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集合的三种表示法：
1.列举法：列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。
例如，光学中的三原色可以
用集合{红，绿，蓝}表示;由四个字母a, b, c, d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。
列举法还包括尽管集合的元素无法- -一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。
2.描述法：描述法的形式为{代表元素|满足的性质}。
设集合S是由具有某种性质P的元
素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合: S={x|P(x)}。
图像法，图像法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面.上的点集表示集合的方法。
一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法。
3.符号法：有些集合可以用一些特殊符号表示，如: N: :非负整数集合或自然数集合
{0,1,2,3,.、Z:整数集合.-1,01,. Q:有理数集合、Q+: 正有理数集合、Q-: 负有理数集合、R:实数集合(包括有理数和无理数)。
集合描述法注意1. 引言在数学中，集合是由一些元素组成的整体。
描述集合的方法有很多种，其中一种常用的方法是集合描述法。
集合描述法是用一种简洁的方式来描述集合中的元素的方法。
在使用集合描述法时，需要注意一些规则和注意事项，以确保描述的准确性和清晰度。
2. 基本概念在使用集合描述法之前，我们需要了解一些基本概念：•元素：集合中的个体，可以是任何事物。
•集合：由一些元素组成的整体。
•描述：用特定的方式来表达或说明。
3. 集合描述法的格式集合描述法通常使用花括号（{}）来表示集合，元素之间用逗号（,）分隔。
在集合描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•列举法：直接列举出集合中的元素。
•描述法：通过描述元素的特点或属性来表示集合。
3.1 列举法列举法是一种直接列举出集合中的元素的方式。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4, 5}。
这表示集合A中包含了元素1、2、3、4和5。
3.2 描述法描述法是一种通过描述元素的特点或属性来表示集合的方式。
例如，集合B可以表示为：B = {x | x 是偶数，且 0 < x < 10}。
这表示集合B中包含了所有满足条件“x 是偶数，且0 < x < 10”的元素。
在描述法中，可以使用以下几种方式来描述集合：•条件描述：通过条件来描述集合中的元素。
•数学符号描述：使用数学符号来描述集合中的元素。
3.2.1 条件描述条件描述是一种通过条件来描述集合中的元素的方式。
条件描述通常使用竖线（|）来表示。
例如，集合C可以表示为：C = {x | x 是正整数，且 x < 10}。
这表示集合C中包含了所有满足条件“x 是正整数，且x < 10”的元素。
3.2.2 数学符号描述数学符号描述是一种使用数学符号来描述集合中的元素的方式。
例如，集合D可以表示为：D = {x ∈ N | x < 10}。
这表示集合D中包含了所有满足条件“x 是自然数，且x < 10”的元素。
第二课时 集合的表示【学习导航】知识网络学习要求1．集合的表示的常用方法：列举法、描述法； 2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用， 3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力. 【课堂互动】自学评价1. 集合的常用表示方法： （1）列举法将集合的元素一一列举出来，并____________________表示集合的方法叫列举法. 注意：①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合的元素必须是明确的； ③各元素的出现无顺序； ④集合里的元素不能重复；⑤集合里的元素可以表示任何事物. （2）描述法将集合的所有元素都具有性质（ ）表示出来，写成_________的形式, 称之为描述法. 注意：①写清楚该集合中元素满足性质； ②不能出现未被说明的字母；③多层描述时，应当准确使用“或”，“且”； ④所有描述的内容都要写在集合的括号内； ⑤用于描述的语句力求简明，准确. 思考:还有其它表示集合的方法吗？ 【答】文字描述法：是一种特殊的描述法，如：{正整数}，{三角形} 图示法（Venn 图）：用平面上封闭曲线的内部代集合. 2. 集合相等如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，___________________________________ 则称这两个集合相等，记为：_____________ 【精典范例】一、用集合的两种常用方法具体地表示 集合 例1．用列举法表示下列集合： （1）中国国旗的颜色的集合；集合的表示 描述法 列举法（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合；（5）由||||(,)a ba b Ra b+∈所确定的实数集合.（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }分析：先求出集合的元素，再用列举法表示.【解】（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}；（5）{-2，0，2}；（6）{(0，8)，(2，5)，(4，2)}点评:（1）用列举法表示集合的步骤为：①求出集合中的元素②把这些元素写在花括号内（2）用列举法表示集合的优点是元素一目了然；缺点是不易看出元素所具有的属性. 例2．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使2xyx-=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合；-12-11oyx分析：用描述法表示来集合，先要弄清楚元素所具有的形式，从而写出其代表元素再确定元素所具有的属性即可.【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}（2）{x|x≤2且x≠0 }（3）∅（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}（5）{(x,y)| 0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 或0201x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩ 点评: 用描述法表示集合时，注意确定和简化集合的元素所具有的共同特性.追踪训练一1.用列举法表示下列集合： (1) {x|x 2+x+1=0}(2){x|x 为不大于15的正约数} (3) {x|x 为不大于10的正偶数} (4){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z} 2. 用描述法表示下列集合： (1) 奇数的集合； (2)正偶数的集合； (3)不等式2x-3>5的解集；(4)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合； . 3. 下列集合表示法正确的是 (1) {1，2，2}； (2) {Ф}；(3) {全体有理数}；(4) 方程组31420x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}；（5）不等式x 2-5>0的解集为{x 2-5>0}.例3．已知A={a|6,3N a Z a∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 分析：用列举法表示的集合，要认清集合的实质，集合中的元素究竟满足哪些条件． 【解】当a=2时，666332N a ==∈-- 当a=1时，663331N a ==∈-- 当a=0时，662330N a ==∈-- 当a=-1时，66331N a =∉-+ 当a=-2时，6635N a =∉- 当a=-3时，66136N a ==∈- ∴ A={2，1，0，-3}点评:本题实际上是要求满足6被3-a 整除的整数a 的值，若将题目改为63Z a∈-， 则集合A={-3，0，1，2，4，5，6，9}. 二、有关集合相等方面的问题例4．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．分析：含字母的两个集合相等，并不意味着 按序对应相等，要分类讨论，同时也要考虑集合中的元素的互异性和无序性.【解】分两种情况讨论： ① 221001a a a a b b b b ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2 ②220101a ba ab b b a ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2追踪训练1．集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}, C={y|x =234y +}，这三个集合的关系？ 2．已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ． 思维点拔：例5． 已知集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，用列举法表示a 的值构成的集合A . 点拔：本题集合B={x|212x ax +=-}有唯一元素，同学们习惯上将分式方程去分母，转化为一元二次方程的判别式为0，事实上当a=2±时，也能满足唯一元素，但方程已不是一元二次方程，而是一元一次方程，也有唯一解，所以本题要分三种情况讨论 . 【解】当x 2-2≠0时，x+a=x 2+a⊿=0⇒a=-94，此时，x=12，符合题意，当a=2时，x=21+，符合题意， 当a=-2时，x=12-，也符合题意，∴ A={94-，2，-2}第2课集合的表示分层训练1．由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是（）A．{x|-3<x<11,x∈Q}B．{x|-3<x<11 }C．{x|-3<x<11,x=2k,k∈N}D．{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z}2．坐标轴上的点的集合可表示为（）A．{(x,y)|x=0,y=0；或x≠0,y=0}B．{(x,y)|x2+y2=0}C．{(x,y)|xy=0}D．{(x,y)|x2+y2≠0}3．下列四个关系式中，正确的是（）A．a∈{a,b} B．{a}≤{a,b}C．a∉{a} D．a≤{a,b}4．下列表示同一个集合的是（）A．M={(1,2)}，N={(2,1)}B．M={1,2}，N={2,1}C．M={y|y=x-1，x∈R}，N={y|y=x-1，x∈N}D．M={(x,y)|112yx-=-}，N={(x,y)|y-1=x-2}5．集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，R={x|x=4k+1，k∈N}，a∈P，b∈Q，则有（）A．(a+b)∈P B．(a+b)∈QC．(a+b)∈RD．(a+b)不属于P、Q、R中的任意一个6．集合{x|x∈N*,x<5}的另一种表示法是____________________________7．用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．8．已知集合M={a，a+d，a+2d}，N={a，aq，aq2}，其中a≠0，M=N，求q的值．9．设A={2，3，a 2+2a-3}，B={2，|a+3|}，已知5∈A ，且5∉B ，求实数a 的取值．拓展延伸：10．集合A={x|x=a+b 2，a 、b ∈Z}，x 1∈A ，x 2∈A ，求证：x 1x 2∈A11．下面三个集合：①{x|y=x 2+3x-2}，②{y| y=x 2+3x-2}，③{(x,y)| y=x 2+3x-2}． （1）它们是不是相同的集合？ （2）它们的区别在哪里？第2课 集合的表示1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．{1,2,3,4}7．解： ①{x|x=2k+1，k ∈N}②{(x,y)|x<0，y<0} ③{周长为10cm 的三角形}④∅8．解：分两种情况讨论：①22a d aq a d aq +=⎧⎨+=⎩⇒ a+aq 2-2aq=0， ∵ a ≠0， ∴ q 2-2q+1=0，即q=1，但q=1时，N 中的三个元素均相等，此时无解．②2220,2a d aq aq aq a a d aq ⎧+=⇒--=⎨+=⎩ ∵ a ≠0， ∴ 2q 2-q-1=0又q ≠1，∴ 12q =- ，∴当M=N 时，12 q=-9．解：∵5∈A ∴a2+2a-3=5即a=2或a=-4当a=2时，A={2，3，5}，B={2，5}，与题意矛盾；当a=-4时，A={2，3，5}，B={2,1}，满足题意，∴a=-4 10．证明：∵x1∈A，x2∈A∴设x1=a1+b12，x2=a2+b22∴x1x2=( a1+b12)( a2+b22)=(a1a2++2b1b2)+(a1b2+a2b1)2∈A∴x1x2∈A11．答：（1）是互不相同的集合．（2）①{x|y=x2+3x-2}=R，②{y| y=x2+3x-2}={y|y≥1}③{(x,y)| y=x2++3x-2}={点P是抛物线y=x2+3x-2上的点}。
