第2课时 直角三角形的两个锐角互余当堂训练题

人教版八年级上册第2课时直角三角形的两个锐角互余(159)1.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E．(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．2.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高．若∠A=70∘，∠BCE=30∘，求∠EBF与∠FBC的度数．3.已知∠A=37∘，∠B=53∘，则△ABC为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能4.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A.∠A=90∘B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5C.∠C=∠A+∠BD.∠A+∠B=90∘5.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠1=∠B．试说明：△ABC是直角三角形．6.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20∘，则∠BOC的大小为（）A.140∘B.160∘C.170∘D.150∘7.如图，∠AOB=40∘，OC平分∠AOB，直尺与OC垂直，则∠1等于（）A.60∘B.70∘C.50∘D.40∘8.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40∘，则另一个锐角的度数是（）A.40∘B.50∘C.60∘D.70∘9.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=25∘，CD⊥AB于点D，则∠ACD=∘.10.如图，有一个与地面成30∘角的斜坡，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线杆与地面垂直时，它与斜坡所成的角α=．参考答案1(1)【答案】∠1=∠2.理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1+∠B=90∘，∠2+∠B=90∘，∴∠1=∠2(2)【答案】结论仍然成立．理由：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D=∠E=90∘，∴∠1+∠CBE=90∘，∠2+∠DBA=90∘.∵∠DBA=∠CBE，∴∠1=∠22.【答案】:∵CE，BF是两条高，∴∠EBF+∠A=90∘.∵∠A=70∘，∴∠EBF=20∘.同理∠ECA=20∘.又∵∠BCE=30∘，∴∠ACB=∠ECA+∠BCE=20∘+30∘=50∘，∴在Rt△BCF中,∠FBC=40∘【解析】:3.【答案】:C【解析】:∵∠A+∠B=37∘+53∘=90∘，∴△ABC为直角三角形．故选 C4.【答案】:B5.【答案】:∵在Rt△ADC中，∠1+∠C=90∘，∠B=∠1，∴∠B＋∠C=90∘，∴△ABC是直角三角形【解析】:∵在Rt△ADC中，∠1+∠C=90∘，∠B=∠1，∴∠B+∠C=90∘，∴△ABC是直角三角形6.【答案】:B【解析】:∵∠AOD=20∘，∴∠COA=90∘−20∘=70∘，∴∠BOC=90∘+70∘=160∘.故选B．7.【答案】:B【解析】:如图所示：根据题意得∠1=∠2=∠3. ∵OC平分∠AOB，∠AOB=20∘，∴∠AOC=12∴∠3=90∘−20∘=70∘，∴∠1=70∘8.【答案】:B9.【答案】:25【解析】:∵∠ACB=90∘，∠ABC=25∘，CD⊥AB于点D，∴∠ABC+∠A=90∘，∠A+∠ACD=90∘.∴∠ACD=∠ABC=25∘10.【答案】:60∘。

第十一章三角形11.1 与三角形有关的角11.2.1三角形的内角第1课时直角三角形的两个锐角互余一、教学目标1.了解直角三角形两个锐角的关系.2.掌握直角三角形的判定.3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.二、教学重难点重点：掌握直角三角形的性质及判定.难点：利用直角三角形的性质与判定解决有关问题.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.三角形的内角和是多少度?2.按角的大小分类，三角形可以分为哪三类？3.直角三角形中，有一个角一定是°.[学生回答]学生根据老师提出的问题，复习与本节课相关的知识（180°；锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；90）【新知探究】知识点1 直角三角形的性质[课件展示]问题1：如下图所示的是我们常用的一副三角板,你知道它们两锐角的度数之和吗?通过量角器测量一下吧！[动手操作]学生利用量角器测量，教师根据学生量得的数据，总结得到结论30°+60°=90°，45°+45°=90°.[提出问题]对于任意的三角形，这个结论成立吗？[课件展示]如图，在△ABC中，已知∠C=90°，（1）你能求出∠A ，∠B的度数吗？（2）你能求出∠A +∠B的度数吗？你是怎么得到的？学生独立思考，教师点名回答，总结:∠A +∠B=90°.[提出问题]由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？[归纳总结]直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个性质呢？（在△ABC 中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°．）为了书写方便，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．此时，提醒学生注意：Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例1 如图，∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？【变式】如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？[提出问题]与例1有哪些共同点与不同点？让学生对比两题的图形[归纳总结][课件展示]跟踪训练1.（2021苏州模拟）在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　B　）A．40°B．50°C．60°D．70°[课件展示]跟踪训练2.在△ABC中，∠A=90°，∠B=2∠C，则∠C的度数为（　A　）A．30°B．45°C．60°D．30°或60°[课件展示]跟踪训练3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，已知∠1=32°，求∠D的度数．解：∵∠BAC=90°，∠1=32°，∴∠ABC=90°-32°=58°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD= ∠ABC=29°.∵CD∥AB，∴∠D=∠ABD=29°．提醒学生注意：在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.知识点2 直角三角形的判定[提出问题]有两个角互余的三角形是直角三角形吗？如何验证？提示学生运用三角形内角和去验证.(在△ABC中，由三角形内角和可知∠A +∠B +∠C=180°，又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.)[归纳总结]直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.[提出问题]在几何问题中，怎样来书写这个判定方法呢？对比刚才的“直角三角形的性质”写一写吧！（在△ABC 中，∵∠A +∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．）[归纳总结]直角三角形的性质与判定之间的关系：[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：[归纳总结]【课堂小结】【课堂训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，且CD∥AB．∠B=60°，则∠1等于（　A　）A．30°B．40° C．50°D．60°2.如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=40°，则∠D的度数为（　A　）A．40°B．50°C．60°D．70°3.下列说法中错误的是（　D　）A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=2：2：4，则△ABC为直角三角形B．在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC为直角三角形C．在△ABC中，若∠A= ∠B= ∠C，则△ABC为直角三角形D．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则△ABC为直角三角形4.如图，将一张长方形纸片剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2=_____90°___.5.在△ABC中，若∠A=51°，∠B=39°，则这个三角形是____直角________三角形.6.（2020•白银模拟）在直角三角形中，锐角α是另一个内角的一半，则锐角α的度数为45°或30° ．7.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形吗？为什么？8.如图，∠AOB=50°，点P是边OB上一个动点（不与点O重合），当∠A的度数为多少时，△AOP为直角三角形．【教学反思】上课开始，通过复习引入，为本节课做好铺垫.本节课是在学生学习了与三角形内角和基础上，让学生动手操作，量量角器上的两个锐角的度数，初步了解“直角三角形的两锐角之和为90°”，但测量有误差，激发学生探索欲望，学生需要再证明这一结论成立.通过例1与其变式，例2与其变式的学习，归纳出两类基本图形，也为以后的课程（全等三角形，相似三角形）做好了准备.。

《直角三角形的两个锐角互余》同步练习含答案要点感知1直角三角形的两个锐角____.预习练习1-1在△ABC中,∠A=36°,∠C是直角,则∠B=____.要点感知2有两个角互余的三角形是____三角形.预习练习2-1在△ABC中,若∠A+∠B=90°,则△ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形知识点1直角三角形的性质1.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,则图中与∠B互余的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=4∠B,则∠A=____.3.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A等于____.4.如图，AC⊥OB，BD⊥AO，若∠B＝50°，则∠A=____.知识点2直角三角形的判定5.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能6.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗？为什么？7.(遂宁中考)如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上.如果∠1＝18°，那么∠2的度数是____.8.如图所示，在△A BC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数.9.如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，试说明△EPF 为直角三角形.挑战自我10.如图1，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC 是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？参考答案课前预习要点感知1互余预习练习1-154°要点感知2直角预习练习2-1B当堂训练1.B2.72°3.52°4.50°5.C6.△ABC 是直角三角形.理由如下：∵ED ⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE 是直角三角形.∴∠1+∠A=90°.又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC 是直角三角形.课后作业7.12°8.∵BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高，∴∠ADB=∠BEH=90°.∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.∴∠BHE=90°-∠ABD=60°.∴∠BHC=180°-∠BHE=120°.9.∵AB ∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线，∴∠PEF=21∠BEF,∠PFE=21∠DFE.∴∠PFE+∠PEF=21(∠BEF+∠DFE)=21×180°=90°.∴∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=90°.∴△EFP 为直角三角形.10.(1)∠1=∠2.理由如下：∵AD ⊥B C ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°.∴∠1=∠2.(2)结论仍然成立.理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D=∠E=90°.∴∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°.∵∠3=∠4，∴∠1=∠2.。

人教版八年级数学上册11.2.1.2直角三角形两锐角互余同步训练卷一、选择题（共10小题，3*10=30）1．直角三角形的一个锐角是65°，则另外一个锐角是()A．25°B．35°C．45°D．115°2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，BC⊥DE，垂足为点C，AC∥BD，∠B＝40°，则∠ACE的度数为()A．40° B．50° C．45° D．60°4．已知，在△ABC中，∠A＝43°，∠B＝47°，则△ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．如图，把一个直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝()A．20° B．30° C．40° D．50°6. 如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB 的度数为()A．65° B．70° C．75° D．85°7．三角形的一个外角与它相邻的内角相等,而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍,则这个三角形各内角的度数是()A.45°,45°,90°B.36°,72°,72°C.25°,21°,134°D.30°,60°,90°8．直角三角形的两锐角平分线相交所成的角的度数是()A.45°B.135°C.45°、135°D.以上答案均不对9．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A．∠A＝90°B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．∠C＝∠A＋∠BD．∠A＋∠C＝90°10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD ＝()A．75°B．80° C．85°D．90°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，则∠B＝_______.12. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A＝_________.13．在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B＝_________.14．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，△ADE是__________三角形.15．如图,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,BE、AD相交于点F,已知∠BAD=40°,则∠BFD=.16．如图,在△ABC中,AD是角平分线,AE是高,已知∠BAC=2∠B,∠B=2∠DAE,那么∠ACB=.17．如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=70°,AD平分∠BAC,交BC于F,DE⊥BC于E,则∠D=.18．在△ABC中,AB=AC=4 cm,BD为AC边上的高,∠ABD=30°,则∠BAC的度数为.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 如图，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°.求∠BAC的度数．20．(6分)如图，点E是△ABC的边AC上的一点，ED⊥AB于点D，∠AED＝∠B，求证：△ACB 是直角三角形．21．(6分) 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，求∠BCD的度数．22．(6分) 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝72°，AD是∠CAB 的平分线，交边BC 于点D，过点C作△ACD中AD 边上的高线CE，求∠ECD的度数。

初中数学试卷桑水出品第2课时直角三角形的两个锐角互余要点感知1 直角三角形的两个锐角____.预习练习1-1 在△ABC中,∠A=36°,∠C是直角,则∠B=____.要点感知2 有两个角互余的三角形是____三角形.预习练习2-1 在△ABC中,若∠A+∠B=90°,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形知识点1 直角三角形的性质1.如图,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,则图中与∠B互余的角有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=4∠B,则∠A=____.____.3.如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A等于知识点2 直角三角形的判定5.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上都有可能6.如图,点E是△ABC中AC边上的一点,过E作ED⊥AB,垂足为D.若∠1=∠2,则△ABC是直角三角形吗？为什么？7.(遂宁中考)如图，有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在长方形的对边上.如果∠1＝18°，那么∠2的度数是____.8.如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD，CE的交点，求∠BHC的度数.9.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形.挑战自我10.如图1，△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E.(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如果∠BAC 是钝角，如图2，(1)中的结论是否还成立？参考答案课前预习要点感知1 互余预习练习1-1 54°要点感知2 直角预习练习2-1 B当堂训练1.B2.72°3.52°4.50°5.C6.△ABC 是直角三角形.理由如下：∵ED ⊥AB,∴∠ADE=90°,△ADE 是直角三角形.∴∠1+∠A=90°.又∵∠1=∠2,∴∠2+∠A=90°.∴△ABC 是直角三角形.课后作业7.12° 8.∵BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高，∴∠ADB=∠BEH=90°.∴∠ABD=90°-∠A=90°-60°=30°.∴∠BHE=90°-∠ABD=60°.∴∠BHC=180°-∠BHE=120°.9.∵AB ∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.∵EP 为∠BEF 的平分线，FP 为∠EFD 的平分线，∴∠PEF=21∠BEF,∠PFE=21∠DFE.∴∠PFE+∠PEF=21(∠BEF+∠DFE)=21×180°=90°.∴∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=90°.∴△EFP 为直角三角形.10.(1)∠1=∠2.理由如下：∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，∴△ABD 和△BCE 都是直角三角形，∴∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°.∴∠1=∠2.(2)结论仍然成立.理由如下：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠D=∠E=90°.∴∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°.∵∠3=∠4，∴∠1=∠2.。