旋转模型经典练习

旋转模型（综合）考察点1：“手拉手”模型（绕点旋转）手拉手模型，亦称为共顶点等腰型，一定会出现旋转型全等。

其衍生模型有等腰对补角模型和等腰旁等角模型。

辅助线作法：通常情况下，绕等腰三角形的顶点旋转，旋转角度为等腰三角形顶角的度数；难一点的情况，还需过旋转点作被旋转三角形的高，以及旋转后三角形的高。

解题时：证明全等通常用的是边角边，难点在于如何先说明夹角相等。

模型回顾：A AA C一、旋转全等图2图1（2）如图2，连接EO ，求证：EO 平分∠AED（1）如图1，连接AC ，BD ，求证：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=α1. 在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=α，直线AC 与直线BD 相交于点E 。

DDA1. 解：在△OAC 和△OBD 中OE 平分∠AED在Rt △OME 和Rt △ONE 中OM=ONOE=OE∠OEM=∠OEN 过点O 作OM ⊥AC ，ON ⊥BDOM=ONOA=OB∠OAM=∠OBN∠OMA=∠ONB=90°（2）OAM ≌△OBN 图1图2∠AEB=∠AOB=α∠OAC=∠OBD∠OFA=∠EFB在△OAF 和△BEF 中∠OAC=∠OBD△OAC ≌△OBD②①△OAC ≌△OBD（1）OA=OB∠AOC=∠BODOC=ODC C二、等腰旁等角模型图4图3图2图1（4）如图4，若∠ADC=90°+12α，求证：∠ADB=α。

（3）如图3，若α=90°，∠ABD=∠ACD ，求证：∠DAC=∠DBC ；（2）如图2，若α=90°，∠DAC=∠DBC ，求证：∠BDC=45°；1. 如图，在四边形ABCD 中，CA=CB ，∠ACB=α，连接BD 。

（1）如图1，若α=90°，∠ADC=135°，求证：BD ⊥AD ；C∠CDE=45°∠BDC=45°BD ⊥ADBDC ≌△ACE BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE ∠BDC=∠CED=45°在△BCD 和△ACD 中A 、D、E 三点共线∠CDE=45°∠ADC=135°∠CDE=∠CED=45°△CDE 1. 证明:（1）将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE∠BDC=45°DCF CF=CD∠DCF=90°∠ACB=90°∠BCF=∠ACDCF=CD∠BCF=∠ACD在△BCF 和△ACD 中BC=AC∠DBC=∠DACBF=AD BCF ≌△ACD （2）在BD 上取一点F ，使得BF=AD 图2∠ADB=∠ADC-∠BDC=（90°+12α）-（90°-12α）=α∠BDC=∠P=90°-12αD 、G 、H 三点共线∠∠ADC=90°+12α（4）将CD 绕点C 顺时针旋转α，得到CP ，连接DP 、AP∠P=∠CDP=90°-12αCD=CP∠PCD=在△BDC 和△ACP 中BC=AC∠BCD=∠ACPCD=CPBCD ≌△ACPBCH ≌△ACD BC=AC∠BCH=∠ACDCH=CD在△BCH 和△ACD 中∠DAC=∠DBCD 、G 、H 三点共线∠CDG=45°∠CDH=45°∠ACD=∠ABD∠CGD=∠BGA ∠CDG=∠BAG=45°在△DCG 和△ABG 中△CDH ∠CDH=45°（3）将CD 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接BH 、DH图3三、等腰对补角模型1.如图，已知△ABC为等边三角形，D是BC下方一点，连接AD。

中考数学数学全等三角形旋转模型的专项培优练习题(及答案一、全等三角形旋转模型1．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.2．在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，点P 为线段CA 延长线上一动点，连接PB ，将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，连接,DB DC ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段PA 与线段CD 的数量关系是__________，DCP ∠为______度；（2）如图2，当120α=︒时，写出线段PA 和线段DC 的数量关系，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，当23AB =13BP PC +的最小值． 答案：A解析：（1）PA ＝DC ，60；（2）CD 3PA ．理由见详解；（232【分析】（1）先证明△ABC ，△PBD 是等边三角形，再证明△PBA ≌△DBC ，进而线段PA 与线段CD 的数量关系，利用全等三角形的性质以及三角形内角和等于180°，解决问题即可；（2）证明△CBD ∽△ABP ，可得3CD BC PA AB== （3）过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG ⊥BA 于点G ，当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小，由BGP CNP ∽，得13GP NP BP CP ==，结合勾股定理求出GP ，从而得CP ，进而即可求解． 【详解】（1）①证明： ∵将线段PB 绕点P 逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD ，∴PB ＝PD ，∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝60°，∴△ABC ，△PBD 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠PBD ＝60°，∴∠PBA ＝∠DBC ，∵BP ＝BD ，BA ＝BC ，∴△PBA ≌△DBC （SAS ），∴PA ＝DC ．设BD 交PC 于点O ，如图1，∵△PBA ≌△DBC ，∴∠BPA ＝∠BDC ，∵∠BOP ＝∠COD ，∴∠OBP ＝∠OCD ＝60°，即∠DCP ＝60°．故答案是：PA ＝DC ，60；（2）解：结论：CD 3．理由如下：∵AB ＝AC ，PB ＝PD ，∠BAC ＝∠BPD ＝120°，∴BC ＝2•AB •cos30°3，BD ═2BP •cos30°3， ∴BC BD BA BP=3 ∵∠ABC ＝∠PBD ＝30°，∴∠ABP ＝∠CBD ，∴△CBD ∽△ABP ， ∴3CD BC PA AB== ∴CD 3； （3） 过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ，则PN =13PC ， 过点B 作BG CA ⊥于点G ，则BG =AB ×sin ∠BAG 3=3，AG = AB ×cos ∠BAG 3 当点B 、P 、N 共线时，BP +PN 最小，即13BP PC +最小， ∵∠BGP =∠CNP =90°，∠BPG =∠CPN ， ∴BGP CNP ∽， ∴13GP NP BP CP ==， 设GP =x ，则AP 3-x ，BP =3x ，∴()22233x x +=，解得：x =324， ∴BP =924，AP =3-324， ∴CP =AC +AP =23+3-324=33-324， ∴13BP PC +最小值=924+13×(33-324)=3+22．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，第（1）（2）题解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，第（3）题的关键是过点C 作射线CM ，使得sin ∠ACM =13，过点P 作PN ⊥CM 于点N ．3．问题解决一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．（2）类比探究Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =APB ∠的度数和正方形的面积．答案：B解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形【分析】（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；【详解】解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D∵APB ∠=150°∴30?BPD =∠在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483∴ABC S =234AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，∵AP=1，∴AP 2+PP'2=1+8=9，∵AP'2=32=9，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；过B 作BE ⊥AP 于点E ，∵∠APB=135°∴∠BPE=45°∴△BPE 是等腰直角三角形∴BE=BP=22BP 2 ∴2∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，∴△ABP'≌△CBP ，∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，∴AP 2+PP'2=9+2=11，∵AP'2=（11）2=11，∴AP 2+PP'2=AP'2，∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．过B 作BF ⊥AP 于点F∵∠APB=45°∴△BPF 为等腰直角三角形∴PF=BF=22BP =22 ∴AF=AP-PF=3-22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-∴21032ABCD S AB ==-正方形【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．4．在等腰Rt ABC △中，AB AC =、90BAC ∠=︒．（1）如图1，D ，E 是等腰Rt ABC △斜边BC 上两动点，且45DAE ∠=︒，将ABE △绕点A 逆时针旋转90后，得到AFC △，连接DF ．①求证：AED AFD ≌．②当3BE =，9CE =时，求DE 的长．（2）如图2，点D 是等腰Rt ABC △斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △（E 点在直线BC 的上方），当3BD =，9BC =时，求DE 的长．答案：D解析：（1）①证明见解析；②5；（2）35或317【分析】（1）①证明∠DAE=∠DAF=45°即可利用SAS 证明全等；②由①中全等可得DE=DF ，再在Rt △FDC 中利用勾股定理计算即可；（2）连接BE ，根据共顶点等腰直角三角形证明全等，再利用勾股定理计算即可。

60°、90°旋转模型【模型分析】遇60°，旋60°，造等边遇90°，旋90°，造垂遇中点，旋180°，造中心对称遇等腰，旋顶角遇中点，旋180°，造中心对称【经典例题】例1．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6，点D为直线AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE，连接ED、BE，当BE最小时，线段AD的值为（）A．5.5B．6C．7.5D．8【分析】以BC为边作等边△BCF，连接DF，可证△BCE△△FCD，可得BE=DF，则DF△AB 时，DF的长最小，即BE的长最小，即可求解【解析】如图，以BC为边作等边△BCF，连接DF△∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=6△∠ABC=60°，BC=3△将线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线段CE△CD=CE，∠DCE=60°△△BCF是等边三角形△CF =BC =BF =3，∠BCF =∠DCE =60° △∠BCE =∠DCF ，且BC =CF ，DC =CE △△BCE △△FCD (SAS ) △ BE = DF△DF △AB 时，DF 的长最小，即BE 的长最小 如图，此时作FD AB '⊥△FBD '∠=180°-60°-60°=60°，D F AB '⊥△ 11.52BD BF '== △7.5AD AB BD '=+='故选：C【小结】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题关键．例2．（2021·上海九年级模型练习）平面直角坐标系中，()0,4C，()2,0K ，A 为x 轴上一动点，连接AC ，将AC 绕A 点顺时针旋转90得到AB ，当点A 在x 轴上运动，BK 取最小值时，点B 的坐标为____．【分析】如图，作BH x ⊥轴于点H ，由旋转可知ACO △△BAH ，推出BH OA m ==，4AH OC ==，可得到()4,B m m +，令4x m =+，y m =，可知4y x =-，即可知点B在直线4y x =-的图象上运动，设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F ，作KM EF ⊥于点M ，根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，构建方程组确定交点M 的坐标即可求解【解析】如图，作BH x ⊥轴于点H ，设点A 的坐标为（0，M )()0,4C ，()2,0K∴4OC =，2OK =AC AB =，90AOC CAB AHB ∠=∠=∠=∴90CAO OCA ∠+∠=，90BAH CAO ∠+∠= ∴ACO BAH ∠=∠在ACO △与BAH 中，ACO BAHAOC BHA CA CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACO △△BAH ()AAS∴BH OA m ==，4AH OC == ∴()4,B m m +令4x m =+，y m =∴4y x =-∴点B 在直线4y x =-上运动设直线4y x =-交x 轴于点E ，交y 轴于点F作KM EF ⊥于点M ，则直线KM 的解析式为：2y x =-+由24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩，∴()3,1M -根据垂线段最短可知，当点B 与点M 重合时，BK 的值最小，此时()3,1B -【小结】本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的应用，垂线段最短等知识点，正确找到点B 的运动轨迹是解题的关键．例3．（2021·湖北武汉市·九年级月考）如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90°，O 为BC 的中点，D 为AC 斜下方一点，30,6,ADC CD OD ︒∠===，则AD 的长为______．【分析】连结AO 由等腰直角三角形的性质得AO =CO =OB ，∠AOC =90º，利用旋转变换将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，由性质得AE =CD =6，∠EOD =90º，EO =DO =EA △DC ,，过A 作AF ∥CD ，交ED 于F ，利用平行线的性质∠FED =∠ADC =30º,推出∠EAD =∠EAF +∠F AD =120º,过E 作EG △DA 交延长线于G ，∠EAG =60º利用余角性质∠GEA =30º，在Rt △AGE 中，解直接三角形，AE =6，AG =3，EG =Rt △EOD 中由勾股定理求ED ，在Rt △EGD 中用勾股定理222ED =EG +GD ，构造AD方程(()22214=+3+AD ，解方程即可．【解析】连结AO△在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ， ∠BAC =90°，O 为BC 的中点 △AO =CO =OB ，∠AOC =90º将三角形△DOC ，逆时针旋转90º得到△EOA ，△AE =CD =6，∠EOD =90º，EO =DO =EA △DC , 过A 作AF ∥CD ，交ED 于F ， △∠EAF =90º，∠FED =∠ADC =30º, △∠EAD =∠EAF +∠F AD =90º+30º=120º, 过E 作EG △DA 交延长线于G ， △∠EAG =180º-∠EAD =180º-120º=60º △∠GEA =90º-∠EAG =90º-60º=30º， 在Rt △AGE 中，AE =6，AG =11622AE =⨯=3，EG ==在Rt △EOD 中，ED ， 在Rt △EGD 中，GD =GA +AD =3+AD ，△222ED =EG +GD ，△(()22214=+3+AD ，△3+AD=13±， △AD =10或-16（舍去）， 故答案为：10．【小结】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形旋转，解直角三角形，勾股定理的应用，掌握等腰直角三角形的性质创造旋转的条件，利用三角形旋转转移线段与角的相等关系，利用解直角三角形求出勾股定理应用的线段的长度，利用勾股定理构造方程是解题关键．【巩固提升】1．（2020·宜兴市实验中学八年级期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，点P是AC上的动点，连接BP，以BP为边作等边BPQ，连接CQ，则点P在运动过程中，线段CQ长度的最小值是（）A．2B．4C D2【分析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE．由△QBC△△PBE（SAS），推出QC＝PE，推出当EP△AC时，QC的值最小；【解析】如图，取AB的中点E，连接CE，PE，则AE＝BE＝4．△∠ACB＝90°，∠A＝30°，△∠CBE＝60°，△BE＝AE，△CE＝BE＝AE，△△BCE是等边三角形，△BC＝BE，△∠PBQ＝∠CBE＝60°，△∠QBC＝∠PBE，△QB＝PB，CB＝EB，△△QBC△△PBE（SAS），△QC＝PE，△当EP△AC时，QC的值最小，在Rt△AEP中，△AE＝4，∠A＝30°，△PE＝12AE＝2，△CQ的最小值为2，故选：A ．【小结】本题旋转的性质，考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．2．（2020·湖南长沙市·长郡中学八年级期中）如图，ABC ADE DFG ∆∆∆、、均为等边三角形，C E F 、、三点共线，且E 是CF 的中点，下列结论：①ADG EDF ∆≅∆；②AEC ∆为等腰三角形；③=+DF AD GE ；④BAG BCE ∠=∠⑤60GEB ︒∠=，其中正确的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】根据等边三角形的性质和判定以及全等三角形的判定和性质证明△ADG △△EDF ，△ABG △△BCE ，然后一一判断即可.【解析】△△ADE 、△DFG ，△ABC 为等边三角形，△DA =DE ，DF =DG ，∠ADE =∠FDG =∠AED =∠ACB =∠DAE =∠BAC =60°， △∠ADG =∠EDF ，∠DAB =∠CAE ， △△ADG △△EDF ，故①正确， △AG =EF ，△AG = EC ,如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB△EC≠AE，EC≠AC，∆不是等腰三角形, 故②错误，△AEC△AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF△AD+EG＞DF，故③错误．△△ADG△△EDF，△∠DEF=∠DAG，△∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，△∠EAC-∠DEF=∠BCE，△∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，△∠BAG=∠BCE，故④正确，△△ADG△△EDF，△AG=EF=EC,△∠BAG=∠BCE，AB=BC△△ABG△△BCE，△∠ABG=∠EBC，BG=BE,△∠EBG=∠ABC=60︒，△ΔBEG为等边三角形,△∠BEG =60︒，故⑤正确，故选：B．【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2020·北京海淀区·人大附中九年级月考）如图，ABC 是等边三角形，3AB =，点E 在AC 上，2AE CE =，点D 在BC 的延长线上，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，连接AF ，若//AF BD ，则AF 的长为______．【分析】如图过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N ，解直角三角形求出AM ，EN ，利用全等三角形的性质证明MF =EN ，即可解决问题； 【解析】过点E 作EM AF ⊥于M ，交BD 于N△△ABC 是等边三角形△3AB AC BC ===，60ACB ∠=︒ △2AE CE = △2AE =，1EC = △//AF BE△60EAM ACB ∠=∠=︒ △EM AF ⊥ △90AME ∠=︒ △30AEM ∠=︒ △112AM AE == △//AF BD ，EM AF ⊥ △EN BC ⊥△sin 602EN EC =︒=△90EMF END FED ∠=∠=∠=︒△90MFE MEF ∠+∠=︒，90MEF DEN ∠+∠=︒ △ED =EF△()△△EMF DENAAS ≅△MF EN ==△1AF AM MF =+=+【小结】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角形全等，准确分析计算是解题的关键．4．（2021·四川成都市·八年级期末）已知：等边三角形ABC ，直线l 过点C 且与AB 平行，点D 是直线l 上不与点C 重合的一点，作射线DB ，并将射线DB 绕点D 顺时针转动60︒，与直线AC 交于点E （即60BDE ∠=︒）．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上时，过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ，求证：DE DB =；（2）如图2，2AB =，4CD =，依题意补全图2，试求出DE 的长； （3）当点D 在点C 右侧时，直接写出线段CE 、BC 和CD 之间的数量关系． 【分析】（1）过点D 作AC 的平行线与CB 的延长线交于点F ．根据平行线的性质结合等边三角形的判定和性质可得出∠DFB =∠ACB =60°，∠ECD =60°，∠EDC =∠FDB ，CD =DF ．由此即可证出△CDE△△BDF，从而得出DE=DB；（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F；②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH△CD于H．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可；（3）分两种情况考虑：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB 的延长线交于点F；②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．画出图形利用等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质分别求解即可．【解析】（1）如图1，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠ABC=60°，△DF∥AC，CD∥AB，△∠DFB=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，△△CDF是等边三角形，∠ECD=60°，△∠CDF=60°，CD=DF，△∠BDE=60°，△∠EDC+∠CDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，△∠EDC=∠FDB．在△CDE和△BDF中，60ECD BFDCD DFEDC BDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△CDE△△BDF（ASA），△DE=DB．（2）分两种情况：①当D在点C右侧时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图2所示．由（1）可知，CF=CD=4，CB=AB=2，△BF=2，△BD是等边三角形△CDF的高，=△BD=2△DE=BD=②当D在点C左侧时，过点D作BC的平行线与CA于点F，作BH△CD于H．如图3所示．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠CAB=60°，△DF∥BC，CD∥AB，△∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠CAB=60°，△△CDF是等边三角形，∠DCB=120°，∠DFE=120°，△∠CDF=60°，CD=DF，△∠BDE=60°，△∠EDF+∠FDB=60°，∠FDB+∠CDB=60°，△∠EDF=∠CDB．在△CDB和△EDF中，120BCD EFDCD DFBDC EDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△CDB△△EDF（ASA），△DE=DB．在R t△BCH中，∠BCH=60°，∠CBH=30°，CB=AB=2，△CH=1，BH=在R t△BDH中，DH=DC+CH=5，BH=△DB===△DE=，综上，DE的长为（3）分两种情况：①当点E在AC的延长线上时，过点D作AC的平行线与CB的延长线交于点F．如图1所示．由（2）可知，CD=CF，CE=BF，△CD=BC+BF=BC+CE，②当点E在线段AC上时，过点D作AC的平行线与CB交于点F．如图4所示．△△ABC为等边三角形，△∠ACB=∠ABC=60°，△DF∥AC，CD∥AB，△∠DFC=∠ACB=60°，∠DCF=∠ABC=60°，△△CDF是等边三角形，∠CFD=60°，△∠CDF=60°，CD=DF=CF，∠BFD=120°，∠DCE=120°，△∠BDE=60°，△∠EDC+∠EDF=60°，∠FDB+∠EDF=60°，△∠EDC=∠FDB．在△CDE和△BDF中，120 ECD BFDCD DFEDC BDF⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△CDE△△BDF（ASA）△CE=BF．△BC=CF+BF=CD+CE．综上所述，当点D在点C右侧时，线段CE、BC和CD之间的数量关系是CD= BC+CE或BC=CD+CE．【小结】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形和全等三角形是解题的关键．5．（2019·渠县第三中学八年级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+6交坐标轴于A，B两点，过点C（-6，0）作CD交AB于D，交y轴于点E，且△COE△△BOA．（1）求点B的坐标，线段OA的长；（2）确定直线CD的解析式，求点D的坐标；（3）如图2，点M 是线段CE 上一动点(不与点C ，E 重合)，ON △OM 交AB 于点N ，连接MN ，当△OMN 的面积最小时，请求点M 的坐标和△OMN 的面积．（4）如图3，点M 是直线CD 上一动点，过点M 作x 轴的垂线，交轴于点Q ，连接EQ ，若∠EQM =∠ACD ，求点M 的坐标．【分析】（1）利用x 轴与y 轴的特征求直线y =-2x +6与两轴的交点即可；（2）利用△COE △△BOA ．求出E （0，3）设CD 的解析式为y =kx +b ，将C 、E 代入求出CD解析式，由CD 交AB 于D ，联立解方程组13226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩即可； （3）由△COE △△BOA ．推出CO =BO ，∠OCE =∠OBA ，利用同角的余角相等推出∠COM =∠EON ，进而可证△COM △△BON (ASA )，得△MON 为等腰直角三角形，要使△OMN 的面积最小，需OM 最小，此时OM △CE 由△COE 面积桥OC OE 65OM==CE 5即可求出面积最小值，利用△MFO △△COE ，得MF FO 2==635可求MF ，FO 即可； （4）可证△EQO △△CEO 由性质QO OE =OE OC 求出OQ ，当点Q 在x 轴的负半轴上时，Q （32-，0）由点M 在CD 上，当32x =-时求函数值得M 1（32-，94）；当点Q 在x 轴的正半轴上时，Q （32，0）由点M 在CD 上，当32x =时求函数值M 2（32，154），综合得M 的坐标为（32-，94），（32，154）．【解析】（1）当x =0时，y =6，则B （0，6），当y =0时，-2x +6=0，x =3，A (3，0)， OA =3；（2）△△COE △△BOA ， △OE =OA =3，OC =OB =6， △E （0，3），C (-6,0)，设CD 的解析式为y =kx +b ，过C （-6，0）和E （0，3），则360b k b =⎧⎨-+=⎩，解得312b k =⎧⎪⎨=⎪⎩，CD 的解析式为：132y x =+， ∵CD 交AB 于D ，∴13226y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得65185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点D 坐标为D （61855，）； （3）∵△COE ≌△BOA ， △CO =BO ，∠OCE =∠OBA ， △ON △OM ，∠COB =90º，△∠COM +∠MOE =90º,∠MOE +∠EON =90º， △∠COM =∠EON ， △△COM △△BON (ASA )， △OM =ON ，△△MON 为等腰直角三角形， S △MON =211OM ON=OM 22， 要使△OMN 的面积最小， 需OM 最小，此时OM △CE ，CE由△COE 面积得，11CE OM=OC OE 22，OC OE OM==CE 35，S △MON 最小=221118OM =?=225⎝⎭， 过M 作MF △OC 于F ，△∠FMO +∠FOM =90º，∠MCO +∠MOC =90º， △∠FMO =∠MCO ， △∠MFO =∠COE =90º， △△MFO △△COE ，△MF FO OM==OC OE CE即MF FO 2=635， △212MF=6=55⨯，6FO=5， △点M 在第二象限， △M （65-，125）；（4）△MQ △x 轴， △MQ ∥OE ， △∠MQE =∠QEO ， △∠EQM =∠ACD ， △∠QEO =∠OCE ， △∠QOE =∠EOC ， △△EQO △△CEO ，△QO OE= OE OC△OQ=2OE93== OC62当点Q在x轴的负半轴上时，Q（32-，0）由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+当32x=-时1393224y⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭M1（32-，94）当点Q在x轴的正半轴上时，Q（32，0）由点M在CD上，CD的解析式为：132y x=+当32x=时13153224y⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭M2（32，154），综合得M的坐标为（32-，94），（32，154）．【小结】本题考查直线与两轴的交点，直线解析式，两直线的交点，最小面积，三角形全等的性质，勾股定理，三角形相似，掌握直线与两轴的交点求法，会用待定系数法求直线解析式，会利用解方程组求两直线的交点，会利用点到直线的距离最小求最小面积，利用三角形全等的性质进行线段、角的转化，利用勾股定理求边长，会利用三角形相似的性质解决问题是关键．6．（2020·辽宁沈阳市·九年级其他模拟）在ABC 中，AB AC =，点P 在平面内，连接AP ，并将线段AP 绕A 顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AQ ，连接BQ ． （1）如图，如果点P 是BC 边上任意一点．则线段BQ 和线段PC 的数量关系是__________．（2）如图，如果点P 为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；（3）如图，在DEF 中，8DE =，60EDF ∠=︒，75DEF ∠=︒，P 是线段EF 上的任意一点，连接DP ，将线段DP 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到线段DQ ，连接EQ ．请直接写出线段EQ 长度的最小值．【分析】（1）先判断出∠BAQ =∠CAP ，进而用SAS 判断出△BAQ △△CAP ，即可得出结论；（2）结论BQ =PC 仍然成立，理由同（1）的方法；（3）先构造出△DEQ △△DHP ，得出EQ =HP ，进而判断出要使EQ 最小，当HP △EF （点P 和点M 重合）时，EQ 最小，最后用解直角三角形即可得出结论． 【解析】（1）由旋转知：AQ =AP △PAQ BAC ∠=∠△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠ △BAQ CAP ∠=∠ △AB AC =△()BAQ CAP SAS ∆≅∆ △BQ CP = 故答案为：相等（2）BQ PC =仍成立，理由如下 证明：由旋转知：AQ =AP △PAQ BAC ∠=∠△PAQ BAP BAC BAP ∠-∠=∠-∠ △BAQ CAP ∠=∠ △AB AC =△()BAQ CAP SAS ∆≅∆ △BQ C =Ｐ （3）如图：在DF 上取一点H ，使8DH DE ==，连接ＰＨ，过点Ｈ作HM EF ⊥于Ｍ，由旋转知，DQ DP =，60PDQ ∠=︒，△60EDF ∠=︒，△PDQ EDF ∠=∠，△EDQ HDP ∠=∠，△()DEQ DHP SAS ∆≅∆，△EQ HP =，要使EQ 最小，则有HP 最小，而点H 是定点，点P 是EF 上的动点△当HM EF ⊥（点P 和点M 重合）时，HP 最小即：点P 与点M 重合，EQ 最小，最小值为HM过点E 作EG DF ⊥于G ，在Rt DEG ∆中，8DE =，60EDF ∠=︒△30DEG ∠=︒ △142DG DE ==△EG ==在Rt EGF ∆中，753045FEG DEF DEG ∠=∠-∠=︒-︒=︒△9045F FEG FEG ∠=︒-∠=︒=∠，FG EG ==△4DF DG FG =+=+△484FH DF DH =-=+=在Rt HMF ∆中，45F ∠=︒△)4HM ===即：EQ 的最小值为．【小结】本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点到直线的距离等知识为解题关键．。

初二数学全等三角形旋转模型练习题含答案一、全等三角形旋转模型1．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF12=α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2=DE的长．答案：B解析：（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE23 =【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF12=α可得∠BAE+∠FAD12=α，进而可证明∠FAH＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.【详解】（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∠BAD=90°-45°＝45°，∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣12∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF1=α，2∴∠BAE+∠FAD1=α，2∴∠DAH+∠FAD1=α，2∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE523 =，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，∴2，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2222)(32)DE=+，解得23DE=．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.2．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝6，过点B作BD⊥AC交AC于点D，点E、F分别是线段AB、BC上两点，且BE＝BF，连接AF交BD于点Q，过点E作EH⊥AF交AF于点P，交AC于点H．（1）若BF ＝4，求△ADQ 的面积；（2）求证：CH ＝2BQ ；（3）如图2，BE ＝3，连接EF ，将△EBF 绕点B 在平面内任意旋转，取EF 的中点M ，连接AM ，CM ，将线段AM 绕点A 逆时针旋转90°得线段AN ，连接MN 、CN ，过点N 作NR ⊥AC 交AC 于点R ．当线段NR 的长最小时，直接写出△CMN 的周长．答案：A解析：（1）1.8；（2）证明见解析；（3）3263351022+． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求出1322BD AD CD AC ====积相等和勾股定理分别求出AQ 和QD ，最后利用三角形面积公式即可求解；（2）如图，先作辅助线构造()AEH CFG ASA ∆∆≌，得到AH CG =，再通过转化得到2AH DQ =，最后利用AC ，得到一个相等关系，即()2AH HC BQ QD +=+，利用等式性质即可得到所求；（3）如图，通过做辅助线构造全等三角形确定出当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小，接着利用勾股定理和等腰直角三角形的性质，分别求出CM 、MN 、CN 的长，相加即可．【详解】解：6AB BC ==，°90ABC =∠，262AC ==∴又∵AC BD ⊥∴BD 平分AC ，且BD 是∠ABC 的角平分线 ∴1322BD AD CD AC ====Q 点到BA 和BC 边的距离相等； ∵4BF =， ∴6342ABQBFQ S S ∆∆==，∴32AQ FQ =，∵AF ===∴355AQ AF ==，∴5QD ===，∴1 1.825ADQ S ∆=⨯⨯=， ∴△ADQ 的面积为1.8．（2）如图，作CG ⊥AC ，垂足为C ，交AF 的延长线于点G ，∴°90ACG =∠∵°45ACB CAB ==∠∠，∴°45GCB CAB ==∠∠，∵EH ⊥AF ，∴°90EAP AEP +=∠∠,又∵°90EAP AFB +=∠∠∴AEP AFB =∠∠，∴AEP CFG =∠∠∵BE BF =，BA BC =∴AE CF =，在AEH ∆和CFG ∆中，AEH CFG AE CFEAH FCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AEH CFG ASA ∆∆≌∴AH CG =；∵BD ⊥AC ，CG ⊥AC ，∴BD ∥CG ，∵D 点是AC 的中点，且BD ∥CG ，∴DQ 是ACG ∆的中位线，∴12DQ CG =， ∴2DQ CG AH ==； ∵AC =2BD ，∴()2AH HC BQ QD +=+，∵2AH DQ =，∴CH ＝2BQ ．（3）如图①，作AH ⊥AB ,且AH =AB ，∴∠NAH +∠HAM =∠HAM +∠BAM =90°，∴∠BAM =∠NAH ，∵AB =AH ，AM =AN ，∴()ABM AHN SAS ∆∆≌，∴HN =BM ，∵BE =BF =3，∠EBF =90°， ∴232EF BE ==∴由M 点是EF 的中点，可得1322BM EF == ∴32NH =， ∴N 点在以H 点为圆心，322为半径的圆上， 如图②，当HN ⊥AC ，且N 点位于H 、R 之间时，此时NR 的长最小， 为32NR HR HN HR =-=-∵∠BAC =45°，∴∠HAC =45°，∴∠AHN =45°，HR =AR ，∵222HR AR AH +=， ∴322HR AR ===， ∴323222NR HR =-=， ∵262AC AB ==∴32CR AC AR =-=， ∴()22333221022CN AN ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭， ∵∠MAN =90°，AM =AN ，∴235MN AN ==，∴∠ABM =45°，∴∠EBM =45°，∴F 点在BA 上，E 点在CB 延长线上，如图，作MP ⊥EC ，垂足为P ，∴1322BP MP EB ===， ∴315622PC PB BC =+=+=， ∴223262MC MP PC =+=， ∴3263351022MC MN CN ++=++， ∴△CMN 的周长为3263351022++．【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、圆等知识，要求学生熟练掌握相关概念并能灵活应用它们，本题的综合性较强，难点在于作辅助线构造全等三角形以及线段之间的关系转化等，考查了学生综合分析和推理论证以及计算的能力，本题属于压轴题，蕴含了数形结合和转化的思想方法等．3．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝，AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．答案：C解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2【分析】（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．【详解】解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，∴ABC 是等边三角形，同理可得ADE 是等边三角形6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAEAD AE AB ACEAC DAB ACE ABD SAS BD CEAEC ADB ADE AEC AED CEBCEB ∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴∴=∠=∠=︒-∠=︒∠=∠+∠∴∠=︒＝≌（）故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．（2）45CEB BD ∠︒＝，，理由如下：在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝，45AB CAB ∴∠︒，＝ ，同理，45AD ADE DAE ∠∠︒，＝＝， ∴AE AC AD AB =，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，ACE ABD ∴∽ ，∴BD AD CE AE==∴AEC ADB BD ∠∠＝，，点B 、D 、E 在同一条直线上:180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝135AEC ∴∠︒＝45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；（3）由（2）知，ACE ABD ∽，BD ∴，在Rt ABC中，AC ＝AB ∴＝，①当点E 在点D 上方时，如图③，过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，DE BD ⊥，PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，∴四边形APDE 是矩形，AE DE ＝ ，∴矩形APDE 是正方形，2AP DP AE ∴＝＝＝，在Rt APB △中，根据勾股定理得，226BP AB AP -＝＝，4BD BP AP ∴-＝＝，1222CE BD ∴＝＝； ②当点E 在点D 下方时，如图④同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，∴BD ＝BP +DP ＝8，122CE BD ∴＝＝4， 综上CE 的长为22或42．【点睛】本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．4．在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，BP 平分∠ABO ． （1）如图1，点T 在BA 延长线上，若AP 平分∠TAO ，求∠P 的度数；（2）如图2，点C 为x 轴正半轴上一点，∠ABC ＝2∠ACB ，且P 在AC 的垂直平分线上． ①求证：AP //BC ；②D 是AB 上一点，E 是x 轴正半轴上一点，连接AE 交DP 于H ．当∠DHE 与∠ABE 满足什么数量关系时，DP ＝AE ．给出结论并说明理由．答案：D解析：（1）45°；（2）①见解析；②∠DHE+∠ABE＝180°，理由见解析【分析】（1）由三角形的外角性质和角平分线的性质可得∠AOB＝2∠P＝90°，可求解；（2）①过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，由角平分线的性质可得PE＝PF，由垂直平分线的性质可得PA＝PC，由“HL”可证Rt△APE≌Rt△CPF，可得∠EPA＝∠CPF，由四边形内角和定理可得∠EBF+∠EPF＝180°，由角的数量关系可证∠ACB＝∠PAC，由平行线的判定可证AP∥BC；②如图3，在OE上截取ON＝OB，连接AN，通过证明△ADP≌△NEA，可得DP＝AE．【详解】解：（1）∵BP平分∠ABO，AP平分∠TAO，∴∠PBT＝12∠ABO，∠TAP＝12∠TAO，∵∠TAO＝∠ABO+∠AOB，∠TAP＝∠P+∠ABP，∴∠AOB＝2∠P＝90°，∴∠P＝45°；（2）①如图2，过点P作PE⊥AB交BA延长线于E，过点P作PF⊥BC于F，连接PC，又∵PB平分∠ABC，∴PE＝PF，∵P在AC的垂直平分线上，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，在Rt△APE和Rt△CPF中，AP PC PE PF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △APE ≌Rt △CPF （HL ），∴∠EPA ＝∠CPF ，∴∠EPF ＝∠APC ，在四边形BEPF 中，∠EBF+∠BEP+∠EPF+∠PFB ＝180°，∴∠EBF+∠EPF ＝180°，∴∠ABC+∠APC ＝180°，∵∠APC+∠PAC+∠PCA ＝180°，∴∠ABC ＝∠PAC+∠PCA ＝2∠PAC ，∵∠ABC ＝2∠ACB ，∴∠ACB ＝∠PAC ，∴AP ∥BC ；②当∠DHE+∠ABE ＝180°时，DP ＝AE ，理由如下：如图3，在OE 上截取ON ＝OB ，连接AN ，∵OB ＝ON ，AO ⊥BE ，∴AB ＝AN ，∴∠ABN ＝∠ANB ，∵AP ∥BE ，BP 平分∠ABE ，∴∠APB ＝∠PBE ＝∠ABP ，∠ABN+∠BAP ＝180°，∴AP ＝AB ，∴AP ＝AN ，∵∠ANB+∠ANE ＝180°，∴∠BAP ＝∠ANE ，∵∠DHE+∠ABE ＝180°，∠DHE+∠ABE+∠BDH+∠BEH ＝360°，∴∠BDH+∠BEH ＝180°，∵∠ADP+∠BDP ＝180°，∴∠ADP ＝∠AEN ，在△ADP 和△NEA 中，DAP ANE ADP AEN AP AN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△NEA （AAS ），∴DP ＝AE ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 5．（1）ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，如图1，其中90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD 、BE ，求证：ACD △≌BCE ．（2）ABC 和CDE △是两个含30°的直角三角形，中90ACB DCE ∠=∠=︒，∠=CAB CDE ∠30=︒，CD AC <，CDE △从边CD 与AC 重合开始绕点C 逆时针旋转一定角度()0180αα︒<<︒．①如图2，DE 与BC 交于点F ，交AB 于G ，连接AD ，若四边形ADEC 为平行四边形，求BG AG的值． ②若12AB =，当点D 落在AB 上时，求BE 的长．答案：A解析：（1）见解析；（2）①13BG AG =；②2212312cos 4sin 1ααα+- 【分析】（1）利用SAS 证明即可；（2）①连接CG ，根据平行四边形的性质推出//AD CE ，求出120ADE ∠=︒，得到90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，根据30CAB CDE ∠=∠=︒证得A 、D 、G 、C 四点共圆，从而得到90AGC ADC ∠=∠=︒，利用直角三角形中30度角的性质求出3AG CG =， 3CG BG =，即可求出答案；②先证明ACD △∽BCE ，由此推出∠DBE=90°，得到DBE 为直角三角形，设BE a =，则3AD a =，123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，利用30A ∠=︒得到3sin 302DH AD a =︒=，由ACD α∠=，得到3sin 2sin HD a CD αα==，由此求出cos30sin CD a DE α==︒，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，解方程求出a.【详解】 （1）∵ABC 和CDE △是两个等腰直角三角形，∴AC BC =，CD CE =，ACB DCE ∠=∠，∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB ，∴ACD BCE ∠=∠， 在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACD △≌BCE （SAS ）．（2）①连接CG ，如图所示，∵四边形ADEC 为平行四边形，∴//AD CE ，∴180ADE CED ∠+∠=︒，∵90903060CED CDE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴120ADE ∠=︒，∴90ADC ADE CDE ∠=∠-∠=︒，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴A 、D 、G 、C 四点共圆，∴90AGC ADC ∠=∠=︒，∵30CAB ∠=︒，∴12CG AC =，3AG CG =，30BCG ∠=︒， ∴3CG BG =，即33BG CG =， ∴13BG AG =；②∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACB DCB DCE DCB ∠-∠=∠-∠，∴ACD BCE ∠=∠，∵30CAB CDE ∠=∠=︒，∴3AC DC BC CE==，∴ACD △∽BCE ，∴CAD CBE ∠=∠，∴90DBE DBC CBE DBC CAD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴DBE 为直角三角形， 设BE a =，∴3AD a =，∴123BD a =-，过D 点作DH AC ⊥于H ，30A ∠=︒， 则3sin 302DH AD a =︒=， 又∵ACD α∠=，∴3sin 2sin HD a CD αα==， 又在Rt CDE △中，30∠=︒CDE ，∴cos30sin CD a DE α==︒， ∴在Rt BDE △中，由勾股定理得222DE BE BD =+，即()2222221231443243sin a a a a a a α=+-=++-，∴22142431440sin a a α⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 解得22576243576sin 28sin a αα±-=-， 即222243sin 241sin 8sin 2a ααα+-=- 2222243sin 24cos 123sin 12cos 8sin 24sin 1αααααα++==--， 故BE 的长为22123sin 12cos 4sin 1ααα+-.【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，旋转的性质，平行四边形的性质，四点共圆，含30度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，是一道较难的几何综合题.6．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2713【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB≌△AEC∴BD=EC，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F是BC的中点∆'，连接（3）当点P在△ABC内部，如图所示，将△ABP逆时针旋转120°，得到ACPPP'和PC∆'∵将△ABP旋转120°得到ACP∴∠PAP'=120°，AP='AP=2，BP=CP'=4∴PP'3∵∠AP C'=120°，∠AP P'=30°，∴∠PP C'=90°，∴()2223427+=．当点P在△ABC外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '=23， ∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+= ． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．7．如图，BC ⊥CA ，BC ＝CA ，DC ⊥CE ，DC ＝CE ，直线BD 与AE 交于点F ，交AC 于点G ，连接CF ．（1）求证：△ACE ≌△BCD ；（2）求证：BF ⊥AE ；（3）请判断∠CFE 与∠CAB 的大小关系并说明理由．答案：C解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE ＝∠CAB ，见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠ACB ＝∠DCE ＝90°，由角的和差得到∠BCD ＝∠ACE ，即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD ＝∠CAE ，根据对顶角的性质得到∠BGC ＝∠AGE ，由三角形的内角和即可得到结论；（3）过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，根据全等三角形的性质得到AE ＝BD ，S △ACE ＝S △BCD ，根据三角形的面积公式得到CH ＝CI ，于是得到CF 平分∠BFH ，推出△ABC 是等腰直角三角形，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵BC ⊥CA ，DC ⊥CE ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 与△ACE 中，BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ；（2）∵△BCD ≌△ACE ，∴∠CBD ＝∠CAE ，∵∠BGC ＝∠AGE ，∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，∴BF ⊥AE ；（3）∠CFE ＝∠CAB ，过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，∵△BCD ≌△ACE ，∴ACE BCD AE BD,S S ∆∆==，∴CH ＝CI ，∴CF 平分∠BFH ，∵BF ⊥AE ，∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠CFE ＝∠CAB ．【点睛】角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。

八下数学思维解法技巧培优小专题专题6 常见三角形的旋转模型题型一等边三角形的旋转【典例1】（2019•凤山县期中）如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC ＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．（1）求证：AD＝DE；（2）求∠DCE的度数；（3）若BD＝1，求AD，CD的长．【点拨】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出△ADE是等边三角形即可；（2）利用四边形的内角和即可求出结论；（3）先求出CD，再用勾股定理即可求出结论．【典例2】（2019•金湖县期末）问题背景：如图①设P是等边△ABC内一点，P A＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP'，易证：△APP'是等边三角形，△PBP'是直角三角形，所以∠APB＝∠APP'+∠BPP'＝150°．简单应用：（1）如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝3，PC＝2√2，则∠BPC＝°（2）如图3，在等边△ABC中，P为△ABC内一点，且P A＝5，PB＝12，∠APB＝150°，则PC＝．拓展廷伸：①如图4，∠ABC＝∠ADC＝90°，AB＝BC．求证：√2BD＝AD+DC．②若图4中的等腰直角△ABC与Rt△ADC在同侧如图5，若AD＝2，DC＝4，请直接写出BD的长．【点拨】简单应用：（1）先利用旋转得出BP'＝AP＝5，∠PCP'＝90°，CP'＝CP＝2√2，再根据勾股定理得出PP'=√2CP＝4，最后用勾股定理的逆定理得出△BPP'是以BP'为斜边的直角三角形，即可得出结论；（2）同（1）的方法得出∠APP'＝60°，进而得出∠BPP'＝∠APB﹣∠APP'＝90°，最后用勾股定理即可得出结论；拓展廷伸：①先利用旋转得出BD'＝BD，CD'＝AD，∠BCD'＝∠BAD，再判断出点D'在DC的延长线上，最后用勾股定理即可得出结论；②同①的方法即可得出结论．题型二等腰直角三角形的旋转【典例3】（2020•新宾县二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．（1）请求出旋转角的度数；（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．【点拨】（1）由旋转的性质可得△BCD'≌△ACE，可得BC＝AC，即可求旋转角的度数；（2）由全等三角形的性质可得∠DBC＝∠EAC，由直角三角形的性质可求∠AND＝90°，即可得AE⊥BD；（3）由勾股定理可求DE的长，再由勾股定理可求AE＝BD的长．题型三一般等腰三角形的旋转【典例4】（2019•武侯区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，连接AD，BE，延长BE交AD于点F．（1）求证：∠DEF＝∠ABF；（2）求证：F为AD的中点；（3）若AB＝8，AC＝10，且EC⊥BC，求EF的长．【点拨】（1）根据等角的余角相等证明即可．（2）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．利用全等三角形的性质证明即可．（3）如图1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延长线于M．想办法求出FM，EM即可．【典例5】（2019•汉川市期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO．BO．CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°．以点B为旋转中心，将△AOB 绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，连接OO′，求：（1）∠OBO′的度数；（2）OA+OB+OC的长．【点拨】（1）根据旋转的性质即可得出结论；（2）先判断△BOO′为等边三角形，所以OO′＝BO，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，再证明点C、O、O′、A′共线，从而得到A′C＝OC+OB+OA，然后利用勾股定理计算A′C即可．巩固练习1．（2019•北京）在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A 绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．2．（2019•西湖区校级月考）将Rt△ABC绕点直角顶点C逆时针旋转90°后得到△A'B'C，A'B'的延长线与AB交于点D，连接DC．①求证：AB⊥A'D；②求∠A'DC的度数．3．（2019•盐田区校级期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°．现有一块足够大的三角板，其直角顶点D是BC边上一点，AD平分∠BAC，两直角边分别交AB，AC于点E，F．（1）当DE⊥AB（如图1）时，判断四边形AEDF的形状，并说明理由．（2）将三角板绕点D旋转一定的角度（如图2），求证：AE+AF=√2AD．4．（2019•延庆县一模）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC＝EB，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞√2AD．（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．创新应用：（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC＝180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．5．（2019•和平区期末）已知，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，∠ABO＝30°，OB＝4．将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°．得到Rt△ODC．点A、B的对应点分别为点D，C．连接BC．（Ⅰ）如图①，OD的长＝，∠BOC的大小＝（度），∠OBC的大小＝（度）；（Ⅱ）动点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，动点M沿O→C→B路径匀速运动，动点N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时，运动停止．已知点M的运动速度为1.5个单位/秒，点N的运动速度为1个单位/秒，设运动时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．①如图②，当点M在边OC上运动，点N在边OB上运动时，过点N作NE⊥OC，垂足为点E，试用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②求当t为何值时，S取得最大值，并求出S的最大值（直接写出结果即可）．。

中考数学图形旋转难？用5个模型就能搞定旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。

旋转变换不改变图形的形状和大小通过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动同样大小的角度旋转变换前后的图形有下列性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等，(2)对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角;(3)对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角，对应线段的垂直平分线都经过旋转中心。

常见的几种模型旋转类型题目举例1、正三角形类型在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转60°，使得AB与AC重合。

经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP也为正三角形。

例1如图（1-1），设P是等边ΔABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.2、正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转90°，使得BA与BC重合。

经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP'为等腰直角三角形。

例2如图（2-1），P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3。

求正方形ABCD面积。

3、等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ΔABC中，∠C=90°,P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转90°，使得AC与BC重合。

经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP'CP为等腰直角三角形。

例3如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。

＝
，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．
变式练习
二、半角模型中旋转
例3.（1）正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ＝45°，证明： DQ+BP＝PQ； （2）在（1）题中，连接BD分别交AP、AQ于点M、N，求BM、MN、ND的数量关系．
证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°， 则AD与AB重合，得到△ABE，如图2， 则∠D＝∠ABE＝90°，∵∠ABP＝90°， ∴∠ABE+∠ABP＝180°∴点E、B、P共线， 由旋转知，∠EAQ＝∠BAD＝90°，AE＝AQ， BE＝DQ，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAE＝45°， ∴∠PAQ＝∠PAE， 在△APE和△APQ中
几何模型六：旋转模型
一、等线段共点类型
引例：如图，点P是等边△ABC内一点，且AP＝6，BP＝8，CP＝10；若将
△APC绕点A逆时针旋转后得△AP'B；
求：AP'＝ ，∠APB＝
度．
解：连接PP′，根据旋转的性质可知， 旋转角∠PAP′＝∠CAB＝60°，AP＝AP′， ∴△APP′为等边三角形， ∴AP′＝AP＝6； 由旋转的性质可知，BP′＝PC＝10， 在△BPP′中，PP′＝6，BP＝8， 由勾股定理的逆定理得，△BPP′是直角三角形， ∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝60°+90°＝150°．
∴△ABC≌△ADC′（SAS）， ∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′ 的面积， 所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝2
四、费马点
例5.△ABC中，∠ACB＝30°，BC＝6，AC＝5，在△ABC内部有一点P，连接 PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．

旋转模型-鸡爪模型【内容介绍】本次资料主要包含数学科目，重点指导学生了解旋转模型相关知识，掌握不同旋转模型的解题方法；主要是通过要点梳理，帮助大家综合掌握鸡爪模型的含义和解题方法，再通过典型例题的分析，帮助大家了解常考题型. 建议大家深入学习掌握要点梳理，认真研读例题，并在日常学习中注重练习，实现对学习目标的综合把握.【要点梳理】如图所示，共顶点的三条线段形成的模型，因为长得特别像我们的鸡爪，所以叫做“鸡爪模型”.【解题思路】“鸡爪模型”的解题思路主要是通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我们想要的结论的目的. 对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等. 对于“鸡爪模型”我们主要采用旋转的方法进行变换.对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似. 主要讲“鸡爪模型”之旋转全等类型.那么，什么情况下可以利用旋转全等呢？如图：条件：①一组相等的线段(一组手)，并且夹角固定②第三条手处理方式：1.将第三条线段以固定角旋转（顺时针逆时针都可）2.左手拉左手，右手拉右【图形演示如下】因此，告诉我们三条手，以及角度，我们就能够确定第四条手解题模板：1.明确鸡爪位置，找到两条相等线段，明确它们的夹角2.再找第三条手，根据夹角相等，旋转变换出第四条手3.左手拉左手，右手拉右手，构造全等三角形好啦，我们来处理下刚刚的例题【例题精讲】例1：如图，点P在正△ABC中，∠APB=150°，求证PA²+PB²=PC²第一步：AB=BC，且∠ABC=60°第二步：将BP绕着点B逆时针旋转60°第三步：左手拉左手，右手拉右手，构造全手拉手全等三角形因此，我们根据△ABP'≌△CBP，可知，我们已经把，PB和PC转化了出来.当然，这里还有一个关键步骤，连接PP'.解析：将BP绕着点B逆时针旋转60°，得到BP'连接AP'，BP'，PP'.易知：△ABP'≌△CBP∴P'A=PC又∵∠PBP'=60°，BP=BP'∴△BPP'为等边三角形∴PB=PP'又∵∠APB=150°∴∠APP'=90°∴△APP'为直角三角形∴PA2+PP'2= P'A2又∵PB=PP'，P'A=PC∴PA²+PB²=PC²点评：由于△ABC是等边三角形，因此“鸡爪”有很多，一共有三个“鸡爪”，再加上顺逆时针，旋转的方式有很多.一共有六种方法，因此，在这里再补充一下全等型“旋转六法”【绕点A】【绕点B】【绕点C】因为该变换涉及到三角形的三个顶点以及顺逆时针的情况，合起来一共有六种旋转方法，因此叫做全等型“旋转六法”例2：如图，在等边△ABC内有一点P，PA=2，PB=√3，PC=1.求∠BPC 的度数的大小和等边△ABC的边长分析：方法和例1类似，先找“鸡爪”，然后在旋转，构造手拉手，聚合条件解析：如图，将PC绕着点 C顺时针旋转60°得到线段P’C，连接P’A，P’B. 易知△BPC≌△A P’C.∴P’A =PB，又∵∠PCP’=60°，∴△P P’C为等边三角形∴PC=PP’=P’C=1∴在△AP P’中，P’A2+PP’ 2=PA2△AP P’为直角三角形，故∠AP P’=90°，∠AP’C=∠BPC=150°易知∠APB=90°，即AB2=PA 2+PB2故AB=√7当然，我们把上面的例题进行一定的变形看看变式1: 如图，点P在△ABC外，∠APC=30°，求证：PB²=PA²+PC².分析：AB，AC，AP构成我们的“鸡爪”，夹角为60°，因此将AP绕着点A 逆时针旋转60°即可.变式2：如图，点P在等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠APB=135°，求证2PA²+PB²=PC².分析：这里出现了一个2，感觉和前面的有点不太一样. 没事，我们先找“鸡爪模型”试试我们发现利用“鸡爪模型”处理之后可以导出一些结论变式3:如右图，点P在等腰Rt△ABC外，∠APC=45°，求证2PA²+PC²=PB².分析：这里跟前面的类型一样，我们先找“鸡爪模型”试试变式4:如右图，点P在等腰Rt△ABC外斜边BC上，求证2PA²=PC²+PB².型分析：根据题目的条件分析可知，里面含有“鸡爪模型”，这里面BP可以看成第三只鸡爪，由此再去找地四只鸡爪，因此我们按照前面所讲的方法进行处理【总结】本节主要讲解了利用全等型“鸡爪模型”，构造手拉手全等. 其实，最终的目的是起到转移线段，聚合条件的目的.全等型“鸡爪模型”解题主要抓住以下几个步骤：1.明确鸡爪位置，找到两条相等线段，明确它们的夹角2.再找第三条手，根据夹角相等，旋转变换出第四条手3.左手拉左手，右手拉右手，构造全等三角形。

初中数学旋转的六大模型,初中几何旋转经典例题标题：初中数学旋转的六创作者，初中几何旋转经典例题在初中的数学学习中，旋转是一个重要的概念，它不仅在几何学中占据着核心地位，还在代数学、统计学等其他领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍初中数学旋转的六创作者，并通过经典例题来深化理解。

旋转是指一个图形绕着某一点转动一定的角度。

在这个过程中，图形上任意一点所经过的路径形成一个圆，这个圆叫做旋转圆，点叫做旋转中心。

旋转的角度一般用角度或者弧度来表示。

中心对称旋转：图形以旋转中心为对称中心，旋转角度为偶数倍的180度。

绕固定点旋转：图形围绕一个固定点旋转，这个固定点称为旋转中心。

旋转对称图形：图形可以通过旋转得到，这种图形称为旋转对称图形。

旋转角相等：如果两个图形可以通过旋转互相得到，那么它们的旋转角必然相等。

旋转角互补：如果两个图形的一条边和另一条边的延长线组成一个平角，那么这两个图形的旋转角互补。

旋转改变形状：旋转可以改变图形的形状，但不会改变图形的面积。

例1：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是AC上一点，且CF=2AF。

求证：EF平分∠AEB。

证明：我们可以通过旋转证明。

把△ABE绕B点按逆时针方向旋转60°，得到△CBG，则BG//AE，所以∠FGB=∠FEA。

因为CF=2AF，所以FG=2FE。

所以可以得出∠FEB=∠FGB+∠GBF=∠FEA+∠AEB+∠ABE=∠FEA+∠AEB+∠EAB=180°即∠FEA+∠AEB=180°-∠EAB=∠BEF所以∠BEF = ∠FEA即 EF平分∠AEB。

例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E、F分别在AC和BC上，且DE⊥DF。

求证：EF^2=AE^2+BF^2。

证明：把Rt△ABC绕D点按顺时针方向旋转90°得到Rt△AB’C’，则可知：△ABC≌△AB’C’，所以可知DE=DF，因为DE⊥DF，所以可知四边形DECF’是正方形。

旋转模型：Y 型旋转模型I ：等边三角形的“Y ”字型旋转内“Y ”线“Y ”外“Y ”模型II ：等腰直角三角形的“Y ”字型旋转内“Y ”线“Y ”外“Y ”P费马点概念：在一个三角形内找一个点，使得这个点到三角形三个点的距离和最小，这个点称为三角形中的费马点． 【典例规范】请写出思路和简要过程：例1（1）如图2-1，P 是等边ABC △内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC △的边长和∠APC ．（2）如图2-2，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？（3）如图2-3，ABD △是等边三角形，在ABC △中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？AB C PABPCAC BD图2-1 图2-2 图2-3例2（1）如图3-1，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =PB 1PC =．求BPC ∠度数的大小和正方形ABCD 的边长．（2）如图3-2，已知在ABC △中，AB AC =，90BAC =︒∠，点D 是BC 上的任意一点，探究：BD ，CD 与AD 的关系，并证明你的结论．（3）如图3-3，四边形ABCD 被对角线BD 分为等腰直角ABD △和直角CBD △，其中A ∠和C ∠都是直角，另一条对角线AC 的长度为2，求四边形ABCD 的面积．ABD AB C D图3-1 图3-2 图3-3PDC BA例3如果△ABC 的三个内角均小于120°,是否存在一点P ，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和（即PA+PB+PC ）为最小,如果存在，请写出点P 的具体位置。

A BC P【举一反三自主练习】请写出思路和简要过程：1. (1) 如图，P 是等边ABC △内部一点 ，PC =1，PA =√3，PB =2，求∠APC 和∠BPC 和∠APC ． (2) 如图，P 是等边ABC △内部一点 ，PC =1，PA =1，PB =√2，求∠BPC ．（3）如图，在等边ABC △中，P 为BC 边上一点，则以AP 、BP 、CP 为边组成的新三角形的最大内角为θ，则θ为多少度？AB C PABC PABPC2.（1）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠BPC=120°，PC=2，PB=4．求PA 的长.（2）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等腰三角形且∠BAC=120°．∠BPC=60°，PC=4，PB=2．求PA 的长.（3）如图，四边形ABCD 中，AP ，BC 是对角线，△ADC 是等腰直角三角形且∠BDC=90°，∠BAC=90°，AB=4，AC=2．求AD 的长.（4）如图，四边形ABCD 中，AP ，BC 是对角线，△ADC 是等腰直角三角形且∠BDC=90°，∠BAC=90°，AB=4，AC=2．求AD 的长.（5）如图，四边形ABPC 中，AP ，BC 是对角线，△ABC 是等边三角形．∠BPC=30°，PC=3，PB=4．求PA 的长.3.（1）如图，正方形ABCD 的对角线交于点O ，以AD 为边向外作Rt ADE △，90AED ∠=︒，连接OE ，6DE =，OE =求AE 的长= ． （2）如图，以Rt ABC △的斜边BC 为一边在ABC △同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O ，连接AO ，如果4AB =，AO =AC 的长=．（3）如图，ABC △为等边三角形，以AB 为对角线作矩形ADBE ，点E 在ABC △内部，连接EC ，若150BEC =︒∠，1EC =，则ABC △的边长为____ ___．（4）已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当45APB ∠=︒时，求AB = ，PD 的长= ．AEB CD OB FC AOEPDABC4.背景资料：在已知△ABC 所在平面上求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”． 如图①，当△ABC 三个内角均小于120°时，费马点P 在△ABC 内部，此时∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，此时，P A +PB +PC 的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC 内有一点P ，若点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP 绕顶点A 旋转到△ACP ′处，此时△ACP ′≌△ABP ，这样就可以利用旋转变换，将三条线段P A ，PB ，PC 转化到一个三角形中，从而求出∠APB =（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，∠ABC =30°，点P 为Rt △ABC 的费马点，连接AP ，BP ，CP ，求P A +PB +PC 的值．拓展应用（3）①如图④，△ABC 三个内角均小于120°，在△ABC 外侧作等边三角形ACB '，连接BB '.求证：BB '过△ABC 的费马点P ，且BB '=P A +PB +PC .②已知三村庄A ，B ，C 构成了如图⑤所示的△ABC （其中∠A ，∠C 均小于120°），AB =3 km ，BC =4 km ，∠B =30°，现选取一点P 打水井，使水井P 到三村庄A ，B ，C 所铺设的输水管总长度最小. 求输水管总长度的最小值.5.如图，四边形ABCD 是正方形，ABE △是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：AMB ENB △≌△；（2）①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； （3）当AM BM CM ++1+时，求正方形的边长．ENM BCDA。

旋转模型经典题型
哎呀呀，“旋转模型经典题型有这么难吗？”我皱着眉头自言自语道。

今天上数学课的时候，老师讲了旋转模型的一些经典题型。

下课后，我和我的好朋友小明、小红聚在一起讨论。

我看着他们俩说：“这旋转模型可真让人头疼啊！”小明立马接话：“就是呀，那些图形转来转去的，都快把我转晕啦！”小红则若有所思地说：“可是我觉得挺有趣的呀，就像在玩一个智力游戏。

”我瞪大眼睛看着她：“有趣？你可别开玩笑啦！”
我们三个就这么你一言我一语地讨论着。

我拿起一支笔在纸上画着那些图形，嘴里还嘟囔着：“这个怎么转，那个又该怎么变呢？”小明凑过来看了看说：“哎呀，你这样画不对啦，应该这样……”他一边说一边在纸上比划着。

我有点不服气地说：“哼，那你说该咋整嘛！”
这时候，小红笑着说：“哎呀，你们俩别争啦，我们一起来好好研究研究嘛。

”于是，我们又开始认真地分析起那些题目来。

“哇，原来这个图形这样旋转之后会变成这样啊！”我突然恍然大悟。

小明也兴奋地说：“哈哈，我也明白了！”小红笑着说：“看吧，只要我们一起努力，就没有解决不了的难题呀！”
我想了想，是啊，虽然旋转模型的题目一开始让我觉得很苦恼，但是通过和朋友们一起讨论、研究，我们还是找到了方法呀。

这不就像我们的生活一样吗？有时候会遇到一些困难，感觉很难跨越，但是只要我们勇敢面对，和朋友们一起齐心协力，就一定能够战胜困难，找到解决问题的办法。

所以呀，遇到难题不要怕，就像面对旋转模型经典题型一样，我们要勇敢地去挑战，去探索，终究会迎来成功的那一刻！
原创不易，请尊重原创，谢谢!。

考点五：角含半角、等腰三角形的(绕顶点)旋转重合法核心母题如图，在正方形ABCW, E、F分别是BG CD&上的点，Z EAF=45，求证：EF=BE+DF.K专墨蚯明题.［分析如图，作漏助线，首先证明△ME竺AAFG,进而f旱到质"街司题即可钢决.【第吾ME明：・：gu，A ZBAE=ZJAG»■/ ZBAD=90fl, ZEAf=45s,•■•EBAE+NBAFKS，,/■^EAF=JrAG?・,■£ ADCNB二日顷，/. ^FIG=190*，点F、D、G共绣，上把M耽舞点鱼时针祢转汕至AAM，可使雄与M重合，如图：/. AAfE^AAFij (SAS),-*- EF=JG,即：EF=BE+DTt点律麝置正方形的性质、全等三角形的判定及其性所为核心构诰而成m策酬关健是作辅助簸，构造全等三角形.变式一：如图，E、F分别是边长为1的正方形ABCD勺边BG CD上的点，若△ ECF的周长是2,求Z EAF的度数?在AA 也和中CD 边上的点 如图，在正方形 ABCD 户求证：AG=AB. EAF=45 , AC^ EF,［点评期题者查了全等三鬲形的判定，考察了全等三鬲形时应角相等的性而，本题中求证AATEMAAF}!是解题的美裾・【分析11长CD 至m 使得DH=BEi 连接AH,得出△站E 堂四AUK ，可得州云已即可证®AAF E竺AAJH,可itZEXF = ZH^F J 据上也E =』珀即可爆新一CBfrCr+EB=2ji BC+CD=2?EF 二BE 十FD,AAJH 是ZiABE 逆时针送转如度'形成「AABE^AIDH,ZDAK=ZEKE J M2，BE=DH,yH=QF+DM=EF+BE=EF s ZHAE-ZBAD = 90EETH - A ~AAFZSAkFH ： (SSS ；ZEkF-rlHAFi ZHA.E-900 , £EAF = 4S 。

几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩等腰三角形手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形）等边三角形（包含费马点）特殊角旋转变换对角互补模型一般角特殊角角含半角模型一般角等线段变换（与圆相关）【练1】在ABC△中，AB AC=，BACα∠=（060α︒<<︒），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出ABD∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE∠=︒∠=︒，，判断ABE△的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若45DEC∠=︒，求α的值．真题演练知识关联图专题3：手拉手模型：全等和相似包含：等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来（1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）（2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）（3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）（4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）1．等边三角形共顶点等边△ABC 与等边△DCE ，B 、C 、E 三点共线．连结BD 、AE 交于点F ，BD 交AC 于点G ，AE 交DC 于点H ，连结CF 、GH ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ；（3）∠AFB ＝∠DFE ＝60°； （4）FC 平分∠BFE ；（5）BF ＝AF ＋FC ，EF ＝DF ＋FC ； （6）△CGH 为等边三角形H GF ED CBA例题精讲2．等腰直角三角形共顶点等腰Rt △ABC 与等腰Rt △DCE 中，∠ACB ＝∠DCE ＝90°．如图1，连结BD 、AE 交于点F ，连结FC 、AD 、BE ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）AE ⊥BD ； （4）FC 平分∠BFE ； （5）AB 2＋DE 2＝AD 2＋BE 2（6）BF ＝AFFC ，EF ＝DFFC ；（7）如图2，若G 、I 分别为BE 、AD 的中点，则GC ⊥AD 、IC ⊥BE （反之亦然）； （8）S △ACD ＝S △BCE3．等腰三角形共顶点等腰△ACB 与等腰△DCE 中，AC ＝BC ，DC ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ．连结BD ，AE 交于点F ，则： （1）△BCD ≌△ACE ； （2）AE ＝BD ； （3）∠AFB ＝∠ACB ； （4）FC 平分∠BFE ． 4．相似三角形共顶点 △ACB 与△ECD 中，AC BCEC DC，∠ACB ＝∠EC D ．连结BD ，AE 交于点F ，则： （1）△BCD ∽△ACE ； （2）∠AFB ＝∠AC B ．图1ABCD EFJI图2ABCD EGHFEDBAGA BC DEF进阶训练1.已知四边形和四边形都是正方形 ，且．（1）如图，连接、．求证：； （2）如图，如果正方形，将正方形绕着点旋转到某一位置时恰好使得，．①求的度数；②请直接写出正方形的边长的值．2．四边形ABCD 是正方形，BEF ∆是等腰直角三角形，90BEF ∠=︒，BE EF =，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG ，CG ，EC 。

初中数学旋转的六大模型题旋转是数学中的一个重要概念，也是初中数学中经常会遇到的一个题型。

通过旋转，我们可以改变图形的朝向和位置，从而帮助我们更好地理解几何形状和解决问题。

下面是初中数学中常见的六大旋转模型题，帮助学生更好地理解旋转的概念和运用。

1. 点的旋转：题目给出一个点的坐标和旋转角度，要求求出旋转后的点的坐标。

这种题目可以帮助学生理解点的旋转规律和计算方法。

2. 图形的旋转：题目给出一个图形的坐标或者边长，要求将图形按照给定的角度进行旋转，然后求出旋转后的图形的坐标或者边长。

这种题目可以帮助学生理解图形的旋转规律和变化。

3. 对称图形的旋转：题目给出一个对称图形和旋转角度，要求求出旋转后的图形。

这种题目可以帮助学生理解对称图形的旋转规律和变化。

4. 旋转体的表面积和体积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体的表面积和体积。

这种题目可以帮助学生理解旋转体的形成过程和计算方法。

5. 旋转体的截面图形：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一截面上的图形。

这种题目可以帮助学生理解旋转体的截面变化和图形特征。

6. 旋转体的切面面积：题目给出一个旋转体的形状和旋转轴的位置，要求求出旋转体在某一位置上的切面面积。

这种题目可以帮助学生应用切线和面积计算，理解旋转体的切面特征。

通过这六大旋转模型题，学生可以更好地掌握旋转的概念和运用，提高解决数学问题的能力。

在解题过程中，学生需要善于利用旋转的几何性质和计算方法，灵活运用数学知识，加深对数学的理解和认识。

同时，这些题目也能够培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高解决问题的能力和思维水平。

数学提高题专题复习全等三角形压轴几何题练习题及答案一、全等三角形旋转模型1．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．答案：C解析：（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120º，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．2．ABC △和ADE 都是等腰直角三角形，CE 与BD 相交于点,M BD 交AC 于点,N CE 交AD 于点H .试确定线段BD CE 、的关系.并说明理由.解析：BD CE ⊥且BD CE =【分析】由已知条件可证明BAD CAE ≅△△，再根据全等三角形的性质，得到BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠，在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒，又AHE MHD ∠=∠，可得：90HMD ∠=︒，即可证明BD CE ⊥且BD CE =.【详解】解： ABC 和ADE 是直角三角形BAC DAE ∴∠=∠AB AC =AD AE =则BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠即BAD CAE ∠=∠在BAD 与CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩S )AS BAD CAE ∴≅（△△BD CE ∴= ADB AEC ∠=∠在AEH △中90AEC AHE ∠+∠=︒又AHE MHD ∠=∠90ADB MHD ∴∠+∠=︒则MHD 中90HMD ∠=︒，即，BD CE ⊥，综上所述，BD CE ⊥且BD CE =.【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法和性质定理和等腰直角三角形的性质，从复杂的图形中找到全等三角形和“8”字形三角形是解题的关键.3．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．解析：（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492． 【分析】（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．【详解】解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，//PN BD ∴，12PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =， AB AC =，AD AE =，BD CE ∴=，PM PN ∴=，//PN BD ，DPN ADC ∴∠=∠，//PM CE ，DPM DCA ∴∠=∠，90BAC ∠=︒，90ADC ACD ∴∠+∠=︒，90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，PM PN ∴⊥，故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；（2）PMN ∆是等腰直角三角形．由旋转知，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12PM CE =， PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，同（1）的方法得，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，同（1）的方法得，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形；（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，MN ∴最大AM AN =+，连接AM ，AN ，在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，22AM ∴=在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =22522MN ∴=最大，222111149(72)22242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大． 方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在BA 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．4．（1）问题感知 如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝BC ，点P 是边AC 的中点，连接BP ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．连接AD ．过点P 作PE ∥AB 交BC 于点E ，则图中与△BEP 全等的三角形是 ，∠BAD ＝ °；（2）问题拓展 如图2，在△ABC 中，AC ＝BC ＝43AB ，点P 是CA 延长线上一点，连接BP ，将线段PB 绕点P 顺时针旋转到线段PD ，使得∠BPD ＝∠C ，连接AD ，则线段CP 与AD 之间存在的数量关系为CP ＝43AD ，请给予证明； （3）问题解决 如图3，在△ABC 中，AC ＝BC ＝AB ＝2，点P 在直线AC 上，且∠APB ＝30°，将线段PB 绕点P 顺时针旋转60°到线段PD ，连接AD ，请直接写出△ADP 的周长．答案：A解析：（1）△PAD ，90；（2）证明见解析；（3）623+．【分析】（1）由“SAS”可证△PAD ≌△BEP ，可得∠PAD=∠BEP=135°，依据∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；（2）过点P 作PH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，由“SAS”可证△APD ≌△HBP ，可得PH=AD ，通过证明△CAB ∽△CPH ，可得HAC AB CP P =，即可得结论； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解．【详解】证明：（1）∵点P 是边AC 的中点，PE ∥AB ，∴点E 是BC 的中点，∴CE ＝BE ，∵AC ＝BC ，∴BE ＝AP ，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．∴PB ＝PD ，∵∠APD+∠BPC ＝90°，∠EBP +∠BPC ＝90°，∴∠EBP ＝∠APD ，又∵PB ＝PD ，∴△PAD ≌△BEP （SAS ），∴∠PAD ＝∠BEP ，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠BAC ＝∠ABC ＝45°，∵PE ∥AB ，∴∠ABC ＝∠PEC ＝45°，∴∠BEP ＝135°，∴∠BAD ＝∠PAD ﹣∠BAC ＝135°﹣45°＝90°，故答案为：△PAD ，90；（2）如图，过点P 作PH ∥AB ，交CB 的延长线于点H ，∴∠CBA ＝∠CHP ，∠CAB ＝∠CPH ，∵CB ＝CA ，∴∠CBA ＝∠CAB ，∴∠CHP ＝∠CPH ，∴CH ＝CP ，∴BH ＝AP ，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°到线段PD ．∴PB ＝PD ，∵∠BPD ＝∠C ，∴∠BPD+∠BPC ＝∠C+∠BPC ，∴∠PBH ＝∠APD ，∴△APD ≌△HBP （SAS ），∴PH ＝AD ，∵PH ∥AB ，∴△CAB ∽△CPH ， ∴HAC PC AB P = ∴HAC AB CP P = ∵AC ＝BC ＝43AB ， ∴43CP PH =， ∴CP ＝43PH ＝43AD ； （3）当点P 在CA 的延长线上时，∵AC ＝BC ＝AB ＝2，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，∵将线段PB 绕点P 顺时针旋转60°到线段PD ，∴BP ＝PD ，∠BPD ＝60°＝∠ACB ，过点P 作PE ∥AB ，交CB 的延长线于点E ，∵∠ACB ＝∠APB+∠ABP ，∴∠ABP ＝∠APB ＝30°，∴AB ＝AP ＝2，∴CP ＝4，∵AB ∥PE ， ∴P AB PE CA C = ∴CP ＝PE ＝4，由（2）得，PE ＝AD ＝4，∵∠APD ＝∠APB+BPD ＝90°，∴DP ＝2216423AD DP -=-=，∴△ADP 的周长＝AD+AP+DP ＝23+6，当点P 在AC 延长线上时，如图，同理可求△ADP 的周长＝6+23综上所述：△ADP 的周长为6+23【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算． 5．△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形，∠CDE ＝∠AOB ＝90°，DC ＝DE ＝1，OA ＝OB ＝a（a＞1）．（1）将△CDE的顶点D与点O重合，连接AE，BC，取线段BC的中点M，连接OM．①如图1，若CD，DE分别与OA，OB边重合，则线段OM与AE有怎样的数量关系？请直接写出你的结果；②如图2，若CD在△AOB内部，请你在图2中画出完整图形，判断OM与AE之间的数量关系是否有变化？写出你的猜想，并加以证明；③将△CDE绕点O任意转动，写出OM的取值范围（用含a式子表示）；（2）是否存在边长最大的△AOB，使△CDE的三个顶点分别在△AOB的三条边上（都不与顶点重合）？如果存在，请你画出此时的图形，并求出边长a的值；如果不存在，请说明理由．答案：A解析：（1）①OM＝12AE；②OM＝12AE，证明详见解析；③12a-≤OM≤12a+；（2）5【分析】（1）①利用△CDE≌△AOB得出BC＝AE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．②作辅助线，利用△COF≌△EOA及三角形中位线得出OM＝12 AE．③分两种情况，当OC与OB重合时OM最大，当OC在BO的延长线上时OM最小，据此求出OM的取值范围．（2）分两种情况：当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．由DM+OM≥OF求出直角边a的最大值；当顶点D在直角边AO上时，点C，点E分别在OB，AB上时，利用△EHD≌△DOC，得出OD＝EH，在Rt△DHE中，运用勾股定理ED2＝DH2+EH2，得出方程，由△判定出a的最大值．【详解】解：（1）①∵△CDE和△AOB是两个等腰直角三角形，∴CD＝ED，AO＝B0，∠CDE＝∠AOB，在△CDE和△AOB中，CD ED CDE AOB AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CDE ≌△AOB （SAS ），∴BC ＝AE∵M 为BC 中点，∴OM ＝12BC ， ∴OM ＝12AE ． ②猜想：OM ＝12AE ． 证明：如图2，延长BO 到F ，使OF ＝OB ，连接CF ，∵M 为BC 中点，∴OM ＝12CF ， ∵△CDE 和△AOB 是两个等腰直角三角形， ∴CD ＝ED ，AO ＝BO ＝OF ，∠CDE ＝∠AOB ， ∵∠AOC +∠COB ＝∠BOE +∠COB ＝90°， ∴∠AOC ＝∠BOE ，∠FOC ＝∠AOE ，在△COF 和△EOA 中，CD ED FOC AOE OF AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△COF ≌△EOA ，∴CF ＝AE ，∴OM ＝12AE ．③Ⅰ、如图3，当OC与OB重合时，OM最大，OM＝11122 a a-++=Ⅱ、如图4，当OC在BO的延长线上时，OM最小，OM＝12a+﹣1＝12a-，所以12a-≤OM≤12a+，（2）解：根据△CDE的对称性，只需分两种情况：①如图5，当顶点D在斜边AB上时，设点C，点E分别在OB，OA上．作OF⊥AB于点F，取CE的中点M，连接OD，MD，OM．∵△AOB和△CDE是等腰直角三角形，∠AOB＝∠CDE＝90°，OA＝OB＝a（a＞1），DC＝DE＝1，∴AB ＝2a ，OF ＝12AB ＝22a ， ∴CE ＝2，DM ＝12CE ＝22， 在RT △COE 中，OM ＝12CE ＝22， 在RT △DOM 中，DM +OM ≥OD ，又∵OD ≥OF ， ∵DM +OM ≥OF ，即22+22≥22a ， ∴a ≤2，∴直角边a 的最大值为2．②如图6，当顶点D 在直角边AO 上时，点C ，点E 分别在OB ，AB 上，作EH ⊥AO 于点H ． ∵∠AOB ＝∠CDE ＝∠DHE ＝90°，∵∠HED +∠EDH ＝∠CDO +∠EDH ＝90°，∴∠HED ＝∠CDO ，∵DC ＝DE ，在△EHD 和△DOC 中，EHD COD HED CDO DE DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EHD ≌△DOC （AAS ）设OD ＝x ，∴OD ＝EH ＝AH ＝x ，DH ＝a ﹣2x ，在Rt △DHE 中，ED 2＝DH 2+EH 2，∴1＝x 2+（a ﹣2x ）2，整理得，5x 2﹣4ax +a 2﹣1＝0，∵x 是实数，∴△＝（4a ）2﹣4×5×（a 2﹣1）＝20﹣4a 2≥0，∴a 2≤5，∴a 2的最大值为5，∴a的最大值为5．综上所述，a的最大值为5．【点睛】本题主要考查了几何变换综合题及三角形全等的判定和性质，解题的关键是在取最大值时，对三角形的位置进行讨论分别求值．6．已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出线段BD与CF的数量关系：；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系：；②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．答案：B解析：（1）BD=CF；（2）221；（3）①CD=CF+BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF=CD+BC，然后求出答案；（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF，又点D、B、C共线，故：CD=BC+CF；②由（1）猜想并证明BD⊥CF，从而可知△FCD为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC三边的特点，再进一步判定其形状．【详解】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD=CF ，（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；∴BD=CF ，∴CF=BC+CD ，∵AC=AB=2，CD=1，∴BC ==∴CF=1；（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：BD=CF ，即：CD=BC+CF②△AOC 是等腰三角形理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，又∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=45°，则∠ABD=180°-45°=135°，∴∠ABD=∠FCA=135°∴∠DCF=135°-45°=90°∴△FCD 为直角三角形．又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，∴OC=12DF ， ∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．7．综合与探究问题情境在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是射线BC 上一动点，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接DE ，CE ．探究发现（1）如图1，BD ＝CE ，BD ⊥CE ，请证明；探究猜想；（2）如图2，当BD ＝2DC 时，猜想AD 与BC 之间的数量关系，并说明理由； 探究拓广（3）当点D 在BC 的延长线上时，探究并直接写出线段BD ，DC ，AD 之间的数量关系． 答案：B解析：（1）证明见解析；（2）10AD BC =，理由见解析；（3）2222BD CD AD +=．【分析】（1）根据题意计算得∠BAD =∠CAE ；再根据旋转的性质，通过证明△BAD ≌△CAE ，从而完成求解；（2）结合（1）的结论，通过△BAD ≌△CAE ，得CE ；通过勾股定理，得2DE =；再通过勾股定理计算，记得得到答案；（3）过点A 作AM BC ⊥交BC 于点M ；根据等腰三角形三线合一的性质，得BM CM =，再根据直角三角形斜边中线的性质，得12AM BM CM BC ===；根据勾股定理的性质，通过计算，即可得到线段BD ，DC ，AD 之间的数量关系．【详解】（1）由题意得，∠BAC =∠DAE =90°∵∠BAD +∠CAD =∠CAE +∠CAD∴∠BAD =∠CAE∵线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE∴AD=AE又∵AB=AC ，∴△BAD ≌△CAE∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45°∴∠ECD =90°，BD ⊥CE ．（2）由（1）得：△BAD ≌△CAE∴BD=CE ，∠B =∠ACE =45° ∵13CD BC =，BD ＝2DC ，即23BD BC =,∴23BD CE BC ==， ∵AD=AE ∴222DE AD AE AD =+=∴∠B =∠ACB =45° ∴∠BCE =∠ACB+∠ACE =90°∴CD 2+CE 2=DE 2，即22212()()233BC BC AD +=，∴106AD BC =； （3）如图，过点A 作AM BC ⊥交BC 于点M∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC∴12BM CM BC == ∴12AM BM CM BC ===∴()1122AM BC BD CD ==-，()1122DM CM CD BC CD BD CD =+=+=+ ∵222AM DM AD += ∴()()2221122BD CD BD CD AD ⎡⎤⎡⎤-++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴2222BD CD AD +=．【点睛】本题考查了旋转、等腰直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握旋转、等腰三角形三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．8．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空： ①AE BF的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________； （2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出AE BF的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积． 答案：G解析：（1）1；60°；（2）3AE BF =∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；（2）根据题目已知条件可以计算出3BC =，同理可以证得3CF CE =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF∴∠ACE =∠BCF∴△ACE ≌△BCF∴A E =BF ，即1AE BF= ②∵△ACE ≌△BCF∴∠EAC =∠CBF由①可知△ABC 是等边三角形∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD∴∠CAE =∠CBF =30°∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°（2）3AE BF =，理由如下： ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC∴∠ABD =30°=∠ACB∴BD AB AC CD === ∴BC =同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =∴BC CF AC CE=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF∴∠CAE =∠CBF∴3AE AC BF BC == ∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，∴∠CAE =∠CBF =60°又∵∠BDG =90°∴∠G =30°（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时 ∵AB AC ==∠BAC =90°，AD ⊥BC∴sin 4562BC AD BD CD AB =====∠DAC =45° ∵∠ACE =15° ∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60° ∴2tan 60DC DE ==∴AE AD DE =-=BC CF AC CE==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，∴∠CAE =∠CBF =45°∴△ACE ∽△BCF∴2BF BC AE AC == ∴()262232BF =-=- ∵∠ADC =∠BDG∴∠G =∠ACB =45° ∴223BG BD ==∴2FG BG BF =-=过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90° ∴=6DG BD CD ==∴232DM DG == ∴132DFG S FG DM ==△ 第二种情况：当E 在DA 的延长线上时过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，同上可证2BF BC AE AC==，6BG BD ==，3DM =∵∠ACE =15°，∠DAC =45°∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ，6CD =∴32tan 30DC DE ==∴=6DG BD CD ==326AE DE AD =-=∴2623FB AE ==-∴6FG BF BG =+=1332DFG S FG DM ==△故答案为：3或33．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．9．回答下列问题：（1）（发现）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且4BC =，2AB =．填空：线段AC 的最大值为 ．图1（2）（应用）点A 为线段BC 外一动点，且3BC =，2AB =，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等腰直角ABD △和等腰直角ACE ，连接CD ，BE ．图2①证明：BE DC =．②求线段BE 的最大值．（3）（拓展）如图3，在平面直角坐标系中，直线l ；4y x =+与坐标轴交于点A 、B 两点，点C 为线段AB 外一动点，且2CB =，以AC 为边作等边ACD △，连接BD ，求线段BD 长的最大值并直接写出此时点C 的横坐标．图3答案：A解析：（1）6（2）①证明见解析． ②322+（3）422；262或 262【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论；(2) ①由“SAS” 可证△DAC ≌△BAE ，可得BE=DC ；②由于线段长BE 的最大值=线段DC 的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果，(3)以BC 为边作等边三角形BCE ，可以证明△ACE ≌△DCB(SAS) ，从而得到BD=AE ，BE=BC ，由AE≤AB+BE ，当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值，当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时，过C 作CH ⊥y 轴于H ，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，求出CH 的长度，即可求出点C 的横坐标，②当C 在直线AB 的下方时，按同①的方法也可以求出点C 的横坐标．【详解】（1）当A 在选段BC 的延长线上时， max 6AC AB BC =+=．（2）①∵等腰直角AEC 与等腰直角三角形ABD ，∴AD AB =，AE AC =，90DAB EAC ∠=∠=︒，∴DAB BAC EAC BAC ∠+∠=∠+∠，∴DAC EAB ∠=∠，在DAC △和BAE 中，DA BA DAC BAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS DAC BAE ≌△△， ∴BE CD =．②由①可知，BE DC =，∵线段BE 的最大值即线段DC 的最大值．在等腰直角ABD △中，222BD AB ==，∵CD BC BD ≤+，∴当点D 在CB 的延长线上时， CD 取得最大值为322+．∴线段BE 的最大值为322+．（3）如图，以BC 为边作等边三角形BCE ，则BC CE =，60BCE ∠=︒．∵60ACD ∠=︒，∴ACD ECD BCE ECD ∠-∠=∠-∠，∴ACE DCB ∠=∠．在ACE 与DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ACE DCB ≌△△， ∴BD AE =．对于一次函数4y x =+，令0x =，则4y =，∴()0,4B ，令0y =，则4x =-，∴()4,0A -．∴224442AB =+=又∵2BE BC ==，∴AE AB BE ≤+，∴当且仅当A 、B 、E 三点共线时，AE 取得最大值，即BD 取得最大值为422；当BD 取得最大值时，①当C 在直线AB 的上方时过C 作CH y ⊥轴于H ，∵45ABO HBE ∠=∠=︒，60CBE ∠=︒，∴15CBH CBE HBE ∠=∠-∠=︒，作BC 的垂直平分线交BH 于N ，∴CN BN =，15NCB NBC ∠=∠=︒，∴30CNB ∠=︒，在Rt CHN △中，设CH x =．则3HN x =，2CN x =，∴2BN x =， ∴)32BH HN BN x =+=， 在Rt BHC △中，22222HC BH BC +==， ∴)222322x x ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434x x ++=， 223x =，)12312x =，)22312x =-（舍）， ∴62CH -= ∴点C 的横坐标为262- ②当C 在直线AB 的下方时，过C 作CL ⊥y 轴于L ，∵∠ABO=45°，∠CBE=60°，∴∠CBL=180°-∠CBE−∠ABO=75°，∴∠BCL=15°，作BC 的垂直平分线交BL 于M ，∴CM=BM ，∠MCB=∠MBC=15°，∴∠LMB=30°，在Rt △CLB 中，设BL=y ．则3，BM=2y ，∴CM=2y ，∴3+2)y ，在Rt △BLC 中，BL 2+CL 2=BC 2=22， ∴)222322y y ⎡⎤+=⎣⎦， 整理得(227434y y ++=， 223y =)12312y =，)22312y =-（舍去）， 622BL =∴CL=)32BL =262所以点C 26+综合以上可得点C的横坐标为：262-或262+【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判.定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.10．探究：（1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN 上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．请说明理由；应用：（3）如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC 时，△≌△；此时如果CD＝2DE，且S△CBE＝6，则△ACE的面积是．答案：D解析：（1）28°（2）DE＝AD﹣BE；理由见解析（3）ACD；CBE；9【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC＝∠CEB，进而判断出△ACD≌△CBE，得出S△ACD＝S△CBE，再求出S△ADE＝3，即可得出结论．【详解】解：探究：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝28°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝68°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝28°，故答案为：28°；拓展：(2)∵∠MCN＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥CP，BE⊥CP，∴∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠ACD+∠CAD ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCE ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴CD ＝BE ，AD ＝CE ，∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ，故答案为：DE ＝AD ﹣BE ；应用：(3)∵∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∴∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ，∵∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BCE ，∵∠ADP ＝∠BEP ，∴∠ADC ＝∠CEB ，在△ACD 和△CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴S △ACD ＝S △CBE ，∵S △CBE ＝6，∴S △ACD ＝6，∵CD ＝2DE ，∴S △ACD ＝2S △ADE ，∴S △ADE ＝12S △ACD ＝3， ∴S △ACE ＝S △ACD +S △ADE ＝9，故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△ACD ≌△CBE 是解本题的关键．11．如图1所示，在Rt ABC △中90BAC ∠=︒，AB AC =，2BC =，以BC 所在直线为x 轴，边BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，将ABC 绕P 点0,1顺时针旋转．（1）填空：当点B 旋转到y 轴正半轴时，则旋转后点A 坐标为______；（2）如图2所示，若边AB 与y 轴交点为E ，边AC 与直线1y x =-的交点为F ，求证：AEF 的周长为定值；（3）在（2）的条件下，求AEF 内切圆半径的最大值．解析：（1）2,21；（2）见解析；（3）324【分析】（1）作出图形，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，根据2BC =，y 轴垂直平分BC ， AB AC =，()0,1P -可证得四边形ABPC 是正方形，则有 '''2BP B P AB A B ，'0'21B B P PO ，可得点 A 坐标；（2）作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点，根据四边形ABPC 是正方形，得到90QBP FCP ∠=∠=︒，BP CP =，可证BPQ CPF ASA ≌△△，得BQ CF =，QP FP =，利用ASA 再可证得QPE FPE ≌△△，得QE FE =则AEF 的周长22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为r ，由（2）可得22AF m n =-则2AE AF EF r +-=22n m n m+---=2m =，当m 最小时，r 最大．得到22222n m n m 整理得：2224220n m n m ，关于n 的一元二次方程有解，即22244220m m 化简得24280m m +-≥，利用二次函数图像可得422m ≥-422m ≤--（不合题意，舍去）可得m 的最小值为42-r 2422324，则有AEF 内切圆半径的最大值为324．【详解】解：（1）如图示，'''A B C 是ABC 绕 P 点0,1顺时针旋转，点B 旋转到y 轴正半轴时得到的图形，连接 BP ，CP ，∵2BC =，y 轴垂直平分BC∴1BO CO ==又∵Rt ABC △中，AB AC =∴1AO =，2AB AC ==∵()0,1P -∴1PO =∴AO BO CO PO ===∴四边形ABPC 是正方形 ∴'''2BPB P AB A B ∴'0'21B B P PO ∴点A 坐标为2,21（2）如图2所示，作BPQ CPF ∠=∠，交AB 延长线于Q 点∵四边形ABPC 是正方形∴90QBP FCP ∠=∠=︒， BP CP =∴BPQ CPF ASA ≌△△∴ BQ CF =，QP FP =∵点F 在直线1y x =-∴45FPE ∠=︒∴ 45BPE FPC ∠+∠=︒∴45BPE BPQ ∠+∠=︒∴45QPE FPE ∠=∠=︒∵EP EP =∴QPE FPE ASA ≌△△∴ QE FE = ∴AEF 的周长AE EF AF AE QE AF =++=++AE BE BQ AF AE BE FC AF =+++=+++22AB AC =+=（3）设EF m =，AE n =，Rt AEF 的内切圆半径为 r ，由（2）可得22AF m n =--则2AE AF EF r +-= 222n m n m +---= 2m =-∴当m 最小时，r 最大．∵在Rt AEF 中，222AE AF EF +=∴22222n m n m 整理得： 2224220n m nm ∵关于n 的一元二次方程有解∴22244220m m∴24280m m +-≥ 利用二次函数图像可得422m ≥-或422m ≤--（不合题意，舍去）∴m 的最小值为422-∴r 的最大值为2422324即AEF 内切圆半径的最大值为324-．【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键．12．如图１，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠DAE=∠BAC ，AD=AE ，AB=AC ，∠ADB=90°，点E 在△ABC 内，延长DE 交BC 于点F ，求证：点F 是BC 中点；（3）△ABC 为等腰三角形，∠BAC=120°，AB=AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，∠APB=120°，AP=2，BP=4，请直接写出 CP 的长．答案：D解析：（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）27或213．【分析】（1）因为∠DAE=∠BAC ，可以得到∠DAB=∠EAC ，因为AD=AE ，AB=AC ，即可得到△ABD ≌△ACE ；（2）连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，由（1）可得△ABD ≌△ACE ，所以∠AEC=90°和CE=BD ，可以推出∠BDF=∠CEF ，再证明△DBF ≌△ECH ，所以BF=CH ，等量代换即可得到BF=FC ，即可解决；（3）点P 在△ABC 内部，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC ，可以得到△PP C '是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC 的值；当点P 在△ABC 外部，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒得到PDC ∆，连接PP '和PC ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD 可以得到△PP D '，△PP D '是直角三角形和，利用勾股定理即可求出'DP 及PC 的值．【详解】解：（1）证明：∵∠DAE=∠BAC∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE ，AB=AC∴△ABD ≌△ACE（2）证明：连接CE ，延长EF 至点H ，取CF=CH ，连接CH ，如图所示：∵△ADB ≌△AEC∴BD=EC ，∠ADB=∠AEC=90°∵AD=AE∴∠ADE=∠AED∵∠ADE+∠EDB=∠AED+∠CEH=90°∴∠EDB=∠CEH∵CF=CH∴∠CFH=∠CHF∴∠DFB=∠H∵CE=BD∴△DBF ≌△ECH∴BF=CH∴BF=CF∴点F 是BC 的中点（3）当点P 在△ABC 内部，如图所示，将△ABP 逆时针旋转120°，得到ACP ∆'，连接PP '和PC∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4∴PP '=23，∵∠AP C '=120°，∠AP P '=30°，∴∠PP C '=90°，∴PC=()2223427+=．当点P 在△ABC 外部，如图所示，将△APB 绕点A 逆时针旋转120︒到△'AP C ，过点P 作PD ⊥'CP 于点D ，连接PD ， ∵将△ABP 旋转120°得到ACP ∆'∴∠PAP '=120°，AP='AP =2，BP=CP '=4，∴PP '3∵∠AP C '=120°,∠AP P '=30°，∴∠PP C '=150°，∴∠PP D '=30°，在Rt 'PDP 中，1'32PD PP ==， 22''3DP PP PD ∴=-=，''347DC DP P C ∴=+=+=，()222237213PC PD DC ∴=+=+=． 综上所述，27213PC =或【点睛】本题主要考查了全等三角形以及旋转，合理的作出辅助线以及熟练旋转的性质是解决本题的关键．13．问题：如图（1），点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，试判断BM、MN、ND之间的数量关系．（1）研究发现如图1，小聪把△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABG，从而发现BM、MN、DN之间的数量关系为（直接写出结果，不用证明）（2）类比引申如图2，在（1）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的对角线BD于点E、F．已知EF ＝5，DF＝4．求BE的长．（3）拓展提升如图3，在（2）的条件下，AM、AN分别交正方形ABCD的两个外角平分线于Q、P，连接PQ．请直接写出以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积．答案：B解析：（1）BM+DN＝MN，理由见解析；（2）BE＝3；（3）以BQ、PQ、DP为边构成的三角形的面积为36．【分析】（1）结论是：BM+DN＝MN，如图1，利用三角形AND旋转90º得三角形ABG，∠DAN=∠BAG，可证∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠MAN，利用SAS证△AMN≌△AMG即可；（2）如图2，按同样方法△AFD顺时针旋转90º，使AD与AB重合，得△ABF′，连结EF′，△BEF′是直角三角形，用勾股定理求EF′=5，再证△AEF≌△AEF即可；（3）如图3，由（2）可得BD=12，可求正方形边长，构建△P′AQ，P′B=DP，将△ADP顺时针转90º，AD与AB重合，得△BQP′，连OP′，可证△BQP′是直角三角形，可证PQ=P′Q，再证△ABQ∽△PDA，将△P′BQ面积=12BQ•BP′=12BQ•DP=12AD•AB可求．【详解】（1）如图1，BM+DN＝MN，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠D ＝∠ABC ＝∠BAD ＝90°，小聪把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°至△ABG ，由旋转可得：BG ＝DN ，AN ＝AG ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°，∴∠ABG +∠ABM ＝90°+90°＝180°，因此，点G ，B ，M 在同一条直线上，∵∠MAN ＝45°，∴∠2+∠3＝∠BAD ﹣∠MAN ＝90°﹣45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝45°，∴∠GAM ＝∠MAN ，∵AM ＝AM ，∴△AMN ≌△AMG （SAS ），∴MN ＝GM ，∵GM ＝BM +BG ＝BM +DN ，∴BM +DN ＝MN ；故答案为：BM +DN ＝MN ；（2）如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°至△ABF '，连接EF '，∴AF ′ ＝AF ，∠DAF ＝∠BAF '，∠ABF ′ ＝∠ADF ＝45°，BF ′ ＝DF ＝4，∵∠ABE ＝45°，∴∠EBF ′ ＝45°+45°＝90°，∵AE ＝AE ，同理得△EAF ≌△EAF '（SAS ），∴EF '＝EF ＝5，在Rt △EBF '中，由勾股定理得：BE ()()2222EF +BF 5-4=3''＝3；（3）由（2）知：BE ＝3，EF ＝5，DF ＝4，∴BD ＝3+4+5＝12，由勾股定理得：AB 2+AD 2＝BD 2，∵AB ＝AD ，∴AB 2＝72，如图3，把△ADP 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP '，连接BP ′，则∠ABP′＝∠ADP ，PD ＝P ′B ，AP ＝AP ′，∵AM 、AN 分别交正方形ABCD 的两个外角平分线于Q 、P ，∴∠ADP ＝∠ABQ ＝135°，∴∠DAP +∠APD ＝45°，∵∠DAP +∠BAQ ＝45°，∴∠BAQ ＝∠APD ，∴△ADP ∽△QBA ， ∴AD PD =BQ AB， ∴BQ •PD ＝AD •AB ＝72，∵∠ABP '＝∠ABQ ＝135°，∴∠QBP '＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴S △BP 'Q ＝12BQ•BP′＝12BQ•DP ＝12×72＝36， ∵AP ＝AP '，∠PAQ ＝∠P 'AQ ，AQ ＝AQ ，∴△QAP ≌△QAP '（SAS ），∴PQ ＝P 'Q ，∴以BQ 、PQ 、DP 为边构成的三角形的面积为36．【点睛】本题是感知，探究，创新新题型，主要考查了学生对正方形的性质，旋转变换，勾股定理及全等三角形与相似三角形的判定方法的综合运用．关键是灵活掌握所学知识，同时会从感知中学到方法，结合下一图形，找到解决问题的方法，以及突破口，在创新中，注意把给出的问题进行转化，利用转化思想来解决．14．矩形ABCD 中，6,8AB BC ==，点,M N 分别在边,BC AD 上，且3,2BM DN ==，连接MN 并延长，交CD 的延长线于点E ，点Q 为射线MN 上一动点，过点Q 作AQ 的垂线，交CD 于点P ．（1）特例发现，如图，若点P 恰好与点D 重合，填空：①DE =________；②QA 与QP 的等量关系为_________．（2）拓展探究如图，若点Q 在MN 的延长线上，QA 与QP 能否相等？若能，求出DP 的长；若不能，请说明理由．（3）思维延伸如图，点G 是线段CD 上异于点D 一点，连接AG ，过点G 作直线GI AG ⊥，交直线MN 于点I ，是否存在点G ，使,AG GI 相等？若存在，请直接写出DG 的长；若不存在，请说明理由．答案：E解析：（1）①4； ②QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，理由详见解析；（3）（3）,AG GI 能够相等，43DG =【分析】（1）①根据END EMC ，利用对应边成比例列式求出ED 长；②过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，设QG x =，利用AHQ QGD ，对应边成比例列式求出x ，得到这两个三角形其实是全等的，所以QA QP =；（2）过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ，构造“k”字型全等三角形，设AF x =，再利用相似三角形的性质列式求解；（3）过点G 作GK AB ⊥于点K ，过点I 作IS KG ⊥，交KG 的延长线于点S ，延长AD 交IS 于点T ，同（2）构造“k”字型全等三角形，DG y =，再利用相似三角形的性质列式求解．【详解】（1）①∵//ND MC ，∴END EMC ，∴ED ND EC MC=，835MC BC BM =-=-=，6DC =， 265ED ED =+，解得4ED =， 故答案是：4；②如图，过点Q 作//HG BC ，交AB 于点H ，交DC 于点G ，可得HG AB ⊥，HG DC ⊥，∴90AHQ QGD ∠=∠=︒，∵AQ QD ⊥，∴90AQH DQG ∠+∠=︒，∵90QAH AQH ∠+∠=︒，∴QAH DQG ∠=∠，∴AHQ QGD ，∴AH HQ QG GD=， 设QG x =，8HQ x =-， ∵//QG MC ，∴EQG EMC ， ∴QG EG MC EC =，4510x DG +=，得24DG x =-， ∴24AH x =-，根据AH HQ QG GD =，得24824x x x x --=-，解得4x =， ∴4AH HQ QG GD ====，∴AHQ QGD ≅，∴AQ QD QP ==，故答案是：QA QP =；（2）QA 与QP 能够相等，163PD =， 如图，过点Q 作QF AB ⊥，交BA 的延长线于点F ，延长FQ 交CE 于点G ， 90,90,AQF PQG GPQ PQG AQF GPQ ∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，又90,,,,AFQ PGQ AQ PQ FAQ GDP AF QG FQ PG ∠=∠=︒=∆≅∆∴==， 设AF x =，则,,4QG x DG x EG x ===-，42,2EG ED x QG ND x -==∴=，解得43x =， 经检验，43x =是该分式方程的根，。

M D N E C BF A 初三专题练习——旋转问题 姓名______________ 学号_____________一、手拉手模型（特点——公共点是等腰三角形的顶点）如图，易证：'ABB ∆≌'ACC ∆这就是传说中的“旋转一施二”，又称为“手拉手模型”1、已知：如图，点C 为线段AB 上一点，ACM ∆、CBN ∆是等边三角形．求证：∠AFM=60°2、如图，在等腰ABC Rt ∆中，BC BA =，︒=∠90ABC ，点D 在AC 上，将ABD ∆绕点B 顺时针方向旋转︒90后，得到CBE ∆（1）求DCE ∠的度数；（2）若4=AB ，AD CD 3=，求DE 的长。

3、等边ABC ∆中，4=AD ，3=DC ，5=BD ，求ADC ∠的度数。

A B C D4、如图，在凸四边形ABCD 中，30BCD ∠=︒,60DAB AD AB ∠=︒=，．求证：222AC CD BC =+5、已知ABC ∆，以AC 为边在ABC ∆外作等腰ACD ∆，其中AC AD =。

⑴如图①，若2DAC ABC ∠=∠，AC BC =，四边形ABCD 是平行四边形，则_____ABC ∠= ⑵如图②，若30ABC ∠=︒，ACD ∆是等边三角形，3AB =，4BC =，求BD 的长；6、已知在ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰ADE ∆，AE AD =（1）如图1，︒=∠=∠90DAE BAC ，连接CE ，求证：ABD ∆≌ACE ∆（2）如图2，︒=∠=∠120DAE BAC ，2==AC AB ，取AC 边的中点F ，连接EF ，当点D 从B 点运动到C 点过程中，求线段EF 长度的最小值。

（3）如图3，四边形ABCD 中，︒=∠=∠90BCD BAD ，AD AB =，1=DC ，连接AC ，已知2230+=AC ，求AB 的长。