【材料力学】第五章 截面的几何性质习题答案

截面几何性质 作业专业班级 姓名 学号1. 判断题（1）任意平面图形至少有1对形心主惯性轴，等边三角形有3对形心主惯性轴。

（ × ） （2）平面图形的几何性质中，静矩和惯性矩的值可正、可负、可为零。

（ × ） （3）平面图形中，使静矩为零的轴必为对称轴。

（ × ） 2. 选择题（1）若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。

A. 静矩为零，惯性矩不为零B. 静矩和惯性矩均不为零C. 静矩和惯性矩均为零D. 静矩不为零，惯性矩为零（2）设图形具有三个以上（含三个）对称轴时，对某一形心轴的惯性矩I 1 ，对某一对正交形心轴的惯性积为I 2。

则当形心轴绕形心旋转时（ A ）。

A. I 1值不变，I 2恒等于零B. I 1 值不变，I 2不恒等于零C. I 1值变化，I 2恒等于零D. I 1值变化，I 2不恒等于零（3）任意图形的面积为A ，x C 轴通过形心C ，x 1轴和x C 轴平行，并相距a ，已知图形对x 1轴的惯性矩是I 1，则对x C 轴的惯性矩为（ A ）。

A. 21xC I I Aa =-B. 0xC I =C. 21xC I I Aa =+D. 1xC I I Aa =+C x 1（4）图示等底等高的矩形和平行四边形，对其形心轴y 的惯性矩I a 和I b 满足（ A ）。

A. I a = I bB. I a > I bC. I a < I bD. 不能确定（a ）（b ）（5）设矩形对其对称轴z 的惯性矩为I ，当其长宽比保持不变，面积增加1倍时，该矩形对其对称轴z 的惯性矩将变为（ A ）。

A. 4IB. 2IC. 8ID. 16I（6）图示任意形状图形，形心轴z 将图形分为两部分，则一定成立的是（ A ）。

A. S z 1 + S z 2 = 0B. I z 1 = I z 2C. A 1 = A 2D. S z 1 = S z 2（7）图形对通过某点的所有轴的惯性矩中，图形对主惯性轴的惯性矩一定（ A ）。

5-1构件受力如图5-26所示。

试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。

题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。

b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。

c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。

d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。

5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。

10题5-2图解：a)1σ=50 MPa,2σ=3σ=0,属于单向应力状态AAT （a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c) 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。

试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。

题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得 ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++==45MPaατασστα2cos 2sin 2x yx +-== -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。

5-1 试用积分法确定图示平面图形的形心位置。

解：（1）建立极坐标极坐标（α，ρ），取微面积dA d d ραρ=⋅。

则cos y ρα=， （2）求形心位置222322cos ()cos 43434rrACd d d d ydA r r r y AArππραρραρρααπππ⋅⋅⋅⋅=====⎰⎰⎰⎰⎰由对称性可知：43C rz π=。

图形形心为（43r π，43r π）。

700图题5-1b 图题5-2b5-2 确定图示平面图形力的形心位置。

解：（1）选取通过矩形I 的形心C 1，矩形II 形心C 2，矩形III 形心C 3 （2）求形心位置 由于截面左右对称，故：400mm Cz =。

3131150400150150800200400150500150700222mm=305mm 150800200400500150i Cii C ii A yy A==⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⨯+⨯++⨯∑∑图形形心为（305，400）。

5-4(a)题5-4图解：（1）矩形341212z bh a I ==（2）箱形箱形与方形面积，即：22226 5.4 5.4a a bt at t ==→=333322224(0.9)(1.8)(0.9)(1.8)()(2)()(2)5.4 5.4 5.4 5.4121212120.4567z a a a a a a a a b t b t b t b t I a ++--++--=-=-= （3）工字形截，即：面23332 1.62 5.2a a at at t =⨯+→= 工字形截面方形面积33333341.6(22)(1.6)81.6(22)(1.6)8 5.2 5.2121212120.8695z a a a a a a a a t a t aI a +⨯-+-=-=-=10.45670.869515.4810.4312z z z I I I ==工方箱：：：：：：5-8图示矩形h=2b=200mm ，（1）试求矩形通过坐标原点O 1的主惯性轴的位置及主惯性矩。

第五节截面图形的几何性质一、静矩与形心对图所示截面静矩的量纲为长度的三次方。

对于由几个简单图形组成的组合截面形心坐标显然，若z轴过形心，y c=0，则有S z=0，反之亦然：若y轴过形心，z c=0，则有S y=0，反之亦然。

【真题解析】5—30（2007年真题）图所示矩形截面，m-m线以上部分和以下部分对形心轴z的两个静矩( )。

(A)绝对值相等，正负号相同(B)绝对值相等，正负号不同(c)绝对值不等，正负号相同(D)绝对值不等，正负号不同解：根据静矩定义，图示矩形截面的静矩等于m-m线以上部分和以下部分静矩之和，即，又由于z轴是形心轴，Sz=0，故答案：(B)二、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积对图所示截面，对z轴和y轴的惯性矩为惯性矩总是正值，其量纲为长度的四次方，也可写成i z、i y称为截面对z、y轴的惯性半径，其量纲为长度的一次方。

截面对0点的极惯性矩为因=y2+z2，故有I p=I z+I y，显然I p也恒为正值，其量纲为长度的四次方。

截面对y、z轴的惯性积为I yz可以为正值，也可以为负值，也可以是零，其量纲为长度的四次方。

若y、z两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则其惯性积I yz恒等于零。

例6图(a)、(b)所示的两截面，其惯性矩关系应为哪一种？A.(I y)1>(I y)2,(I z)1=(I z)2B. (I y)1=(I y)2, (I z)1>(I z)2C.(I y)1=(I y)2,(I z)1<(I z)2D. (I y)1<(I y)2,(I z)1=(I z)2解：两截面面积相同，但图 (a)截面分布离z轴较远，故I z较大。

对y轴惯性矩相同。

答案：B2016—63真题面积相同的两个如图所示，对各自水平形心轴 z 的惯性矩之间的关系为（）。

提示：图（ a ）与图（ b ）面积相同，面积分布的位置到 z 轴的距离也相同，故惯性矩I za=I zb而图（ c ）虽然面积与（ a ）、（ b ）相同，但是其面积分布的位置到 z 轴的距离小，所以惯性矩I zc也小。

8-1 试求图示各杆的轴力，并指出轴力的最大值。

(2) 取1-1(3) 取2-2(4) 轴力最大值： (b)(1) 求固定端的约束反力； (2) 取1-1(3) 取2-2(4) (c)(1) 用截面法求内力，取1-1、2-2、3-3截面；(2) 取1-1(3) 取2-2 (4) 取3-3截面的右段；(5) 轴力最大值： (d)(1) 用截面法求内力，取1-1、(2) 取1-1(2) 取2-2(5) 轴力最大值： 8-2 试画出8-1解：(a) (b) (c) (d) 8-5与BC 段的直径分别为(c) (d)F RN 2F N 3 F N 1F F Fd 1=20 mm 和d 2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F 2之值。

解：(1) 用截面法求出(2) 求1-1、2-28-6 题8-5段的直径d 1=40 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求BC 段的直径。

解：(1)用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；8-7 图示木杆，承受轴向载荷F =10 kN 作用，杆的横截面面积A =1000 mm 2，粘接面的方位角θ= 450，试计算该截面上的正应力与切应力，并画出应力的方向。

解：(1) (2) 8-14 2=20 mm ，两杆F =80 kN 作用，试校核桁架的强度。

解：(1) 对节点A(2) 列平衡方程 解得： (2) 8-15 图示桁架，杆1A 处承受铅直方向的载荷F 作用，F =50 kN ，钢的许用应力[σS ] =160 MPa ，木的许用应力[σW ] =10 MPa 。

解：(1) 对节点A (2) 84 mm 。

8-16 题8-14解：(1) 由8-14得到的关系；(2) 取[F ]=97.1 kN 。

8-18 图示阶梯形杆A 2=100 mm 2，E =200GPa ，试计算杆AC 的轴向变形 解：(1) (2) AC 8-22 图示桁架，杆1与杆2的横截面面积与材料均相同，在节点A 处承受载荷F 作用。

第二章 轴向拉伸和压缩2.1 求图示杆11-、22-、及33-截面上的轴力。

解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑x F ，得 01=N F22-截面，取右段如)(b由0=∑x F ，得 P F N -=233-截面，取右段如)(c由0=∑x F ，得 03=N F2.2 图示杆件截面为正方形，边长cm a 20=，杆长m l 4=，kN P 10=，比重3/2m kN =γ。

在考虑杆本身自重时，11-和22-截面上的轴力。

解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑xF，得kN la F N 08.04/21==γ22-截面，取右段如)(b由0=∑xF，得kN P la F N 24.104/322=+=γ2.3 横截面为210cm 的钢杆如图所示，已知kN P 20=，kN Q 20=。

试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。

GPa E 200=钢。

解：轴力图如图。

杆的总伸长：m EA l F l N59102001.0102001.02000022-⨯-=⨯⨯⨯-⨯==∆ 杆下端横截面上的正应力：MPa A F N 20100020000-=-==σ 2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径mm d 40=，杆的总伸长cm l 21026.1-⨯=∆。

试求荷载P 及在P 作用下杆内的最大正应力。

（GPa E 80=铜，GPa E 200=钢）。

解：由∑=∆EAl F l N ，得)104010806.0410********.04(1026.16296294---⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ππP4/4/4/4/)(a )(b )(c 2N1N )(a kNkN 图NF cm cmcm解得： kN P 7.16= 杆内的最大正应力：MPa A F N 3.13401670042=⨯⨯==πσ 2.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为1200=A k ，1000=B k ，标距长为cm s 20=，受压后变形仪的读数增量为mm n A 36-=∆，mm n B 10=∆，试求此材料的横向变形系数ν（即泊松比）。