导出组，则（）. A、仅有零解时，有唯一解B、有非零解时，有无穷多解C、有无穷多解时，仅有零解D、有无穷多解时，有非零解C不对设向量可由向量组线性表示，则表示法唯一的充要条件是（）.A、全为非零向量AB不对选C或DB、全为零向量C、线性相关D、线性无关。

1.设A 是n 阶方阵，且A ＝－1，则T A2＝ 。

2. 已知矩阵A 满足O I A A =-+322，则=-1A 。

3. 当k 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=41100001k A 可逆。

4. 设n 维向量组)(,,,,121n s s s <+αααα 线性无关，则向量组ααα12,,, s 的秩为 。

5. 设A 是n m ⨯矩阵，A 的秩为)(n r <，则齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系中含有解向量的个数为 。

6.设A 为三阶方阵，且A =2 ，则A 3-= .7. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112，则1-A ＝ . 8. 已知向量组()()()2,3,1,,3,4,2,,0,===γβαb a 线性相关，则参数b a ,满足条件 .9. 向量组（1，2），（3，4），（4，6）的秩为 .10. 设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，T A 为A 的转置，则B A T = . 11. 若n 阶方阵A ，B ，C 满足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵，则1-C ＝ .12. 向量组)1,2,1(1--=α，)3,6,3(2=α线性 .13. 21,T T 为向量组T 的2个极大线性无关组，则1T 与2T 所含向量个数 .14. 设n 元线性方程组b AX =，则当 时，该方程组有惟一解.1. 假定A 、B 、C 为n 阶方阵，关于矩阵乘法，下述哪一个是错误的 （ ）（A ）)(BC A ABC = （B ）)(kB A kAB =（C ）BA AB = （D ）CB CA B A C +=+)(2. 设行列式333222111c b a c b a c b a =3，则333222111222222222c b a c b a c b a 的值为（ ）（A ） 6 （B ） 3/2 （C ） 18 （D ） 243. 设A 是n 阶可逆矩阵, *A 是其伴随矩阵，则（ ）（A ）*1A A A =- （B ）*1A A =-（C ）*11A A A --= （D ）T A A )(*1=-4. 已知B A 、为n 阶方阵，则下列性质不正确的是（ ）(A) BA AB = (B) )()(BC A C AB =(C) BC AC C B A +=+)( (D) CB CA B A C +=+)(5. 若由AC AB =必能推出C B =，其中A 、B 、C 为同阶方阵，则A 应满足条件（） （A ）A ≠0 （B ）A ＝0（C ）A ＝0 （D ）A ≠06. 向量组)2(,...,21≥s s ααα线性无关的充分必要条件是( )（A ）都不是零向量（B ）任意两个向量的分量不成比例(C)至少有一个向量不可由其余向量线性表示(D)每一个向量均不可由其余向量线性表示7.设B A ,是n 阶方阵，下列等式正确的是 （ ）（A ）BA AB = （B ）T T T B A B A +=+)(（C ）111)(---+=+B A B A （D ）))((22B A B A B A -+=-8.设A 为n 阶满秩方阵，则下列正确的是 （ ）（A ）A 的列向量组线性相关 (B) 0≠A ；(C) A 的行向量组线性相关 (D)n A R <)(9. 设A 为n m ⨯矩阵，r A r =)(，则方程组0=AX 有非零解的充要条件是（ ）（A ）n m < （B ）m r =（C ）m r < （D ）A 的列向量组线性相关。

《线性代数》单元自测题第一章 行列式专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有正号的项，则i = ，j = . 2． 在四阶行列式中同时含有元素13a 和31a 的项为__ ___. 3． 各行元素之和为零的n 阶行列式的值等于 .4．已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+++133312321131131211232221333a a a a a a a a a a a a . 5．设)4,3,2,1(2=i A i 是行列式6932987342322212a w a za y a x中元素2i a 的代数余子式，则=+++423222126397A A A A __ ___. 二、 选择题：1．已知,42124011123313)(x x x x x x f --=则)(x f 中4x 的系数为( )（A ）1- ； （B ）1 ； （C ）2- ； （D ）2 ．2．222111c b a c b a=( ) （A ）b c a b c a 222++； （B ）))()((b c a c a b ---； （C ）)(222a c c b b a ++-； （D ）)1)(1)(1(---c b a ．3．已知0014321≠=-k c b a ， 则063152421-+-+c b a =( )（A ） 0 ； （B ）k ； （C ）k - ； （D ）k 2．4．已知01211421=--λλ，则λ=( ) （A ）3-=λ； （B ）2-=λ； （C ）3-=λ或2； （D ）3-=λ或2-． 三、 计算题：1．计算63123112115234231----=D ．2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值．3．计算4443332225432543254325432=D ．4．计算abb a b a b a D n 000000000000 =．5．计算2111121111211112----=λλλλ n D ．6．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值．《线性代数》单元自测题第二章 矩阵专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221，则)(A R = ．2．设A 是3阶可逆方阵，且m A =，则1--mA = ．3．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A ．4．设A 为3阶方阵，且3=A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=-13A ；=*A ；=--1*73A A ．5． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4000003000002000001100041A ,由分块矩阵的方法得=-1A ． 二、选择题：1． 设A 、B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ） 0=AB 0=⇒A 或0=B ； （B ） TT T A B AB =)(；（C ） B A B A +=+； （D ） 22))((B A B A B A -=-+． 2．设A 为54⨯矩阵，则A 的秩最大为( )（A ）2 ； （B ）3 ； （C ）4 ； （D ）5．3．设C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）（A ）E CBA =； （B ）E BCA =； （C ）E BAC =； （D ）E ACB =．4．当=A （ ）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010301； （C ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300； （D ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130010001． 5．设B A ,均为n 阶方阵，且O E B A =-)(,则（ ） （A ）O A =或E B =； （B ） BA A =；（C ）0=A 或1=B ； （D ） 两矩阵A 与E B -均不可逆．三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221011332A ，求1-A ．2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=032211123A ，且X A AX 2+=，求X ．3．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩为3，求a 的值．4．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001-=Λ， （1）求nA ；（2）设()322+-=x x x f ，求()A f ．四、证明题：1、 设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E A +可逆，并求其逆．2．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．《线性代数》单元自测题第三章 向量组的线性相关性专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6402α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101β，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= ． 2．已知向量组T)1,1,2,1(1-=α，T T t )0,,0,2(,)2,5,4,0(32==αα的秩为2，则=t ． 3．若T)1,1,1(1=α，T)2,3,1(2=α，T b a ),0,(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式 ． 二、单选题：1．下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）T )4321(，T )5201(-，T )8642(；（B ）T )001(-，T )012(，T )423(-；（C ）T)111(-，T )202(-，T )313(-；（D ）T )001(，T )010(，T )100(，T )101(．2．下列向量组中，线性相关的是（ ） （A ）T b a)1(，T c b a )222(+；)0(≠c （B ）T )0001(；（C ）T )0001(，T )1000(，T )0010(； （D ）T )001(，T )010(，T )000(．3、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 01,121,011γβα线性无关，则（ ）（A ）1-=t ； （B ）1-≠t ； （C ）1=t ； （D ）1≠t ．4. 设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ ） （A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；（C ）若m ααα,,21 ，线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若有一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关.5、设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ ）（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成比例；(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题：1．判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36122α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=09244α的线性相关性．2．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21012α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63033α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21114α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40125α的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示出来．3、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0611,231,2211321αααx x ，若此向量组的秩为2，求x 的值。

. .. . ..第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题. .. . ..1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .. .. . ..16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.. .. . ..四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略). .. . ..第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

第一讲 行列式例1、下三角行列式nnnn n nnnn n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a22112211)12(121111211222111)1(000000000=-=-----τ对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积例2、 求xx b x a x 1221102085413+----的4x 和3x 的系数.解析：4x 的系数是1；3x 的系数是-10例3、 求3阶行列式 754102643--=(-3)A 11+4A 12+6A 13=(-3)M 11-4M 12+6m 3=(-3)⨯(-5)-4⨯(-18)+6⨯(-10)=27.例4、1010001001tt tt解析： 原式=1 A 11+t A 1n =1+11)1(-+-⋅n ntt=1+ nnt +-1)1(例5、 求行列式 2235007022220403--的第四行各元素的余子式的和. 解析： 所求为4443424144434241A A A A M M M M +-+-=+++原式=444342412235A A A A +-+将原行列式换为1111007022220403---即他的值就是原题的余子式之和答案为-28（对第三行展开 323277M A =-)例6、27718497518100549754102643=--==--08题aaa aa aa a a A 2012001200012000122222=. 证明|A |=(n+1)a n .分析： 证明：初等变换nan nan a a a n an a a a aaa aa a a a aa aa a a a )1()1(34232)1(010000340000023000012201200034000002300001220012001200002300001222222+=+⋅⋅=+→→→例7、 ?=cA 答A c n； 例 8、设4阶矩阵BA B A B A +====求,3,2),,,,(),,,,(321321γγγβγγγα解：40,,,8,,,8,,,82,2,2,),2,2,2,(321321321321321=+=+=+=++=+γγγβγγγαγγγβαγγγβαγγγβαB A B A例9、 已知行列式3123111++++-+--z x y y x z z y xd c b a 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.解析：思路：利用性质8⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++--→z y x z y x 0)1(339（二）、典型例题 例1①22222aaaaa a a a a a a a a a a aa a a a ②xx x x ++++1111111111111111③aa a a ++++4444333322221111④ 对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n 阶行列式. ②分析：解：4)x 00000001114111411141114111411111111111111113+=+→+++++++→++++（所以值x xx x x xxx x x x x xx x x①分析：与②同理 ④分析：类型一致③分析：把下面三行分别加到第一行例24321532154215431543254321解：100510501500115111111411411411115111411411411411115111401141014110411105432154321153215152154151543155432154321532154215431543254321-------→-------→----→----→→所以值=15×125=1875例343211111111111111111x x x x ++++解：+=+++++==+++++++=++++4321431432432143214324321401010********01001001000100000000011101110111011111111111111111111111111111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x例4 证明时）当b a ba bab aba ab b a b b a a b b a n n ni iin ≠--==++++++=-∑(00000000011分析：证明：归纳法：展开递推21n )(---+=→n n abD D b a D 递推公式 再用归纳法证明之 也可以：nn n n abD ab a b ab a bD ba ab b a b ab a bD ba ab b a b b a b b b a a b b a b b a a b a +=+==+++=+++++++---111000000000000000000000000000000000000000000时）当另b a ba baD baD b a b a D D D D n n n n n n nn nn ≠--=→-=-→⨯〉〈-⨯〉〈〉〈+=〉〈+=++++--()(212b a 1a b 111111-n 11-n na n aaa a a a a a ab a )1(2020000020002+=其值为时另当第二讲 矩阵例、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=301521B .求 B AX =的解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=313315210010101301521101111010)(B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→211213100010001413415200010101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=211213X2007年的一个题中,求3阶矩阵 B , 满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222111B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011011B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110110B .解:建立矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102112012101111011B⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21311001112011001111011222110011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→011101110100010001033110011300110011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110TB⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=011101110B2008年考题: 03=A ,时 证明： A E -可逆.证 E A E A A E A E =-=++-32))((.所以A E -可逆例1、设C B A ,,都是n 阶矩阵,满足CA A C AB E B +=+=,,则C B -为(A)E .(B) E -. (C)A . (D)A -. )(A (2005年数学四)AB E B +=化为E B A E =-)( 即 B 与 )(A E - 互为逆矩阵CA A C += 化为 A A E C =-)(, 用 B 右乘得 AB C = 例2、 设A 是3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行上得B ,将B 的第1列的-1倍加到第2列上得 *C .记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100011001PAP P C A 1)(-= 1)(-=PAP C B AP P C C T =)( TPAPD =)(A B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010011⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010011B C110010011100010011-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=PAP A C例3、 设A 是3阶可逆矩阵,交换A 的1,2行得B ,则(A) 交换*A 的1,2行得到*B . (B) 交换*A 的1,2列得到*B . (C) 交换*A 的1,2行得到*-B . (D) 交换*A 的1,2列得到*-B . 2009题设A 和B 都是2阶矩阵,2=A , 3=B .则 ()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*O BA O⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B O A 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O A B OB 32)( ⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O C 23)(⎪⎪⎭⎫⎝⎛**O B A O D 32)(( 2009年的考题)解:1-*=CC C先求1-C()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00100011000010010010*********A O O B O B A OE C⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→--O ABO E O O E11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----*O ABOO A BO O BA O C 1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=**----O A B B A O OA AB B B A O O ABOB A 1111例4、 设A 是n 阶非零实矩阵,满足 TA A =*. 证明:)1(>A)2(如果2>n 则1=A解：条件TA A =*,即,)()(Tij T ij a A =即ji ij ij a A ,,∀=（1）inin i i i i A a A a A a A ++=2211022221≥+++=ini i a a a又因为 0≠A , 即A 有非零元素， 则2221>+++=in ke k a a a A(2)EA AAAAT==*nAA=2得12=-n A因为>A2-n 是正整数，得1=A例5、 3阶矩阵B A ,满足E BA ABA +=**2,其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100021012A ,求B .(04一) 解：E BA ABA+=**2E BA E A =-*)2(AB E A A =-)2(AB E A A =-23913112122=⨯=-=AE A B例6 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201011153A A XA XA A 21+=-,求X .解： 11112)(----+=AAXAAAXA AE X X A 21+=-A AX X 2+=A X A E 2)(=-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=-4020222106101021152)2(A A E ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→010424202210001002142262022120110021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→01042424106100010001得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=01042424106X例7 设3阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=111111111A X A X A 21+=-*,求X .解： X A X A 21+=-*AXE X A 2+=E X A E =-)24(1)24(--=A E X411110112111111111=--=---=A例8 4阶矩阵B A ,满足E BAABA311+=--,已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=*8000010030100101A 求B . (00一) 解： E BAABA311+=--A B AB 3+=EA B A B A 3+=*83==*AA得2=AE B A E 6)2(=-*1)2(6-*-=A E B例9 设B A ,是3阶矩阵,A 可逆,它们满足E B B A 421-=-.(1) 证明E A 2-可逆.(2) 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ,求A .(2002)A 可逆解：EB B A 421-=-即A AB B 42-= B A AB 24+= A B E A 4)2(=-由A 可逆得E A 2-可逆例10 设n 阶矩阵B A ,满足bB aA AB +=.其中0≠ab ,证明 (1)bE A -和aE B -都可逆. (2) A 可逆B ⇔可逆. (3)BA AB =解：(1)令aE B D bE A C -=-=,aE D B bE C A +=+=,abE bD abE aC aE D bE C +++=++))(( abE bD aC abE bD aC CD 2++=+++D C abE CD ,⇒=都可逆或者直接把bE A -和aE B -相乘abE bB aA AB +--(2)aA B bE A =-)( (3)abE aE B bE A =--))((E aE B ab bE A =--)()( EabbE A aE B =--)()( abE bE A aE B =--))((O bB aA BA =--AB bB aA BA =+=例11 设B A ,都是n 阶对称矩阵,AB E +可逆,证明A AB E 1)(-+也是对称矩阵. 证：验证A AB E A AB E T11)(])[(--+=+ TTTAB E A A AB E ])[(])[(11--+=+ 111)()(])[(---+=+=+=BA E A A B E A AB E A T T T即要证明)()()()(111BA E A AB E A A AB E BA E A ++=⇔+=+---)()(BA E A A AB E +=+⇔。

线代第一章测试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项不是线性代数的研究对象？A. 向量空间B. 线性方程组C. 矩阵D. 微分方程答案：D2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行（或列）的最大数目D. 矩阵的元素个数答案：C3. 以下哪个矩阵是可逆的？A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 奇异矩阵D. 任意矩阵答案：B4. 向量空间的基是指：A. 空间中的任意一组向量B. 空间中的一组线性无关的向量C. 空间中的一组线性相关的向量D. 空间中的一组正交向量答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 矩阵的元素个数称为矩阵的______。

答案：阶数2. 如果一个矩阵的行向量组线性无关，则该矩阵是______矩阵。

答案：满秩3. 向量空间中，一组向量如果满足线性组合的系数全为零，则称这组向量是______的。

答案：线性无关4. 一个n阶方阵的行列式等于______。

答案：0三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是线性方程组的解。

答案：线性方程组的解是指满足方程组中所有方程的未知数的取值。

2. 请解释什么是矩阵的转置。

答案：矩阵的转置是指将矩阵的行向量变成列向量，列向量变成行向量，即交换矩阵的行和列。

四、计算题（每题15分，共40分）1. 计算矩阵A的行列式，其中A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]。

答案：\[ \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2 \]2. 已知矩阵B = \[\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2\end{bmatrix}\]，求B的逆矩阵。

答案：\[ B^{-1} = \frac{1}{(2)(2) - (1)(4)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -0.5 \\-2 & 1 \end{bmatrix} \]。

第一章 行列式1-1 二阶、三阶行列式一、填空题1．1- 2 . ()ab b a - 3. 6 4. 22x -1－2 逆序数与n 行列式的定义一． 填空题1. 102.(1)2-n n 3. 负 1-3 行列式的性质与计算一、利用行列式的性质计算下列各行列式：12322102100204210042141.199200397120031001233013006001300013c c c c --=--=-- 132320545410005310050053130r r r r -+--=-==--111100000000000000000002.(1)0000000000000000000000000000(1)n n n n n nx y x y y x y xy xy x y x x x y x y x y x y yxx xy x y +--+=+-=+-12341123410234123423411034113413.101034121041214124123101231123c c c c c +++÷2132314241123412342011301131010160022200480111004r r r r r r r r r r -----=----+-----二、试将下列式化为三角形行列式求值：43211331413224422512152215223714173402162592729570113461216420121522152215220120012001209011300330033202163603r r r r c c r r r r r r c c r r ----+-----↔------------+---↔==-+-三、用降阶法计算下列行列式：2131224020003554135435524832312334832112512211c c c c ----+--=--------1323710527102105322701051c c c c --------=-=---四、计算下列行列式：解： 12112100...01100 (01)210...00210...00121...00121 (02)20012...00012...0....................................0 (20)0...2n n n n n D D D ----=-=-11221321n n n n D D D D D D ---⇒-=-==-=-= 111n D D n n ⇒=+-=+1-5 Cramer 法则一、 解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==DDx . 二、解 系数行列式为 λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D =(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0,或 λ=2或λ=3.于是, 当λ=0,或 λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第一章 复习题一、选择题 1. D 2. B 3. B,D 4. C,D二、填空题1. 122460002. 5 3 0；0 4. 0 三.计算下列行列式3222214250425042542542112111211.1(1)541001412050412322321111232r r r r r r ++--=-----+232154(1)723r r +--=-21212111......111 (1)22 (21)2......22.2333 (31)3......3.............................. (1)......n n n n nn n n n n n n ---=⨯⨯⨯ 1!()!(1)!2!1!i j nn j i n n ≤<≤=-=-∏3.112233111111111111111110111111111101111111111011011111111110nnn a a a a a a a a ++++++=+++各行减去第一行得行列式：111212231311111111111110000100000000011100000000010000000100ni in nnna a a a c c c a a a a a a a =+--=+++--∑111(1)nni i i i a a ===+∑∏四、证明题 1.证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的x 倍加到前一列上去，得到原行列式等于121112111111111010...00001...00 0...01 (1)0010(1)(...)...01n n n nn n n n n n n n nn x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a --+--------+++++++--=-++++=++++-第一章 自测题一、填空题1.(1)na - 2. 3- 3. 0 ； 0 4. 2008!二、选择题1.C2.D3.A4. B5. A三、计算题（每小题10分，共30分） 1..解： 23234352315534554011100101(1)7117101710182281118212c c D c c ++--==----+-123274059409010382242224c c c c ++=-=-=()()()()()()11111......1......2................1 (1)1......1nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始，做相同的变换，得原行列式等于：()()1111111......11.....................()!(1)!2!1!()1......()1......j i n i j n n n nnna n a n ax x n n a n a n a a n a n a -≤<≤+----+==-=---+--+∏ 第二章 矩阵及其运算2-1 矩阵的运算一． 解答：337137⎛⎫⎪--⎝⎭ ，1875814---⎛⎫⎪-⎝⎭二．计算下列矩阵的乘积解答：1.25174⎛⎫ ⎪⎝⎭　2.653010422-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭三、选择题答案：1.B 2.D 3. A 4.C 5.A 四．五． 答案略。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。

线性代数练习题（行列式·矩阵部分）一、填空题1．n 阶行列式1000010000100001=n D （主对角线元素为1，其余元素均为零）的值为 1 。

2．设行列式D =1211225141201---x，元素x 的代数余子式的值是 －14 。

3．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1312A ，132)(2+-=x x x f ，则=)(A f 91312-⎛⎫ ⎪-⎝⎭４．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110002A ，则逆矩阵=-1A 1002011001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎝⎭5．5阶行列式D=a aa aa a a a a ---------1101100011000110001=54321a a a a a -+-+-+6．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A = A 7. N (n12…(n-1))= n-1 。

8. 设D 为一个三阶行列式 ，第三列元素分别为-2，3，1，其余子式分别为9，6，24，则D= －12 。

9. 关于n 元线性方程组的克莱姆法则成立的条件是 1）线性方程组中未知数的个数和方程的个数相同，2）系数行列式D 不等于零 ，结论是(1,2,)j j D x j n D== 。

10. n 阶矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠，设A *为A 的伴随矩阵，则A -1=*1A A。

11. 若n 阶矩阵满足A 2-2A-4E=0,则A -1=1(2)4A E - 。

12.()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43214321=()30， ()43214321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1234246836912481216⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭13. 设A 为三阶矩阵，若A=3，则1-A =13,*A = 9 。

14．=++++xx x x 22222222222222223(8)x x +15．设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，且|A |=a ，|B |=b ，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0B A 0C ，则|C |=ab mn(-1)二、选择题1. 设n 阶行列式D =n ija ，ji A 是D 中元素ji a 的代数余子式，则下列各式中正确的是（ C ）。

线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 n 阶 行 列 式一．选择题1．若行列式x52231521- = 0,则=x ［ C ] （A ）2 （B ）2- (C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ］（A ）（13，5) （B ）(13-,5） (C)(13,5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是 ［ C ] （A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ［ A ] （A ）665144322315a a a a a a （B)655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a (D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为［ B ］ (A ）3,2==l k ，符号为正; (B)3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n 〉2）阶行列式的值必为零的是 ［ BD ] （A ） 行列式主对角线上的元素全为零 (B ） 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 （C ） 行列式零的元素的个数多于n 个 （D ） 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8，5 s = 5,2,8 ，t = 8,5，2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。

线性代数试题和答案（精选版）线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003，则A-1等于（）A.130012001B.1002 00 1 3C. 1 3 00 010 00 1 21200130013.设矩阵A= 312101214---，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<n< p="">B.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.023035--D.111120102第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数第一章和第二章复习题一．填空1．.A 为n 阶矩阵，且3=A ，则T A A = 。

2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62111402a A ，且2)(=A R ，则a= 。

3．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λλ有非零解，则λ= .4．n 阶矩阵B A ,满足2222)(B AB A B A ++=+的条件为 .5．设3阶矩阵A 满足5=A ，则行列式12--A ＝________.6．设n 阶矩阵B A ,满足4,5==B A ，O 为零矩阵，则行列式=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--12B O O A T7．设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则用111,,---C B A 表示=-1)(ABC8．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211a a a a A 的转置伴随矩阵*A = . 9．60122231x中元素x 的余子式为 。

10．设n 阶方阵A 满足：O E A A =++322, 且已知E A 2+可逆，则=+-1)2(E A ．二、单项选择1．设A 、B 是n 阶矩阵，满足AB=O ，则必有（ ） （A ） A=B=0 （B ） A+B=0 （C ） 0=A 或0=B （D ）0=+B A 。

2．设 A 、B 、C 都是n 阶矩阵，且 ABC=E ，则必有（ ）（A ） ACB=E （B ） CBA=E （C ） BAC=E （D ） BCA=E 。

3．设A 、B 是n 阶矩阵，则必有（A ） B A B A +=+ （B ） BA AB =（C ） BA AB = （D ）111)(---+=+B A B A4．设A 是n 阶矩阵，且0≠=a A ，则*A =（ ）（A ）a （B ）a 1（C ）1-n a （D ）n a5．设A 、B 均为n 阶非零矩阵，满足AB=O ，则)(),(B R A R （ ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n三、计算下列各题1．解方程0432********14321=++++a a a x a a a xa a a x a a a x a a a a 。

第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是阶偶排列的是( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523(D)24351 2．如果n 阶排列nj j j 21的逆序数是k , 则排列12jj j n的逆序数是( ). (A)k (B)k n -(C)k n -2!(D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有()项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n(D) )!1(-n 4．=0001001001001000(). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 5.=01100000100100(). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 6．在函数1000323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1(D) 2 7.若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2(D)a k 2- 9．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x (). (A) 0 (B)3- (C) 3(D) 2 10. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为(). (A)1- (B)2- (C)3-(D)0 11. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为(). (A)1- (B)2- (C)3-(D)0 12.k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. () (A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1.n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5.行列式=0100111010100111.6．行列式=-0100002000010nn .7．行列式=--0001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++l l l 111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为. 13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a c c a b b a b c ac b a D =，D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式n n D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组ïîïíì=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组ïîïíì=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题 1.cb a d b a dc a dc b dc b a dc b a dc ba ++++++++33332222; 2．yxy x x y x y yx y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =¹)；6. b n b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．x a a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9. 2212221212121111nn n n nx x x x x x x x xx x x x x x +++; 10. 2112000002101210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++d d d d c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a xb ac b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a dc b a +++------=.4．Õå£<£=----=nj i i jni in nn nn n n n nn a aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c b a 的充要条件是0=++c b a .参考答案一．单项选择题 A D A C C D A B C D B B二．填空题 1.n ; 2.”“-; 3.43312214a a a a ; 4.0; 5.0; 6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a aa ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n l l ; 12.2-; 13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1å=-nk k n ; 17.3,2-¹k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4. Õ-=-11)(n k kax5.)111()1(00åÕ==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. Õ=--n k k k n a b 1)()1(; 8. Õå==-+n k k n k k a x a x 11)()(;9. å=+nk k x 11;10. 1+n ; 11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题 1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是阶方阵，则下列各式中成立的是( )( )。

第一章 行列式一. 填空题1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44. 2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1.解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a . 解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数xx x xxx f 21112)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察234222x x xx x x+-=--. 所以x 3前的系数为2.5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 010100=---a bba. 解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a . 所以a = b = 0. 6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______.解.nn n n a a a a a a a a221121222111000=7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二．计算证明题1. 设4322321143113151||-=A 计算A 41 + A 42 + A 43 + A 44 = ?, 其中A 4j (j= 1, 2, 3, 4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解. A 41 + A 42 + A 43 + A 44 1111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+ =6210320261=-- 2. 计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式.解. 111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起，)1(2)1(1201201121--=--------n n n n n n n列每列加第 3. 计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥ 2).解. 当2>nn x x x n x x x nx x x D n n nn ++++++=222222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 2121212211=nx x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++33322221111+nx x x nx x x n x x x n n n++++++ 323232222111+n x x x n x x x n x x x n n n ++++++313131222111+nx x nx x nx x n n ++++++ 3213213212211=－n x x x nx x x n x x x n n n++++++ 313131222111=－nx x x n x x x n x x x n n n+++111222111－nx x nx x n x x n n +++ 3131312211= 0当2=n2122112121x x x x x x -=++++4. 证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明: ||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数). 所以|A | = 0.5. 试证: 如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n + 1个不同的x 值都是零, 则此多项式恒等于零. (提示: 用范德蒙行列式证明)证明: 假设多项式的n + 1个不同的零点为x 0, x 1, …, x n . 将它们代入多项式, 得关于C i 方程组 00010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………010=++n n n n x C x C C系数行列式为x 0, x 1, …, x n 的范德蒙行列式, 不为0. 所以010====n C C C6. 设).(',620321)(232x F x x x x x xx F 求=解. x x x x x xx F 620321)(232==x x x x xx 3103211222=x x x x xx 310201222=x x x xx 3102101222 =32220021012x xx x xx =26)('x x F =第二章 矩阵一. 填空题1. 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = [α1, α2, α3, α], B = [α1, α2, α3, β], 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______. 解. βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2. 若对任意n ×1矩阵X , 均有AX = 0, 则A = ______.解. 假设[]m A αα 1=, αi 是A 的列向量. 对于j = 1, 2, …, m , 令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X , 第j 个元素不为0. 所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j = 1, 2, …, m ). 所以A = 0.3. 设A 为m 阶方阵, 存在非零的m ×n 矩阵B , 使AB = 0的充分必要条件是______.解. 由AB = 0, 而且B 为非零矩阵, 所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量, 满足Ab j = 0. 即方程组AX = 0有非零解. 所以|A | = 0;反之: 若|A | = 0, 则AX = 0有非零解. 则存在非零矩阵B , 满足AB = 0. 所以, AB = 0的充分必要条件是|A | = 0.4. 设A 为n 阶矩阵, 存在两个不相等的n 阶矩阵B , C , 使AB = AC 的充分条件是______. 解. 0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5. []42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ = ______.解. []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216. 设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则= ______.解. =2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841 E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841－⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633 +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--11210 7. 设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则= ______.解. 由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+. 所以0|3||2|||≠-=+E E A A , 于是A 可逆. 由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8. 设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解. =2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208, =+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100510161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200010102 9. 设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解. |A| = －3－12 + 8 + 8 + 6－6 = 1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----334212211 1131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110. 设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A , 则A 的逆矩阵1-A = ______. 解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CA B A B C A －⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A二. 单项选择题1. 设A 、B 为同阶可逆矩阵, 则(A) AB = BA (B) 存在可逆矩阵P , 使B AP P =-1(C) 存在可逆矩阵C , 使B AC C T= (D) 存在可逆矩阵P 和Q , 使B PAQ = 解. 因为A 可逆, 存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,. 因为B 可逆, 存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以 A A AQ P = B B BQ P . 于是B Q AQ P P B A A B =--11令 A B P P P 1-=, 1-=B A Q Q Q . (D)是答案.2. 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于 (A) 12||||)2(--B A n(B) 1||||)2(--B A n (C) ||||2B A T - (D) 1||||2--B A解. 121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T. (A)是答案. 3. 设A 、B 都是n 阶方阵, 下面结论正确的是(A) 若A 、B 均可逆, 则A + B 可逆. (B) 若A 、B 均可逆, 则AB 可逆. (C) 若A + B 可逆, 则A －B 可逆. (D) 若A + B 可逆, 则A , B 均可逆. 解. 若A 、B 均可逆, 则111)(---=A B AB . (B)是答案.4. 设n 维向量)21,0,,0,21( =α, 矩阵ααT E A -=, ααTE B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵, 则AB =(A) 0 (B) －E (C) E (D) ααTE + 解. AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E - + 2ααT －2ααT ααT= E . )21(=ααT(C)是答案. 5. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P , 设有P 2P 1A = B , 则P 2 =(A) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001 (C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101 (D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101 解. P 1A 表示互换A 的第一、二行. B 表示A 先互换第一、二行, 然后将互换后的矩阵的第一行乘以(－1)加到第三行. 所以P 2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案. 6. 设A 为n 阶可逆矩阵, 则(－A )*等于(A) －A * (B) A * (C) (－1)n A * (D) (－1)n －1A * 解. (－A )* =*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--. (D)是答案. 7. 设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥ 2), A *是A 的伴随矩阵, 则 (A) A A A n 1**||)(-= (B) A A A n 1**||)(+= (C) A A A n 2**||)(-= (D) A A A n 2**||)(+=解. 1*||-=A A AA A A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8. 设A 为m ×n 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 矩阵A 的秩为r 1, 矩阵B = AC 的秩为r, 则 (A) r > r 1 (B) r < r 1 (C) r = r 1 (D) r 与r 1的关系依C 而定 解. n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,, 所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥= 又因为 1-=BC A , 于是r n C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111 所以 r r =1. (C)是答案.9. 设A 、B 都是n 阶非零矩阵, 且AB = 0, 则A 和B 的秩(A) 必有一个等于零 (B) 都小于n (C) 一个小于n , 一个等于n (D) 都等于n解. 若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则, 矛盾. 所以 n A r <)(. 同理n B r <)(. (B)是答案.三. 计算证明题1. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B . 求: i. AB －BA ii. A 2－B 2 iii. B T A T解. =-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641, =-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652. 求下列矩阵的逆矩阵i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1 ii. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100cos sin 0sin cos αααα iii. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000 iv. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解. i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1000010000100001111111*********1 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1100001102102102121220022001010011→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000021210210210210212200110010100101→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 , ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000cos sin 0sin cos 1ααααA iii. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101. 由矩阵分块求逆公式: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv. 由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到: ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3. 已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα. 其中T)2,2,1(1=α, T )1,2,2(2-=α, T )2,1,2(3--=α. 试求矩阵A .解. 由本题的条件知: =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4. k 取什么值时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆, 并求其逆. 解. 01110001||≠=-=k k A→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011kkA 5. 设A 是n 阶方阵, 且有自然数m , 使(E + A )m = 0, 则A 可逆. 解. 因为 0)(1=+==+∑∑==mi i im mi ii mmA c E A cA E所以 ∑=-=-mi i i mE A cA 11)(. 所以A 可逆.6. 设B 为可逆矩阵, A 是与B 同阶方阵, 且满足A 2 + AB + B 2 = 0, 证明A 和A + B 都是可逆矩阵. 解. 因为022=++B AB A , 所以2)(B B A A -=+. 因为B 可逆, 所以0||)1(||22≠-=-B B n所以 0|||)(|2≠-=+B B A A . 所以B A A +,都可逆. 7. 若A , B 都是n 阶方阵, 且E + AB 可逆, 则E + BA 也可逆, 且 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+解. A AB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+ =A AB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+ =E BA BA E =-+ 所以 A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8. 设A , B 都是n 阶方阵, 已知|B | ≠ 0, A －E 可逆, 且(A －E )－1 = (B －E )T , 求证A 可逆.解. 因为(A －E )－1 = (B －E )T , 所以(A －E )(B －E )T = E 所以 E E B E B A TT=+--)(, TTB E B A =-)( 由 |B | ≠ 0 知11)(--T B B ，存在. 所以 E B E B A T T=--1))((. 所以A 可逆.9. 设A , B , A + B 为n 阶正交矩阵, 试证: (A + B )－1 = A －1 + B －1.解. 因为A , B , A + B 为正交矩阵, 所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以 111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T10. 设A , B 都是n 阶方阵, 试证明:||E AB BEE A -=.解. 因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E BE B E E A E A E EE 0000所以ABE B E B E E A E A E EE -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E B E B EE A n n --=-=⋅⋅-因为 n n )1()1(2-=-, 所以||E AB BEE A -=11. 设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵, E 为四阶单位矩阵)0,0(0000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i. 试计算|E +AB |, 并指出A 中元素满足什么条件时, E + AB 可逆;ii. 当E + AB 可逆时, 试证明(E + AB )－1A 为对称矩阵.解. i. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 0000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka , 2341||kla AB E -=+所以当 2341a kl≠时, E + AB 可逆.ii. 11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E因为A , B 为实对称矩阵, 所以B A+-1为实对称矩阵, 所以(E + AB )－1A 为对称矩阵.12. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ10100A , 求A n . 解. 使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ 假设 kA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则 1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k kk k k k λλλλλλ 所以 nA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---n n n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013. A 是n 阶方阵, 满足A m = E , 其中m 是正整数, E 为n 阶单位矩阵. 今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替, 得到的矩阵记为A 0. 证明E A m=0.解. 因为A m = E , 所以1||=mA , 所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A所以 E E A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i. 证明: n ≥ 3时, E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii. 求A 100.解. i. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A = 所以 E A AA -+=-2233假设 E A A A k k -+=-22则 =-+=-+A A A Ak k 311A E A A A k --++-21=E A A k -+-+221）（所以 E A A A n n -+=-22ii. =-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10500150001 15. 当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时, A 6 = E . 求A 11. 解. 121232321||=-=A , 所以 ==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为 1112116--===EA A A A E A ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116. 已知A , B 是n 阶方阵, 且满足A 2 = A , B 2 = B , 与(A －B )2 = A + B , 试证: AB = BA = 0. 解. 因为(A －B )2 = A + B , 所以 ))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是 2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-, 所以 BA AB =B A B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为 A 2 = A , B 2 = B , 所以 2AB = 0, 所以0==BA AB .。