北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似复习 课件(共81张)

3. 位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之 比都等于相似比．位似多边形对应角相等，对应边成比例， 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
4. 作位似多边形的方法：(1)根据“对应点到位似中心的 距离之比等于相似比”作出各顶点关于位似中心的对应点；(2) 用线段顺次连接各对应点．
第四章 图形的相似
解：如图所示：
【归纳总结】画位似图形的一般步骤为：①确定位似中 心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，顺次连 接上述各点，得到放大或缩小的图形．
知识点 2 位似图形的应用 例2 已知矩形 ABCD 与矩形 AB′C′D′是位似图形，A 为 位似中心．已知矩形 ABCD 的周长为 24，BB′＝4，DD′＝2， 求 AB 与 AD 的长．
例1 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长
为 1 个单位长度的正方形，已知△ AOB 与△ A1OB1 位似，位
似中心为原点 O，且相似比为 3∶2，点 A，B 都在格点上，
则点 B1 的坐标为
－2，－23
．
【思路点拨】把点 B 的横、纵坐标分别乘－23得到点 B1 的坐标．
知识点 2 在直角坐标系中画位似图形 例2 (教材 P117 例 2)在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别是 O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－ 3，3)．以原点 O 为位似中心画一个四边形，使它与四边形 OABC 位似，且相似比是 2∶3.
画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘－23，得 O(0， 0)，A″(－4，0)，B″(－2，－4)，C″(2，－2)；在平面直角坐 标系中描出点 A″，B″，C″，用线段顺次连接点 O，A″，B″， C″，O，则四边形 OA″B″C″也是符合要求的四边形．

AD＝8，∴AE＝6，根据ABDE
＝
5 2
可求得 BD＝
12 5 5
第二十二页，共二十三页。
内容(nèiróng)总结
No 第四章 图形的相似(xiānɡ sì)。C。∠ADE＝∠B(答案不唯一)。(1)求证：△ABD∽△BDC。(2)若
△ABD的面积为40，求四边形ABCD的面积．。A．△ABC∽△A′B′C′。C．AO∶AA′＝1∶2。D．AB∥A′B′
第十一页，共二十三页。
解：(1)∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠BDC.∵AB＝8，
BD＝12，CD＝18，∴ABDB ＝DBDC ＝23 ，∴△ABD ∽△BDC
(2)∵△ABD∽△BDC，ABDB
＝23
，∴S△ABD S△BDC
＝
2 (3
)2＝49
.又∵S△ABD＝40，∴S△BDC＝90，∴S 四边
3．如图，l1∥l2，AF∶FB＝3∶5，BC∶CD＝3∶2， 则 AE∶EC＝_3_∶__2． 第3题图
第四页，共二十三页。
考点二 相似三角形的性质与判定(pàndìng)
4．(2019·赤峰)如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，
AB＝6，AC＝4，则AE的长是( )
第十三页，共二十三页。
证明：(1)∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝∠EAD，∴△BAD∽△DAE，∴AADB ＝
AD AE
，∴AD2＝AE·AB.同理可证：AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.又∵AB
＝AC，∴AE＝AF (2)由(1)得△ BAD∽△DAE，∴∠AED＝∠ADB＝∠DAC
＋∠C.又∵∠DFC＝∠DAC＋∠ADF，∠ADF＝∠C，∴∠AED＝∠DFC.又

6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？

例(1) 下列每组图形形状相同，它们的对应角有怎 样的关系？对应边呢？
（1）正三角形 ABC 与正三角形 DEF
A D
B
C
E
F
归纳总结
❖ 各对应角相等、各对应边成比例的两个 多边形叫做相似多边形.
注意：记两个多边形相似时，要把表示 对应顶点的字母写在对应的位置上.
记作如：六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1
3
3
2
2
4.5 3
6 2.5
（1）
（2）
达标检测
【选自教材P88 习题4.4】
3.如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，它们的相似比
是2:3，已知 AB = 3 cm，BC = 5 cm，求EF，FG的
长.
E
H
A
D
B
C
F
G
达标检测
【选自教材P88 习题4.4】
4.在菱形ABCD与菱形EFGH中，∠A= ∠E，这两
达标检测
【选自教材P88 习题4.4】
6.现有大小相同的正方形纸片30张，小亮用其中3 张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形 状相同但比它大的长方形，则她至少要用几张正方形纸 片(不得把每个正方形纸片剪开) ?你知道她可能拼出什 么样的图形吗?请你试着画一画.
达标检测
解：∵正方形纸片大小相同， ∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少 长和宽各是原来的2倍， ∴需要正方形的纸片是3×2×（1×2）=12张． 拼图如下：
课堂小结
1.各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形 叫做相似多边形
2.相似比与叙述的顺序有关. 3.相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 4.如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能 对应相等，它们的各边可能对应成比例.

北师大版数学九年级上册
第四章图形的相似
1.成比例线段
在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的 图片。
如图，用同一张底片洗出的不同尺寸 的照片中，汽车的形状还相同吗？
如图，几个足球的形状相同吗？ 他们的大小呢？
你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？ 这些形状相同的图形有什么不同？
大小 不同。
（4）使∠ABC=∠
与同伴交流，你 们所画的三角形
相似吗？
AD EF∴
.
EF BC
∴EF2=AD·BC=3×4=12,
A E
D F
2 3 ∴EF= .
∵四边形AEFD∽四边形EBCF, B
C
∴AE:EB=AD:EF=32: 3 = 3 :2.
当堂 练习
1.下列命题中，正确C的是（ ）
A.所有的等腰三角形都相似 B.所有的直角三角形都相似 C.所有的等边三角形都相似
原来矩形的长边与短边的比是多少?
解：根据题意，得AE 1 AB, 2
AD AB . AE AD
将AE 1 AB代入 AD AB ,得
2
AE AD
AB2 AD2
2，
开平方，得 AB （2 AB 2舍去）
AD
AD
原来矩形长边与短边的比为 2∶1.
已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通 常称为比例尺，如1∶10000，意为图上是1cm,实
际距离为10000cm.
一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线
5∶1段的比。
一条线段的长度是另一条线段长度的 3 ，求这
两条线段的比。
5

11.如图， 是 的中线， 是线段 上的一点，且 ，连接 并延长，交 于点 .若 ，
（1） 求 的值；
（2） 求 的长.
（1） 求 的值；
解： , . .
（2） 求 的长.
[答案] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 .
， ， . . 是 的中线，
A
A. B. C. D.
3.如图，点 ， 在 的边 上，点 在边 上，且 ， .
（1） 求证： .
（2） 如果 ，求证： .
（1） 求证： .
证明： ， . , . . .
（2） 如果 ，求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . . ， . . .
6.如图，在 中， ， ，则图中类似三角形有( )
C
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
Ⅳ.“旋转型”
7.如图，在 和 中， ， .
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
（2） 请说明其中一对三角形类似的理由.
（1） 写出图中两对类似三角形（不得添加字母和线）；
Ⅱ.斜“A字形”（不平行）
4.如图， ， 两点分别在 的边 ， 上， 与 不平行.当添加条件_______________（写出一个即可）时， ．
如
5.如图，在 中， ， ， ．某一时刻，动点 从点 出发沿 方向以 的速度向点 匀速运动；同时，动点 从点
Ⅱ.反“8字形”（不平行）
9.如图，在 中， 平分 交 于点 ，点 在 的延长线上，且 .
（1） 求证： .
（2） 求证： .
（1） 求证： .
证明： 平分 ， . , . .
（2） 求证： .
[答案] ， . ， .又 ， . ，即 .

强化训练
1. 观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？为什么？
10 正方形
12
菱形
10 12
图① 答：不相似.虽然它们的对应边是成比例
的，但它们的对应角不相等.
强化训练
图②中的两个图形相似吗？为什么？
10 正方形
8
矩形
10
12
图②
答：不相似.虽然它们的对应角相等，
但它们的对应边不成比例.
强化训练
证 明 ： ∵∠GEA ＝ ∠EAF ＝ ∠GFA ＝ 90° ， ∴ 四 边 形 AFGE 为矩形．
∵四边形 ABCD 为正方形，∴AC 平分∠DAB. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，∴GE＝GF.∴四边形 AFGE 为正方形． ∴四边形 AFGE 与四边形 ABCD 相似．
巩固训练 1. 如图，有三个矩形，其中相似的是( B )
九年级数学北师版·上册
第四章 图形的相似
相似多边形
课件
新课引入
观察与思考： 下面几组图形有什么相同点和不同点?
（1）
（2）
（3）
（4）
知识讲解
1 相似多边形的概念及基本性质
如图，多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的,而多边形
A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.它们的形状相同吗？
A1
B1
A. 甲和乙 C. 乙和丙
B. 甲和丙 D. 没有相似的矩形
2. 两个相似多边形的相似比是 3∶7，其中一个多边形的 最长边是 21，则另一个多边形的最长边是 4499或99 ．
3. 一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩
5－1
形与原矩形相似，则原矩形的宽与长的比是 2 ．
4. 如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，点 E，F 分别在 AD， BC 边上，且 EF⊥BC，若矩形 ABFE∽矩形 DEFC，且相似 比为12，求 AD 的长．

ab cd bd
ab cd bd
ac bd
4.若线段MN=10，点K为MN的黄金分割点，则KM的长
为
.
5.如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，
求S△ADE.
解：∵ DE∥BC,
A
3 D 1 B
∴△ADE∽△ABC.
∴S△ABC : S△ADE =
E
∵AD : BD = 1：3,
解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
因为EF和AB都垂直于地面，所以EF∥AB，
所以∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
所以△BDG∽△FDH．
所以
FH BG
DH DG
.
由题意，知
FH＝EF－EH＝1.7－1.2＝0.5（m）． ∴ 0.5 0.8 , 解得BG＝18.75（m）．
DC = 31.5 千米，公路 AB 与 CD 平行吗？说出你
的理由.
解：公路 AB 与 CD 平行.
∴
AB BD
AD BC
=
BD DC
=
2， 3
A
28
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
14 B
D
31.5 21
42
C
∴AB∥DC.
课后练习
1. 如图，△ABC 的高 AD、BE 交于点 F． 求证：AF EF . BF FD
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
D
∴△ADE ∽△EFC.

第4章 图形的相似
6 利用相似三角形测高
知识点 利用阳光下的影子测物体的高度
古希腊数学家、天文学家泰勒斯用相似三角形 的原理测量出金字塔的高度.
知识点 利用阳光下的影子测物体的高度
1.旗杆高度问题; 2.河宽问题.
知识点 利用标杆测物体的高度
汉代天文学家采用下面的方法来测量太阳的高度: 如图所示,选定夏至这一天,在南北相隔1千里的两个 地方A和B,各立一根8尺长的标杆AM和BN.同时测出 太阳的影子AE和BC的长度的差为1寸,从而应用公式 算出了太阳的高度,这种测量方法称为重(重复)差(日 影的相差)术,最早记载于约公元前一世纪的《周髀算 经》.大数学家刘徽系统地总结了这种方法,流传至今 就是著名的《海岛算经》.
a+c+…+e = m
bd
fn
b+d+…+f n
第4章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
知识点 平行线分线段成比例的基本事实
初学绘画可以借助平行线准确掌握物体之间形的大 小、宽窄、高低的关系.
知识点 平行线分线段成比例基本事实的推论
如图(1)所示的梯子是施工过程中经常使用的工具,因为 它的实用性和稳定性都很好,所以梯子的应用非常广泛,大到 施工工地,小到日常家居,都能看到梯子的身影,如图(2)所示的 梯子由于工作失误导致左右不对称,不过AB=BC,且AD,BE,CF 平行,那么DE=EF.
知识点 利用镜子的反射测物体的高度
如图所示,在没有太阳光的时候,可以用小镜子测 量金字塔的高度.
学科素养课件
新课标北师版·数 九年级上
第四章 图形的相似
1 成比例线段
知识点 形状相同的图形
如图所示,用放大镜将图形放大,图形的形状不变,只 是大小发生了变化,因此两图形是形状相同的图形.

第四章 图形的相似
第1节 成比例线段 第1课时
教学目标
1.结合实例了解线段的比及成比例线段的概念. 2.掌握比例的基本性质及其简单的运用.
教学重难点
重点：成比例线段及比例的基本性质. 难点：比例的基本性质的灵活运用.
情景导入
全等形
回忆
指能够完全重合的两个图形，即中，同学们还见过哪些 形状相同但大小不一定相等的图形？
（请讨论）
情景导入
黄山松
情景导入
情景导入
这几组图片有什么相同的地方？
1.如果选用 同一个 长度单位 量得 两条线段AB、CD
的 长度 分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶
CD=m∶n，或写成
.其中，线段AB、CD分别叫
课堂小结
1.知道了可用相应线段长度的比来描述形状相同的 图形的大小关系. 2.成比例线段. 3.比例的基本性质.
布置作业
完成《课堂1+1》p36“课后练案”
谢谢！
第四章 图形的相似
第1节 成比例线段 第2课时
教学目标
1.掌握等比性质，并能灵活运用它解决有关问题. 2.了解合比、分比的性质.
（2）∵a=2cm,c=6cm,b=30m=3000cm,d=1000cm, ∴
则 ∴a、c、d、b是成比例线段.
6.直角三角形的斜边与斜边上的中线的比是 2 .
7.某图纸的比例尺是1∶20,图上零件长32mm,则实际长 为 64 cm.
8.已知线段a=3厘米，线段b=13毫米，则a与b的比是 （C）
解：2000m=200000cm, 这个地图的比例尺为：2∶200000=1∶100000.
点评：求线段的比时，要特别注意比的前项与后项的单位要 一致.

(2) ∵△ABD∽△BDC，AB＝2，∴S△ABD＝(2)2＝4.
BD 3
39
△ S BDC
又∵△ABD 的面积为 40，∴S△BDC＝90，∴四边形 ABCD 的面积为 40＋90＝130
11．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，且∠ABD＝∠ACD.求证： (1)EB＝EA；
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
3∶2 3．如图，l1∥l2，AF∶FB＝3∶5，BC∶CD＝3∶2，则AE∶EC＝__________.
考点二 相似三角形的性质与判定
A
4．已知如图①、②中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图①、
②中的两个三角形，下列说法正确的是( )
解：【探究】(1)证明：∵∠DPB＝∠A＋∠ADP， ∴∠DPC＋∠CPB＝∠A＋∠ADP. 又∵∠A＝∠DPC，∴∠ADP＝∠CPB. 又∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC
(2)∵△DAP∽△PBC， ∴PD＝AP，∴ 5 ＝AP，∴AP＝4.5
PC BC 10 9
【应用】∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.∵∠CPE＝∠A，∴∠A＝∠CPE＝∠B， 于是同【探究】(1)可证△CAP∽△PBE，∴ABCP＝ABPE，∴AC·BE＝AP·BP. 又∵CE＝3EB，∴BC＝4BE＝4，∴BE＝1.又∵AC＝4，BP＝AB－AP＝6－AP， ∴AP(6－AP)＝4，∴AP＝3＋ 5或 AP＝3－ 5
的是( D )
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE
C.AABD＝AACE
D.AABD＝BDCE
10．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.求证： 证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC，∴∠DAB＋∠BAE＝∠EAC＋∠BAE，

解：由题意可得，△DEF∽△DCA，
∵DE＝0.5米，EF＝0.25米，DG＝1.5米， DC＝20米，
解得AC＝10. ∴AB＝AC+BC＝10+1.5＝11.5（米）. 答：旗杆的高度为11.5米．
15. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯 光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向 走到点G，DG=5米，这时小明的影长GH=4米， 如果小明的身高为1.7米，求路灯A离地面的高 度.
cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的 （2，2） D.
如图，在△ABC中，DE∥BC，
DE=4，则BC的长是（ ）
第13课 图形的相似单元复习
端点时，就停止运动. 设运动时间为t s. 如图，花丛中一根灯杆AB上有一盏路灯A，灯光下，小明在点D处的影长DE=3米，沿BD方向走到点G，DG=5米，这时小明的影长
10. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，
-2），以原点O为位似中心，相似比为
，把
△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ D ）
A. （-2，1）
B. （-8，4）
C. （-8，4）或（8，-4）
D. （-2，1）或（2，-1）
11. 在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD=4，CD=9， 则AD= 6 .
CB向点B方向运动，如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.
向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向 第13课 图形的相似单元复习
已知△ABC∽△A′B′C′，且
则S△ABC：S△A′B′C′为（ ）
如图，在△ABC中，DE∥BC，

【归纳总结】
图形的位似主要考查的三个方面
(1)判断两个图形是不是位似图形；
(2)找位似图形的位似中心；
(3)作某个图形关于某一点的位似图形.
考点精析
【变式训练】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，
D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，
若点B的坐标为(5，0)，则点A的坐标为( B )
所以∠A=∠BCD.
在△ACD中，∠ADC=90°，
所以∠A+∠ACD=90°，
所以∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°.
考点精析
考点五
位似
【例5】如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，那么矩形
ABCD与四边形EFGH是不是位似图形？如果是，指出位似中
【例2】如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点，
ED、CB的延长线交于点F.求证:△FDB∽△FCD.
证明:因为CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点，
所以CE=ED=AE，
所以∠EDA=∠A，∠EDC=∠ECD.
考点精析
因为∠EDC+∠EDA=90°，∠EDA=∠BDE，
所以∠EDC+∠BDF=90°.
△EAD∽△EBF.
考点精析
考点三
类似三角形的性质
【例3】如图， ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD
于点F，则EF：FC等于( D )
A.3：2
B.3：1
C.1：1
D.1：2
考点精析
解析:因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，AD=BC，所以△EFD∽△CFB，