向量共线和不共线范长如(唐河县第一高中,河南 473400)中图分类号:O123.3 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)19-0020-02收稿日期:2001-06-04作者简介:范长如(1975—),男,河南唐河人,河南省唐河县一高二级教师,学士. 预备知识:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定0→与任一向量平行.任一组平行向量都可移到同一条直线上,因此平行向量也叫做共线向量.由预备知识易证定理1.定理1 一组平行向量共线,0→与任一向量共线.定理2 向量b →与非零向量a →共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b →=λa →.(参见新教材高一《数学》第一册下第104页)定理3 a →,b →具备下列情况中的任何一种情况,都可以说a →,b →共线.1)a →,b →中至少有一个为0→;2)a →,b →都不为0→,存在一个实数λ,使得b →=λa →.证 1)若a →,b →中至少有一个为0→,则可能有两种情况:a →,b →都为0→,或a →,b →中有一个为0→,另一个不为0→,因为0→与任何向量共线,故a →,b →共线.2)若a →,b →都不为0→,且存在实数λ,使得b →=λa →,则由定理2知,a →,b →共线.定理4 若存在一个实数λ,使b →=λa →或a →=λb →成立,则a →,b →共线.证 不失一般性,不妨设存在一个实数λ,使得b →=λa →成立.若λ=0,则b →=0→,故a →,b →共线.若λ≠0,则当a →=0→时,a →,b →共线;当a →≠0→时,由定理2知,a →,b →共线.综上所述,a →,b →共线.通过上面4个定理,我们可以判断两个向量是否共线,当两个向量共线时,能推出什么结论呢?定理5 a →,b →共线,有下列结论1)若a →=0→,则b →为任一向量;2)若a →≠0→,则有且只有一个实数λ,使得b →=λa →.证 1)∵0→与任一向量共线,∴当a →,b →共线且习体验可弥补知识转化为能力的缺口.更重要的是,“创造”不仅仅是一种行为、能力、方法,而且是一种意识、态度、观念,有创造意识,才会有创造的实践.创新意识、创造精神包括了对未知事物的好奇心理,对固有观念的质疑批判意识、尊重事实坚持真理的科学精神以及勇于探索不断进取的人格力量和价值取向等.观念意识是指导人们实践行为的基础,观念意识的形成是理性认识和感性认识共同作用的结果,其中感性体验的积累可能更为重要.也就是说,只让学生懂得什么是创新意识、创新精神是不够的,重要的是让学生亲身参与创造实践活动,在体验、内化的基础上,逐步形成自觉指导创造行为的个人观念体系.2.6 开放性 与一般的运用知识解决问题的教学活动相比较,研究性学习具有明显的开放性.从课题的选择方面看,它并不拘泥于书本上的一般学科性问题,而是把视野放得更宽,更接近于学生的日常生活和社会生活实际.从教学方式看,研究性学习体现出最大的时空开放性,它不再局限于课堂45分钟之内,而是让学生走出书本和课堂,走向社会,利用图书馆、网络、调查访问、讨论探索等等手段,把课内与课外,学校与社会有机联系起来.从问题的解决途径和结果来看,研究性学习是一种随机通达学习,它允许不同的学生按自己的理解以及自己熟悉的方式去解决问题,允许不同的学生按各自的能力和所掌握的资料以及各自的思维方式去得出不同的结论,而不要求结论的唯一性和标准化.02数学通讯 2001年第19期a →=0→时,b →为任一向量.2)若a →≠0→,则由定理2知,有且只有一个实数λ,使得b →=λa →.定理6 若a →,b →共线,则存在一个实数λ,使得b →=λa →或a →=λb →成立.证 若a →=0→,则存在λ=0,使得a →=λb →.若a →≠0→,则由定理2知,存在一个实数λ,使得b →=λa →成立,故定理成立.再看如何判断两个向量不共线.定理7 若非零向量a →,b →不是平行向量,则a →,b →不共线.用反证法易证定理7.定理8 若不存在一个实数λ,使得b →=λa →或a→=λb →成立,则a →,b →不共线.证 假设a →,b →共线,由定理5知,若a →=0→,则b →为任一向量,存在λ=0,使得a →=λb →,这与题设矛盾.若a →≠0→,则有且只有一个实数λ,使得b →=λa →,这与题设矛盾.故假设不成立,所以a →,b →不共线.下面看当两个向量不共线时,能推出什么结论.定理9 若e 1→,e 2→不共线,则e 1→,e 2→都不为0→.证 假设e 1→,e 2→中至少有一个为0→,则易知e 1→,e 2→共线,这与题设矛盾,所以e 1→,e 2→都不为0→.定理10 若a →,b →不共线,则不存在一个实数λ,使得b →=λa →或a →=λb →成立.证 假设存在一个实数λ,使得b →=λa →或a →=λb →成立,由定理4知,a →,b →共线,这与题设矛盾,故假设不成立,所以不存在一个实数λ,使得b →=λa →或a →=λb →成立.定理11 若e 1→,e 2→不共线,λ1,λ2∈R ,则λ1e 1→+λ2e 2→=0→成立的充要条件为λ1=λ2=0.证 1)当λ1e 1→+λ2e 2→=0→时,假设λ1=λ2=0不成立,则λ1和λ2中至少有一个不为0,不妨设λ1≠0,则e 1→=-λ2λ1e 2→.∵e 1→,e 1→不共线,∴由定理9知,e 2→≠0→.∵e 2→≠0→,e 1→=-λ2λ1e 2→,∴由定理2知,e 1→,e 2→共线,这与已知e 1→,e 2→不共线矛盾,故假设不成立,所以λ1=λ2=0.2)当λ1=λ2=0时,显然有λ1e 1→+λ2e 2→=0→.由1)和2)知定理成立.定理12 若e 1→,e 1→不共线,λ1,λ2,λ3,λ4∈R ,则λ1e 1→+λ2e 2→=λ3e 1→+λ4e 2→成立的充要条件为λ1=λ3,λ2=λ4.应用定理11,易证定理12.定理13 若e 1→,e 2→不共线,λ1,λ2∈R ,则λ1e 1→+λ2e 2→≠0→成立的充要条件是λ21+λ22≠0.证 1)当λ1e 1→+λ2e 2→≠0→时,假设λ21+λ22=0,即λ1=λ2=0时,由定理11知,λ1e 1→+λ2e 2→=0→,这与λ1e 1→+λ2e 2→≠0→矛盾,故假设不成立,所以λ21+λ22≠0.2)当λ21+λ22≠0时,假设λ1e 1→+λ2e 2→=0→,由定理11知,λ21=λ22=0,这与λ21+λ22≠0矛盾,故假设不成立,所以λ1e 1→+λ2e 2→≠0→.由1)和2)知定理成立.定理14 若e 1→,e 2→不共线,λ1,λ2,λ3,λ4∈R ,则λ1e 1→+λ2e 2→≠λ3e 1→+λ4e 2→成立的充要条件为λ1≠λ3,λ2≠λ4.应用定理13,易证定理14.例1 已知e 1→,e 2→共线,a →=e 1→+e 2→,b →=2e 1→-2e 2→,判断a →,b →是否共线.分析:∵e 1→,e 2→共线,∴由定理5知:1)若e 1→=0→,则a →=e 2→,b →=-2e 2→.于是b →=-2a →.由定理4知,a →,b →共线.2)若e 1→≠0→,∵e 1→,e 2→共线,e 1→≠0→,∴由定理2知,有且只有一个实数λ,使得e 2→=λe 1→.∴a →=e 1→+e 2→=(1+λ)e 1→,b →=2e 1→-2e 2→=2(1-λ)e 1→.①当λ-1=0时,b →=0→,则a →,b →共线;②当λ-1≠0时,又知e 1→≠0→,则b →=2(1-λ)e 1→≠0→.于是a →=1+λ2(1-λ)b →,由定理2知,a →,b →共线.由①和②知,当e 1→≠0→时,a →,b →共线.所以由1)和2)知,a →,b →共线.例2 已知e 1→,e 1→不共线,a →=2e 1→+k e 2→,b →=e 1→-e 2→,a →,b →共线,则k 的值为.分析:∵e 1→,e 2→不共线,b →=e 1→-e 2→,12+(-1)2≠0,∴由定理13知,b →≠0→.∵a →,b →共线,b →≠0→,∴由定理2知,有且只有一个实数λ,使得a →=λb →,即2e 1→+k e 2→=λ(e 1→-e 2→),2e 1→+k e 2→=λe 1→-λe 2→.∵e 1→,e 2→不共线,∴由定理12知,2=λ,k +λ=0.解得k =-2.122001年第19期 数学通讯。
