苏教版九年级上册数学[圆的有关概念及圆的确定—知识点整理及重点题型梳理]

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《圆》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；2．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；3．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；4．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；5．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. (3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有 点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为.(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.(3)直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交.4．切线的判定、性质(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB、OC 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识【362179 课程名称：《圆》单元复习：经典例题3】1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】B；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果为-2≤OP≤0．故答案为：-2≤OP≤2．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC ，∵ AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB ，∴ CB GB =．∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ． ∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ， ∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ． ∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ． ∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ， ∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【点评】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【362179 课程名称：《圆》单元复习 ：经典例题1-2】【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、与圆有关的位置关系3．一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟.打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示.经测量，一支香烟的直径约为0.75cm，长约为8.4cm.（1）试计算烟盒顶盖ABCD的面积（本小题计算结果不取近似值）；（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果精确到，取）0.1cm3173..【答案与解析】（1）如图（2），作O1E⊥O2O3()3333332844AB cm +∴=⨯+=∴四边形ABCD 的面积是：（2）制作一个烟盒至少需要纸张：.【点评】四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E长即可.类型四、圆中有关的计算4．（2015•丹东）如图，AB 是⊙O 的直径，=，连接ED 、BD ，延长AE 交BD 的延长线于点M ，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C ． （1）若OA=CD=2，求阴影部分的面积； （2）求证：DE=DM ．【答案与解析】解：如图，连接OD ， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OD ⊥CD ，∵OA=CD=2，OA=OD ， ∴OD=CD=2，∴△OCD 为等腰直角三角形， ∴∠DOC=∠C=45°， ∴S 阴影=S △OCD ﹣S 扇OBD=﹣=4﹣π；（2）证明：如图，连接AD ， ∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=∠ADM=90°，又∵=，∴ED=BD，∠MAD=∠BAD，在△AMD和△ABD中，，∴△AMD≌△ABD，∴DM=BD，∴DE=DM．【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．举一反三：【变式】（2015•贵阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【点评】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【点评】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为. 故选C.。

苏科版九年级上册圆知识点精讲圆是几何学中最基础的概念之一，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在生活中也随处可见。

今天我们就来精讲苏科版九年级上册关于圆的知识点，深入了解圆的性质和相关定理。

1. 圆的定义圆是由在同一平面内离该平面一定距离的所有点组成的集合。

其中，距离被定义为圆心到圆上任意点的距离，称为半径。

2. 圆的性质(1) 圆心：圆心是圆上任意两点间的线段的中点，用字母O表示。

(2) 半径：半径是从圆心到圆上任意一点的线段，用字母r表示。

(3) 直径：直径是通过圆心且在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍，用字母d表示。

(4) 弦：弦是圆上两点之间的线段。

(5) 弧：弧是圆上的一段弯曲部分。

(6) 弧长：弧长是弧的长度，在计算时用字母L表示。

(7) 圆周：围绕圆形的线段，它的长度用字母C表示。

3. 圆的相关定理(1) 圆的半径相等性质：在同一圆中，任意两条半径相等。

(2) 弧对应角相等定理：在同一圆中，对应于同一弧的两个交角相等。

(3) 弧的度数：一个弧所对应的圆心角的度数等于这个扇形所占的整个圆所对应的度数。

(4) 弧长公式：弧长L等于弧所对应的圆心角的度数除以360度再乘以圆的周长C。

(5) 弦切定理：如果一条切线与一条弦相交，那么它的切点到圆心的线段是弦的中垂线。

(6) 切线与半径的垂直性：当半径和切线相交时，相交点处的半径垂直于切线。

通过对这些圆的性质和相关定理的理解，我们可以在解决几何问题时灵活运用，进一步推导和分析。

同时，这也为我们理解更高级的几何知识打下了基础。

4. 应用示例(1) 例题一：已知圆的半径是3cm，求圆的面积。

解答：圆的面积公式为A = πr²，其中r是半径。

代入已知条件，即可求得圆的面积为A = 3.14×(3)² = 28.26cm²。

(2) 例题二：已知圆的周长是10π，求圆的半径。

解答：圆的周长公式为C = 2πr，其中r是半径。

【导语】学习中的困难莫过于⼀节⼀节的台阶，虽然台阶很陡，但只要⼀步⼀个脚印的踏，攀登⼀层⼀层的台阶，才能实现学习的理想。

祝你学习进步！下⾯是⽆忧考为您整理的《苏教版九年级上册数学知识点归纳》，仅供⼤家参考。

【篇⼀】 ⼀、圆的定义 1、以定点为圆⼼，定长为半径的点组成的图形。

2、在同⼀平⾯内，到⼀个定点的距离都相等的点组成的图形。

⼆、圆的各元素 1、半径：圆上⼀点与圆⼼的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆⼼的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：⼩于半圆周的弧。

(2)优弧：⼤于半圆周的弧。

5、圆⼼⾓：以圆⼼为顶点，半径为⾓的边。

6、圆周⾓：顶点在圆周上，圆周⾓的两边是弦。

7、弦⼼距：圆⼼到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性 (1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中⼼对称图形，它的对称中⼼是圆⼼。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论： 平分弦(⾮直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆⼼⾓的度数等于它所对弧的度数。

圆周⾓的度数等于它所对弧度数的⼀半。

(1)同弧所对的圆周⾓相等。

(2)直径所对的圆周⾓是直⾓;圆周⾓为直⾓，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弦⼼距五对量中只要有⼀对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平⾏线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆⼼⼀定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同⼀直线上的三点确定⼀个圆，圆⼼是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直⾓的外⼼就是斜边的中点。

) 8、直线与圆的位置关系。

d表⽰圆⼼到直线的距离，r表⽰圆的半径。

九年级上册数学圆知识点苏科版九年级上册数学圆知识点数学中的圆是一个经典的几何形状，它在生活和科学中有着广泛的应用。

在九年级上册数学课程中，我们将学习有关圆的一系列知识点，包括圆的定义、圆心角、弧长和扇形面积的计算等内容。

下面将逐一介绍这些知识点。

一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的图形。

这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的点称为圆上的点，这个相等的距离称为半径。

圆通常用大写字母O来表示圆心，用小写字母r来表示半径。

圆可以通过圆心和半径来描述，也可以通过圆心和圆上的两点来描述。

二、圆心角和弧度制圆心角是以圆心为顶点的角，它所对的弧称为圆心角所对的弧。

当圆心角的两边的长度相等时，我们称之为等弧。

圆心角的大小可以用度数来表示，也可以用弧度制来表示。

我们知道，在一个完整的圆内，一个圆心角的度数是360°。

而弧度制中，一个完整的圆对应的弧度数是2π。

三、弧长的计算弧是圆上的一段曲线，弧长是弧曲线的长度。

圆的弧长公式是L = 2πr，其中L表示弧长，r表示半径。

这个公式的推导可以通过圆周长公式C = 2πr来得到。

如果我们知道圆心角所对的弧的度数，也可以利用角度和圆的周长比例关系来计算弧长。

四、扇形的面积计算扇形是以圆心角为顶角的三角形，它的底边是圆上的一段弧。

扇形的面积可以通过圆心角的度数与圆面积的比例来计算。

设圆的半径为r，圆心角的度数为α，圆的面积为S。

那么扇形的面积可以用公式A = (α/360°) * πr²来表示。

我们可以看出，扇形的面积与圆的面积成正比。

五、切线和切点切线是与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

切点是切线与圆相交的点，它在这个交点处垂直于切线。

圆有无数个切线，每个切点所对的切线都垂直于半径，垂直于半径的直线被称为半径的垂线。

六、相交弧和相交角当两个圆相交时，它们会形成两个相交的弧，这两个弧的长度加起来等于圆周上的一段弧。

相交弧所对的相交角是两个圆心角的度数之和。

A 图2 圆 知识要点解析知识点1 圆的有关概念（1） 圆心和半径：圆心确定位置，半径确定大小。

等圆或同圆的半径都相等。

（2） 弦：圆上任意两点之间的线段。

直径是圆中最长的弦。

（3） 弧：圆上任意两点之间的部分。

完全重合的弧叫做等弧（强调度数相等且长度相等） （4） 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

（5） 经过不在同一条直线上的三个点唯一确定一个圆。

【常作辅助线1】连接圆心和圆上的点，形成半径。

1．如图1，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在 MN ⌒上，且不与M N ，重合，当P点在MN ⌒上移动时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度（ ）Ａ．变大Ｂ．变小Ｃ．不变 Ｄ．不能确定2．如图2，AB 为⊙O 直径，点C 、D 在⊙O 上，已知∠BOC ＝70°，AD ∥OC ，则∠AOD ＝__________．3．如图AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 的延长线交于点E ，且AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求 ∠AOC 的度数。

知识点2 圆的有关性质（1）圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

(2) 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，也平分弦所对的优弧和劣弧。

(4) 圆周角的性质：① 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半②直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【解题方法1】半径、弦长、弓高、圆心到弦的距离这四个量的关系是只要知道其中的两个就能求出另两个。

【解题方法2】当弦长=R 时，弦所对的圆心角=60°, 当弦长=R 2时，弦所对的圆心角=90° 当弦长=R 3时，弦所对的圆心角=120°，一条弦所对的圆周角中，同侧相等，异侧互补。

九年级上册数学《圆》复习资料苏教版一、圆的定义、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

劣弧：小于半圆周的弧。

优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质、圆的对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

推论：平分弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。

圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

同弧所对的圆周角相等。

直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙o的半径为r，oP=d。

7、过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。

不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

8、直线与圆的位置关系。

d表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。

9、平面直角坐标系中，A、B。

0、圆的切线判定。

d=r时，直线是圆的切线。

切点不明确：画垂直，证半径。

经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确：连半径，证垂直。

1、圆的切线的性质。

经过切点的直径一定垂直于切线。

经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

苏教版九年级数学圆知识点在九年级数学教材中，学生将学习关于圆的知识和技能。

本文将介绍苏教版九年级数学中与圆相关的知识点。

1. 圆的定义和性质圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点构成的集合。

其中，到圆心的距离称为半径，半径相等的两个点构成的线段称为直径，直径的一半称为半径。

圆的性质包括：- 圆的半径相等- 圆的直径是圆上最长的一条线段- 圆的周长是圆上所有弧的长度之和，记为C=2πr，其中r为半径，π约等于3.14- 圆的面积是圆内部所有点到圆心的距离之和，记为A=πr²2. 弧长和扇形面积在圆上，如果选定两个点，从这两个点沿着圆弧所得的线段称为弧。

弧的长度称为弧长。

扇形是由圆心和圆上的两个弧构成的区域。

扇形的面积可以通过计算扇形所对的圆心角度数和圆的面积来求得。

设扇形的圆心角为α（以弧度为单位），圆的半径为r，则扇形的面积为A=(α/360)πr²。

3. 正多边形和圆的关系正多边形是指所有边和角都相等的多边形。

假设正多边形的边数为n，边长为a，则正多边形内切于圆，即所有顶点都在圆上，并且每条边都是圆的弧。

正多边形的面积可以通过圆的半径和边长来计算。

设正多边形的面积为A，圆的半径为r，则有A=na²⋅tan(π/n)。

4. 弦和切线圆上的两点确定一条弦，弦的长度可以通过两点之间的距离来计算。

切线是与圆相切的直线，切线与半径的夹角为直角。

假设切点与圆心所连的线段为斜边，切点在圆上的弧长为直角边，则可以利用勾股定理来求切线与半径之间的关系。

5. 弧度制和角度制在计算圆的相关问题时，弧度制和角度制是常用的两种单位制度。

弧度制是指以圆心为顶点，弧所对圆心角的弧长所占圆周长的比值。

弧度制中，一个圆的弧度为2π。

角度制采用的单位是度，一个圆的度数为360°。

6. 圆的应用圆的应用广泛，常见的应用包括：- 圆形运动：描述物体在圆周上做匀速运动的特点，如地球公转、钟摆运动等。

九年级上册数学圆章节知识点总结What is a classic? It takes about 100 years to become a classic.与圆相关的基本知识和计算一、知识梳理：一：圆及圆的有关概念1.圆：到顶点的距离等于定长的点的集合叫做圆；2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的叫做劣弧；3.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径,它是圆的最长的弦；4.等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆；等弧：在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧；5.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；圆周角：顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角；二圆的有关性质：1.对称性：圆是中心对称图形,其对称中心是圆心；圆是轴对称图形,其对称轴是直径所在的直线；2.垂径定理及其推论：1、垂径定理：垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧；2、推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧；3.圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等；2推论：在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等、所对的弦相等.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等、所对的弧相等.4.圆周角与圆心角的关系1在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；2推论：半圆或直径所对的圆周角是直角,090的圆周角所对的弦是直径；5.圆内接四边形对角互补.（三）点与圆的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系．1d＞r点在圆外；2d=r点在圆上；3d＜r点在圆内．2、确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．（四）直线与圆的位置关系1、1直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点．③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离．2用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么：1直线l和⊙O相交d＜r如图1所示；2直线l和⊙O相切d=r如图2所示；3直线l和⊙O相离d＞r如图3所示．2、切线1切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．2切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．3切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．4切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．五三角形的外接圆和内切圆1、三角形的外接圆1定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形．2三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合．2、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等．六：圆的有关计算一正多边形与圆1、正多边形的定义：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.2、任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,这两个圆是同心圆,正多边形都是轴对称图形,一个正n 边形共有n 条对称轴,每条对称轴都通过正n 边形的中心；如果一个正n 边形有偶数条边,那么它又是中心对称图形,其中心就是对称中心；3、边数相同的正多边形相似,它们的周长的比等于它们的相似比,面积的比等于它们相似比的平方；4、正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形；正n 边形的中心角等于外角等于n3600； 二 弧长与扇形面积1、在半径为R 的圆中,0n 圆心角所对的弧长l=180n ℜπ;2、在半径为R 的圆中,圆心角为0n 的扇形面积扇形S =360n 2R π；半径为R,弧长为l 的扇形面积为扇形S =R l 21;3、侧面积：设圆锥的母线长为l,底面积的半径为r,那么圆的侧面积展开得到的扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为πrl,圆锥的全面积为πrl+πr 2.。

九上第5章圆的知识集锦一、 名词解释：1. 弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2. 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3. 半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4. 等圆——能够完全重合的两个圆叫做等圆。

5. 等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6. 圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7. 圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.外心——三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

8. 内心——三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

9. 内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

10. 切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

11. 切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

12. 圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。

13. 中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

14. 扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

15. 母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

二、 定理1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2. 圆心角、弦、弧定理：（三者是一组等量关系）① 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

3. 圆周角定理：● 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

● 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

4. 切线定理：● 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

苏教版九年级上册数学[圆的有关概念及圆的确定—知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.理解圆的描述概念和圆的集合概念；2.理解半径、直径、弧、弦、弦心距、圆心角、同心圆、等圆、等弧的概念；3.探索点与圆的位置关系，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；4.了解不在同一直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的外接三角形的概念。

要点梳理】要点一、圆的定义1.圆的描述概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。

2.圆的集合概念：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合。

圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合。

要点二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外。

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内⇔ d。

r。

要点三、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。

2.半径：以圆心为端点的线段叫做半径，记作r。

3.直径：穿过圆心的弦叫做直径，记作d=2r。

4.弧：圆上两点间的部分叫做弧，记作AB。

5.弦心距：弦两端点到圆心的距离之差叫做弦心距，记作h。

6.圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角，记作∠AOB。

7.同心圆：圆心相同，但半径不同的圆叫做同心圆。

8.等圆：半径相等的圆叫做等圆。

9.等弧：弧长相等的弧叫做等弧。

本文介绍了圆的基本概念和相关定理。

首先讲解了直径和弦心距的定义，证明了直径是圆中最长的弦。

接着介绍了弧的概念，包括半圆、优弧和劣弧，以及等弧的定义和性质。

然后讲解了同心圆和等圆的概念，以及圆心角的定义和相关定理。

最后介绍了确定圆的条件，包括经过一个已知点、经过两个已知点、不在同一直线上的三个点和外接圆的性质。