《复变函数与积分变换第三版答案

第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3iz e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

第一章习题解答〔一〕1．设z =z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。

解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。

2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3．解二项方程440,(0)z a a +=>。

解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。

证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。