中考数学试题分类汇编：正方形(含解析)

专题22 正方形1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=222ba【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）A．√2B．2C．√3D．4专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．一、选择题1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）A．B．C．﹣1D．2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型训练题()A61()B31()C51()D414.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5\5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个③当P点有8个时,x＝22﹣2④当△PEF是等边三角形时,P点有4个A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.127．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：①∠EAG=45°；②若DE=a,则AG∥CF；③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；④若CF=FG,则DE=（-1）a；⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD＝ ．（结果保留根号）15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．三、解答题16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．（1）求证：△ABF ≌△CBE ；（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.第10题图HGFEDCBA(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．（1）求证：△DOG≌△COE；（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝12,求正方形OEFG的边长．19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．①求证：DQ＝AE；②推断：的值为；（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。

正方形的典型题目
题目：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF = (1/4)CD。

求证：∠EAF = 45°。

证明：
第一步，由题目信息，可知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA，且∠B=∠C=∠D=90°。

第二步，连接AC，取AC的中点为O，连接EO和FO。

第三步，根据正方形的性质，可知AC⊥BD，且AC、BD互相平分。

所以，EO为三角形ABC 的中位线，FO为三角形ADC的中位线。

第四步，由三角形中位线的性质，有EO=1/2AB，FO=1/2AD。

而AB=AD，所以EO=FO。

第五步，因为EO=FO，且O为AC的中点，所以∠EOF=90°。

又因为∠BAC=45°，所以∠EAF=∠EOF-∠BAC=45°。

综上，∠EAF = 45°。

这道题考察了正方形的性质、三角形中位线的性质以及角度的计算等知识点。

在解题过程中，我们巧妙地利用了正方形和三角形的性质来找到解题的突破口。

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题44：矩形、菱形、正方形一、选择题1. （2012天津市3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD 至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【】（A1（B）3（C（D1【答案】D。

【考点】正方形的性质，勾股定理。

【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DG的长：∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=12DC=1。

∴CM=1。

∵四边形EDGF1。

故选D。

2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为【】A.22a B. 32a C. 42a D.52a【答案】A 。

【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。

【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：222114222a a a +⨯⨯=。

故选A 。

3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE⊥BC 于点E ，则AE 的长是【 】A ．B ．C ．48cm 5D ．24cm 5 【答案】D 。

【考点】菱形的性质，勾股定理。

【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=12AC=3，BO=12BD=，AO⊥BO，∴5=。

∴ABCD 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形。

又∵ABCD S BC AE =⋅菱形，∴BC·AE=24，即()24AE cm 5=。

故选D 。

4. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE⊥AB，垂足为E ，若∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为【 】A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°【答案】B 。

卜人入州八九几市潮王学校方案设计1.〔2021•A卷•10分〕如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中A D≤MN，矩形菜园的一边靠墙，另三边一一共用了100 米木栏．〔1〕假设a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；〔2〕求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】〔1〕设AB=xm，那么BC=〔100﹣2x〕m，利用矩形的面积公式得到x〔100﹣2x〕=450，解方程得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进展大小比较即可得到AD的长；〔2〕设AD=xm，利用矩形面积得到S=12x〔100﹣x〕，配方得到S=﹣12〔x﹣50〕2+1250，讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，那么当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣12a2．【解答】解：〔1〕设AB=xm，那么BC=〔100﹣2x〕m，根据题意得x〔100﹣2x〕=450，解得x1=5，x2=45，当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD的长为10m；〔2〕设AD=xm，∴S=12x〔100﹣x〕=﹣12〔x﹣50〕2+1250，当a≥50时，那么x=50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，那么当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣12a2，综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣12a2．【点评】此题考察了二次函数的应用：解此类题的关键是通过几何性质确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．2.〔2021•B卷•10分〕空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，木栏总长为100米．〔1〕a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；〔2〕0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．图1图2【分析】〔1〕按题意设出AD，表示AB构成方程；〔2〕根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s与菜园边长之间的数量关系．【解答】解：〔1〕设AD=x米，那么AB=1002x-米依题意得，(100)4502x x-=解得x1=10，x2=90∵a=20，且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD的长为10 米．〔2〕设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米①假设按图一方案围成矩形菜园，依题意得： S=2(100)1(50)125022x x x -=--+，0＜x ＜a ∵0＜α＜50∴x＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大当x=a 时，S 最大=50a ﹣213a②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得 S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x +-=---++，a ≤x＜50+2a当a ＜25+4a ＜50时，即0＜a ＜1003时，那么x=25+4a 时， S 最大=〔25+4a 〕2=21000020016a a ++ 当25+4a ≤a，即100503a ≤时，S 随x 的增大而减小∴x=a 时，S 最大=(1002)2a a a +-=21502a a -综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++﹣〔21502a a -〕=2(3100)016a -21000020016a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米当100503a ≤时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜1003时，围成长和宽均为〔25+4a 〕米的矩形菜园面积最大，最大面积为21000020016a a ++平方米； 当100503a ≤时，围成长为a 米，宽为〔50﹣2a 〕米的矩形菜园面积最大，最大面积为〔21502a a 〕平方米． 【点评】此题以实际应用为背景，考察了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．3.〔2021··10分〕某积极响应“三城同创〞的号召，绿化校园，方案购进A ，B 两种树苗，一共21棵，A 种树苗每棵90元，B 种树苗每棵70元．设购置A 种树苗x棵，购置两种树苗所需费用为y元．〔1〕求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；〔2〕假设购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最的方案，并求出该方案所需费用．【分析】〔1〕根据购置两种树苗所需费用=A种树苗费用+B种树苗费用，即可解答；〔2〕根据购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量，列出不等式，确定x的取值范围，再根据〔1〕得出的y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结合自变量的取值即可得出更合算的方案．【解答】解：〔1〕根据题意，得：y=90x+70〔21﹣x〕=20x+1470，所以函数解析式为：y=20x+1470；〔2〕∵购置B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21﹣x＜x，解得：x＞10.5，又∵y=20x+1470，且x取整数，∴当x=11时，y有最小值=1690，∴使费用最的方案是购置B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．【点评】此题考察的是一元一次不等式及一次函数的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描绘语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．4.〔2021年〕两种型号的垃圾处理设备一共10台．每台A型设备日处理才能为12吨；每台B型设备日处理才能为15吨；购回的设备日处理才能不低于140吨．〔1〕请你为该景区设计购置两种设备的方案；〔2〕每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，那么按9折优惠；问：采用〔1〕设计的哪种方案，使购置费用最少，为什么？【分析】〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据购回的设备日处理才能不低于140吨列出不等式12x+15〔10﹣x〕≥140，求出解集，再根据x为正整数，得出x=1，2，3．进而求解即可；〔2〕分别求出各方案实际购置费用，比较即可求解．【解答】解：〔1〕设购置A种设备x台，那么购置B种设备〔10﹣x〕台，根据题意，得12x+15〔10﹣x〕≥140，解得x≤313，∵x为正整数，∴x=1，2，3．∴该景区有三种设计方案：方案一：购置A种设备1台，B种设备9台；方案二：购置A种设备2台，B种设备8台；方案三：购置A种设备3台，B种设备7台；〔2〕各方案购置费用分别为：方案一：3×1+×9=4＞40，实际付款：4×0.9=34〔万元〕；方案二：3×2+×8=4＞40，实际付款：4×0.9=37.08〔万元〕；方案三：3×3+×7=3＜40，实际付款：3〔万元〕；∵37.08＜34＜3，∴采用〔1〕设计的第二种方案，使购置费用最少．【点评】此题考察了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分析题意，找到适宜的不等关系是解决问题的关键．5.〔2021湘西州12.00分〕某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店方案再一次性购进两种型号的电脑一共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？〔3〕实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a〔0＜a＜200〕元，且限定商店最多购进A型电脑60台，假设商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【分析】〔1〕根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量〞可得函数解析式；〔2〕根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数〞求得x的范围，再结合〔1〕所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；〔3〕据题意得y=〔400+a〕x+500〔100﹣x〕，即y=〔a﹣100〕x+50000，分三种情况讨论，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，分别进展求解．【解答】解：〔1〕根据题意，y=400x+500〔100﹣x〕=﹣100x+50000；〔2〕∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y获得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；〔3〕据题意得，y=〔400+a〕x+500〔100﹣x〕，即y=〔a﹣100〕x+50000，1333≤x≤60①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足1333≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y获得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．【点评】题主要考察了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x 值的增大而确定y值的增减情况．6.〔2021••7分〕绿水青山就是金山银山〞，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：人均支出费用各是多少元；〔2〕在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人一共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，那么有哪几种分配清理人员方案？【解答】解：〔1〕设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，根据题意，得1595700010+1668000x yx y+=⎧⎨=⎩，解得：20003000 xy=⎧⎨=⎩，答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；〔2〕设m人清理养鱼网箱，那么〔40﹣m〕人清理捕鱼网箱，根据题意，得：20003000(40)1020040m mm m+-≤⎧⎨-⎩，解得：18≤m＜20，∵m为整数，∴m=18或者m=19，那么分配清理人员方案有两种：方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱．7.〔2021··10分〕某为改善办学条件，方案采购A.B两种型号的空调，采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．〔1〕求A型空调和B型空调每台各需多少元；〔2〕假设方案采购两种型号空调一共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校一共有哪几种采购方案？〔3〕在〔2〕的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？【分析】〔1〕根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答此题；：〔2〕根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案；〔3〕根据题意和〔2〕中的结果，可以解答此题．【解答】解：〔1〕设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，3239000456000x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得，90006000x y =⎧⎨=⎩ ，答：A 型空调和B 型空调每台各需9000元、6000元；〔2〕设购置A 型空调a 台，那么购置B 型空调〔30﹣a 〕台，90006000(30)217001(30)2a a a a +-≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ ，解得，10≤a≤1213，∴a=10.11.12，一共有三种采购方案，方案一：采购A 型空调10台，B 型空调20台，方案二：采购A 型空调11台，B 型空调19台，方案三：采购A 型空调12台，B 型空调18台；〔3〕设总费用为w 元，w=9000a+6000〔30﹣a 〕=3000a+180000，∴当a=10时，w 获得最小值，此时w=210000，即采购A 型空调10台，B 型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．【点评】此题考察一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答．8.〔2021••12分〕准备购进一批甲、乙两种办公桌假设干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，假设购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌一共花费24000元；购置10张甲种办公桌比购置5张乙种办公桌多花费2000元．〔1〕求甲、乙两种办公桌每张各多少元？〔2〕假设购置甲乙两种办公桌一共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3 倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．【分析】〔1〕设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数﹣5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数=2000〞列方程组求解可得；〔2〕设甲种办公桌购置a张，那么购置乙种办公桌〔40﹣a〕张，购置的总费用为y，根据“总费用=甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的总钱数〞得出函数解析式，再由“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍〞得出自变量a的取值范围，继而利用一次函数的性质求解可得．【解答】解：〔1〕设甲种办公桌每张x元，乙种办公桌每张y元，根据题意，得：2015700024000 10510002000x yx y++=⎧⎨-+=⎩，解得：400600 xy=⎧⎨=⎩，答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；〔2〕设甲种办公桌购置a张，那么购置乙种办公桌〔40﹣a〕张，购置的总费用为y，那么y=400a+600〔40﹣a〕+2×40×100=﹣200a+32000，∵a≤3〔40﹣a〕，∴a≤30，∵﹣200＜0，∴y随a的增大而减小，∴当a=30时，y获得最小值，最小值为26000元．。

江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 （填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB， ．求证： ；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中， ，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）江苏省宿迁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2023•宿迁）计算：．【答案】0．【解答】解：原式＝，＝0．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．【答案】x﹣1；．【解答】解：＝＝＝x﹣1，当时，原式＝．三．二次函数的应用（共1小题）3．（2023•宿迁）某商场销售A、B两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A 种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．（1）求A、B两种商品的销售单价；（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价m元，如果A、B两种商品销售量相同，求m取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）A种商品的销售单价为30元，B种商品的销售单价为24元；（2）m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．【解答】解：（1）设A种商品的销售单价为a元，B种商品的销售单价为b元，由题意可得：，解得，答：（2）设利润为w元，由题意可得：w＝（30﹣m﹣20）（40+10m）+（24﹣20）（40+10m）＝﹣10（m﹣5）2+810，∵A种商品售价不低于B种商品售价，∴30﹣m≥24，解得m≤6，∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，答：m取5时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元．四．二次函数综合题（共3小题）4．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是　②　（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 、 ；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．【答案】（1）②；（2）①2；②，；（3）＞16．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y＝﹣，∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②，故答案为：②；（2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2；②∵2x2﹣5x+2＝﹣，∴2x3﹣5x2+2x+1＝0，∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0，∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0，∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0，∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0，∴2x2﹣3x﹣1＝0，∴x＝或x＝．故答案为：，．（3）x1满足方程﹣x+m＝﹣，即﹣mx1＝2，x2，x3满足方程x﹣m＝﹣，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根，∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m，∴＝（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4＝m2+4（﹣mx1）＝m2+8＞16．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x；（2）①证明见解答；②；（3）．【解答】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解法一：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BF＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BFC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCF＝∠BAH，tan∠BCF＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在Rt△A'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．（3）解法二：如图3，过点M作MH⊥OA于H，∵△OCD∽△A′BD，∴＝＝＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，设BD＝t，则CD＝2t，∴A'D＝2﹣2t，OD＝2A'D＝8﹣8t，∵OB＝OD+BD＝4﹣1＝3，∴8﹣8t+t＝3，∴t＝，∴A'D＝2﹣＝，∵A'B＝AB，∠A'＝∠OAC，∠A'BD＝∠ABN，∴△A'BD≌△ABM（ASA），∴AM＝A'D＝，∵△AHM是等腰直角三角形，∴AH＝MH＝，∴M（，﹣），易得BM的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，解得：3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．6．（2021•宿迁）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．（1）求抛物线的表达式；（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC 于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案】（1）y＝；（2）P的坐标是（6，﹣7）；（3）当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（4，0）是抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝，∴根据抛物线的两点式知，y＝．（2）根据抛物线表达式可求C（0，2），即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠CBO，∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，∴点P的坐标是（6，﹣7）．（3）设PH与x轴的交点为Q1，P（a，），则H（a，），PH＝，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ1＝∠BCO，∴tan∠APQ1＝tan∠BCO＝2，∴AQ1＝2PQ1，即a+1＝2（），解得a＝3（﹣1舍去），此时PH＝．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，∵∠CFA＝∠PFH，∠Q1HB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠Q1HB，又∵∠ACF＝∠BQ1H＝90°，∴△ACF∽△BQ1H，∴CF＝AC＝，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝，F（1，），∴AF：，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝（﹣1舍去），此时PH＝．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠PAQ+∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ1，即AP平分∠CAB，∴CE＝CA＝，∴E（，2），∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣（﹣1舍去）．此时PH＝．∴当FP＝FH时，PH＝；当PF＝PH时，PH＝；当HF＝HP时，PH＝；五．三角形综合题（共1小题）7．（2023•宿迁）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CEF＝∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD＝1.7m，BD＝10m，求这个广告牌AG的高度；【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图③）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD＝1.7m），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE＝2.8m；③测出坡长AD＝17m；④测出坡比为8：15（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．【答案】【问题背景】17m；【活动探究】3.5m；【应用拓展】信号塔AB的高度约为20m．【解答】解：【问题背景】由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，∵∠CEF＝∠AEF，∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，即∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴AB＝＝＝17（m），答：建筑物AB的高度为17m；【活动探究】如图②，过点E1作E1F⊥BD，过点E2作E2H⊥BD，由题意得：GB⊥BD，CD⊥BD，∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，∴＝，＝，∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），答：这个广告牌AG的高度为3.5m；【应用拓展】如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由题意得：BG⊥DG，CD⊥DG，∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，∵∠BAM＝∠GAD，∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，即∠ABM＝∠ADG，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，∴∠CDN＝∠DAG，∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，即∠DCN＝∠ADG，∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，∴△DCN∽△ABM，∴＝，由题意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），∵tan∠ADG＝，∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，设DN＝am，AM＝bm，则CN＝，BM＝，∵CN2+DN2＝CD2，∴（）2+a2＝1.72，解得：a＝0.8（m）（负值已舍去），∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），∴＝，∴AB＝，同【问题背景】得：△BME∽△CNE，∴＝，∴＝，解得：b＝（m），∴AB＝×≈20（m），答：信号塔AB的高度约为20m．六．四边形综合题（共1小题）8．（2021•宿迁）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN 扫过的面积．【答案】（1）＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由见解析过程；（3）9π．【解答】解：（1）如图①，连接AF，AC，∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AC＝AB，AF＝AG，∠CAB＝∠GAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠CAF＝∠BAG，，∴△CAF∽△BAG，∴＝；（2）BE＝2MN，MN⊥BE，理由如下：如图②，连接ME，过点C作CH∥EF，交直线ME于H，连接BH，设CF 与AD交点为P，CF与AG交点为R，∵CH∥EF，∴∠FCH＝∠CFE，∵点M是CF的中点，∴CM＝MF，又∵∠CMH＝∠FME，∴△CMH≌△FME（ASA），∴CH＝EF，ME＝HM，∴AE＝CH，∵CH∥EF，AG∥EF，∴CH∥AG，∴∠HCF＝∠CRA，∵AD∥BC，∴∠BCF＝∠APR，∴∠BCH＝∠BCF+∠HCF＝∠APR+∠ARC，∵∠DAG+∠APR+∠ARC＝180°，∠BAE+∠DAG＝180°，∴∠BAE＝∠BCH，又∵BC＝AB，CH＝AE，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH＝BE，∠CBH＝∠ABE，∴∠HBE＝∠CBA＝90°，∵MH＝ME，点N是BE中点，∴BH＝2MN，MN∥BH，∴BE＝2MN，MN⊥BE；（3）如图③，取AB中点O，连接ON，OQ，AF，∵AE＝6，∴AF＝6，∵点N是BE的中点，点Q是BF的中点，点O是AB的中点，∴OQ＝AF＝3，ON＝AE＝3，∴点Q在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，点N在以点O为圆心，3为半径的圆上运动，∴线段QN扫过的面积＝π×（3）2﹣π×32＝9π．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC 交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）直线AC与⊙O相切，理由见解答；（2）6﹣π．【解答】解：（1）直线AC与⊙O相切，理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣2×45°＝90°，∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴直线AC与⊙O相切；（2）连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD＝•AB•OD＝×4×2＝4，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S△BOD﹣S扇形OAD＝×4×4﹣×4﹣＝8﹣2﹣π＝6﹣π．八．切线的判定与性质（共1小题）10．（2023•宿迁）（1）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，　①（答案不唯一）　．求证：　②（答案不唯一）　；从①DE与⊙O相切；②DE⊥AC中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求阴影部分的面积．【答案】（1）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；证明过程见解答；（2）阴影部分的面积为．【解答】解：（1）若选择：①作为条件，②作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE与⊙O相切，求证：DE⊥AC，证明：连接OD，∵DE与⊙O相切于点D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若选择：②作为条件，①作为结论，如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，点E在AC上，连接DE、DB，DE⊥AC，求证：DE与⊙O相切，证明：连接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴DE与⊙O相切；故答案为：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）连接OF，DF，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，∴△DOF都是等边三角形，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，∴DF∥AB，∴△ADF的面积＝△ODF的面积，∴阴影部分的面积＝△AED的面积﹣扇形DOF的面积＝AE•DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴阴影部分的面积为．九．圆的综合题（共1小题）11．（2022•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、M均为格点．【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，　tan∠DCE＝　，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．【拓展应用】（1）如图②是以格点O为圆心，AB为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在上找出一点P，使＝，写出作法，并给出证明；（2）如图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺，在弦AB上找出一点P．使AM2＝AP•AB，写出作法，不用证明．【答案】【操作探究】tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）见解析部分；（2）见解析部分．【解答】解：【操作探究】在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC和△CDE．在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，在Rt△CDE中，tan∠DCE＝，所以tan∠BAC＝tan∠DCE．所以∠BAC＝∠DCE．因为∠ACP+∠DCE＝∠ACB＝90°，所以∠ACP+∠BAC＝90°，所以∠APC＝90°，即AB⊥CD．故答案为：tan∠DCE＝；【拓展应用】（1）如图②中，点P即为所求．作法：取格点T，连接AT交⊙O于点P，点P即为所求；证明：由作图可知，OM⊥AP，OM是半径，∴＝；（2）如图③中，点P即为所求．作法：取格点J，K，连接JK交AB于点P，点P即为所求．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）12．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．【答案】约为14米．【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：设AC＝x米，由题意得：PQ＝5米，∠APC＝30°，∠BQC＝45°，在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan30°＝，∴PC＝AC＝x（米），在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan45°＝1，∴QC＝BC＝AC+AB＝（x+3）米，∵PC﹣QC＝PQ＝5米，∴x﹣（x+3）＝5，解得：x＝4（+1），∴BC＝4（+1）+3＝4+7≈14（米），答：无人机飞行的高度约为14米．一十一．列表法与树状图法（共1小题）13．（2021•宿迁）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀．（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．（请用树状图或列表的方法求解）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，故答案为：；（2）把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为A、B、C，画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有3种，∴两次抽取的卡片图案相同的概率为＝．。

2021中考数学试题分类汇编：考点26 正方形一．选择题（共4小题）1．（2021•无锡）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于B．等于C．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴==．设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，∴tan∠AFE=tan∠FAG===．故选：A．2．（2021•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥A B．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．3．（2021•湘西州）下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案．【解答】解：①对顶角相等，故①正确；②两直线平行，同旁内角互补，故②错误；③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故③错误；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故④正确，故选：B．4．（2021•张家界）下列说法中，正确的是（）A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等B．对角线相等的平行四边形是正方形C．相等的角是对顶角D．角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B、对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C、相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D、角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共7小题）5．（2021•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．【解答】解：如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°．如图2，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∴DE=DC，∴∠CED=∠ECD，∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°．故答案为：30°或150°．6．（2021•呼和浩特）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A 重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为①②③．【分析】先判定△MEH≌△DAH（SAS），即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM=HM；依据当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，即可得到Rt△ADM中，DM=2AM，即可得到DM=2BE；依据点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC=45°，即可得出∠CHM＞135°．【解答】解：由题可得，AM=BE，∴AB=EM=AD，∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，∴EM=AH，∠AHE=90°，∠MEH=∠DAH=45°=∠EAH，∴EH=AH，∴△MEH≌△DAH（SAS），∴∠MHE=∠DHA，MH=DH，∴∠MHD=∠AHE=90°，△DHM是等腰直角三角形，∴DM=HM，故②正确；当∠DHC=60°时，∠ADH=60°﹣45°=15°，∴∠ADM=45°﹣15°=30°，∴Rt△ADM中，DM=2AM，即DM=2BE，故①正确；∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，∴∠AHM＜∠BAC=45°，∴∠CHM＞135°，故③正确；故答案为：①②③．7．（2021•青岛）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为．【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD，每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF，进一步得∠AGE=∠BGF=90°，从而知GH=BF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE=∠D=90°，AB=AD，在△ABE和△DAF中，∵，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠ABE=∠DAF，∵∠ABE+∠BEA=90°，∴∠DAF+∠BEA=90°，∴∠AGE=∠BGF=90°，∵点H为BF的中点，∴GH=BF，∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3，∴BF==，∴GH=BF=，故答案为：．8．（2021•咸宁）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（﹣1，5）．【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标．【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线EG，垂足为G，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG=EO，∠GOM=∠OEH，∠OGM=∠EOH，在△OGM与△EOH中，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM=OH=2，OM=EH=3，∴G（﹣3，2）．∴O′（﹣，）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣1，5）．故答案是：（﹣1，5）．9．（2021•江西）在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2或2或﹣．【分析】根据正方形的性质得出AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=90°，根据勾股定理求出AC、BD、求出OA、OB、OC、OD，画出符合的三种情况，根据勾股定理求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AC⊥BD，AC=BD，OB=OA=OC=OD，AB=BC=AD=CD=6，∠ABC=∠DAB=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC===6，∴OA=OB=OC=OD=3，有三种情况：①点P在AD上时，∵AD=6，PD=2AP，∴AP=2；②点P在AC上时，设AP=x，则DP=2x，在Rt△DPO中，由勾股定理得：DP2=DO2+OP2，（2x）2=（3）2+（3﹣x）2，解得：x=﹣（负数舍去），即AP=﹣；③点P在AB上时，设AP=y，则DP=2y，在Rt△APD中，由勾股定理得：AP2+AD2=DP2，y2+62=（2y）2，解得：y=2（负数舍去），即AP=2；故答案为：2或2或﹣．10．（2021•潍坊）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C′D′的位置，B'C′与CD相交于点M，则点M的坐标为（﹣1，）．【分析】连接AM，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADM≌Rt△AB′M得∠DAM=∠B′AD=30°，由DM=ADtan∠DAM可得答案．【解答】解：如图，连接AM，∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADM和Rt△AB′M中，∵，∴Rt△ADM≌Rt△AB′M（HL），∴∠DAM=∠B′AM=∠B′AD=30°，∴DM=ADtan∠DAM=1×=，∴点M的坐标为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．11．（2021•台州）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG 的周长为+3．【分析】根据面积之比得出△BGC的面积等于正方形面积的，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长．【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，∴阴影部分的面积为×9=6，∴空白部分的面积为9﹣6=3，由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，设BG=a，CG=b，则ab=，又∵a2+b2=32，∴a2+2ab+b2=9+6=15，∴a+b=，即BG+CG=，∴△BCG的周长=+3，故答案为：+3．三．解答题（共6小题）12．（2021•盐城）在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；【解答】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠ABE=∠ADF，在△ABE与△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS）；四边形AECF是菱形．理由：∵正方形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（2021•吉林）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF，求证：△ABE≌△BCF．【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF．14．（2021•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．15．（2021•潍坊）如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连接BE．（1）求证：AE=BF；（2）已知AF=2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．【分析】（1）通过证明△ABF≌△DEA得到BF=AE；（2）设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，利用四边形ABED的面积等于△ABE的面积与△ADE 的面积之和得到•x•x+•x•2=24，解方程求出x得到AE=BF=6，则EF=x﹣2=4，然后利用勾股定理计算出BE，最后利用正弦的定义求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BA=AD，∠BAD=90°，∵DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，∴∠AFB=90°，∠DEA=90°，∵∠ABF+∠BAF=90°，∠EAD+∠BAF=90°，∴∠ABF=∠EAD，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴BF=AE；（2）解：设AE=x，则BF=x，DE=AF=2，∵四边形ABED的面积为24，∴•x•x+•x•2=24，解得x1=6，x2=﹣8（舍去），∴EF=x﹣2=4，在Rt△BEF中，BE==2，∴sin∠EBF===．16．（2021•湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．【分析】（1）利用正方形的性质得出AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可得出结论；（2）利用（1）的结论得出∠ADF=∠BAE，进而求出∠ADF+∠DAO=90°，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB，在△DAF和△ABE中，，∴△DAF≌△ABE（SAS），（2）由（1）知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF=∠BAE，∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°．17．（2021•遵义）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE ＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM=ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH=HA=2、HM=4，再根据勾股定理得OM=2，由直角三角形性质知MN=OM．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠DAO=45°，∠OBA=45°，∴∠OAM=∠OBN=135°，∵∠EOF=90°，∠AOB=90°，∴∠AOM=∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM=ON；（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，∵正方形的边长为4，∴OH=HA=2，∵E为OM的中点，∴HM=4，则OM==2，∴MN=OM=2．。

矩形菱形与正方形一、选择题1. （2014•安徽省,第10题4分）如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：正方形的性质．菁优网分析：连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O 的距离小于是本题的关键．2. （2014•福建泉州，第5题3分）正方形的对称轴的条数为（）3. （2014•珠海，第2题3分）边长为3cm的菱形的周长是（）4.（2014•广西玉林市、防城港市，第6题3分）下列命题是假命题的是（）5.（2014•毕节地区，第8题3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H 为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（）AAB6.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）PE===7.（2014•孝感，第9题3分）如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）8．（2014·台湾，第12题3分）如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF ＝6，BF ＝9，AG ＝8，则△ADC 的面积为何？( )A ．16B ．24C ．36D ．54分析：由于△ADC ＝△AGC ﹣△ADG ，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解． 解：△ADC ＝△AGC ﹣△ADG ＝12×AG ×BC ﹣12×AG ×BF＝12×8×(6＋9)﹣12×8×9＝60﹣36＝24． 故选：B ．点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算． 9．（2014·台湾，第27题3分）如图，矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，O 为AD 中点，是半圆．甲、乙两人想在上取一点P ，使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积其作法如下： (甲) 延长BO 交于P 点，则P 即为所求；(乙) 以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确分析：利用三角形的面积公式进而得出需P甲H＝P乙K＝2AB，即可得出答案．解：要使得△PBC的面积等于矩形ABCD的面积，需P甲H＝P乙K＝2A B．故两人皆错误．故选：B．点评：此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键．10．（2014•浙江宁波，第6题4分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（）===511．（2014•浙江宁波，第11题4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG 上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）．．=，=3，===2，=AF=×2=．11.（2014•呼和浩特，第9题3分）已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD 相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（）=12. （2014•湘潭，第7题，3分）以下四个命题正确的是（）13. （2014•株洲，第7题，3分）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）14. （2014年江苏南京，第6题，2分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）（第3题图）A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。

z2022年江西省中考数学试题卷说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟．2.请将答案写在答题卡上，否则不给分．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列各数中，负数是（ ） A.B. 0C. 2D.2.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A.B.C.D.3. 下列计算正确的是（ ） AB.C. D.4. 将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 125. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）1-a b >a b =a b <a b =-236m m m ×=()m n m n --=-+2()m m n m n +=+222()m n m n +=+zA. B.C. D.6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）A. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 因式分解：__________．8. 正五边形的外角和等于 _______◦． 9. 已知关于方程有两个相等的实数根，则的值是______．10. 甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________．11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．(g)y ()t℃2t ℃0℃20g 30℃23a a -=x的220x x k ++=k 的z.12. 已知点A 在反比例函数的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：； （2）解不等式组：14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程：（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误； （2）请你写出完整的解答过程．15. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团12(0)y x x=>OAB !AB 0|2|2-26325x x x <ìí>-+î2113422x x x x +æö-÷ç÷-+-èøz员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． （1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A ．不可能 B ．必然 C ．随机（2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作的角平分线；（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．17. 如图，四边形为菱形，点E 在的延长线上，．（1）求证：；（2）当时，求的长．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，点在反比例函数图象上，点B 在y 轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且．44´ABC ÐC l A B l ABCD AC ACD ABE Ð=ÐABC AEB !!∽6,4AB AC ==AE (,4)A m (0)ky x x=>的2OB =AB CD 1OD =z（1）点B 的坐标为__________，点D 的坐标为__________，点C 的坐标为__________（用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线的表达式．19. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O 与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A ，B ，，求的长．20. 图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A ，D ，H ，G 四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位）AC O !AOB ÐAB C ÐAB C Ð12Ð=ÐC AOB O !,PA PB O !60C Ð=°PA AB CD FG ∥∥72.9, 1.6m, 6.2m FEC A AD EFÐ=Ð=°==z（1）求证：四边形为平行四边形； （2）求雕塑的高（即点G 到的距离）．（参考数据：）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1： 整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组） 报班数 人数 类别 0 1 2 3 4及以上 合计“双减”前 102 48 75 51 24 m “双减”后 2551524nm（1）根据表1，m 的值为__________，的值为__________； （2）分析处理：请你汇总表1和图1中数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比； （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：DEFG AB sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.9 3.25°»°»°»nm的z①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为__________，“双减”后学生报班个数的众数为__________；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）．22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K 到起跳台的水平距离为，高度为（h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）c 的值为__________；（2）①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时，求基准点K 的高度h ； ②若时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．六、解答题（本大题共12分）23. 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． OA 66m 75m m h (m)y (m)x 2(0)y ax bx c a =++¹19,5010a b =-=150a =-25m 76m ()90,60PEF P F Ð=°Ð=°PEF ABCDz（1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为__________；当与垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积与S 的关系为__________；（2）类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M ，N ．①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号）； （3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为（设），将绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出的最小值与最大值（分别用含的式子表示），（参考数据：OF OB OF BC 1S ,OE OP BM CN =OMN !CM CN =OMCN GOH ÐGOH a Ð=GOH ÐGOH ÐABCD 2S 2S a sin15tan152°=°=°=z2022年江西省中考数学试题卷说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟．2.请将答案写在答题卡上，否则不给分．一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列各数中，负数是（ ） A. B. 0C. 2D.【答案】A 【解析】【分析】根据负数的定义即可得出答案． 【详解】解：-1是负数，20既不是正数也不是负数，故选：A ．【点睛】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“-”得到负数是解题的关键． 2. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据数轴上点的特点，进行判断即可．【详解】ABC.根据数轴上点a 、b 的位置可知，，， ∴，故AB 错误，C 正确；根据数轴上点a 、b 的位置可知，，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，熟练掌握数轴上点表示的数，越向右越大，是解题的关键．3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D.【答案】B 【解析】1-a b >a b =a b <a b =-0a ＜0b ＞a b ＜a b -＜236m m m ×=()m n m n --=-+2()m m n m n +=+222()m n m n +=+z【分析】利用同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式，完全平方公式对各选项依次判断即可．【详解】解：A 、，故此选项不符合题意； B 、，故此选项符合题意；C 、，故此选项不符合题意；D 、，故此选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及到同底数幂的乘法，去括号法则，单项式乘多项式的运算法则，完全平方公式等知识．熟练掌握各运算法则和的应用是解题的关键．4. 将字母“C ”，“H ”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H ”的个数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B 【解析】【分析】列举每个图形中H 个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4， 第2个图中H 的个数为4+2， 第3个图中H 的个数为4+2×2， 第4个图中H 的个数为4+2×3=10， 故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．5. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）2356m m m m ×=¹()m n m n --=-+22()m m n m mn m n +=+¹+22222()2m m n m n m n n +=++¹+222()2a b a ab b +=++的的zA. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】从上面观察该几何体得到一个“T ”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．【详解】俯视图如图所示．故选：A ．【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．6. 甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ） (g)y ()t ℃zA. 甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B. 当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大C. 当温度为时，甲、乙的溶解度都小于D. 当温度为时，甲、乙的溶解度相等【答案】D【解析】【分析】利用函数图象的意义可得答案．【详解】解：由图象可知，A 、B 、C 都正确，当温度为t 1时，甲、乙的溶解度都为30g ，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 因式分解：__________．【答案】【解析】【分析】直接提公因式a 即可．【详解】解：原式=.故答案为：.【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．8. 正五边形的外角和等于 _______◦．【答案】360【解析】【详解】试题分析：任何n 边形的外角和都等于360度.考点：多边形的外角和.9. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 2t ℃0℃20g 30℃23a a -=(3)a a -(3)a a -(3)a a -x 220x x k ++=k【答案】1【解析】【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，∴，解得：．故答案为：【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 10. 甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________．【答案】 【解析】【分析】先表示乙每小时采样（x-10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键． 11. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为__________．【答【解析】【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题． 0=!440k -=1k =1.16014010x x =-16014010x x =-16014010x x =-z 【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，∴根据勾股定理故答案【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．12. 已知点A 在反比例函数的图象上，点B 在x 轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________．【答案】5或【解析】【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．【详解】解：①当AO=AB 时，AB =5； ②当AB =BO 时，AB =5；③当OA =OB 时，则OB =5，B （5，0）， 设A （a ，）（a >0）， ∵OA=5， ， 解得：，， ∴A （3，4）或（4，3）， ∴AB AB 综上所述，AB 的长为5或故答案为：5或=12(0)y x x=>OAB !AB 12a 5=13a =24a ===z 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）计算：；（2）解不等式组： 【答案】（1）3；（2）1＜x ＜3【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质，算术平方根的意义，零指数幂的意义解答即可；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】（1）原式=2+2-1，=3．（2） 解不等式①得：x ＜3，解不等式②得：x ＞1，∴不等式组的解集为：1＜x ＜3．【点睛】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14. 以下是某同学化筒分式的部分运算过程：（1）上面的运算过程中第__________步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程． 0|2|2-26325x x x <ìí>-+î26325x x x ìí-+î＜①＞②2113422x x x x +æö-÷ç÷-+-èø【答案】（1）③ （2）见解析【解析】【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可．【小问1详解】第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案：③；【小问2详解】解：原式＝ 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 15. 某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选．（1）“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件；A ．不可能B ．必然C ．随机 （2）若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率．【答案】（1）C （2）【解析】【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题；（2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T 表示，其余3人均是共产党员用G 表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题．【小问1详解】解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件；故答案为：C ； 为112(2)(2)23x x x x x éù+--´êú+-+ëû122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x éù+--=-´êú+-+-ëû122(2)(2)3x x x x x +-+-=´+-32(2)(2)3x x x -=´+-12x =+12z【小问2详解】从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T 表示，其余3人均是共产党员用G 表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示：它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A )的结果有6 种，则， 则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．16. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中作的角平分线；（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．【答案】（1）作图见解析部分（2）作图见解析部分【解析】【分析】（1）连接，，与交于点，作射线即可；（2）取格点，过点和点作直线即可．【小问1详解】解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，∴， ()61122P A ==1244´ABC ÐC l A B l AC HG AC HG P BP D C D l AC HG AC HG P AC HG P AP CP =z又∵∴，∴平分，∴射线即为所作；【小问2详解】如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，∴∴，∴四边形是菱形， 又∵，，，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，，且， AB ==BC ==AB BC =BP ABC ÐBP AD AB BC CD l C D AB ==AD ==BC ==CD ==AB AD CD BC ===ABCD 1AE DF ==2BE AF ==90AEB DFA Ð=Ð=°AEB △DFA !AE DF AEB DFA BE AF =ìïÐ=Ðíï=î()AEB DFA SAS △≌△ABE DAF Ð=Ð90ABE BAE Ð+Ð=°90DAF BAE Ð+Ð=°90BAD Ð=°ABCD AD l ^BC l ^AD BC =z∴直线即为所作．【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．17. 如图，四边形为菱形，点E 在的延长线上，．（1）求证：；（2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）AE =9【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD 是菱形，得出，，根据平行线的性质和等边对等角，结合，得出，即可证明结论；（2）根据，得出，代入数据进行计算，即可得出AE 的值． 【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴，，，，l ABCD AC ACD ABE Ð=ÐABC AEB !!∽6,4AB AC ==AE CD AB ∥AB CB =ACD ABE Ð=ÐACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=ÐABC AEB D D ∽AB AC AE AB =CD AB ∥AB CB =ACD CAB \Ð=ÐCAB ACB Ð=Ðz ∵，∴，∴．小问2详解】∵，∴， 即， 解得：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意得出，是解题关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 如图，点在反比例函数的图象上，点B 在y 轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C 落在反比例函数的图象上，点D 落在x 轴正半轴上，且．（1）点B 的坐标为__________，点D 的坐标为__________，点C 的坐标为__________（用含m 的式子表示）；（2）求k 的值和直线的表达式．【答案】（1）（0，2），（1，0），（m ＋1，2）（2）1；y ＝-2x ＋6【解析】【分析】（1）根据OB ＝2可得点B 的坐标，根据OD ＝1可得点D 的坐标为（1，0），由平移规律可得点C 的坐标；（2）根据点C 和D 的坐标列方程可得m 的值，从而得k 的值，再利用待定系数法可得直线AC 的解析式． ACD ABE Ð=ÐACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=ÐABC AEB D D ∽【ABC AEB D D ∽AB AC AE AB =646AE =9AE =ACD ABE CAB ACB Ð=Ð=Ð=Ð(,4)A m (0)k y x x=>2OB =AB CD 1OD=AC【小问1详解】∵点B 在y 轴上，， ∴B （0，2），∵点D 落在x 轴正半轴上，且 ∴D （1，0），∴线段AB 向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD ， ∵点A （m ，4）， ∴C （m ＋1，2），故答案为：（0，2），（1，0），（m ＋1，2）； 【小问2详解】∵点A 和点C 在反比例函数的图象上， ∴k ＝4m ＝2（m ＋1）， ∴m ＝1，∴A （1，4），C （2，2）， ∴k ＝1×4＝4，设直线AC 的表达式为：，∴ 解得，∴直线AC 的表达式为：y ＝-2x ＋6．【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB 和OD 的长得出平移的规律是解题关键．19. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O 与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A ，B ，，求的长． 2OB =1OD =(0)ky x x=>y sx t =+422s t s t +=ìí+=î26s t =-ìí=îO !AOB ÐAB C ÐAB C Ð12Ð=ÐC AOB O !,PA PB O !60C Ð=°PAz【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）①如图2，当点O 在∠ACB 的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O 在∠ACB 的外部时，作直径CD ，同理可理结论；（2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB =120°，由切线的性质可得∠OAP =∠OBP =90°，可得∠OP A =30°，从而得P A 的长．【详解】解：（1）①如图2，连接CO ，并延长CO 交⊙O 于点D ，∵OA =OC =OB ，∴∠A =∠ACO ，∠B =∠BCO ，∵∠AOD =∠A +∠ACO =2∠ACO ，∠BOD =∠B +∠BCO =2∠BCO ， ∴∠AOB =∠AOD +∠BOD =2∠ACO +2∠BCO =2∠ACB ， ∴∠ACB =∠AOB ；如图3，连接CO ，并延长CO 交⊙O 于点D ，12z∵OA =OC =OB ，∴∠A =∠ACO ，∠B =∠BCO ，∵∠AOD =∠A +∠ACO =2∠ACO ，∠BOD =∠B +∠BCO =2∠BCO ， ∴∠AOB =∠AOD -∠BOD =2∠ACO -2∠BCO =2∠ACB ， ∴∠ACB=∠AOB ；（2）如图4，连接OA ，OB，OP ，∵∠C =60°，∴∠AOB =2∠C =120°，∵P A ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∴∠OAP =∠OBP =90°，∠APO =∠BPO =∠APB =（180°-120°）=30°， ∵OA =2， ∴OP =2OA =4， ∴P A =【点睛】本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键．20. 图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A ，D ，H ，G 四点在同一直线上，测得121212=AB CD FG ∥∥z．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形为平行四边形； （2）求雕塑的高（即点G 到的距离）．（参考数据：） 【答案】（1）见解析 （2）雕塑的高为7.5m ，详见解析 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；（2）过点G 作GP ⊥AB 于P ，计算AG 的长，利用 ∠A 的正弦可得结论． 【小问1详解】证明：∵， ∴∠CDG ＝∠A ， ∵∠FEC ＝∠A ， ∴ ∠FEC ＝∠CDG ， ∴EF ∥DG ， ∵FG ∥CD ，∴四边形DEFG 为平行四边形； 【小问2详解】如图，过点G 作GP ⊥AB 于P ， ∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴DG ＝EF ＝6.2， ∵AD ＝1.6，∴AG ＝DG +AD ＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt △APG 中，sin A =， ∴=0.96， ∴PG =7.8×0.96＝7.488≈7.5．72.9, 1.6m, 6.2m FEC A AD EF Ð=Ð=°==DEFG AB sin72.90.96,cos72.90.29,tan72.9 3.25°»°»°»AB CD FG ∥∥PGAG7.8PG答：雕塑的高为7.5m.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1：整理描述表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组）（1）根据表1，m 的值为__________，的值为__________； （2）分析处理：请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比；（3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题：①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为__________，“双减”后学生报班个数的众数为__________；②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）． 【答案】（1）300；（2）见解析； （3）①1；0；②见解析 【解析】【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m 的值，然后再计算求得n 值，从而求解；（2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比； （3）①根据中位数和众数的概念分析求解；②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明． 【小问1详解】解：由题意得，，解得，∴， 故答案为：300； 【小问2详解】汇总表1和图1可得：0 1 2 3 4及以上 总数 “双减”前 172 82 118 82 46 500 “双减”后4232440121500∴“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为； nm1502.4%1024875512425515240m n m =++++ìí++++=î3006m n =ìí=î6130050n m ==15012100% 2.4%500´=z【小问3详解】“双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1， ∴“双减”前学生报班个数的中位数为1， “双减”后学生报班个数出现次数最多的是0， ∴“双减”后学生报班个数的众数为0， 故答案为：1；0；②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果．【点睛】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键．22. 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K 为飞行距离计分的参照点，落地点超过K 点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K 到起跳台的水平距离为，高度为（h 为定值）．设运动员从起跳点A 起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．（1）c 的值为__________；（2）①若运动员落地点恰好到达K 点，且此时，求基准点K 的高度h ； ②若时，运动员落地点要超过K 点，则b 的取值范围为__________； （3）若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K 点，并说明理由．【答案】（1）66 （2）①基准点K 的高度h 为21m ；②b ＞； （3）他的落地点能超过K 点，理由见解析．OA 66m 75m m h (m)y (m)x 2(0)y ax bx c a =++¹19,5010a b =-=150a =-25m 76m 910【解析】【分析】（1）根据起跳台的高度OA 为66m ，即可得c ＝66； （2）①由a ＝﹣，b ＝，知y ＝﹣x 2+x +66，根据基准点K 到起跳台的水平距离为75m ，即得基准点K 的高度h 为21m ；②运动员落地点要超过K 点，即是x ＝75时，y ＞21，故﹣×752+75b +66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣25）2+76，当x ＝75时，y ＝36，从而可知他的落地点能超过K 点． 【小问1详解】解：∵起跳台的高度OA 为66m ， ∴A （0，66），把A （0，66）代入y ＝ax 2+bx +c 得： c ＝66， 故答案为：66； 【小问2详解】 解：①∵a ＝﹣，b ＝， ∴y ＝﹣x 2+x +66， ∵基准点K 到起跳台的水平距离为75m ， ∴y ＝﹣×752+×75+66＝21， ∴基准点K 的高度h 为21m ； ②∵a ＝﹣， ∴y ＝﹣x 2+bx +66， ∵运动员落地点要超过K 点， ∴当x ＝75时，y ＞21， 即﹣×752+75b +66＞21， 150910150910150的2125150910150910150910150150150解得b ＞， 故答案为：b ＞； 【小问3详解】解：他的落地点能超过K 点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m 时，恰好达到最大高度76m ， ∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣25）2+76， 把（0，66）代入得： 66＝a （0﹣25）2+76， 解得a ＝﹣， ∴抛物线解析式为y ＝﹣（x ﹣25）2+76， 当x ＝75时，y ＝﹣×（75﹣25）2+76＝36， ∵36＞21，∴他的落地点能超过K 点．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．六、解答题（本大题共12分）23. 问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．910910212521252125()90,60PEF P F Ð=°Ð=°PEF ABCD。

第3题图A. 20 °B.302020年中考数学一轮专项复习一一矩形、菱形、正方形课时1 矩形■基础过关1. （2019重庆模拟）下列关于矩形对角线的说法中，正确的是 （ ）A.对角线相互垂直B.面积等于对角线乘积的一半C.对角线平分一组对角D.对角线相等2 . （2019临沂）如图，在？ABCD 中，M, N 是BD 上两点,个条件，使四边形 AMCN 是矩形，这个条件是（）B. MB= MOD. / AMB = Z CNDBM = DN,连接 AM, MC , CN, NA.添加一1A. OM =2ACC. BD± AC3 .如图，将矩形纸片 数为（ ）ABCD 沿BD 折叠，得到△ BCD, CD 与AB 交于点E.若/1 = 35°,则/ 2的度第2题图5.如图，矩形 ABCD 中，A （-2, 0）, B （2, 0）, C （2, 2）,将AB 绕点A 旋转，使点 B 落在边CD 上的点E 处，则点E 的坐标为（）B. (2击，2) D. (2^3-2, 2)4. （2019贵阳模拟）如图，在矩形ABCD （ ） ABCD 中，AE 平分/ BAD,交边BC 于点E,若ED=5, EC=3,则A. 11B. 14C. 22D. 28A.(a 2) C. (1 ，6.如图，在矩形ABCD 中，对角线 AC 与BD 相交于点 O,过点A 作BD 的垂线，垂足为E.已知/ EAD= 3/BAE,则/ EAO 的度数为（A . 22.5B. 67.5C. 45°D. 60°7 . （2020原创）如图，点O 是矩形 则^ BOE 的周长为（）ABCD 对角线 AC 的中点，OE // AB 交AD 于点E.若AB=6, BC=8,A. 10B. 8 + 2^5C. 8+2^13D. 14E第4题图第5题图4第6题图10.（人教八下P55练习2题）如图，？ABCD的对角线AC、BD交于点O, △ OAB是等边三角形，AB =4.（1）求证：四边形ABCD是矩形;（2）求四边形ABCD的面积.8. （2018遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点, 点E, F,连接PB、PD.若AE=2, PF = 8.则图中阴影部分的面积为过点P作EF // BC,分别交AB, CD于A. 10 8.12 C. 16D. 189.（2019徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O, M、N分别为BC、OC的中点，若MN = 4, 则AC的长为第7题图第8题图第9题图第10题图11 . (2019怀化)已知：如图，在？ABCD中，AEXBC, CFXAD, E, F分别为垂足.⑴求证：△ ABE^A CDF ;(2)求证：四边形AECF是矩形.第11题图12 . (2019连云港)如图，在^ ABC中，AB = AC>AABC沿着BC方向平移得到△ DEF ,其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O.(1)求证：△ OEC为等腰三角形；(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由.第12题图1 . （2019台州）如图，有两张矩形纸片 ABCD 和EFGH, AB=EF =2 cm, BC = FG=8 cm 把纸片 ABCD 交叉叠放在纸片 EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点 D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角 “最 小时，tan a 等于（）2 .如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 AEXBE,则线段CE 的最 小值为.A.B. 2C. 187D.8_15;1 DB EC F第1题图第2题图立满分冲关1. (2019眉山模拟)如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BEXAC,垂足为点F,连接DF ,分析下列四个结论：① CF = 3AF;②AB=DF;③DF = ^BC；④S四边形CDEF^S MBF.其中正确白结论有( )第1题图A . 1个B,2个C,3个D,4个【错误结论纠正】请将错误结论改正确.2 .如图，在矩形ABCD中，ZBAC=30°,对角线AC, BD交于点O, / BCD的平分线CE分别交AB, BD于点E, H,连接OE.(1)求/ BOE的度数；(2)若BC=1,求^ BCH的面积；(3)求S A CHO :S^BHE的值.H E第2题图课时2菱形（建议时间：40分钟）名■基础过关1. （2019玉林）菱形不具备的性质是（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2. （2019 河北）如图，菱形ABCD 中，/ D= 150°,则/ 1 =（）A.30 °B. 25 °C. 20 °D. 15 °DB第2题图3. （2019襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C, D两点，连接AC, BC, AD, BD,则四边形ADBC一定是（）A.正方形B.矩形第3题图4. （2019呼和浩特）已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对角线的长为（）A.2 2B. 2 . 5C. 4 2D. 2 . 105. （2019宁夏）如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O,且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.AC± BDB.AB = ADC.AC= BDD./ ABD = Z CBD,4第5题图6 . （2019赤峰）如图，菱形ABCD的周长为20,对角线AC、BD相交于点O, E是CD的中点，则OE 的长是（）A. 2.5B. 3第6题图7. （2019天津）如图，四边形ABCD 为菱形，A, B两点的坐标分别是（2, 0）, （0, 1）,点C, D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（y6D第7题图A. 5B.4 3C.4 5D. 208 . （2019永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O,且点。

2024年陕西省初中学业水平考试数学试卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），全卷共8页，总分120分，考试时间120分钟2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A 或B ）3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）1.3-的倒数是（）A.3B.13 C.13- D.3-2.如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（）A. B. C. D.3.如图，AB DC ∥，BC DE ∥，145B ∠=︒，则D ∠的度数为（）A.25︒B.35︒C.45︒D.55︒4.不等式()216x -≥的解集是（）A.2x ≤ B.2x ≥ C.4x ≤ D.4x ≥5.如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AD 是BC 边上的高，E 是DC 的中点，连接AE ，则图中的直角三角形有（）A.2个B.3个C.4个D.5个6.一个正比例函数的图象经过点()2,A m 和点(),6B n -，若点A 与点B 关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（）A.3y x = B.3y x =- C.13y x = D.13y x =-7.如图，正方形CEFG 的顶点G 在正方形ABCD 的边CD 上，AF 与DC 交于点H ，若6AB =，2CE =，则DH 的长为（）A .2 B.3 C.52 D.838.已知一个二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数y 的几组对应值如下表，x…4-2-035…y …24-8-03-15-…则下列关于这个二次函数的结论正确的是（）A.图象的开口向上B.当0x >时，y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线1x =第二部分（非选择题共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.分解因式：2a ab -=_______________．10.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，2-，1-，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是________．（写出一个符合题意的数即可）11.如图，BC 是O 的弦，连接OB ，OC ，A ∠是 BC所对的圆周角，则A ∠与OBC ∠的和的度数是________．12.已知点()12,A y -和点()2,B m y 均在反比例函数5y x=-的图象上，若01m <<，则12y y +________0．13.如图，在ABC 中，AB AC =，E 是边AB 上一点，连接CE ，在BC 右侧作BF AC ∥，且BF AE =，连接CF ．若13AC =，10BC =，则四边形EBFC 的面积为________．三、解答题（共13小题，计81分。