函数的连续性PPT课件
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《函数的连续》课件
在闭区间上的连续函数一定取得最大值和最小值。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
高等数学-函数的连续性课件.ppt
(1)在x=1处有定义；
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
(2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1)
导致函数图象断开的原因：
1、函数在 处没有定义
2、函数在 时极限不存在
函数值不等
3、函数在 处的极限值和
o
x
y
1
2
1
2
o
x
y
2.5
y
x
o
1
2
在
在
二、 函数的间断点
但是由于
x
y
O
1
右极限存在，
因为，如果修改定义 f (0) = 1，
在 x = 0 连续.
则函数
x
y
O
1
内容小结
左连续
右连续
第一类间断点
可去间断点:
跳跃间断点: 左右极限不相等
第二类间断点
无穷间断点:
振荡间断点: 函数值在 的去心邻域
(左右极限至少有一个不存在)
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
一、 函数连续性的定义
1.变量的增量
设变量 从它的一个初值 变到终值 终值与初
值的差 就叫做变量u的增量 记作
即
注：
不表示某个变量 与u的乘积，而是一个
整体不可分割的记号.
设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的
当自变量 在这邻域内从 变到 时函数y相应
思考题
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
1. P49 题 5
2. 确定函数
分析 所给函数是极限的形式，首先应求出不同区间的极限，给出函数的分段函数表达式，然后再研究间断点及其类型。
《函数的极限与连续》课件
示例
考虑函数$f(x) = x^2$，在区间 $[0, 1]$上连续且单调增加。如果 $f(0) < c < f(1)$，则可以证明$c < frac{f(0) + f(1)}{2}$。
利用连续性求函数的零点
要点一
总结词
利用函数的连续性可以找到函数的零 点。
要点二
详细描述
如果函数在某区间上连续，且在该区 间上从正变负或从负变正，则可以利 用函数的连续性找到函数的零点。这 是因为函数在这一点上从增加变为减 少或从减少变为增加，的定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间内的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。
复合函数在复合点连续的定义：如果一个复合函数在某点的极限等于该点的函数值，则复合函数在该点 连续。
与其他数学知识的联系
探讨函数极限与连续性与中学数学、微积分等其他 数学知识的联系，理解其在数学体系中的地位。
理论严谨性
深入思考函数极限与连续性理论的严谨性和 完备性，理解数学严密性的重要性。
对后续学习的展望
导数与微分
预告后续将学习函数的导数与微分概念，了解它们与 极限和连续性的关系。
级数与积分
简要介绍级数和积分的基本概念，理解其在数学中的 重要性和应用。
01
和差运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)pm g(x)]=Apm B$。
02
03
乘积运算性质
幂运算性质
若$lim f(x)=A$且$lim g(x)=B$ ，则$lim [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.5 函数的连续性
而2 ∈ [− 5, 5]，所以 5 − 2 = 5 − 22 = 1。
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
→2
(2)因为函数 =
+(4−)
是初等函数，其定义域为[0,9)
−3
而4 ∈ [0,9) ∪ (9, +∞)，所以
+(4−)
−3
→4
=
4 + 0
2−3
∪ (9, +∞)，
(0 , (0 ))处没有断开；在区间(, )内连续的几何意义是：在区间(, )
内曲线 = ()的图像是一条连绵不断的曲线.
3、初等函数的连续性
定理2 如果函数()与()在点0 处连续，那么这两个函数的和
() + ()、差() − ()、积()()、商
=1 − 0 = 1 − 0 = 0 + − 0 .
2、函数连续的定义
定义2
设函数 = ()在点0 的某个邻域内有定义，如果当
自变量 在点0 处的增量 → 0时，函数 = ()相应的增量
= (0 + ) − (0 ) → 0，即
由此可得：初等函数在其定义区间内某点的极限，恰好等于该点处的函
数值. 即如果初等函数()在点0 处连续，那么 = 0 .
→0
例2
计算下列极限。
(1) 5
→2
− 2
(2)
+(4−)
−3
→4
解 (1)因为函数 = 5 − 2 是初等函数，其定义域为[− 5, 5]，
= (0 + ) − (0 ) = 0，
→0
→0
那么称函数 = ()在点0 处连续.
该定义表明，函数 = ()在点0 处连续的直观意义为
《函数连续性说》课件
03
函数连续性的应用
在微积分中的应用
极限理论
函数连续性是微积分中的基本概念，极限理论中的许多概念和定理都与连续性密切相关。 例如，连续函数的极限性质、闭区间上连续函数的性质等。
导数与微分
连续函数在某一点的导数定义为该点附近函数值的增量与自变量增量的比值。如果函数在 某点可导，则该点必连续。同时，连续函数的微分也是其导数的近似值，这在近似计算和 误差估计中具有重要应用。
不定积分与定积分
不定积分是求原函数的过程，而原函数的存在性要求被积函数必须是连续的。定积分则是 求某个区间上函数的面积，而连续函数在该区间上的定积分存在且唯一。
在实数理论中的应用
实数完备性
实数理论中的许多重要定理都与连续性有关。例如，实数完备性定理指出，实 数集具有完备性，即实数集上的任何有界序列都存在极限。这个定理的证明过 程中涉及到了连续函数的性质。
《函数连续性说》ppt课件
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
函数在某点连续的定义
如果函数在某点的极限值等于函数值，则函数在该点连续。
函数在区间上连续的定义
如果函数在区间的每一点都连续，则函数在该区间上连续。
函数连续性的几何意义
01
连续函数的图像是连绵不断的曲 线，没有间断点。
02
在直角坐标系中，连续函数的图 像是一条光滑的曲线。
函数连续性的性质
连续函数的和、差、积、商（分母不 为零）仍然为连续函数。
连续函数在闭区间上具有最大值和最 小值，分别在区间的端点和极值点取 得。
02
函数连续性的判定
《函数连续性》课件
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
总结词
极限存在准则
详细描述
如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函 数在该点连续。
总结词
四则运算连续性
详细描述
函数的四则运算保持连续性，即两个连续函数进行 加、减、乘、除运算后仍为连续函数。
复合函数连续性
总结词
详细描述
复合函数在某点连续，当且仅当内外函数在该点都连续 。
《函数连续性》ppt课 件
contents
目录
• 函数连续性的定义 • 函数连续性的判定 • 函数连续性的应用 • 函数连续性的扩展
01
函数连续性的定义
函数连续性的数学定义
总结词
描述函数在某点或某范围内的极限状 态
详细描述
函数在某一点或某范围内的极限状态 ，如果函数在这一点或这个范围内的 极限值等于该点的函数值，则函数在 该点或该范围内连续。
详细描述
一致连续性是指在函数的整个定义域内，对 于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，使 得当|x'-x''|<δ时，有|f(x')-f(x'')|<ε。也就是 说，无论x'和x''在定义域内取何值，只要它
们足够接近，函数值的变化就会足够小。
紧致性定理
总结词
紧致性定理是函数连续性的一种重要性质，它表明在闭 区间上的连续函数必定可以取到其最大值和最小值。
函数连续性的几何意义
总结词
表示函数图像在某点或某范围的连续变化
详细描述
函数连续性的几何意义可以理解为函数图像在某一点或某范围内没有间断、断裂或跳跃，图像平滑过 渡。
函数连续性的性质
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
函数的连续性(课件
数学上，如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值为$f(x_0)$，即 $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$，则称$f(x)$在点$x_0$处连续。
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
函数在区间上的连续性
函数在区间上的连续性是指，对于该区间内的任意一点，函数在该点都连续。如 果一个函数在某个闭区间$[a, b]$内的每一点都连续，则称该函数在区间$[a, b]$ 上连续。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
闭区间上的连续函数满足中值定理， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值相等，则该函数在这个区间内 至少有一个不动点。
闭区间上的连续函数具有介值性质， 即如果一个闭区间上的连续函数在两 端取值异号，则该函数在这个区间内 至少有一个零点。
连续函数在无穷区间上的性质
连续函数在无穷区间上可以取到无穷大或无穷小 的值。
一致连续性
总结词
如果一个函数在其定义域内的任意两点x1 和x2，当x1趋近于x2时，函数值也趋近于 相同值，则称该函数一致连续。
VS
详细描述
一致连续性是连续函数的一个重要性质， 它表明函数在定义域内的任意两点之间的 变化都是均匀的。一致连续的函数在定义 域内不会出现剧烈的波动或间断，因此其 性质比较稳定。这个性质在解决一些数学 问题时也非常有用，例如求解函数的极限 等。
连续函数与不等式的关系
连续函数在定义域内的单调性可以用来证明不等 式。
3
利用连续函数证明不等式的方法
通过构造函数、利用函数的单调性、求导数等手 段，将不等式问题转化为连续函数的性质问题。
利用连续函数解决实际问题
实际问题的数学模型
实际问题通常需要建立数学模型进行描述和求解。
连续函数与实际问题的关系
微积分学P.P.t标准课件12-第12讲函数的连续性
对于 $lim_{{x to -infty}} x^3$，当 $x$ 趋近于负无穷 时，$x^3$ 会趋近于负无穷，因此极限不存在。
THANKS
感谢观看
复合函数在定义域内连 续，则其复合函数也连 续。
03
连续函数的极限值等于 该函数的极限值。
04
连续函数的定积分存在 。
连续函数的图像特征
01
02
03
04
连续函数的图像是一条连续不 断的曲线。
连续函数在定义域内的任意两 点之间都可以画出一条线段， 该线段位于曲线上或者与曲线
相切。
连续函数的图像在定义域内不 会出现间断点或垂直渐近线。
如果函数在某一点处的极 限值等于该点的函数值， 则函数在该点连续。
函数在区间连续
如果函数在区间内的每一 点都连续，则函数在该区 间连续。
左连续与右连续
如果函数在某一点的左侧 或右侧的极限值等于该点 的函数值，则函数在该点 左连续或右连续。
连续函数的性质
01
连续函数的和、差、积 、商仍为连续函数。
02
x1和x2，只要|x1 - x2| < δ，就有|f(x1) - f(x2)| < ε，则函数在该区间
上一致连续。
常见函数的连续性判定
一次函数的连续性
一次函数在其定义域内是 连续的。
二次函数的连续性
二次函数在其定义域内是 连续的，但在其拐点处可 能不连续。
分段函数的连续性
分段函数在其定义域内是 连续的，但需要注意在分 段点处的连续性。
利用连续性证明不等式
利用连续性证明不等式的性质
通过函数的连续性，可以证明一些不等式。例如，如果函数 在某区间上连续且单调递增，那么在该区间上任意取两个数 x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，从而证明了函数的单调性。
THANKS
感谢观看
复合函数在定义域内连 续，则其复合函数也连 续。
03
连续函数的极限值等于 该函数的极限值。
04
连续函数的定积分存在 。
连续函数的图像特征
01
02
03
04
连续函数的图像是一条连续不 断的曲线。
连续函数在定义域内的任意两 点之间都可以画出一条线段， 该线段位于曲线上或者与曲线
相切。
连续函数的图像在定义域内不 会出现间断点或垂直渐近线。
如果函数在某一点处的极 限值等于该点的函数值， 则函数在该点连续。
函数在区间连续
如果函数在区间内的每一 点都连续，则函数在该区 间连续。
左连续与右连续
如果函数在某一点的左侧 或右侧的极限值等于该点 的函数值，则函数在该点 左连续或右连续。
连续函数的性质
01
连续函数的和、差、积 、商仍为连续函数。
02
x1和x2，只要|x1 - x2| < δ，就有|f(x1) - f(x2)| < ε，则函数在该区间
上一致连续。
常见函数的连续性判定
一次函数的连续性
一次函数在其定义域内是 连续的。
二次函数的连续性
二次函数在其定义域内是 连续的，但在其拐点处可 能不连续。
分段函数的连续性
分段函数在其定义域内是 连续的，但需要注意在分 段点处的连续性。
利用连续性证明不等式
利用连续性证明不等式的性质
通过函数的连续性，可以证明一些不等式。例如，如果函数 在某区间上连续且单调递增，那么在该区间上任意取两个数 x1和x2，都有f(x1)≤f(x2)，从而证明了函数的单调性。
函数的连续性(课件)复习课件.ppt
2)可去间断点
lim
xx0
f
(x)
A
,但(1)A
f
(x0
),
或(2)f (x)在点x0处无定义
则称点x0为函数f (x)的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
.精品课件.
11
例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
y
M
y f (x)
C
a
o
x1 1 2 3 x2 b x
m
几何解释: 连续曲线弧 y f ( x)与水平
直线 y C至少有一个.精交品课点件. .
21
定义: 如果 x0使 f ( x0 ) 0, 则 x0称为函数 f ( x)的零点.
推论(零点存在定理) 设f (x)在[a,b]连续,f (a) f (b) 0,则x0 (a,b),使f (x0 ) 0
即方程 f ( x) 0在(a, b)内至少存在一个实根 .
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x)的两个 ao
端点位于x轴的不同侧, 则曲
线弧与 x轴至少有一个交点.
.精品课件.
y f (x) 1 2 3 b x
22
注意(1) 若f(x)在[a,b]上单调,则只有唯一零点.
(2)若[a,b]改为(a,b)结论未必成立.
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
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例1 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ?
解 y = x 2 在 U(0) 内有定义,Βιβλιοθήκη 又 lim x2 0 x0
且
yx0x2 x00
函数 y = x2 在点 x = 0 处连续.
2.连续性的《 － 语言》形式
定义 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. xxx0
, 若 , 当 | x x0 | < 时, 有
u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零. 有时我们也称 u 为变量 u 在 u1 处的差分.
设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, xU(x0) , 则称 x = x x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量.
此时, x = x0 + x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 y
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点：
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)lim f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 )
x x0
(3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
(2l)im f(x)a不存 . 在 x x0
， (3 x l ix )0m f(x ) a但 af(x 0).
求函数间断点的途径:
(1)
f (x)在 x0 处无定义,
但
f
(x)
在
U
(
x
0
)
内有定义.
(2) lim f(x)与 lim f(x)中至少有一个不存在.
x x0
x x0
(3)
lim f(x)与 lim f(x)存在,
y
P(1,2) 1
而lim x21li(m x1)2 x 1x1 x 1
O 1x
故 x =1 为函数的第一类间断点.
进一步分析该间断点的特点.
分析
由于limx212 x1 x1
补充定义
y|x1lxi m1 xx2112
即定义
f * (x) =
x2 1 x1
2
x 1 x=1
则函数 f *(x) 在 x =1 连续.
例6 讨论函数 f (x)= 在 x = 0 处的连续性.
x +1 x > 0 1 x0 2 sinx x < 0
y
由图可知, 函数在 点 x0 处间断.
y＝x+1
1
1 y f(x)
2
O
x
y = sinx
解
f (0) 1 (f(x)在x0处有定 ) 义
2
l i mf (x)lim(x1)1
x0
x0
limf (x) limsinx0
x0
x0
lim f(x)lim f(x)
x 0
x 0
故 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点.
将左、右极限存在但不相等的间断点, 称为函数的跳跃型间断点.
例7 讨论 f(x)x21在x1处的连. 续 x1
解 函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.
函数间断点的定义
定义 若函数 f (x) 在 U ( x 0 ) 内有定义, 且在点 x0 处 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点： (1) f (x) 在 x0 处无定义.
可去间断点
极限相等、补充定义
(2) 第二类间断点
定义
凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.
即左右极限至少有一个不存在的点.
这算定义吗？
例8
讨论函数 f(x)1在x0处的连.续性 x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又lim f(x)lim 1,
x x0
x x0
但不相等.
(4)
lim f(x)lim f(x)a,但
x x0
x x0
a
f
(x0
).
函数间断点的分类
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断 点
第二类间断点
无穷 振荡 其它
(1) 第一类间断点
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且 x l ix0 m f(x)与 x l ix0 m f(x)存,在 则称 x0 为函数 f (x) 的第一类间断点.
y y = f (x) y x
O x0 x x
y = f (x) f (x0 ) = f (x0 + x) f (x0 )
连续性概念的增量形式
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若 limy0 (xxx0)
x0
则称 f (x) 在点 x0 处连续.
自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.
4.函数的左、右连续性
定义
设函数 f (x) 在 [x0, x0+ ) 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处右连续.
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
这个间断点的特点是该处的左、右极限存 在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点 处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将 这种间断点称为可去间断点.
补
充
f(x), xx0
定 f * (x) =
义
lim f (x) ,
xx0
x = x0
第 一 类 间 断 点
左右极限存在
跳跃型间断点
极限不相等
| f (x) f (x0) | < yf(x)f(x0)
成立, 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以
运用《 》语言描述它.
3.连续性概念的增量形式
定义
在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 u1, 称为变量 u 在 u1处的 增量, 记为 u = u2－u1.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第八讲 函数的连续性
第三章 函数的连续性
一、连续函数的概念 极限形式 增量形式
1.函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
xl ix0m f(x)f(x0)
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.