2020届高考数学一轮复习第十一章计数原理11.1排列、组合课件

专题十一 计数原理

【真题典例】

11.1 排列、组合

挖命题

【考情探究】

考点 内容解读 5年考情

预测热度

考题示例 考向 关联考点

排列、组合 1.理解加法原理和乘法原理,会解决简单的计数问题.

2.理解排列、组合的概念,掌握排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题. 2018浙江,16 排列、组合综合应用

★★★ 2017浙江,16 组合

2014浙江,9,14 组合 概率、分配问题

分析解读 1.排列与组合是高考常考内容,常以选择题、填空题的形式出现,有时还与概率相结合进行考查.

2.常结合实际背景,以应用题形式出现,且背景灵活多变,常见的有排队问题,涂色问题等,也有跨章节、跨学科及以生活实际为出发点的问题.

3.考查排列与组合的综合应用能力,涉及分类讨论思想.

4.预计2020年高考试题中,排列、组合与概率一起考查的可能性很大.

破考点

【考点集训】

考点 排列、组合

1.(2018浙江萧山九中12月月考,15)现有6本不同的数学资料书,分给甲、乙、丙三位同学,每人至少要有1本,至多2本,可以剩余,则不同的分法种数为

.(用数字作答)

答案 1 290

2.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,15)某单位安排5个人在六天中值班,每天1人,每人至少值班1天,共有 种不同的值班方案.(用数字作答)

答案 1 800

3.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),16)现将7个不同的小球放入编号分别为1、2、3的三个盒子里,要求每个盒子内的小球数不能小于其编号数,则符合要求的放法有 种.(用数字作答)

答案 455

炼技法

【方法集训】

方法 排列组合综合问题的解题方法

1.(2018浙江浙东北联盟期中,9)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏,现有4个红包,每人最多抢一个,且红包被全部抢完,4个红包中有2个6元的,1个8元的,1个10元的(红包中金额相同视为相同红包),则甲、乙都抢到红包的情况有( )

1 第2课时 排列与组合

1．若A2n3＝10An3，则n＝( )

A．1 B．8

C．9 D．10

答案 B

解析 原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.

2．(2017·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( )

A．10 B．16

C．20 D．24

答案 C

解析 一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A52＝20种坐法．

3．(2017·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )

A．4种 B．10种

C．18种 D．20种

答案 B

解析 分两类：第一类是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C41＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C42＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．

4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )

A．324 B．328

C．360 D．648

答案 B

解析 首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A92＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A41A81A81＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．

5．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )

A．A55·A42种 B．A55·A52种

C．A55·A62种 D．A77－2A66种

答案 A

解析 先排大人，有A55种排法，再排小孩，有A42种排法(插空法)．故有A42·A55种不同的排法． 2 6．(2018·山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )

1

第二节 排列与组合

1.排列、组合的定义

排列的

定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

组合的

定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

2.排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数 组合数

定

义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数

公

式 Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！ Cmn＝AmnAmm

＝nn－1n－2…n－m＋1m！

性

质 Ann＝n！，0！＝1 C0n＝1，Cmn＝Cn－mn，Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1

正确理解组合数的性质

(1)Cmn＝Cn－mn：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.

(2)Cmn＋Cm－1n＝Cmn＋1：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Cmn种方法；②含特殊元素A有Cm－1n种方法.

考点一 排列问题

[典例精析]

有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；

(4)全体排成一排，女生必须站在一起；

(5)全体排成一排，男生互不相邻. 2

[解] (1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).

(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37A44＝5 040(种).

(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).

法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).

1

1．基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种方法，……，在第n类办法中有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmmL种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同方法，……，做第n个步骤有nm种不同的方法．那么完成这件事共有12nNmmmL种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．

2． 排列与组合

⑴排列：一般地，从n个不同的元素中任取()mmn≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）

排列数：从n个不同的元素中取出()mmn≤个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示．

排列数公式：A(1)(2)(1)mnnnnnmL，mnN，，并且mn≤．

全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．

n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示．规定：0!1． 知识内容

排列数组合数的计算与证明 2 ⑵组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．

组合数：从n个不同元素中，任意取出m()mn≤个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．