初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第03讲平方差与完全平方公式【考点梳理】考点1：完全平方公式1.2222)(bab a b a +±=±公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+ab b a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2.三项式的完全平方公式：bcac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++考点2：平方差公式22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+【题型归纳】题型一：完全平方公式1．（2022·全国·七年级）下列关系式中，正确的是（）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2【答案】D 【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题的关键．2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）运用完全平方公式()2222a b a ab b -=-+计算212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则公式中的2ab 是（）A ．12x B ．﹣x C ．x D ．2x【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算，然后和()2222a b a ab b -=-+对比即可解答.【详解】解：2222111122224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对比()2222a b a ab b -=-+可得-2ab =-x ，则2ab =x .故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.3．（2022·广东东莞·八年级期末）如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（）A ．6B ．9C ．32D ．94【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期末）要使24x kx ++是完全平方式，那么k 的值是（）A ．4k =±B ．4k =C ．4k =-D ．2k =±【答案】A 【分析】根据完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行求解即可．【详解】∵24x kx ++是完全平方式，∴2()42k =，解得：4k =±，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．5．（2022·辽宁庄河·八年级期末）若2a b +=-，3ab =，则代数式22a ab b -+的值是（）A ．5-B ．13C ．5D ．9【答案】A 【分析】将2a b +=-两边平方，利用完全平方公式化简，把3ab =-代入求出22a b +的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：将2a b +=-两边平方得：222()24a b a b ab +=++=，把3ab =代入得：2264a b ++=，即222a b +=-，则22235a ab b -+=--=-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．（2022·重庆·八年级期末）如果216x mx ++是完全平方式，那么m 的值是（）A ．8B ．4C ．4±D ．8±【答案】D 【分析】先写出22816(4)x x x ±+=±，进一步求出m 的值，即可求解．【详解】解：∵22816(4)x x x ±+=±，且216x mx ++是完全平方式，∴8m =±；故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方式，掌握满足完全平方式的情况只有222a ab b ++和222a ab b -+两种，两种情况的熟练应用是解题关键．7．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）下列运算中，结果正确的是（）A ．824a a a ÷=B ．()222a b a b +=+C ．()2242a b a b =D ．()()2122a a a -+=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式的计算法则计算求解即可．【详解】解：A 、826a a a ÷=，计算错误，不符合题意；B 、()2222a b a ab b +=++，计算错误，不符合题意；C 、()2242a b a b =，计算正确，符合题意；D 、()()2212222a a a a a a a -+=+--=+-，计算错误，不符合题意；故选C ．本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．（2022·北京·八年级期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．4a＋4【答案】A【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．9．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）若x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10B．－5C．5D．±5【答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【详解】解：∵x2+mxy+25y2＝x2+mxy+（5y）2，∴mxy＝±2x×5y，解得：m＝±10．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．题型二：平方差公式11．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（）A．1B．32C．3D．不能确定【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y += ，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y ∴+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y ∴+-+++-=，6412y x ∴⋅=，332xy ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）【答案】B 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．13．（2022·河南川汇·八年级期末）如图，在边长为()x a +的正方形中，剪去一个边长为a 的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于x ，a 的恒等式是（）．A ．()()22x a x a x a -=-+B ．()222x ax x x a +=+C ．()()222x a a x x a +-=+D ．()()222x a x a a x +-=+【答案】C 【分析】根据公式分别计算两个图形的面积，由此得到答案．【详解】解：正方形中阴影部分的面积为22()x a a +-，平行四边形的面积为x （x +2a ），由此得到一个x ，a 的恒等式是()()222x a a x x a +-=+，故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，正确掌握图形面积的计算方法是解题的关键．14．（2021·福建同安·八年级期中）若02021a =，2201920212020b =⨯-，202020212332c ⎛⎫⎛⎫=-⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则下列a ，b ，c 的大小关系正确的（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．c b a<<【答案】C 【分析】利用零次幂的含义求解a 的值，利用平方差公式求解b 的值，利用积的乘方的逆运算求解c 的值，再比较大小即可.【详解】解： 020211,a ==()()222220192021202020201202012020=2020120201,b =⨯-=-+---=-()202020212020202023233331,3232222c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯⨯=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而311,2-<<,b ac \<<故选C 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，平方差公式的应用，积的乘方运算的逆运算，先计算,,a b c 的值再比较大小是解本题的关键.15．（2022·黑龙江肇源·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）【答案】B 【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16．（2022·天津红桥·八年级期末）下列计算正确的是（）A ．22224a b a b +=+（）B ．2225225104x y x xy y -=-+（）C ．2221122x y x xy y-=-+（）D ．221111123439x x x +=++（）【答案】D 【分析】根据完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A.22224+4a b a ab b +=+（），故不正确；B.2225225204x y x xy y -=-+（），故不正确；C.2221124x y x xy y -=-+（），故不正确；D.221111123439x x x +=++（），正确；故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．17．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）若2210a b -=，2a b -=，则a b +的值为（）A ．5B ．2C ．10D ．无法计算【答案】A 【分析】利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-进行求解即可．【详解】解：∵2a b -=，()()2210a b a b a b -=+-=，∴5a b +=，故选A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．18．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（）A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a（a－b）＝a2－abC．b（a－b）＝ab－b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）【答案】D【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．【详解】解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故选D．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2021·河南原阳·八年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x－y）（－x＋y）B．（－x＋y）（－x－y）C．（－x－y）（x－y）D．（x＋y）（－x＋y）【答案】A【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x−y）（−x＋y）＝−（x−y）（x−y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；【点睛】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【答案】A【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．【详解】解：如图所示，右边阴影部分面积为：22a b -，左边阴影部分面积为：()()a b a b +-，由阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b +-=-，故选A ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．【双基达标】1．（2021·福建南安·八年级期中）若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k 的取值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±10【答案】D【解析】两个完全平方式：222a ab b ±+，利用完全平方式的特点可得答案.【详解】解： x 2＋kx ＋25225,x kx =++而x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，2510,k \=贝=故选D【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方式的特点求解完全平方式中的字母系数是解题的关键.2．（2021·四川江油·八年级阶段练习）已知x ²-2mx +9是完全平方式，则m 的值为（）A ．±3B ．3C ．±6D ．6【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知x 2-2mx +9是完全平方式，∴m =3或m =-3，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．3．（2021·河南·郑州外国语中学九年级期中）无论a ，b 为何值代数式226112a b b a +++-的值总是（）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【解析】【分析】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．解：原式22(21)(69)1a ab b =-+++++22(1)(3)1a b =-+++，2(1)0a - ，2(3)0b +，22(1)(3)10a b ∴-+++>，即原式的值总是正数．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．4．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．2249-y x B ．4149-x C ．42--m n D ．21()94+-p q 【答案】C【解析】【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A 、2249-y x ＝（y ＋7x ）（y −7x ），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；B 、4149-x ＝（17＋x 2）（17−x 2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；C 、−m 4−n 2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；D 、21()94+-p q ＝（12p ＋12q ＋3）（12p ＋12q −3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．5．（2021·湖南双峰·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（）A ．()()a b a b --+B ．(2x 3y)(2x 3)z +-C ．()()x y x y ---D ．()()m n n m --【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A.()()a b a b --+不能用平方差进行计算，故不符合题意B.(2x 3y)(2x 3)z +-不能用平方差进行计算，故不符合题意C.()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-，D.()()m n n m --不能用平方差进行计算，故不符合题意故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2022·全国·七年级）已知：13x x +=，则221x x+=____．【答案】7【解析】【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：13x x += ，21()9x x∴+=，22129x x ++=2217x x ∴+=，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．7．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________【答案】84【解析】【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a +b =8，ab =-5∴()2a b -=()24a b ab +-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．8．（2022·全国·七年级）若（x 2＋y 2＋1）（x 2＋y 2﹣1）＝48，则x 2＋y 2＝___【答案】7【解析】【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x 2＋y 2的值．【详解】解：因为（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝48，所以（x 2+y 2）2﹣12＝48，所以（x 2+y 2）2＝49，x 2+y 2＝±7（负值舍去）．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．9．（2022·全国·七年级）已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3(1)求（x ＋1）（y ＋1）的值；(2)求x 2＋y 2的值．【答案】(1)112-(2)164【解析】【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．(1)（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1=-3+12+1=112-；(2)（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy =164+，=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．10．（2021·福建同安·八年级期中）计算：（1）()22436310a a a a ⋅+--（2）()()()211a a a a +-+-【答案】（1）0；（2）21a +【解析】【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ⋅+--6669100a a a =+-=（2）()()()211a a a a +-+-2221a a a =+-+=21a +【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.【高分突破】1．（2021·黑龙江·无八年级期末）已知x +y =4，xy =3，则x 2+y 2的值为（）A ．22B ．16C ．10D ．4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：()2222242316610x y x y xy +=+-=-⨯=-=．故选择C ．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．2．（2022·陕西陇县·八年级期末）下列运算正确的是（）A ．428a a a =·B ．224()xy xy =C ．623y y y ÷=D ．222()2x y x xy y --=-+-【答案】D【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式分别计算得出答案．【详解】解：A 、426=a a a g ，故此选项错误；B 、2224()xy x y =，故此选项错误；C 、624÷=y y y ，故此选项错误；D 、222()2x y x xy y --=-+-，正确；【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a+b B．（a-b）2C．ab D．a2－b2【答案】B【解析】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．4．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）下列等式中，一定成立的是（）A．(x - y)2 = (y - x)2B．(x + 6)(x - 6) = x2 - 6C．(x + y)2 = x2 + y2D．(x - y)2 = x2 + 2xy + y2【解析】【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式判断各选项即可．【详解】解：A .22()()x y y x -=-成立，故选项A 正确；B .2(6)(6)36x x x +-=-，选项B 不成立；C .222()2x y x xy y +=++，选项C 不成立；D .222()2x y x xy y -=-+，选项D 不成立；故选：A【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．5．（2021·全国·七年级期中）已知M 、N 表示两个代数式，M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），则M 与N 的大小是（）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据作差法进行比较即可；【详解】解：∵M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），∴M -N =（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1）-（2x +y ）（2x ﹣y ），=x 2-1-2y 2+2y -2-4x 2+y 2，=-3x 2-y 2-3＜0，∴M ＜N ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键．6．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0＝_____．【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0，∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=，∵21()02m -≥，213()02n +≥，∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-，∴m －2﹣n 0＝201122-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝4-1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．7．（2021·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）若a ＋b ＝3，ab ＝1，则（a ﹣b ）2＝________．【答案】5【解析】【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【详解】解：∵a +b =3，ab =1，∴（a +b ）2=9，则a 2+2ab +b 2=9，∴a 2+b 2=9-2=7；（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=7-2=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．8．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定a b ad bc c d=-，则当2250x x --=时，121x x x +=-____．【答案】4【解析】【分析】先根据题意化简212211x x x x x +=---，将2250x x --=变形为225x x -=，再整体代入即可求解．【详解】解：由题意得()()212112211x x x x x x x x +=+--=---，∵2250x x --=，∴225x x -=，∴原式221=51=4x x ---．故答案为：4【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将121x x x +-化简是解题关键．9．（2022·重庆·八年级期末）已知ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ．（1）求x +y 和x ﹣y 的值；（2）运用完全平方公式，求x 2+y 2的值．【答案】（1）x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）13【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据完全平方公式解答即可．【详解】解：（1）因为ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ，所以ax +y ＝a 5，ax ﹣y ＝a ，所以x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）因为x +y ＝5，x ﹣y ＝1，所以（x +y ）2＝25，（x ﹣y ）2＝1，所以x 2+2xy +y 2＝25①，x 2﹣2xy +y 2＝1②，①+②，得2x 2+2y 2＝26，所以x 2+y 2＝13．【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法，完全平方公式．解题的关键是掌握同底数幂的乘除法法则，以及完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2．10．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：．（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a 2﹣b 2＝24，2a +b ＝6，则2a ﹣b ＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．【答案】（1）22()()a b a b a b -=+-；（2）①4；②20100．【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出224(2)(2)a b a b a b =+--，代入求值即可；②利用平方差公式将22200199-写成(200199)(200199)=200199+⨯-+，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积()()a b a b +-，所以，得到公式22()()a b a b a b -=+-故答案为22()()a b a b a b -=+-．（2）①∵22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-∴(2)(2)=24a b a b +-又∵2a +b ＝6，24a b ∴-=故答案为4．②222222222001991981974321-+-+⋯+-+-(200199)(200199)(198197)(198197)(43)(43)(21)(21)=+⨯-++⨯-+⋯++⨯-++⨯-2001991981974321=+++⋯++++20100=【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．。

2.2 平方差公式、完全平方公式知识要点：✧平方差公式：22()()a b a b a b +-=- ✧完全平方公式：222222()2,()2x y x xy y x y x xy y +=++-=-+ ✧ 常用变形：x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ； x 2+y 2＝（x －y ）2＋2xy ；（x+y ）2 ＝（x －y ）2+4xy ； （x －y ）2＝（x+y ）2 — 4xy ； （x+y ）2 —（x －y ）2=4xy✧ 注意：x 和y 可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，当表示一个多项式时，就将这个多项式视为一个整体。

1. 平方差公式题型1：直接运用公式1）（a+3）(a-3) 2）(1+2c)(1-2c) 3）(-x+2)(-x-2) 4）(2x+12)(2x-12)2. 平方差公式题型2：运用公式使计算简便1）1998×2002 2）498×502 3）1.01×0.99 4）（20-19）×（19-89）3. 平方差公式题型3：两次运用平方差公式1）（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) 2）(3a+2)(3a-2)(9a 2+4)3）(x-12)(x 2+14)(x+12) 4)))94)(64)(32(2++-a a a4. 平方差公式题型4：需要先变形再利用平方差公式1）（-2x-y ）(2x-y) 2）(32)(32)a a --- 3）(ab+1)(1-ab) 4）)43)(43(22---x x5. 平方差公式题型5：每个多项式含三项，需要打包1）（a+2b+c ）(a+2b-c) 2）(a+b-3)(a-b+3)3）（x-y+z)(x+y-z) 4）(3x-2y+1)(3x+2y-1)6. 完全平方公式变形：1）a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2 2）（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23）(a+b)2 +（a-b ）2= 4）(a+b)2 —（a-b ）2=7. 完全平方公式题型1：直接利用公式2)12(--t 2)2332(y x + (0.02x+0.1y)28. 完全平方公式题型2：括号中的多项式含有三项，需要打包（1）(2x+y-z)2 （2）(a+2b-2)29. 完全平方公式题型3：运用公式使计算简便（1）1022 （2）197210. 其他题型1) 若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．2) 若m - n= 8,mn=30,则m 2+n 2=___________3) 若016822=+-+-n n m ，则______________,==n m 。

完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式是数学中一个十分重要的知识点，同时也是考试中一个常见的考点。

下面是由编辑为大家整理的“完全平方公式和平方差公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

1.完全平方公式：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍即完全平方公式
(a+b)2=a2+b2+2ab 两数和的完全平方公式(完全平方和)
与
(a-b)2=a2+b2-2ab 两数差的完全平方公式(完全平方差)
都叫做完全平方公式。

2.平方差公式：
当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式.这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了.而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即
a2-b2=(a+b) x (a-b)
3.平方和公式：
a²+b²=(a+b)²-2ab
拓展阅读：完全平方公式的推导过程
用代数方法证明，
a²+2ab+b²
=axa+axb+axb+bxb
=ax(a+b)+bx(a+b)(乘法分配律)
=(a+b)x(a+b)=(a+b)²
同理，
a²-2ab+b²
=axa-axb-axb+bxb
=ax(a-b)-bx(a-b)(乘法分配律)
=(a-b)x(a-b) =(a-b)²。

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b3 3．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

完全平方公式和平方差公式
平方差公式：
a²-b²=(a+b)(a-b)平方差：一个平方数或正方形，减去另一个平方数或正方形得来的乘法公式。

例句：6²-4²=(6+4)x(6-4)=10x2=20
完全平方差公式：
(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方差：两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍即完全平方公式。

例句：(6-4)²=6²-2x6x4+4²=36-48+16=4
完全平方公式平方差公式区别：
计算具体数据结果不同（若a=2，b=1）完全平方差公式：（a-b）²=a²-2ab+b²=1。

平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）=3。

完全平方公式是三项：a²-2ab+b²，平方差公式是两项：a²-b²。

平方差可利用因式分解及分配律来验证。

先设a及b。

ba-ab=0那即是ab=ba，同时运用了环的原理。

把这公式代入：a²-ab+ba-b²若上列公式是a²-b²就得到以下公式：a²-ab+ba-b²-(a²-b²)=0以上运用了r-r=0，也即是两方是相等，就得到：a²-ab+ba-b²=a²-b²注：a2-ab+ba-b2=(a-b)(a+b)。

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章 整式的乘除第03讲 平方差与完全平方公式【考点梳理】考点1：完全平方公式1. 2222)(bab a b a +±=±公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+abb a b a 4)()(22-+=-222)()]([)(b a b a b a +=+-=--222)()]([)(b a b a b a -=--=+-完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

2.三项式的完全平方公式：bcac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++考点2：平方差公式22))((b a b a b a -=-+注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：))((z y x z y x +--+【题型归纳】题型一：完全平方公式1．（2022·全国·七年级）下列关系式中，正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2B ．（a ＋b ）（﹣a ﹣b ）＝a 2﹣b 2C ．（a ＋b ）2＝a 2＋b 2D ．（﹣a ﹣b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2【答案】D 【分析】根据完全平方公式判断即可．【详解】解：A 选项，原式＝a 2﹣2ab +b 2，故该选项计算错误；B 选项，原式＝﹣（a +b ）2＝﹣a 2﹣2ab ﹣b 2，故该选项计算错误；C 选项，原式＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算错误；D 选项，原式＝[﹣（a +b ）]2＝（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，故该选项计算正确；故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握（a ±b ）2=a 2±2ab +b 2是解题的关键．2．（2022·福建·厦门市第十一中学八年级期末）运用完全平方公式()2222a b a ab b -=-+计算212x æö-ç÷èø，则公式中的2ab 是（）A ．12xB ．﹣xC ．xD ．2x【答案】C 【分析】运用完全平方公式计算，然后和()2222a b a ab b -=-+对比即可解答.【详解】解：2222111122224x x x x x æöæö-=-´+=-+ç÷ç÷èøèø对比()2222a b a ab b -=-+可得-2ab =-x ，则2ab =x .故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方公式，理解完全平方公式的特征成为解答本题的关键.3．（2022·广东东莞·八年级期末）如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式，那么k 的值为（ ）A ．6B ．9C ．32D ．94【答案】D 【分析】根据完全平方公式解答即可．【详解】解：∵x 2-3x +k （k 是常数）是完全平方式，∴x 2-3x +k =（x -32）2=x 2-3x +94，∴k =94．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．4．（2021·黑龙江·绥棱县克音河乡学校八年级期末）要使24x kx ++是完全平方式，那么k 的值是（）A ．4k =±B ．4k =C ．4k =-D ．2k =±【答案】A 【分析】根据完全平方公式：222)2(a ab b a b ±+=±进行求解即可．【详解】∵24x kx ++是完全平方式，∴2()42k =，解得：4k =±，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方式，解题的关键是掌握常数项是一次项系数一半的平方．5．（2022·辽宁庄河·八年级期末）若2a b +=-，3ab =，则代数式22a ab b -+的值是（ ）A ．5-B ．13C ．5D ．9【答案】A 【分析】将2a b +=-两边平方，利用完全平方公式化简，把3ab =-代入求出22a b +的值，即可确定出所求式子的值．【详解】解：将2a b +=-两边平方得：222()24a b a b ab +=++=，把3ab =代入得：2264a b ++=，即222a b +=-，则22235a ab b -+=--=-，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．（2022·重庆·八年级期末）如果216x mx ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．8B ．4C ．4±D ．8±【答案】D 【分析】先写出22816(4)x x x ±+=± ，进一步求出m 的值，即可求解．【详解】解：∵22816(4)x x x ±+=± ，且216x mx ++ 是完全平方式，∴8m =± ；故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方式，掌握满足完全平方式的情况只有222a ab b ++ 和222a ab b -+ 两种，两种情况的熟练应用是解题关键．7．（2022·广东·塘厦初中八年级期末）下列运算中，结果正确的是（ ）A ．824a a a ¸=B ．()222a b a b +=+C ．()2242a b a b =D ．()()2122a a a -+=-【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式的计算法则计算求解即可．【详解】解：A 、826a a a ¸=，计算错误，不符合题意；B 、()2222a b a ab b +=++，计算错误，不符合题意；C 、()2242a b a b =，计算正确，符合题意；D 、()()2212222a a a a a a a -+=+--=+-，计算错误，不符合题意；故选C ．本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．8．（2022·北京·八年级期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（）A．a2＋2a＋1B．a2－2a＋1C．a2＋1D．4a＋4【答案】A【分析】由题意根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算即可求解．【详解】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．故选：A．【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式以及完全平方公式．9．（2022·甘肃·金昌市龙门学校八年级期末）若x2＋mxy＋25y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．±10B．－5C．5D．±5【答案】A【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．【详解】解：∵x2+mxy+25y2＝x2+mxy+（5y）2，∴mxy＝±2x×5y，解得：m＝±10．故选：A．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．题型二：平方差公式11．（2022·全国·七年级）已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（）A．1B．32C．3D．不能确定【分析】根据平方差公式即可求出答案．【详解】解：2(23)15x y +=Q ，2(23)3x y -=，22(23)(23)12x y x y \+--=，(2323)(2323)12x y x y x y x y \+-+++-=，6412y x \×=，332xy \=，故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12．（2022·全国·七年级）下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（2a ＋b ）（2b ﹣a ）B ．（﹣a ﹣2b ）（﹣a ＋2b ）C ．（2a ﹣3b ）（﹣2a ＋3b ）D ．（113a +）（﹣113a -）【答案】B 【分析】根据平方差公式为22()()a b a b a b +-=-逐项判断即可．【详解】A ．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；B ．原式[][]()2()2a b a b =---+，符合平方差公式，故本选项符合题意；C ．原式(23)(23)a b a b =---，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；D ．原式11(1)(1)33a a -++只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为22()()a b a b a b +-=-是解答本题的关键．13．（2022·河南川汇·八年级期末）如图，在边长为()x a +的正方形中，剪去一个边长为a 的小正方解：Q 020211,a ==()()222220192021202020201202012020=2020120201,b =´-=-+---=-()202020212020202023233331,3232222c æöæöæö=-´=-´´=-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø而311,2-<<,b a c \<<故选C 【点睛】本题考查的是零次幂的含义，平方差公式的应用，积的乘方运算的逆运算，先计算,,a b c 的值再比较大小是解本题的关键.15．（2022·黑龙江肇源·七年级期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）A ．（a +b ）（﹣a ﹣b ）B ．（a +b ）（a ﹣b ）C ．（a +b ）（a ﹣d ）D ．（a +b ）（2a ﹣b ）【答案】B 【分析】根据平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2对各选项分别进行判断．【详解】解：A 、（a +b ）（﹣a ﹣b ）＝﹣（a +b ）（a +b ）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；B 、（a +b ）（a ﹣b ）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（a +b ）（a ﹣d ）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；D 、（a +b ）（2a ﹣b ）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．16．（2022·天津红桥·八年级期末）下列计算正确的是（ ）A ．22224a b a b +=+（）B ．2225225104x y x xy y -=-+（）C ．2221122x y x xy y-=-+（）D ．221111123439x x x +=++（）【答案】D 【分析】根据完全平方公式逐项计算即可．【详解】解：A.22224+4a b a ab b +=+（），故不正确；B.2225225204x y x xy y -=-+（），故不正确；C.2221124x y x xy y -=-+（），故不正确；D.221111123439x x x +=++（），正确；故选D 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2是解答本题的关键．17．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）若2210a b -=，2a b -=，则a b +的值为（ ）A ．5B ．2C ．10D ．无法计算【答案】A 【分析】利用平方差公式：()()22a b a b a b -=+-进行求解即可．【详解】解：∵2a b -=，()()2210a b a b a b -=+-=，∴5a b +=，故选A ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．18．（2022·吉林通榆·八年级期末）从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）A．（a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a（a－b）＝a2－abC．b（a－b）＝ab－b2D．a2－b2＝（a＋b）（a－b）【答案】D【分析】观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，即可写出一个正确的等式．【详解】解：根据图形得：图1中阴影部分面积=a2-b2，图2中阴影部分面积=(a+b)(a-b)，∴a2-b2=(a+b)(a-b)，故选D．【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．19．（2021·河南原阳·八年级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x－y）（－x＋y）B．（－x＋y）（－x－y）C．（－x－y）（x－y）D．（x＋y）（－x＋y）【答案】A【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、（x−y）（−x＋y）＝−（x−y）（x−y），含y的项符号相同，含x的项符号相同，不能用平方差公式计算，故本选项正确；B、含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；C、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算，故本选项错误；D、含y的项符号相同，含x的项符号相反，能用平方差公式计算．故本选项错误；【点睛】考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校八年级期中）如图分割的正方形，拼接成长方形的方案中，可以验证（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．222()2a b a ab b -=-+D ．222()2a b a ab b -=--【答案】A【分析】对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式．【详解】解：如图所示，右边阴影部分面积为：22a b -，左边阴影部分面积为：()()a b a b +-，由阴影部分面积相等可得：()()22a b a b a b +-=-，故选A ．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景．分别表示出图形阴影部分的面积是解题的关键．【双基达标】1．（2021·福建南安·八年级期中）若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k 的取值是（）A ．5B ．±5C ．10D ．±10【答案】D 【解析】两个完全平方式：222a ab b ±+，利用完全平方式的特点可得答案.【详解】解：Q x 2＋kx ＋25225,x kx =++而x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，2510,k \=±´=±故选D【点睛】本题考查的是完全平方式，利用完全平方式的特点求解完全平方式中的字母系数是解题的关键.2．（2021·四川江油·八年级阶段练习）已知x ²-2mx +9是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．±6D ．6【答案】A【解析】【分析】根据完全平方公式的形式，可得答案．【详解】解：已知x 2-2mx +9是完全平方式，∴m =3或m =-3，故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．3．（2021·河南·郑州外国语中学九年级期中）无论a ，b 为何值代数式226112a b b a +++-的值总是（ ）A ．非负数B ．0C ．正数D ．负数【答案】C【解析】【分析】把含a 的放一块，配成完全平方公式，把含b 的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．解：原式22(21)(69)1a ab b =-+++++22(1)(3)1a b =-+++，2(1)0a -Q …，2(3)0b +…，22(1)(3)10a b \-+++>，即原式的值总是正数．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握对代数式进行正确变形．4．（2021·全国·八年级课时练习）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．2249-y x B ．4149-x C ．42--m n D ．21()94+-p q 【答案】C【解析】【分析】分别利用平方差公式分解因式进而得出答案．【详解】解：A 、2249-y x ＝（y ＋7x ）（y −7x ），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；B 、4149-x ＝（17＋x 2）（17−x 2），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；C 、−m 4−n 2，不可以用平方差公式分解因式，故此选项正确；D 、21()94+-p q ＝（12p ＋12q ＋3）（12p ＋12q −3），可以用平方差公式分解因式，故此选项错误；故选：C ．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．5．（2021·湖南双峰·七年级期中）下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（ ）A ．()()a b a b --+B ．(2x 3y)(2x 3)z +-C ．()()x y x y ---D ．()()m n n m --【答案】C【解析】【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【详解】解：A. ()()a b a b --+ 不能用平方差进行计算，故不符合题意B. (2x 3y)(2x 3)z +-不能用平方差进行计算，故不符合题意C. ()()x y x y ---能用平方差公式进行计算的是22()()x y x y y x ---=-，D. ()()m n n m --不能用平方差进行计算，故不符合题意故选：C ．【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．6．（2022·全国·七年级）已知：13x x +=，则221x x +=____．【答案】7【解析】【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可．【详解】解：13x x+=Q ，21()9x x\+=，22129x x ++=2217x x \+=，故答案为：7．【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算．7．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）若a +b =8，ab =-5，则()2a b -＝___________【答案】84【解析】【分析】根据完全平方公式的变形即可求解．【详解】∵a +b =8，ab =-5∴()2a b -=()24a b ab +-=64-4×（-5）=84故答案为：84．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知完全平方公式的变形．8．（2022·全国·七年级）若（x 2＋y 2＋1）（x 2＋y 2﹣1）＝48，则x 2＋y 2＝___【答案】7【解析】【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x 2＋y 2的值．【详解】解：因为（x 2+y 2+1）（x 2+y 2﹣1）＝48，所以（x 2+y 2）2﹣12＝48，所以（x 2+y 2）2＝49，x 2+y 2＝±7（负值舍去）．故答案为：7．【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键．9．（2022·全国·七年级）已知有理数x ，y 满足x ＋y 12=，xy ＝﹣3(1)求（x ＋1）（y ＋1）的值；(2)求x 2＋y 2的值．【答案】(1)112-(2)164【解析】【分析】（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1，再整体代入计算即可求解；（2）将x 2+y 2变形为（x +y ）2-2xy ，再整体代入计算即可求解．(1)（1）解：（1）（x +1）（y +1）=xy +（x +y ）+1=-3+12+1=112- ；(2)（2）解：x 2+y 2=（x +y ）2-2xy=164+，=164．【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用．10．（2021·福建同安·八年级期中）计算：（1）()22436310a a a a ×+--（2）()()()211a a a a +-+-【答案】（1）0；（2）21a +【解析】【分析】（1）分别计算同底数幂的乘法，积的乘方运算，再合并同类项即可；（2）先计算多项式乘以多项式，结合平方差公式进行简便运算，再合并同类项即可.【详解】解：（1）()22436310a a a a ×+--6669100a a a =+-= （2）()()()211a a a a +-+-2221a a a =+-+=21a +【点睛】本题考查的是幂的运算，合并同类项，整式的乘法运算，掌握“利用平方差公式进行简便运算”是解本题的关键.【高分突破】1．（2021·黑龙江·无八年级期末）已知x +y =4 ，xy =3 ，则x 2+ y 2的值为（ ）A ．22B ．16C ．10D ．4【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式变形，整体代入求值即可．【详解】解：()2222242316610x y x y xy +=+-=-´=-=．故选择C ．【点睛】本题考查式子的值，求代数式的值，掌握完全平方公式变形的方法是解题关键．2．（2022·陕西陇县·八年级期末）下列运算正确的是（ ）A ．428a a a =·B ．224()xy xy =C ．623y y y ¸=D ．222()2x y x xy y --=-+-【答案】D【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式分别计算得出答案．【详解】解：A 、426=a a a g ，故此选项错误；B 、2224()xy x y =，故此选项错误；C 、624¸=y y y ，故此选项错误；D 、222()2x y x xy y --=-+-，正确；【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘除运算法则及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2021·四川省德阳市第二中学校八年级阶段练习）图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．a+b B．（a-b）2C．ab D．a2－b2【答案】B【解析】【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．【详解】解：图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2．故选：B．【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．4．（2021·河南·永城市教育体育局教研室八年级期末）下列等式中，一定成立的是（）A．(x - y)2 = (y - x)2B．(x + 6)(x - 6) = x2 - 6C．(x + y)2 = x2 + y2D．(x - y)2 = x2 + 2xy + y2【答案】A【分析】分别根据完全平方公式和平方差公式判断各选项即可．【详解】解：A . 22()()x y y x -=-成立，故选项A 正确；B .2(6)(6)36x x x +-=-，选项B 不成立；C .222()2x y x xy y +=++，选项C 不成立；D .222()2x y x xy y -=-+ ，选项D 不成立；故选：A【点睛】本题主要考查了乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答本题的关键．5．（2021·全国·七年级期中）已知M 、N 表示两个代数式，M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），则M 与N 的大小是（ ）A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据作差法进行比较即可；【详解】解：∵ M ＝（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1），N ＝（2x +y ）（2x ﹣y ），∴M -N =（x +1）（x ﹣1）﹣2（y 2﹣y +1）-（2x +y ）（2x ﹣y ），=x 2-1-2y 2+2y -2-4x 2+y 2，=-3x 2-y 2-3＜0，∴M ＜N ，故答案为：B ．【点睛】本题主要考查了整式加减应用，涉及平方差公式等运算，熟练掌握相关运算法则、准确计算是解题的关键．6．（2021·江苏·如皋初级中学八年级阶段练习）若实数m ，n 满足m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，则m ﹣2﹣n 0【答案】3【解析】【分析】利用完全平方公式分别对等式中的m 、n 配方得到2211()3()022m n -++=，根据平方式的非负性求出m 、n 的值，再代入求解即可．【详解】解：由m 2﹣m +3n 2+3n ＝﹣1，得：m 2﹣m +3n 2+3n +1＝0，∴2211()3()044m m n n -++++=，即2211()3()022m n -++=，∵21()02m -³，213()02n +³，∴102m -=，102n +=，解得：m ＝12，12n =-，∴m －2﹣n 0＝201122-æöæö--ç÷ç÷èøèø＝4-1＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查代数式的求值、完全平方公式、平方式的非负性、负整数指数幂、零指数幂，会利用完全平方公式求解是解答的关键．7．（2021·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）若a ＋b ＝3，ab ＝1，则（a ﹣b ）2＝________．【答案】5【解析】【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【详解】解：∵a +b =3，ab =1，∴（a +b ）2=9，则a 2+2ab +b 2=9，∴a 2+b 2=9-2=7；（a -b ）2=a 2-2ab +b 2=7-2=5．故答案为：5．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确将已知变形是解题关键．8．（2021·吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）对于任意实数，若规定a b ad bc c d=-，则当2250x x --=时，121x x x +=-____．【答案】4【解析】【分析】先根据题意化简212211x x x x x +=---，将2250x x --=变形为225x x -=，再整体代入即可求解．【详解】解：由题意得()()212112211x x x x x x x x +=+--=---，∵2250x x --=，∴225x x -=，∴原式221=51=4x x ---．故答案为：4【点睛】本题考查了新定义问题，平方差公式，整体思想等知识，理解题意，将121x x x +-化简是解题关键．9．（2022·重庆·八年级期末）已知ax •ay ＝a 5，ax ÷ay ＝a ．（1）求x +y 和x ﹣y 的值；（2）运用完全平方公式，求x 2+y 2的值．【答案】（1）x +y ＝5，x ﹣y ＝1；（2）13【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出224(2)(2)a b a b a b =+--，代入求值即可；②利用平方差公式将22200199-写成(200199)(200199)=200199+´-+，以此类推，然后化简求值．【详解】解：（1）图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积()()a b a b +-，所以，得到公式22()()a b a b a b -=+-故答案为22()()a b a b a b -=+-．（2）①∵22224(2)(2)(2)a b a b a b a b -=-=+-∴(2)(2)=24a b a b +-又∵2a +b ＝6，24a b \-=故答案为4．②222222222001991981974321-+-+¼+-+-(200199)(200199)(198197)(198197)(43)(43)(21)(21)=+´-++´-+¼++´-++´-2001991981974321=+++¼++++20100=【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．。

树人阁教育一对一个性化辅导教案第三讲、乘法公式知识点讲义知识点：(一）、平方差公式:（a+ｂ）(ａ-b)=b a 22- 两数 与这两 差的积,等于它们的 。

1、即:(a ＋b ）(a-b) = 相同符号项的平方 － 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：b a 22-=（ａ＋b)（ａ-b ）。

3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(ａ+b ）(a －ｂ)或(ａ+b)(b-ａ)②有两数和的相反数与两数差的积 即:（－ａ-b)(a-ｂ)或(a+b)(ｂ－a) ③有两数的平方差 即:b a 22- 或a b 22+-(二）、完全平方公式：)(2b a +=a 2＋2ab+b 2 )(2b a -=a 2-２ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上(或减去）它们的积的 。

1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2＝)(2b a + a 2－2ab+b 2=)(2b a - 2、能否运用完全平方式的判定①有两数和(或差）的平方即:)(2b a +或 )(2b a -或 )(2b a --或)(2b a +-②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。

即:a 2+2ａｂ+b 2或a 2－2ab+b 2 a -2-2a ｂb -2或 a -2＋2a ｂ－b 2 基础训练:一、选择题1、下列各式中,能用平方差公式计算的是（ )ﻩA 、()()p q p q +--ﻩﻩ B 、()()p q q p -- Ｃ、(5)()x y y x +-335ﻩ D 、()()2332a b a b +- 2、与()72x y -之积等于y x4249-的因式为 （ ） ﻩＡ、(７x －y 2)ﻩﻩＢ、（7x ＋ｙ2） Ｃ、(－７ｘ-y ２) D 、(y 2－7x )3、下列等式能够成立的是 （ ）ﻩA 、()242222x y x x y y -=-+ﻩB 、()x y x y +=+222 ﻩＣ、()1214222a b a a b b -=-+ﻩＤ、()11222x x x x +=+ ４、要使式子4ａ2—12ａ 成为一个完全平方式的结果,则应加上 ( ）Ａ、3 ﻩ Ｂ、９ﻩﻩ C 、２．25 D 、1.55、()73322x +等于 ( ) A 、737322x x ++ﻩ B 、49972942x x ++ ﻩC 、4997942x x ++ﻩﻩﻩD 、7372942x x ++ ６、[][]()()()()x y x y x y x y +-+-所得结果是 ( ） ﻩＡ、x y 44- ﻩﻩ B 、x x y y 4224-+ C 、x ４+y 4 D 、x x yy 42242-+7、()a b -2加上如下哪一个后得()a b +2 ( ) A 、2ab ﻩﻩB 、３abﻩ C 、４ａb ﻩﻩ D 、0 ８、()()x y x x y y +++222等于( ） A 、x y 33+ﻩﻩＢ、x y 33- C 、()x y +3ﻩﻩD 、以上答案都不对 ９、下列各式不能用立方差公式计算的 ( )A 、()()-+-+aa a 112ﻩﻩB 、()(5)a a a 212552-++ C 、()()312932142a a a -++ D 、()()3312aa a +-+ 10、下面四个式子与(ａ-b )相乘所得的积中是二项式的有 （ ）①a +b ﻩ②a a b b 22++ ﻩ③a a b b 22-+ ﻩ④a a b b222-+ ﻩA 、①和④ﻩＢ、②和③ﻩ C 、①和② ﻩＤ、③和④ 二、填空题1、()()x y x y+=+33 2、a a b b a b 2223-+=-() 3、()()ab b a -=-121422 ４、()+=++m n 2245、()()4144983432233x x y y x y++=- ６、()()x x x -++=112227、()()x y x x y y n m n n m m +-+=22 8、(.)0222a a +=++9、()()()343422x y x y -+=+10、()()---+=x y x x y y 22解答题、1、四个连续偶数a 、b 、c 、d 中最后一个数是第m ＋2个正偶数,如果b d a c -=412,求这四个数2、已知x y x y +=-=1016，求下列各式的值ﻩ求①x y 22+ﻩ ②()x y -2ﻩﻩ③()()x y ++22④x x yy 22-+3、13122a a a a +=+求４、1)1)(1)(1)(12(222842+++++5、b ab b 22a .6,5a +-=-=+求已知：。

乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2z222⑦连用公式变化，x y x y x y2222x y x y44x y⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz完整平方公式活用: 把公式自己适合变形后再用于解题。

这里以完整平方公式为例，经过变形或从头组合，可得以下几个比较实用的派生公式：1. a22ab a2b2 b2. a22ab a2b2 b3. a2a22 a 2b2b b4. a2a24ab b b灵巧运用这些公式，常常能够办理一些特别的计算问题，培育综合运用知识的能力。

例 1．已知a b 2 ， ab 1，求a2b2的值。

例 2．已知a b 8， ab2，求 (a b)2的值。

解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3已知 a b4， ab5，求 a2b2的值。

解：2222a ab ab425262三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特色，认清公式中的“两数”．例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)剖析：本题两个因式中“-5 ”同样，“2x2”符号相反，因此“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b．例 2 计算 (- a2+4b) 2剖析：运用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b．（解略）（二）、注意为使用公式创建条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) ．剖析：粗看不可以运用公式计算，但注意察看，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因此，可运用添括号的技巧使原式变形为切合平方差公式的形式．例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) ．剖析：本题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推行计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推行获得：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y．（四）、注意公式的变换，灵巧运用变形公式例 7 已知：x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2的值．例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2剖析：本题能够利用乘法公式和多项式的乘法睁开后计算，但逆用完整平方公式，则运算更为简易．四、如何娴熟运用公式：熟习常有的几种变化有些题目常常与公式的标准形式不相一致或不可以直接用公式计算，此时要依据公式特色，合理调整变化，使其知足公式特色．常有的几种变化是：1、地点变化如（3x+5y）（5y－3x）互换3x和5y的地点后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变成－（2m+7n）（2m －7n）后即可用平方差公式求解了（思虑：不变或不这样变，能够吗？）3、数字变化如 98×102，992，912平分别变成（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后即可以用乘法公式加以解答了．4、系数变化如（ 4m+ n）（2m－n）变成2（2m+ n）（2m－n）2444后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵巧运用有些题目常常可用不一样的公式来解，此时要选择最适合的公式以使计算更简易．如计算（ a2+1）2·（a2－1）2，若分别睁开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法例后再进一步计算，则特别简易．即原式 =[ （a2+1）（a2－1）]2=（a4－1） 2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－1）（1－1）（1－1）（ 1223242－192）（1－1102），若分别算出各因式的值后再行相乘，不单计算繁难，并且简单犯错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则碰巧解本题．即原式 =（1－1）（1+1）（1－1）（1+ 1）× ×（ 1－1）（1+ 1）22331010 = 1× 3× 2× 4× × 9×11= 1× 11= 11．2233101021020有时有些问题不可以直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有： a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解相关问题常能收到事半功倍之效．2222如已知 m+n=7，mn=－18，求 m+n，m－mn+ n 的值．面对这样的问题即可用上述变式来解，2222即 m+n =（m+n）－2mn=7－2×（－ 18）=49+36=85，2222m－mn+ n= （m+n）－3mn=7－3×（－ 18） =103．以下各题，难不倒你吧？！1、若a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12，（2）（a－1）2的值．a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案： 1. （1）23；（2） 21．2. 6）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a ＋b)(a －b)=a 2－b2，(a ±b)=a 2±2ab＋b2，(a ±b)(a 2±ab＋b2)=a 3±b3．第一层次──正用即依据所求式的特色，模拟公式进行直接、简单的套用．例1计算( － 2x－y)(2x －y) ．．第二层次──逆用，马上这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：依据待求式的构造特色，探访规律，连续频频使用乘法公式；有时依据需要创建条件，灵巧应用公式．例 3 化简： (2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1．剖析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，假如再增加一个因式“ 2－1”即可连续应用平方差公式，从而问题水到渠成．解原式 =(2 －1)(2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=(2 2－1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能娴熟地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a ＋b) 2－2ab，a3＋b3=(a ＋b) 3－3ab(a ＋b) 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a＋b=9，ab=14，求 2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴ 2a2＋2b2 =2[(a ＋b) 2－2ab]=2(9 2－2·14)=106 ，第五层次──综合后用：将 (a ＋ b) 2=a2＋ 2ab＋ b2和(a －b) 2 =a2－2ab＋ b2综合，可得 (a ＋b) 2＋(a － b) 2=2(a 2＋b2 ) ；(a ＋b) 2－(a －b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式办理某些问题显得新奇、简捷．例 6 计算： (2x ＋y－z＋5)(2x －y＋z＋5) ．解：原式= 1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x ＋5) 2－(y － z) 2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz －z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：关于含负号许多的因式，往常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。

七年级完全平方公式培优讲义平方差和完全平方公式培优讲义教师寄语：. 服装是裁缝制作的，仅仅是货币的标志。

而人的知识，品德和气质，却是一个人真正的人生价值，对于庸俗的人，你可以反【知识精要】:1．乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22．运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b－a+c）=[（b+a）－c）]［b－（a－c）］=b2－（a－c）3．运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．【典例评析】:例1、计算：（1）(-3mn-1)(1-3mn)-8m 2n 2； （2）(a+b-c)(a-b+c)例2、计算：(a-2) (a+2) (a 2+4)(a 4+16)例3、计算： (1)2091×1998 ; (2)1101991002+⨯例4、逆用平方差公式巧算：(1)(2a+3)2-(2a-3)2; (2)(1－221)(1－231)(1－241)(1－251)(1－261)例5.．已知zx yz xy z y x y z a y x ---++=-=-222,10,则代数式的最小值等于多少？【课堂精练（一）】:1、计算：(1)(a 2b+5)( a 2b-5) (2)(5x-2y 2)( -5x-2y 2)(3)(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2) (4)(m-n-p)(-m-n-p)(5)(x 4+y 4)(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2、平方差公式的逆用与巧用(1)20102-2009×2011 (2)20122010201120112⨯-(4)若(a+2b)2=(a-2b)2+A ，则A= ；(5) 计算：12-22+32-42+…+992-1002；【培优拓展】:1、如果x-y=6，x 2-y 2=24,那么x+y= ;2、分析这组等式：1×3=22-1；3×5=42-1,5×7=62-1，…11×13=122-1…请用N 的式子表示规律：-----------------。

平方差公式及完全平方公式(a+b)(a-b)=a^2-b^2在这个公式中，(a+b)和(a-b)被称为差的产品。

平方差公式可以证明如下：设c=a+b，d=a-b，则可以将平方差公式表示为：c*d=(c+d)(c-d)将a+b和a-b分别代入c和d的等式中，则得到：c=a+bd=a-b代入后，等式变为：(a+b)(a-b)=(a+b+a-b)(a+b-a+b)通过合并和简化可得：(a + b)(a - b) = a^2 + ab - ab - b^2由于ab和-ab可以相互抵消，因此最终结果为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这就是平方差公式的推导过程。

平方差公式在数学中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算和化简代数式。

完全平方公式是指一个二次方程的解可以表示为两个平方项的和或差。

设有二次方程ax^2 + bx + c = 0，完全平方公式可以表示为：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a在这个公式中，b^2 - 4ac被称为判别式。

完全平方公式可以根据判别式的值分为三种情况：1.判别式大于0：这种情况下，二次方程有两个不相等的实根。

例如，当a=1，b=5，c=6时，判别式为25-24=1，有两个不同的解x1=-3和x2=-22.判别式等于0：这种情况下，二次方程有两个相等的实根。

例如，当a=1，b=4，c=4时，判别式为16-16=0，有一个解x=-23.判别式小于0：这种情况下，二次方程没有实根，解为虚数。

例如，当a=1，b=2，c=3时，判别式为4-12=-8，在实数范围内没有解。

完全平方公式可以通过配方法来推导。

对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以将其变形为：a(x^2+(b/a)x+c/a)=0为了让这个方程成为一个完全平方，需要找到一个用以平方的表达式。

将二次项的系数的一半平方加到方程中，即。

(b/2a)^2，结果是(b^2/4a^2)。

7年级预习（二）平方差与完全平方公式
完全平方公式
1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．
2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的
2倍．
3．公式的推广：①()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；
②()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦
； ③()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；
④()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++．
平方差公式：
(a+b)(a-b)＝a 2-b 2
2. （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a ）（2a-b ）
3.()()()()
4422b a b a b a b a +++-＝ ；
4.)32)(32(22y x y x -+
5.)32)(32(n m n m ---
6.)3)(3(xy z z xy ---
7. （1）
； （2） ；
公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。

(3) 公式中的 a 和b 可以是数，也
（3）；
（4）；
8.先化简，再求值，其中。

平方差和完全平方公式及其应用一、知识梳理1.平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

即：22()()a b a b a b +-=-特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。

注意：A ．找符合公式特征的才能运用公式B ．公式中a 、b 具有广泛性C ．公式的逆用：22()()a b a b a b -=+-D ．注意公式的变形 。

添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-”，括到括号内的各项全部变号。

即：()a b c a b c -+=+-+；()a b c a b c -+=--2.完全平方公式：公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的二倍。

即：222()2()a b a a b b +=++完全平方和公式222()2()a b a a b b -=-+完全平方差公式 特征：左边：两个数和（或差）的平方 右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。

完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。

3.乘法公式的运用：（1）正向运用：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a a b b ±=±+（2）逆向运用：22()()a b a b a b -=+-；2222()a a b b a b ±+=±（3）乘法公式的变式应用： ①2222()244()4a b a a b b a b a b a b a b +=++-+=-+②22()()4a b a b a b -=+-③2222()()2()a b a b a b ++-=+；④22()()4a b a b a b +--=⑤2222()()2()2a b a b a b a b a b +=+-=-+ ⑥22()()22a b a b a b +-=-； ⑦2222111()()2()2a a a a a a +=+-=-+ ⑧2222()222a b c a b c a b b c a c ++=+++++ ⑨2222221[()()()]2a b c a b b c a c a b b c a c +++++=+++++ ⑩2222221[()()()]2a b c a b b c a c a b b c a c ++---=-+-+- （3）完全平方公式的非负性：①非负性:2222()0a a b b a b ±+=±≥②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。

初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时a n －b n 能被a －b 整除,a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除,a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。

平方差公式完全平方公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2这两个公式在代数中非常重要，可以帮助我们简化计算、理解代数式的结构和性质。

下面，我们分别详细介绍这两个公式。

一、平方差公式我们先来看一个具体的例子：要将25-16表示为两个数的积。

根据平方差公式：25-16=(5+4)(5-4)=9通过平方差公式，我们将25-16这个差值分解为两个数的积，即5+4和5-4相乘得到9、这种分解可以帮助我们更方便地计算。

假设a和b是两个实数，并且a>b。

我们要求a^2-b^2的值。

根据乘法公式，a^2-b^2可以改写为(a-b)(a+b)。

我们可以将a-b视为一个因式，在它的后面添加括号(a+b)。

这样，我们得到了一个完整的乘法运算式：(a-b)(a+b)。

我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + ab - ab - b^2我们可以看到，中间的两项ab和-b^2可以合并为0，最终得到a^2 - b^2总结一下，平方差公式的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)这个公式可以帮助我们处理二次差值的问题，简化计算。

完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2我们来看一个具体的例子：要将x^2+6x+9表示为一个平方。

根据完全平方公式：x^2+6x+9=(x+3)^2通过完全平方公式，我们将x^2+6x+9这个二次多项式写成了(x+3)^2的形式。

这种形式更简洁，也更容易理解。

完全平方公式的推导如下：我们假设a和b是两个实数，并且a>b。

我们要求a^2 + 2ab + b^2的值。

根据平方差公式的推导过程，我们可以将a^2 + 2ab + b^2写成一个完整的乘法运算式(a + b)(a + b)。

我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，中间的两项2ab和b^2可以合并为2ab + b^2，最终得到了原来的二次多项式。

83完全平方公式与平方差公式完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，这些公式广泛应用于代数和几何中。

下面将详细介绍这些公式。

一、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个完全平方加上或减去一个常数。

完全平方公式具体表示如下：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式转化为一个完全平方。

例如，对于多项式x²+6x+9，我们可以看到其中的前两项x²和6x分别是完全平方公式的两个完全平方项，而最后一项9是一个常数。

因此，我们可以将该多项式表示为(x+3)²。

完全平方公式的应用非常广泛。

在代数中，我们经常需要将一个二次多项式写成一个完全平方的形式，这样可以更方便地进行计算和分析。

在几何中，完全平方公式可以用来推导出平方和的展开式，从而研究图形的性质。

平方差公式是指一个二次多项式可以表示为两个完全平方的差。

平方差公式具体表示如下：a²-b²=(a+b)(a-b)这里，a和b都是实数，可以是任意实数。

平方差公式表示了一个平方数与另一个平方数的差的关系。

利用平方差公式，我们可以将一个二次多项式转化为两个完全平方的乘积。

例如，对于多项式x²-9，我们可以将其表示为(x+3)(x-3)。

平方差公式的应用也非常广泛。

在代数中，平方差公式可以帮助我们简化和分解二次多项式，从而更方便地进行计算和分析。

在几何中，平方差公式可以用来推导出平方差和的展开式，从而研究图形的性质。

总结：完全平方公式和平方差公式都是数学中常用的公式。

完全平方公式将一个二次多项式表示为一个完全平方加上或减去一个常数，而平方差公式将一个二次多项式表示为两个完全平方的差。

利用这些公式，在代数和几何中可以更方便地计算和分析各种问题，推导出各种展开式，研究各种图形的性质。

《完全平方公式与平方差公式》讲义一、完全平方公式完全平方公式是数学中一个非常重要的公式，它有两个形式：（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²我们来详细解读一下这两个公式。

先看（a ＋ b）²＝ a²＋ 2ab ＋ b²。

想象有一个边长为（a ＋ b）的正方形，它的面积就是（a ＋ b）²。

我们可以把这个正方形分成四块，分别是边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长为 a 宽为 b 的长方形。

那么这个大正方形的面积就等于这四块面积之和，即 a²＋2ab ＋ b²。

再看（a b）²＝ a² 2ab ＋ b²。

同样，我们可以把（a b）²看成是一个边长为（a b）的正方形的面积。

通过类似的分割方法，也能得出其面积为 a² 2ab ＋ b²。

完全平方公式在计算和化简式子时非常有用。

例如，计算（3 ＋ 4）²。

我们可以直接使用完全平方公式：（3 ＋ 4）²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49。

又比如，化简（x ＋ 2y）²。

根据公式可得：（x ＋ 2y）²＝ x²＋2×x×2y ＋（2y）²＝ x²＋ 4xy ＋ 4y²。

在解决实际问题中，完全平方公式也经常出现。

假设一个正方形的边长增加了 5 厘米，原来的边长为 x 厘米，那么面积增加了多少？原来正方形的面积是 x²平方厘米，边长增加后的正方形边长为（x＋ 5）厘米，面积为（x ＋ 5）²平方厘米。

面积增加的值就是（x ＋ 5）² x²，利用完全平方公式展开可得：（x ＋ 5）² x²＝（x²＋ 10x ＋ 25） x²＝ 10x ＋ 25 （平方厘米）二、平方差公式平方差公式为：（a ＋ b）（a b）＝ a² b²这个公式的意思是，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

平方差公式、完全平方公式专题讲座一、整式的乘法1．单项式与单项式相乘的法则：单项式相乘，系数和字母分别相乘 如 223(2)(3)x y x y --2．单项式与多项式相乘的法则： ()m a b c ma mb mc ++=++ 如()()2a 3a4b 1--+ 3．多项式的乘法法则： ()()m n a b ma mb na nb ++=+++如 (7)(8)x x -+ 二、乘法公式1、平方差公式：22()()a b a b a b ++=- 即两数和与两数差的积等于这两个数的平方差 要注意灵活运用平方差公式，有七种变化形式（位置变化、符号变化、系数变化、指数变化、增项变化、增因式变化，连用公式变化），二七王平方差公式可以逆用。

2、完全平方公式 222()2a b a ab b +=++ 222()2a b a a b b -=-+ 即两数和（或差）的平方等于这两数的平方和，加上（或减去）这两个数的乘积的2倍。

它们各有三种变形：222()2a b a b ab +=+- 222()2a b a b a b +=-+2222()()ab a b a b =+-+ 2222()()a b a b a b =+--22()()4a b a b ab +=-+ 22()()4a b a b ab -=+-3、几何验证 1．（2006•天门）如图所示，从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形，小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形，这一过程可以验证（ ）A ．a 2+b 2﹣2ab=（a ﹣b ）2B ．a 2+b 2+2ab=（a+b ）2C ．2a 2﹣3ab+b 2=（2a ﹣b ）（a ﹣b ）D ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ） 2．（2010•达州）如图所示，在边长为a 的正方形中，剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a 、b 的恒等式为（ ）A ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2B ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．a 2+ab=a （a+b ）3．如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a 2，ab ，b 2，则原正方形的边长是（ ）A ．a 2+b 2B ．a+bC ．a ﹣bD ．a 2﹣b 24．（2010•丹东）图①是一个边长为（m+n ）的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2=4mn B ．（m+n ）2﹣（m 2+n 2）=2mnC ．（m ﹣n ）2+2mn=m 2+n 2D ．（m+n ）（m ﹣n ）=m 2﹣n 2【典型例题】例1 应用平方差公式计算（1）(43)(44)x y x y +- （2）(51)(51)x x -+-- （3）2(3)(3)(9)a a a +-+ (4) 2(21))21)(41)a a a +-+ (5)()()x a b x a b ++-- (6) ()()a b c a b c +--++ 例2 应用完全平方公式计算(1)2(21)m -+ (2)22()()()a b a b a b -+- (3)()()x y z x y z +--+ (4)22()()22yy x x +--变式训练：1．下列运算中，利用完全平方公式计算正确的是（ ）A ．（m - 2n ）2= m 2+4n 2B ．（m －2n ）2=m 2－4n 2C ．（m - 2n ）2=m 2－2mn+4n 2D ．（－m －2n ）2=m 2－4mn+4n 22.下列多项式属于完全平方式的是( )A. x 2－4x+8B. x 2y 2-xy+41C. x 2－xy+y 2D. 4x 2+4x －1例3 ① 已知 x+y=3, xy=-2, 求 ① x 2+y 2 ② (x-y)2 （哈尔滨中考题）②已知 13a a +=， 求 ① 221a a + ② 441a a+变式训练：已知x 2-3x+1=0, 求 ① 221x x + ② 441x x+ ③ 4221x x x ++（荷泽中考题）例3、应用公式简化计算（1）504496´ （2）2500049995001-?（3）2199 （4）21553（） 变式训练 计算：① 1.23452+0.76552+2.469×0.7655② 222222221234979899100-+-++-+-③ 2221999199819991997199919992+- 【名书·名校·中考在线】1、如果x+y=﹣1，x ﹣y=﹣2008，那么x 2﹣y 2= _________ ．（2、x ﹣y ）（x+y ）（x 2+y 2）（x 4+y 4）…（x 2n +y 2n）= _________ ． 3、已知，那么代数式（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2的值是 _________ ．4、已知a ﹣b=1，a+b=2008，则a 2﹣b 2的值为 _________ ．5、已知x 2﹣y 2=69，x+y=3，则x ﹣y= _________ ．6、用简便方法计算：99×101×10 001= _________7、（2x ﹣3y ）（﹣3y ﹣2x ）= _________8、已知a ﹣b=1，a 2﹣b 2=﹣1，则a 4﹣b 4= _________ ．9、（2004•梅州）计算：（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2= _________ ．10、已知a ＞0，且a ﹣=2，那么a 2+的值等于 _________ ．11、（1999•内江）配方：x 2+4x+ _________ =（x+ _________ ）2． 12、已知= _________ ．13、计算：832+83×34+172= _________ ． 14、若，则x 2+= _________ ．15、已知，则= _________ ．16、已知 2246130a b a b ++-+=，求（a+b ）2011的值。

完全平方公式／平方差公式的认识及应用一：学生情况及其分析：上海初一的学生，学校已经讲完整式乘法了，但是由于学生基础比较差，另外学生反映学校进度太快，所以完全没跟上，测试一百分能拿到三十分左右；分析了一下主要原因是学生对于新知识都只是知道个大概，但完全不会应用，比如本节内容学校已经讲过了，但学生只能大概说出完全平方式／平方差公式是什么，做题却毫无思路，就学生这个情况本节课将本专题按题型由简到难划分，主要培养学生的解题能力，同时课程前部分带学生回顾一下基础知识及推论（2－３h课程）。

二：教学目的：1、经历乘法公式的探求过程，理解乘法公式的意义，知道乘法公式与多项式乘法法则的关系；2、熟悉乘法公式的特征，掌握乘法公式及其简单运用（重难点）.三：教学设计：1，引入：复习乘法公式的基础形式并总结相关重点推论（将学生掌握不准确的知识点或易错点给予补充）。

2，教学过程：【知识梳理】（红色标注为重难点易错点内容）（一）平方差公式1．平方差公式：()()22-+=-a b a b a b2．平方差公式的特点：（1）左边是两个项式相乘，两项中有一项完全相同，另一项互为相反数（2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）（3）公式中的,a b可以是具体的数，也可是单项式或多项式（二）完全平方公式1．完全平方公式：()222+=++2a b a ab b()222-=-+2a b a ab b2．完全平方公式的特点：在公式()2222±=±+中，左边是一个二项式的完全平方，右边是a b a ab b一个二次三项式.其中有两项是左边括号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍，其符号由左边括号内的符号决定.本公式可由语言表述为：首平方，尾平方，两项乘积在中央.3．公式的恒等变形及推广： （1）()()()222a b b a a b -+=-=- （2）()()22a b a b --=+4．完全平方公式的几种常见变形： （1）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （2）()()()()22222222a b a b a b a b ab +-+--+==-（3）()()224a b a b ab -=+- （4）()()224a b a b ab +=-+（5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 5．其他：（拓展内容）()()333333,,,a b a b a b a b +-+-6．⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式完全平方公式的应用完全平方公式的变形【典型例题讲解】（一）平方差公式 题型一：【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用？（1）⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a 231312 （2）()()a b b a 3232++- （3）()()2323-+-m m【借题发挥】1．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的正方形()a b >，（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙）根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以证（ ） A. ()2222a b a ab b +=++; B. ()2222a b a ab b -=-+;C. ()()22a b a b a b -+=-;D.()()2222a b a b a ab b +-=+-.2．下列计算中可以用平方差公式的是 （ ）（A ）()()22--+a a （B ）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121（C ）()()y x y x -+- （D ）()()22y x y x +-题型二：平方差公式的计算及简单应用 【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+-（2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3121312122x x【例4】类型2：()()22a b a b b a -=-+（1）（2xy+1）（1-2xy ） （2）（3x-4a ）（4a+3x ）【例5】类型3：()()22a b b a b a -=---（1）（-5xy+4z ）（-5xy-4z ）（2）()()z y x z y x 323222+---【例6】类型4：()()()22b a m b a mb ma -=-+ （xy+xz ）（y-z ）【例7】类型5：计算：()()102102++-+-+z y x z y x【例8】运用平方差公式化简：（1）()()()2111x x x ++- （2）()a a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121412【例9】 计算：168422)12)(12)(12)(12(-++++。