普通初中毕业数学考试试卷

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列数中，哪个是整数？A. √4B. 2.5C. -√9D. 0.32. 一个长方形的长是8cm，宽是4cm，它的周长是多少？A. 20cmB. 24cmC. 32cmD. 16cm3. 下列方程中，哪个方程的解是x=3？A. 2x + 1 = 7B. x - 2 = 1C. 3x = 9D. 4x + 2 = 124. 一个数的相反数是-5，这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 105. 下列图形中，哪个是轴对称图形？A. 等腰三角形B. 长方形C. 正方形D. 梯形6. 一个等腰三角形的底边长是10cm，腰长是8cm，这个三角形的面积是多少？A. 40cm²B. 50cm²C. 60cm²D. 80cm²7. 下列数中，哪个是有理数？A. √2B. πC. -1/3D. 无理数8. 一个圆的半径是5cm，它的周长是多少？A. 15πcmB. 25πcmC. 30πcmD. 35πcm9. 下列代数式中，哪个是单项式？A. 3x + 2yB. 4x² - 3xy + 5y²C. 2x³D. 3x + 4y - 5z10. 下列图形中，哪个是旋转对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 矩形D. 圆二、填空题（每题2分，共20分）11. 2的平方根是______。

12. 一个等腰三角形的腰长是6cm，底边长是8cm，这个三角形的面积是______cm²。

13. 若a = 3，则a² + a = ______。

14. 一个数的倒数是1/5，这个数是______。

15. 下列方程的解是x = 2，方程是______。

16. 下列图形中，轴对称轴是______。

17. 下列代数式中，单项式是______。

18. 一个圆的直径是10cm，它的半径是______cm。

19. 下列数中，有理数是______。

初三数学毕业考试数学试卷含详细答案一、压轴题1．如图，己知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=22．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数____（用含t的代数式表示）；(2)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q?（列一元一次方程解应用题）(3)若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P、Q同时出发，问秒时P、Q之间的距离恰好等于2（直接写出答案）(4)思考在点P的运动过程中，若M为AP的中点，N为PB的中点.线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长.2．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BO N= ；（直接写出结果）（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）3．已知：如图，点A、B分别是∠MON的边OM、ON上两点，OC平分∠MON，在∠CON 的内部取一点P（点A、P、B三点不在同一直线上），连接PA、PB．（1）探索∠APB与∠MON、∠PAO、∠PBO之间的数量关系，并证明你的结论；（2）设∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分线PQ交OC于点Q，求∠OQP的度数（用含有x、y的代数式表示）．4．如图所示，已知数轴上A，B两点对应的数分别为－2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x .(1)若点P 到点A ，B 的距离相等，求点P 对应的数x 的值．(2)数轴上是否存在点P ，使点P 到点A ，B 的距离之和为8？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．(3)点A ，B 分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P 以5个单位长度/分的速度从O 点向左运动．当遇到A 时，点P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A 与点B 之间．当点A 与点B 重合时，点P 经过的总路程是多少？5．已知：如图，点M 是线段AB 上一定点，12AB cm =，C 、D 两点分别从M 、B 出发以1/cm s 、2/cm s 的速度沿直线BA 向左运动，运动方向如箭头所示（C 在线段AM 上，D 在线段BM 上）()1若4AM cm =，当点C 、D 运动了2s ，此时AC =________，DM =________；（直接填空）()2当点C 、D 运动了2s ，求AC MD +的值．()3若点C 、D 运动时，总有2MD AC =，则AM =________（填空）()4在()3的条件下，N 是直线AB 上一点，且AN BN MN -=，求MN AB的值． 6．阅读下列材料，并解决有关问题：我们知道，(0)0(0)(0)x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的式子，例如化简式子|1||2|x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x =（称1-、2分别为|1|x +与|2|x -的零点值）．在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数不重复且不遗漏地分成如下三种情况：（1）1x <-；（2）1-≤2x <；（3）x ≥2．从而化简代数式|1||2|x x ++-可分为以下3种情况：（1）当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+；（2）当1-≤2x <时，原式()()123x x =+--=；（3）当x ≥2时，原式()()1221x x x =++-=-综上所述：原式21(1)3(12)21(2)x x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩通过以上阅读，请你类比解决以下问题：（1）填空：|2|x +与|4|x -的零点值分别为 ；（2）化简式子324x x -++．7．如图：在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，C 点表示数c ，b 是最小的正整数，且a 、c 满足|a+2|+（c-7）2=0．（1）a=______，b=______，c=______；（2）若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则点B 与数______表示的点重合；（3）点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点A 与点B 之间的距离表示为AB ，点A 与点C 之间的距离表示为AC ，点B 与点C 之间的距离表示为BC ．则AB=______，AC=______，BC=______．（用含t 的代数式表示）.（4）直接写出点B 为AC 中点时的t 的值.8．已知数轴上三点A ，O ，B 表示的数分别为6，0，-4，动点P 从A 出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向左匀速运动．（1）当点P 到点A 的距离与点P 到点B 的距离相等时，点P 在数轴上表示的数是______；（2）另一动点R 从B 出发，以每秒4个单位的速度沿数轴向左匀速运动，若点P 、R 同时出发，问点P 运动多少时间追上点R ？（3）若M 为AP 的中点，N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN 的长度．9．在数轴上，图中点A 表示－36，点B 表示44，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，相向而行，动点P 、Q 的运动速度比之是3∶2（速度单位：1个单位长度/秒）．12秒后，动点P 到达原点O ，动点Q 到达点C ，设运动的时间为t （t ＞0）秒．（1）求OC 的长；（2）经过t 秒钟，P 、Q 两点之间相距5个单位长度，求t 的值；（3）若动点P 到达B 点后，以原速度立即返回，当P 点运动至原点时，动点Q 是否到达A 点，若到达，求提前到达了多少时间，若未能到达，说明理由．10．综合与探究问题背景数学活动课上，老师将一副三角尺按图（1）所示位置摆放，分别作出∠AOC ，∠BOD 的平分线OM 、ON ，然后提出如下问题：求出∠MON 的度数．特例探究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题，他们将三角尺分别按图2、图3所示的方式摆放，OM 和ON 仍然是∠AOC 和∠BOD 的角平分线．其中，按图2方式摆放时，可以看成是ON 、OD 、OB 在同一直线上．按图3方式摆放时，∠AOC 和∠BOD 相等．（1）请你帮助“兴趣小组”进行计算：图2中∠MON 的度数为 °．图3中∠MON 的度数为 °．发现感悟解决完图2，图3所示问题后，“兴趣小组”又对图1所示问题进行了讨论：小明：由于图1中∠AOC和∠BOD的和为90°，所以我们容易得到∠MOC和∠NOD的和，这样就能求出∠MON的度数．小华：设∠BOD为x°，我们就能用含x的式子分别表示出∠NOD和∠MOC度数，这样也能求出∠MON的度数．（2）请你根据他们的谈话内容，求出图1中∠MON的度数．类比拓展受到“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺按图4所示方式摆放，分别作出∠AOC、∠BOD的平分线OM、ON，他们认为也能求出∠MON的度数．（3）你同意“智慧小组”的看法吗？若同意，求出∠MON的度数；若不同意，请说明理由．11．我国著名数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”数形结合的思想方法在数学中应用极为广泛.观察下列按照一定规律堆砌的钢管的横截面图：用含n的式子表示第n个图的钢管总数.（分析思路）图形规律中暗含数字规律，我们可以采用分步的方法,从图形排列中找规律;把图形看成几个部分的组合,并保持结构,找到每一部分对应的数字规律,进而找到整个图形对应的数字规律．如:要解决上面问题，我们不妨先从特例入手: (统一用S 表示钢管总数)（解决问题）(1)如图，如果把每个图形按照它的行来分割观察，你发现了这些钢管的堆砌规律了吗?像n=1、n=2的情形那样,在所给横线上,请用数学算式表达你发现的规律.S=1+2 S=2+3+4 _____________ ______________(2)其实，对同一个图形，我们的分析眼光可以是不同的．请你像(1)那样保持结构的、对每一个所给图形添加分割线，提供与(1)不同的分割方式;并在所给横线上，请用数学算式表达你发现的规律:_______ ____________ _______________ _______________(3)用含n 的式子列式，并计算第n 个图的钢管总数.12．对于数轴上的点P ，Q ，给出如下定义：若点P 到点Q 的距离为d(d≥0)，则称d 为点P 到点Q 的d 追随值，记作d[PQ]．例如，在数轴上点P 表示的数是2，点Q 表示的数是5，则点P 到点Q 的d 追随值为d[PQ]=3．问题解决：(1)点M ，N 都在数轴上，点M 表示的数是1，且点N 到点M 的d 追随值d[MN]=a(a≥0)，则点N 表示的数是_____(用含a 的代数式表示)；(2)如图，点C 表示的数是1，在数轴上有两个动点A ，B 都沿着正方向同时移动，其中A 点的速度为每秒3个单位，B 点的速度为每秒1个单位，点A 从点C 出发，点B 表示的数是b ，设运动时间为t(t>0)．①当b=4时，问t 为何值时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]=2；②若0<t≤3时，点A 到点B 的d 追随值d[AB]≤6，求b 的取值范围．13．已知线段30AB cm（1）如图1，点P 沿线段AB 自点A 向点B 以2/cm s 的速度运动，同时点Q 沿线段点B 向点A 以3/cm s 的速度运动，几秒钟后，P Q 、两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P Q 、两点相距10cm ？（3）如图2，4AO cm =，2PO cm =，当点P 在AB 的上方，且060=∠POB 时，点P 绕着点O 以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q 沿直线BA 自B 点向A 点运动，假若点P Q 、两点能相遇，求点Q 的运动速度．14．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？在①135︒，②120︒，③75︒，④25︒中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是_________；（填序号）（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种.如图，他先用三角板画出了直线EF ，然后将一副三角板拼接在一起，其中45角（AOB ∠）的顶点与60角（COD ∠）的顶点互相重合，且边OA 、OC 都在直线EF 上.固定三角板COD 不动，将三角板AOB 绕点O 按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB 与射线OF 第一次重合时停止.①当OB 平分EOD ∠时，求旋转角度α；②是否存在2BOC AOD ∠=∠？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由.15．结合数轴与绝对值的知识解决下列问题：探究：数轴上表示4和1的两点之间的距离是____，表示－3和2两点之间的距离是____；结论：一般地，数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于∣m-n ∣．直接应用：表示数a 和2的两点之间的距离等于____，表示数a 和－4的两点之间的距离等于____；灵活应用：(1)如果∣a+1∣=3，那么a=____；(2)若数轴上表示数a 的点位于－4与2之间，则∣a-2∣+∣a+4∣=_____；(3)若∣a-2∣+∣a+4∣=10，则a =______；实际应用：已知数轴上有A、B、C 三点，分别表示-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位长度/秒，乙的速度为6个单位长度/秒.(1)两只电子蚂蚁分别从A、C两点同时相向而行，求甲、乙数轴上相遇时的点表示的数。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：A解析：将x=3代入函数f(x) = x^2 - 2x + 1，得到f(3) = 3^2 - 23 + 1 = 4。

2. 下列哪个数是负数？（）A. -1/2B. 0C. 1/2D. 2答案：A解析：负数是小于0的数，只有A选项的-1/2是负数。

3. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，则该三角形的周长为（）A. 20cmB. 22cmC. 24cmD. 26cm答案：C解析：等腰三角形的两腰相等，所以周长=底边长+两腰长=6cm+8cm+8cm=24cm。

4. 下列哪个图形是轴对称图形？（）B. 长方形C. 等腰三角形D. 等边三角形答案：A解析：轴对称图形是指通过某条直线将图形分成两部分，两部分完全重合。

正方形满足这个条件。

5. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，则该方程的解为（）A. x1=2，x2=3B. x1=3，x2=2C. x1=-2，x2=-3D. x1=-3，x2=-2答案：A解析：通过因式分解或配方法解得方程的解为x1=2，x2=3。

二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a+b=5，ab=6，则a^2+b^2的值为______。

答案：37解析：根据公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2，可得a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 26 = 25 - 12 = 13。

7. 在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，则sinC的值为______。

答案：√3/2解析：在直角三角形中，sinC = 对边/斜边。

∠C=90°-∠B=60°，所以sinC = √3/2。

8. 若一个正方形的边长为a，则该正方形的面积为______。

解析：正方形的面积=边长×边长=a×a=a^2。

初中毕业数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…B. √2C. 4D. π答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 14C. 18D. 20答案：C3. 函数y=2x+3的图象与x轴的交点坐标是？A. (0,3)B. (-3/2,0)C. (3/2,0)D. (0,-3)答案：B4. 一个数的相反数是-5，这个数是？A. 5C. 0D. 1答案：A5. 若a=2b，且b=3，则a的值是多少？A. 6B. 3C. 2D. 1答案：A6. 一个圆的半径是5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B7. 一个长方体的长、宽、高分别是4、3、2，那么它的体积是多少？A. 24B. 36C. 48D. 60答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？B. -5C. 5或-5D. 0答案：C9. 一个数的平方根是3，这个数是？A. 9B. -9C. 3D. -3答案：A10. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么第5项是多少？A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果一个底角是40°，那么顶角是____。

答案：100°2. 一个数的立方根是2，那么这个数是____。

答案：83. 一个数的平方是16，那么这个数是____。

答案：±44. 函数y=x^2-4x+4的最小值是____。

答案：05. 一个圆的直径是10，那么它的周长是____。

答案：31.46. 一个长方体的体积是60，长和宽都是3，那么高是____。

答案：6.67（保留两位小数）7. 一个等差数列的首项是1，公差是2，那么第10项是____。

答案：198. 一个数的绝对值是7，那么这个数是____。

答案：±79. 一个数的倒数是2，那么这个数是____。

初三数学试卷（含答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 若a²4a+4=0，则a的值为（）A. 2B. 2C. 0D. 2或22. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+b²B. (a+b)³=a³+b³C. (a+b)²=a²+2ab+b²D. (a+b)³=a³+3ab²+b³3. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=(a+b)(a+b)B. (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)C.(a+b)⁴=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) D.(a+b)⁵=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)4. 若a²4a+4=0，则a的值为（）A. 2B. 2C. 0D. 2或25. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+b²B. (a+b)³=a³+b³C. (a+b)²=a²+2ab+b²D. (a+b)³=a³+3ab²+b³6. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=(a+b)(a+b)B. (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)C.(a+b)⁴=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) D.(a+b)⁵=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)7. 若a²4a+4=0，则a的值为（）A. 2B. 2C. 0D. 2或28. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=a²+b²B. (a+b)³=a³+b³C. (a+b)²=a²+2ab+b²D. (a+b)³=a³+3ab²+b³9. 下列各式中，正确的是（）A. (a+b)²=(a+b)(a+b)B. (a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)C.(a+b)⁴=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) D.(a+b)⁵=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)10. 若a²4a+4=0，则a的值为（）A. 2B. 2C. 0D. 2或2二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若a²4a+4=0，则a的值为______。

2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.4. 下列计算正确是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =5.）AB. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC∥ B. ADE ABC△△∽ C. 2BC DE =D.的..12ADE ABC S S =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <-B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．的18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；的【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A BB C的值．2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“+”，则支出为“-”，那么支出180元记作180-元．故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ，故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、22232a a a -=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意； D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5. ）A. B. C. 14 D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．=故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案．【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着 BC，∴12A BOC ∠=∠，45A ∠=︒ ，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．是9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC ∥ B. ADE ABC △△∽ C. 2BC DE = D. 12ADE ABC S S = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S = ，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <- B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C.【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限，∴24030a a -<⎧⎨+>⎩，∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点”， 32a -<<，∴整数a 为2-，1-，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1-，()6,2-，()4,3-，()2,4-，∵1188=--，2163=--，3344=--，422=--∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4-，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024--=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6-##()6-+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒-︒=︒，12dmOB =【12tan 30BH ∴=⨯︒=，OH =OBH OCH OBCS S S =+△△△ 111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =-．故答案为：(6-．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭13122=++-52=．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++=.23x x x-=+1x x +=，当3x =时，原式31433+==．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100（2）见解析 （3）36（4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，的故答案为：100；【小问2详解】100330421015----=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒，故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵，根据题意，得()5030100038000a a +-≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =-=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒，∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈，∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==-=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，表示出()()23PD x x =+-+，13CD x =-+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =-代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，∴54c =-+，∴9c =，∴29y x =-+；【小问2详解】当0y =时，209x =-+，∴123,3x x =-=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴3y x =-+，设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+，13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +-++-==-++ ，∴DCPDQA S S △△的值为定值；【小问3详解】设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩，∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩，∴12129y x x x -=+，当11x x =-时，()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A B B C的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12【解析】【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒-︒=︒；（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒-︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒，∴18019022OAE αα︒-∠==︒-，∵90OAC ∠=︒，∴12DAC α∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=，∴1122DFC ααα∠=+=，∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==，∴由勾股定理得53OC r =，∵23CEOE =，∴23CE r =，∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==，∵OG AE ⊥，OA OE =，∴12EOG α∠=，∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒，∴12EAH EOG α∠=∠=，在Rt OAH △中，4tan 3AHOH α==，∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =-=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12ACB DAC α∠=∠=，而12EAH α∠=，∴12ACB α∠=，∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 已知x² - 3x + 2 = 0，则x的值为：A. 1B. 2C. 1或2D. 无解2. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为：A. （2，-3）B. （-2，3）C. （-2，-3）D. （2，-3）3. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=12，则ab+bc+ac的值为：A. 36B. 24C. 18D. 94. 已知函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 0D. 35. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°6. 若m² - 6m + 9 = 0，则m的值为：A. 3B. -3C. 3或-3D. 无解7. 已知一次函数y = kx + b的图象经过点（1，3），则k+b的值为：A. 4B. 2C. 1D. 08. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，则∠ABC的度数为：A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°9. 若x² - 4x + 4 = 0，则x的值为：A. 2B. -2C. 2或-2D. 无解10. 已知函数f(x) = x² - 2x + 1，则f(2)的值为：A. 1B. 0C. 3D. 4二、填空题（每题2分，共20分）11. 已知一元二次方程x² - 5x + 6 = 0，则该方程的解为__________。

12. 在直角坐标系中，点P（-3，2）关于原点的对称点坐标为__________。

13. 若a，b，c是等差数列，且a+b+c=18，则ab+bc+ac的值为__________。

14. 已知函数f(x) = 3x - 2，则f(1)的值为__________。

初中生数学测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的相反数是-5，那么这个数是：A. 5B. -5C. 0D. 10答案：A3. 计算下列算式的结果：2x + 3 = 11A. x = 4B. x = 5C. x = 6D. x = 7答案：B4. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 圆B. 正方形C. 长方形D. 所有选项答案：D5. 一个数的平方是25，那么这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C6. 一个数的立方是-8，那么这个数是：A. 2B. -2C. 1D. -1答案：B7. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C8. 计算下列算式的值：(3x - 2) / (x + 1) = 4A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B9. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是：A. 3B. 1/3C. 3/1D. 1/9答案：A10. 一个数的平方根是4，那么这个数是：A. 16B. 4C. -4D. 以上都不对答案：A二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数的立方等于它本身，这个数可以是______。

答案：0, 1, -12. 如果一个角的补角是120°，那么这个角是______。

答案：60°3. 一个数的绝对值是8，这个数可以是______。

答案：8或-84. 一个数的平方根是3，这个数是______。

答案：95. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长度可以是______。

答案：大于1且小于7的任何数6. 一个数的倒数是2，这个数是______。

答案：1/27. 一个数的平方是16，这个数可以是______。

答案：4或-48. 一个数的立方是27，这个数是______。

一、选择题1. 选择题：下列各数中，正整数是（）A. -3B. 0C. 2D. -1/2答案：C解析：正整数是大于0的整数，故选C。

2. 选择题：下列各数中，负分数是（）A. 1/2B. -1/3C. 3/4D. 0答案：B解析：负分数是小于0的分数，故选B。

3. 选择题：下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25答案：A解析：无理数是不能表示为两个整数比的数，√4=2，√9=3，√16=4，√25=5，故选A。

二、填空题4. 填空题：2的平方根是________，3的立方根是________。

答案：±√2，∛3解析：2的平方根是±√2，3的立方根是∛3。

5. 填空题：下列各式中，完全平方公式是________。

答案：a²+2ab+b²解析：完全平方公式是(a+b)²=a²+2ab+b²。

6. 填空题：下列各式中，合并同类项后结果是________。

答案：5x²-3x+2解析：合并同类项后，5x²和-3x是同类项，合并后得到5x²-3x，再加上2，得到5x²-3x+2。

三、解答题7. 解答题：计算下列各式的值。

（1）3x²-2x+1（2）4a²-9b²（3）√(16x²-25)答案：（1）3x²-2x+1=3x²-2x+1（2）4a²-9b²=(2a+3b)(2a-3b)（3）√(16x²-25)=√((4x+5)(4x-5))=4x+5或4x-5解析：（1）直接将同类项合并。

（2）利用平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²。

（3）利用平方差公式，将16x²-25分解为(4x+5)(4x-5)，再开平方根。

8. 解答题：解下列一元一次方程。

初三数学毕业试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是二次函数的一般形式？A. y=ax+bB. y=a(x-h)^2+kC. y=ax^2+bx+cD. y=a(x+h)^2+k2. 如果一个多边形的内角和是720度，那么这个多边形有多少条边？A. 4B. 5C. 6D. 73. 计算下列表达式的结果：(2x+3)(x-1) = ?A. 2x^2+x-3B. 2x^2-x+3C. 2x^2-x-3D. 2x^2+x+34. 下列哪个选项是不等式2x-3>5的解集？A. x>4B. x<4C. x>1D. x<15. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 31.4厘米B. 10π厘米C. 20π厘米D. 50π厘米6. 如果一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，那么它的面积是多少？A. 12平方厘米B. 24平方厘米C. 6平方厘米D. 18平方厘米7. 下列哪个选项是方程x^2-5x+6=0的解？A. x=2或x=3B. x=1或x=6C. x=2或x=-3D. x=-2或x=-38. 计算下列表达式的值：(3x-2)/(x+1) 当x=1时，该表达式的值为？A. 1/2B. 1C. -1D. 09. 一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，那么它的体积是多少？A. 24立方厘米B. 12立方厘米C. 8立方厘米D. 6立方厘米10. 一个正数的平方根是2，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 2D. -2二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。

12. 一个直角三角形的两条直角边长分别是3厘米和4厘米，那么它的斜边长是______厘米。

13. 如果一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

14. 一个数的绝对值是7，那么这个数可以是______或______。

15. 一个正比例函数的图象经过点(2,6)，那么它的解析式是y=______。

2024年河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键．由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．【详解】解：由五日气温为得到，，∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．故选：A．2.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则．【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B．，故此选项不符合题意；C．，故此选项符合题意；D．，故此选项不符合题意．故选：C．3.如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，∴，∴B、C、D选项不符合题意，故选：A．4.下列数中，能使不等式成立的x的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可．【详解】解：∵，∴．∴符合题意的是A故选A．5.观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（）A.角平分线B.高线C.中位线D.中线【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案．【详解】解：由作图可得：，∴线段一定是的高线；故选B6.如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键．【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、．故选：D．7.节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（）A.若，则B.若，则C.若x减小，则y也减小D.若x减小一半，则y增大一倍【答案】C【解析】【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．∴，∴，当时，，故A不符合题意；当时，，故B不符合题意；∵，，∴当x减小，则y增大，故C符合题意；若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；故选：C．8.若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可．【详解】解：由题意得：，∴，∴，故选：A．9.淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（）A.1B.C.D.1或【答案】C【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得方程，利用公式法求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：或（舍）故选：C．10.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接．求证：四边形是平行四边形．证明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四边形是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】证明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四边形是平行四边形．故选：D．11.直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．【详解】解：正六边形每个内角为：，而六边形的内角和也为，∴，∴，∵，∴，故选：B．12.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D【答案】B【解析】【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案．【详解】解：设，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；故选：B．13.已知A为整式，若计算的结果为，则（）A.xB.yC.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．由题意得，对进行通分化简即可．【详解】解：∵的结果为，∴，∴，∴，故选：A．14.扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键．【详解】解：设该扇面所在圆的半径为，，∴，∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为，∴，∴，∴是的正比例函数，∵，∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C．15.“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（）A.“20”左边的数是16B.“20”右边的“□”表示5C.运算结果小于6000D.运算结果可以表示为【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键．设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项．【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和如图：则由题意得：，∴，即，∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍；当时，则，如图：，∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意；B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意；∴上面的数应为，如图：∴运算结果可以表示为：，∴D选项符合题意，当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意，故选：D．16.平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（）A.或B.或C.或D.或【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故选：D．二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）17.某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______．【答案】89【解析】【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数．根据众数的定义求解即可判断．【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，89出现的次数最多，以上数据的众数为89．故答案为：89．18.已知a，b，n均为正整数．（1）若，则______；（2）若，则满足条件a的个数总比b的个数少______个．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键；（1）由即可得到答案；（2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案．【详解】解：（1）∵，而，∴；故答案为：；（2）∵a，b，n均为正整数．∴，，为连续的三个自然数，而，∴，，观察，，，，，，，，，，，而，，，，，∴与之间的整数有个，与之间的整数有个，∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个），故答案为：．19.如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点．（1）的面积为______；（2）的面积为______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可．【详解】解：（1）连接、、、、，∵的面积为，为边上的中线，∴，∵点，，，是线段的五等分点，∴，∵点，，是线段的四等分点，∴，∵点是线段的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴的面积为，故答案为：；（2）在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴、、三点共线，∴，∵，∴，∵，，∴，在和中，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20.如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12．（1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值；（2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键；（1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案；（2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可．【小问1详解】解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，∴，，，∴；【小问2详解】解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，∴，∴，解得：；21.甲、乙、丙三张卡片正面分别写有，除正面的代数式不同外，其余均相同．（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率；（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．【答案】（1）（2）填表见解析，【解析】【分析】（1）先分别求解三个代数式当时的值，再利用概率公式计算即可；（2）先把表格补充完整，结合所有可能的结果数与符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．【小问1详解】解：当时，，，，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为：；【小问2详解】解：补全表格如下：∴所有等可能的结果数有种，和为单项式的结果数有种，∴和为单项式的概率为．【点睛】本题考查的是代数式的值，正负数的含义，多项式与单项式的概念，利用列表法求解简单随机事件的概率，掌握基础知识是解本题的关键．22.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P 到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面）（1）求的大小及的值；（2）求的长及的值．【答案】（1），（2），【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键；（1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案；（2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案．【小问1详解】解：由题意可得：，，，，，∴，，，∴，∴，；【小问2详解】解：∵，，∴，如图，过作于，∵，设，则，∴，解得：，∴，∴．23.情境图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）操作嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：（1）直接写出线段的长；（2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长．探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长．【答案】（1）；（2），；的长为或．【解析】【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度．（1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可；（2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可．【详解】解：如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，∴，由拼接可得：，由正方形的性质可得：，∴，，为等腰直角三角形，∴为等腰直角三角形，设，∴，∴，，∵正方形的边长为，∴对角线的长，∴，∴，解得：，∴；（2）∵为等腰直角三角形，；∴，∴，∵，，∴；如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，此时，，符合要求，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，此时，，∴，综上：的长为或．24.某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下：当时，；当时，．（其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线）公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格．（1）甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩；（2）丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值：（3）下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表：原始成绩（分）95100105110115120125130135140145150人数1225810716201595①直接写出这100名员工原始成绩的中位数；②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率．【答案】（1）甲、乙的报告成绩分别为76，92分（2）125（3）①130；②【解析】【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；（2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得；（3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：．【小问1详解】解：当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分；【小问2详解】解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时，，，由①②得，∴，∴，故不成立，舍；②时，，，由③④得：，∴，∴，∴，∴，故不成立，舍；③时，，，联立⑤⑥解得：，且符合题意，综上所述；【小问3详解】解：①共计100名员工，且成绩已经排列好，∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，∴中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，∴由表格得到原始成绩为110及110以上人数为，∴合格率为：．【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键．25.已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设．（1）当点B与点N重合时，求劣弧的长；（2）当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值；（3）设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值；②直接写出d的最小值．【答案】（1）（2）点B到的距离为；（3）①；②【解析】【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案；（2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案；（3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于，，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案．【小问1详解】解：如图，连接，，∵的半径为3，，∴，∴为等边三角形，∴，∴的长为；【小问2详解】解：过作于，过作于，连接，∵，∴，∴四边形是矩形，∴，，∵，，∴，而，∴，∴点B到的距离为；∵，，∴，∴，∴；【小问3详解】解：①如图，∵过点A的切线与垂直，∴过圆心，过作于，过作于，而，∴四边形为矩形，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，即；②如图，当为中点时，过作于，过作于，∴，∴，此时最短，如图，过作于，而，∵为中点，则，∴由（2）可得，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：（不符合题意的根舍去），∴的最小值为．【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键．26.如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P．（1）直接写出a的值和点Q的坐标．（2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点．请选择其中一人的说法进行说理．（3）当时，①求直线PQ的解析式；②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．（4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．【答案】（1），（2）两人说法都正确，理由见解析（3）①；②或（4）【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；（2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点；（3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可；（4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．【小问1详解】解：∵抛物线过点，顶点为Q．∴，解得：，∴抛物线为：，∴；小问2详解】解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，当时，∴，∴在上，∴嘉嘉说法正确；∵，当时，，∴过定点；∴淇淇说法正确；【小问3详解】解：①当时，，∴顶点，而，设，∴，解得：，∴为；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），∴，∴交点，交点，由直线，设直线为，∴，解得：，∴直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，同理当直线过点，直线为：，当时，，此时直线与轴交点的横坐标为，【小问4详解】解：如图，∵，，∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，∴四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，∵，，∴的横坐标为，∵，，∴横坐标为，∴，解得：；【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列数中，有理数是（）A. √4B. √-9C. √-1D. π2. 下列图形中，属于平行四边形的是（）A. 正方形B. 等腰梯形C. 矩形D. 三角形3. 已知a > b，下列不等式中成立的是（）A. a - b > 0B. a + b < 0C. ab > 0D. a/b < 04. 下列代数式中，同类项是（）A. 2x^2yB. 3xy^2C. 4x^2D. 5y5. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^3 - 2x^2 + 3x - 4B. y = 2x^2 + 5x + 3C. y = x^2 + 2x + 1D. y = x^2 + 2x + 36. 已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，那么另一条直角边长是（）A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7cm7. 下列方程中，有唯一解的是（）A. 2x + 3 = 5B. 3x - 4 = 2C. 4x + 5 = 3D. 5x - 2 = 48. 下列图形中，中心对称图形是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 等腰梯形D. 圆9. 下列运算中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2B. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2C. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^210. 下列概率中，正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，出现正面的概率是1/2B. 抛掷一枚骰子，出现偶数的概率是1/3C. 抛掷一枚骰子，出现6的概率是1/6D. 抛掷一枚骰子，出现奇数的概率是1/4二、填空题（每题2分，共20分）11. 若a + b = 5，a - b = 1，则a = ______，b = ______。

12. 下列数中，是质数的是 ______，是合数的是 ______。

2024年赤峰市初中毕业、升学统一考试试卷数学温馨提示：1．本试卷卷面分值150分，共8页，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、座位号、考生号填写在答题卡的相应位置上，并仔细阅读答题卡上的“注意事项”．3．答题时，请将答案填涂在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A.95.210⨯ B.110.5210⨯ C.95210⨯ D.105.210⨯3.将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则1∠的大小为（）A.100︒B.105︒C.115︒D.120︒4.下列计算正确的是（）A.235a a a+= B.222()a b a b+=+ C.632a a a÷= D.()236a a=5.在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误．．的是（）A.为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50B.了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性D.甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差2 2.5S=甲，2 2.3S=乙，则发挥稳定的是甲6.解不等式组()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.7.如图，是正n 边形纸片的一部分，其中l m ，是正n 边形两条边的一部分，若l m ，所在的直线相交形成的锐角为60︒，则n 的值是（）A.5B.6C.8D.108.某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数3941334047A.120B.200C.6960D.96009.等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A.17或13B.13或21C.17D.1310.如图，AD 是O 的直径，AB 是O 的弦，半径OC AB ⊥，连接CD ，交OB 于点E ，42BOC ∠=︒，则OED ∠的度数是（）A.61︒B.63︒C.65︒D.67︒11.用1块A 型钢板可制成3块C 型钢板和4块D 型钢板；用1块B 型钢板可制成5块C 型钢板和2块D 型钢板．现在需要58块C 型钢板、40块D 型钢板，问恰好用A 型钢板、B 型钢板各多少块？如果设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，则可列方程组为（）A.32404558x y x y +=⎧⎨+=⎩ B.35404258x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩ D.34585240x y x y +=⎧⎨+=⎩12.如图，ABC 中，1AB BC ==，72C ∠=︒．将ABC 绕点A 顺时针旋转得到AB C ''△，点B'与点B 是对应点，点C '与点C 是对应点．若点C '恰好落在BC 边上，下列结论：①点B 在旋转过程中经过的路径长是15π；②B B A C '∥；③BD C D '=；④AB B B AC BD'=．其中正确的结论是（）A.①②③④B.①②③C.①③④D.②④13.如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A.a b +B.a b -C.abD.a b-14.如图，正方形ABCD 的顶点A ，C 在抛物线24y x =-+上，点D 在y 轴上．若A C ，两点的横坐标分别为m n ，（0m n >>），下列结论正确的是（）A.1m n +=B.1m n -=C.1mn = D.1mn=二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.请写出一个比小的整数_____________16.因式分解：233am a -=______．17.综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为65︒，则古树AB 的高度约为________米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈，cos650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）．18.编号为A ，B ，C ，D ，E 的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表：收割机编号A ，B B ，C C ，D D ，E A ，E 所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是________．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.（1()0π12sin 602+++︒+-；（2）已知230a a --=，求代数式2(2)(1)(3)a a a -+-+的值．20.如图，在ABC 中，D 是AB 中点．（1）求作：AC 的垂直平分线l （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l 交AC 于点E ，连接DE 并延长至点F ，使2EF DE =，连接BE CF ，．补全图形，并证明四边形BCFE 是平行四边形．21.某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表：平均数众数中位数80c78解决问题（1）表格中的=a ______；b =______；c =______；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分；（3）学校要从91分的A ，B ，C ，D 四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率．22.一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？23.在平面直角坐标系中，对于点()11,M x y ，给出如下定义：当点()22,N x y ，满足1212x x y y +=+时，称点N 是点M 的等和点．（1）已知点()1,3M ，在()14,2N ，()23,1N -，()30,2N -中，是点M 等和点的有_____；（2）若点()3,2M -的等和点N 在直线y x b =+上，求b 的值；（3）已知，双曲线1ky x=和直线22y x =-，满足12y y <的x 取值范围是4x >或20x -<<．若点P 在双曲线1ky x=上，点P 的等和点Q 在直线22y x =-上，求点P 的坐标．24.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，O 经过B ，C 两点，与斜边AB 交于点E ，连接CO 并延长交AB 于点M ，交O 于点D ，过点E 作EF CD ∥，交AC 于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若42BM =，1tan 2BCD ∠=，求OM 的长．25.如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A 处沿水滑道下滑至点B 处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x 轴，过腾空点B 与x 轴垂直的直线为y 轴，O 为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；（2）如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离12OE =米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．26.数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：AD AF =；（2）探究DF DE 与ADDC的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DFDE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DFDE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；（3）拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出APAD的值（用含m ，n 的式子表示）．参考答案一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1.【答案】A【解析】A ．是轴对称图形，故A 选项正确；B ．不是轴对称图形，故B 选项错误；C ．不是轴对称图形，故C 选项错误；D ．不是轴对称图形，故D 选项错误．故选：A ．2.【答案】D【解析】解：1052000000000 5.210=⨯，故选：D ．3.【答案】B【解析】解：如图所示：由题意得：3230∠=∠=︒∴1180345105∠=︒-∠-︒=︒故选：B ．4.【答案】D【解析】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、()222222a b a ab b a b +=++≠+，故此选项不符合题意；C 、6332a a a a ÷=≠，故此选项不符合题意；D 、()236a a =，故此选项符合题意．故选：D ．5.【答案】D【解析】解：A 、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意；B 、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意；C 、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意；D 、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差22.5S =甲，22.3S =乙，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意；故选：D ．6.【答案】C【解析】解：()322211x x x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩①②解不等式①得，2x <，解不等式②得，3x ≥-，所以，不等式组的解集为：32x -≤<，在数轴上表示为：故选：C ．7.【答案】B【解析】解：如图，直线l m 、相交于点A ，则60A ∠=︒，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∴1806012602︒-︒∠=∠==︒，∴360660n ︒==︒，故选：B．8.【答案】D 【解析】解：334047160009600200++⨯=，∴视力不低于4.8的人数是9600，故选：D ．9.【答案】C【解析】解：由方程210210x x -+=得，13x =，27x =，∵337+<，∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，∴这个三角形的周长为37717++=，故选：C ．10.【答案】B【解析】解：∵半径OC AB ⊥，∴ AC BC=，∴42AOC BOC ∠=∠=︒，84AOB ∠=︒，∵ AC AC=，∴1212D AOC ∠=∠=︒，∴63OED AOB D ∠=∠-∠=︒，故选：B ．11.【答案】C【解析】解：设用A 型钢板x 块，用B 型钢板y 块，由题意得：35584240x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：C ．12.【答案】A【解析】解：∵AB BC =，72C ∠=︒，∴72BAC C ∠=∠=︒，180236ABC C ∠︒=︒-∠=，由旋转的性质得36AB C ABC ︒'∠=∠=，72B AC BAC ︒''∠=∠=，72AC B C ''∠︒=∠=，72AC B ADC ︒''∠=∠=，AC AC '=，∴72AC C C '∠=∠=︒，∴36CAC '∠=︒，∴36CAC BAC ''∠=∠=︒，∴723636B AB '∠=︒-︒=︒，由旋转的性质得AB AB '=，∴()118036722ABB AB B ''∠=∠=︒-︒=︒，①点B 在旋转过程中经过的路径长是36111805ππ⋅=；①说法正确；②∵36B AB ABC '∠=∠=︒，∴B B A C '∥；②说法正确；③∵18027236DC B '∠=︒-⨯︒=︒，∴36DC B ABC '∠=∠=︒，∴BD C D '=；③说法正确；④∵36BB D ABC '∠=∠=︒，72B BD BAC '∠=∠=︒，∴B BD BAC '∽△△，∴AB B B AC BD'=．④说法正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A ．13.【答案】A【解析】解：数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，,∴AM a b a b =+-=、()BM b a b a =-+=-，∵AM BM >，∴原点在A ，M 之间，由它们的位置可得a<0，0b >且a b <，∴0a b +>，0a b -<，00ab a b <-<，，故运算结果一定是正数的是a b +．故选：A ．14.【答案】B【解析】解：如图，连接AC 、BD 交于点E ，过点A 作MN y ⊥轴于点M ，过点B 作BN MN ⊥于点N ，四边形ABCD 是正方形，AC ∴、BD 互相平分，AB AD =，90BAD ∠=︒，90BAN DAM ∴∠+∠=︒，90DAM ADM ∠+∠=︒，BAN ADM ∴∠=∠．90BNA AMD ∠=∠=︒ ，BA AD =，(AAS)ANB DMA ∴ ≌．AM NB ∴=，DM AN =．点A 、C 的横坐标分别为m 、n ，24(,)A m m ∴+-，2()4,C n n -+．(2m n E +∴，2282m n -+-，2(0,)4M m +-，设(0,)D b ，则22(,)8B m n m n b ++---，2()4,N m n m ++-，24BN n b ∴=-+-，AM m =，AN n =，24DM m b =-+．又AM NB =，DM AN =，24n m b +--∴=，24n m b =-+．24b n m ∴=--+．2244n m n m ∴=---+．∴()()m n m n m n +-=+．点A 、C 在y 轴的同侧，且点A 在点C 的右侧，0m n ∴+≠．1m n ∴-=．故选：B ．二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15.【答案】1（或2）【解析】23=<<= ，满足条件的数为小于或等于2的整数均可.16.【答案】()()311a m m +-【解析】解：()()()223331311am a a m a m m -=-=+-，故答案为：()()311a m m +-．17.【答案】11.5【解析】解：如图，过点D 作DM AB ⊥，交AB 的延长线于点M ，∴四边形ACDM 是矩形，∴10DM AC ==米，∵45BDM ∠=︒，65ADM ∠=︒，90M ∠=︒，∴BDM 是等腰直角三角形，∴10BM DM ==米，在Rt ADM △中，tan 10tan 6510 2.14521.45AM DM ADM =⋅∠=⋅︒≈⨯≈（米），∴21.451011.4511.5AB AM BM =-=-=≈（米），∴古树AB 的高度约为11.5米．故答案为：11.5．18.【答案】C【解析】解：同时启动A ，B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，得到C 比A 快；同时启动B ，C 两台收割机，所需的时间为19小时，同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，得到B 比D 快；同时启动A 、B 两台收割机，所需的时间为23小时，同时启动A ，E 两台收割机，所需的时间为18小时，得到E 比B 快；同时启动C ，D 两台收割机，所需的时间为20小时，同时启动D ，E 两台收割机，所需的时间为22小时，得到C 比E 快．综上，收割最快的一台收割机编号是C ．故答案为：C ．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19.【答案】（1）6；（2）7．【解析】解：（1）原式331222=++⨯+42=+-，6=；（2）∵230a a --=，∴23a a -=，∴()()()2213a a a -+-+224423a a a a =-+++-，2221a a =-+，()221a a =-+，231=⨯+，7=．20.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【小问1详解】解：直线l 如图所示，；【小问2详解】证明：补全图形，如图，由（1）作图知，E 为AC 的中点，∵D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴DE BC ∥，12DE BC =，∵2EF DE =，即：12DE EF =，∴EF BC =，∵EF BC ∥，∴四边形BCFE 是平行四边形．21.【答案】（1）5；2；75（2）78；80（3）A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．【解析】【小问1详解】解：根据收集的数据知5a =；2b =；出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则75c =；故答案为：5；2；75；【小问2详解】解：∵由统计图可知中位数为78分，∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分，如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分，因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大，可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标．故答案为：78；80；【小问3详解】解：画树状图表示所有等可能结果如图所示，共有12种等可能结果，A ，B 两名队员恰好同时被选中的情况有2种，∴A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为21126==，答：A ，B 两名队员恰好同时被选中的概率为16．22.【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；（2）15天的工期，两队最多能修复公路105千米．【解析】【小问1详解】解：设甲队平均每天修复公路x 千米，则乙队平均每天修复公路()3x +千米，由题意得60903x x =+，解得6x =，经检验，6x =是原方程的解，且符合题意，39x +=，答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；【小问2详解】解：设甲队的工作时间为m 天，则乙队的工作时间为()15m -天，15天的工期，两队能修复公路w 千米，由题意得()69153135w m m m =+-=-+，()215m m ≥-，解得10m ≥，∵30-<，∴w 随m 的增加而减少，∴当10m =时，w 有最大值，最大值为310135105w =-⨯+=，答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．23.【答案】（1）()14,2N 和()30,2N -；（2）5b =；（3）()4,2--或()2,4．【解析】【小问1详解】解：由()1,3M ，()14,2N 得，12125x x y y +=+=，∴点()14,2N 是点M 的等和点；由()1,3M ，()23,1N -得，124x x +=，122y y +=，∵1212x x y y +≠+，∴()23,1N -不是点M 的等和点；由()1,3M ，()30,2N -得，12121x x y y +=+=，∴()30,2N -是点M 的等和点；故答案为：()14,2N 和()30,2N -；【小问2详解】解：设点N 的横坐标为a ，∵点N 是点()3,2M -的等和点，∴点N 的纵坐标为()325a a +--=+，∴点N 的坐标为(),5a a +，∵点N 在直线y x b =+上，∴5a a b +=+，∴5b =；【小问3详解】解：由题意可得，0k >，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点A B 、，如图，由12y y <时x 的取值范围是4x >或20x -<<，可得点A 的横坐标为4，点B 的横坐标为2-，把4x =代入2y x =-得，422y =-=，∴()4,2A ，把()4,2A 代入1k y x =得，24k =，∴8k =，∴反比例函数解析式为18y x =，设8,P m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 的横坐标为n ，∵点Q 是点P 的等和点，∴点Q 的纵坐标为8m n m +-，∴8,Q n m n m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点Q 在直线22y x =-上，∴82m n n m +-=-，整理得，820m m -+=，去分母得，2280m m +-=，解得14m =-，12m =，经检验，4,2m m =-=是原方程的解，∴点P 的坐标为()4,2--或()2,4．24.【答案】（1）见解析（2）5OM =【解析】【小问1详解】证明：连接OE ，延长EO ，交O 于点P ，连接,,PD BD 如图，∵,90,AB BC ACB =∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形，∴45,ABC ∠=︒∵CD 是O 的直径，∴90,CBD ∠=︒∴904545,DBE CBD ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴45,EPD DBE ∠=∠=︒∴224590,DOE DPE ∠=∠=⨯︒=︒∵,EF CD ∥∴90,FEO DOE ∠=∠=︒即,OE EF ⊥∵OE 是O 的半径，∴EF 是O 的切线；【小问2详解】解：∵90DBC ∠=︒，1tan 2BCD ∠=，∴12DB BC =，∵,BC AC =∴12DB AC =，∵,DMB CMA ∠=∠A DBM ∠=∠，∴DBM ACM ∽ ，∴12BM DM DB AM CM AC ===，∵BM =，∴2AM BM ==∴AB AM BM =+=+=，在等腰直角三角形ABC 中，222AC BC AB +=,∴(2222AC AC AB +==，解得，12AC =，∴12AC BC ==，∴16,2DB BC ==在t R BDC 中，CD ==∴CO DO ==又12DM CM =，∴2,CM DM =∴2DM DM CD +==∴DM =∴OM OD DM =-==25.【答案】（1）()217388y x =++（2）①此人腾空后的最大高度是258米，解析式为()2125388y x =--+；②此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内，理由见解析（3）这条钢架的长度为米【解析】【小问1详解】解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且过点()0,2B ，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()2738y a x =++，将()0,2B 代入，得：()272038a =++，即998a =，18a ∴=，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为()217388y x =++；【小问2详解】解：① 人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为()218y x b c =-++，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标73,8C ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于点()0,2B 成中心对称，()7250233,2288⨯--=⨯-=，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为253,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，即253,8b c ==，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：()2125388y x =--+，令0y =，则()21253088x --+=，即()2325x -=∴8x =或2x =-（舍去，不符合题意），∴点()8,0D ，8OD ∴=，12OE =，43DE OE OD ∴=-=>，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；【小问3详解】解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令()2173488y x =++=，即()2325x +=，2x ∴=（舍去，不符合题意）或8x =-，()8,4M ∴-，设BM 所在直线的解析式为y kx b '=+，将()()8,4,0,2M B -代入得：248b k b =⎧⎨=-+''⎩，解得：214b k =-'⎧⎪⎨=⎪⎩，∴BM 所在直线的解析式为124y x =-+，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H， 这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为14y x n =-+，联立()21417388y x n y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，即()21173488x n x -+=++，整理得：281680x x n ++-=，该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，()2Δ8411680n ∴=-⨯⨯-=，∴0n =即该钢架所在直线的解析式为14y x =-，∴点H 与点O 重合， ()1824GN =-⨯-=，8NO =，90GNO ∠=︒，GH ∴==∴这条钢架的长度为米．26.【答案】（1）见解析（2）①73DF DE =②2DF DE m n=，证明见解析（3）2AP n AD m =【解析】【小问1详解】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵DE BC ⊥，∴90BEF CED ∠=∠=︒，∴90F B ∠=︒-∠，90CDE C ∠=︒-∠，且CDE ADF ∠=∠，∴F ADF ∠=∠，∴AD AF =；【小问2详解】解：①当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =，∴总结规律得：DF DE 是AD DC 的2倍，∴当76AD DC =时，14763DF DE ==；②当AD m DC n =时，猜想2DF DE m n =，证明：作AG EF ⊥于点G ，∵DE BC ⊥，∴AG CE ∥，∴AGD CED ∽△△，∵AD m DC n =，∴GD AD m DE DC n ==，由（1）知AD AF =，又AG EF ⊥，∴DG FG =，即2DF DG =，∴22GD m DE nDF DE ==；【小问3详解】2AP n AD m=，理由如下：过点D 作DG CF ⊥，∵ACF ACB ∠=∠，DE CE ⊥，∴DG DE =，由（2）知，当AD m DC n =时，2DF DE m n=，∴2DE n DF m =，∴2DG n DF m=，∵PF AC ⊥，∴90ACF CFP ∠+∠=︒，∵FE BC ⊥，∴90B AFD ∠+∠=︒，∵AB AC =，∴ACB B =∠∠，∴B ACF ∠=∠，∴AFD CFP ∠=∠，∴AFD PFD CFP PFD ∠-∠=∠-∠，∴AFP DFG ∠=∠，∴sin sin AFP DFG ∠=∠，∴2AP DG n AF DF m==，由（1）知AD AF =，∴2AP AP n AD AF m ==．。

初中毕业考试试题及答案数 学（全卷共6页，共五个大题，26个小题，满分100分，时间90分钟）题号 一 二三 四 五 总分总分人19 20 21 2223 24 25 26 得分一、 填空题：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）把答案直接填写在题中横线上．1、计算： －3＋|－1| ＝________2、已知点P （－2，3），则点P 关于x 轴对称的点坐标是（ ）3、据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为 千瓦4、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的 箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要____________________ （单位：mm ）(用含x 、y 、z 的代数式表示)5、方程 x 2 = x 的解是______________________6、圆内接四边形ABCD 的内角∠A:∠B:∠C=2：3：4，则∠D ＝________°7、已知一个梯形的面积为222cm ，高为2 cm ，则该梯形的中位线的长等于________cm8、 如图，在⊙O 中，若已知∠BAC=48º,则∠BOC=_________º9、若圆的一条弦长为 6 cm ，其弦心距等于 4 cm ，则该圆的半径等 于________ cm ．10、函数b ax y +=的图像如图所示，则y 随 x 的增大而 11、万州区某学校四个绿化小组，在植树节这天种下白杨树的棵数如 下：10，10，x ，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是 ．12、如图，AD 、AE 是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请写出两个正确的结得分 评卷人论：（1） __________________； （2） ______________。

（只写出两个你认为正确的结论即可）二、选择题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．13、下列式子中正确的是（ ）A 632a a a =⋅ B 633)(x x =C 933=D bc c b 933=⋅14、如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ）A AB ∥CD B AD ∥BCC ∠B=∠DD ∠3=∠415、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）A (a+ab)(a －ab)B a (a 2－b 2)C a(a+b)(a －b)D a(a －b)216、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（ ）A 正三角形B 正五边形C 等腰梯形D 菱形 17、在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ ） A x ≥2 B x>2 C x ≤2 D x<218、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示 水的最大深度h 与时间t 之间的关系的图像是( ).得分评卷人三、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤.19、（本题满分8分）计算：－22+ (12－1)0 + 2sin30º20、（本题满分8分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x 221132，并把解集在数轴上表示出来。

南通市2023年初中毕业、升学考试试卷数 学姓名 考试证号一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1． 计算(－3)×2，正确的结果是A ．6B．5C ．－5D ．－62． 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约41 800 000 000元．将41 800 000 000用科学记数法表示为 A ．4.18×1011B ．4.18×1010C ．0.418×1011D ．418×1083． 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是A ．B ．C ．D ．4． 如图，数轴上A ，B ，C ，D ，E 五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数10的点应在A ．线段AB 上 B ．线段BC 上C ．线段CD 上 D ．线段DE 上三棱柱圆柱四棱锥圆锥C E B AD 0（第4题）123455． 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，顶点A ，C 分别在直线m ，n 上．若m ∥n ，∠1＝50°，则∠2的度数为A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°6． 若a 2－4a －12＝0，则2a 2－8a －8的值为A ．24B ．20C ．18D ．167． 如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30°，看这栋楼底部C 的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为 A ．140 3 mB ．160 3 mC．180 3 mD ．200 3 m8． 如图，四边形ABCD 是矩形，分别以点B ，D 为圆心，线段BC ，DC 长为半径画弧，两弧相交于点E ，连接BE ，DE ，BD ．若AB ＝4，BC ＝8，则∠ABE 的正切值为A ．43B ．45C ．34D ．359． 如图1，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15，BC ＝20．点D 从点A 出发沿折线A －C －B运动到点B 停止，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ．设点 D 运动的路径长为x ，△BDE 的面积为y ，若y 与x 的对 应关系如图2所示，则a －b A ．54 B ．52 C ．50 D ．4810．若实数x ，y ，m 满足x ＋y ＋m ＝6，3x －y＋m ＝4，则代数式－2xy ＋1的值可以是 A ．3B ．52C ．2D ．32二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 11．计算32－2＝ ▲ ． 12．分解因式a 2－ab ＝ ▲ ．ABC 2 1nm（第5题）BACDE（第8题）A βα（第7题）y ba x10 35 O25（第9题图2）C ADE（第13．如图，△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE ，则S △ADES △ABC＝ ▲ ．14．某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度v （单位：m/s ）与所受阻力F （单位：N ）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为30 m/s ，则所受阻力F 为 ▲ N ．15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠DAB ＝66°，则∠ACD ＝ ▲ 度．16．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a ，b ，c ，其中a ，b 均小于c ，a ＝12m 2－12，c ＝12m 2＋12，m 是大于1的奇数，则b ＝ ▲ （用含m 的式子表示）． 17．已知一次函数y ＝x －k ，若对于x ＜3范围内任意自变量x 的值，其对应的函数值y 都小于2k ，则k 的取值范围是 ▲ ．18．如图，四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，AC ＝4，BD ＝6，则AD ＋BC 的最小值是 ▲ ．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题满分12分）（1）解方程组：⎩⎨⎧2x ＋y ＝3， ①3x ＋y ＝5； ②（2）计算：a 2a 2－2a ＋1·a －1a －1a －1．ABCD（第18题）BE A D （第13题）CBOA（第15题）v /(m/s) F /N375020 O（第14题）某校开展以“筑梦天宫、探秘苍穹”为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有 ▲ 人；（2） 你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些？请从两个方面说明理由．21．（本小题满分10分）如图，点D ，E 分别在AB ，AC 上，∠ADC ＝∠AEB ＝90°，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ． 求证：∠1＝∠2．小虎同学的证明过程如下：（1）小虎同学的证明过程中，第 ▲ 步出现错误； （2）请写出正确的证明过程．414人数 等次优秀2 4 86 10 12 14 16 良好 合格 68 26抽取的学生竞赛成绩统计图 抽取的学生竞赛成绩统计表 证明：∵∠ADC ＝∠AEB ＝90°，∴∠DOB ＋∠B ＝∠EOC ＋∠C ＝90°． ∵∠DOB ＝∠EOC ，∴∠B ＝∠C ． …………………第一步 又OA ＝OA ，OB ＝OC ，∴△ABO ≌△ACO ． …………………第二步 ∴∠1＝∠2． …………………第三步（第21题）A BCDEO2 1有同型号的A ，B 两把锁和同型号的a ，b ，c 三把钥匙，其中a 钥匙只能打开A 锁，b 钥匙只能打开B 锁，c 钥匙不能打开这两把锁．（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出c 钥匙的概率等于 ▲ ；（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．23.（本小题满分10分）如图，等腰三角形OAB 的顶角∠AOB ＝120°，⊙O 和底边AB 相切于点C ，并与两腰OA ，OB 分别相交于D ，E 两点，连接CD ，CE ． （1）求证：四边形ODCE 是菱形；（2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．24．（本小题满分12分）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：（1）求x 的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15 000 m 2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ODECAB（第23题）·甲工程队施工1 800 m 2所需天数与乙工程队施工1 200 m 2所需天数相等． 信息二信息一25．（本小题满分13分）正方形ABCD 中，点E 在边BC ，CD 上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE ，将射线AE 绕点A 逆时针旋转45°，交射线CD 于点F ．（1）如图，点E 在边BC 上，BE ＝DF ，则图中与线段AE 相等的线段是 ▲ ； （2）过点E 作EG ⊥AF ，垂足为G ，连接DG ，求∠GDC 的度数；（3）在（2）的条件下，当点F 在边CD 延长线上且DF ＝DG 时，求FGAG 的值．26.（本小题满分13分）定义：平面直角坐标系xOy 中，点P （a ，b ），点Q （c ，d ），若c ＝ka ，d ＝－kb ，其中k 为常数，且k ≠0，则称点Q 是点P 的“k 级变换点”．例如，点（－4，6）是点（2，3）的“－2级变换点”．（1）函数y ＝－4x的图象上是否存在点（1，2）的“k 级变换点”？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）点A （t ，12t －2）与其“k 级变换点”B 分别在直线l 1，l 2上，在l 1，l 2上分别取点（m 2，y 1），（m 2，y 2）．若k ≤－2，求证：y 1－y 2≥2；（3）关于x 的二次函数y ＝nx 2－4nx －5n （x ≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y ＝－x ＋5上，求n 的取值范围．A BD FEC （第25题）（第25题备用图1） A B C D （第25题备用图2）A B CD。

一、选择题（每题4分，共40分）1. 若实数a、b满足a+b=1，则a^2+b^2的最小值为（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）。

A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°3. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）。

A. y=x^2B. y=2^xC. y=x^3D. y=x^44. 若方程x^2-4x+4=0的两个根分别为a和b，则a+b和ab的值分别是（）。

A. 4，4B. 4，-4C. 2，4D. 2，-45. 已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，则数列的前10项和S10为（）。

A. 145B. 150C. 155D. 1606. 在平面直角坐标系中，点P（-2，3）关于原点的对称点为（）。

A. （2，3）B. （-2，-3）C. （-2，3）D. （2，-3）7. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，首项为a1，则Sn=（）。

A. na1+n(n-1)d/2B. n(a1+an)/2C. n(a1+an)/4D. n(a1+an)/38. 若函数y=f(x)在区间[0，1]上单调递增，且f(0)=1，f(1)=3，则f(0.5)的值在（）。

A. 1.5～2之间B. 1～1.5之间C. 0.5～1之间D. 0～0.5之间9. 下列图形中，对称轴为x=1的是（）。

A. B. C. D.10. 若等比数列{an}的公比为q，首项为a1，且a1+a2+a3=27，a2+a3+a4=81，则q 的值为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题4分，共40分）11. 若x=2+√3，则x^2-4x+3的值为______。

12. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，则△ABC的外接圆半径R为______。

13. 函数y=2^x在定义域内是______函数。

中考试卷真题数学一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. -1B. 0C. 1D. 22. 一个圆的半径是5厘米，那么它的直径是多少厘米？A. 10B. 15C. 20D. 253. 如果一个角的度数是30°，那么它的补角是多少度？A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°4. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. 8C. 4D. 25. 以下哪个不是二次根式？A. √4B. √9C. √xD. √(-1)6. 一个直角三角形的两个直角边分别是3和4，斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 87. 如果一个多项式的次数是3，那么它最多可以有几个项？A. 1B. 2C. 3D. 48. 一个数的绝对值是5，这个数可以是什么？A. -5B. 5C. -5或5D. 09. 以下哪个是不等式？A. 3x + 5 = 14B. 2x - 4 > 6C. 5x + 3 ≤ 18D. 4x - 7 ≠10. 一个数的倒数是1/4，这个数是多少？A. 1B. 2C. 4D. 16二、填空题（每题3分，共15分）11. 一个数的立方根是2，这个数是________。

12. 一个数的相反数是-7，这个数是________。

13. 一个数的绝对值是10，这个数可以是________或________。

14. 如果一个数的平方是36，那么这个数是________或________。

15. 一个数的1/4加上5等于10，这个数是________。

三、计算题（每题5分，共10分）16. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 4x + 5) - (2x^2 + 3x - 1)。

17. 计算下列分数的和：1/2 + 2/3 + 3/4。

四、解答题（每题10分，共45分）18. 解一元一次方程：2x - 3 = 7x + 4。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.1010010001...D. -32. 已知a、b是实数，且a+b=0，那么下列等式中正确的是（）A. a²=b²B. a²=-b²C. a²+b²=0D. a²-b²=03. 如果一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm、5cm，那么它的对角线长是（）A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm4. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，那么∠C的度数是（）A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°5. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y=2x+1B. y=x²C. y=3/xD. y=x³6. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，那么它的第四项是（）A. 8B. 9C. 10D. 117. 如果a、b是方程x²-5x+6=0的两个根，那么a+b的值是（）A. 5B. 6C. 7D. 88. 下列各式中，完全平方公式正确的是（）A. (a+b)²=a²+2ab+b²B. (a-b)²=a²-2ab+b²C. (a+b)²=a²-2ab+b²D. (a-b)²=a²+2ab-b²9. 如果一个圆的半径是r，那么它的周长是（）A. 2πrB. πr²C. πrD. 2r10. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. √9C. √16D. √25二、填空题（每题2分，共20分）11. 2的平方根是______，-2的平方根是______。

12. 若x²=4，则x=______。

初三数学毕业考试试卷含详细答案一、压轴题1．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．解析：（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）【解析】【分析】（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.【详解】证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l∴∠ACB＝∠ADC∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，∵M（1，3）∴MF＝1，OF＝3∴MG＝3，NG＝1∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，∴点N的坐标为（4，2），（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3∴P（0，3），∴OP＝3由y＝0得x＝1，∴Q（1，0），OQ＝1，∵∠QPR＝45°∴∠PSQ＝45°＝∠QPS∴PQ＝SQ∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），设直线PR为y＝kx+b，则341bk b=⎧⎨+=⎩，解得1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线PR为y＝﹣12x+3由y＝0得，x＝6∴R（6，0）．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.2．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝30°，∠ABC ＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；（1）如图2，当∠α＝ 时，//DE BC ，当∠α＝ 时，DE ⊥BC ；（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是 ；②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．解析：（1）10°，100°；（2）①55°＜α＜85°；②∠1与∠2度数的和不变，理由见解析③55°＜α≤60°．【解析】【分析】（1）当∠EDA ＝∠B ＝40°时，//DE BC ，得出30°＋α＝40°，即可得出结果；当//DE AC 时，DE ⊥AB ，得出50°＋α＋30°＝180°，即可得出结果；（2）①由已知得出∠ACD ＝45°，∠A ＝50°，推出∠CDA ＝85°，当点C 在DE 边上时，α＋30°＝85°，解得α＝55°，当点C 在DF 边上时，α＝85°，即可得出结果；②连接MN ，由三角形内角和定理得出∠CNM ＋∠CMN ＋∠MCN ＝180°，则∠CNM ＋∠CMN ＝90°，由三角形内角和定理得出∠DNM ＋∠DMN ＋∠MDN ＝180°，即∠2＋∠CNM ＋∠CMN ＋∠1＋∠MDN ＝180°，即可得出结论；③由221∠≥∠，∠1＋∠2＝60°，得出∠2≥2（60°−∠2），解得∠2≥40°，由三角形内角和定理得出∠2＋∠NDM ＋α＋∠A ＝180°，即∠2＋30°＋α＋50°＝180°，则∠2＝100°−α，得出100°−α≥40°，解得α≤60°，再由当顶点C 在△DEF 内部时，55°＜α＜85°，即可得出结果．【详解】解：（1）∵∠B ＝40°，∴当∠EDA ＝∠B ＝40°时，//DE BC ，而∠EDF ＝30°，∴3040α︒+=︒，解得：α＝10°；当//DE AC 时，DE ⊥AB ，此时∠A+∠EDA ＝180°，9050A B ∠=︒-∠=︒，∴5030180α︒++︒=︒，解得：α＝100°；故答案为10°，100°；（2）①∵∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝45°，∠A ＝50°，∴∠CDA ＝85°，当点C 在DE 边上时，3085α+︒=︒，解得：55α=︒，当点C 在DF 边上时，85α=︒，∴当顶点C 在△DEF 内部时，5585α︒<<︒；故答案为：5585α︒<<︒；②∠1与∠2度数的和不变；理由如下：连接MN ，如图所示：在△CMN 中，∵∠CNM+∠CMN+∠MCN ＝180°，∴∠CNM+∠CMN ＝90°，在△MND 中，∵∠DNM+∠DMN+∠MDN ＝180°，即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN ＝180°，∴12180903060∠+∠=︒-︒-︒=︒；③∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝60°，∴22602∠≥︒-∠（）， ∴∠2≥40°，∵2180NDM A α∠+∠++∠=︒，即23050180α∠+︒++︒=︒，∴2100α∠=︒-，∴10040α︒-≥︒，解得：α≤60°，∵当顶点C 在△DEF 内部时，5585α︒<<︒，∴∠α的度数范围为5560α︒<≤︒．【点睛】本题考查了平行线的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、不等式等知识，合理选择三角形后利用三角形内角和定理列等量关系是解决问题的关键．3．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若3,1a b ab ，求22a b +的值． 解：因为3,1a b ab 所以()29,22a b ab +==所以2229,22a b ab ab ++==得227a b +=．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若228,40x y x y +=+=，求xy 的值； （2）①若()45x x -=,则()224x x -+= ； ②若()()458x x --=则()22()45x x -+-= ； （3）如图，点C 是线段AB 上的一点，以AC BC 、为边向两边作正方形，设6AB =，两正方形的面积和1218S S +=，求图中阴影部分面积．解析：（1）12；（2）①6；②17；（3）92 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的变形应用，解决问题；（2）①两边平方，再将(4)5x x -=代入计算；②两边平方，再将()()458x x --=代入计算；（3）由题意可得：6AC BC +=，2218AC BC +=，两边平方从而得到9AC BC =，即可算出结果．【详解】解：（1）8x y +=；22()8x y ∴+=；22264x xy y ++=；又2240x y +=；22264()xy x y ∴=-+，2644024xy ∴=-=，∴12xy =．（2）①(4)4x x -+=，22[(4)]4x x ∴-+=222[(4)](4)2(4)16x x x x x x -+=-+-+=；又(4)5x x -=，22(4)162(4)16256x x x x ∴-+=--=-⨯=．②由(4)(5)1x x ---=-，2222[(4)(5)](4)2(4)(5)(5)(1)x x x x x x ∴---=----+-=-；又(4)(5)8x x --=，22(4)(5)12(4)(5)12817x x x x ∴-+-=+--=+⨯=．（3）由题意可得，6AC BC +=，2218AC BC +=；22()6AC BC +=，22236AC AC BC BC ++=；22236()361818AC BC AC BC ∴=-+=-=，9AC BC =；图中阴影部分面积为直角三角形面积，BC CF =， ∴1922ACF S AC CF ∆==．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的适当变形灵活应用，（1）可直接应用公式变形解决问题．（2）①②小题都需要根据题意得出两个因式和或者差的结果，合并同类项得①(4)4x x -+=，②(4)(5)1x x ---=-是解决本题的关键，再根据完全平方公式变形应用得出答案．（3）根据几何图形可知选段6AB BC +=，再根据两个正方形面积和为18，利用完全平方公式变形应用得到9AC BC =，再根据直角三角形面积公式得出答案．4．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．解析：（1）135°；（2）①45°；②不变；45°；（3）45°或36°【解析】【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；（1）求出IBA ∠，IAB ∠，根据180()AIB IBA IAB ∠=-∠+∠，即可解决问题； （2）①求出CBA ∠，BAI ∠，根据CBA ADB BAD ∠=∠+∠，即可求出ADB ∠的值； ②根据D CBA BAD ∠=∠-∠1122MBA BAO =∠-∠12AOB =∠即可得出结论； （3）首先证明90DAF ∠=，2ABO D ∠=∠，再分四种情况讨论①当4DAF D ∠=∠时，②4DAF F ∠=∠时， ③4F D ∠=∠时，④4D F ∠=∠时， 分别计算，符合题意得保留即可．【详解】解：（1）如图1中，MN PQ ⊥，90AOB ∴∠=，40BAO ∠=︒，∴905040ABO ∠=-=︒， 又AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，∴1252IBA ABO ∠==，1202IAB OAB ∠==， ∴180()135AIB IBA IAB ∠=-∠+∠=，（2）如图2中：①MBA AOB BAD ∠=∠+∠（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和）， 9040=+130=AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，∴1652CBA MBA ∠=∠=，1202BAI BAO ∠=∠=， CBA ADB BAD ∠=∠+∠，∴45ADB ∠=；②结论：点A 、B 在运动过程中，45ADB ∠=， 理由：D CBA BAD ∠=∠-∠1122MBA BAO =∠-∠ 1()2MBA BAO =∠-∠ 12AOB =∠ 1902=⨯ 45=∴点A 、B 在运动过程中，ADB ∠的角度不变，45ADB ∠=；（3）如图3中，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ， ∴12DAO BAO ∠=∠，12FAO EAP ∠=∠， 又BAO EAP ∠+∠为平角，∴11118090222DAF BAO EAP ∠=∠+∠=⨯=， ∴111222D POD DAO POB BAO ABO ∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∴2ABO D ∠=∠， 又在AOB 中：AOB 90∠=，∴ABO ∠﹤90，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：①当4DAF D ∠=∠时，22.5D ∠=，此时245ABO D ∠=∠=，②4DAF F ∠=∠时，22.5F ∠=，67.5D ∠=，此时2135ABO D ∠=∠=（不符合题意舍去），③4F D ∠=∠时，18D ∠=，此时236ABO D ∠=∠=，④4D F ∠=∠时，72D ∠=，此时2144ABO D ∠=∠=（不符合题意舍去），综上所述，当45ABO ∠=或36时，在ADF 中，有一个角的度数是另一个角的4倍．【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点．5．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x 的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x+＝4 即21x x x+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求x y z+的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0） 则11k k k k x 622,,,117234y z 7k k 3412x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：（1）已知2114x x x =-+，求x +1x的值． （2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a+的值． （3）若222222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c ++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz 的值．解析：（1）5；（2）95； （3）78【解析】【分析】（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；（2）仿照材料二，设5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ，代入所求式子即可；（3）本题介绍两种解法：解法一：（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k（k ≠0），化简得：b c k y z +=①，c a k z x +=②，a b k x y +=③，相加变形可得x 、y 、z 的代入222222x y z a b c ++++＝1k中，可得k 的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：bz cy yz +＝cx az zx +＝ay bx xy +，拆项得b c c a a b y z z x x y +=+=+，从而得x ＝ay b ，z ＝cy b，代入已知可得结论． 【详解】解：（1）∵21x x x -+＝14， ∴21x x x-+＝4， ∴x ﹣1+1x ＝4， ∴x +1x＝5； （2）∵设5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ， ∴342b c a +＝61210k k k +＝1810＝95； （3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k （k ≠0）， ∴b c k y z +=①，c a k z x+=②，a b k x y +=③， ①+②+③得：2（b c a y z x ++）＝3k ， b c a y z x ++＝32k ④， ④﹣①得：a x ＝12k ， ④﹣②得：12b k y =， ④﹣③得：12c z =k ， ∴x ＝2a k ，y ＝2b k ，z ＝2c k 代入222222x y z a b c ++++＝1k 中，得： ()22222224a b c k a b c ++++＝1k ，241kk =， k ＝4，∴x ＝24a ，y ＝24b ，z ＝24c ， ∴xyz ＝864abc ＝8764⨯＝78； 解法二：∵yz zx xy bz cy cx az ay bx==+++， ∴bz cy cx az ay bx yz zx xy+++==， ∴b c c a a b y z z x x y+=+=+， ∴,b a c b y x z y==， ∴,ay cy x z b b==， 将其代入222222zx x y z cx az a b c ++=+++中得： cy ay b b acy acy b b⋅+＝2222222222a y c y yb b a bc ++++ 2y b ＝22y b ，y ＝2b ， ∴x ＝22ab a b =，z ＝cy 2y ＝2c ， ∴xyz ＝222a b c ⋅⋅＝78． 【点睛】 本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.6．数学活动课上，老师出了这样一个题目：“已知：MF NF ⊥于F ，点A 、C 分别在NF 和MF 上，作线段AB 和CD （如图1），使90FAB MCD ∠-∠=︒．求证：//AB CD ”．（1）聪聪同学给出一种证明问题的辅助线：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ．请你根据聪聪同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），给出问题的证明． （2）若点E 在直线CD 下方，且知30BED ∠=︒，直接写出ABE ∠和CDE ∠之间的数量关系．解析：（1）见解析；（2）30ABE CDE ∠-∠=︒【解析】【分析】（1）根据聪聪提供的辅助线作法进行证明，先由平行线的性质得：AGC MCD ∠=∠，90F GAF ∠+∠=︒，再证明MCD BAG ∠=∠，可得结论；（2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得结论．【详解】解：（1）证明：如图2，过A 作//AG FM ，交CD 于G ，AGC MCD ∴∠=∠，90F GAF ∠+∠=︒，FN FM ⊥，90F ∴∠=︒，90GAF ∴∠=︒，90FAB MCD ∠-∠=︒，FAB GAF MCD BAG ∴∠-∠=∠=∠，//AB CD ∴；（2）解：30ABE CDE ∠-∠=︒，理由如下：如图3，//AB CD ，BPD ABE ∴∠=∠，BPD CDE BED ∠=∠+∠，30BED ∠=︒，30BPD CDE ∴∠-∠=︒，∴30ABE CDE ∠-∠=︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定以及三角形外角性质的运用，熟练掌握平行线的性质和判定是解决问题的关键．7．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．解析：（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【解析】【分析】（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠ADB ＝∠CEA ＝90°∵∠BAC ＝90°∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°∴∠CAE ＝∠ABD∵在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE ＝BD ，AD ＝CE∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∴∠ABD=∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE ，∴DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，∴OF=CF-OC=1，∴点B 的坐标为B （1，4）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；②当t为何值时，点M与点N重合；③当△PCM与△QCN全等时，则t=．解析：（1）①证明见解析；②DE=14；（2）①8t－10；②t=2；③t=10,2 11【解析】【分析】（1）①先证明∠DAC＝∠ECB，由AAS即可得出△ADC≌△CEB；②由全等三角形的性质得出AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，即可得出DE＝CD＋CE＝14；（2）①当点N在线段CA上时，根据CN＝CN−BC即可得出答案；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得t＝2即可；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，则CM＝CN，得3t＝10−8t，解得t＝1011；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，则3t＝8t−10，解得t＝2；即可得出答案．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝∠DCA＋∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中ADC CEBDAC ECB AC CB∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△CEB（AAS）；②由①得：△ADC≌△CEB，∴AD＝CE＝8，CD＝BE＝6，∴DE＝CD＋CE＝6＋8＝14；（2）解：①当点N在线段CA上时，如图3所示：CN＝CN−BC＝8t−10；②点M与点N重合时，CM＝CN，即3t＝8t−10，解得：t＝2，∴当t为2秒时，点M与点N重合；③分两种情况：当点N在线段BC上时，△PCM≌△QNC，∴CM＝CN，∴3t＝10−8t，解得：t＝10 11；当点N在线段CA上时，△PCM≌△QCN，点M与N重合，CM＝CN，则3t＝8t−10，解得：t＝2；综上所述，当△PCM与△QCN全等时，则t等于1011s或2s，故答案为：1011s或2s．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．解析：（1） 122°；（2）12BEC α∠=；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠，1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122，故答案为：122︒； （2）如图2示，CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQCA ， 再根据（1），可得180()BPCPBC PCB 1118022QBC QCB 1180902Q1 18090582 119；由（2）可得：115829 22R Q;故答案为：119，29．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF解析：（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．【解析】【分析】（1）先证明△ACD≌△CBE，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE；（2）先证明△BCD≌△ABE，得到∠BCD=∠ABE，求出∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC，∠CQE=180°-∠DQB，即可解答；（3）如图3，过点D作DG∥BC交AC于点G，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE；进而证明△DGF和△ECF全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）解：CD和BE始终相等，理由如下：如图1，AB=BC=CA，两只蜗牛速度相同，且同时出发，∴CE=AD，∠A=∠BCE=60°在△ACD与△CBE中，AC=CB，∠A=∠BCE，AD=CE∴△ACD≌△CBE（SAS），∴CD=BE，即CD和BE始终相等；（2）证明：根据题意得：CE=AD，∵AB=AC，∴AE=BD，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，∴∠EAB=∠DBC，在△BCD和△ABE中，BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE∴△BCD≌△ABE（SAS），∴∠BCD=∠ABE∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E ，∴△ADG 为等边三角形，∴AD=DG=CE ，在△DGF 和△ECF 中，∠GFD=∠CFE ，∠GDF=∠E ，DG=EC∴△DGF ≌△EDF （AAS ），∴DF=EF.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 解析：（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -．【解析】【分析】（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．【详解】（1）AP PD ⊥90APB DPC ∴∠+∠=AB x ⊥轴90A APB ∴∠+∠=A DPC ∴∠=∠在ABP ∆和PCD ∆中A DPC AB PCABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABP PCD ASA ∴∆≅∆AP DP ∴=，3DC PB ==(2,3)D ∴（2）设(,0)P a ，(2,)Q b①AB PC =，BP CQ =223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q - 【点睛】 考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．12．如图，若要判定纸带两条边线a ，b 是否互相平行，我们可以采用将纸条沿AB 折叠的方式来进行探究．（1）如图1，展开后，测得12∠=∠，则可判定a//b ，请写出判定的依据_________； （2）如图2，若要使a//b ，则1∠与2∠应该满足的关系是_________；（3）如图3，纸带两条边线a ，b 互相平行，折叠后的边线b 与a 交于点C ，若将纸带沿11A B （1A ，1B 分别在边线a ，b 上）再次折叠，折叠后的边线b 与a 交于点1C ，AB//11A B ，137BB AC ==，，求出1A C 的长．解析：（1）内错角相等，两直线平行；（2）∠1+2∠2=180°；（3）4或10【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，即可得到答案；（2）由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，结合三角形内角和定理，即可得到答案；（3）分两种情况：①当B 1在B 的左侧时，如图2，当B 1在B 的右侧时，如图3，分别求出1A C 的长，即可得到答案．【详解】（1）∵12∠=∠，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行），故答案是：内错角相等，两直线平行；（2）如图1，由折叠的性质得：∠3=∠4，若a ∥b ，则∠3=∠2，∴∠4=∠2，∵∠2+∠4+∠1=180°，∴∠1+2∠2=180°，∴要使a ∥b ，则1∠与2∠应该满足的关系是：∠1+2∠2=180°．故答案是：∠1+2∠2=180°；（3）①当B 1在B 的左侧时，如图2，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA 1=BB 1=3，∴1A C =AC- AA 1=7-3=4；②当B 1在B 的右侧时，如图3，∵AB//11A B ，a ∥b ，∴AA1=BB1=3，∴1A C=AC+AA1=7+3=10．综上所述：1A C=4或10．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质定理，折叠的性质以及三角形的内角和定理，掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键．13．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE．（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．（深入探究）（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD=EC；②∠BOC=60°；③∠AOE=60°；④EO=CO，其中正确的有．(将所有正确的序号填在横线上)．（延伸应用）（3）如图3，AB=BC，∠ABC=∠BDC=60°，试探究∠A与∠C的数量关系．解析：（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．【解析】【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；（2）如图2，∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，记AD 与CE 的交点为G ，∵∠AGE=∠DGO ，∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，∴∠DOE=∠DAE=60°，∴∠BOC=60°，②正确，在OB 上取一点F ，使OF=OC ，∴△OCF 是等边三角形，∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，∴∠BCF=∠ACO ，∵AB=AC ，∴△BCF ≌△ACO （SAS ），∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=12CE ， ∵BD=CE ， ∴CF=OF=12BD ， ∴OF=BF+OD ，∴BF ＜CF ， ∴∠OBC ＞∠BCF ，∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，∴∠OBC ＞30°，而没办法判断∠OBC 大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为①②③；（3）如图3，延长DC 至P ，使DP=DB ，∵∠BDC=60°，∴△BDP 是等边三角形，∴BD=BP ，∠DBP=60°，∵∠BAC=60°=∠DBP ，∴∠ABD=∠CBP ，∵AB=CB ，∴△ABD ≌△CBP （SAS ），∴∠BCP=∠A ，∵∠BCD+∠BCP=180°，∴∠A+∠BCD=180°．【点睛】此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．14．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并证明．解析：（1）∠BPC ＝122°；（2）∠BEC ＝2a ；（3）∠BQC ＝90°﹣12∠A ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和化为角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A 与∠1表示出∠2，再利用∠E 与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC 与∠ECB ，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠11180()22ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2A =︒-︒-∠， 1180902A =-︒+︒∠， 9032122=︒+=︒，故答案为：122︒；（2）CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，112ACB ∴∠=∠，122ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，ABD A ACB ∴∠=∠+∠，112()122A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，112111222BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，11180()()22A ACB A ABC =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22A A ABC ACB =︒-∠-∠+∠+∠， 结论：1902BQC A ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．15．在△ABC 中，∠BAC =45°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，M 为线段DB 上一动点（不包括端点），点N 在直线AC 左上方且∠NCM =135°，CN =CM ，如图①．（1）求证：∠ACN =∠AMC ；（2）记△ANC 得面积为5，记△ABC 得面积为5．求证：12S AC S AB； （3）延长线段AB 到点P ，使BP =BM ，如图②．探究线段AC 与线段DB 满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M ，AN =CP 始终成立？（写出探究过程）解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当AC =2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN =CP 始终成立，证明见解析．【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“AAS ”可证△NEC ≌△CDM ，可得NE=CD ，由三角形面积公式可求解；（3）过点N 作NE ⊥AC 于E ，由“SAS ”可证△NEA ≌△CDP ，可得AN=CP ．【详解】（1）∵∠BAC=45°，∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM ．∵∠NCM=135°，∴∠ACN=135°﹣∠ACM ，∴∠ACN=∠AMC ；（2）过点N 作NE ⊥AC 于E ，∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC ，CM=CN ，∴△NEC ≌△CDM （AAS ），∴NE=CD ，CE=DM ；∵S 112=AC•NE ，S 212=AB•CD ， ∴12S AC S AB=； （3）当AC=2BD 时，对于满足条件的任意点N ，AN=CP 始终成立，理由如下：过点N 作NE ⊥AC 于E ，由（2）可得NE=CD ，CE=DM ．∵AC=2BD ，BP=BM ，CE=DM ，∴AC ﹣CE=BD+BD ﹣DM ，∴AE=BD+BP=DP ．∵NE=CD ，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP ，∴△NEA ≌△CDP （SAS ），∴AN=PC ．【点睛】本题三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形面积公式等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、选择题16．如图，已知线段AB 的长度为a ，CD 的长度为b ，则图中所有线段的长度和为( )A ．3a+bB ．3a-bC ．a+3bD ．2a+2b 解析：A【解析】依据线段AB 长度为a ，可得AB=AC+CD+DB=a ，依据CD 长度为b ，可得AD+CB=a+b ，进而得出所有线段的长度和．【详解】∵线段AB 长度为a ，∴AB=AC+CD+DB=a ，又∵CD 长度为b ，∴AD+CB=a+b ，∴图中所有线段的长度和为：AB+AC+CD+DB+AD+CB=a+a+a+b=3a+b ，故选A ．【点睛】本题考查了比较线段的长度和有关计算，主要考查学生能否求出线段的长度和知道如何数图形中的线段．17．下列方程中，以32x =-为解的是（ ） A ．33x x =+B ．33x x =+C ．23x =D ．3-3x x = 解析：A【解析】【分析】 把32x =-代入方程，只要是方程的左右两边相等就是方程的解，否则就不是． 【详解】 解：A 中、把32x =-代入方程得左边等于右边，故A 对； B 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故B 错； C 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故C 错； D 中、把32x =-代入方程得左边不等于右边，故D 错. 故答案为：A.【点睛】本题考查方程的解的知识，解题关键在于把x 值分别代入方程进行验证即可.18．若34(0)x y y =≠，则（ ）A ．34y 0x +=B ．8-6y=0xC ．3+4x y y x =+D ．43x y = 解析：D【解析】根据选项进行一一排除即可得出正确答案.【详解】解：A 中、34y 0x +=，可得34y x =-，故A 错；B 中、8-6y=0x ，可得出43x y =，故B 错；C 中、3+4x y y x =+，可得出23x y =，故C 错；D 中、43xy=，交叉相乘得到34x y =，故D 对.故答案为：D.【点睛】本题考查等式的性质及比例的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.19．有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列各式成立的是（）A ．a ＞bB ．﹣ab ＜0C ．|a |＜|b |D ．a ＜﹣b解析：D【解析】【分析】根据各点在数轴上的位置得出a 、b 两点到原点距离的大小，进而可得出结论．【详解】解：∵由图可知a ＜0＜b ，∴ab ＜0，即-ab ＞0又∵|a |＞|b |，∴a ＜﹣b ．故选：D ．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．20．已知线段AB 的长为4，点C 为AB 的中点，则线段AC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B【解析】【分析】根据线段中点的性质，可得AC 的长．【详解】解：由线段中点的性质，得AC ＝12AB ＝2．故选B ．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质．-++的结果是（）21．计算(3)(5)A．-8 B．8 C．2 D．-2解析：C【解析】【分析】根据有理数加法法则计算即可得答案.【详解】(3)(5)-++=5+-3-=2故选：C.【点睛】本题考查有理数加法，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数；熟练掌握有理数加法法则是解题关键.22．如图，数轴的单位长度为1，点A、B表示的数互为相反数，若数轴上有一点C到点B 的距离为2个单位，则点C表示的数是（）A．-1或2 B．-1或5 C．1或2 D．1或5解析：D【解析】【分析】如图，根据点A、B表示的数互为相反数可确定原点，即可得出点B表示的数，根据两点间的距离公式即可得答案.【详解】如图，设点C表示的数为m，∵点A、B表示的数互为相反数，∴AB的中点O为原点，∴点B表示的数为3，∵点C到点B的距离为2个单位，-=2，∴3m∴3-m=±2，解得：m=1或m=5，∴m的值为1或5，故选：D.。