数学分析课件数项级数

第十二章 数项级数 （ 1 4 时 ）§1 级数的收敛性（ 3 时 ）一． 概念：1．级数：级数,无穷级数;通项 (一般项, 第n 项), 前n 项部分和等概念 (与中学的有关概念联系).级数常简记为∑nu.2. 级数的敛散性与和:介绍从有限和入手, 引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本, 定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念 . 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 例3 讨论级数∑∞=12n n n的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212, =n S 211432221 232221++-++++n n nn ,1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n .⇒ n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛. 例4 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性. 解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.3. 级数与数列的关系:⑴设∑nu对应部分和数列{n S }, 则∑nu收敛 ⇔ {n S }收敛;⑵对每个数列{n x },对应级数∑∞=--+211)(n n nx xx ,对该级数,有n S =n x .于是,数列{n x }收敛⇔级数 ∑∞=--+211)(n n nx xx 收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式. 4. 级数与无穷积分的关系:⑴⎰∑⎰+∞∞=+==111)(n n nf dx x f ∑∞=1n nu, 其中 ⎰+=1n nn f u . 无穷积分可化为级数;⑵对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑∞=1n nu=⎰+∞1)(dx x f . 即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二 级数收敛的充要条件 —— Cauchy 准则 ：把部分和数列{n S }收敛的Cauchy 准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy 准则.Th1 ( Cauchy 准则 )∑nu收敛⇔N n N >∀∃>∀ , , 0ε和∈∀p N ⇒ε | |21<++++++p n n n u u u .由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前 k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.推论 (级数收敛的必要条件)∑nu收敛⇒ 0lim =∞→n n u .例5 证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 . 证 显然满足收敛的必要条件.令 21nu n =, 则当 2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 例6 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性. (验证 0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7 证明调和级数∑∞=11n n发散. 证法一 (用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二 (证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.三． 收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1∑nu收敛,a 为常数⇒∑nau收敛,且有∑nau=a∑nu(收敛级数满足分配律)性质2∑nu和∑nv收敛⇒)(n nv u±∑收敛,且有)(n n v u ±∑=∑n u ±∑nv.问题:∑nu、∑nv、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律)例8 考查级数 ∑∞=+-11)1 (n n 从开头每两项加括号后所得级数的敛散性. 该例的结果说明什么问题 ?Ex [1]P 5—7 1 — 7.§2 正项级数（ 3 时 ）一. 正项级数判敛的一般原则 :1.正项级数: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.2. 基本定理: Th 1 设0≥n u .则级数∑nu收敛⇔)1(0=n S .且当∑nu发散时,有+∞→n S ,) (∞→n . ( 证 )正项级数敛散性的记法 . 3. 正项级数判敛的比较原则: Th 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤, 则 ⅰ> ∑nv <∞+ , ⇒ ∑nu<∞+ ;ⅱ>∑nu=∞+, ⇒∑nv=∞+ . ( ⅱ> 是ⅰ>的逆否命题 )例1 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 .解 有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 例2 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性.推论1 (比较原则的极限形式) 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数且l v u nnn =∞→lim,则ⅰ> 当∞+<< 0l 时,∑nu和∑nv共敛散 ; ⅱ> 当0=l 时 ,∑nv<∞+⇒∑nu<∞+ ;ⅲ> 当+∞=l 时,∑nv=∞+⇒∑nu=∞+ . ( 证 )推论2 设∑nu和∑nv 是两个正项级数,若n u =)(0n v ，特别地，若 n u ～n v ,) (∞→n ， 则∑nu<∞+⇔∑nv=∞+.例3 判断下列级数的敛散性:⑴∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n 21) ; ⑵ ∑∞=11sin n n ; ⑶ ∑∞=+12) 11 ln(n n .二 正项级数判敛法:1．比值法：亦称为 D ’alembert 判别法.用几何级数作为比较对象,有下列所谓比值法. Th 3 设∑nu为正项级数, 且0 N ∃ 及 0 , ) 10 ( N n q q ><<时ⅰ> 若11<≤+q u u nn ⇒∑n u <∞+; ⅱ> 若11≥+nn u u ⇒∑n u =∞+ . 证 ⅰ> 不妨设 1≥n 时就有11<≤+q u u nn 成立, 有, , , , 12312q u u q u u q u u n n ≤≤≤- 依次相乘⇒11-≤n n q u u , 即 11-≤n n qu u . 由 10<<q , 得∑<nq∞+⇒∑n u <∞+.ⅱ> 可见}{n u 往后递增⇒ , 0→/n u ) (∞→n . 推论 (比值法的极限形式) 设∑n u 为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则ⅰ> 当q <1⇒∑nu<∞+; ⅱ>当q >1或q =∞+⇒∑nu=∞+. ( 证 )注: ⑴倘用比值法判得∑nu=∞+, 则有 , 0→/n u ) (∞→n .⑵检比法适用于n u 和1+n u 有相同因子的级数, 特别是n u 中含有因子!n 者. 例4 判断级数 ()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.例5 讨论级数∑>-)0( 1x nx n 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.例6 判断级数∑+nn n n !21的敛散性 .注: 对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n,均有 11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛.Ex [1]P 16 1⑴―⑺， 2⑴⑵⑷⑸，3，4，12⑴⑷；2. 根值法 ( Cauchy 判别法 ): 也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法.Th 4 设∑nu为正项级数,且 0 N ∃ 及 0>l , 当 0N n >时,ⅰ> 若 1 <≤l u n n ⇒∑nu<∞+;ⅱ> 若1 ≥n n u ⇒∑nu =∞+. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .) ( 证 ) 推论 (根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u n n n =∞→lim . 则ⅰ> 当1 <l 时⇒∑nu<∞+; ⅱ> 当1 >l 时⇒∑nu=∞+ . ( 证 )注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者.根值法优于比值法. (参阅[1]P 12)例7 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 .解 1212)1(3l i m l i m <=-+=∞→∞→nnn n nn u ⇒∑+∞<. 例8 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . 3． 积分判别法：Th 5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑)(n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且 ⎰-=-≤≤nn n n f dx x f n f 1, 3 , 2 , )1()()(⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mmn m n mn n f n f dx x f n f 12112, )()1()()( . 例9 讨论 -p 级数∑∞=11n pn的敛散性. 解 考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dxx f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n pn当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. 例10 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2) ln ( 1n p n n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n .Ex [1]P 16 1⑻，2⑶⑹，5，6，8⑴―⑶，11；§3 一般项级数 ( 4 时 )一. 交错级数: 交错级数, Leibniz 型级数.Th 1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛,且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r . 证 (证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界. ))()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S ≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界. 由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .例1 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.二. 绝对收敛级数及其性质:1. 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.Th 2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na, ⇒∑na收敛.证 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性 . 2. 绝对收敛级数可重排性: ⑴ 同号项级数：对级数∑∞=1n nu，令⎩⎨⎧≤>=+=. 0 , 0 , 0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有 ⅰ>∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;ⅱ> n n n w v u +=|| , n n n w v u -= . ⑵ 同号项级数的性质: Th 3 ⅰ> 若∑||nu +∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .ⅱ> 若∑nu条件收敛 , 则∑nv+∞= ,∑nw+∞= .证 ⅰ> 由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, ⅰ> 成立 .ⅱ> 反设不真 , 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及 ∑nv+∞<和∑n u 收敛 ⇒∑n w +∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu+∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. Th 4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'n u =∑n u . 证 ⅰ> 若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞< ⇒∑'nu +∞<, 且和相等. ⅱ> 对于一般的n u , ∑nu=∑nv ∑-nw⇒∑'nu = ∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'n w 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据Th 1 ,∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv =∑'nv , ∑n w ∑n u =∑'n w ⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . Th 5 ( Riemann ) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑nu的更序∑'nu , 使得∑'nu =s .证 以Leibniz 级数∑∞=+-111) 1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 关于无穷和的交换律, 有如下结果: ⅰ> 若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.ⅱ> 设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +,106则∑'n u 和∑n u 共敛散, 且收敛时和相等 .三. 级数乘积简介:1. 级数乘积: 级数乘积, Cauchy 积. [1] P 20—22.2．级数乘积的Cauchy 定理:Th 6 ( Cauchy ) 设∑||n u +∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑n u =U , ∑n v =V . 则 它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为UV . ( 证略 ) 例3 几何级数1 || ,1112<+++++=-r r r r rn 是绝对收敛的. 将()2∑n r 按Cauchy 乘积排列, 得到 +++++++++++=++个12222)()()(1)1(1n n n n r r r r r r r r r ++++++=n r n r r )1(3212 .Ex [1] P 24—25 1⑴—⑻ ⑽，4； 31(总Ex ) 2，3，4⑴⑵；四. 型如∑n n b a 的级数判敛法：1．Abel 判别法：引理1 (分部求和公式，或称Abel 变换)设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B k i i k ≤≤=∑=. 则∑∑=-=++-=m i m i m m i i i i i B a B a a b a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i m i i i ii i b a B B a b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a107 m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a. 分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a ba x a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x a b a x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b a b ax a x df dt t g dt t g b f )()()()(. 可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰x a dt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分. 引理 2 ( Abel )设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi i i b a ) ||2|| (1m a a M +≤.证 不妨设i a ↘.||1∑=m i i i ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a ) ||2|| ( ||)(1111m m i m i i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理1. 则有||1∑=m i i i ba 1Ma ≤.( 参引理2证明 ) Th 7 (Abel 判别法)设ⅰ> 级数∑n b 收敛,ⅱ> 数列}{n a 单调有界.则级数∑n n b a 收敛. 证 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项)设K a n ≤||, 由∑n b 收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有108 ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a b a p n n pn n k k k 3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则 ⇒∑n n b a 收敛.2. Dirichlet 判别法:Th 8 ( Dirichlet)设ⅰ> 级数∑n b 的部分和有界, ⅱ> 数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑n n b a 收敛.证 设∑==n i n n bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M b a P n n pn n k k k 6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则,∑n n b a 收敛. 取n a ↘0,∑n b ∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1) 1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界 ⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n n b a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n n b a a )(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.109 例4 设n a ↘0.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证 ++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑= 2s i n 23s i n 2s i n c o s 212s i n 21x x x kx x n k x n x n x n ) 21sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++， ) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x x n kx 12sin 2) 21 sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx a n cos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .Ex [1]P 24 — 25 2， 3.。

329第十讲 函数列与函数项级数一、知识结构 1、函数列收敛性（1）函数列收敛的概念和定义定义1 设 ,,,,21n f f f 是定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，记作}{n f 或n f ， ,3,2,1=n .定义2 设E x ∈0, 以0x 代入函数列,,,,21n f f f 的数列()()() ,,,,00201x f x f x f n . 如果数列)}({0x f n 收敛, 我们称函数列}{n f 在点0x 收敛,点0x 为函数列}{n f 的收敛点. 如果数列)}({0x f n 发散, 称函数列}{n f 在发散, 点0x 为函数列}{n f 的发散点.如果在数集E D ⊆上的每一点函数列 ,,,,21n f f f 都收敛, 则我们称函数列}{n f 在D 上收敛.记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈,)(x f 称为函数列}{n f 在D 上极限函数, 或称为函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f .定义3(函数列)}({x f n 在D 上收敛于)(x f N -ε的定义) 对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x f x f n ,我们称函数列()}{x f n 在D 上收敛与)(x f ，记作)()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈或)()(x f x f n →（∞→n ）,D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.（2）函数列收敛的判定方法数列)}({0x f n 收敛的判定方法均可作为函数列收敛的判定方法.例如，函数列330)}({x f n 在D 上的柯西收敛准则.定理1 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上收敛的充要条件是:对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-00x f x f m n .定理2 (函数列)}({x f n 在D 上收敛的归结原则) )()(lim x f x f n n =∞→,D x ∈⇔对每一个固定的D x ∈0,当0lim x x m m =∞→时,有)()(lim )(lim lim 00x f x f x f n n m n m n ==∞→∞→∞→.2、函数列的一致收敛性（1）函数列一致收敛性的概念和定义如果上述定义3中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f .定义4(函数列)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f N -ε的定义) 对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x f x f n ,我们称函数列}{n f 在D 上收敛与)(x f ,记作)(x f n −→−−→−)(x f ) (∞→n ,D x ∈.（2）函数列一致收敛性的判别法定理3 (函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的柯西准则) 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:对D x ∈∀,对0>∀ε,存在正整数N ,当N m n >,时,有()()ε<-x f x f m n .定理4 函数列)}({x f n 在D 上一致收敛的充要条件是:0)()(sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n .推论 设在数集D 上)(x f n →)(x f ) (∞→n .若存在数列D x n ⊂}{,使0 |)()(|→/-n n n x f x f ) (∞→n , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛.3、函数项级数及其一致收敛性 (1) 函数项级数及其和函数331定义5 设{})(x u n 是定义在数集E 上函数列，表达式∑∞=1)(n n x u ，E x ∈称为定义在E上的函数项级数.若E x ∈0,数列{})(0x u n 收敛,即极限∑=∞→∞→=nk kn n n x ux S 100)(lim)(lim 存在, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 收敛, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的收敛点.若E x ∈0,数列{})(0x u n 发散, 则称函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)在点0x 发散, 点0x 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)的发散点. 函数项级数∑∞=1)(n n x u (E x ∈)收敛点的全体组成数集D 称为函数项级数∑∞=1)(n nx u(E x ∈)收敛域.表达式∑∞=∞→==1)()(lim )(n nn n x ux S x S (D x ∈)中的)(x S 称为函数项级数∑∞=1)(n n x u (D x ∈)的和函数,或称函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上收敛于)(x S .定义6(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对每一个固定的D x ∈0,对0>∀ε,存在正整数N ,当N n >时,有()()ε<-00x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上收敛于)(x S ，记作)()()(lim 1x S x ux S n nn n ==∑∞=∞→,D x ∈或)()(x S x S n →（∞→n ）,D x ∈或)()(1x S x unk k→∑=（∞→n ）,D x ∈.说明 ①对每一个固定的D x ∈0，都存在一个正整数N ，由于D 中一般有无限个0x ，332所以就对应于无限个正整数N ，这无限个正整数N 中可能找到最小的，也可能找不到最小的.②定义中ε的大小一般既与N 的大小有关,又与D 上所选取的0x 大小有关.(2)函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性如果上述定义6中的ε大小仅与N 的大小有关,与D 上所选取的0x 大小无关,则我们就得到函数项级数∑∞=1)(n n x u 在D 上一致收敛于)(x S .定义7(函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S 的N -ε的定义) 令)()(1x ux S nk kn ∑==,对D x ∈∀,0>∀ε,∃正整数N ,当N n >时,有()()ε<-x S x S n ,我们称函数项级数∑∞=1)(n nx u在D 上一致收敛于)(x S ,记作)(1x unk k∑=−→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈或)(x S n −→−−→−)(x S ) (∞→n ,D x ∈.(3) 函数项级数∑∞=1)(n n x u 的一致收敛性判别法定理5(Cauchy 准则) 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇔N ,0∃>∀ε,,N n >∀N ∈∀p ,∈∀x D ⇒ ε<-+)()(x S x S n p n 或ε |)()()(|21<++++++x u x u x u p n n n .推论 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛⇒n u )(x −→−−→−0 ) (∞→n .定理6 级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛于)(x S ⇔∞→n lim =∈|)(|sup x R n x D∞→n lim 0|)()(|sup =-∈x S x S n x D.定理7( Weierstrass 判别法，M-判别法)设级数∑)(x u n 定义在区间D 上,∑nM 是收敛的正项级数.当n 充分大时,对∈∀x D 有||)(x u n n M ≤,则∑在D 上一致收敛.333证明 , |)(| )( 1111∑∑∑∑==+=++=+=≤≤p i pi in p i i n i n p i i n MM x u x u 然后用Cauchy 准则.亦称此判别法为优级数判别法. 称满足该定理条件的正项级数∑nM是级数∑)(x un的一个优级数. 于是定理7可以叙述为: 若级数∑)(x u n 在区间D 上存在优级数,则级数∑)(x u n 在区间D 上一致收敛.应用时,常可试取|})({|sup x u Mn Dx n∈=.但应注意,级数∑)(x u n 在区间D 上不存在优级数⇒/级数∑)(x u n 在区间D 上非一致收敛.注意区分用这种控制方法判别函数列和函数项级数一致收敛性的区别所在. 定理8（Abel 判别法）设（ⅰ）级数∑)(x u n 在区间I 上收敛;（ⅱ）对每个∈x I ,数列)}({x v n 单调; （ⅲ） 函数列)}({x v n 在I 上一致有界, 即0 >∃M ,使对I ∈∀x 和n ∀,有M x v n |)(|≤. 则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛 .定理9（Dirichlet 判别法） 设（ⅰ）级数∑)(x un的部分和函数列∑==nk kn x ux U 1)()(在区间I 上一致有界;（ⅱ） 对于每一个∈x I ,数列)}({x v n 单调;（ⅲ）在区间I 上函数列)}({x v n 一致收敛于零.则级数∑)()(x v x u n n 在区间I 上一致收敛.(4) 一致收敛函数列极限函数的解析性质定理1（连续性）设在D 上n f −→−−→−)(x f ,且对∀n ,函数)(x f n 在D 上连续⇒)(x f 在D 上连续.证明 要证: 对∈∀0x D ,)(x f 在点0x 连续.即证:对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时⇒ε<-|)()(|0x f x f .|)()(||)()(||)()(| |)()(|0000x f x f x f x f x f x f x f x f n n n n -+-+-≤-.334估计上式右端三项.由一致收敛, 第一、三两项可以任意小;而由函数)(x f n 在点0x 连续, 第二项|)()(|0x f x f n n -也可以任意小.所以, 对0>∀ε,0>∃δ, 当|δ<-|0x x 时,有ε<-|)()(|0x f x f推论 设在D 上)(x f n →)(x f .若)(x f 在D 上间断，则函数列{)(x f n }在D 上一致收敛和所有)(x f n 在D 上连续不能同时成立.注 定理1表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列{)(x f n },有)(lim lim )(lim lim 00x f x f n x x n n n x x →∞→∞→→=，即极限次序可换 .定理2（可积性） 若在区间] , [b a 上函数列{)(x f n }一致收敛,且每个)(x f n 在] , [b a 上连续.则有 ()⎰⎰∞→∞→=baban n n n dx x f dx x f )(lim)(lim .证明 设在] , [b a 上n f −→−−→−)(x f , 由Th1,函数)(x f 在区间] , [b a 上连续,因此可积. 我们要证 ⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f )()(lim . 注意到⎰⎰⎰-≤-ban baba n f f f f || , 可见只要ab x f x f n -<-ε|)()(|在] , [b a 上成立.注:定理的条件可减弱为:用条件“)(x f n 在] , [b a 上(R )可积”代替条件“)(x f n 在] , [b a 上连续”.证明可参阅 江泽坚著《数学分析》上册P 350.定理3（可微性） 设函数列{)(x f n }定义在区间] , [b a 上,在某个点∈0x ] , [b a 收敛.对n ∀, )(x f n 在] , [b a 上连续可导,且由导函数构成的函数列{)(x f n '}在] , [b a 上一致收敛, 则函数列{)(x f n }在区间] , [b a 上收敛,且有())(lim)(lim x f dxd x f dxdn n n n ∞→∞→=.证明 设)(0x f n →A ，) (∞→n . )(x f n '−→−−→−)(x g , ) (∞→n .对∈∀x ] , [b a ,注意到函数)(x g 连续和 )(x f n =⎰'+x x n n dt t f x f 0)()(0, 就有335⎰'+=∞→∞→∞→x x n n n n n n dt t f x f x f 0)(lim)(lim )( lim 0 （对第二项交换极限与积分次序）())()()(lim0x f dt t g A dt t f A x x xx n n ⎰⎰==+='+=∞→令估计⎰⎰--'+x x x x n n dt t g A dt t f x f 0)()()(0≤()⎰-'+-xx nn dtt g t f A x f 0)()()(0, 可证得)(x f n −→−−→−)(x f . )(x f '=='⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰xx dt t g A 0)()(x g =∞→n lim =')(x f n ∞→n lim)(x f dx dn . 即()=∞→)(limx f dxdn n ∞→n lim)(x f dxdn . 亦即求导运算与极限运算次序可换.二、解证题方法例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列{})(x f n ,nn x x f =)(,用“N -ε”的定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且⎩⎨⎧=<===∞→∞→.1 , 1 , 1 || , 0 )(lim )(lim x x x f x x f nn n n解 因为对0>∀ε,()1,1-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,ln ln x N ε,当N n >时,有ε<=-=-nnn xx x f x f 0)()(,所以()1,1-∈x 时, 有)(lim )(lim x f x x f nn n n ==∞→∞→.当1=x 时, 有)(11lim )1(lim x f f nn n n ===∞→∞→, 当1-=x 时, 即)1(lim n n f ∞→不存在.例2 )(x f n =nnx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内0)(lim =∞→x f n n .解对0>∀ε,), (∞+∞-∈∀x ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃1,1εN ,当N n >时,有ε<≤=-=-nnnx nnx x f x f n 1sin 0sin )()(,即0)(lim =∞→x f n n .例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数) (∞→n .336（1）)(x f n =xxx x nn n n --+-，R ∈x .（2） )(x f n =121+n x ，R ∈x .（3） 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=nn r r r x x r r r x ,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121 且，∈x ] 1 , 0 [.（4） )(x f n =2222xnxen -，R ∈x .（5） )(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n解 （1）因为)(x f n =xxx x nn n n --+-，所以)(x f n →,sgn x R ∈x .（2）因为)(x f n =121+n x，所以)(x f n →,sgn x R ∈x .（3） 设 ,,,,21n r r r 为区间] 1 , 0 [上的全体有理数所成数列. 令 )(x f n =⎩⎨⎧≠∈=.,,, ] 1 , 0 [ , 0,,,, , 12121n n r r r x x r r r x 且)(x f n →)(x D , ∈x ] 1 , 0 [.（4）因为)(x f n =2222xnxen -，所以)(x f n →0,R ∈x .（5）因为)(x f n =⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤-<≤--+ . 121 , 0 ,2121 ,42,210 ,4111x x x x x n n n n n n n337所以)(x f n →0, ∈x ] 1 , 0 [, ) (∞→n .（ 注意⎰≡11)(dx x f n .）问题 若在数集D 上)(x f n →)(x f ,) (∞→n .试问:通项)(x f n 的解析性质是否必遗传给极限函数)(x f ?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但∞→n lim()⎰⎰∞→≠11)(lim)(dx x f dx x f n n n .用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段. 对这种函数, ∞→n lim )(x f n 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极 限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.例4 nnx x f n sin )(=. 证明函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明1 显然nnx x f n sin )(=收敛于0)(=x f .对0>∀ε,R x ∈∀,1,1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当N n >时,有ε<≤-=-nnnx x f x f n 10sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.证明2对0>∀ε,R x ∈∀, 01,2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃εN ,当Nm n >,时,有ε<+≤-=-mn mmx nnx x f x f m n 11sin sin )()(. 所以函数列)}({x f n 在R 内一致收敛.例5 )(x f n 2222xn xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.338证明 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点n x =n21处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛-nen f n ,) (∞→n . 由推论2 , )}({x f n 不一致收敛.例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0 ) (∞→n .证明 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n xn x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=-在) , (∞+∞-内成立.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证明 10≤<x 时,只要1->x n ,就有)(x f n =0.因此,在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n l i m )(x f n =0. 0)0(=n f ⇒)0(f =∞→n lim)0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0.但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x ,) (∞→n ,因此, 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.例8 )(x f n =12sin2+n x . 考查函数列)}({x f n 在下列区间上的一致收敛性:（1）)0( , ] , [>-l l l ; （2）) , 0 [∞+.339例9 定义在) , (∞+∞-内的函数项级数(称为几何级数)+++++=∑∞=nn nx x x x201的部分和函数列为) 1 ( 11)(≠--=x xxx S nn , 收敛域为) 1 , 1 (-.例10 几何级数∑∞=0n n x 在区间] , [a a -)10(<<a 上一致收敛；但在) 1 , 1(-内非一致收敛.证明 在区间] , [a a -上,有 011sup|)()(|sup ],[],[→-=--=---aaaxx S x S nna a n a a ) (∞→n ⇒∑一致收敛;而在区间) 1 , 1(-内, 取∈+=1n n x n ) 1 , 1(-, 有∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫⎝⎛+≥-=----1)1,1()1,1(1111 1sup |)()(|sup n nnn n n n nn n n x x x S x S ,) (∞→n ⇒∑非一致收敛.亦可由通项nn x x u =)(在区间) 1 , 1(-内非一致收敛于零⇒∑非一致收敛.几何级数∑∞=0n n x 虽然在区间) 1 , 1(-内非一致收敛,但在包含于) 1 , 1(-内的任何闭区间上却一致收敛. 我们称这种情况为“闭一致收敛”.因此,我们说几何级数∑∞=0n n x 在区间) 1 , 1(-内闭一致收敛.例11 判断函数项级数 ∑∞=in nnx 2sin 和 ∑∞=in nnx 2cos 在R 内的一致收敛性.340例12 设) , 2 , 1 ( )( =n x u n 是区间] , [b a 上的单调函数. 试证明:若级数∑)(a un与∑)(b u n 都绝对收敛, 则级数∑)(x u n 在区间] , [b a 上绝对并一致收敛 .简证 ,留为作业. |)(||)(| |)(|b u a u x u n n n +≤.…… 例13 判断函数项级数∑++-1)() 1(n nn nn x 在区间] 1 , 0 [上的一致收敛性.解 记nn nn n x x v nx u ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=1)( , ) 1()(. 则有ⅰ> 级数∑)(x u n 收敛; ⅱ> 对每个∈x ] 1 , 0 [, )(x v n ↗；ⅲ>e n x x v nn ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1|)(| 对∀∈x ] 1 , 0 [和n ∀成立.由Abel 判别法, ∑在区间] 1 , 0 [上一致收敛.例14 设数列}{n a 单调收敛于零.试证明: 级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-)0(πα<<上一致收敛.证明 由前面例4，在] 2 , [απα-上有212sin2121|2sin|21212sin2) 21sin(|cos |1+≤+≤-+=∑=αx x xn kx nk .可见级数∑nx cos 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界.取nx x u n cos )(=,n n a x v =)(就有级数∑)(x u n 的部分和函数列在区间] 2 , [απα-上一致有界, 而函数列)}({x v n 对每一个∈x ] 2 , [απα-单调且一致收敛于零.由Dirichlet 判别法,级数∑nx a n cos 在区间] 2 , [απα-上一致收敛.其实,在数列}{n a 单调收敛于零的条件下,级数∑nx ancos 在不包含) , 2 , 1 , 0 ( 2 ±±=k k π的任何区间上都一致收敛.341例15 证明函数)(x f =∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内连续.证明 (先证∑∞=-1n nxne在区间) , 0 (∞+内闭一致收敛.)对+∞<<<∀b a 0，有nanxnene--≤≤0，∈x ] , [b a ；又∑+∞<-nane⇒∑∞=-1n nxne在] , [b a 一致收敛.( 次证对∈∀0x ) , 0 (∞+,)(x f 在点0x 连续 ) 对∈∀0x ) , 0 (∞+, 由上段讨论,∑∞=-1n nxne在区间] 2 , 2[00x x 上一致收敛;又函数nxne-连续⇒)(x f 在区间]2 , 2[00x x 上连续⇒ )(x f 在点0x 连续. 由点0x 的任意性,)(x f 在区间) , 0 (∞+内连续.例16 =)(x S ∑∞=-11n n nn x, ∈x ] 1 , 1 [-. 计算积分 ⎰xdt t S 0)(.解显然∑∞=-11n n nn x一致收敛. 则∑∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-∞=-====1212111011)(n nn xn n xn xn n xnnxnntdt nn tdt nntdt t S .练习[1](北京理工大学2008年) 证明：xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.证明：取πn x n ='，2='ny ，4ππ+=''n x n ，2=''n y ，因为+∞=''+∞='∞→∞→nn n n x x lim ,lim ，所以122c o s 2c o s l i m ),(),(l i m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=''''-''+∞→+∞→πππn n y x f y x f n nn n n n ，进而()n n n n y x y x f c os ),(=在2R 内不一致收敛，再有归结原则知，xy y x f cos ),(=在2R 内不一致收敛.[2](山东师范大学2010年) 试确定函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域，并讨论其和函数在定义域内的连续性与可微性.342解: （1）收敛域 令xn nx u 1)(=，则当0>x 时，{})(x u n 单调递减，并且0)(lim =∞→x u n n ，所以由交错级数收敛的莱布尼兹判别法，则交错级数111(1)n xn n∞+=-∑收敛.进而级数111(1)n xn n∞+=-∑的收敛域为()+∞,0，并设111(1)()n xn S x n∞+=-=∑.（2）连续性 因为)(1)1()2(1)1()1(1)1(lim )()1()()1()()1(lim 13212312=+-+++-++-=-++-+-++++∞→+++++++∞→xp n xn xn n p n p n n n n n n p n n n x u x u x u ，其中p 为常数，()+∞∈,0x ，所以函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内一致收敛.又因为)()1(1x u n n +-在()+∞,0内连续，所以和函数)(x S 在()+∞,0内连续，即函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑在()+∞,0内连续.（3）可微性因为函数项级数111111ln ln (1)(1)(1)n n nx xxn n n n n n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑在()+∞,0内一致收敛，原因如下： ()()()23112131lim(1)()(1)()(1)()ln(1)11lim (1)(1)(1)(1)(2)()0n n n p n n n p n n n n p xxxn u x u x u x n n n n p +++++++→∞++++→∞'''-+-++-+=-+-++-+++= ，343并且函数项级数111(1)n xn n∞+=-∑的每一项11(1)n xn+-的导数ln (1)nxn n-在()+∞,0内连续，所以和函数111()(1)n xn S x n∞+==-∑在()+∞,0内可微，并且111111ln ln ()(1)(1)(1)n n nx xxn n n n n S x n nn+∞+∞+∞++==='-⎛⎫'=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑.[3] 设函数在[],a b 上连续，且对[],x a b ∀∈，函数项级数()1()nn f x ∞=∑收敛，试证明()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.证明：因为函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上收敛，所以()()nn f x M ≤,并且()[]l i m ()l i m ()0,,nn n n u x f x x a b →∞→∞==∈, 即对01n ε∀<<,存在0N >,当n N>时,有()()()nnn u x f x ε=<,[],x a b ∈. 因为正项级数1nn N ε+∞=+∑收敛, 当然级数()111()Nnnnn n N n N f x N M εε+∞+∞==+=++≤+∑∑∑也收敛,其中{}1m ax n n NM M ≤≤=.所以魏尔斯特拉斯判别法知, 函数项级数()1()nn f x ∞=∑在[],a b 上一致收敛.[4](哈尔滨工大2008年) 设()x u n 在[]b a ,上满足条件：()()y x y u x u nn n -≤-21，,2,1=n ，且在[]b a ,上()x u n n ∑+∞=1逐点收敛，则()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.证明：()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上逐点收敛，所以()()()1lim limnn kn n k S x S x u x →∞→∞===∑，固定[],x a b ∈.由函数列(){}x S n 在[]b a ,上的柯西收敛准则：对0ε∀>，存在正整数N ，当,n m N >时，有()()n m S x S x ε-<，固定[],x a b ∈.344因为对[]b a x ,∈∀，有()()()()()()()()()()()()()()yx y x x S y S y S y S y S x S x S y S y S y S y S x S x S x S mnm m m n n n m m m n n n m n -++-<-+-+-≤-+-+-=-2121ε，其中[]b a y ,∈，且02121lim =⎪⎭⎫⎝⎛-++-∞→∞→y x y x m n m n ε，所以()x u n n ∑+∞=1在[]b a ,上一致收敛.[5](重庆大学2010年) 证明：函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛，但是级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.证明：（1）证明函数项级数1(1)(1)n n n x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛和一致收敛.因为当()00,1x ∈时，有()()0000000101lim ()lim (1)(1)lim 11nn k kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎡⎤⎪⎪=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥-⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑， 而0,1x x ==时，函数项级数1(1)(1)0n nn x x +∞=--=∑，所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上绝对收敛， 进而1,[0,1)(1)(1)()0,1nnn x x xx S x x +∞=∈⎧--==⎨=⎩∑. 又因为()()11(li m 11n nkkn n n n k x x x x S x xx x x x →∞→∞→∞=⎧⎫⎡⎤---⎡⎤-⎪⎪⎣⎦=--=-⋅=⎨⎬⎢⎥++⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑，其中[]0,1x ∈，所以函数项级数1(1)(1)nnn x x +∞=--∑在区间[]0,1上一致收敛.345(2) 后证明级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛因为当()00,1x ∈时，有()()0000000101lim ()lim (1)lim 11nn kn n n n k x x S x x x x x x →∞→∞→∞=⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=-=-⋅=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭∑， 而00x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 当01x =时, 有0lim ()0n n S x →∞=, 所以函数项级数函数项级数1(1)nn x x +∞=-∑收敛于()S x x =，即1(1)()n n x x S x x +∞=-==∑, []0,1x ∈.取1111n n x n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()11lim ()()lim 1lim 11nn nn n n n n n nn n n nx x S x S x x x x x +→∞→∞→∞--=-⋅-==-，所以函数列{}()n S x 在[]0,1上不一致收敛，进而级数1(1)n n x x +∞=-∑在区间[]0,1上不一致收敛.。

第九讲 数项级数§9.1 数项级数一、知识结构1、数项级数的概念和定义 定义1 数列{}n u 得到+++++=∑∞=n n nu u u u u3211，∑∞=1n n u 称为数项级数或无穷级数，简称为级数，其中n u 称为数项级数∑∞=1n nu的通项.∑==nk k n u S 1称为数项级数∑∞=1n n u 前n 项和，或部分和.2、数项级数的收敛性定义2 若数列{}n S 收敛于S ，其中∑==nk kn uS 1为级数∑∞=1n nu的部分和，则称数项级数∑∞=1n nu收敛，称S 为数项级数∑∞=1n nu的和，即∑∞==1n nuS .(1)∑∞=1n nu收敛于S ⇔S S n n =∞→lim ，其中S 为常数.∑∞=1n nu收敛于S 的充要条件是：对0>∀ε，存在正整数N ,当N n >时，有ε<-S S n .(2)∑∞=1n nu收敛于S 的柯西准则①∑∞=1n nu收敛于S ⇔对0>∀ε，存在正整数N ,当N m n >,时，有ε<-m n S S .②∑∞=1n nu收敛于S ⇔对0>∀ε，存在正整数N ,当N n >时，有ε<++++++p n n n u u u 21，p 为任意的正整数常数.由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序) 级数的有限项, 不会影响级数的敛散性. 但在收敛时, 级数的和将改变.去掉前k 项的级数表为∑∞+=1k n nu或∑∞=+1n kn u.(3)∑∞=1n nu收敛的必要条件：若∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .其逆否命题为：若0lim ≠∞→n n u ，则∑∞=1n nu不收敛.3、级数与无穷积分的关系⑴()∑⎰∑⎰∞=+∞+∞=+==1111)(n nn n nudx x f dx x f , 其中 ()dx x f u n nn ⎰+=1. 即无穷积分可化为级数;⑵ 对每个级数, 定义函数 , 2 , 1 , 1 , )(=+<≤=n n x n u x f n , 易见有∑+∞=1n n u =⎰+∞1)(dx x f ，即级数可化为无穷积分.4、收敛级数的基本性质性质 1∑nu收敛, a 为常数⇒∑nau收敛, 且有∑∑=n nu a au(收敛级数满足分配律) 性质 2∑nu和∑nv收敛，则)(n nv u±∑收敛,且有∑∑∑±=±n n n nv u v u)(.问题:∑nu、∑nv 、)(n nv u±∑三者之间敛散性的关系.性质3 若级数∑nu收敛, 则任意加括号后所得级数∑'nu 也收敛, 且和不变.(收敛数列满足结合律) 说明: 若级数∑nu收敛, 任意交换级数∑nu的项所得级数∑'nu ，则级数∑'nu 的和一般不等于级数∑nu的和.二、解证题方法 例1 讨论几何级数∑∞=0n nq的敛散性.解 因为q q q S nnk kn --==∑=110，所以,(1)当1||<q 时, ) ( 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn , 级数收敛，即qq n n -=∑∞=11; (2) 当1||>q 时, ) ( 110∞→∞→--==∑=n q q q S nnk kn ，级数∑∞=0n n q 发散 ，即∞=∑∞=0n nq;(3) 当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散级数∑∞=0n nq发散 ，即∞=∑∞=0n nq;(4)当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=) (∞→n , 级数发散，即⎩⎨⎧=∑∞=为奇数，为偶数，n n q n n010;综上所述, 几何级数 ∑∞=0n n q 当且仅当 1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ). 例2 讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性. 解 用链锁消去法求. 因为()11321211)1(11+⋅++⋅+⋅=+=∑=n n k k S nk n 111111131212111→+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n （∞→n ）， 所以级数 ∑∞=+1)1(1n n n 收敛于1，即1)1(11=+∑∞=n n n . 例3 讨论级数∑∞=12n nn的敛散性. 解 设 ∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , 进而 1432221 23222121++-++++=n n n n n S , 而1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫⎝⎛-=+n n n ) (∞→n ，所以n S →2) (∞→n .因此, 该级数收敛，即221=∑∞=n nn.例4（深圳大学2006年）求级数()∑∞=+111n n n 的和. 解 因为()1111111111+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=∑∑==n k kk k S nk nk n , 所以 ()1111lim lim 111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==+∞→∞→∞=∑n S n n n n n n . 例5（上海大学2006年）求级数()()∑∞=+-113231n n n 的和. 解 因为()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=∑∑==131131131231311323111n k k k k S n k nk n ,所以()()31131131lim lim 132311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==+-∞→∞→∞=∑n S n n n n n n . 例6（重庆大学2004年）设10<<a ,求()nn na a a +++∞→ 22lim .解 令n n na a a S +++= 22, 则1322++++=n n naa a aS , 进而12+-+++=-n n n n na a a a aS S ,所以()()()ana a a a a na a a a anaa a S n n n nn n n ----=----=--++=+++11111111211. 又因为()()()()a na a a a a na a a a S n n n n n n n n n ----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+∞→∞→+∞→∞→1lim 11lim 111lim lim 1212 ()()()()12121lim 11lim 1+-+∞→++∞→---=---=x x x x a a x a a a xa a a ()()()()()aa a a a a a a a a x x x x ln 1lim 1ln 11lim 11212----=----=++∞→+-+∞→ ()()22101a a a a -=--=, 所以()()2212lim a a na a a nn -=+++∞→ . 例7（武汉大学2004年）求∑∞=1221arctank k . 解 因为()()12arctan 12arctan 21arctan2--+=k k k , 所以 ()()[]∑∑∞=∞=--+=11212arctan 12arctan 21arctan k k k k k , 进而 ()()[]()1arctan 32arctan 12arctan 12arctan 1-+=--+=∑=n k k S nk n .又因()()4421arctan 32arctan lim lim πππ=-=-+=∞→∞→n S n n n , 所以421arctan12π=∑∞=k k . 例8（华中科技大学2004年）设00=x ,∑==nk kn ax 1(1≥n ),b x n →(∞→n )求()11-∞=+∑n n n n x x a .解 因为1--=n n n x x a ,所以()()()()∑∑∑=--=--=-=+-=+=nk k k k k nk k k k k nk k n x x x x x x x x a S 1212111112202n n x x x =-=,进而22lim lim b x S nn n n ==∞→∞→,所以()211b x xa n nn n =+-∞=∑.例9 讨论级数∑∞=-1352n n n的敛散性.解 因为5252352=>-n n n n ，∞→⋅>52n S n ) (∞→n . 所以+∞=⎪⎭⎫⎝⎛⋅>∞→∞→52lim lim n S n n n ,进而级数∑∞=-1352n n n 发散. 例10 证明2-p 级数∑∞=121n n收敛. 证明 令21nu n =, 则当 2≥n 时, 有 ∑∑==++++-+<+=+++pk pk p n n n k n k n k n u u u 11221))(1(1)(1 | | np n n 111<+-=. 又因为, 对0>∀ε，存在正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,1εN ,当N n >时，有ε<<++++++n u u u pn n n 121 ，p 为正整数常数, 所以2-p 级数∑∞=121n n收敛.注 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N . 练习 [1] 判断级数∑∞=11sinn nn 的敛散性.(提示:用数项级数收敛的必要条件) [2] 证明调和级数∑∞=11n n 发散.(提示:用柯西收敛准则或用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ )) [3](上海大学2004年)判断数列{}n S 是否收敛, 其中∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=nk n k kS 113121, 证明你的结论.(提示: 运用调和级数发散证明∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=nk n k k S 113121发散) [4](东南大学2005年) 是非判断题. 若∑∞=12n n u ,∑∞=12n nv都收敛, 则级数()∑∞=+12n n n v u 收敛.(提示: 收敛, 利用不等式222n n n n v u v u +≤)[5](北京工业大学2004年)若一般项级数∑∞=1n na与∑∞=1n nc收敛且不等式n n n c b a ≤≤, ( ,2,1=n ), 证明级数∑∞=1n n b 收敛. 又若级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n nc 都发散, 试问∑∞=1n nb一定发散吗?(提示：运用Cauchy 收敛准则证明∑∞=1n nb收敛)[6](浙江师范大学2006年) 运用Cauchy 收敛准则证明：（1）nn n1)1(1∑∞=-收敛；（2）∑∞=11n n 发散. [7](东南大学2003年) [8](重庆大学2003年) 是非判断题. 若∑∞=--11n n nu u收敛, 则∑=∞→nk kn u1lim存在.(提示: 利用调和级数是发散的)[9](北京工业大学2005年)举例说明: 存在∑∞=1n na收敛但∑∞=12n na发散; 若0≥n a ,上述现象是否发生, 为什么?(提示: 用级数收敛的必要条件)[10](上海交通大学2003年)设数列{}n na 收敛, 级数()∑∞=--11n n na an 收敛, 证明∑∞=1n na收敛(提示: 令()∑=--=nk k kn a ak S 11, 利用不等式n m m n m n m a a a na ma S S ++++--≥--- 21,n m >和柯西收敛准则).§9.2 正项级数一、知识结构1、正项级数判敛的一般原则 正项级数∑∞=1n nu: n n S u , 0>↗; 任意加括号不影响敛散性.定理1 设0≥n u ，则级数∑∞=1n nu收敛⇔)1(O S n =，即n S 为有界量. 当∑nu发散时,有+∞→n S （∞→n ）.正项级数敛散性的记法：（1）正项级数∑∞=1n nu收敛，记作+∞<∑∞=1n nu; (2)正项级数∑∞=1n nu发散，记作+∞=∑∞=1n nu.正项级数判敛的比较原则: 定理 2 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数, 且N n N >∃ , 时有n n v u ≤,(1)当+∞<∑∞=1n nv，有+∞<∑∞=1n n u ； (2)+∞=∑∞=1n n u ⇒+∞=∑∞=1n n v . ( (2)是(1)的逆否命题 )推论1 (比较原则的极限形式) 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数且l v u n nn =∞→lim, 则（1）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv共敛散；（2）当0=l 时 ,+∞<∑∞=1n nv⇒+∞<∑∞=1n nu；（3）当+∞=l 时,+∞<∑∞=1n nv⇒+∞=∑∞=1n nu.推论 2 设∑nu和∑nv是两个正项级数, 若)(n n v O u =，特别地，若n u ～n v （∞→n ）， 则⇔+∞<∑∞=1n n u +∞=∑∞=1n nv.2、正项级数判敛法（1）比值法：亦称为 D ’alembert 判别法. 用几何级数作为比较对象, 有下列所谓比值法. 定理3 设∑∞=1n nu为正项级数, 且0 N ∃及 ) 10 ( <<q q ，0 N n >时（i ）若11<≤+q u u n n ⇒+∞<∑∞=1n n u ； （ii ）若11≥+n n u u ⇒+∞=∑∞=1n n u .证 （i ）不妨设1≥n 时，就有11<≤+q u u nn 成立, 有 q u u ≤12，q u u ≤23，…，q u u n n ≤-1，…，依次相乘11-≤n n q u u，即11-≤n n q u u .由10<<q 得+∞<∑∞=1n nq⇒+∞<∑∞=1n n u .（ii ）可见{}n u 往后递增⇒n u 不0→（∞→n ）. 推论(比值法的极限形式) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且 q u u nn n =+∞→1lim. 则（i ）当1<q ⇒+∞<∑∞=1n nu; （ii ）当1>q 或+∞=q ⇒+∞=∑∞=1n n u .(2) 根值法 ( Cauchy 判别法 )根值法也是以几何级数作为比较的对象建立的判别法. 定理4(根值法) 设∑∞=1n nu为正项级数, 且0 N ∃及0>l , 当 0N n >时,（i ）若1 <≤l u nn ⇒+∞<∑∞=1n n u ;（ii ）若1 ≥nn u ⇒+∞=∑∞=1n nu. ( 此时有 , 0→/n u ) (∞→n .)推论(根值法的极限形式) 设∑nu为正项级数,且 l u nn n =∞→lim. 则(i) 当1 <l 时⇒+∞<∑∞=1n nu; （ii ）当1 >l 时⇒+∞=∑∞=1n n u .注: 根值法适用于通项中含有与n 有关的指数者，根值法优于比值法. (3)积分判别法：定理5 设在区间) , 1 [∞+上函数0)(≥x f 且↘. 则正项级数∑∞=1)(n n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.证明 对] , 1[ , 1 A R f A ∈>∀ 且⎰--≤≤nn n f dx x f n f 1)1()()(，, 3 , 2 =n ⇒⎰∑∑∑=-===-≤≤mm n m n mn n f n f dx x f n f 12112)()1()()(，所以正项级数∑∞=1)(n n f 与积分⎰+∞1)(dx x f 共敛散.二、解证题方法例1(天津大学2004年) 若正项级数∑∞=1n nu收敛, 证明∑∞=12n nu也收敛, 但反之不然, 试举例说明.解 因为正项级数∑∞=1n nu收敛, 所以0lim =∞→n n u , 进而对0>∀ε，存在正整数N , 当N n >时，有ε<=n n u u ，令21=ε, 则N n >时，有n nu u <<20，又因∑∞+=1N n nu收敛, 所以∑∞+=12N n nu收敛, 进而∑∞=12n nu收敛.令n u n 1=, 虽然∑∞=121n n 收敛, 但虽然∑∞=11n n发散.例2(复旦大学2000年)说明级数()∑∞=12ln 1n n的敛散性. 解 因为()(),121lim ln 2lim ln 121lim ln lim ln lim22+∞=⋅==⋅⋅==+∞→+∞→+∞→+∞→∞→x x x x x x x n n x x x x n 所以, 对0>∀M ，存在正整数N , 当N n >时，有()()M n nn n >=22ln ln ， 令1=M , 则()n n 1ln 12>. 又因∑∞=11n n发散, 所以()∑∞=12ln 1n n 发散. 例3(复旦大学2002年) 说明级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++122111n n n n 的敛散性. 解 因为1111222+>++++n n nn n , 而11lim2=+∞→n n n , 所以1111lim22≥++++∞→nn n n , 进而级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++122111n n n n 发散.例4(山东科技大学2005年) 设恒正数列{}n x 是严格单调递增有界的, 证明级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n n x x 收敛. 证明 因为数列{}n x 是严格单调递增有界,所以数列{}n x 的极限存在,即ax n n =∞→lim . 又因为ax x x x x S n n nk k k n n n 1111lim 11lim lim 11111-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→=+∞→∞→∑, 所以级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n n x x 收敛. 例5(重庆大学2003年) 是非判断题. 若0>n u , ,2,1=n ,且对n ∀,有11<+nn u u , 则∑n u 收敛. 解 错.对nu n 1=, 显然0>n u , ,2,1=n ,且对n ∀,有111<+=+n n u u n n ,但∑n1发散. 例6(西安交通大学2001年) 设∑na为正项级数, 证明: 若1lim1<=+∞→r a a n n n , 则∑n a 收敛. 若1lim 1>=+∞→r a a n n n , 则∑n a 发散.若1=r 或1=r , 则∑n a 的敛散性不能判断.证明 因为1lim1<=+∞→r a a nn n , 所以, 对0>∀ε, 0>∃N ,当N n >时,有ε+<+r a a nn 1. 又因1<r , 所以当ε足够小时, 有1<+εr , 由比较判别法知,∑n a 收敛. 因为1lim1>=+∞→r a a nn n , 所以, 对0>∀ε, 0>∃N ,当N n >时, 有ε->+r a a nn 1. 又因1>r , 所以当ε足够小时, 有1>-εr , 由比较判别法知,∑na发散.若1=r 或1=r , 则∑n a 的敛散性不能判断.如∑n 1,∑21n均满足1=r 或1=r ,但前者发散,后者收敛.例7(华南师范大学2005年) 讨论级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n的敛散性. 解 级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n 可写成 ()()∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1312121121n n n . 显然()()021*******>--n n , 所以()()∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--1312121121n n n 为正项级数. 因为 ()()()()()()()122161284lim 2121121lim31316123612313121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-=--∞→∞→n n n n n nn n n n n , 又因为()∑∞=13121n n 发散, 所以级数()()+--++-+-+-312131213121312112161514131211n n发散.例8(西南师范大学2005年)设∑na为正项级数, 证明:(1) 若存在正数α及正整数N ,当N n ≥时,有()α+≥1ln 1ln na n ,则 ∑na收敛;(2) 若存在正整数N ,当N n ≥时,有()1ln 1ln ≤na n ,则∑n a 发散. 证明 (1) 由()α+≥1ln 1ln na n 得,当N n ≥时，有α+≤<110n a n . 因为∑∞=+111n nα收敛，所以∑na收敛.(2) 由()1ln 1ln ≤n a n 得,当N n ≥时，有n a n 1≥. 因为∑∞=11n n发散，所以∑na发散.例9 考查级数∑∞=+-1211n n n 的敛散性 . 解 因为()222222112 222211n n n n n n n <+-+=+-=+-，并且∑∞=121n n 收敛，所以∑∞=+-1211n n n 收敛. 例10 设)1( 0π><<q q p . 判断级数∑∞=+111sin n n n q p 的敛散性解 因为nnn n q p q q p q p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+π11s i n 1，且10<<q p ，所以∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nq p π收敛，所以正项级数∑∞=+111sin n n n q p 收敛. 练习[1]判断下列级数的敛散性:（1）∑∞=-121n n n ; ( n n -21～ n21) ；（2）∑∞=11sin n n ; （3）∑∞=+12) 11 ln(n n . [2]判断级数()()()()+-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+141951132852951852515212n n 的敛散性. 解 1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒()()()()∑+∞<-+⋅⋅-+⋅⋅141951132852n n .[3]讨论级数∑-1n nx)0(>x 的敛散性.解 因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x nn x nx x n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时, +∞<∑-1n nx; 1>x 时,+∞=∑-1n nx; 1=x 时,级数成为∑n , 发散.[4] 判断级数∑+n n n n !21的敛散性 .[5] 研究级数 ∑-+nn2) 1 (3的敛散性 . 解 1212)1(3limlim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. [6] 判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 . 解 前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 . [7] 讨论-p 级数∑∞=11n p n 的敛散性. 解 考虑函数0 ,1)(>=p x x f p时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f 当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n ，当1>p时收敛, 当10≤<p 时发散, 当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛. [8] 讨论下列级数的敛散性:⑴ ∑∞=2)ln ( 1n pn n ; ⑵ ∑∞=3)ln ln ( ) ln ( 1n pn n n . 解 （1）令()p x x x f ln 1)(=，考虑函数()px x x f ln 1)(=，0>p 时)(x f 在区间 ) , 1 [∞+上非负递减.§9.3 一般项级数一.知识结构1、交错级数 莱布尼兹(Leibniz)型级数 定义1 级数∑+∞=+-11)1(n n n u （0>n u ， ,2,1=n ）称为交错级数.定义2 交错级数∑+∞=+-11)1(n n n u （0>n u ， ,2,1=n ）满足以下两个条件:(1)数列{}n u 单调递减; (2)0lim =∞→n n u , 我们称该交错级数为莱布尼兹型级数.定理1 ( Leibniz ) Leibniz 型级数必收敛, 且余和的符号与余和首项相同, 并有1 ||+≤n n u r .证明 证明部分和序列 } {n S 的两个子列} {2n S 和} {12+n S 收敛于同一极限. 为此先证明} {2n S 递增有界.)()()()(22122124321)1(2++-+-+-++-+-=n n n n n u u u u u u u u S≥ n n n S u u u u u u 22124321)()()(=-++-+-- ⇒n S 2↗; 又 1212223212)()(u u u u u u u S n n n n ≤------=-- , 即数列} {2n S 有界.由单调有界原理, 数列} {2n S 收敛 . 设 )( , 2∞→→n s S n .)( , 12212∞→→+=++n s u S S n n n . ⇒s S n n =∞→lim .由证明数列} {2n S 有界性可见 , ∑∞=+≤-≤111)1 (0n n n u u . 余和∑∞=++-nm m m u 12)1(亦为Leibniz 型级数 ⇒余和n r 与1+n u 同号, 且1 ||+≤n n u r .2、绝对收敛级数及其性质（1）绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz 级数为例, 先说明收敛⇒/ 绝对收敛.定理2( 绝对收敛与收敛的关系 ) ∑∞+< ||na⇒∑na收敛.证明 ( 用Cauchy 准则 ).注: 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. （2）绝对收敛级数可重排性 ① 同号项级数：对级数∑∞=1n n u ，令⎩⎨⎧≤>=+=.0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u v ⎩⎨⎧≥<-=-= . 0 , 0 ,0 , 2||n n n n n n u u u u u w 则有（i ）∑nv和∑nw均为正项级数 , 且有|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤;（ii ） n n n w v u +=|| , n n n w v u -=. ② 同号项级数的性质: 定理3 （ⅰ）若 ∑||nu+∞< ， 则∑n v +∞< ，∑n w +∞< .（ⅱ） 若∑nu条件收敛, 则∑nv+∞=,∑n w +∞=.证明 （ⅰ）由|| 0n n u v ≤≤和|| 0n n u w ≤≤, （ⅰ） 成立 . （ⅱ）反设不真, 即∑nv和∑nw中至少有一个收敛 , 不妨设∑nv+∞< .由 n u = n v n w - , n w =n v n u - 以及∑nv+∞<和∑n u 收敛⇒∑nw+∞<.而n n n w v u +=||⇒∑||nu +∞<, 与∑n u 条件收敛矛盾 .③ 绝对收敛级数的可重排性 更序级数的概念 定理4 设∑'nu 是∑nu的一个更序. 若∑||nu+∞<,则||∑'nu +∞<,且∑'nu =∑nu.证明 （ⅰ）若n u 0≥,则∑'nu 和∑nu是正项级数,且它们的部分和可以互相控制.于是,∑nu+∞<⇒∑'nu +∞<, 且和相等.（ⅱ）对于一般的n u ,∑nu=∑nv∑-n w ⇒∑'nu =∑'nv ∑'-nw .正项级数∑'nv 和∑'nw 分别是正项级数∑nv和∑nw的更序. 由∑||nu+∞<, 据定理5∑nv和∑nw收敛. 由上述ⅰ>所证,有∑'nv +∞<,∑'nw +∞<, 且有∑nv=∑'nv ,∑nw ∑nu=∑'nw⇒∑nu =∑'nu .由该定理可见, 绝对收敛级数满足加法交换律.是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的.定理6( Riemann) 若级数∑nu条件收敛, 则对任意实数s ( 甚至是∞± ),存在级数∑n u 的更序∑'nu ,使得∑'n u =s . 证明 以Leibniz 级数∑∞=+-111)1 (n n n为样本, 对照给出该定理的证明. 定理7 关于无穷和的交换律, 有如下结果: （ⅰ）若仅交换了级数∑nu的有限项,∑nu的敛散性及和都不变.（ⅱ）设∑'nu 是的一个更序. 若N ∈∃K , 使 nu在∑'nu 中的项数不超过K n +, 则∑'nu 和∑nu共敛散, 且收敛时和相等 .3、级数乘积简介（了解）（1）级数乘积: 级数乘积，Cauchy 积. （2）级数乘积的Cauchy 定理: 定理8( Cauchy 定理) 设∑||nu+∞<, ||∑n v +∞<, 并设∑nu=U ,∑nv=V . 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛,且乘积级数的和为UV .(证略)4、型如∑nn ba 的级数判敛法：（1）Abel 判别法：引理1(分部求和公式，或称Abel 变换) 设i a 和i b m i ≤≤1)为两组实数.记) (1 ,1m k b B ki i k ≤≤=∑=.则∑∑=-=++-=m i m i m m i i ii i B a B a ab a 1111)(.证 注意到 1--=i i i B B b , 有∑∑==-+-=m i mi i iiii b a B Ba b a 12111)()()()(123312211--++-+-+=m m m B B a B B a B B a B a m m m m m B a B a a B a a B a a +-++-+-=--11232121)()()() )( ( . )(111111∑∑-=+-=+--=+-=m i i i i m m m m m i i i i B a a B a B a B a a .分部求和公式是离散情况下的分部积分公式. 事实上,⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=babax a dt t g d x f dx x g x f )()()()( ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba xa ba x a x df dt t g dt t g x f )()()()(⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ba bax a x df dt t g dt t g b f )()()()(.可见Abel 变换式中的i B 相当于上式中的⎰xadt t g )(, 而差i i a a -+1相当于)(x df , 和式相当于积分.引理2( Abel ) 设i a 、i b 和i B 如引理1 .若i a 单调 , 又对m i ≤≤1,有M B i ≤||，则||1∑=mi ii ba ) ||2|| (1m a a M +≤.证明 不妨设i a ↘. ||1∑=mi ii ba ∑-=++-≤111||||||m i m m i i i B a B a a) ||2|| ( ||)(1111m m i mi i a a M a a a M +≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤∑-=+. 推论 设i a , 0≥i a ↘,(m i ≤≤1 ). i b 和i B 如引理 1. 则有||1∑=mi i i b a 1Ma ≤.(参照引理2证明)定理9(Abel 判别法)设（ⅰ） 级数∑nb收敛,（ⅱ）数列}{n a 单调有界.则级数∑nn ba 收敛.证明 (用Cauchy 收敛准则,利用Abel 引理估计尾项) 设K a n ≤||, 由∑nb收敛 ⇒对N n N >∃>∀ , , 0ε时 , 对N ∈∀p , 有ε | |21<++++++p n n n b b b .于是当N n >时对p ∀有()εεK a a ba p n n pn n k kk3 ||2|| 11≤+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则⇒∑nn ba 收敛.（2）Dirichlet 判别法: 定理10( Dirichlet)设（ⅰ）级数∑nb的部分和有界,（ⅱ）数列}{n a 单调趋于零. 则级数∑nn ba 收敛.证明 设∑==ni nn bB 1, 则M B n ||≤ ⇒对p n , ∀, 有M B B b b b n p n p n n n 2 ||||21≤-=+++++++ .不妨设n a ↘0 ⇒对εε<⇒>∀∃>∀|| , , , 0n a N n N . 此时就有εM a a M ba P n n pn n k kk6|)|2|(|2 11<+≤++++=∑.由Cauchy 收敛准则, ∑nn ba 收敛.取n a ↘0,∑nb∑+-=1) 1(n ,由Dirichlet 判别法, 得交错级数∑+-n n a 1)1(收敛 . 可见Leibniz 判别法是Dirichlet 判别法的特例.由Dirichlet 判别法可导出 Abel 判别法. 事实上, 由数列}{n a 单调有界⇒}{n a 收敛, 设) ( , ∞→→n a a n .考虑级数∑∑+-n n nb a b a a )(,a a n -单调趋于零,n B 有界 ⇒级数∑-n nb a a)(收敛,又级数∑n b a 收敛⇒级数∑∑+-n n n b a b a a )(收敛.二、解证题方法例1(上海理工大学2005年)设级数∑∞=1n nu绝对收敛， 证明：级数∑∞=13n nu收敛.证明 因为级数∑∞=1n nu绝对收敛，所以0lim =∞→n n u ， 从而存在0>N ，使得当N n >时，有1<n u ，则有n n n n u u u u ≤=23，故由比较判别法知级数∑∞=13n nu收敛.例2(中山大学2007年)求∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+12sin 2n n n ππ. 解 由于πππππππ=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→n n n n n n n n s i n 2lim sin 2lim 2， 所以∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+12s i n 2n n n ππ发散. 例3 (南京理工大学2004年)α取何值时，级数α∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 1n n n收敛？解 由于αααα⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+→∞→∞→3033sin lim 11sin 1lim 11sin 1lim x x x n n n n n n x n n 616sin lim 3cos 1lim 020=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++→→ααx x x x x x ， 所以α⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n1sin 1～αα3361161n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛.因为∑∞=11n p n(1>p )收敛,于是当且仅当13>α时，即31>α时, 级数α∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-11sin 1n n n收敛.例4 (天津工业大学2006年)证明Leibuniz 定理：如果一个交错级数∑∞=+-11)1(n n n u 的项n u 满足以下两个条件，（1）n u 单调递减，（2）0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛.证明 考察交错级数∑∞=+-11)1(n n n u 的部分和数列{}n S ，它的奇数项和偶数项分别为()()122232112--------=m m m u u u u u S , ()()()m m m u u u u u u S 21243212-++-+-=- .由条件（1）,上述两式中各个括号内的数都是非负的，从而数列{}12-m S 是递减的，而数列{}m S 2是递增的，又由条件（2）知道002212→=-<-m m m u S S ，从而[]{}122,-m m S S 是一个区间套，由区间套定理，存在唯一的一个数S ，使得S S S m n m n ==∞→-∞→212lim lim ，所以{}n S 收敛，即级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛例5 (中山大学2007年)判断()()∑∞=-123ln ln )1(n nnn 的敛散性. 解 由于()()()()()3ln ln 1ln ln 2lim ln lim ln lim3ln ln lim 3ln ln 3ln ln 23ln ln 222x x x x n n n n e x x x e x x e n n n n +⋅===+∞→+∞→∞→∞→ ()23ln ln 23ln ln 23ln ln 2ln 2ln 4ln 2lim 3ln ln ln 2ln 2lim x x x x ex x x e x x x x +++=+=+∞→+∞→ ()03ln ln ln 6ln 4lim 33ln ln =+=+∞→x x e xx x x ，且∑∞=121n n 收敛, 所以()()∑∞=-123ln ln )1(n n n n 绝对收敛. 例7 (中国地质大学2006年)判断级数∑∞=-1ln ) 1 (n nnn的收敛性. 解 因为⎪⎩⎪⎨⎧<-><-=-='⎪⎭⎫ ⎝⎛,,0ln 1,,0ln 1ln 1ln 222e x x x e x x x x x x x ， 所以当3>n 时，n nln 单调递减，且0ln lim =∞→n n n , 由交错级数的判别法可得∑∞=-1ln ) 1 (n nn n 收敛，但是n n n n 1ln ) 1 (≥-，而∑∞=11n n 发散，所以∑∞=-1ln ) 1 (n nnn条件收敛. 例8 判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性. 解 当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法⇒∑∞=-1) 1 (n nnn x )0( >x 收敛; 当1>x 时, 通项0→/,∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 发散. 例9 判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 例10 设n a ↘0.证明级数∑nx ansin 和∑nx ancos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证明 因为+⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+nk x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .练习[1](南京师范大学2005年)是非判断题:若∑nu收敛, 1→n v (∞→n ),则 n n v u ∑收敛.(提示: 取n u nn )1(-=,1)1(++-=n n nv n n ) [2] (东南大学2004年)证明: ()∑∞=---11 1)1(n nn n 条件收敛(提示:用Leibuniz 判别法).[3] (南京农业大学2004年)设⎪⎭⎫⎝⎛+-=n u nn 11ln )1(,试讨论级数∑∞=1nn u ,∑∞=12 n nu 的敛散性.[4] (南京农业大学2005年)设{}n a 是严格递减的正数列,且0lim =∞→n n a ,证明:级数∑∞=+++-121 )1(n nnna a a 收敛. (提示:用Leibuniz 判别法)[5] (大连理工大学2004年)设0>n a , ,2,1=n , 且有01l i m 1>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→c a a n n n n ,证明: ()∑∞=-11n nna 收敛. (提示:用Leibuniz 判别法和两边夹定理)[6] (上海交通大学2004年)已知n a n 112=-, dx xa n n n ⎰+=121, 证明()∑∞=-11n nna 条件收敛(提示:用Leibuniz 判别法).[7] (中国地质大学2006年)设⎰=πn n dxx x na 0sin ,讨论级数∑∞=11(-1)n n n-a 的敛散性,若收敛则求和(提示:∑⎰⎰=-=nk k k n dx x x dx x x 1)1(0sin sin πππ).[8] (武汉大学2005年)判断级数∑∞=2 sin ln ln ln n n nn的绝对收敛性和条件收敛性(提示:用Dirichlet 判别法). [9] (东北大学2003年)研究∑∞=2ln sin n n nx的敛散性(提示: 对x 分情况πk x =与πk x ≠, 用Dirichlet 判别法).[10] (复旦大学2002年)求()∑∞=10 cos n pn nx ,其中()π,00∈x .。