集合的表示---描述法

集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。

例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。

2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。

设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。

图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。

一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。

3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。

集合的表示方法(描述法)集合呀，就像是一个神秘的小世界，里面住着各种各样的元素小伙伴。

那描述法呢，就像是给这个小世界画一幅特别的画像，让你能清楚地知道这个集合里都有哪些小伙伴。

比如说，有一个集合是所有大于5的整数。

那我们用描述法来表示这个集合的时候呢，就可以写成｛x | x是整数，且x > 5｝。

这个大括号就像是这个小世界的围墙，把属于这个集合的元素都圈在里面。

中间的这条竖线呀，就像是一个分界线。

线左边的x呢，就像是一个代表，代表这个集合里的每一个元素。

线右边的部分呢，就是这个集合元素的特点，就像是这个小世界的规则一样，只有符合这个规则的元素才能进入这个集合。

再想象一下，有个集合是所有名字里带“花”字的女生。

那这个集合用描述法表示就是｛女生| 女生的名字里带“花”字｝。

这就好像是在一个大花园里，我们只挑选那些名字带“花”字的女生，把她们组成了一个特别的小团体。

有时候呢，描述法还能表示一些很复杂的集合。

像有一个集合是平面直角坐标系里所有在直线y = 2x + 1上的点。

那这个集合的描述法表示就是｛(x,y) | y = 2x + 1｝。

这里的(x,y)就是平面直角坐标系里的点的坐标啦，就像是每个点的小标签。

而y = 2x + 1这个式子呢，就是这个小团体的准入门槛，只有坐标满足这个式子的点才能进入这个集合。

我还记得我第一次接触描述法的时候，那感觉就像是进入了一个密码世界。

看着那些弯弯绕绕的符号和式子，有点晕乎乎的。

可是当我开始把这些符号和实际的东西联系起来的时候，就像是解开了密码一样，突然就觉得很有趣。

比如说，学校里要找所有穿红色鞋子的同学，这就可以用集合的描述法来表示呀，｛同学 | 同学穿红色鞋子｝。

其实描述法就是这么一种很奇妙的东西，它可以把生活中、数学里各种各样的东西按照一定的规则分类，然后组成一个集合。

它就像是一个超级收纳盒，这个收纳盒的标签就是线右边的那些规则。

只要东西符合这个标签的描述，就可以放进这个收纳盒里，这个收纳盒就是我们所说的集合啦。

教师活动学生活动设计意图元素的集合集合当然也可以用图示法表示。

例1：用适当的方法表示下列集合⑴由24与30的所有公约数组成的集合答：{1,2,3,4}⑵大于10的所有自然数组成的集合答：{x│x>10,x∈N}⑶所有正偶数组成的集合答：{x│x=2n,n∈N*}直角坐标系中，第二象限内的点构成的集合答：{（x,y）│x<0.y>0}抛物线y=x2上的所有点组成的集合{(x,y)│y=x2}（二）各种表示法的适用范围它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如“小于的自然数组成的集合”就可以表为：①列举法：；②描述法：；③图示法：如图1。

（2）有的集合不宜用列举法表示．例如“由小于的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素—一列举出来，但这个集合可以这样表示：①描述法：；②图示法：如图2．（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：①集合中的元素是，它表示函数中自变量的取值范围，即；②集合中的元素是，它表示函数值。

的取值范围，即；③集合中的元素是点，它表示方程的解组成的集合，或者理解为表示曲线上的点组成的集合；学生回答问题加深对概念的巩固和应用④集合 中的元素只有一个，就是方程 ，它是用列举法表示的单元素集合．实际上，这是四个完全不同的集合．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．例2：把下列集合用另一种方法表示出来 1．{x │x 2-x-6=0}2．{y │y= x 2-x-6,x ∈R} 3．{(x,y)│y= x 2-x-6,x ∈R }4．{(x,y)│x+y=5,x ∈N*，y ∈N* } 分析：（1）－2，3（2）代表元素是y ，这个集合是当x 取任意实数时，二次函数y= x 2-x-6的所有函数值的集合。

1.1.2 集合的表示方法教材知识检索考点知识清单 1．列举法将集合中的元素____，写在____表示集合的方法． 2．描述法描述法的一般形式为 ，其意义是表示由集合I 中具r 有性质____的所有元素构成的集合．要点核心解读1.集合常用的表示方法有列举法、描述法(1)列举法，把集会中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法，叫列举法，例，如，A={指南针：，造纸，火药，印刷｝.列举法适合表示有限集，当集合中元素的个数较少时，用列举法表示这榉的集合较为方便，而且使人一目了然．(2)描述法，把集合中元素的公共 属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法，叫做描述法 ，它的一般形式为)},(|{x P x 竖线前面的x 表示集合中元素的一般形式，而后面的P(x)表示集合元素x 的公共属性，例如,n {z n A ∈=}.8<n 在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时,可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆}．如表示由直线y=x 上所有的点构成的集合，可用下列三种方法： ①文学语言形式：直线y=x 上所有的点构成的集合； ②符号语言形式：};|),{(x y y x =③图形语言形式：在平面直角坐标系内画出直线x y =（图略）．2．对集合表示法的理解(1)列举法可以看清集合的元贰描述法可以看清集合元素的特征．(2)两种表示法里的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因此，{全体整数}中的“全体”二字是多余的，应改为{ 整数}．(3)除了用列举法和描述法来表示集合，还可以利用图形表示集合，也可以通过集合的运算来表示集合，例如 }2,1{=A ⋅}3,2{3．选择适当的方法表示集合的规律集合的常用表示方法：列举法和描述法，在集合的运算中经常用到，在具体解题中：要根据题目的特点，选用适当的方法表示集合．(1)对于有限集或元素间存在明显规律的无限集，可采用列举法．(2 )对于无明显规律的无限集，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素（只有这个集合才有）的共同特征描述出来，即采用描述法．(3)有些集合既可用列举法，又可用描述法．典例分类剖析考点1集合的表示方法[例1]用适当的方法表示下列集合： (1)所有非负偶数组成的集合；(2)所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合；9)3(2-x 的一次因式组成的集合；(4)方程0)5)(2)(1(2=---x x x 的解组成的集合； (5)直角坐标系内第三象限的点组成的集合． [解析] };,8,6,4,2,0{},2|){1( 或N n n x x ∈=};3,3){3(};19,17,13,11,7,5,3){2(+-x x⋅<<-}0,0|),){(5(};5,5,2,1){4(y x y x[点拨]这里(1)中第二种表示法及(2)、(3)、(4)为列举法，而(1)中第一种表示法和(5)为描述法．实数的集合、点的集合是集合的两种重要形式，通过本例，读者要学会熟练地写出一定条件下的这两种形式的集合，为今后的学习奠定基础．母题迁徙1．分别用自然语言、图形语言、集合语言表示“直线y=x 上所有点构成的集合”． 考点2 列举法与描述法的转换[例2] (1)已知集合},16|{z xN x M ∈+∈=求M ； (2)已知集合},|16{N x z xC ∈∈+=求C ． [解析] 集合M 、C 中元素的形式不一致，要正确认识。

集合的概念u
集合是由一些对象组成的整体，其中每个对象都是集合的元素。

集合中的元素是无序的，没有重复的。

集合通常用大写字母表示，例如U表示一个集合。

集合中的元素用小写字母表示，例如a、b、c等。

集合的表示方法有两种：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，用花括号{}括起来，元素之间用逗号分隔。

例如，集合U可以表示为U={a, b, c}。

描述法是根据元素的特定性质或条件来描述集合中的元素。

描述法的一般形式为{元素元素所具有的性质或满足的条件}。

例如，集合U可以描述为U={x x 是正整数且x小于等于10}，表示U是由小于等于10的正整数组成的集合。

集合的运算有并集、交集、补集和差集等。

并集是两个集合中的所有元素的集合。

交集是两个集合中共有的元素的集合。

补集是一个集合中不在另一个集合中的元素的集合。

差集是一个集合中除去另一个集合中的元素后的剩余元素的集合。

集合的元素个数称为集合的基数或元素个数。

一个集合中元素的个数可以是有限的，也可以是无限的。

如果一个集合的元素个数有限，则称为有限集合，否则称
为无限集合。

1.1.2集合的表示方法学习目标：1、掌握集合的表示方法，集合的表示方法（字母表示、列举法、描述法、文氏图共4种）2、用列举法、描述法表示一个集合.知识要点:集合的表示方法1、大写的字母表示集合2、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3， (100)自然数集N ：{1，2，3，4，…,n ,…}（3）区分a 与{a }：{a }表示一个集合，该集合只有一个元素.a 表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.（5）能不能表示无限集？（只能表示存在规律的集合）{0,2,4,6,8,}A n =3、特征性质描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意元素x 都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以表示如下：{x ∈I | p (x ) }例如，不等式232>-x x 的解集可以表示为：}23|{2>-∈x x R x 或}23|{2>-x x x ， 所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）注意区别：实数集，{实数集}.① {(,)x y y =中的元素是点。

满足条件的二元方程的解集，是成对出现的。

② {x y = {y y = {y 表示单元素集合，方程的解。

4、维恩(Venn)图（文氏图）：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.学习中应注意的问题：①注意a 与{}a 的区别，②注意Φ与{0}的区别， {0}是含有0一个元素的集合。

每日微题型集合的表示方法描述法1.描述法表示集合的两个步骤写代表元素明确元素的特征性质2.用描述法表示集合应注意的四点(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1}.(2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x=2k，k∈Z}.(3)不能出现未被说明的字母.(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0}，也可写成{x|x2-2x+1=0}.例题:1.{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．正确吗？如何区分？2.若集合A={x|mx2+2x+m=0，m∈R}中有且只有一个元素，则m的取值集合是________ .1.【解析】当m=0时，方程mx2+2x+m=0为2x=0，解得x=0，A={0}；当m≠0时，若集合A只有一个元素，则一元二次方程mx2+2x+m=0有相等实根，所以判别式Δ=22-4m2=0，解得m=±1；综上，当m=0或m=±1时，集合A只有一个元素.所以m的值组成的集合B={-1，0，1}.答案：{-1，0，1}3.第2题变式:将本例的条件改为“A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}”，若A中元素至多只有一个，求m的取值集合.【解析】①当m=0时，原方程为-2x+3=0，x= 3 2，符合题意.②当m≠0时，方程mx2-2x+3=0为一元二次方程，由Δ=4-12m≤0，得m≥13，即当m≥13时，方程mx2-2x+3=0无实根或有两个相等的实数根，符合题意.由①②知m=0或m≥13 .4.用描述法表示下列集合：(1)正偶数集.(2)被5除余2的正整数集合.(3)坐标平面内坐标轴上的点集.(4)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合.4.【解析】(1){x|x=2n，n∈N+}.(2){x|x=5n+2，n∈N}.(3){(x，y)|xy=0}.(4){(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}.每日微题型集合的表示方法描述法作业1.已知集合M={x|x=7n+2，n∈N}，则2 018_____M，2 019________M.(填“∈”或“∉”) 答案：∈∉2.已知集合A={x|x2+px+q=x}，B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3}，当A={2}时，集合B=( )A.{1}B.{1，2}C.{2，5}D.{1，5}2.【解析】选D.由A={x|x2+px+q=x}={2}知22+2p+q=2，且Δ=(p-1)2-4q=0.计算得出，p=-3，q=4.则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3；即(x-1)2-4(x-1)=0；则x-1=0或x-1=4，计算得出，x=1或x=5.所以集合B={1，5}.3.下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A.{x|x=2 019}B.{y|(y-2 019)2=0}C.{x=2 019}D.{2 019}3.【解析】选C.选项A，B，D中都只有一个元素“2 019”，故它们都是相同的集合；而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式x=2 019，而不是实数2 019，故此集合与其他三个集合不同.4.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是( )A.{x|-3<x<11，x∈Q}B.{x|-3<x<11}C.{x|-3<x<11，x=2k ，k ∈N}D.{x|-3<x<11，x=2k ，k ∈Z}4.【解析】选D.选项A 表示的是所有大于-3且小于11的有理数；选项B 表示的是所有大于-3且小于11的实数；选项C 表示的集合中不含有-2这个偶数.5．设集合A ＝{－1,1,2}，集合B ＝{x |x ∈A 且2－x ∉A }，则B ＝( )A ．{－1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2}6．下列集合的表示方法正确的是( )A ．第二、四象限内的点集可表示为{(x ，y )|xy ≤0，x ∈R ，y ∈R }B ．不等式x －1＜4的解集为{x ＜5}C ．{全体整数}D ．实数集可表示为R7．若集合A ＝{x |ax 2＋ax －1＝0}只有一个元素，则a ＝________.8．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}至多有一个元素，则a 的取值范围是________．5．解析：当x ＝－1时，2－(－1)＝3∉A ；当x ＝1时，2－1＝1∈A ；当x ＝2时，2－2＝0∉A .∴B ＝{－1,2}．答案：C6．解析：选项A 中应是xy ＜0；选项B 的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x ；选项C 的“{ }”与“全体”意思重复．答案：D7．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，Δ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0，a 2＋4a ＝0.解得a ＝－4.答案：－48．解析：当a ＝0时，－3x ＋2＝0，即x ＝23，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意； 当a ≠0时，ax 2－3x ＋2＝0至多有一个解，所以Δ＝9－8a ≤0，解得a ≥98. 综上a 的取值范围为：a ≥98或a ＝0. 答案：a ≥98或a ＝0 9．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．6D ．99.答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1；当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪ 32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510.答案 C解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.。

集合的表示方法集合是数学中的一个重要概念，可以用来表示具有某种特定性质的对象的整体。

在集合论中，集合通常用一对大括号{}来表示，其中包含了集合中的元素，元素之间用逗号隔开。

另外，还可以通过描述性的方法来定义集合的特定性质。

一种常见的集合表示方法是列举法。

列举法是通过一一列举出集合中的全部元素来表示集合。

例如，集合A={1, 2, 3, 4, 5}表示的是一个包含了整数1、2、3、4和5的集合。

列举法直观明了，容易理解，但对于包含无限个元素的集合来说，用列举法表示是不可行的。

另一种常见的集合表示方法是描述性法。

描述性法是通过描述集合中元素的特定性质来表示集合。

例如，集合B={x | x是整数且x>0}表示的是所有大于0的整数组成的集合。

在描述性法中，可以使用变量、运算符和量词等数学符号来描述集合中元素的特性。

描述性法具有灵活性，可以表示各种类型的集合，但需要具备一定的数学基础才能理解和运用。

除了列举法和描述性法，还有一些特殊的集合表示方法。

例如，空集表示一个不包含任何元素的集合，用符号∅或{}表示；全集表示一个包含所有可能元素的集合，通常表示为U；单元素集合表示只包含一个元素的集合，如{1}；子集表示一个集合中的元素都是另一个集合中的元素，用符号⊆表示。

在集合的表示方法中，还有一个重要的概念是集合的运算。

集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。

并集表示两个或多个集合中的所有元素的集合，用符号∪表示。

交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合，用符号∩表示。

差集表示一个集合减去另一个集合中的元素后剩下的元素的集合，用符号-表示。

补集表示在某个全集中除了集合中的元素之外的所有元素的集合，用符号'或C表示。

综上所述，集合的表示方法多种多样，可以用列举法、描述性法、空集、全集、单元素集合、子集以及集合运算等方法来表示。

不同的表示方法适用于不同的情况，灵活运用这些表示方法可以更好地描述和处理数学中的集合问题。