【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.2 排列与组合课件 理 北师大版

11.2排列与组合必备知识预案自诊知识梳理1.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列组合合成一组2.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的个数组合数的个数3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n m=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)=n!(n-m)!(2)A n m=A n mA m m=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)m!=n!m!(n-m)!性质(1)0!= ;A n n=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1=n!(2)A n m=A n n-m;An+1m=A n m +A n m-11.A n m=(n-m+1)A n m-1.2.A n m=n A n-1m-1.3.(n+1)!-n!=n·n!.4.k A n k=n A n-1k-1.5.A n m=nmAn-1m-1=nn-mAn-1m=n-m+1mA n m-1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(4)若组合式C A A=C A A,则x=m成立.()(5)排列中,给出的n个元素各不相同,被取出的元素也各不相同的情况.即如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.()2.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行,长三角城市群包括:上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.7163.将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有一名同学的排法种数为()A.18B.20C.21D.224.2020年7月1日迎来了我国建党99周年,6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班,他们站成一排拍照留念时,要求同班的3名党员站在一起,且满足条件的每种排法都要拍一张照片,若将照片洗出来,每张照片0.5元(不含过塑费),且有一半的照片需要过塑,每张过塑费为0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员(过塑的照片也要平均分),则每名老党员需要支付的照片费为()A.20.5元B.21元C.21.5元D.22元5.(2020广西柳州抽测)将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排方案共有种.关键能力学案突破考点简单的排列应用题(多考向探究)考向1在与不在问题——特殊元素(或位置)优先法〖例1〗6人站成一排,其中甲不能站在排头,乙不能站在排尾的不同排法共有种.解题心得解此类问题常用“元素分析法”“位置分析法”.元素分析法——即以元素为主,优先考虑特殊元素的要求,再考虑其他元素;位置分析法——即以位置为主,优先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置.变式发散6人站成一排,则甲既不站排头又不站排尾的站法有种.对点训练16个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种考向2相邻问题——捆绑法〖例2〗3名男生、3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为( )A.2B.9C.72D.36解题心得在实际排列问题中,某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看成一个整体,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排序,这种方法称为“捆绑法”.对点训练2某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为( )A.16B.18C.24D.32考向3 不相邻问题——插空法〖例3〗某校高三要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求2个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )A.1 800B.3 600C.4 320D.5 040解题心得某些元素要求不相邻时,可以先安排其他元素,再将这些不相邻元素插入已排好的元素的空隙或两端位置,这种方法称为“插空法”.对点训练3某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168考向4 定序问题——等几率法〖例4〗有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有 种.解题心得若有(m+n )个元素排成一列,其中有m 个元素之间的顺序固定不变,则将这(m+n )个元素排成一列,共有A A +A A +A 种不同的排法,然后固定其他的n 个元素的位置不动,把这m 个元素变换顺序,共有A A A 种排法,其中只有一个排列是我们所需要的排列,因而共有A A +A A +AA A A 种不同的排法.对点训练47个人排成一队参观某项目,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,则不同的列队方式种数为( )A.120B.240C.420D.840考点 组合问题〖例5〗某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种不合格商品.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种不合格商品必须在内,不同的取法有多少种?(2)其中某一种不合格商品不能在内,不同的取法有多少种?(3)恰有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(4)至少有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?(5)至多有2种不合格商品在内,不同的取法有多少种?解题心得组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.对点训练5(1)从4男2女共6名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,不同选法共有()A.156种B.168种C.180种D.240种(2)2020年国庆假期,高三的8名同学准备拼车去旅游,其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名,分乘甲乙两辆汽车,每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置),其中(1)班两位同学是孪生姐妹,需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.48种D.36种考点分组与分配问题〖例6〗按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本.解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“隔板法”;②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;③限制条件的分配问题常采用分类法求解.对点训练6(1)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为()A.280B.455C.355D.350(2)(2020新高考全国1,3)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A.120种B.90种C.60种D.30种(3)在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿,这五个参会国要在a,b,c三家酒店选择一家,且每家酒店至少有一个参会国入住,则这样的安排方法共有()A.96种B.124种C.130种D.150种11.2排列与组合必备知识·预案自诊知识梳理1.一定的顺序2.排列组合3.(1)1考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√2.B4名同学去旅游的所有情况有44=256(种),恰有一个地方未被选中共有C41·C42C21A22·A33=144(种)情况,所以恰有一个地方未被选中的概率为p=144256=916.故选B.3.B当A,C之间为B时,看成一个整体进行排列,共有A22·A33=12(种),当A,C之间不是B时,先在A,C之间插入D,E中的任意一个,然后B在A之前或之后,再将这四个人看成一个整体,与剩余一个进行排列,共有C21·A22·A22=8(种),所以共有20种不同的排法.故选B.4.B利用捆绑法可求得照片的总数为A33A44=144,则每名老党员需要支付的照片费为144×0.5+72×0.756=21(元).故选B.5.36第一步,先从4名学生中任取两人组成一组,与剩下2人组成三组,有C42=6(种)不同的方法;第二步,将分成的三组安排到甲、乙、丙三地,则有A33=6(种)不同的方法.故共有6×6=36(种)不同的安排方案.关键能力·学案突破例1504(方法1特殊元素法)分两类:第1类,甲先从中间四个位置选一个站好,有A41种站法.乙不站排尾,则乙可从除排尾之外的4个位置中选一个站好,共有A41种站法.其余四人任意排,有A44种站法.故共有A41A41A44种站法.第2类,甲站排尾,此时,乙不再特殊,共有A55种站法.根据分类加法计数原理,共有A41A41A44+ A55=504(种)不同的站法.(方法2特殊位置法)排头与排尾特殊,故可以从排头与排尾入手.分三类:第1类,从除甲、乙之外的4人中选2人站排头、排尾,有A42A44种站法.第2类,甲站排尾,有A55种站法.第3类,乙站排头,有A55种站法(其中重合部分:乙站排头,甲站排尾,有A44种站法).根据分类加法计数原理,共有A42A44+A55+A55−A44=504(种)不同的站法.(方法3间接法)6人站成一排有A66种站法,甲站排头或乙站排尾有2A55种站法,甲站排头且乙站排尾有A44种站法,故共有A66-2A55+A44=504(种)不同的站法.变式发散480先安排甲的位置(既不站排头又不站排尾),再安排其他5人的位置,分为两步:第1步,将甲排在除排头、排尾的任意位置上,有A41种站法;第2步,余下5人站在剩下的5个位置上,有A55种站法.由分步乘法计数原理可知,共有A41A55=480(种)不同的站法.对点训练1B 分两类:第1类,甲在最左端,有A 55=5×4×3×2×1=120(种)不同的排法;第2类,乙在最左端,甲不在最右端,有4A 44=4×4×3×2×1=96(种)不同的排法.所以共有120+96=216(种)不同的排法.例2C 可分两步完成:第1步,把3名女生作为一个整体,看成一个元素,3名男生作为一个整体,看成一个元素,两个元素排成一排有A 22种排法;第2步,3名女生排在一起有A 33种排法,3名男生排在一起有A 33种排法,故排法种数为A 22A 33A 33=72.对点训练2C 将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有A 33=6(种)方法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空位中,有4种方法,故共有4×6=24(种)方法.例3B 先排除舞蹈节目以外的5个节目,共A 55种排法,再把2个舞蹈节目插在6个空位中,有A 62种排法,所以共有A 55A 62=3600(种)排法.对点训练3B 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品,小品,相声”“小品,相声,小品”和“相声,小品,小品”.对于第一种情况,形式为“□小品歌舞小品□相声□”,有A 22C 31A 32=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法;对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品□相声□小品□”,有A 22A 43=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法.例4840 7名学生的排列共有A 77种,其中女生的排列共有A 33种,按照从左到右,女生从矮到高的排列只是其中的一种,故有A 77A 33=A 74=840(种)不同的排法. 对点训练4D 根据题意,先将7人排成一列,有A 77种排法,其中A ,B ,C 三人进入展厅的次序必须是先B 再A 后C ,即A ,B ,C 三人顺序一定,则不同的列队方式有A 77A 33=840(种). 例5解(1)从余下的34种商品中,选取2种,有C 342=561(种)取法,故某一种不合格商品必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中,选取3种,有C 343种或者C 353−C 342=C 343=5984(种)取法.故某一种不合格商品不能在内的不同取法有5984种.(3)从20种合格商品中选取1种,从15种不合格商品中选取2种,有C 201C 152=2100(种)取法.故恰有2种不合格商品在内的不同的取法有2100种.(4)选取2种不合格商品有C 201C 152种取法,选取3种不合格商品有C 153种取法,共有C 201C 152+C 153=2100+455=2555(种)取法.故至少有2种不合格商品在内的不同的取法有2555种.(5)任意选取3种的总数为C 353,因此共有C 353−C 153=6545-455=6090(种)取法.故至多有2种不合格商品在内的不同的取法有6090种.对点训练5(1)B (2)B (1)从4男2女共6名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队有C 61·C 51·C 42=6×5×4×32=180(种)选法,服务队中没有女生的选法有C 41·C 31·C 22=4×3×1=12(种),所以要求服务队中至少有1名女生,不同选法共有180-12=168(种)选法.故选B .(2)由题意,第一类,一班的2名同学在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的班级,从三个班级中选两个为C 32=3(种),然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4,故有3×4=12(种);第二类,一班的2名同学不在甲车上,则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上,为C 31=3,然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4,这时共有3×4=12(种),根据分类加法计数原理得,共有12+12=24(种)不同的乘车方式.故选B .例6解(1)先从6本书中选1本,有C 61种分配方法;再从剩余5本书中选择2本,有C 52种分配方法,剩余的就是3本书,有C 33种分配方法,所以总共有C 61C 52C 33=60(种)分配方法.(2)由(1)可知分组后共有60种方法,分别分给甲、乙、丙后的方法有C 61C 52C 33A 33=360(种).(3)从6本书中选择2本书,有C 62种分配方法;再从剩余4本书中选择2本书,有C 42种分配方法;剩余的就是2本书,有C 22种分配方法,所以有C 62C 42C 22=90(种)分配方法.但是,该过程有重复.假如6本书分别为A ,B ,C ,D ,E ,F ,若三个步骤分别选出的是(AB ),(CD ),(EF ).则所有情况为(AB ,CD ,EF ),(AB ,EF ,CD ),(CD ,AB ,EF ),(CD ,EF ,AB ),(EF ,AB ,CD ),(EF ,CD ,AB ).所以分配方法共有C 62C 42C 22A 33=15(种).(4)由(3)可知,将三份分别分给甲、乙、丙三人,则分配方法有C 62C 42C 22A 33×A 33=90(种).(5)从6本书中选4本书的方法有C 64种,从剩余2本书中选1本书有C 21种,因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法总共有C 64C 21A 22=15(种).(6)由(5)可知,将三份分别分给甲、乙、丙三人即可,则分配方法有C 64C 21A 22×A 33=90(种).对点训练6(1)B (2)C (3)D (1)每个实验室人数分配有三种情况,即1,2,4;1,3,3;2,2,3.当实验室的人数为1,2,4时,分配方案有C 71C 62C 44=105(种);当实验室的人数为1,3,3时,分配方案有C 71C 63C 33=140(种);当实验室的人数为2,2,3时,分配方案有C 72C 52C 33=210(种).故不同的分配方案有455种.故选B.(2)甲场馆安排1名有C 61种方法,乙场馆安排2名有C 52种方法,丙场馆安排3名有C 33种方法,所以共有C 61·C 52·C 33=60(种)方法,故选C .(3)根据题意,分2步进行分析:①五个参会国要在a ,b ,c 三家酒店选择一家,且这三家至少有一个参会国入住,所以可以把5个国家人分成三组,一种是1,1,3,另一种是1,2,2.当按照1,1,3来分时共有C 53=10(种)分组方法;当按照1,2,2来分时共有C 52C 32A 22=15(种)分组方法,则一共有10+15=25(种)分组方法;②将分好的三组对应三家酒店,有A 33=6(种)对应方法;则安排方法共有25×6=150(种).故选D .。

②若0不在个位,此时必须在2或4中任取1个,作为个位数字,有2种取法,
0不能作为百位数字,则百位数字有4种取法,十位数字也有4种取法,
此时共有2×4×4=32(个)没有重复数字的三位偶数.
综合可得,共有20+32=52(个)没有重复数字的三位偶数.故选C.
解题策略 解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质,对于每
一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用
分类加法计数原理和分步乘法计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,
每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略.
本 课 结 束
解:先把30 030分解成质因数的乘积形式30 030=2×3×5×7×11×13.
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,
所有的偶因数有C50 + C51 + C52 + C53 + C54 + C55 =25=32(个).
解题策略 分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把
第十一章
指点迷津(十二) 排列、组合问题的解题策略
排列、组合一直是不少学生学习中的难点,通过我们平时做的练习,不难发
现排列、组合问题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字
庞大,难以验证,在高考中极易丢分.本文为学生提供了解决排列、组合问
题的基本策略,遵循这些策略能较大程度地提高解决问题的能力.
第二步,分到三个班的不同分法有A33 =6(种).
故不同的分配方案为 6×6=36(种).故选 D.
解题策略 排列组合的应用问题,一般按先选再排,先分组再分配的处理原
则.对于分配问题,解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均

高考理数
§11.1 排列、组合
知识清单
1.计数原理 (1)分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案,在第一类方案中有m1种不同的方法,在第二类方案中有m2种不同 的方法,……,在第n类方案中有mn种不同的方法,则完成这件事情共有N= m1+m2+…+mn 种不 同的方法. (2)分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤,完成第一步有m1种不同的方法,完成第二步有m2种不同 的方法,……,完成第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事情共有N= m1·m2·…·mn 种不同的 方法. (3)两个原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理都涉及完成一件事情的不同方法的种数.它们的区别在 于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;
2 2
·A
7 7
=10
080种排法.
(3)插空法.先排4名男生有A
4 4
种排法,再将5名女生插空,有A 55
种排法,故共有A 44
A·55
=2 880种排法.
1-1 用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相
邻,这样的六位数的个数是
.(用数字作答)
解法二:“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,可用间接法求解.
从10人中任选5人有 C
5 种选法,其中全是男运动员的选法有
10
C
5种.
6
所以“至少有1名女运动员”的选法为 C
5-
10
C
=5 246(种).
6
(3)解法一:可分类求解:
“只有男队长”的选法有 C
4 种;

A
= (-1)…[-(-1)]= n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
乘积式
排列
个数
!
数公式

A =
阶乘式
(-)!
阶乘
A = n×(n-1)×(n-2)×…×2×1 = n!
规定
0!= 1
,A0 =
1
-1
(1)A
=nA

-1 ;

性质

-1
A
(2)A +mA =
− C98
=161 700-
98×97×96
=9
3!
604.
3
4
5
6
7.(．
人教
B
版选择性必修第二册
3
.
1
.
3
节练习
B
第
1
(
1
)
题
)

+

+

+

7
8
9 +
．．．．．．．．．．．．．
．
．
．
．．．．．．．
．
．
．．．7
7
10
= 330 .
7
解析 根据组合数的性质,得C73 + C74 + C85 + C96 + C10
①不含特殊元素 A
有m 种方法;②含特殊元素
A
m-1
有 种方法.
常用结论
m-1
1.m
=(n-m+1) .
m-1
2.m
=n-1 .
3.(n+1)!-n!=n·n!.