高中数学第三章不等式基本不等式第三课时教案新人教A版必修

第三课 不等式[核心速填]1．比较两实数a ，b 大小的依据a －b >0⇔a >b .a －b ＝0⇔a ＝b .a －b <0⇔a <b .2．不等式的性质3.Ax ＋By ＋C (B >0)⎩⎪⎨⎪⎧>0<0表示对应直线⎩⎪⎨⎪⎧上下方区域．4．二元一次不等式组表示的平面区域每个二元一次不等式所表示的平面区域的公共部分就是不等式组所表示的区域． 5．两个不等式[题型探究]一元二次不等式的解法[探究问题]1．当a >0时，若方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根α，β且α<β，则 不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：借助函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，不等式的解集为{x |x <α或x >β}．2．若[探究1]中的a <0，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？ 提示：解集为{x |α<x <β}．3．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac <0，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是什么？提示：当a >0时，不等式的解集为R ；当a <0时，不等式的解集为∅.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>02x 2＋2k ＋5x ＋5k <0的整数解只有－2，求k 的取值范围.【导学号：91432361】思路探究：不等式组的解集是各个不等式解集的交集，分别求解两个不 等式，取交集判断．[解] 由x 2－x －2>0，得x <－1或x >2.对于方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0有两个实数解x 1＝－52，x 2＝－k .(1)当－52>－k ，即k >52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－k <x <－52，显然－2∉ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ，－52.(2)当－k ＝－52时，不等式2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k <0的解集为∅.(3)当－52<－k ，即k <52时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52<x <－k. ∴不等式组的解集由⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－52<x <－k ，或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，－52<x <－k 确定．∵原不等式组整数解只有－2， ∴－2<－k ≤3，故所求k 的范围是－3≤k <2.母题探究：.(变条件，变结论)若将例题改为“已知a ∈R ，解关于x 的不 等式ax 2－2x ＋a <0”．[解] (1)若a ＝0，则原不等式为－2x <0，故解集为{x |x >0}． (2)若a >0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为x 1＝1－1－a 2a ，x 2＝1＋1－a 2a，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a . ②当Δ＝0，即a ＝1时，原不等式的解集为∅. ③当Δ<0，即a >1时，原不等式的解集为∅. (3)若a <0，Δ＝4－4a 2.①当Δ>0，即－1<a <0时，原不等式的解集为错误!. ②当Δ＝0，即a ＝－1时，原不等式可化为(x ＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ③当Δ<0，即a <－1时，原不等式的解集为R . 综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a ； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >0}；当－1<a <0时，原不等式的解集为错误!；当a ＝－1时，原不等式的解集 为{x |x ∈R 且x ≠－1}；当a <－1时，原不等式的解集为R . [规律方法] 不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法.①将不等式化为ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的形式； ②求出相应的一元二次方程的根或利用二次函数的图象与根的判别式确 定一元二次不等式的解集.,(2)含参数的一元二次不等式.,解题时应先看二次项系数的正负，其次考 虑判别式，最后分析两根的大小，此种情况讨论是必不可少的.不等式恒成立问题已知不等式mx 2－mx －1<0.(1)若x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若满足|m |≤2的一切m 的值能使不等式恒成立，求实数x 的取值范围.【导学号：91432362】思路探究：先讨论二次项系数，再灵活的选择方法解决恒成立问题． [解] (1)①若m ＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；②若m ≠0，则不等式mx 2－mx －1<0 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，解得－4<m <0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]． (2)令f (x )＝mx 2－mx －1，①当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立； ②当m >0时，若对于x ∈[1,3]不等式恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 1<0，f3<0即可，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝－1<0，f3＝9m －3m －1<0，解得m <16，∴0<m <16.③当m <0时，函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝12，若x ∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f (1)<0即可，解得m ∈R ，∴m <0符合题意．综上所述，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16. (3)令g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，若对满足|m |≤2的一切m 的值不等式恒成立，则只需⎩⎪⎨⎪⎧g－2<0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－x －1<0，2x 2－x －1<0，解得1－32<x <1＋32.∴实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.[规律方法] 对于恒成立不等式求参数范围的问题常见的类型及解法有以下几种： 1．变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看做主元． 2．分离参数法若f (a )<g (x )恒成立，则f (a )<g (x )min . 若f (a )>g (x )恒成立，则f (a )>g (x )max . 3．数形结合法利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化． 1．设f (x )＝mx 2－mx －6＋m ，(1)若对于m ∈[－2,2]，f (x )<0恒成立，求实数x 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)依题意，设g (m )＝(x 2－x ＋1)m －6，则g (m )为关于m 的一次函数，且一次项系数x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，所以g (m )在[－2,2]上递增， 所以欲使f (x )<0恒成立，需g (m )max ＝g (2)＝2(x 2－x ＋1)－6<0， 解得－1<x <2.(2)法一：要使f (x )＝m (x 2－x ＋1)－6<0在[1,3]上恒成立， 则有m <6x 2－x ＋1在[1,3]上恒成立，而当x ∈[1,3]时， 6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥69－3＋1＝67， 所以m <⎝⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，因此m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 法二：①当m ＝0时，f (x )＝－6<0对x ∈[1,3]恒成立，所以m ＝0. ②当m ≠0时f (x )的图象的对称轴为x ＝12，若m >0，则f (x )在[1,3]上单调递增， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (3)<0即7m －6<0， 所以0<m <67.若m <0，则f (x )在[1,3]上单调递减， 要使f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立， 只需f (1)<0即m <6， 所以m <0.综上可知m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.线性规划问题已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.【导学号：91432363】思路探究：先画出可行域，再研究目标函数，由于目标函数中含有参数m ，故需讨论m 的值，再结合可行域，数形结合确定满足题意的m 的值.1 [作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，目标函数z ＝x ＋my 可看作动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1.] [规律方法]1．线性规划在实际中的类型主要有：(1)给定一定数量的人力、物力资源，如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；(2)给定一项任务，怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．2．解答线性规划应用题的步骤：(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．(4)求：通过解方程组求出最优解．(5)答：作出答案．[跟踪训练]2．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？[解]设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目．由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤10，0.3x＋0.1y≤1.8，x≥0，y≥0，目标函数z＝x＋0.5y.画出可行域如图中阴影部分．作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M时，z取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝10，0.3x＋0.1y＝1.8，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝4，y＝6，即M(4,6)．此时z＝4＋0.5×6＝7(万元)．∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值，即投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.利用基本不等式求最值设函数f(x)＝x＋ax＋1，x∈[0，＋∞)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值.【导学号：91432364】思路探究：(1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． [解] (1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋ax ＋1，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)＋2x ＋1－1， ∵x ∈[0，＋∞)， ∴x ＋1>0，2x ＋1>0， ∴x ＋1＋2x ＋1≥22，当且仅当x ＋1＝2x ＋1， 即x ＝2－1时，f (x )取等号，此时f (x )min ＝22－1. (2)当0<a <1时，f (x )＝x ＋1＋ax ＋1－1若x ＋1＋ax ＋1≥2a ，则当且仅当x ＋1＝ax ＋1时取等号，此时x ＝a －1<0(不合题意)， 因此，上式等号取不到．f (x )在[0，＋∞)上单调递增．∴f (x )min ＝f (0)＝a .3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元，公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．[解] (1)设每件定价为t 元，依题意，有[8－(t －25)×0.2]t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0， 解得25≤t ≤40.因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x >25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解．∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．。

基本不等式一、对课标要求和教材特点的分析基本不等式又称均值不等式，是人教A版必修5的第三章第四节的内容。

基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的手段，在高中数学有着重要的地位。

1．课标对本节课的要求：①探索并了解基本不等式的证明过程。

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

要求中明确提出了探索过程、应用解决等词汇，体现了数学探索发现、应用实际的学科特点。

2. 对教材中本节课的内容安排特点的理解●课程教材十分注重现实问题、实际例子的转化与解决，突出并强调数学的应用性。

●教科书以问题方式代替例题，强化问题意识，促使学生在具体问题情景中学习如何用不等式研究及表示不等关系。

●课程教材关注学生的发展，使学生在学习过程中感受、体验、认识、理解，培养学生学习数学的兴趣。

●教科书更加注重学生数学思维的培养，十分注重借助几何直观（即用图形）来分析解决问题能力的培养和提高。

3.学情分析：学生在初中学习了完全平方公式、圆，初步认识了不等式。

同时，在本章前三节学习了一元二次不等式、二元一次不等式（组）与线性规划问题，这些都给学习本节课提供了坚实的基础；。

但接触的不等式较为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难，而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌握设置了障碍。

（根据以上情况，我制定了如下几点教学目标）二、教学重点、难点、目标1.重点：●应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

依据：通过对新课程标准的解读，教材内容的解析，我认为结果固然重要，但数学学习过程更重要，它有利于培养学生的数学思维和探究能力。

●均值不等式成立的条件及应用。

依据：均值不等式有比较广的应用，需重点掌握，而掌握均值不等式，关键是对不等式成立条件的准确理解。

突出重点的方法：我将采用分组讨论，多媒体展示、引导启发法来突出基本不等式的推导。

2.难点●基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；●利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。

这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。

由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。

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3。

4 错误!预习课本P97～100，思考并完成以(1)基本不等式的形式是什么?需具备哪些条件？(2）在利用基本不等式求最值时,应注意哪些方面？(3）一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？错误!1．重要不等式当a,b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式(1）有关概念：当a，b均为正数时，把错误!叫做正数a，b的算术平均数，把错误!叫做正数a，b的几何平均数．（2）不等式:当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即错误!≤错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．（3）变形：ab≤错误!2≤错误!，a＋b≥2错误!（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）．[点睛］基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则错误!≠错误!,即只能有错误!＜错误!.错误!1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”,错误的打“×”)（1）对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2错误!均成立( )(2）若a≠0，则a＋错误!≥2错误!＝4（)（3)若a〉0,b>0，则ab≤错误!2( )解析：(1)错误．任意a,b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时,不等式a＋b≥2错误!成立．(2)错误．只有当a>0时,根据基本不等式，才有不等式a＋错误!≥2错误!＝4成立．(3）正确．因为ab≤错误!，所以ab≤错误!2。

基本不等式目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。

重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。

教学设计： 一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。

让学生自己给出证明.探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。

几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。

即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。

三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2， 上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。

其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。

四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ,b ,有a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立． 2．基本不等式：如果a ,b ∈R ＋,那么ab ≤a ＋b 2,当且仅当a ＝b 时,等号成立．其中a ＋b2为a ,b 的算术平均数,ab a ,b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab 对任意实数a ,b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ,b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ,y 都是正数,(1)若x ＋y ＝s (和为定值),则当x ＝y 时,积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值),则当x ＝y 时,和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时,我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时,必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误,应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大,积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时,我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时,我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致,若不能同时取等号,则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ,x ∈(0,π2),两个都是正数,乘积为定值．但是由0<sin x <1,且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数,所以sin x ＋4sin x>1＋41＝5,等号不成立,取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ,b ,c 为不全相等的正实数,求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式,右边是带根号的积式之和,所以用基本不等式,将和变积,并证得不等式．(2)不等式右边数字为8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式,可得三个“2”连乘,又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a,可由此变形入手． [证明] (1)∵a >0,b >0,c >0,∴a ＋b ≥2ab >0,b ＋c ≥2bc >0,c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca ), 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ,b ,c 为不全相等的正实数,故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)∵a ,b ,c 为正实数,且a ＋b ＋c ＝1, ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a , 同理1b －1≥2ac b ,1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,等号成立．1.利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧,当不能直接利用不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0,b >0,c >0,且a ＋b ＋c ＝1, 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9,当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0,求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32,求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2,求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0,y >0,且1x ＋9y＝1,求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0,∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x ≥24x ·9x＝236＝12, 当且仅当4x ＝9x,即x ＝32时,f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32,∴3－2x >0,∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ,即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2,∴x －2>0,∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2,即x ＝4时,x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0,y >0,1x ＋9y＝1,∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4,y ＝12时等号成立． ∴当x ＝4,y ＝12时,x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立,不管题目是否要求写出符号成立的条件,都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2,求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0,y >0,且2x ＋3y ＝6,求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2, 即ab ＝100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20, 当且仅当a ＝b ＝10时,a ＋b 取到最小值20. (2)∵x >0,y >0,2x ＋3y ＝6, ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32, 当且仅当2x ＝3y ,且2x ＋3y ＝6时等号成立, 即x ＝32,y ＝1时,xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米,按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元,而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升,司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时),y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x,x ∈[50,100]．所以,这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6,x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703,当且仅当130×152x ＝13x6,即x ＝4570∈[50,100]时,等号成立．故当x ＝4570千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为525703元．解实际问题时,首先审清题意,然后将实际问题转化为数学问题,再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行：(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m,则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元,则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10,即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”,所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0,b >0；④a <0,b <0,其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ,a b 均为正数时,b a ＋ab≥2,故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋a b≥2解析：∵a ,b ∈R ,且ab >0, ∴b a >0,a b >0, ∴b a ＋a b≥2b a ×ab＝2. 当且仅当b a ＝ab,即a ＝b 时取等号．3．设a ,b 为实数,且a ＋b ＝3,则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1,则当x ＝12时,x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34,当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0,b >0,c >0,求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号,即若a ≠b 时,则ab ≠a ＋b 2,即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即 (1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件,a >0,b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件,即“＝”号成立．以上三点缺一不可．若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式．。

word1 / 1 某某省长乐第一中学高中数学必修五《3.4基本不等式 （三）》教案教学要求：2a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题教学重点2a b +≤的应用教学难点2a b +≤求最大值、最小值。

教学过程：一、复习准备：1. 讨论：重要不等式？基本不等式？2. 提问：ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件？二、讲授新课：1. 教学：最大值、最小值。

① 出示例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。

最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意：→如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样应用？→学生讲述解答过程。

→ 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。

②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是；若要围出一块100米2的场地，则绳子最短为。

③出示例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：→如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？→如何求函数的最值，用到了什么定理？→师生共同解答。

→小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性质的适用条件。

④练习：建造一个容积为18立方米，深为2米的长方体有盖水池。

如果池底和池壁每平方米的造价分别是200元和150元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.三、巩固练习：1. 练习：教材114页练习的第1题.习题[A]组的第2题.2. 已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 3．已知矩形的周长为36，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长.宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3. 作业：教材114页习题[A]组的第4题。

第三讲 不等式一、 核心要点 1、 不等式的性质（1）不等式的基本性质：（同向不等式可加不可减，可乘不可除）（尽量减少加和乘的次数）A 、对称性：a b b a <⇔>；B 、传递性：c a c b b a >⇔>>,；C 、可加性：c b c a b a +>+⇔>；D 、可乘性：bc ac c b a bc ac c b a <⇔<>>⇔>>0,;0,；E 、加法法则：d b c a d c b a +>+⇔>>,;F 、乘法法则：bd ac d c b a >⇔>>>>0,0;G 、乘方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a nn ; H 、开方法则：)2,(0≥∈>⇔>>n N n b a b a n n.（2）比较两数或两式的大小方法：（作差法步骤：作差—变形——定号）A 、作差法：对于任意b a ,，①b a b a >⇔>-0；② b a b a =⇔=-0；③ b a b a <⇔<-0；B 、作商法：设0,0>>b a ，则①b a b a >⇔>1；② b a b a =⇔=1；③ b a ba<⇔<1. 备注1：不等式作差时常用到因式分解、配方法、通分、有理化等变形技巧;备注2：对于比较大小时，要考虑各种可能情况，对不确定的因素进行分类讨论；备注3：平方差公式：))((2233b ab a b a b a ++-=-；平方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+. 2、 不等式的解法；（1）一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 及)0(02><++a c bx ax 的解法：（0<a 转化为0>a ） A 、若方程02=++c bx ax 的0>∆且两实根分别为)(,2121x x x x <，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或，不等式02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x <<；B 、若方程02=++c bx ax 的0=∆且两相等实根分别为21x x =，则不等式02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ；C 、若方程02=++c bx ax 的0<∆，则不等式02>++c bx ax 的解集为R ，不等式02<++c bx ax 的解集为Φ.（2）分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式进行求解（具体见模块）； （3）高次不等式的解法：序轴标根法（过程见模块）；（4）无理不等式的解法：平方法化无理不等式为有理不等式（具体见模块）； （5）绝对值不等式的解法：分类讨论或平方法（具体见模块）. 3、 基本不等式：如果+∈R b a ,，则ab ba ≥+2（当且仅当b a =时取“=”）（一正二定三相等）.（1）特例：0>a ，21≥+a a ；2≥+abb a （b a ,同号）. （2）变形：①2)(222b a b a +≥+；②222b a ab +≤；③2)(2b a ab +≤；（3）扩展：),(2211222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab ba .（备注：调和≤几何≤算术≤平方）. 4、 均值定理：已知+∈R y x ,.（1）如果S y x =+（定值），则4)2(22S y x xy =+≤（当且仅当y x =时取“=”）“和定积最大”. （2）如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”）“积定和最小”. 5、 判断二元一次不等式（组）表示平面区域的方法—“选点法”：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.6、 线性规划中常见代数式的几何意义：（1）22y x +表示点),(y x 与原点)0,0(之间的距离；（2）22)()(b y a x -+-表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（3）x y表示点),(y x 与原点)0,0(连线的斜率； （4）ax b y --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率.二、考点突破考点一：不等式的基本性质： 题型一：不等式的性质：例1、如果c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A 、ac ab > B 、0)(>-a b cC 、22ab cb <D 、0)(<-c a ac练1：设10<<<a b ，则下列不等式成立的是（ ）A 、12<<b abB 、0log log 2121<<a bC 、222<<abD 、12<<ab a练2：已知+∈R m b a ,,，并且b a <，那么一定成立的是（ ） A 、bam b m a <++ba> C 、bam b m a >-- D 、abm b m a >-- 题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式：例2、若0,>b a 且b a ≠，试比较33b a +与22ab b a +的大小.解：由于222222233))(()2)(()())(()()(b a b a b ab a b a b a ab b ab a b a ab b a b a -+=+-+=+-+-+=+-+ 又0,>b a 且b a ≠，所以0))((2>-+b a b a ，所以2233ab b a b a +>+.练3：若0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小.答案：)(2))(())(())(())((2222222y x xy y x y x y x y x y x y x y x y x --=+---+=+---+由于0<<y x ，所以0<-y x 且02<-xy ，故0)(2>--y x xy ，所以))(())((2222y x y x y x y x +->-+.练习4：设0,0>>b a 且b a ≠，试比较b a b a 与a b b a 的大小.综上所述，a b b a b a b a >.题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围：例3、（10辽宁理）已知41<+<-y x 且32<-<y x ，则y x z 32-=的取值范围是 . )8,3(所以8323<-<y x ，故y x z 32-=的取值范围是)8,3(.练习2：设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，求)2(-f 的取值范围.解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则)()(24b a n b a m b a ++-=-，即b n m a n m b a )()(24--+=-，于是得⎩⎨⎧=-=+24n m n m ，得1,3==n m .所以)1()1(3)2(f f f +-=-.因为4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，故10)2(5≤-≤f .练习3：（10江苏）设y x ,为实数，满足94,8322≤≤≤≤y x xy ，则43yx 的最大值是 . 27考点二、一元二次不等式及其解法： 题型一：一元二次不等式的定义：例1、下列不等式中，一元二次不等式的个数为（ ） ①013)1(2<+-+x x m ；② 22>-x x；③0652≥++-x x ；④ 0)1)((<+++a x a x .A 、1B 、2C 、3D 、4题型二：简单一元二次不等式的求解： 例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）652>-x x ；（2）01442≤+-x x ；（3）672>+-x x ；（4）0962>-+-x x .解：（1）由652>-x x ，得0652>--x x . 又方程0652=--x x 的两根是1-=x 或6=x ，所以原不等式的解集为}61|{>-<x x x 或.（3）由672>+-x x ，得0672<+-x x ，而0672=+-x x 的两个根是1=x 或6=x . 所以不等式0672<+-x x 的解集为}61|{<<x x .（4）原不等式可化为0962<+-x x ，即0)3(2<-x ，所以不等式的解集为Φ. [题后感悟] 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． (3)求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根． (4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)根据图象写出不等式的解集. 练1：求下列不等式的解集： （1）02322<++-x x ； （2）0622<-+-x x ； （3）01442>++x x ；（4）x x 10252≤+.练2：设集合}73)1(|{2+<-=x x x A ，则Z A I 中有 个元素. 6 练3：解下列不等式：（1）01522>-+x x ；（2）122->x x ；（3）222-<x x . 答案：（1）}35|{>-<x x x 或；（2）}1,|{≠∈x R x x 且；（3）Φ. 题型三：解含参数的一元二次不等式：例3、解关于x 的不等式0222<-+a ax x .（因式分解—比较两根大小—分类讨论求解）解：原不等式可化为0))(2(<-+a x a x ，对应的一元二次方程的根为a x a x 2,21-==， （1）当0>a 时，21x x >，不等式的解集为}2|{a x a x <<-.（2）当0=a 时，原不等式化为02<x ，无解.（3）当0<a 时，21x x <，不等式的解集为}2|{a x a x -<<.综上所述，原不等式的解集为：0>a 时，}2|{a x a x <<-；0=a 时，Φ；0<a 时，}2|{a x a x -<<. [题后感悟] 含参数的不等式的解题步骤为：(1)将二次项系数转化为正数；(2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式． 练4：解关于的不等式：（1）0)(322>++-a x a a x ； （2）04)1(22>++-x a ax .答案：（1）原不等式0)(322>++-a x a a x 可化为0))((2>--a x a x .①当0<a 时，2a a <，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ②当0=a 时，2a a =，所以原不等式的解集为}0,|{≠∈x R x x 且； ③当10<<a 时，2a a >，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或； ④当1=a 时，12==a a ，所以原不等式的解集为}1,|{≠∈x R x x 且； ⑤当1>a 时，，所以原不等式的解集为}|{2a x a x x ><或.（2） Ⅰ）当0=a 时，原不等式可化为042>+-x ，解得2<x ，所以原不等式的解集为}2|{<x x ；练5：解不等式02)2(2>---x m mx .答案：0)1)(2(02)2(2>-+⇒>---x mx x m mx（1）当0=m 时，原不等式转化为0)1(2>-x ，即01>-x ，得不等式的解集为}1|{>x x .考点三、一元二次不等式的应用：题型一：不等式的恒成立问题：例1、已知不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于所有的实数x 都成立，求实数a 的取值范围. 解：若0=a ，则原不等式可化为01<--x ，即1->x ，不合题意，故0≠a .令1)1()(2-+-+=a x a ax x f ，因为原不等式对任意R x ∈都成立，所以二次函数)(x f 的图像在x 轴的下方.[题后感悟] 不等式恒成立问题方法总结：(1) )0(02≠>++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；(2) )0(02≠<++a c bx ax 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔00a ；练1：若关于x 的不等式0222>++x ax 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：当0=a 时，原不等式可化为022>+x ，其解集不为R ，故0=a 不满足题意，舍去；练2：若关于x 的不等式01)1()1(22<----x a x a 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）当012=-a ，即1±=a 时，（2）当012≠-a ，即1±≠a 时，原不等式的解集为R 的条件是⎩⎨⎧<-+-=∆<-0)1(4)1(01222a a a ，练3：若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：因为2=a 时，原不等式为04<-，所以2=a 时成立.当2≠a 时，由题意得⎩⎨⎧<∆<- 002a ，即⎩⎨⎧<----< 0)4)(2(4)2(4 22a a a a ，解得22<<-a . 综上两种情况可知22≤<-a .题型二：二次方程、二次函数、二次不等式的关系：例2、若不等式02≥++c bx ax 的解集为}21|{≤≤-x x ，求不等式02<++a bx cx 的解集.(1) 给出一元二次不等式的解集，则可知二次项的符号和一元二次方程的根，由根与系数的关系可知c b a ,,之间的关系；练4：已知不等式022>++bx ax 的解集为}11|{<<-x x ，求022<++a bx x 的解集 所以320)2)(3(060122202222<<-⇔<+-⇔<--⇔<--⇔<++x x x x x x x a bx x .则不等式022<++a bx x 的解集为}32|{<<-x x .题型三：一元二次不等式的实际应用：例3、汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速h km /40的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过m 12，乙车的刹车距离略超过m 10，又知甲、乙两种车型的刹车距离)(m s 与车速)/(h km x 之间分别有如下关系：22005.005.001.01.0x x s x x s +=+=乙甲，.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．解：由题意，对于甲车，有1201.01.02>+x x ， 即01200102>-+x x .解得30>x 或40-<x (舍去).这表明甲车的车速超过h km /30，但根据题意刹车距离略超过m 12，由此估计甲车不会超过限速h km /40. 对于乙车，有10005.005.02>+x x ，即02000102>-+x x .解得40>x 或50-<x (舍去).这表明乙车的车速超过h km /40，超过规定限速. [题后感悟] (1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行： ①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系； ②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)； ③解不等式(或求函数最值)； ④回扣实际问题．考点四、分式不等式、高次不等式及无理不等式的解法： 题型一：分式不等式的解法：化分式不等式为整式不等式 （1）0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ； （2）0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ； （3）⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥ 0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ； （4）⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 例1、（12重庆理）不等式0121≤+-x x 的解集为（ ） A 、]1,21(-B 、]1,21[-C 、),1[)21,(+∞--∞YD 、),1[]21,(+∞--∞Y练2：不等式31≤+x x 的解集是 . }210|{≥<x x x 或 解析：21000)12(01202103131≥<⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒≥-⇒≤-⇒≤-+⇒≤+x x x x x x x x x x x x x 或.题型二：高次不等式的解法：（序轴标根法）序轴标根法要点：从右向左，从上到下，奇穿偶不穿（前提：保证因式分解后x 的系数为正）. 例2、解不等式：0)2)(1)(1)(2(≤--++x x x x解：设)2)(1)(1)(2(--++=x x x x y ，则0=y 的根分别是2,1,1,2--，将其分别标在数轴上，并画出如右图所示的示意图：所以原不等式的解集是}21,12|{≤≤-≤≤-x x x 或.练3：（10全国Ⅱ）不等式0162>---x x x 的解集为（ ） A 、}32|{>-<x x x 或B 、}312|{<<-<x x x 或C 、}312|{><<-x x x 或D 、}3112|{<<<<-x x x 或练4：不等式02322>++-x x x 的解集是 . ),2()1,2(+∞--Y 题型三：无理不等式的解法：（化无理不等式为有理不等式）（1）⎩⎨⎧>≥⇔>)()(0)()()(x g x f x g x g x f ；（2）⎩⎨⎧<≥⇔>0)(0)()()(x g x f x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)( 0)(0)(x g x f x g x f . 例3、解不等式125->-x x .解：原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<-≥- 01025x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)1(2501025x x x x ， 解Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧<≤125x x ，解Ⅱ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤22 1 25x x x ，即1<x 或21<≤x ，所以2<x ，则原不等式的解集为}2|{<x x . 练5：解不等式0231≤---x x 的解集.解：移项231-≤-x x ，则⎩⎨⎧-≥-≥-x x x 123 01⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≤4331x x ⇒143≤≤x ，练6：解不等式（1）x x x 211322+>+-；（2）x x x 211322+<+-.解：（1）原不等式等价于Ⅰ：⎩⎨⎧<+≥+- 02101322x x x 或Ⅱ：⎪⎩⎪⎨⎧+>+-≥+≥+-222)21(132 0210132x x x x x x则原不等式的解集为}0|{<x x .考点五：绝对值不等式的解法：（选修4—5） （1）a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||； （2）a x a x a x a a x -<>⇔>⇔>>或22)0(||；（3）a m x a m a m x a a a m x +<<-⇔<-<-⇔><-)0(||；（4）a m x a m x a m x a m x a a m x -<+>⇔-<->-⇔>>-或或)0(||. 例1、（08四川文科）不等式2||2<-x x 的解集为（ ） A 、)2,1(-B 、)1,1(-C 、)1,2(-D 、)2,2(-解析：)2,1(210202222||2222-∈⇔<<-∈⇔<-->+-⇔<-<-⇔<-x x R x x x x x x x x x 且且.练1：（04全国）不等式3|1|1<+<x 的解集为（ ） A 、)2,0(B 、)4,2()0,2(Y -C 、)0,4(-D 、)2,0()2,4(Y --解析： 24201133113|1|1-<<-<<⇔-<+<-<+<⇔<+<x x x x x 或或.练2：（07广东）设函数3|12|)(++-=x x x f ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 . ]1,1[- 解析：21222|12|53|12|5)(+-≤-≤-⇔+-≤-⇔≤++-⇔≤x x x x x x x x f⎩⎨⎧≤≤-⇔≤-≥⇔⎩⎨⎧+-≤--≤-⇔1111212 122x x x x x x x 练3：（09山东）不等式0|2||12|<---x x 的解集为 . )1,1(-解析：0)2()12(|2||12||2||12|0|2||12|2222<---⇔-<-⇔-<-⇔<---x x x x x x x x110)]2()12)][(2()12[(<<-⇔<----+-⇔x x x x x .练4：若不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解：不等式a x x >-+-|3||4|对一切实数x 恒成立，由绝对值的几何意义可知，|3||4|-+-x x 表示数轴上点x 到3和4的距离之和，那么对任意R x ∈恒成立，显然1|)3||4(|min =-+-x x ，又a x x >-+-min |)3||4(|，故1<a ，所以实数a 的取值范围是)1,(-∞.考点六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等） 题型一：通过加减项配凑成基本不等式： 例1、已知1>x ，求11-+x x 的最小值以及取得最小值时x 的值.练1：已知5<x ，求函数124+-=x y 的最大值.得132=+-≤y ，所以函数的最大值为1.练2：求函数)01(112>->+++=a x x x ax y 且的最小值.练3：求41622++=x x y 的最大值.题型二：“1”的变换： 例2、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值.练4：已知2,0,0=+>>b a b a ，则b a y 41+=的最小值是 .题型三：转化与方程消元求二次函数最值：例3、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则：（1）ab 的取值范围是 ；),9[+∞（2）b a +的取值范围是 . ),6[+∞ 0)3(2=+-+t a t a ,04)3(2≥--=∆t t ，得9≥t 或1≤t （舍）.（2）判别式法，令)0(>=+t t b a ，则a t b -=，代入原式得3)(+=-t a t a ，整理得032=++-t at a ，0)3(42≥+-=∆t t ，解得6≥t 或者2-≤t （舍）.备注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其变形解决，或者消元代入求最值解决. 练5：若0,>y x 满足xy y x =++62，则xy 的最小值是 . 18 练6：若0,>y x 满足2=++xy y x ，则y x +的最小值是 .练7：（10重庆）已知0,>y x 满足822=++xy y x ，则y x 2+的最小值是（ ） A 、3B 、4C 、29D 、211 考点七：简单线性规划问题：题型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题：例1、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤- 1122y x y x y x ，求y x z 32+=的最大值.题型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题： 例2、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求112++=y x z 的取值范围.题型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题：例3、设变量y x ,满足例1中的约束条件，求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.题型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题：例4、设变量y x ,满足例1中的约束条件，试求所围区域的面积与周长.题型五：已知最优解，探求目标函数参数问题：例5、设变量y x ,满足例1中的约束条件，且目标函数y ax z +=（其中0<a ）仅在)4,3(处取得最大值，求a 的取值范围.题型六：已知最优解，探求约束条件参数问题：例6、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤- 1 22y x m y x y x ，且目标函数y x z 32+=在)6,4(处取得最大值，求m ，例7、已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<--<-+>--01553 0632 032y x y x y x ，求使y x +取得最大值的整数y x ,.解：不等式组的解集为三直线01553:,0632:,032:321=--=-+=--y x l y x l y x l 所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 的交点分别为C B A ,,， 则的坐标分别为)1912,1975(),3,0(),43,815(--C B A ， 作一组平行线t y x l =+:平行于0:0=+y x l ，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， 所以当l 过C 点时最大为1963，但不是整数解，又由19750<<x 知x 可取3,2,1， 当1=x 时，代入原不等式组得2-=y ，所以1-=+y x ；当2=x 时，得0=y 或1-，所以2=+y x 或1；当3=x 时，1-=y ，所以2=+y x ，故y x +的最大整数解为⎩⎨⎧==02y x 或⎩⎨⎧-==13y x .ABCxyO1l 3l2l练习：线性规划问题综合练习练1：若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤2 2 2y x y x ，则y x z 2+=的取值范围是（ ）A 、]6,2[B 、]5,2[C 、]6,3[D 、]5,3(练2：满足2||||≤+y x 的点),(y x 中整数（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个练3：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+033042022y x y x y x ，则22y x z +=的最大值和最小值分别是（ ）A 、1 , 13B 、2 , 13C 、54, 13D 、552, 13 练4：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥-+ 2 03062y y x y x 表示的平面区域的面积为（ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大练5：已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≥+ 3055x y x y x ，使)0(>+=a ay x z 取得最小值的最优解有无数个，则的值为（ ）A 、3-B 、3C 、1-D 、1练6：已知3|2|<+-m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和)1,1(-，则m 的取值范围是（ ） A 、)6,3(-B 、)6,0(C 、)3,0(D 、)3,3(-练7：满足线性约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0 03232y x y x y x 的目标函数y x z +=的最大值是（ ）A 、1B 、23 C 、2D 、3练8：若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值为9，则实数=m （ ）A 、2-B 、1-C 、1D 、2练9：已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥+-≥-+013042022y x y x y x ，试求11++=x y z 的最大值和最小值.结合图像可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即3max ==MB k z ，此时2,0==y x ；练10：设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥ 222 x y x x y ，则y x z 3-=的最小值为 . 8-练11：若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥- 022 0a y x y y x y x 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是 .练12：已知平面区域D 由以)1,3()2,5()3,1(C B A 、、，为顶点的三角形内部和边界组成，若在区域D 上有无穷多个点),(y x 可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m . 1。

3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．重要不等式如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．思考：如果a >0，b >0，用a ，b 分别代替不等式a 2＋b 2≥2ab 中的a ，b ，可得到怎样的不等式？[提示] a ＋b ≥2ab . 2．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ，b 均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 思考：不等式a 2＋b 2≥2ab 与ab ≤a ＋b2成立的条件相同吗？如果不同各是什么？[提示] 不同，a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ；ab ≤a ＋b2成立的条件是a ，b 均为正实数．3．算术平均数与几何平均数(1)设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为(2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．思考：a ＋b2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？[提示] 不等价，前者条件是a >0，b >0，后者是a ，b ∈R . 4．用基本不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y ＝s2时，积xy 有最小值为2xy .(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为x ＋y24.5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数．(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？[提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值．[基础自测]1．思考辨析(1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2＋2x 2＋1的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________.【导学号：91432346】400 [因为x ，y 都是正数，且x ＋y ＝40，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．]3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.]4．给出下列说法： ①若x ∈(0，π)，则sin x ＋1sin x≥2； ②若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R 且x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确说法的序号是________.【导学号：91432347】①③ [①因为x ∈(0，π)，所以sin x ∈(0,1]， 所以①成立；②只有在lg a >0，lg b >0， 即a >1，b >1时才成立；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x＝4成立．][合 作 探 究·攻 重 难]利用基本不等式比较大小已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中哪一个最大？ [解] 法一：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， 所以四个数中最大的数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又因为0<a <1,0<b <1，所以a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， 所以a 2＋b 2<a ＋b ， 所以a ＋b 最大． 法二：令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1,2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212×18＝12， 所以a ＋b 最大．a ≥0，时，要注意不等式的双向性≤⎝ ⎛a ＋2；1．(1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________. 【导学号：91432348】(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．(1)m >n (2)P <Q <R [(1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2a －1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0， 所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n . (2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R . 所以P <Q <R .]利用基本不等式证明不等式已知a ，b ，c 为不全相等的正实数． 求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .[解] ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0， c ＋a ≥2ca >0，∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )， 即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.【导学号：91432349】[证明] 因为a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bca.同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．基本不等式的实际应用如图3­4­1，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．图3­4­1(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)要使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？思路探究：①已知a ＋b 为定值，如何求ab 的最大值？②已知ab 为定值，如何求a ＋b 的最小值？[解] 设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18. 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ， ∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴9－32y >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y .∵0<y <6， ∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－y ＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .法一：∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48. 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3yxy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 法二：由xy ＝24，得x ＝24y.∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y ＋y ≥6×216y·y ＝48.当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．母题探究：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理池，平面图如图3­4­2所示．池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙建造单价为每米250元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．[解] 设污水池的长为x 米，则宽为400x米，总造价y ＝(2x ＋2·400x)·200＋2×250·400x ＋80×400＝400⎝⎛⎭⎪⎫x ＋900x ＋32 000≥400×2x ·900x＋32 000＝56 000(元)，当且仅当x ＝900x，即x ＝30时取等号． 故污水池的长为30米、宽为403米时，最低造价为56 000元.利用基本不等式求最值[探究问题]1．由x 2＋y 2≥2xy 知xy ≤x 2＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立，能说xy 的最大值是x 2＋y 22吗？能说x 2＋y 2的最小值为2xy 吗？提示：最值是一个定值(常数)，而x 2＋y 2或2xy 都随x ，y 的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误．要利用基本不等式a ＋b2≥ab (a ，b ∈R ＋)求最值，必须保证一端是定值，方可使用．2．小明同学初学利用基本不等式求最值时，是这样进行的： “因为y ＝x ＋1x≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x 2＝1时“＝”号成立，所以y ＝x ＋1x的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示：不正确．因为利用基本不等式求最值，必须满足x 与1x都是正数，而本题x 可能为正，也可能为负．所以不能盲目“套用”基本不等式求解．正确解法应为：当x >0时，y ＝x ＋1x≥2x ×1x ＝2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取“＝”，y ＝x ＋1x的最小值是2；当x <0时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2－x⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝－2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝－1时，取“＝”，y ＝x ＋1x 的最大值是－2.3．已知x ≥3，求y ＝x 2＋4x 的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：∵y ＝x 2＋4x ＝x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴当x ≥3时，y ＝x 2＋4x的最小值为4.”提示：不可以，因为在利用基本不等求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合基本不等式的结构特征，但是必须符合“正”、“定”、“等”的条件，缺一不可．本解法忽略了等号成立的条件，即“＝”号不成立．本问题可采用y ＝x ＋4x的单调性求解．(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值；(3)已知x >0，求f (x )＝2xx 2＋1的最大值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值.【导学号：91432350】思路探究：变形所求代数式的结构形式，使用符合基本不等式的结构特征． (1)4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3. (2)12x (1－2x )＝14·2x ·(1－2x )． (3)2x x 2＋1＝2x ＋1x. (4)x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y .[解] (1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116， ∴当且仅当2x ＝1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，即x ＝14时，y max ＝116.(3)f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x.∵x >0，∴x ＋1x≥2x ·1x＝2， ∴f (x )≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立．(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y(x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16，当且仅当y x＝9x y，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.母题探究：1.(变条件)在例题(1)中条件改为x >54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的值域．[解] ∵x >54，∴4x －5>0，∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x －5＝14x －5.即x ＝32时，等号成立．f (x )的值域为[5，＋∞)．2．(变条件)在例题(1)中去掉条件x <54，求f (x )＝4x －2＋14x －5的最值如何求解？[解] 由f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3 ①当x >54时，4x －5>0∴f (x )＝4x －5＋14x －5＋3≥2＋3＝5当且仅当4x －5＝14x －5时等号成立即x ＝32时f (x )min ＝5.②当x <54时，4x －5<0.f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立．故当x ＝1时，f (x )max ＝1.1．若0<a <1,0<b <1，则log a b ＋log b a ≥________. 2 [因为0<a <1,0<b <1，所以log a b >0，log b a >0， 所以log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2log a b ·1log a b＝2. 当且仅当log a b ＝log b a 即a ＝b 时取“＝”．]2．已知a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝1，则ab 有最________值为________；若ab ＝1，则a 2＋b 2有最________值为________.【导学号：91432351】大 12 小 2 [由a 2＋b 2≥2ab 可知，当a 2＋b 2＝1时，ab ≤12，故ab 有最大值为12；当ab＝1时，a 2＋b 2≥2，a 2＋b 2有最小值 2.]3．若0<x <1，则x－2x的取值范围是________．⎝⎛⎦⎥⎤0，324 [由0<x <1知3－2x >0，故x－2x ＝12·2x－2x ≤12·2x ＋－2x2＝324，当且仅当x ＝34时，上式等号成立．所以0<x－2x≤324.] 4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m 2,80元/m 2，那么水池的最低总造价为________元.【导学号：91432352】1 760 [设池底一边长为x m ，总造价为y 元．- 11 - 则y ＝4×120＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ×80＝320⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋480(x >0)． 因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4， 当且仅当x ＝4x即x ＝2时取等号， 所以y min ＝480＋320×4＝1 760(元)．]5．已知函数f (x )＝x ＋1x. (1)已知x >0，求函数f (x )的最小值．(2)已知x <0，求函数f (x )的最大值．(3)已知x ∈[2,4]，求f (x )的最值．[解] (1)∵x >0，∴f (x )＝x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时等号成立． ∴f (x )的最小值为2.(2)∵x <0，∴f (x )＝x ＋1x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x ≤－2.当且仅当x ＝－1时等号成立．∴f (x )的最大值为－2.(3)设2≤x 1<x 2≤4，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2. 因为2≤x 1<x 2≤4，所以x 1－x 2<0，x 1x 2－1>0，x 1x 2>0.所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[2,4]上是单调增函数．在x ＝2时，f (x )有最小值52；当x ＝4时，f (x )有最大值174.。