湖南省邵阳市洞口县2019-2020学年高三第一次联考(11月摸底考试)数学文理试题(教师版)

2019-2020学年高三11月摸底考试（文、理科）试题数 学一、选择题：（一）单项选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{1,}A a =，2{|540,}B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．2或4 2．已知11abi i=-+ ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D3．已知函数22,0(,)0x x x x f x ⎧-≤>⎪=⎨⎪⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值为（ ）A． C ．4 D ．4-4．若偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f -=，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ） A ．(,3)(2,3)-∞-U B ．(3,2)(3,)--+∞U C ．(3,3)- D ．(2,3)-5．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量b =r，且a b ⊥r r ，则tan θ的值是（ ）A．． 7．将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．3x π=B ．6x π=C ．12x π=D ．12x π=-8．中国古代数学名著《算法统宗》，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 起到了重大意义，是东方古代数学名著．在这部著作中，许多问题都是以歌诀形式呈现，“九儿 问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．请问长儿多少岁？（ ） A ．11B ．32C ．35D ．389．（理）已知函数321()3f x x x x =++的图象C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交 于不同于P 的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ） A ．13- B ．23-C ．43- D ．2- （文）已知可导函数()f x ，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()g x '是()g x 的导函数，则(3)g '=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．410．已知函数247()1x x f x x ++=-+，3()log 3(1)xg x x x =+≤，实数,a b 满足1a b <<-，若1[,]x a b ∀∈，2(0,1]x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．．．3（二）多项选择题：（本题共2个小题，每小题5分，10分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 11.下列命题正确的是（ ）A.“32,10x R x x ∀∈-+<” 的否定为“32000,10x R x x ∃∈-+>”；B. 命题“若2340x x +-=，则4x =-”的逆否命题是假命题； C. 在△ABC 中，“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件；D. 函数()tan 2f x x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈． 12．定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是（ ）A ．21y x =-+ B ．32sin 2cos y x x x =--C ．ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y =的定义域为 ．14．记123k k k kk n S =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122n n S =+，322111326n n S n =++，4323111424n n S n =++， 5434111523n n A S n n =++-，…，由此可以推测A = ．（文）54341112330S An n n n =++-15．设0,1a b >>，且2a b +=，则211a b +-的最小值为 ．16．已知等差数列{}n a 满足：当(1)(1)(,](,)22k k k k n n k N *-+∈∈时，1(1)k n a k +=-⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则1a = ，12S = ．（文）10S = ．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题共10分）已知函数()f x 与()g x 的定义域是R ，()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，且()()2xf xg x e +=． （1）求函数()f x ；（2）若关于x 的不等式()3mf x m ≥+在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．18. （本小题共12分）已知函数21()2cos 2f x x x =--()x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间．19. （本小题共12分）已知{}n a 是等差数列，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ， 且满足111a b ==， 21a q =+，331a b =+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1100n n S a n+->的最小正整数n ．20. （本小题共12分）在ABC ∆中，若(2)cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若a ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．21. （本小题共12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人 将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15470,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每 日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？22. （本小题共12分）设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）（理）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，试讨论()F x 的单调性；（文）求函数()f x 的最小值；(2) 斜率为k 直线与曲线()y f x '=交于1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <两点， 求证：121x x k<<． 高三11月摸底考试数学（文、理科）试题解析版答案一、选择题：（一）单项选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{1,}A a =，2{|540,}B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2或3 D ．2或4 解：∵2540(4)(1)014x x x x x -+<⇒--<⇒<<，又x Z ∈，∴{2,3}B =，由A B ≠∅I ，得a =2或3，故选C ． 2．已知11abi i=-+ ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D通解：∵(1)11(1)(1)22a a i a a i bi i i i -==-=-++-，∴2,1ab ==，则|||2|a bi i -=-=，故选D ． 另解：∵1(1)(1)(1)(1)1abi a i bi b b i i=-⇒=+-=++-+， ∴1b =，2a =，则|||2|a bi i -=-=，故选D ．3．已知函数22,0(,)0x x x x f x ⎧-≤>⎪=⎨⎪⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值为（ ）A． C ．4 D ．4-解：∵1(1)22f =-=-，∴0a <，由220a -=，得a =舍正)，故选B ．4．若偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f -=，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ） A ．(,3)(2,3)-∞-U B ．(3,2)(3,)--+∞U C ．(3,3)- D ．(2,3)-解：当2x >时，需()0f x <；当2x <时，需()0f x >，画图，知解集是(,3)(2,3)-∞-U ，故选A ．5．函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数2ln x x y x=为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B ；当0x >时，2ln ln x x y x x x ==，求导得ln 1y x '=+，由10y x e>⇒>'， 100y x e '<⇒<<，则ln y x x =在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，故选D ．6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r ，向量b =r，且a b ⊥r r ，则tan θ的值是（ ）A ．．解：∵sin 0a b θθ⊥⇒+=r r，∴sin θθ=，则tan θ=，故选D ．7．将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．3x π=B ．6x π=C ．12x π=D ．12x π=-解：∵sin(2)sin[2()]sin(2)6463y x y x x ππππ=-→=+-=+，∴将12x π=代入可得最大值，故选C ．8．中国古代数学名著《算法统宗》，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 起到了重大意义，是东方古代数学名著．在这部著作中，许多问题都是以歌诀形式呈现，“九儿问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．请问长儿多少岁？（ ） A ．11B ．32C ．35D ．38解：∵构成一个等差数列：3d =-，9207S =，求1a ，∴911989(3)91082072a a S ⨯=+⨯-=-=，解得135a =，故选C ． 9．（理）已知函数321()3f x x x x =++的图象C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ） A ．13- B ．23-C ．43- D ．2- 解：∵三次函数的拐点就是其对称中心，∴2212201y x x y x x '''=++⇒=+=⇒=-，则13y =-，则1(1,)3P --，∴0122(13)23y y y =+=⨯-=-，故选B ．（文）已知可导函数()f x ，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()g x '是()g x 的导函数，则(3)g '=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．4解：∵11323k k =+⇒=-，∴由()()()g x f x xf x ''=+， 得1(3)(3)3(3)13()03g f f ''=+=+⨯-=，故选B ．10．已知函数247()1x x f x x ++=-+，3()log 3(1)xg x x x =+≤，实数,a b 满足1a b <<-，若1[,]x a b ∀∈，2(0,1]x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．．．3解：∵133()log 3(1)(1)log 133xg x x x g =+≤⇒=+=Z，4()2[(1)]1f x x x =--+++，令1x t +=， 则4()2()f t t t=--+，如图，由()3f t =，解得1t =-或4t =-，∴b a -的最大值为3，故选D ．（二）多项选择题：（本题共2个小题，每小题5分，10分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．） 11.下列命题正确的是（ ）A.“32,10x R x x ∀∈-+<” 的否定为“32000,10x R x x ∃∈-+>”；B. 命题“若2340x x +-=，则4x =-”的逆否命题是假命题； C. 在△ABC 中，“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件； D. 函数()tan 2f x x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈． 解：A 错：应改为32000,10x R x x ∃∈-+≥；B 、C 显然对； D 错：应改为(,0)()4k k Z π∈，故选B 、C ． 12．定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是（ ）A ．21y x =-+ B ．32sin 2cos y x x x =--C ．ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩解：∵11221221112221()()()()[()()][()()]0x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x f x +>+⇒-+->，即2121()[()()]0x x f x f x -->，故Z 函数单调递增，画图，可知A 、C 不符合， ∴由多选特征知B 、D 正确(注：B 可用求导来验证)，故选B 、D ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数y =的定义域为 ．解：∵0.50.50.5log 10log log 0.5x x ->⇒>，∴00.5x <<，故其定义域为1(0,)2．注：许多学生误理解为0.5log (1)x -．14．记123k k k kk n S =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122n n S =+，322111326n n S n =++，4323111424n n S n =++， 5434111523n n A S n n =++-，…，由此可以推测A = ．（文）54341112330S An n n n =++-解：可归纳出各项系数和为1，则1111523A ++-=，解得130A =．（文）15A =．15．设0,1a b >>，且2a b +=，则211a b +-的最小值为 ．通解：∵(1)1a b +-=，∴2121()[(1)]11a b a b a b +=++---2(1)3331b a a b -=++≥+=+-当且仅当2(1)1b a a b -=-时取等号，故211a b +-的最小值为3+妙解：由权方和不等式可得：2222111)3111a b a b a b +=+≥=+--+-16．已知等差数列{}n a 满足：当(1)(1)(,](,)22k k k k n n k N *-+∈∈时，1(1)k n a k +=-⋅， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则1a = ，12S = ．（文）10S = ．解：当1k =时，(0,1]n ∈，则1n =，有11a =；当2k =时，(1,3]n ∈，则2,3n =，有232a a ==-； 当3k =时，(3,6]n ∈，则4,5,6n =，有4563a a a ===；当4k =时，(6,10]n ∈，则7,8,9,10n =，有789104a a a a ====-；当5k =时，(10,15]n ∈，则11,12,13,14,15n =，有11121314155a a a a a =====， 则（理）11a =，120S =．（文）11a =，1010S =-．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题共10分）已知函数()f x 与()g x 的定义域是R ，()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，且()()2xf xg x e +=． （1）求函数()f x ；（2）若关于x 的不等式()3mf x m ≥+在R 上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) ∵()()2xf xg x e +=，① ∴()()2xf xg x e --+-=，……2分又∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()2xf xg x e --=，②……4分 由①②得：()xxf x e e -=+；……5分 (2) ∵0xe >，∴1()2x xx xf x e ee e -=+=+≥， ∴min [()1]1f x -=，……7分 由已知得：3()1m f x ≥-，故3m ≥，……9分则实数m 的取值范围是[3,)+∞．……10分18. （本小题共12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--()x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间．解：(1) ∵1cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--，……4分 ∴()f x 的最小值是2-，最小正周期是22T ππ==；……6分 (2) 由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，……8分得63k x k ππππ-≤≤+，……10分故函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈．……12分19. （本小题共12分）已知{}n a 是等差数列，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ， 且满足111a b ==， 21a q =+，331a b =+． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1100n n S a n+->的最小正整数n ． 解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，……2分 解得22d q =⎧⎨=⎩，……4分 故21n a n =-，12n n b -=；……6分(2) ∵1(1)211n n n a q qS -==--，……8分 ∴12112123100n n n n a n n nS +-+-=--=->，……10分 即2103n>，n Z *∈，故最小正整数n 是7．……12分20. （本小题共12分）在ABC ∆中，若(2)cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若a ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 解：(1) ∵(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=，……2分∴2sin cos sin()sin B A A C B =+=， 又∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，……4分 ∵0A π<<，∴3A π=；……6分(2) ∵1sin 2S bc A ∆==，∴3bc =，……8分又∵22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴b c +=10分由韦达定理解得b c ==3A π=，故ABC ∆是等边三角形．……12分21. （本小题共12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人 将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15470,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每 日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 解：(1)由总成本21()150600p x x x =++万元，可得每台机器人的平均成本 ()p x y x=＝1600x 2＋x ＋150x＝1600x ＋150x＋1≥21600x ·150x＋1＝2. ……4分 当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．……6分 (2)引进300台机器人后，①当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ， ∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．……8分 ②当m ＞30时，日平均分拣量为470×300＝141 000(件)． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．……10分 若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前 的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.……12分22. （本小题共12分）设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）（理）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，试讨论()F x 的单调性；（文）求函数()f x 的最小值；(2) 斜率为k 直线与曲线()y f x '=交于1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <两点， 求证：121x x k<<． 解：(1) （文） ∵()ln 1(0)f x x x '=+>，令()0f x '=，得1x e=．……2分 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-；……4分（理）2()ln 1(0)F x ax x x =++>，则2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>，……2分 ①当0a ≥时，恒有()0F x '>，()F x 在(0,)+∞上是增函数；……3分②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >． 综上，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()F x在单调递增，在)+∞单调递减；……5分 (2) ∵212121212121()()ln ln y y f x f x x x k x x x x x x ''---===---，要证明121x x k<<，只需证明211221ln ln x x x x x x -<<-．……6分 法一：只要证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，只要证11ln t t t -<<，由1t >知ln 0t >， 只要证ln 1ln (1)t t t t t <-<>．（*）……8分①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞是增函数，∴当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>；……10分 ②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞是增函数， ∴当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>．由①②知（*）式成立，故得证．……12分法二：由对数平均值不等式21121221(0)ln ln 2x x x xx x x x -+<<<-，得21121ln ln x x x x x ->>-，且2112221ln ln 2x x x xx x x -+<<-，故原式得证．。

2019年高三11月摸底考试数学（文、理科）试题一、选择题：（一）单项选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,}A a =，2{|540,}B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则a =（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或42．已知11a bi i=-+ ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D3．已知函数22,0(,)0x x x x f x ⎧-≤>⎪=⎨⎪⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值为（ ） AB． C ．4 D ．4-4．若偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f -=，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A ．(,3)(2,3)-∞-UB ．(3,2)(3,)--+∞UC ．(3,3)-D ．(2,3)- 5．函数2ln x xy x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r，向量b =r ，且a b ⊥r r ，则tan θ的值是（ ）A． B． CD． 7．将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ） A ．3x π= B ．6x π= C ．12x π= D ．12x π=-8．中国古代数学名著《算法统宗》，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 起到了重大意义，是东方古代数学名著．在这部著作中，许多问题都是以歌诀形式呈现，“九儿 问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．请问长儿多少岁？（ ）A ．11B ．32C ．35D ．389．（理）已知函数321()3f x x x x =++的图象C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交 于不同于P 的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ）A ．13- B ．23- C ．43- D ．2- （文）已知可导函数()f x ，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()g x '是()g x 的导函数，则(3)g '=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．410．已知函数247()1x x f x x ++=-+，3()log 3(1)x g x x x =+≤，实数,a b 满足1a b <<-， 若1[,]x a b ∀∈，2(0,1]x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．3（二）多项选择题：（本题共2个小题，每小题5分，10分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）11.下列命题正确的是（ ）A.“32,10x R x x ∀∈-+<” 的否定为“32000,10x R x x ∃∈-+>”； B. 命题“若2340x x +-=，则4x =-”的逆否命题是假命题；C. 在△ABC 中，“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件；D. 函数()tan 2f x x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈．12．定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是（ ）A ．21y x =-+ B ．32sin 2cos y x x x =-- C ．ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩ D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y =的定义域为 ．14．记123k k k k k n S =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122n n S =+，322111326n n S n =++，4323111424n n S n =++， 5434111523n n A S n n =++-，…，由此可以推测A = ． （文）54341112330S An n n n =++- 15．设0,1a b >>，且2a b +=，则211a b +-的最小值为 ． 16．已知等差数列{}n a 满足：当(1)(1)(,](,)22k k k k n n k N *-+∈∈时，1(1)k n a k +=-⋅， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则1a = ，12S = ．（文）10S = ．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题共10分）已知函数()f x 与()g x 的定义域是R ，()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，且()()2xf xg x e +=．（1）求函数()f x ；（2）若关于x 的不等式()3mf x m ≥+在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．18. （本小题共12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--()x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间．19. （本小题共12分）已知{}n a 是等差数列，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，且满足111a b ==， 21a q =+，331a b =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1100n n S a n+->的最小正整数n ．20. （本小题共12分）在ABC ∆中，若(2)cos cos 0b c A a C --=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．21. （本小题共12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量 8(60),130()15470,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每 日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？22. （本小题共12分）设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）（理）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，试讨论()F x 的单调性；（文）求函数()f x 的最小值；(2) 斜率为k 直线与曲线()y f x '=交于1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<． 2019年高三11月摸底考试数学（文、理科）试题一、选择题：（一）单项选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,}A a =，2{|540,}B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则a =（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或4解：∵2540(4)(1)014x x x x x -+<⇒--<⇒<<，又x Z ∈，∴{2,3}B =，由A B ≠∅I ，得a =2或3，故选C ．2．已知11a bi i=-+ ，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则||a bi -=（ ） A ．3 B ．2 C ．5 D通解：∵(1)11(1)(1)22a a i a a i bi i i i -==-=-++-，∴2,1ab ==，则|||2|a bi i -=-=，故选D ． 另解：∵1(1)(1)(1)(1)1a bi a i bi b b i i=-⇒=+-=++-+， ∴1b =，2a =，则|||2|a bi i -=-=，故选D ．3．已知函数22,0(,)0x x x x f x ⎧-≤>⎪=⎨⎪⎩，若()(1)0f a f +=，则实数a 的值为（ ） AB． C ．4 D ．4-解：∵1(1)22f =-=-，∴0a <，由220a -=，得a =舍正)，故选B ． 4．若偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f -=，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A ．(,3)(2,3)-∞-UB ．(3,2)(3,)--+∞UC ．(3,3)-D ．(2,3)-解：当2x >时，需()0f x <；当2x <时，需()0f x >，画图，知解集是(,3)(2,3)-∞-U ，故选A ． 5．函数2ln x xy x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 解：函数2ln x xy x =为偶函数，则图像关于y 轴对称，排除B ；当0x >时，2ln ln x x y x x x ==，求导得ln 1y x '=+，由10y x e>⇒>'， 100y x e '<⇒<<，则ln y x x =在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，故选D ．6．已知向量(cos ,sin )a θθ=r ，向量b =r ，且a b ⊥r r ，则tan θ的值是（ ）A ．B ．CD ．解：∵sin 0a b θθ⊥⇒+=r r ，∴sin θθ=，则tan θ=，故选D ．7．将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ） A ．3x π= B ．6x π= C ．12x π= D ．12x π=- 解：∵sin(2)sin[2()]sin(2)6463y x y x x ππππ=-→=+-=+， ∴将12x π=代入可得最大值，故选C ． 8．中国古代数学名著《算法统宗》，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识 起到了重大意义，是东方古代数学名著．在这部著作中，许多问题都是以歌诀形式呈现，“九儿 问甲歌” 就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．请问长儿多少岁？（ ）A ．11B ．32C ．35D ．38解：∵构成一个等差数列：3d =-，9207S =，求1a ， ∴911989(3)91082072a a S ⨯=+⨯-=-=，解得135a =，故选C ． 9．（理）已知函数321()3f x x x x =++的图象C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交 于不同于P 的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，且恒有12y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ）A ．13- B ．23- C ．43- D ．2- 解：∵三次函数的拐点就是其对称中心，∴2212201y x x y x x '''=++⇒=+=⇒=-， 则13y =-，则1(1,)3P --，∴0122(13)23y y y =+=⨯-=-，故选B ． （文）已知可导函数()f x ，如图，直线2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，()g x '是()g x 的导函数，则(3)g '=（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．4解：∵11323k k =+⇒=-，∴由()()()g x f x xf x ''=+， 得1(3)(3)3(3)13()03g f f ''=+=+⨯-=，故选B ． 10．已知函数247()1x x f x x ++=-+，3()log 3(1)x g x x x =+≤，实数,a b 满足1a b <<-， 若1[,]x a b ∀∈，2(0,1]x ∃∈，使得12()()f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．4B ．C ．D ．3解：∵133()log 3(1)(1)log 133x g x x x g =+≤⇒=+=Z ， 4()2[(1)]1f x x x =--+++，令1x t +=，则4()2()f t t t=--+，如图，由()3f t =，解得1t =-或4t =-，∴b a -的最大值为3，故选D ．（二）多项选择题：（本题共2个小题，每小题5分，10分．在每个小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．）11.下列命题正确的是（ ）A.“32,10x R x x ∀∈-+<” 的否定为“32000,10x R x x ∃∈-+>”； B. 命题“若2340x x +-=，则4x =-”的逆否命题是假命题；C. 在△ABC 中，“sin sin A B >”是“a b >”的充要条件；D. 函数()tan 2f x x =的对称中心是(,0)()2k k Z π∈． 解：A 错：应改为32000,10x R x x ∃∈-+≥；B 、C 显然对；D 错：应改为(,0)()4k k Z π∈，故选B 、C ． 12．定义在R 上函数()f x 对任意两个不相等的实数12,x x 都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“Z 函数”，以下函数中“Z 函数”的是（ ）A ．21y x =-+ B ．32sin 2cos y x x x =-- C ．ln ||,00,0x x y x ≠⎧=⎨=⎩ D ．224,0,0x x x y x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解：∵11221221112221()()()()[()()][()()]0x f x x f x x f x x f x x f x f x x f x f x +>+⇒-+->，即2121()[()()]0x x f x f x -->，故Z 函数单调递增，画图，可知A 、C 不符合，∴由多选特征知B 、D 正确(注：B 可用求导来验证)，故选B 、D ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数y =的定义域为 ．解：∵0.50.50.5log 10log log 0.5x x ->⇒>，∴00.5x <<，故其定义域为1(0,)2． 注：许多学生误理解为0.5log (1)x -．14．记123k k k k k n S =++++L ，当1,2,3,k =L 时，观察下列等式：211122n n S =+，322111326n n S n =++，4323111424n n S n =++， 5434111523n n A S n n =++-，…，由此可以推测A = ． （文）54341112330S An n n n =++- 解：可归纳出各项系数和为1，则1111523A ++-=，解得130A =．（文）15A =． 15．设0,1a b >>，且2a b +=，则211a b +-的最小值为 ． 通解：∵(1)1a b +-=，∴2121()[(1)]11a b a b a b +=++---2(1)3331b a a b -=++≥+=+-当且仅当2(1)1b a a b -=-时取等号，故211a b +-的最小值为3+妙解：由权方和不等式可得：2222111)3111a b a b a b +=+≥=+--+- 16．已知等差数列{}n a 满足：当(1)(1)(,](,)22k k k k n n k N *-+∈∈时，1(1)k n a k +=-⋅， n S 是数列{}n a 的前n 项和，则1a = ，12S = ．（文）10S = ．解：当1k =时，(0,1]n ∈，则1n =，有11a =；当2k =时，(1,3]n ∈，则2,3n =，有232a a ==-；当3k =时，(3,6]n ∈，则4,5,6n =，有4563a a a ===；当4k =时，(6,10]n ∈，则7,8,9,10n =，有789104a a a a ====-；当5k =时，(10,15]n ∈，则11,12,13,14,15n =，有11121314155a a a a a =====， 则（理）11a =，120S =．（文）11a =，1010S =-．三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题共10分）已知函数()f x 与()g x 的定义域是R ，()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，且()()2xf xg x e +=．（1）求函数()f x ；（2）若关于x 的不等式()3mf x m ≥+在R 上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1) ∵()()2x f x g x e +=，① ∴()()2x f x g x e --+-=，……2分又∵()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数，∴()()2x f x g x e --=，②……4分 由①②得：()x x f x e e -=+；……5分(2) ∵0x e >，∴1()2x x x x f x e e e e-=+=+≥， ∴min [()1]1f x -=，……7分 由已知得：3()1m f x ≥-，故3m ≥，……9分 则实数m 的取值范围是[3,)+∞．……10分18. （本小题共12分）已知函数21()2cos 22f x x x =--()x ∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间．解：(1) ∵1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=--，……4分 ∴()f x 的最小值是2-，最小正周期是22T ππ==；……6分 (2) 由222262k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈，……8分 得63k x k ππππ-≤≤+，……10分故函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈．……12分19. （本小题共12分） 已知{}n a 是等差数列，各项均为正数的等比数列{}n b 的公比为q ，且满足111a b ==， 21a q =+，331a b =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1100n n S a n+->的最小正整数n ． 解：(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211121d q d q +=+⎧⎨+=+⎩，……2分 解得22d q =⎧⎨=⎩，……4分 故21n a n =-，12n n b -=；……6分(2) ∵1(1)211n n n a q qS -==--，……8分 ∴12112123100n n n n a n n nS +-+-=--=->，……10分 即2103n>，n Z *∈，故最小正整数n 是7．……12分20. （本小题共12分）在ABC ∆中，若(2)cos cos 0b c A a C --=． （1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆，试判断ABC ∆的形状，并说明理由． 解：(1) ∵(2sin sin )cos sin cos 0B C A A C --=，……2分∴2sin cos sin()sin B A A C B =+=， 又∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，……4分 ∵0A π<<，∴3A π=；……6分(2) ∵1sin 2S bc A ∆==，∴3bc =，……8分又∵22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，∴b c +=10分由韦达定理解得b c ==3A π=，故ABC ∆是等边三角形．……12分21. （本小题共12分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本21()150600p x x x =++万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人 将邮件送达指定落袋口完成分拣．经实验知，每台机器人的日平均分拣量8(60),130()15470,30m m m q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每 日的平均分拣量为1 200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？ 解：(1)由总成本21()150600p x x x =++万元，可得每台机器人的平均成本 ()p x y x=＝1600x 2＋x ＋150x ＝1600x ＋150x ＋1≥21600x ·150x＋1＝2. ……4分 当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台．……6分 (2)引进300台机器人后，①当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9 600m ， ∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144 000件．……8分 ②当m ＞30时，日平均分拣量为470×300＝141 000(件)． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件．……10分 若传统人工分拣144 000件，则需要人数为144 0001 200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前 的用人数量最多可减少120－30120×100%＝75%.……12分22. （本小题共12分）设函数()ln (0)f x x x x =>．（1）（理）设2()()()F x ax f x a R '=+∈，试讨论()F x 的单调性；（文）求函数()f x 的最小值；(2) 斜率为k 直线与曲线()y f x '=交于1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <两点，求证：121x x k<<． 解：(1) （文） ∵()ln 1(0)f x x x '=+>，令()0f x '=，得1x e=．……2分 当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，∴当1x e =时，min 111()ln f x e e e==-；……4分（理）2()ln 1(0)F x ax x x =++>，则2121()2(0)ax F x ax x x x+'=+=>，……2分 ①当0a ≥时，恒有()0F x '>，()F x 在(0,)+∞上是增函数；……3分②当0a <时，令()0F x '>，得2210ax +>，解得0x << 令()0F x '<，得2210ax +<，解得x >． 综上，当0a ≥时，()F x 在(0,)+∞上是增函数；当0a <时，()F x在单调递增，在)+∞单调递减；……5分 (2) ∵212121212121()()ln ln y y f x f x x x k x x x x x x ''---===---，要证明121x x k<<，只需证明211221ln ln x x x x x x -<<-．……6分 法一：只要证21221111ln x x x x x x -<<，令21x t x =，只要证11ln t t t -<<，由1t >知ln 0t >， 只要证ln 1ln (1)t t t t t <-<>．（*）……8分①设()1ln (1)g t t t t =--≥，则1()10(1)g t t t'=-≥≥，故()g t 在[1,)+∞是增函数， ∴当1t >时，()1ln (1)0g t t t g =-->=，即1ln (1)t t t ->>；……10分②设()ln (1)(1)h t t t t t =--≥，则()ln 0(1)h t t t '=≥≥，故()h t 在[1,)+∞是增函数， ∴当1t >时，()ln (1)(1)0h t t t t h =-->=，即1ln (1)t t t t -<>．由①②知（*）式成立，故得证．……12分法二：由对数平均值不等式21121221(0)ln ln 2x x x xx x x x -+<<<-，得21121ln ln x x x x x ->>-，且2112221ln ln 2x x x xx x x -+<<-，故原式得证．。

2019-2020学年高三数学第一次模拟测试试题文考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝8i ＋17()i －可化简为A ．1－iB ．0C ．1＋iD ．22．已知集合A ＝{x ｜2x －x ≤0}，B ＝{x ｜a －1≤x ＜a}，若A ∩B 只有一个元素，则a ＝A ．0B ．1C ．2D ．1或23．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a ，b ，记m ＝a ＋b ，则A ．事件“m ＝2”的概率为118B ．事件“m ＞11”的概率为118C ．事件“m ＝2”与“m ≠3”互为对立事件D ．事件“m 是奇数”与“a ＝b ”互为互斥事件4．点P （x ，y ）是如图所示的三角形区域（包括边界） 内任意一点，则y x的最小值为 A ．—2 B ．—53C ．—25D ．—135．已知函数f （x ）＝tan （ϕ－x ）（2π＜ϕ＜32π）的图象经过原点，若f （－a ）＝12，则f （a ＋4π）＝ A ．－3 B ．－13 C ．3 D ．136．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图中的两段圆弧均为半圆，则该几何体的体积为A ．8－2πB ．8－πC ．8－23π D ．8＋2π7．若23log (log )a ＝34log (log )b ＝42log (log )c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a8．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，则输出的n 的值为A ．20B ．25C ．30D ．759．若函数f （x ）＝－2x ＋a x ＋2lnx 在（1，2）上有最大值，则a 的取值范围为A ．（0，＋∞）B ．（0，3）C ．（3，＋∞）D ．（1，3）10．设k ∈R ，函数f （x ）＝sin （kx ＋6π）＋k 的图象为下面两个图中的一个，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为A ．x ＝2k π＋6π（k ∈Z ） B ．x ＝kx ＋3π（k ∈Z ） C ．x ＝2k π－6π（k ∈Z ） D ．x ＝k π－3π（k ∈Z ）11．抛物线M ：2y ＝4x 的准线与x 轴交于点A ，点F 为焦点，若抛物线M 上一点P 满足PA ⊥PF ，则以F 为圆心且过点P 的圆被y 2．24）A 12．在三棱锥D —ABC 中，CD ⊥底面ABC ，AE ∥CD ，△ABC 为正三角形，AB ＝CD ＝AE ＝2，三棱锥D —ABC 与三棱锥E —ABC 的公共部分为一个三棱锥，则此三棱锥的外接球的表面积为A ．163πB ．6πC ．203πD ．223π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13．已知向量a ，b 满足｜b ｜＝2｜a ｜＝2，a 与b 的夹角为120°，则｜a －2b ｜＝___________．14．若双曲线22x y m－＝1的实轴长是10，则此双曲线的渐近线方程为____________． 15．在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝2 ：3 ：4，则△ABC 中最大边所对角的余弦值为___________．16．已知函数f （x ）＝1()2x －22(1)12(1)x x x e e x －＋＋－＋，则f （2log 6）＋f （21log 6）＝________． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题．考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，且a 17＝33，S 7＝49．（1）证明：a 1，a 5，a 41成等比数列；（2）求数列{n a ·3n }的前n 项和n T ．18．（12分）为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm ）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?19．（12分）如图，几何体ABC —A 1DC 1由一个正三棱柱截去一个三棱锥而得，AB ＝4，AA 1＝A 1D ＝1，AA 1⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，E 为棱AA 1上一点，且EM ∥平面BC 1D ．（1）若N 在棱BC 上，且BN ＝2NC ，证明：EN ∥平面BC 1D ；（2）过A 作平面BCE 的垂线，垂足为O ，确定O 的位置（说明作法及理由），并求线段OE 的长．20．（12分）已知直线l ：y ＝2x －2与椭圆Ω：222214x y m m ＋＝（m ≠0）交于A ，B 两点． （1）求Ω的离心率；（2）若以线段AB 为直径的圆C 经过坐标原点，求Ω的方程及圆C 的标准方程．21．（12分）已知函数f （x ）＝（2x －2x －2）x e ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）当x ＞0时，f （x ）≥313x －4x ＋a 恒成立，求a 的最大值；（3）设F （x ）＝xf （x ）＋（2x －2x ）x e ，若F （x ）在[t ，t ＋52]的值域为[（18）0]，求t 的取值范围．2．4，11．6）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程3]（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ（0≤θ≤4π）． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出曲线C ；（2）若直线x t y t m ⎧⎨⎩＝＝＋（t 为参数）与曲线C 有公 共点，求m 的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f （x ）＝｜x －3｜．（1）求不等式f （x ）＋f （2x ）＜f （12）的解集；（2）若x 1＝3x 3－x 2，｜x 3－2｜＞4，证明：f （x 1）＋f （x 2）＞12．。

2020届邵阳市高三第一次联考试题卷数学(理)本试题卷共4页，全卷满分150分， 考试时间120分钟注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20A x x x =--=，{}2|1B x x ==则A B = ( )A. {}1-B. {}1,1-C. {}1,2-D. {}2【答案】A 【解析】 【分析】分别求出A 与B 中方程的解集确定出A 与B ，找出两集合的交集即可． 【详解】解：由A 中方程解得：1x =-或2x =， 即{}1,2A =-，由B 中方程解得：1x =-或1x =， 即{}1,1B =-， 则{}1A B ⋂=-． 故选A ．【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.若复数z 满足2512z i =+，则z =（ ） A. 32i +或32i -- B. 32i -或32i -+C. 12i +或12i -D. 13±【答案】A 【解析】 【分析】设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），利用复数代数形式乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a ，b ，则答案可求．【详解】设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝5+12i ，得a 2﹣b 2+2abi ＝5+12i ，∴225212a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩或32a b =-⎧⎨=-⎩．∴z ＝3+2i 或z ＝﹣3﹣2i ． 故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题． 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 34π+B. 3πC. 2πD. π【答案】D 【解析】的【分析】根据三视图画出其立体图形,即可求得该几何体体积.【详解】根据三视图画出其立体图形:由三视图可知,其底面面积为:2π,其柱体的高为:2 ∴ 根据柱体的体积公式求得其体积为:π故选:D.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积,解题关键是根据三视图画出其立体图形,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.4.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号.如图（二）是折扇的示意图，A 为OB 的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是( )A.14B.12 C.34D.58【答案】C 【解析】 【分析】利用几何概型的方法,求出扇面面积与总扇形面积的比值即可.【详解】设扇形的半径为r ,圆心角为α,则整个扇形区域面积2112S r α=,扇骨部分面积为22122r S α⎛⎫= ⎪⎝⎭.的故在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是2221132211=142r S S r αα⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-. 故选：C【点睛】本题主要考查了几何概型的一般方法,需要根据题意求出扇环面积占总面积的比值即可.属于基础题型.5.设,a b ∈R ，则“||||a a b b >”是“33a b >”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当||||a a b b > ①若0a >,0b >,则有22a b >,于是33a b >;②若0a >,0b <,则有||0,||0a a b b ><,可知||||a a b b >显然成立,于是33a b >; ③若0a <,0b >,则||||a a b b >不成立,不满足条件;④若0a <,0b <,由||||a a b b >,可得22a b ->-,即22a b <,所以有330a b >>.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的充分条件.必要性证明:当33a b >①若0a b >>,则有||||a b >,于是||||a a b b >;②若0a b >>,则有||0,||0,a a b b ><于是||||a a b b >;③若0a b >>,则有22a b <,于是22a b ->-,因为2||a a a =-,2||b b b =-,所以有||||a a b b >成立.∴ “||||a a b b >”是“33a b >”的必要条件.综上所述,“||||a a b b >”是“33a b >”的充要条件. 故选:C.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了理解能力与运算能力,属于基础题.6.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x +2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．7.已知函数12()sin(),12xxf x x x R α-=+∈+，则当[0,]απ∈时函数()f x 的图象不可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】观察到四个选项均有奇偶性,且1212xxy -=+为奇函数,故分析sin()y x α=+有奇偶性的情况即可. 【详解】由选项知函数图像关于y 轴或关于原点对称,故0α=,2πα=或απ=.①若0α=,则函数12()sin 12x x f x x -=+,因为()1212()sin sin 1212x xx xf x x x -----=-=++为偶函数,故图像关于y 轴对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为A.②若2πα=,则函数12()cos 12xxf x x -=+为奇函数,图像关于原点对称,当0x +→时,函数()0f x <,此时对应的图像为D.③若απ=,则函数12()sin 12x xf x x -=-+为偶函数,图像关于y 轴对称. 当0x +→时,函数()0f x >,此时对应的图像为B.故不可能是C. 故选：C【点睛】本题主要考查了函数图像的判定方法与技巧,主要分析函数的奇偶性与函数在0x +→时的正负等.属于中等题型.8.在数列{}n a 中，若12211,3,(1)n n n a a a a a n ++===-≥，则该数列的前50项之和是（ ） A. 18 B. 8C. 9D. 4【答案】D 【解析】 【分析】根据递推公式逐个计算,从而发现数列为周期数列,再分组求解前50项之和即可. 【详解】由题意得123214325431,3,2,1,3,a a a a a a a a a a a ===-==-=-=-=-6542,a a a =-=-7651,a a a =-=8763,a a a =-=故数列{}n a 为周期为6的周期函数.且1234561321320a a a a a a ++=++--+-+=+.故该数列的前50项之和()1234564950152084S a a a a a a a a a a =⨯++++++++==.故选：D【点睛】本题主要考查了周期数列的运用,根据递推公式逐个项求解发现周期后再求和即可.属于中等题型.9.已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2xf x =，则()2log 12f =（ ）A. 43-B.2332 C. 34D. 38-【答案】A 【解析】 【分析】利用周期性和奇函数的性质可得，()()()222log 12log 1244log 12f f f =-=--，再根据指数运算和对数运算即可求得结果.【详解】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选A.【点睛】本题主要考查对数函数，奇函数，周期函数，以及抽象函数的性质，综合性较强，属中档题. 10.在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，则异面直线DE 与11A B 所成角的正弦值为（ ）A.B.3C.4D.3【答案】B 【解析】 【分析】在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ，得到异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角，在DEF ∆中，利用余弦定理和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，12,3AB AD AA ===，点E 为棱1BB 上的点，且12BE EB =，如图所示，在1AA 上取点F ，使得12AF FA =，连接,EF FD ，可得11//EF A B ， 所以异面直线DE 与11A B 所成角就是相交直线EF 与DE 所成的角， 设DEF θ∠=，又由在直角ADF ∆中，2,2AD AF ==，所以DF ==，在直角BDE ∆中，2BD BE ==，所以DE =，在DEF ∆中，2,DF EF DE ===由余弦定理可得222cos 2DE EF DF DE EF θ+-===⋅, 所以所以异面直线DE 与11A B所成角的正弦值sin θ=，故选B.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中根据几何体的结构特征，把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了空间向量能力，以及推理与计算能力，属于基础题.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为,F P 是抛物线C 的准线上一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若2PQ QF =，则直线PF 的方程为（ ）A.0y --=B. 10x y +-=C. 10x y --=D.0y +-=【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求得直线PF 的倾斜角与斜率即可.【详解】作QM y ⊥轴于M ,则根据抛物线的定义有QM QF =.又2PQ QF =,故2PQ QM =,故1cos 2MQ PQM PQ ∠==.故3PQM π∠=,故直线PF 的倾斜角为23π.故直线PF 的斜率为直线PF 的方程为)1y x =-,0y +-=.故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的定义应用,需要作出辅助线求得直线的倾斜角与斜率,进而求得方程.属于基础题型.12.已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，对任意(0,)x π∈，有()sin ()cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设2,,642a f b c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. a c b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据()sin ()cos f x x f x x '<可构造函数()()sin f x g x x=,再利用单调性判断函数值的大小即可. 【详解】构造函数()()sin f x g x x =,则2'()sin ()cos '()sin f x x f x x g x x-=,又()sin ()cos f x x f x x '<, 故2'()sin ()cos '()0sin f x x f x x g x x-=<.()()sin f x g x x =在(0,)x π∈上单调递减. 又()()0f x f x +-=,故()f x 为奇函数,故()()sin f x g x x=为偶函数.又2(),,664422a f g b g c f g ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又偶函数()()sin f x g x x =在(0,)x π∈上单调递减.故()()6642g g g g ππππ⎛⎫⎛⎫-=>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故c b a <<. 故选：D【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值的大小问题,需要根据题意构造合适的函数,并分析单调性与奇偶性,从而求得函数值大小的关系等.属于中等题型.二、填空题：本大题有4个小题，每小题5分，满分20分.13.在ABC ∆中，(1,2),(4,2)AC AB ==-，则ABC ∆的面积为__________．的【答案】5 【解析】 【分析】设(0,0)A ,则求,B C 的坐标进而求得面积即可.【详解】设(0,0)A ,则(1,2),(4,2)C B -,故ABC ∆可以(0,0)A 为顶点,底边5BC =,高为2的三角形.求面积为15252S =⨯⨯=.故答案为：5【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标方法,需要根据题意求得对应的顶点坐标再求解.属于基础题型. 14.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件: （i ）老年人的人数多于中年人的人数; （ii ）中年人的人数多于青年人的人数; （iii ）青年人的人数的两倍多于老年人的人数.①若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为___________. ②抽取的总人数的最小值为__________． 【答案】 (1). 6 (2). 12 【解析】 【分析】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z ,①4z =,则8xx y>⎧⎨>⎩ ,即可求得中年人的人数的最大值. 由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N ,即可求得抽取的总人数的最小值.【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为,,x y z①4z =,则8xx y>⎧⎨>⎩ ,则y 的最大值为6②由题意可得2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩,得2z x y z >>>,,,x y z +∈N22z z ∴>+ 解得2z >∴ 当3,4,5z y x ===时x y z ++取最小值12.故答案为:①6.②12.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,从而确定目标函数在何处取得最优解.15.已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,若存在四个不同的实数1234|,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则1234x x x x +++=__________．【答案】8 【解析】 【分析】因为函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩,画出其函数图像,当存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足()()()()1234f x f x f x f x===,且1234x x x x <<<结合图像求解1234x x x x +++的值. 【详解】 函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 画出函数图像:12,,x x 在二次函数22y x x =-,其对称轴为:1x =∴ 12212x x +=⨯= ，34,x x 在sin,2y x π=在24x <<,其对称轴为:3x =∴34236x x +=⨯= ， ∴1234268x x x x +++=+=故答案为:8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用,解题关键是画出函数图像,数学结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.已知 O 为坐标原点，圆M ：()2211x y ++=， 圆N ：()2224x y -+=．,A B 分别为圆M 和圆N 上的动点，则OAB S 的最大值为_______．【答案】2【解析】 【分析】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，首先证得2O A BO E BO E FSSS==，将题意转化为求圆内接三角形面积的最大值，将基本不等式和琴生不等式相结合即可得结果.【详解】如图所示，以ON 为直径作圆，延长AO 交新圆于E 点，BO 交新圆于F 点，连接FE ，NF ，则NF 与OB 垂直， 又=NB NO ，所以F 为OB 中点， 由对称性可知OA OE =， ∵1=sin 2OABSOA OB AOB ⋅⋅∠， ()11=sin sin 22OEB S OB OE AOB OB OE AOB π⋅⋅-∠=⋅⋅∠所以2OABOEBOEFS SS==， 因此当OEFS最大值时，OABS最大，故题意转化为在半径为1的圆内求其内接三角形A B C '''V 的面积最大值， 圆内接三角形的面积1sin 2S a b C '''=，由正弦定理得2sin a A ''=，2sin b B ''=， ∴3sin sin sin 2sin sin sin 23A B C S A B C '''++⎛⎫'''=≤ ⎪⎝⎭由于()sin f x x =，[]0,x π∈时为上凸函数，可得33sin sin sin sin 338A B C A B C ''''''++++⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即4A B C S'''≤，当且仅当3A B C π'''===时等号成立，进而可得OABS的最大值为2=【点睛】本题主要考查了圆内接三角形面积最大值的求法，考查了解析几何中的对称思想以及等价转化思想，用不等式求最值是难点，属于难题.三、解答题：本大题有6个小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且满足1a ，212a +，3a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使1|2|500n T -<成立n 的最小值. 【答案】（1）12n n a -=； （2）10.【解析】 【分析】(1)根据数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式的关系求解即可.(2)由(1)有1112n n a -=,再根据等比数列求和可得n T ,再分析1|2|500nT -<的情况即可. 详解】（1）由已知12n n S a a =- 有1122,(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…即12(2)n n a a n -=…，从而213212,24a a a a a ===，又1231,,2a a a +成等差数列.即13221a a a +=+，111441a a a ∴+=+，解得：11a =， {}n a ∴的通项公式12n n a -=.（2）由（1）得：1112n n a -=， 所以1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-， 由12500n T -<，即1112500n -⎛⎫<⎪⎝⎭. 【12500n -∴>，即21000n >， n ∴的最小值为10.【点睛】本题主要考查了数列{}n a 的通项公式与前n 项和公式的关系与等比数列的求和,同时也考查了数列的不等式,属于中等题型.18.已知函数()cos (sin )f x x x x =+（1）求()f x 的单调递减区间； （2）若()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-，求m 的最大值.【答案】（1）7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）512π-. 【解析】 【分析】(1)根据题意利用降幂公式与和差角公式将函数化简为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再求解单调区间即可.(2)根据三角函数图像求解分析即可.【详解】（1）由题意知：2()cos sin f x x x x =⋅+化简得：1()sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 当()f x 单调递减时，322,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦解得：7,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦ 即函数()f x 的单调递减区间为7,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）当()f x 在区间[,]6m π上的最小值为1-时，存在1,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得1sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 即122,32x k k Z πππ+=-∈，解得：15,12x k k Z ππ=-∈， 则0k =时，存在()1max 512x π=-. ()max 1max 512m x π∴==-【点睛】本题主要考查了三角函数的公式运用以及图像的性质,属于中等题型.19.如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60,DAB PA PD ︒∠===M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30°，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】（1）见解析； （2）3. 【解析】 【分析】(1) 取AD 中点E ,证明PE ⊥面ABCD 即可.(2)由(1)知30PME ∠=°,计算出AB 的长度,再求解体积即可. 【详解】（1）取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，PA PD PE AD =⇒⊥……①由底面ABCD ，所以BD AC ⊥，又由,E M 为,AD CD 的中点，所以//EM AC ， 可得BD EM ⊥，又由BD PM ⊥，所以BD ⊥平面PEM ，BD PE ∴⊥……②由①②可得：PE ⊥面ABCD ，又PE ⊂面PAD ⇒平面PAD ⊥平面ABCD . （2）由（1）知PE ⊥面ABCD ， 连接EM ，易知30PME ∠=°.设AB a =，则22AC PE EM a===.故tan 30PE PME EM︒∠==，=，解得2a =， 故1PE =，ABCD S =四边形故113P ABCD ABCD V S -=⋅⋅=【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明以及线面角的求解与体积的计算等.属于中等题型.20.半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0),(1,0)A B -,点P 在半圆O 及直径AB 上运动,若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q ,记点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”,求曲线C 的“直径”. 【答案】（1）答案见解析 （2. 【解析】 【分析】(1)设(,)Q x y ,则,2P x ⎪⎝⎭,由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭,即可求得答案;(2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大,不妨设00y y ≥≥,()()22200||GH x x y y =-+-,根据不等式性质,即可求得曲线C 的“直径”.【详解】(1)设(,)Q x y ,则,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 由题意可知当P 在直径AB 上时,显然0(11)y x =-<<;当P 在半圆O 上时,221(0)2y x y ⎛⎫+=≥ ⎪⎝⎭, ∴ 曲线C 的方程为0(11)y x =-<<或221(0)4y x y +=≥.(2)设曲线C 上两动点()00(,),,G x y H x y ,显然G ,H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大, 不妨设00y y ≥≥,则()()()()()22222220000||41GH x x y y x x y x x x=-+-≤-+=-+-,()()222200041324x x x x x x x -+-=--++22200044416344433333x x x x ⎛⎫=-+++≤+≤+= ⎪⎝⎭216||3GH ∴≤等号成立时:1,33G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H -或133G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0)H ,由两点距离公式可得:max ||GH =故曲线C 的“直径”. 【点睛】本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线C 的“直径”.在求曲线上两点间距离最大时,将两点设出,用两点间距离列出表达式,通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力. 21.已知()ln f x ax x =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[)1,x ∈+∞，都有()x f x a ⋅≥，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数，对a 分0a ≤和0a >两种情况，分析()f x '在()0,∞+上的符号，可得出函数()y f x =的单调区间；（2）由()x f x a ⋅≥，转化为1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，构造函数()1ln a x x xg x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，且有()10g =，问题转化为()()1g x g ≥，对函数()y g x =求导，分析函数()y g x =的单调性，结合不等式()()1g x g ≥求出实数a 的取值范围.【详解】（1）函数()ln f x ax x =-的定义域为()0,∞+，()11ax f x a x x-'=-=. ①当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '<，此时，函数()y f x =的单调递减区间为()0,∞+； ②当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<；令()0f x '>，得1x a>. 此时，函数()y f x =的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）()x f x a ⋅≥Q ，即2ln ax x x a -≥，得2ln 0ax a x x --≥， 又1x ≥，不等式两边同时除以x ，得ln 0a ax x x --≥，即1ln 0a x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭.易知()10g =，由题意可知()()1g x g ≥对任意的1x ≥恒成立，()22ax x ag x x -+'=.①若0a ≤，则当1x >时，10x x->，ln 0x >，此时()0g x '<， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递减，则()()1g x g ≤，不合乎题意； ②若0a >，对于方程20ax x a -+=. （i ）当2140a ∆=-≤时，即12a ≥，()0g x '≥恒成立， 此时，函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，则有()()1g x g ≥，合乎题意； （ii ）当2140a ∆=->时，即102a <<时， 设方程20ax x a -+=的两个不等实根分别为1x 、2x ，且12x x <， 则121=x x ，1210x x a+=>，所以，210x x >>，21221x x x ∴=<，21x ∴>. 当21x x <<时，()0g x '<；当2x x >时，()0g x '>，()()21g x g ∴<，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究不等式恒成立问题，解题方法就是利用分类讨论法进行求解，解题时要找出参数分类讨论的依据，考查分类讨论数学思想的应用，属于难题. 22.某公司为提高市场销售业绩，设计了一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采取促销”和“没有采取促销”的营销网点各选了50个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分成5组：[5,0)-，[0,5)，[5,10)，[10,15)，[15,20]，分别统计后制成如图所示的频率分布直方图，并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.“采用促销”的销售网点“不采用促销”的销售网点（1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“精英店与采促销活动有关”；（2）某“精英店”为了创造更大的利润，通过分析上一年度的售价i x （单位：元）和日销量i y （单位：件）（1,2,,10i =）的一组数据后决定选择2y a bx =+作为回归模型进行拟合.具体数据如下表，表中的2i i w x =①根据上表数据计算a ，b 的值；②已知该公司产品的成本为10元/件，促销费用平均5元/件，根据所求出的回归模型，分析售价x 定为多少时日利润z 可以达到最大.附①：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++附②：对应一组数据()()()()112233,,,,,,,,n n u v u v u v u v ⋯，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1011021ˆiii i i v v uu u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=-. 【答案】（1）有99%的把握认为“精英店与促销活动有关”； （2）①21ˆ12003yx =-+. ②当售价40x =元时，日利润达到最大为500003元. 【解析】 【分析】(1)根据图表补全列联表,再计算2K 判断即可.(2)根据线性回归方程的方法求解函数表达式,再求导分析单调性与最值即可. 【详解】（1）因为22100(1050300)9.09 6.63550505545K -=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“精英店与促销活动有关”.（2）①由公式可得：7.2121.63b -==-，1395.52413.512003a y bw =-=+⨯=， 所以回归方程为21ˆ12003yx =-+. ②若售价为x ，单件利润为15x -，日销售为21ˆ12003yx =-+， 故日利润211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，(30)(40)z x x '=-+-， 当(0,40)x ∈时，211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递增； 当(40,)x ∈+∞时，211200(15)3z x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭单调递减. 故当售价40x =元时，日利润达到最大为500003元. 【点睛】本题主要考查了独立性检验以及线性回归方程的方法以及利用导数求最值的方法等.属于中等题型.。

2020届邵阳市高三第一次联考试题卷数学（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数cos3sin3z i =+对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 解：∵35718317254''≈⨯=∈o oⅡ，∴cos30<，sin30>，此点位于第二象限，故选B ． 2. 设,a b R Î，则“a a b b >”是“33a b >”的（ ） (2014天津卷改编) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解1：设函数()f x x x =，则22(0),,x x x f x x ìïï=í³-<ïïî，所以()f x 是R 上的增函数， “a a b b >”是“33a b ab >?”的充要条件，故选C ．解2：当ab ≥0时，可得a >b 与a |a |>b |b |等价．当ab <0时，可得a >b 时a |a |>0>b |b |；反之，由a |a |>b |b |知a >0>b ，即a >b ，故选C ．3. 在ABC ∆中，(1,2)AC =uu u r ，(4,2)AB =-uu u r，则ABC ∆的面积为（ ）AB． C ．5 D ．10 解1：由三角形面积公式的向量式（题根P 154）12211||2ABO S x y x y ∆=-， 得1|1242|52ABOS ∆=⨯+⨯=，故选C ． 解2：∵2AC k =，12AB k =-，∴90A ∠=o，则152ABOS ∆=⨯=，故选C ． 4. 若实数x ，y 满足条件30,0,20,x x y x y ⎧⎪+≥≥-≤-⎨⎪⎩则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6,+)∞D ．[4,+)∞ 解：如图，在点(2,1)处时取得最小值4，无最大值，故选D ．yxABC∟Oxyx-2y=0x+y -3=0215.一个几何体的三视图如图(一)所示，则该几何体的体积为（）A．34π+B．3πC．2πD．π解：∵这是半个圆柱，∴21122Vππ=⋅⋅⋅=，故选D．6.函数2()1logf x x=+与1()2xg x-+=在同一直角坐标系下的图象大致是（）解：2()1logf x x=+过定点(1,1)且单调递增，1()2xg x-+=过定点(0,2)且单调递增减，故选C．7.已知奇函数()f x在R上是增函数，若1(ln)2019a f=-，(ln2018)b f=，0.5()c f e=，则a，b，c的大小关系为（）A．a b c<<B．b a c<<C．c b a<<D．c a b<<解：∵1(ln)(ln2019)2019a f f=-=，(ln2018)b f=，0.5()()c f e f e==，∴由奇函数()f x在R上是增函数得c b a<<，故选C．8. 设m为正整数，2()mx y-展开式的二项式系数的最大值为a，21()mx y+-展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝( )A．5 B．6 C．7 D．8解：∵a=2mmC，b=121mmC++，∴132mmC=7121mmC++，即13(2)!!!mm m⨯=7(21)!(1)!!mm m⨯++，解得m=6，故选B．(2013全国Ⅰ卷改编)9.已知点P是直线:4370l x y--=上的动点，过点P引圆222:(1)(0)C x y r r+-=>的两条切线,PM PN，M，N为切点，当MPN∠的最大值为2π时，则r的值为（）A．2B．3C．22D．1解：如图，连接PC ，当PC l ⊥时，MPN ∠最大．∵2MPN π∠=，故4MPC π∠=，∴||PC =．又∵2d ==，∴||2PC r ==⇒=A ．10. 英国统计学家..E H 辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论．下面这个案例可以让我们感受到这个悖论．有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案 件被提出上诉．统计这些被提出上诉案件的终审结果如下表所示（单位：件）：记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1x ，2x 和x ； 记乙法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为1y ，2y 和y ， 则下面说法正确的是（ ） A ．11x y <，22x y <，x y > B ．11x y <，22x y <，x y < C ．11x y >，22x y >，x y >D ．11x y >，22x y >，x y <解：由题意可得法官甲民事庭维持原判的案件率为1290.90632x =≈，行政庭维持原判 的案件率21000.847118x =≈，总体上维持原判的案件率为1290.86150x ==； 法官乙民事庭维持原判的案件率为1900.9100y ==，行政庭维持原判的案件率为 2200.825y ==，总体上维持原判的案件率为1100.88125y ==．所以11x y >，22x y >，x y <，故选 D ．11. 已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥uu u r uu r，则E 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．32(1,] C ．32[,)+∞ D ．(2,+)∞ 解：(,0)A a ，(2,0)F a ，双曲线E 的渐近线方程为0bx ay ±=．∵AP FP ⊥uu u r uu r，∴以||AF a =为直径的圆与直线0bx ay ±=相切，则223||22ab a d a b =≥+，即3122bc ≥，则3c b ≥，平方 得222299()c b c a ≥=-，∴2298c a ≤，则321<<4e ，故选B ．12.在正四棱锥P －ABCD 中，已知异面直线PB 与AD 所成的角为60o，给出下面三个命题： 1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧面积为443+；2p ：若E ，F 分别为PC ，AD 的中点，则//EF 平面PAB ；3p ：若P ，A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积是四边形ABCD 面积的2π倍．在下列命题中，为真命题的是（ ）A ．23p p ∧B ．12()p p ∨⌝C ．13p p ∧D ．23()p p ∧⌝ 解：如图．1p ：2342434S =⨯⨯=侧，故为假命题； 2p ：由平面//EFH 平面PAB ，知//EF 平面PAB ，故为真命题；3p ：∵222(2)(2)R R -+=，解得2R =，∴248S R ππ==球，224ABCD S ==，故为真命题．二、填空题：本大题有4个小题，每题5分，满分20分． 13.已知α为三角形内角，2sin cos αα-=，则cos2α= ． 解1：∵21sin cos 2sin(45)sin(45)7522ααααα-=-=⇒-=⇒=o o o ， ∴3cos 2cos150cos302α==-=-o o． xFOAP解2：∵211(sin cos )12sin cos 2sin cos 22αααααα-=-=⇒=，∴sin 0α>， cos 0α>，则23(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=，即得6sin cos αα+=，故263cos 2(cos sin )(cos sin )222ααααα=+-=-⨯=-． 14. 已知函数22,02()sin ,242x x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若存在四个不同的实数1234,,,x x x x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x <<<，则1234x x x x +++= ．解：画图．∵12212x x +=⨯=，34236x x +=⨯=，∴1234268x x x x +++=+=．15. (ⅰ)老年人的人数多于中年人的人数；(ⅱ)中年人的人数多于青年人的人数；(ⅲ) 青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为 ； ②抽取的总人数的最小值为 ．解：①当青年人的人数为4时，4,5,6和4,5, 7和4,6, 7均满足题意，则中年人的人数的最大值为6；②抽取的总人数的最小值为54312++=． 16. 如图(二)所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼．太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”．现有下列说法：①对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数； ②函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数；③存在圆O ，使得1()1x x e f x e +=-是圆O 的一个太极函数；④直线(1)(21)10m x m y +-+-=所对应的函数一定是 圆222:(2)(1)(0)O x y R R -+-=>的太极函数；⑤若函数3()()f x kx kx k R =-∈是圆22:1O x y +=的太极函数，则(2,2)k ∈-． 其中正确的是__________．yx13Ｏ42-1解：①错误，如左下图：xOyxOy1111②正确，如右中图：点(0,1)均为两曲线的对称中心，且()sin 1f x x =+能够将圆一分为二；③错误，奇函数12()111x x x e f x e e +==+--关于点(0,0)对称，而其对称中心为间断点，故不存在； ④正确，直线系方程(1)(21)10m x m y +-+-=恒过的定点(2,1)就是圆心，满足题意； ⑤正确，奇函数3()()f x kx kx k R =-∈中(1)0f ±=．∵3221y kx kx x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，∴2624222(1)10k x k x k x -++-=，令2t x =， 则232222(1)10k t k t k t -++-=，由试根法得222(1)(1)0t k t k t --+=，∴由1t =，得1x =±．研究22210k t k t -+=，当0k =时显然无解； 当0k ≠时，由4240k k ∆=-<，解得204k <<，此时也无解，即当(2,2)k ∈-时，曲线与单位圆仅有两个交点，如左下图：此时满足题意；当2k =±时，∵0x ∆=⇒=±相切，∴曲线与单位圆有4个交点，此时不满足题意； 当24k >时，曲线与单位圆有6个交点，如右下图：也不能把圆一分为二． 故正确的是②④⑤．1xOy 1xOy1-11xOy三、解答题：本大题有6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（10分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c，且sin sin sin sin a A c C C b B +=． （1）求角B 的大小；（2）若2()sin cos f x x x x =+-()2Af 的取值范围． 解：（1）∵sin sin sin sin a A c C C b B +-=，∴222a cb +=，∴222a cb +-=，∴222cos 22a cb B ac +-==．又 B ∈(0，π)，∴B ＝6π； ………………………………4 分 （2）211cos 2()sin cos sin 222x f x x x x x +=+=-1sin 2cos 2sin(2)223x x x π=+=+， ∴()sin()23A f A π=+，∵5(0,)6A π∈，则7(,)336A πππ+∈， 故1sin()(,1]32A π+∈-．∴f (A )取值范围为1(,1]2-．……………………………10 分18.（12分）已知正项数列{}n a 中，11a =，2211230n n n n a a a a ++--=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n n b a -是等差数列，且12b =，314b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）∵2211230n n n n a a a a ++--=，∴11()(3)0n n n n a a a a +++-=．∵0n a >，∴10n n a a ++>，130n n a a +-=，∴13n na a +=． ∵11a =，∴11133n n n a --=⋅=；……………………5分（2）令n n n c b a =-，则1111c b a =-=，3335c b a =-=，31231c cd -==-， ∴12(1)21n c n n =+-=-，则1213n n n n b c a n -=+=-+，∴123n n S b b b b =++++L21(13521)(1333)n n -=++++-+++++L L(121)1(13)213n n n +--=+-23122n n =+-．…………………12 分19.（12分）已知菱形ABCD 的边长为4，AC ∩BD ＝O ，∠ABC ＝60°，将菱形ABCD 沿对角线BD 折起， 使AC ＝a ，得到三棱锥A －BCD ，如图（三）所示．（1）当22a =时，求证：AO ⊥平面 BCD ；（2）当二面角 A —BD —C 的大小为120°时，求直线AD 与平面ABC 所成角的正切值．解：（1）在△AOC 中，OA ＝OC ＝2， AC ＝22a =222OA OC AC +=，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ．∵AO ⊥BD ，且AO ∩BD ＝O ，∴AO ⊥平面 BCD ；………………………………………4 分（2）由（1）知，OC ⊥OD ，以O 为原点，OC 、OD 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立如图的空间直角坐标系O —xyz ，则O (0，0，0)，B (0，23-，0)， C (2，0，0)，D (0，30)．∵AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 为二面角A —BD —C 的平面角， ∴∠AOC ＝120°．∴点A (－1，03 )，(1,23,3)AD =-u u u r ，(1,23,3)BA =-u u r ，(2,23,0)BC =u u u r． 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =r，则22302330n BC x y n BA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r uu u r r uu r ，取 x ＝1，则3y =-，3z =，∴3(1,,3)n =-r ． 设直线AD 与平面ABC 所成的角为 θ，则||3sin 1313||||43AD n AD n θ⋅===uuu r ruuu r r ，∴210cos 1sin 13θθ=-=， 故sin 330tan cos 10θθθ===．………12 分20.（12分）半圆22:1(0)O x y y +=≥的直径的两端点为(1,0)A -，(1,0)B ，点P 在半圆O 及直径AB 上运 动，若将点P 的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到点Q ，记点Q 的轨迹为曲线 C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C 的“直径”． 解：（1）设Q (x ，y )，则P (,)2yx ．由题意可知当P 在直径AB 上时，显然y =0(-1< x <1)； 当P 在半圆O 上时，22()1(0)2y x y +=≥，所以曲线C 的方程为y =0(-1< x <1)或221(0)4y x y +=≥；………………5 分 （2）设曲线C 上两动点(,)G x y ，00(,)H x y ．显然G ，H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设00y y ≥≥，则22222220000||()()()()4(1)GH x x y y x x y x x x =-+-≤-+=-+-，∵222222000004()4(1)3243()433x x x x x x x x x x -+-=--++=-+++ 20441644333x ≤+≤+=，∴16||3GH ≤，等号成立时：142(,)33G ，H (-1,0)或142(,)33G -，H (1,0)．由两点距离公式可得: min ||3GH =，故曲线 C 的“直径”为3．………………………………12 分21.（12分）某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件 8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂， 每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃， 则销售5000件；若气温位于[25℃，30℃），则销售3500件；若气温低于25℃，则销售 2000件．为制定今年8月份的生产计划，绕计了前三年8月份的气温范围数据， 得到下面的频数分布表：(1)求今年8月份这种食品一天销售量（单位：件）的分布列和数学期望值； (2)设8月份一天销售这种食品的利润为y （单位：元），当8月份这种食品一天 生产量n （单位：件）为多少时，y 的数学期望值最大，最大值为多少？解：（1）今年8月份这种食品一天的销售量X 的可能取值为2000、3500、5000件，414(2000)0.290P X +===，36(3500)0.490P X ===， 2115(5000)0.490P X +===，于是XX 的数学期望为EX =50000.43800+⨯=；…………5 分 （2）由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤ n ≤ 5000．当3500≤ n ≤ 5000时，若气温不低于30度，则Y = 4n ；若气温位于[25，30)，则35004(3500)3245003Y n n =⨯--⨯=-； 若气温低于25度，则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时22114(245003)(140003)12600119005555EY n n n n =⨯+⨯-+⨯-=-≤， 当2000≤ n <3500 时，若气温不低于25度，则Y = 4n ；若气温低于25度，则20004(2000)3140003Y n n =⨯--⨯=-； 此时41134(140003)280011900555EY n n n =⨯+⨯-=+≤； 所以n = 3500时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为11900．…………12 分22．（12分）已知函数()f x 为反比例函数，曲线()()cos g x f x x b =+在2x π=处的切线方程为62y x π=-+．（1）求()g x 的解析式； （2）判断函数3()()12F x g x π=+-在区间(0,2]π内的零点的个数，并证明． 解：（1）设()(0)a f x a x =≠，则cos ()a x g x b x=+， 直线62y x π=-+的斜率为6π-，过点(,1)2π-． ∵2(sin cos )()a x x x g x x -+'=，则26()2a g πππ-'==-， ∴3a =，()12g b π==-， 所以3cos ()1x g x x=-；…………………………5 分 （2）函数F (x )在(0,2π ]上有3个零点． ………………………7 分 证明：33cos 3()()122x F x g x x ππ=+-=-，则23(sin cos )()x x x F x x-+'=．又3()062F ππ=>，3()022F ππ=-<， 所以F (x )在(0,]2π上至少有一个零点． 又F (x )在(0,]2π上单调递减，故在(0,]2π上只有一个零点． 当3(,)22x ππ∈时，cos x <0，故F (x )<0， 所以函数F (x )在3(,)22ππ上无零点． 当3[,2]2x ππ∈⎡时，令()sin cos h x x x x =+，则()cos 0h x x x '=>， 所以h (x )在3[,2]2ππ上单调递增，(2)0h π>，3()02h π<， 所以03(,2)2x ππ∃∈，使得F (x )在03[,]2x π上单调递增，在0(,2]x π上单调递减． 又F (2π)=0，3()02F π<，所以函数F (x )在3[,2]2ππ上有2个零点． 综上，函数F (x )在(0,2π ]上有3个零点．………………………………12 分。

2024届湖南省洞口县高三下第一次联考数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是全等的直角三角形，则该几何体的各个面中，最大面的面积为（ ）A ．2B ．5C ．13D ．222．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,43． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21B ．22C ．23D ．244．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.A ．5.45B ．4.55C ．4.2D ．5.85．函数f x x 2()cos(2)3π=+的对称轴不可能为（ ） A ．65x π=-B ．3x π=-C ．6x π=D ．3x π=6．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A 5B ．2C 30D ．237．ABC ∆中，25BC =D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．5B ．22C ．65D ．28．已知α满足1sin 3α=，则cos cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．718B ．79C ．718-D ．79-9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( ) A ．3 B ．0C ．0或32-D ．32-11．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7B ．14C ．28D ．8412．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则63iz+=( )A ．3B ．5C ．5D ．35二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年湖南邵阳高三上数学月考试卷一、选择题1. 设集合A ={0, 1, 2, 3}，集合B ={−1, 1}，则A ∩B =( ) A.{1} B.{−1, 1} C.{−1, 0} D.{−1, 0, 1}2. 命题“∃x ∈R ，使x 2+1<0”的否定是( ) A.若x ∉R ，则x 2+1≥0 B.∃x ∉R ，x 2+1≥0 C.∀x ∈R ，x 2+1<0 D.∀x ∈R ，x 2+1≥03. 函数f(x)=3x +2x −3的零点所在的区间是（ ） A.(−2, −1) B.(−1, 0) C.(0, 1) D.(1, 2)4. 若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( ) A.3π2 B.3π4C.3π8D.3π165. 已知f(x)={2x ,x <0a +log 2x,x ≥0 ，若f(f(−1))=−1， 则实数a 的值为( )A.−2B.2C.0D.16. 若函数f(x)={m x ,x >1(4−m 2)x +2,x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数m 的取值范围为( ) A.(1,+∞) B.[4,8) C.(4,8) D.(1,4)7. 已知函数f(x)=lg (|x|+1) ，记a =f(50.2)，b =f(log 0.23)，c =f(1)，则a, b, c 的大小关系为（ ）A.b <c <aB.a <b <cC.c <a <bD.c <b <a8. 已知函数 f(x)=ln (x 2+1)−e −|x| (e 为自然对数的底数），则不等式 f(2x +1)>f(x) 的解集是( ) A.(−1,1) B.(−∞,−1)∪(1,+∞) C.(−1,−13)D.(−∞,−1)∪(−13,+∞)9. 函数f(x)=x sin x +ln |x|在区间[−2π,2π]上的大致图象为( )A. B.C. D.10. 已知函数f(x)=lg (√9x 2+1−3x)+sin x +1 ，设 f(x)在 [−12,12] 上的最大、最小值分别为M 、N ，则M +N 的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.−111. 已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，满足f(x)=f(2−x).若f(1)=1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯…+f(2019)=( ) A.−2019 B.1 C.0 D.201912. 已知函数f(x)={−|x|+2,x <1x 2,x ≥1，若函数g(x)=f(x)−mx −m 的图像与x 轴的交点个数恰有 3 个，则实数m 的取值范围为（ ） A.(0,+∞) B. (12,1)C.(1,2)D.(1,+∞)二、填空题13. 曲线y =x 2+1x 在点(1，2)处的切线方程为________.14. 已知tan α=−2，tan (α+β)=17，则tan β的值为________.15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点P 的坐标为(7,5)，QP 绕点O 逆时针方向旋转π3到OQ ，则点Q 的坐标为_________.16. 给出以下结论：①命题“若x 2−3x −4=0，则x =4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2−3x −4≠0”； ②“x =4”是“x 2−3x −4=0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆命题为真命题； ④命题“若m 2+n 2=0，则m =0且n =0”的否命题是真命题. 则其中错误的是________（填序号）. 三、解答题17. 已知函数f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x . (1)求f(x)最小正周期；(2)求f(x)在闭区间[−π6,π3] 上的最大值和最小值.18. 已知函数f(x)=ax+b x 2+1 是定义在 (−1,1) 上的奇函数，且 f(12)=25.(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在 (−1,1) 上的单调性，并用定义证明：(3)解关于t 的不等式：f(t +12)+f(t −12)<0.19. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，f(x)=ax 2+bx ，a ≠0，f(2)=0． (1)若方程f(x)−x =0有唯一实数根，求函数f(x)的解析式；(2)当a =1时，求函数f(x)在区间[−1, 2]上的最大值与最小值；(3)当x ≥2时，不等式f(x)≥2−a 恒成立，求实数a 的取值范围．20. 设函数 f(x)=x 2+mx+ax(m,a ∈R ).(1)当a =2 时，函数 f(x) 的图像经过点 (1,a +1)，试求m 的值，并写出(不必证明)f(x)的单调递减区间；)，若对于任意的s∈[1,2]总存(2)设a=−1, ℎ(x)+x⋅f(x)=0, g(x)=2cos(x−π3在t∈[0,π]，使得ℎ(s)=g(t)，求实数m的取值范围.+2ax，(a∈R).21. 已知函数f(x)=(2−a)ln x+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．22.mx2+x，m∈R，令F(x)=f(x)+g(x)．已知函数f(x)=ln x−mx2，g(x)=12(1)当m=1时，求函数f(x)的单调递增区间；2(2)若关于x的不等式F(x)≤mx−1恒成立，求整数m的最小值．参考答案与试题解析2019-2020学年湖南邵阳高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】A2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B二、填空题13.【答案】 y =x +1 14. 【答案】 3 15. 【答案】(7−5√32, 5+7√32) 16. 【答案】 ③三、解答题 17.【答案】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x =√3sin 2x +cos 2x +1 =2sin (2x +π6)+1. 所以 f(x) 的最小正周期 T =2π2=π.(2)因为 f(x)=2sin (2x +π6)+1在区间[−π6,π6]上是增函数， 在区间[π6,π3]上是减函数， 又f(π6)=3, f(π3)=2,f(−π6)=0故函数 f(x) 在区间[−π6,π3]上的最大值为3，最小值为0.18.【答案】解：(1)f(0)=0⇒b =0， f(12)=25⇒a =1⇒f(x)=x1+x 2； (2)任取−1<x 1<x 2<1， f(x 1)−f(x 2)=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)<0⇒f(x 1)<f(x 2)，所以函数 f(x)在 (−1,1) 上是增函数；(3)f(t +12)<−f(t −12)⇒f(t +12)<f(12−t)， {t +12<12−t−1<t +12<1−1<t −12<1⇒{t <0−32<t <12⇒−12<t <0−12<t <32.19.【答案】解：(1)∵f(2)=0，∴2a+b=0，即b=−2a，∴f(x)=a(x2−2x)，方程f(x)−x=0有唯一实数根，即方程ax2−(2a+1)x=0有唯一解，∴Δ=(2a+1)2=0，解得a=−12，∴f(x)=−12x2+x；(2)∵a=1，∴f(x)=x2−2x，开口向上且对称轴为x=1，∴ f(x)max=f(−1)=3，f(x)min=f(1)=−1.(3)当x≥2时，不等式f(x)≥2−a恒成立，即：a≥2(x−1)2在区间[2, +∞)上恒成立，设g(x)=2(x−1)2，显然函数g(x)在区间[2, +∞)上是减函数，g(x)max=g(2)=2，当且仅当a≥g(x)max时，不等式f(x)≥2−a在区间[2, +∞)上恒成立，因此a≥2.20.【答案】解：(1)因为函数f(x)的图像经过点(1,a+1)，且a=2，所以f(1)=1+m+2=3，解得m=0.∴ f(x)=x+2x，x≠0.∴令f′(x)=x2−2x2<0，解得−√2≤x<0或0<x≤√2.∴f(x)的单调递减区间为[−√2,0)和(0,√2].(2)当a=−1时，f(x)=x−1x+m，∴ ℎ(x)=−x2−mx+1g(x)=2cos(x−π3 )∴t∈[0,π]时，g(t)∈[−1,2].由对于任意的s∈[1,2]，总存在t∈[0,π]，使得ℎ(s)=g(t)知：ℎ(s)的值域是g(t)值域的子集.因为ℎ(x)=−x2−mx+1的对称轴为x=−m2,①当−m2≤1时，即m≥−2时，只需满足{ℎ(1)=−m ≤2ℎ(2)=−3−2m ≥−1，解得 −2≤m ≤−1. ②当 1<−m 2<2 ，即 −4<m <−2时，因为 ℎ(1)=−m >2 ，与 ℎ(s)⊆[−1,2] 矛盾，故舍去. ③当 −m2≥2 时，即 m ≤−4 时，ℎ(1)=−m ≥4与ℎ(s)⊆[−1,2] 矛盾，故舍去. 综上， m ∈[−2,−1]. 21. 【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=2ln x +1x, f′(x)=2x−1x 2=2x−1x 2 (x >0)，∴ 当x =12时，f(x)极小值=f(12)=2−2ln 2，无极大值. (2)f′(x)=2−a x −1x 2+2a =2ax 2+(2−a)x−1x 2=2a(x−12)(x+1a)x 2 (x >0)，①当12=−1a ，即a =−2时，f ′(x)≤0恒成立，∴ f(x)的单调递减区间为(0, +∞)； ②当{a <012<−1a ，即−2<a <0时，f(x)的单调递减区间为(0,12)，(−1a,+∞)，f(x)的单调递增区间为(12，−1a)；③当{a <012>−1a，即a <−2时，f(x)的单调递减区间为(0,−1a )，(12,+∞)，f(x)的单调递增区间为(−1a，12)；综上所述：当a <−2时，f(x)的单调递减区间为(0,−1a )，(12,+∞)，f(x)的单调递增区间为(−1a ，12)；当a =−2时，f(x)的单调递减区间为(0, +∞)；当−2<a <0时，f(x)的单调递减区间为(0,12)，(−1a ,+∞)，f(x)的单调递增区间为(12，−1a ). 22. 【答案】解：(1)因为当m=12时，f(x)=ln x−12x2(x>0)，所以f′(x)=1x −x=1−x2x(x>0)．令f′(x)=0得x=1；由f′(x)>0得0<x<1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)．(2)令G(x)=F(x)−(mx−1)=ln x−12mx2+(1−m)x+1．所以G′(x)=1x −mx+(1−m)=−mx2+(1−m)x+1x．当m≤0时，因为x>0，所以G′(x)>0，所以G(x)在(0,+∞)上是增函数，又因为G(1)=−32m+2>0．所以关于x的不等式G(x)≤mx−1不能恒成立．当m>0时，G′(x)=−mx2+(1−m)x+1x =−m(x−1m)(x+1)x．令G′(x)=0，得x=1m，所以当x∈(0,1m)时，G′(x)>0；当x∈(1m,+∞)时，G′(x)<0，因此函数G(x)在(0,1m )上是增函数，在(1m,+∞)是减函数．故函数G(x)的最大值为G(1m )=12m−ln m．令ℎ(m)=12m −ln m，因为ℎ(1)=12>0，ℎ(2)=14−ln2<0，又因为ℎ(m)在m∈(0,+∞)上是减函数，所以当m≥2时，ℎ(m)<0．所以整数m的最小值为2．。