2020年湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中高考(理科)数学(4月份)模拟试卷 含解析

2020年高考数学（4月份）模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B ＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5} 2．已知z∈C ，若，则z＝（）A ．B ．C ．D ．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．24．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3] 10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是．14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n ＝．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知实数集R，集合A＝{x|﹣1＜x＜5}，集合B＝，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|﹣1＜x≤2}B．{x|x＞﹣1}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|0≤x＜5}【分析】可以求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣1＜x＜5}，B＝{y|y＞0}，∴∁R B＝{y|y≤0}，A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤0}．故选：C．2．已知z∈C，若，则z＝（）A．B．C．D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R）．由，可得﹣（a﹣bi）＝1+2i，﹣a＝1，b＝2，解得b，a．解：设z＝a+bi（a，b∈R）．∵，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴﹣a＝1，b＝2，解得b＝2，a＝．则z＝+2i，故选：B．3．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，则a1+a2+a3+…+a2020＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【分析】令x＝0求得a0，再令x＝1即可求解结论．解：因为：（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020，令x＝0可得：1＝a0；令x＝1可得：a0+a1+a2+a3+…+a2020＝（1﹣2×1）2020＝1；故a1+a2+a3+…+a2020＝1﹣1＝0．故选：A．4．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸＝10分）．节气冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）惊蛰（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（处暑）立夏（立秋）小满（大暑）芒种（小暑）夏至晷影长（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.已知《易经》中记录某年的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，按照上述规律那么《易经》中所记录的春分的晷影长应为（）A．91.6寸B．82.0寸C．81.4寸D．72.4寸【分析】由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为a7，根据等差数列的性质即可求解．解：由题意，晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，冬至晷影长为130.0寸，设为a1＝130，夏至晷影长为14.8寸，则为a13＝14.8，春分的晷影长为2a7＝a1+a13；∴a7＝72.4；即春分的晷影长为72.4．故选：D．5．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征．如函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，设f（x）＝，分析函数的奇偶性可以排除A、D，结合复合函数单调性的判断方法分析可得函数y＝f（x）为增函数，排除C；即可得答案．解：根据题意，设f（x）＝，有f（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数，排除A、D；设t＝cos x，则y＝﹣2t2+t+1，在区间[0，]上，t＝cos x为减函数，且0≤t≤1，y＝﹣2t2+t+1，其对称轴为t＝，开口向下，在区间（﹣∞，）上为增函数，（，+∞）上为减函数，在区间（0，arccos）上，t＝cos x为减函数，此时＜t＜1，函数y＝﹣2t2+t+1为减函数，故函数y＝f（x）为增函数，排除C；故选：B．6．已知，则（）A．y＜x＜z B．z＜y＜x C．z＜x＜y D．y＜z＜x【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵20.1＞20＝1，∴x＞1，∵，∴0 ，∴0 ，∵，∴，∴y＜z＜x，故选：D．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|＝1”是“S6＝3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：若q＝1时，S6＝6a1＝3S2＝3•2a1＝6a1，q＝﹣1时，S6＝3S2＝0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|＝1”是“S6＝3S2”的充要条件，故选：C．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】可根据条件得出，并可设，然后根据向量加法的几何意义和向量的数乘运算即可得出＝，从而根据平面向量基本定理即可得出，解出m即可．解：∵，F为BC的中点，∴，，设＝＝＝，又，∴，解得m＝．故选：A．9．已知函数f（x）＝，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【分析】当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立；当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，由此能求出实数a的取值范围．解：函数f（x）＝，存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当＜1，即a＜2时，由二次函数的图象和性质，可知：存在x1，x2∈（﹣∞，1]且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，当≥1，即a≥2时，若存在x1，x2∈R且x1≠x2，使得f（x1）＝f（x2）成立，则﹣1+a＞3a﹣7，解得a＜3，∴2≤a＜3，综上所述：实数a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．10．已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若以F1F2为直径的圆过点B，且A为F1B的中点，则C的离心率为（）A．B．2C．D．【分析】由题意画出图形，结合已知可得F1B⊥OA，写出F1B的方程，与y＝联立求得B点坐标，再由斜边的中线等于斜边的一半求解．解：如图，因为A为F1B的中点，所以，又因为B在圆上，所以＝0，故OA⊥F1B，则F1B：y＝（x+c），联立，解得B（，），则OB2＝（）2+（）2＝c2，整理得：b2＝3a2，∴c2﹣a2＝3a2，即4a2＝c2，∴＝4，e＝＝2．故选：B．11．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为m，则圆锥的底面圆半径为（）A．m B．1m C．m D．m【分析】由题意画出图形，沿母线SP剪开再展开，由圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长相等列式求解．解：如图，在圆锥SO中，已知SP＝2，沿SP剪开再展开，由题意可得PP′＝，可得∠PSP′＝．设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝，得r＝m．故选：A．12．已知函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f （x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在（0，）上单调递增；④ω的取值范围是[）．其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④【分析】由f（x）＝0，解方程，讨论k＝﹣1，0，1，2，由题意可得ω的取值范围，可判断④；由x∈（0，），可得ωx的范围，结合余弦函数的单调区间，可判断③；再由题意可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），结合余弦函数的图象可判断①、②．解：函数f（x）＝cos（ωx）（ω＞0），x1，x2，x3∈[0，π]，满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，由cos（ωx）＝0，可得ωx＝kπ+，k∈Z，由k＝0可得x＝；k＝﹣1可得x＝；k＝1可得x＝；k＝2可得x＝，由x3∈[0，π]，可得＞π，且≤π，解得≤ω＜；故④正确；由x∈（0，），可得ωx∈（﹣，﹣），由≤ω＜，可得﹣∈（﹣，﹣），由y＝cos x在（﹣π，0）递增，可得f（x）在（0，）上单调递增，故③正确；由∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），可得f（x）的极大值为f（x2），极小值为f（x1），由y＝cos x的图象可得f（x）在[0，π]的极大值有两个，极小值一个，故①正确，②错误．其中正确的为①③④．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．设曲线y＝e x+1上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1＝0，则点P的坐标是（0，2）．【分析】先对函数求导数，然后根据切点处的导数值等于切线斜率，列出切点横坐标满足的方程即可．解：由题意得y′＝e x，且切线斜率为1．设切点为P（x，y），则e x＝1，所以x＝0，∴y＝e0+1＝2．故切点坐标为（0，2）．故答案为：（0，2）14．某学校选拔新生补进“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团，根据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校“篮球”、“电子竞技”、“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知这三个社团他都能进入得慨率为，至少进入一个社团的概率为，则m+n＝．【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解．解：因为通过考核选拔进入三个社团的概率依次为m，，n，且相互独立，所以0≤m≤1，0≤n≤1，又因为三个社团他都能进入的概率为，所以①，因为至少进入一个社团的概率为，所以一个社团都不能进入的概率为1＝，所以（1﹣m）（1﹣n）＝，即1﹣m﹣n+mn＝②，联立①②得：m+n＝．故答案为：．15．自湖北爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，湖北某市医护人员和医疗、生活物资严重匮乏，全国各地纷纷驰援．某运输队接到从武汉送往该市物资的任务，该运输队有8辆载重为6t的A型卡车，6辆载重为10t的B型卡车，10名驾驶员，要求此运输队每天至少运送240t物资．已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车4次，每辆卡车每天往返的成本A型卡车1200元，B型卡车1800元，则每天派出运输队所花的成本最低为9600．【分析】设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，根据题意把实际问题数学化，列出需要满足的不等式组，注意x∈N，y∈N，把运输队所花成本z 看作目标函数，画出可行域，根据目标函数平移得到最值的取法．解：设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆，运输队所花成本为z元，则，且x∈N，y∈N，目标函数z＝1200x+1800y，画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，当直线z＝240x+378y经过点B（8，0）时，截距z最小，∵在可行域的整数点中，点（8，0）使z取得最小值，即z min＝1200×8+1800×0＝9600，∴每天排除A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元，答：每天派出A型卡车8辆，B型卡车0辆，运输队所花的成本最低，最低成本为9600元．16．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的动点，△MF1F2的内心为I，则＝﹣1．【分析】运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得．解：设△MF1F2的内切圆与△MF1F2相切于D，E，F，设MD＝u，DF1＝v，FF2＝t，则MD＝MF＝u，DF1＝EF1＝v，EF2＝FF2＝t，由椭圆的定义，可得，MF1+MF2＝2a＝2，F1F2＝2c＝2，即有2u+v+t＝2，v+t＝2，即有：2u＝2﹣2，即u＝﹣1，再由＝|MI|cosθ＝|MF|＝u＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满．（1）求角B的值；（2）若，求的取值范围，【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用可求cos B＝±，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）由，可求得B＝，由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求a﹣c ＝sin（A﹣），由已知可求范围≤A﹣＜，利用正弦函数的性质即可求解其取值范围．解：（1）∵＝2（cos A+sin A）（cos A+sin A）＝2（cos2A﹣sin2A）＝×﹣＝+cos2A，∴解得cos2B＝﹣，可得2cos2B﹣1＝﹣，∴可得cos2B＝，∴cos B＝±，∵B∈（0，π），∴B＝或．（2）∵，∴由（1）可得B＝，由正弦定理＝＝2，可得a＝2sin A，c ＝2sin C，∴a﹣c＝2sin A﹣sin C＝2sin A﹣sin（﹣A）＝2sin A﹣sin cos A+cos sin A＝sin A﹣cos A＝sin（A﹣），∵b≤a，∴≤A＜，≤A﹣＜，∴a﹣c∈[，）．18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，CD＝SD，点M是SA的中点，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BC中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，由已知可得BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD，又平面SCD⊥底面ABCD，由面面垂直的性质可得BD⊥平面SCD；（2）过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，可得SH⊥CD，则SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，求解三角形可得AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，则DF⊥底面ABCD，可得DB、DC、DF两两垂直，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，然后分别求出平面BMD与平面SBC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝AD＝a，BC＝2a，依题意，四边形ABED为正方形，且有BE＝DE＝CE＝a，BD＝CD＝，∴BD2+CD2＝BC2，则BD⊥CD．又平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD⊥底面ABCD＝CD，∴BD⊥平面SCD；（2）解：过点S作CD的垂线，交CD延长线于点H，连接AH，∵平面SCD⊥底面ABCD，平面SCD∩底面ABCD＝CD，SH⊥CD，SH⊂平面SCD，∴SH⊥底面ABCD，故DH为斜线SD在底面ABCD内的射影，∠SDH为斜线SD与底面ABCD所成的角，即∠SDH＝60°．由（1）得，SD＝a，∴在Rt△SHD中，SD＝a，DH＝a，SH＝a，在△ADH中，∠ADH＝45°，AD＝a，DH＝a，由余弦定理得AH＝，∴AH2+DH2＝AD2，从而∠AHD＝90°，过点D作DF∥SH，∴DF⊥底面ABCD，∴DB、DC、DF两两垂直，如图，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，则B（a，0，0），C（0，a，0），S（0，﹣a，a），A（a，﹣a，0），M（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量＝（x，y，z），由，取z＝1，得＝（0，，1）；设平面SBC的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos＜＞＝＝＝．∴平面MBD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值为．19．线段AB为圆M：x2+y2+2x﹣10y+6＝0的一条直径，其端点A，B在抛物线C：x2＝2py （p＞0）上，且A，B两点到抛物线C焦点的距离之和为11．（1）求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程；（2）过M点的直线l交抛物线C于P，Q两点，抛物线C在P，Q处的切线相交于N 点，求△PQN面积的取值范围．【分析】（1）利用抛物线的定义可求出p＝1，再利用点差法求出直线AB的斜率，结合直线AB过圆心M，利用点斜式即可求出直线AB的方程：（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求出|PQ|，再利用导数的几何意义求出抛物线C在P（x1，y1）的切线方程，把点N（x0，y0）代入切线PN的方程得，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，再次利用韦达定理得x0＝k，y0＝﹣k﹣5，所以点N到直线PQ 的距离d＝，所以S△PQN＝＝，故当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线的焦点为F，则|AF|+|BF|＝y1+y2+p，又y1+y2＝10，∴10+p＝11，∴p＝1，∴抛物线C的方程为：x2＝2y，由，两式相减得：＝＝﹣1，∴直线AB的斜率为﹣1，圆M方程：x2+y2+2x﹣10y+6＝0化为坐标方程为：（x+1）2+（y﹣5）2＝20，∴直线AB过圆心（﹣1，5），∴直线AB的方程为：y﹣5＝﹣（x+1），即x+y﹣4＝0；（2）不妨设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线l的方程为y＝k（x+1）+5，联立方程，消去y得：x2﹣2kx﹣2k﹣10＝0，∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴|PQ|＝＝2，∵抛物线C的方程为x2＝2y，∴，∴y'＝x，∴抛物线C在P（x1，y1）的切线方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），又∵点N（x0，y0）在切线PN上，则y0﹣y1＝x1（x0﹣x1），即，同理可得：，故x1，x2为一元二次方程x2﹣2x0x+2y0＝0的两根，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝2y0，又x1+x2＝2k，x1x2＝﹣2k﹣10，∴x0＝k，y0＝﹣k﹣5，∴点N到直线PQ的距离d＝＝＝，∴S△PQN＝＝2×＝＝，∴当k＝﹣1时，△PQN的面积取得最小值，最小值为27，∴△PQN面积的取值范围为：[27，+∞）．20．已知函数f（x）＝x2+πcos x．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣a在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＜π．【分析】（1）由于函数f（x）为偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值，利用f′（x）＝2x﹣πsin x，对x分x∈（0，）及x∈（，+∞），两类讨论，即可求得函数f（x）的最小值；（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），利用导数结合题意可证得x1+x2＜π．解：（1）由于函数f（x）＝x2+πcos x为偶函数，要求函数f（x）的最小值，只需求x∈[0，+∞）时f（x）的最小值即可．因为f′（x）＝2x﹣πsin x，所以，当x∈（0，）时，设h（x）＝2x﹣πsin x，h′（x）＝2﹣πcos x，显然h′（x）单调递增，而h′（0）＜0，h′（）＞0，由零点存在定理，存在唯一的x0∈（0，），使得h′（x0）＝0，…2分当x∈（0，x0），h′（x）＜0，h（x）单减，当x∈（x0，），h′（x）＞0，h（x）单增，而h（0）＝0，h（）＝0，x∈（0，），h（x）＜0，即x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单减，…4分又当x∈（，+∞），2x＞π＞πsin x，f′（x）＞0，f（x）单增，所以f（x）min＝f（）＝；…5分（2）只需证＜，其中x1∈（0，），x2∈（，+∞），构造函数F（x）＝f（x）﹣f（π﹣x），x∈（0，），F′（x）＝f′（x）+f′（π﹣x）＝2π﹣2πsin x＞0，即F（x）单增，所以，F（x）＜F（）＝0，即当x∈（0，）时，f（x）＜f（π﹣x），而x1∈（0，），所以，f（x1）＜f（π﹣x1），又f（x1）＝f（x2），即f（x2）＜f（π﹣x1），此时x2，π﹣x2∈（，+∞），由第（1）问可知，f（x）在（，+∞）上单增，所以，x2＜π﹣x1，x1+x2＜π，即证…12分21．2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.9459【分析】（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，求出概率即可；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，由Eξ1＝Eξ2，求出k的关系式即可；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以，两边取对数得lnk＞，设g （x）＝lnx﹣，x≥2，根据函数的单调性结合题目给的条件判断即可．解：（1）设恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件为A，则P（A）＝，故恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为；（2）（i）由已知得Eξ1＝k，ξ2可能的取值为1，k+1，所以P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，所以Eξ2＝（1﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，由Eξ1＝Eξ2，所以k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即1＝k（1﹣p）k，（1﹣p），得p＝1﹣，故p关于k的函数关系式为f（k）＝1﹣，（k∈N*，且k≥2）；（ii）由题意Eξ1＜Eξ2，所以k＜k+1﹣k（1﹣p）k，，由，所以，两边取对数得lnk＞，设g（x）＝lnx﹣，x≥2，由g'（x）＝，当x＞4时，g'（x）＜0，函数递减，当2≤x≤4时，g'（x）＞0，函数递增；ln2≈0.6931＞，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094＞，ln6≈1.7917，In7≈1.9459，ln8＝2ln3≈2.0793，ln9≈2.1972＜，故满足条件的k最大为8．（二）选考题：共10分．请考生在22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l：y＝kx与曲线C1、曲线C2在第一象限交于P、Q，且|OQ|＝|PQ|，点M 的直角坐标为（1，0），求△PMQ的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换的应用及面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C2的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线l：y＝kx转换为极坐标方程为θ＝θ0，代入，解得．代入ρ＝4cosθ，得到ρP＝4cosθ0，由于|OQ|＝|PQ|，所以ρP＝2ρQ，故：，解得，，所以，．则．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．【分析】（1）由已知得a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，得0≤3﹣ab≤4，即0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，可得＝＝即．解：（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为＝＝当且仅当ab＝2时取等号，所以．。

2020届湖北省武汉一中高三下学期4月高考模拟数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1}A =-，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,0,1}-B ．{1,1}-C ．{0}D ．∅【答案】B【解析】用列举法表示集合B ，然后用集合交集的定义求出A B .【详解】因为{|21,}B y y x x A ==-∈，{1,0,1}A =-，所以{}3,1,1B =--，因此有{}1,1A B ⋂=-，故本题选B.【点睛】本题考查了用列举法表示集合，考查了集合的交集运算.用列举法表示集合B 是解题的关键.2．已知i 为虚数单位，则复数221z i i=-+的虚部是( ) A ．3i B ．iC ．3D ．1【答案】C【解析】根据复数的混合运算，对复数z 进行化简，再求其虚部即可. 【详解】因为221z i i =-+()()()2121311i i i i i -=-=-++-， 故可得z 的虚部为3. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的混合运算，涉及复数虚部的辨析，属基础题.3．已知数列{}n a 为等差数列，前n 项和为n S ，且55a =则9S =（ ） A ．25 B ．90C ．50D ．45【答案】D【解析】根据等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念，即可求出结果.因为数列{}n a 为等差数列且55a =，所以()199599=452a a S a +⨯==.故选：D. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式和等差中项的概念的应用，属于基础题. 4．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=，则//l m ；②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥. 其中正确的命题有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】①由线面平行的性质定理可知①正确； ②由面面平行的性质定理可知，αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确；③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确. 所以正确的命题有①②④， 故选：C . 【点睛】本题主要考查点、线，面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5．若a =，b =2，且（a b -）a ⊥，则a 与b 的夹角是 A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=,2cos ||2a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅所以a 与b 的夹角是4π.6．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12-C D ． 【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin 43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可.【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin 43sin17=-︒︒︒︒ 1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线的距离为12，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 2﹣y 2＝1 B ．22x -y 2＝1C ．23x -y 2＝1D ．24x -y 2＝1【答案】C 【解析】12=，解得23a =，即可得到本题答案. 【详解】因为抛物线的焦点为(1,0)，2221x y a-=的其中一条渐近线为0x ay -=，12=，解得23a =，所以双曲线得标准方程为2213x y -=，故选：C 【点睛】本题主要考查双曲线标准方程的求法，其中涉及抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程.8．若x ，y 满足约束条件1133x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则43z x y =+的最小值为( )A ．9B ．6.5C ．4D ．3【答案】D【解析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得. 【详解】不等式组所表示的可行域为下图中的ABC ∆，因为目标函数与直线43y x =-平行， 故当目标函数对应的直线经过点()0,1B 时，z 取得最小值3. 故选：D. 【点睛】本题考查简单线性规划求目标函数最值的问题，属基础题. 9．定义在R 上的奇函数()224sin xxf x a x -=⋅--的一个零点所在区间为（ ）A ．(),0a -B ．()0,aC ．(),3aD ．()3,3a +【答案】C【解析】∵函数()224sin xxf x a x -=⋅--为奇函数，∴()()f x f x -=-， 即()224sin 224sin xx x x a x a x --⋅-+=-⋅--,整理得()()1220xx a --+=在R 上恒成立，∴1a =,∴()224sin xxf x x -=--，∵11(1)224sin10,(0)0,(1)224sin10,f f f ---=-+>==--<23(2)424sin20,(3)824sin30f f --=-->=-->,∴函数()f x 的零点在区间()1,3内．选C ．10．若直线:410l x ay -+=与圆22:(2)(2)4C x y ++-=相切，则实数a 的值为()A ．1528B ．2815C ．1528或1 D ．2815或1 【答案】A【解析】根据题意，分析圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系可得2d ==，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22:(2)(2)4C x y ++-=，其圆心为(2,2)-，半径2r ；若直线与圆相切，则有圆心到直线的距离2d ==，解可得1528a =； 故选：A ． 【点睛】本题考查圆的切线方程、涉及点到直线的距离公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题。

2020年湖北省高考数学模拟试卷1（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x <1或x >3}，则A ∩B =( )A. (0,1)B. (0,2)∪(3,+∞)C. ⌀D. (0,+∞) 2. 已知复数z =i(1+2i)，则|z|=( )A. √5B. √3C. √2D. 33. 已知角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，则tanα=( )A. −√33B. √33C. −√3D. √34. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，那么b 等于( )A. 1B. 2C. √5D.2√55. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成角的大小为( )A. π6B. π3C. π2D. 2π36. 已知定义在R 上的函数f(x)在(−∞,−3]上单调递增，且f(x −3)为偶函数，则不等式f(x −2)<f(1)的解集为( )A. (−7,1)B.C. (−5,3)D.7. 已知向量a ⃗ =(−1,2),b ⃗ =(1,−1)，则(a ⃗ −b ⃗ )⋅a ⃗ =( )A. 4B. −4C. 8D. 58. 若函数f (x )=sin (ωx −π4)(ω>0)，在(−π4,π2)上是增函数，则ω的范围是( )A. (0,12]B. (0,1]C. (0,32]D. (0,2]9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2.若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是( )A. 16B. 15C. 8√2D. 8310. 在△ABC 中，A >B ，则下列结论一定正确的是( )A. sinA >sinBB. sinA <cosBC. sinA >cosBD. cosA >cosB 11. 书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，取出的恰好都是数学书的概率为( )A. 13B. 14C. 15D. 1612.设函数f(x)={x2e x,x≥0x2e x,x<0，则使得f(2x+1)>f(x−1)成立的x的取值范围是()A. (−∞,−2)∪(0,+∞)B. (−2,+∞)C. (−∞,0)∪(2,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数f(x)=√−1+lnx的定义域是____________．14.已知某天一工厂甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是1500、1300、1200，现用分层抽样方法抽取了一个样本容量为n的样本，进行质量检查，已知丙车间抽取了24件产品，则n=____________15.已知实数x，y满足约束条件{x+y≤4,5x+2y≥11,y≥12x+1,则z=2x−y的最大值为________．16.过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的弦AC，BD，则点A，B，C，D所构成四边形的面积的最小值为_____________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a17=33，S7=49．(1)求证：a1，a5，a41成等比数列;(2)求数列{a n·3n}的前n项和T n．18.已知四棱锥P−ABCD中，底面为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M为PC上一点，且BP⊥平面ADM．(1)求PM的长度；(2)求MD与平面ABP所成角的余弦值．19. 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，且焦距为2√2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A|+|F 1B|=4． (1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1⋅k 2是定值．20. 总体(x,y)的一组样本数据为：x 1 2 3 4 y3354x y (2)当x =6时，估计y 的值．附：回归直线方程y =bx +a ，其中a =y −bx ，b =∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2．21. 已知函数f(x)=ax 2−x −2lnx(a ∈R)．(1)若函数f(x)的一个极值点为x =1，求函数f(x)的极值； (2)讨论f(x)的单调性．22.在直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin(β+π4)=√22a，曲线C2的参数方程为{x=−1+cosθy=−1+sinθ(θ为参数，0≤θ≤π)．(Ⅰ)求C1，C2的直角坐标方程；(Ⅱ)当C1与C2有两个公共交点时，求实数a的取值范围．23.选修4—5不等式选讲已知函数f(x)=m−|x−2|，m∈R．(1)当m=4时，解不等式|f(x)|≤2；(2)若不等式f(x+2)≥0的解集为[−2,2]，若正数a，b满足ab+a+2b=2m，求a+b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x>3}；∴A∩B=(0,1)．故选：A．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算和复数的模，属于基础题．先根据运算法则计算化简给定复数，再用模的公式计算．【解答】解：z=i(1+2i)=i+2i2=−2+i，∴|z|=√(−2)2+12=√5，故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．【解答】解：∵角α的终边上有一点P(sin2π3,cos2π3)，∴x=sin2π3=√32，y=cos2π3=−12，∴tanα=yx =−√33，故选：A．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题． 由双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，可得a =2，c =√5，即可求出b 的值．【解答】解：∵双曲线双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)离心率是√52，∴a =2，c =√5， ∴b =√5−4=1， 故选A ．5.答案：B解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，则A(2,0，0)，C(0,2，0)，M(1,2，0)，N(0,2，1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)， 设异面直线AC 和MN 所成角为θ， cosθ=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√8⋅√2=12，∴θ=π3． ∴异面直线AC 和MN 所成角为π3． 故选：B ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用同量法能求出异面直线AC 和MN 所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6.答案：D解析： 【分析】本题考查函数的单调性与对称性的综合应用，涉及关于x 的不等式的解法，属于基础题． 根据题意，由函数f(x −3)为偶函数分析可得函数f(x)的图象关于直线x =−3对称，结合函数的单调性可得f(x −2)<f(1)，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x −3)为偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x =−3对称， 又由函数f(x)在[−3,+∞)单调递减，且f(x −2)<f(1)，所以|x−2+3|>|1+3|，解可得：x<−5或x>3，即不等式的解集为．故选D．7.答案：C解析：解：向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(1,−1)，则(a⃗−b⃗ )⋅a⃗=(−2,3)⋅(−1,2)=2+6=8．故选：C．通过向量的坐标运算，结合向量的数量积求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的坐标运算，是基本知识的考查．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了三角函数的图象与性质，注意数形结合的思想运用，属于中档题．根据正弦函数的单调性，求得ω的范围即可．【解答】解：∵f(x)在区间(−π4,π2)上是增函数，∴−π4ω−π4⩾−π2+2kπ,且π2ω−π4⩽π2+2kπ,k∈Z，求得ω≤1−8k且ω≤32+4k，k∈Z，∵ω>0，∴−38<k<18，k∈Z，∴k=0，ω∈(0,1]．故选B．9.答案：A解析：【分析】本题考查了三棱柱与外接球的关系，三棱柱的体积，球的表面积，属于中档题．棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，故而球心位于侧面BCC1B1的中心，根据球的表面积可得半径，根据球的半径计算棱柱的高即可求出棱柱的体积．【解答】解：∵AB=AC=2，BC=2√2，∴AB⊥AC，又∵CC1⊥平面ABC，三棱柱ABC−A1B1C1的各个顶点都在球O的球面上，∴O为矩形BCC1B1的中心，设球O半径为r，则4πr2=72π，∴r=3√2．即OC=r=3√2，∴三棱柱的高ℎ=2√r2−(12BC)2=8．∴三棱柱的体积V=S△ABC⋅ℎ=12×2×2×8=16．故选A．10.答案：A解析：【分析】本题考查了正弦定理及余弦函数的性质，属于基础题．结合正弦定理，余弦函数的单调性及特殊值逐项分析即可．【解答】解：在△ABC中，由大边对大角可知，当A>B时，a>b，再根据正弦定理asinA =bsinB，可得sinA>sinB，故A对；在△ABC中，当时，sinA>cosB，故B错；当，，故C错；∵A，B∈(0,π)，而y=cosx在(0,π)上单调递减，由A>B，得cosA<cosB，故D错．11.答案：C解析：【分析】书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，由此利用等可能事件概率计算公式能求出取出的恰好都是数学书的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．【解答】解：书架上有语文书，数学书各三本，从中任取两本，基本事件总数n=C62=15，取出的恰好都是数学书，包含的基本事件个数为m=C32=3，∴取出的恰好都是数学书的概率p=mn =315=15．故选：C．12.答案：A解析：解：当x<0时，f(−x)=(−x)2⋅e−x=x2e x=f(x)，当x>0时，f(−x)=(−x)2e−x=x2⋅e x=f(x)，当x=0时，f(x)=0，∴f(x)是偶函数，又当x≥0时，f′(x)=2xe x+x2e x=e x(x2+2x)≥0，∴f(x)在[0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递减．∵f(2x+1)>f(x−1)，∴|2x+1|>|x−1|，解得x<−2或x>0．故选：A．判断函数奇偶性和单调性，利用函数的对称性和单调性列出不等式得出x的范围．本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．13.答案：[e,+∞)解析：本题考查函数的定义域，属于基础题． 【解答】解：因为f (x )=√−1+lnx ， 所以−1+lnx ≥0， 即lnx ≥1， 所以x ≥e所以定义域是[e,+∞)， 故答案为[e,+∞).14.答案：80解析： 【分析】本题主要考查分层抽样的知识，解答本题的关键是知道每个个体被抽取的概率：P =241200=150，然后再求n 的值． 【解答】解：每个个体被抽取的概率：P =241200=150， n =(1500+1300+1200)×150=80， 故答案为80．15.答案：2解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【解答】解：实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1的可行域如图：z =2x −y 经过点A 时，z 取得最大值， 由{x +y =4y =12x +1可得A(2,2) z =2x −y 的最大值为：4−2=2，故答案为：2．16.答案：32解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义以及多边形面积的计算，考查计算能力，属于中等题．设直线AB 的方程为y =k(x −1)，将直线AB 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出|AB|，同理得出|CD|，由面积公式S =12|AB|⋅|CD|结合基本不等式可得出四边形ACBD 面积的最小值． 【解答】 解：如下图所示，显然焦点F 的坐标为(1,0)，所以，可设直线AB 的方程为y =k(x −1)， 将直线l 的方程代入抛物线的方程并整理得 k 2x 2−2(k 2+4)x +k 2=0，所以，x 1+x 2=2+4k 2，所以，|AB|=x 1+x 2+2=4+4k 2，同理可得|CD|=4+4k 2，由基本不等式可知，四边形ACBD 的面积为S =12|AB|⋅|CD|=12×4(1+k 2)k2⋅4(1+k 2) =8(k 2+1k 2+2)≥32． 当且仅当k =±1时，等号成立，因此，四边形ACBD 的面积的最小值为32． 故答案为：32．17.答案：(1)证明：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 17=33，S 7=49， 则：{a 1+16d =337a 1+21d =49，解得：a 1=1，d =2， 所以：a n =2n −1．则：a 1=1，a 5=9，a 41=81，即：a 52=a 1·a 41．所以：a 1，a 5，a 41成等比数列． (2)解：由(1)得：a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，则：T n =1⋅31+3⋅32+⋯+(2n −1)⋅3n ①， 则：3T n =1⋅32+3⋅33+⋯+(2n −1)⋅3n+1② ①−②得：−2T n =3+2(32−3n+11−3)−(2n −1)⋅3n+1，整理得：T n =(n −1)⋅3n+1+3．故数列的前n 项和为：T n =(n −1)⋅3n+1+3．解析：本题考查的知识要点：等差数列通项公式的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用． (1)首先根据通项公式建立方程组，进一步求出数列a 1，a 5，a 41成等比数列．(2)利用(1)的结论，进一步求出a n ⋅3n =(2n −1)⋅3n ，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．18.答案：解：(1)如图所示建立空间直角坐标系，由已知A(0,0，0)，B(2,0，0)，P(0,0，1)，D(0,1，0)，C(2,1，0)． 令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因为PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，−1)，所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,λ,−λ)， 则M(2λ,λ,−λ)，因为BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)． 所以−5λ+1=0，则λ=15.即PM 的长为√65.(6分)(2)因为M(0,4，0.2，0.8)，则MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−0.4,0.2,0.8)， 因为面ABP 的一个法向量n⃗ =(0,1，0)，令MD 与平面ABP 所成角为θ， 则sinθ=√0.16+0.04+0.64=23，故cosθ=√53.(12分)解析：(1)建立空间直角坐标系，令PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用BP ⊥平面ADM 且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)，求出λ，即可求PM 的长度；(2)利用向量的夹角公式求MD 与平面ABP 所成角的余弦值．本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：解：(1)∵焦距2√2，∴2c =2√2，得c =√2，由椭圆的对称性及已知得|F 1A|=|F 2B|，又∵|F 1A|+|F 1B|=4， ∴|F 1B|+|F 2B|=4，因此2a =4，a =2，于是b =√2， 因此椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，直线PA 的方程为y −y 1=y 1−yx 1+x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0，故M(0,x 1y 0+x 0y 1x 1+x 0)，直线PB 的方程为y −y 1=y 1−yx 1−x 0(x −x 1)，令x =0，得y =x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0，故N(0,x 1y 0−x 0y 1x 1−x 0)，∴k 1=−1001√2(x +x )，k 2=−x 1y 0−x 0y1√2(x −x )， 因此k 1⋅k 2=12·x 12y 02−x 02y 12x 12−x 02，∵A ，B 在椭圆C 上，∴y 12=2−x 122,y 02=2−x 022，∴k 1k 2=12⋅x 12(2−12x 02)−x 02(2−12x 12)x 12−x 02=1．故k 1·k 2为定值1．解析：本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．(1)由题意求得c ，由对称性结合|F 1A|+|F 1B|=4可得2a ，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)设B(x 0,y 0)，P(x 1,y 1)，则A(−x 0,y 0)，分别写出PA 、PB 所在直线方程，求出M 、N 的坐标，进一步求出MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，结合A 、B 在椭圆上可得k 1⋅k 2是定值．20.答案：解：(1)∵x =52,y =154，∑x i 4i=1y i =40,∑x i 24i=1=30；∴b =40−4×52×15430−4×254=12， a =y −bx =154−12×52=52， ∴回归直线方程为y =12x +52; (2)当x =6时，代入回归方程，可得y =112．解析：本题考查回归方程的求法，利用最小二乘法求回归方程的系数是解答此类问题的关键． (1)根据所给的数据求x 和y 的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法的系数公式求出线性回归方程的系数，进而写出线性回归方程； (2)当x =6时，代入回归方程，即可估计y 的值．21.答案：解：(1)f(x)=ax 2−x −2lnx ，f ′(x)=2ax −1−2x (x >0)，∵x =1是函数f(x)的一个极值点， ∴f′(1)=2a −1−2=0，∴a =32，，f ′(x)=3x −1−2x=3x 2−x−2x=(3x+2)(x−1)x．∴当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴x =1时，f(x)极小值为f (1)=32−1=12，无极大值；(2)由f(x)=ax 2−x −2lnx(x >0)，可得：f ′(x)=2ax −1−2x=2ax 2−x−2x(x >0)．①当a ≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)为减函数； ②当a >0时，由f′(x)=0，得x 1=1−√1+16a4a，x 2=1+√1+16a4a，显然，x 1<0，x 2>0，且当0<x <x 2时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x >x 2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；综上，a ≤0时，f(x)的单调减区间为(0,+∞)，没有增区间； a >0时，f(x)的单调减区间为(0,1+√1+16a4a)；单调增区间为．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的极值，考查分类讨论以及计算能力． (1)求导，由f′(1)=0求出a 的值，再利用导数得到函数的极值点，从而求出极值；(2)通过求解函数的导函数，分a ≤0与a >0两种情况，通过判断导数符号，然后求函数f(x)的单调区间．22.答案：解：(Ⅰ)由ρsin(β+π4)=√22a ，得ρ(sinβcos π4+cosβsin π4)=√22a ， 即√22ρ(sinβ+cosβ)=√22a ，∴C 1的直角坐标方程为x +y =a ．由{x =−1+cosθy =−1+sinθ，得(x +1)2+(y +1)2=1． ∴C 2的普通方程为(x +1)2+(y +1)2=1；(Ⅱ)圆(x +1)2+(y +1)2=1的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，要使C 1与C 2有两个公共交点，则圆心(−1,−1)到直线x +y −a =0的距离小于圆的半径1． 即√2<1，解得：−2−√2<a <−2+√2．∴实数a 的取值范围是(−2−√2,−2+√2).解析：(Ⅰ)展开两角和的正弦，结合x =ρcosβ，y =ρsinβ求得C 1的直角坐标方程，利用平方关系消去θ求得C 2的普通方程；(Ⅱ)由曲线C 2的圆心到直线C 1的距离小于圆的半径列式求得实数a 的取值范围．本题考查极坐标方程化直角坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查直线与圆的位置关系，是基础题．23.答案：【解答】(1)由于m =4，所以|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x −2|−4≤2， 即2≤|x −2|≤6，所以−6≤x −2≤−2或2≤x −2≤6，所以不等式的解集为{x|−4≤x≤0或4≤x≤8}；(2)不等式f(x+2)≥0等价于|x|≤m，由于该不等式的解集为[−2,2]，所以m=2，故ab+a+2b=4，即(a+2)(b+1)=6，所以a+b=(a+2)+(b+1)−3⩾2√(a+2)(b+1)−3=2√6−3(当且仅当a+2=b+1=√6即a=√6−2，b=√6−1时，等号成立)，所以a+b的最小值为2√6−3．解析：本题考查解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．(1)将|f(x)|≤2等价变形为−2≤|x−2|−4≤2，求出不等式的解集即可；(2)求出m的值，根据基本不等式的性质求出a+b的最小值即可．。

2020年湖北省高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. R 是实数集，A ={x|3≤x <7}，B ={x|4<x <10}，则(∁R A)∩B =( )A. [3,10)B. (4,7)C. [7,10)D. [3,4]2. 若复数z 满足|z|⋅z .=20−15i ，则z 的虚部为( )A. 3B. −3C. 3iD. −3i3. 记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯…+a 7(1+x)7，则a 0+a 1+a 2+⋯…+a 6的值为( )A. 1B. 2C. 129D. 21884. 已知函数f(x)=log 21−x1+x ，若f(a)=12，则f(−a)=( )．A. 2B. −2C. 12D. −125. 函数f(x)=sinx +cosx x的大致图象为( )A.B.C.D.6. 如果log 12x <log 12y <0，那么( ) A. y <x <1 B. x <y <1 C. y >x >1 D. x >y >17. 已知p ：f(x +1)是偶函数，q ：函数f(x)关于直线x =1对称，则p 是q 的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 在平行四边形ABCD 的边AD 上一点E 满足AE =14AD ，且AC ∩BD =F ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a⃗ +14b ⃗ B. 12a⃗ −14b ⃗ C. −12a⃗ +14b ⃗ D. 14a⃗ +14b ⃗ 9. 已知函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，f(x)在定义域上单调递减，则实数a 的范围为( )A. (1,72)B. (1,+∞)C. [1,72]D. (−∞,72]10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在C 上，△PF 1F 2为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为( )A. √2−1B. √2+1C. √3D. √3+111. 如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ，C 为PA 中点，PA =4√3，PO =6，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为( )A. 2√15B. 2√15−6√2C. 6D. 2√15−6√312. 已知函数f(x)=sin(2x +φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x ∈R 恒成立，且f(π2)<f(π).则下列结论正确的是( )A. f(1112π)=−1 B. f(7π10)>f(π5) C. f(x)是奇函数D. f(x)的单调递增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知曲线y =13x 3+x 2上点P 处切线的斜率为3，则点P 的坐标为____________14. 北京大学为响应习近平总书记寄语青年人“忠于祖国不负时代，放飞青春梦想实现中华民族伟大复兴”新建立3个社团，若每位同学参加各个社团的可能性相同，每位同学必须参加社团且只能参加其中一个社团，则甲、乙两位同学参加同一社团的概率为_____．15. 已知满足{x ≥2x +y ≤42x −y −m ≤0 ，若目标函数z =3x +y 的最大值为10，则z 的最小值为______．16. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29+y 25=1的左、右焦点，M 是椭圆上位于第一象限的一点，|MF 1|=133，A 、B 是椭圆C 上异于M 的两点，且△AMB 的重心为F 2，则直线AB 的斜率为________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c −a)cosB −bcosA =0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求√3sinA +sin(C −π6)的取值范围．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形且AD =2AB ，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 是正三角形，E 是AD 中点．(1)证明：CE ⊥平面PBE ； (2)求二面角D −PC −B 的余弦值．19. 已知A ，B 两点在抛物线C ：x 2=4y 上，点M(0,4)满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)若线段|AB|=12√2，求直线AB 的方程；(2)设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.求证：点N在一条定直线上．20.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2，求f(x)在(−1,+∞)上的最小值．21.五一期间，某商场决定从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品进行促销活动．(1)试求选出3种商品中至少有一种是家电的概率；(2)商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高60元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为n元的奖金；若中两次奖，则获得数额为3n元的奖金；若中三次奖，则共获得数额为 6n元的奖金．假设顾客每次抽奖中奖的概率都是1，请问：商场将奖金数额n最高定为多少元，才能使促销方案对商场利益无4损害？22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 若a >b >0，求证：a +1(a−b)b ≥3．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∁R A ={x|x <3，或x ≥7}； ∴(∁R A)∩B =[7,10)． 故选：C ．进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及补集、交集的运算．2.答案：A解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，由|z|⋅z .=20−15i ，得√a 2+b 2(a −bi)=20−15i ， ∴{√a 2+b 2b =15√a 2+b 2a=20，解得a =4，b =3．∴z 的虚部为3． 故选：A ．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入|z|⋅z .=20−15i ，由复数相等的条件列式求得a ，b 得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：记(2−x)7=a 0+a 1(1+x)+⋯+a 7(1+x)7=−[−3+(x +1)]7，∴a 7=−C 77=−1，则令x =0，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6+a 7=a 0+a 1+a 2+⋯+a 6−1=27=128， 则a 0+a 1+a 2+⋯+a 6=129， 故选：C ．二项式即−[−3+(x +1)]7，求得a 7 的值，可得a 0+a 1+a 2+⋯+a 6的值．本题主要考查二项式定理的应用，注意分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，属于基础题．4.答案：D解析：由已知得函数的定义域为(−1,1)且f(−x)=log21−(−x)1+−x =−log21−x1+x=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故f(−a)=−f(a)=−12，故选D．5.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性，属于简单题．利用函数的奇偶性排除错误选项，然后再利用函数值的正负判断即可．解：函数f(x)=sinx+cosxx ，定义域关于原点对称，满足函数f(−x)=−sinx−cosxx=−f(x)，所以函数为奇函数，排除A、C，因为x∈(0,π2)时，sinx>0，cosxx>0，此时f(x)>0，所以排除D，故选：B．6.答案：D解析：本题考查对数函数的性质，属于基础题.根据题意，结合对数函数的性质求解即可．解：log12x<log12y<0=log121，因为log12x为减函数，则x>y>1．故选D．7.答案：C解析：解：若f(x+1)是偶函数，则f(−x+1)=f(x+1)，则函数f(x)关于直线x=1对称，则p是q的充要条件，故选：C根据函数的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性和对称性的性质是解决本题的关键．8.答案：A解析：解：根据题意得AE ⃗⃗⃗⃗⃗=14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为AC 和BD 的交点，∴F 为AC 的中点， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(a ⃗ +b ⃗ )，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +12b ⃗ −14b ⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ ，故选：A ．AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )由向量的减法得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 本题考查平面向量基本定理及向量的表示．9.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于基础题．由分段函数的解析式知，当x >1时，f(x)单调递减，f(x)<2，当x ⩽1时，f(x)在(−∞,a )上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，求解即可．解：∵函数f(x)={x 2−2ax +8,x ≤12x,x >1，当x >1时，f(x)=2x ，函数f(x)单调递减，则f(x)<2， 当x ⩽1时，f(x)=x 2−2ax +8=(x −a )2+8−a 2，函数f(x)的图象开口向上，对称轴为x =a ，f(x)在(−∞,a )上单调递减， ∵f(x)在定义域上单调递减，则{a ⩾1f (1)=1−2a +8⩾2，解得1⩽a ⩽72． ∴实数a 的范围为．故选C ．10.答案：B解析：本题考查了双曲线的性质，离心率的计算，属于中档题． 根据F 1F 2=PF 2列方程得出a ，b ，c 的关系，从而得出答案． 解：不妨设P 在第一象限，∵△PF 1F 2为等腰直角三角形，F 1F 2=PF 2，且F 1F 2⊥PF 2，把x=c代入双曲线方程得y=b2a ，即PF2=b2a，∴2c=b2a =c2−a2a，即c2−2ac−a2=0，∴e2−2e−1=0，解得e=√2+1或e=−√2+1(舍)，故选：B．11.答案：A解析：本题考查旋转体表面上的最短距离问题，考查弧长公式的应用，是基础题．由题意画出图形，得到圆锥沿母线剪开再展开的图形，由勾股定理求解．解：如图，沿圆锥母线PA剪开再展开，∵PA=4√3，PO=6，∴OA=2√3，则圆锥底面周长为4√3π，展开后所得扇形为半圆，B到B′处，则从点C经圆锥侧面到点B的最短距离为√(2√3)2+(4√3)2=2√15．故选：A．12.答案：D解析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．对A，代入求值即可；对B，代入比较大小即可；对C，根据奇函数定义，验证是否适合；对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．解：∵f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，∴2×π6+φ=kπ+π2⇒φ=kπ+π6，k∈Z．∵f(π2)<f(π)⇒sin(π+φ)=−sinφ<sin(2π+φ)=sinφ⇒sinφ>0．∴φ=2kπ+π6，k∈Z.不妨取φ=π6f(11π12)=sin2π=0，∴A×；∵f(7π10)=sin(7π5+π6)=sin47π30=−sin17π30<0，f(π5)=sin(2π5+π6)=sin17π30>0，∴B×；∵f(−x)≠−f(x)，∴C×；∵2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2⇒kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z.∴D√；故选D．13.答案：(1,43)或(−3,0)解析：本题考查导数的几何意义，设P的坐标，然后利用导数的几何意义求解即可．解：设P(x0,y0)，又y=13x3+x2，所以y′=x2+2x，由已知有x02+2x0=3，所以x0=1或−3，所以点P的坐标为(1,43)或(−3,0)．故答案为(1,43)或(−3,0)．14.答案：13解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率计算，属于基础题目．先得出甲乙参加A 社团的概率，求出甲乙都参加A 社团的概率，进而得出答案．解：记3个社团分别为A,B,C ，依题意甲参加A 社团的概率为13，乙参加A 社团的概率为13， 所以甲和乙都参加A 社团的概率为13×13=19，同理可得甲和乙都参加B 社团的概率为19，甲和乙都参加C 社团的概率为19， 所以甲、乙两位同学参加同一社团的概率为19+19+19=13．故答案为：13．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：43解析：本题考查椭圆的性质和几何意义，属于中档题．根据椭圆的定义求出|MF 2|的长，根据焦半径的公式得到MF 2⊥F 1F 2，再结合重心的坐标公式，得到A 、B 的横、纵坐标之和，联想到点差法求出直线AB 的斜率． 解：易知F 2(2,0).∵|MF 1|=133，∴|MF 2|=2×3−133=53=b 2a，根据焦半径公式可得MF 2⊥F 1F 2，M(2,53)． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由题知x 1+x 2+23=2，y 1+y 2+533=0，则x 1+x 2=4，y 1+y 2=−53． 又∵A 、B 在椭圆C 上，∴x 129+y 125=1，x 229+y 225=1，相减得y 1−y 2x 1−x 2=−59⋅x 1+x2y 1+y 2=−59×4−53=43．故答案为：43．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵(2c −a)cosB −bcosA =0，∴2sinCcosB −sinAcosB −sinBcosA =0， 即2sinCcosB −sin(A +B)=0， 又sin(A +B)=sinC ，∴2sinCcosB −sinC =0即sinC(2cosB −1)=0， ∵C 是三角形的内角，sinC ≠0， ∴cosB =12，且B 是三角形内角， ∴B =π3．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=√3sinA+cosA=2sin(A+π6)，∵A∈(0,2π3)，∴A+π6∈(π6,5π6)，∴sin(A+π6)∈(12,1]，∴2sin(A+π6)∈(1,2]，即√3sinA+sin(C−π6)的取值范围是(1,2]．解析：本题主要考查正弦定理、两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，考查了计算能力与推理能力，属于中档题．(Ⅰ)在△ABC中，由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式可得sinC(2cosB−1)=0，故有cosB=12，由此求得B的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得√3sinA+sin(C−π6)=2sin(A+π6)，根据A∈(0,2π3)，利用正弦函数的定义域和值域求得√3sinA+sin(C−π6)的取值范围．18.答案：解：(1)证明：∵侧面△PAD是正三角形，E是AD中点，∴PE⊥AD，∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD，∴PE⊥CE，∵底面ABCD是矩形且AD=2AB，∴AE=DE=AB=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∵PE∩BE=E，∴CE⊥平面PBE．(2)解：以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系， 设AD =2AB =2，则点D(1,0，0)，C(1,1，0)，P(0,0，√3)，B(−1,1，0)， ∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−√3)， 设平面PCB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 设平面PCD 的法向量n ⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −√3c =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b −√3c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,0,1)，设二面角D −PC −B 的平面角为θ，则θ为钝角， ∴二面角D −PC −B 的余弦值为：cosθ=−|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−14．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出PE ⊥AD ，从而PE ⊥底面ABCD ，PE ⊥CE ，AE =DE =AB =CD ，BE ⊥CE ，由此能证明CE ⊥平面PBE ．(2)以E 为原点，以ED ，EP 所在直线，AD 的垂直平分线为x ，z ，y 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −PC −B 的余弦值．19.答案：解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，l AB ：y =kx +4与x 2=4y 联立得x 2−4kx −16=0， △=(−4k)2−4(−16)=16k 2+64>0， x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅4√k 2+4， 又|AB|=12√2，即√1+k 2⋅4√k 2+4=12√2，解得：k 2=2，k 2=−7(舍)，所以直线的方程y =±√2x +4 (2)证明：过点A 的切线：y =12x 1(x −x 1)+y 1=12x 1x −14x 12，①， 过点B 的切线：y =12x 2x −14x 22，②，联立①②得点N(x 1+x 22,−4)，所以点N 在定直线y =−4上．解析：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据韦达定理表示出x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−16，根据弦长公式计算即可(2)先表示出过点A 的切线和过点B 的切线，然后两直线联立可求出点N 的坐标，即可得到点N 在定直线y =−4上．本题主要考查了抛物线的应用．涉及了抛物线的性质，向量的计算，属于中档题20.答案：ln2+14．解析：依题意知函数f(x)的定义域为(−32,+∞)，f′(x)=2(2x+1)(x+1)2x+3，当−1<x <−12时，f′(x)<0恒成立；当x >−12时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,+∞)上递增，∴f(x)在(−1,+∞)上的最小值为f(−12)=ln2+14．21.答案：解：(1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，从2种服装、3种家电、4种日用品中，选出3种商品，一共有C 93种不同的选法， 选出的3种商品中，没有家电的选法有C 63种，所以选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为 P(A)=1−C 63C 93=1−521=1621；(2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ， 其所有可能的取值为0，n ，3n ，6n ；(单元：元) ξ=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以P(ξ=0)=C 3(14)0(1−14)3=2764， 同理P(ξ=n)=C 31(14)1(1−14)2=2764； P(ξ=3n)=C 32(14)2(1−14)=964； P(ξ=6n)=C 33(14)3(1−14)0=164；顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是： Eξ=0×2764+n ×2764+3n ×964+6n ×164=15n 16，由15n16≤60，解得n ≤64，所以n 最高定为64元，才能使促销方案对商场利益无损害．解析：本题考查了古典概型的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题． (1)设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件A ，利用对立事件的概率求出A 的概率值； (2)设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量ξ，写出ξ的所有可能取值，求出对应的概率值，计算数学期望，利用数学期望值列不等式，求出奖金数额n 的最高值．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ． (II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)， 故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：见解析解析：a +1(a−b)b =(a −b)+b +1(a−b)b ，∵a >b >0，∴a −b >0，b >0，1(a−b)b >0，∴(a −b)+b +1(a−b)b≥3√(a −b)⋅b ⋅1(a−b)b3=3，∴a +1(a−b)b ≥3，当且仅当a −b =b =1(a−b)b ，即a =2，b =1时等号成立．。

2020年湖北省武汉一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）如果复数1(2aia R i-∈+，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为( ) A ．1B ．1-C ．3D ．3-2．（5分）若{0A =，1，2}，{2a B x ==，}a A ∈，则(A B =U ) A ．{0，1，2}B ．{0，1，2，3}C ．{0，1，2，4}D ．{1，2，4}3．（5分）向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若,a b r r 的夹角为钝角，则t 的范围是( )A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-4．（5分）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为( ) （参考数据：2 1.414,3 1.732)≈≈A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米5．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是( )A ．162+B ．122226++C ．1822+D ．1622+7．（5分）下列函数中最小正周期是π且图象关于直线3x π=对称的是( )A ．2sin(2)3y x π=+B ．2sin(2)6y x π=-C ．2sin()23x y π=+D ．2sin(2)3y x π=-8．（5分）我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺长的木棍，每天截取一段，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )A ．20i <，1S S i =-，2i i =B ．20i „，1S S i =-，2i i =C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i „，2SS =，1i i =+ 9．（5分）已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为( )A ．45B ．237-C ．247-D ．83-10．（5分）已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线与1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，点A 、B 在抛物线准线上的投影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②12||1AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．（5分）已知函数()1f x xlnx kx =-+在区间1[,]e e 上只有一个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．{|1k k =或1}k e >-B ．1{|11k k e +剟或1}k e >-C ．{|1}k k …D ．{|1k k =或111}k e e+<-„12．（5分）ABC ∆中3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为( ) A ．223B ．523C ．35 D ．335二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 ．（用数字填写答案）14．（5分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且32sin a c A =，7c =，且ABC ∆的面积为33，则a b += ． 15．（5分）如图所示：有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ； ①f （3）= ； ②()f n = ．16．（5分）四面体ABCD 的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,5)A ，(3B ，0，0)，(0C ，1，0)，(3D ，1，5)，则四面体ABCD 的外接球的体积为 ． 三、解答题（共5小题，满分0分）17．设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =（1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．18．某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布(100N ，215)，现从甲校100分以上（含100分）的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析（试卷编号为001，002，．，200)，统计如下： 试卷编号 1n2n3n4n5n6n7n8n9n10n试卷得分 109 118 112 114 126 128 127 124 126 120 试卷编号 11n12n13n14n15n16n17n18n19n20n试卷得分135 138 135 137 135 139 142 144 148 150注：表中试卷编号123420029n n n n n <<<<<⋯<（1）写出表中试卷得分为144分的试卷编号（写出具体数据即可） ；（2）该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷，将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图（如图）在甲、乙两校这40份学生的试卷中，从成绩在140分以上（含140分）的学生中任意抽取3人，该3人在全市排名前15名的人数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()68.3%P X μσμσ-<<+=，(22)95.5%P X μσμσ-<<+=，(33)99.7%P X μσμσ-<<+=19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，。

名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.51.复数的共轭复数是（）i-2A．2+i B．-2+i C．-2-i D．2-i22.已知集合M={x|x=1}，N={x|ax=1}，若N M，则实数a的取值集合为（）A．{1} B．{-1,1} C．{1,0} D．{1,-1,0}3.执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[-2,2]，则输出的S属于（）A．[-4,2] B．[-2,2] C．[-2,4] D．[-4,0]4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．3 B．6 C．23 D．265.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）23A． B．51011C． D．510226.若实数a，b满足a>b>1，m=log(log b)，n=(log b)，l=log b，则m，n，l的大aa aa小关系为（）A．m>l>n B．l>n>m C．n>l>m D．l>m>n名师精准押题227.已知直线y=kx-1与双曲线x-y=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（）55555A．(0,) B．[1,] C．( ,) D．(1,)22222b+cB+C8.在∆ABC中，角A、B、C的对应边分别为a，b，c，条件p：a≤，条件q A≤：，22那么条件p是条件q成立的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1659.在(x+-1)的展开式中，含x项的系数为（）xA．6 B．-6 C．24 D．-242210.若x，y满足x-1+2y+1≤2，则M=2x+y-2x的最小值为（）24A．-2 B． C．4 D．-119π11.函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（）39π13π25π25πA．[2π,4π] B．[2π,) C．[,) D．[2π,)2666212.过点P(2,-1)作抛物线x=4y的两条切线，切点分别为A，B，PA，PB分别交x轴于E，F两点，O为坐标原点，则∆PEF与∆OAB的面积之比为（）3313A． B． C． D．2324二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sinα=2cosα，则sinαcosα=．14.已知向量a，b，c满足a+b+2c=0，且a=1，b=3，c=2，则a⋅b+2a⋅c+2b⋅c=．ππ15.已知x∈(-,)，y=f(x)-1为奇函数，f'(x)+f(x)tan x>0，则不等式f(x)>cos x的22解集为．16.在四面体ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，则四面体体积最大时，它的外接球半径名师精准押题R=．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 2n-117.已知正数数列{a}满足：a=2，a+a=+2(n 2).n1nn-1a-a nn-1（1）求a，a；2322（2）设数列{b}满足b=(a-1)-n，证明：数列{b}是等差数列，并求数列{a}的通项a.n nn nnn18.如图，在棱长为3的正方体ABCD-ABCD中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE=CF=1. 1111（1）已知M为棱DD上一点，且DM=1，求证：BM⊥平面AEC. 11111（2）求直线FC与平面AEC所成角的正弦值.11122xy19.已知椭圆Γ：+=1，过点P(1,1)作倾斜角互补的两条不同直线l，l，设l与椭圆Γ交于12142A、B两点，l与椭圆Γ交于C，D两点.2（1）若P(1,1)为线段AB的中点，求直线AB的方程；AB（2）记λ ，求λ的取值范围. CD20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. 名师精准押题（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；22（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N(μ,σ)，其中μ，σ分别取考生的平均成绩x2和考生成绩的方差s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).（精确到0.001）．．．2附：①s=204.75，204.75=14.31；2②zN(μ,σ)，则P(μ-σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<z<μ+2σ)=0.9544；4③0.8413=0.501. x21.已知函数f(x)=xe-a(ln x+x)，a R. （1）当a e时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方⎧x=3cosθ程为ρ(cosθ+2sinθ)=10，C的参数方程为（θ为参数，θ∈R）.⎨y=2sinθ⎩（1）写出l和C的普通方程；名师精准押题（2）在C上求点M，使点M到l的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知f(x)=ax-2-x+2.（1）在a=2时，解不等式f(x)≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围. 名师精准押题武汉市2020届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12： CC二、填空题2 15-13 15. (0,) 16.13. 14. 526三、解答题317.（1）由已知a+a=+2，而a 2，211a-a21222∴a-2=3+2(a-2)，即a-2a-3=0.2222而a>0，则a=3. 225又由a+a=+2，a=3，322a-a3222∴a-9=5+2(a-3)，即a-2a-8=0.3333而a>0，则a=4. 33∴a=3，a=4.2322（2）由已知条件可知：a-a=2(a-a)+2n-1，nn-1nn-12222∴(a-1)-(a-1)=n-(n-1)，nn-12222则(a-1)-n=(a-1)-(n-1)nn-122=⋅⋅⋅=(a-1)-2322=(a-1)-12=0，22而b=(a-1)-n，nn名师精准押题∴b=0，数列{b}为等差数列.nn22∴(a-1)=n.而a>0，n n故a=n+1.n18.解：（1）过M作MT⊥AA于点T，连BT，则AT=1. 111易证：∆AAE≅∆ABT，于是∠AAE=∠ABT. 111111由∠ABT+∠ATB=90，知∠AAE+∠ATB=90，1111111∴AE⊥BT.11显然MT 面AABB，而AE⊂面AABB，11111∴MT⊥AE，又BTMT=T，11∴AE⊥面MTB，∴AE⊥MB. 111连BD，则BD⊥AC. 111111又DM⊥AC，BDDM=D，1111111∴AC⊥面MDB，1111∴AC⊥MB.111由AE⊥MB，AC⊥MB，AEAC=A，111111111∴BM⊥面AEC.111（2）在DC上取一点N，使ND=1，连接EF. 111易知AE//FN.1∴V=V=VA-EFCN-EFCE-NFC1111111=⋅S⨯3=(⨯2⨯3)⨯3=3. NFC332∆AEC，AC=32，AE=10，1对于11111名师精准押题而EC=22，110+18+221由余弦定理可知cos∠EAC==.112⋅10⋅322011193∴∆A EC的面积S=AC⋅AE sin∠EAC=⨯32⨯10⋅=19. 11111122202由等体积法可知F到平面AEC之距离h满足111136V⨯19⋅h=3h=S⋅h=，则，∴，∆AECA-EFC33219FC=10，设FC与平面AEC所成角为θ，1111又111∴sinθ=619=6=3190. 95101902219.解：（1）设直线AB的斜率为k tanα，方程为y-1=k(x-1)，代入x+2y=4中，22∴x+2[kx-(k-1)]-4=0.222∴(1+2k)x-4k(k-1)x+2(k-1)-4=0.2222判别式∆=[4(k-1)k]-4(2k+1)[2(k-1)-4]=8(3k+2k+1). 设A(x,y)，B(x,y)，则1122⎧4k(k-1)x+x=⎪122⎪2k+1. ⎨22(k-1)-4⎪xx=122⎪⎩2k+1∵AB中点为(1,1)，12k(k-1)1∴(x+x)==1，则k=. 12222k+121∴直线的AB方程为y-1=(x-1)，即x-2y+1=0. 222（2）由（1）知AB=1+kx-x=(x+x)-4xx 121212名师精准押题1+k⋅8(3k+2k+1)22=. 22k+1设直线的CD方程为y-1=-k(x-1)(k≠0).1+k⋅8(3k-2k+1)22同理可得CD=.22k+1∴λ==(k≠0). 2AB3k+2k+12CD3k-2k+14k42∴λ=1+=1+. 123k+1-2k3k+-2k1令t=3k+，k4t∈(-∞,-23][23,+∞).则g(t)=1+，t-23][23,+∞)g(t)在(-∞,-2，分别单调递减，∴2-3≤g(t)<1或1<g(t)≤2+3. λ22故2-3≤λ<1或1<≤2+3. 6-26+2λ∈[,1)(1,]. 即2220.解：（1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1∴x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.2+75⨯0.3+85⨯0.15+95⨯0.1=70.5，∴4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. 2（2）依题意z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ=x=70.5，2σ=Dξ=204.75，σ 14.31，22∴z服从正态分布N(μ,σ)=N(70.5,14.31)，名师精准押题而P(μ-σ<z<μ+σ)=P(56.19<z<84.81)=0.6826，1-0.6826∴P(z≥84.81)==0.1587. 2∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587⨯4000=634.8人≈634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1-0.1587=0.8413. 而ξB(4,0.8413)，44∴P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=1-C⋅0.8413=1-0.501=0.499.421.解：（1）定义域为：(0,+∞)，x(1+x)(xe-e)当a=e时，f'(x)=.x∴f(x)在(0,1)时为减函数；在(1,+∞)时为增函数.（2）记t=ln x+x，则t=ln x+x在(0,+∞)上单增，且t∈R. xt∴f(x)=xe-a(ln x+x)=e-at=g(t). t∴f(x)在x>0上有两个零点等价于g(t)=e-at在t∈R上有两个零点. t①在a=0时，g(t) e在R上单增，且g(t)>0，故g(t)无零点；t②在a<0时，g'(t)=e-a在R上单增，又g(0)=1>0，11g()=e-1<0，故g(t)在R上只有一个零点；a a t③在a>0时，由g'(t)=e-a=0可知g(t)在t=ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)=a(1-ln a). 若0<a<e，g=a(1-ln a)>0，g(t)无零点；最小若a=e，g 0，g(t)只有一个零点；最小若a>e时，g=a(1-ln a)<0，而g(0)=1>0，最小ln x ae2x>e时为减函数，可知：a>e时，e>a>a. 由于f(x)=在x名师精准押题a2从而g(a)=e-a>0，∴g(x)在(0,ln a)和(ln a,+∞)上各有一个零点.综上讨论可知：a e时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, ). 22.解：（1）由l：ρcosθ+ρsinϕ-10=0，及x=ρcosθ，y=ρsinθ. ∴l的方程为x+2y-10=0. 22xy由x 3cosθ，y=2sinθ，消去θ得+=1. 94（2）在C上取点M(3cosϕ,2sinϕ)，则d==⋅5cos(ϕ-ϕ)-10. 3cosϕ+4sinϕ-101055⎧3cosϕ=⎪0⎪5其中，⎨4⎪sinϕ=0⎪⎩55当ϕ=ϕ时，d取最小值. 09898此时3sinϕ=3cosϕ=2sinϕ=2cosϕ=M(,)，，. 000555523.解：（1）在a=2时，2x-2-x+2≤1. 在x≥1时，(2x-2)-(x+2)≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-(2x-2)+(x+2)≤1，x≥3，∴x无解；11在-2≤x≤1时，-(2x-2)-(x+2)≤1，x≥-，∴-≤x≤1. 331综上可知：不等式f(x)≤1的解集为{x|-≤x≤5}. 3（2）∵x+2-ax-2≤4恒成立，而x+2-ax-2≤(1+a)x，名师精准押题或x+2-ax-2≤(1-a)x+4，故只需(1+a)x≤4恒成立，或(1-a)x+4≤4恒成立，∴a=-1或a=1. ∴a的取值为1或 1.。