勾股定理3

• 17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数 组的问题，并且在这个问题的启发下，想到 了一个更一般的问题，1637年，他提出了数 学史上的一个著名猜想——费马大定理，即 当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式 xn＋yn＝zn成立，费马大定理公布以后， 引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着 这个定理顽强地探索着，试图来证明 它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了 费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者 300多年的谜．
• 活动2
• • • • • 问题：[例1]判断由线段a、b、c组成 的三角形是不是直角三角形． (1)a＝15，b＝8，c＝17； (2)a＝13，b＝14，c＝15； (3)求证：m2－n2，m2＋n2，2mn (m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的 三条边长．
• 解：(1)因为152＋82＝225＋64=289， • 172＝289， • 所以152＋82＝172，这个三角形是直 角三角形． • (2)因为132＋142＝169＋196＝365 • 152＝225 • 所以132＋142≠152．这个三角形不是 直角三角形．
问题1：小红和小军周日去郊外放风筝， 风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝 离地面到底有多高，你能帮助他们吗?
问题2：如下图所示是一尊雕 塑的底座的正面，李叔叔想要 检测正面的AD边和BC边是 垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺 (1)你能替他想想办法完成任务吗?
(2)李叔叔量得AD的长是30厘米， AB的长是40厘米，BD的长是50厘 米，AD边垂直于AB边吗? (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻 度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于 AB边吗?BC边与AB边呢?
• (3)证明： m＞n、m、n是正整数 • (m2－n2)＋(m2＋n2)＝2m2＞2mn， • 即(m2－n2)＋(m2＋n2)＞2mn • 又因为(m2－n2)＋2mn＝m2＋n(2m－n)， • 而2m－n＝m＋(m－n)＞0， • 所以(m2－n2)＋2mn＞m2＋n2 • 这三条线段能组成三角形． • 又因为(m2－n2)2＝m4＋n4－2m2n2 • (m2＋n2)2＝m4＋n4＋2m2n2 • (2mn)2＝4m2n2， •

巩固练习
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边
长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10
.
A
解：如图所示.
C
B
探究新知
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，
使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求
AC a2 4a2 17a,ABC
=2a
4a
1 2
a
2a
1 2
2a
2a
1 2
a
4a
3a 2 .
课堂小结
利用勾股 定理作图 或计算
在数轴上表示出 无理数的点
利用勾股定理解决 网格中的问题
通常与网格求线 段长或面积结合 起来
利用勾股定理 解决折叠问题 及其他图形的 计算
小结：勾股定理与网
格的综合求线段长时，
通常是把线段放在与
网格构成的直角三角
形中，利用勾股定理
求其长度.
A
探究新知
考 点 1 利用勾股定理在网格上作线段 如图是由4个边长为1的正方形构成的田字格，只用没有刻度的 直尺在这个田字格中最多可以作出多少条长度为 5 的线段？
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地 找，不要漏解.
探究新知 知识点 1 证明“HL”
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后， 你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′ C′中， ∠C=∠C′=90°，AB=A′B ′，ACA=A′C′A′．
求证：△ABC≌△ A′B′ C′ ．

2.5m长的梯子 斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 ：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 这时AC的距离为 的距离为2.4m．(2)梯子顶端 沿墙下 梯子顶端A沿墙下 上，这时 的距离为 ．(2)梯子顶端 滑多少米梯子底端B也外移相同距离？ 也外移相同距离 滑多少米梯子底端 也外移相同距离？
2 2
B
2
a
2
c
b A
a = c −b
C
b = c −a
2
2
练习1．如图，受台风“麦莎”影响， 练习 ．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 米处，这棵树 米处断裂， 米处， 米处断裂 树的顶部落在离树跟底部3米处 折断前有多高？ 折断前有多高？
A
4米 米
C
2 2
1.7米梯子底端 米梯子底端B 米梯子底端 2 外移距离和下滑距 离相等。 离相等。
2.5m长的梯子 斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子 斜靠在一竖直的墙 ：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 这时AC的距离为 的距离为2.4m (3)梯子顶端 沿墙下滑 梯子顶端A沿墙下滑 上，这时 的距离为 梯子顶端 多少米梯子底端B外移距离是下滑距离的 外移距离是下滑距离的3倍 多少米梯子底端 外移距离是下滑距离的 倍？ ° A 解：在Rt∆ABC中， ∠ACB = 90 Q
xm
5m
C 1mB
B′
练习3．在一棵树的 米高处有两只猴子 米高处有两只猴子， 练习 ．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴 子爬下树走到离树20米处的池塘的 米处的池塘的A处 子爬下树走到离树 米处的池塘的 处。另一只爬 到树顶D后直接跃到 后直接跃到A处 距离以直线计算， 到树顶 后直接跃到 处，距离以直线计算，如果 两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少 多少米 两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？

勾股定理三大公式一、勾股定理的由来勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中三边之间的关系。

它的由来可以追溯到古希腊数学家毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯定理的表述形式为：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。

二、勾股定理的表述方式1. 传统表述方式：a² + b² = c²这种表述方式是最常见的，其中a和b分别代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边。

2. 三角函数表述方式：sin²A + cos²A = 1这种表述方式是利用三角函数的关系来描述勾股定理。

其中，A 为直角三角形的一个角度，sin为正弦函数，cos为余弦函数。

3. 矩阵表述方式：勾股定理还可以通过矩阵的乘法来表示。

设矩阵A为直角三角形的两个直角边的长度，矩阵B为斜边的长度，那么矩阵A的转置乘以矩阵A再加上矩阵B的转置乘以矩阵B等于单位矩阵。

三、勾股定理的应用领域1. 测量和建筑领域勾股定理在测量和建筑领域中有广泛的应用。

例如，在测量一个直角三角形的两个直角边之一时，可以利用勾股定理计算出斜边的长度。

建筑师在设计房屋时，也会用到勾股定理来确保墙角为直角，保证建筑结构的稳定性。

2. 导航和航海领域在导航和航海中，勾股定理被广泛用于计算两个地点之间的距离。

通过已知的两个位置的经纬度，可以利用勾股定理计算出它们之间的直线距离。

3. 无线通信领域勾股定理在无线通信领域中也有重要的应用。

例如，在无线电通信中，利用勾股定理可以计算出信号的传播距离和传播时间，从而帮助工程师优化信号传输的效果。

四、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，其中最著名的是欧几里得的证明和中国的张丘建的证明。

欧几里得的证明是基于几何形状和相似三角形的性质，而张丘建的证明则是基于代数方法和平方数的性质。

五、勾股定理的拓展勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以拓展到其他类型的三角形。

例如，斜边为直角三角形中最长的一条边，而在锐角三角形和钝角三角形中，斜边也是最长的一条边。