《计算机应用数学》教案有些线性方程组有无穷解，他们如何表示呢?重点讲解方法: 让学生理解什么是线性相关，什么是基础解系难点讲解方法: 基础解系的表示，通过向量的加减法来帮助学生会找基础解系授课对象课时安排章节题目 第9章9.3线性方程组（932）教学目标 向量组的线性相关；线性方程组的基础解系 教学重点 理解线性相关，基础解系 教学难点 基础解系的表示 教学方法 讲授法教学用具黑板、粉笔、多媒体占 八\、习题9.33.4.5教学过程:一、知识回顾线性方程组解的情况有哪些?二、新课导入三、新课内容1、线性相关定义9.19设叫叫川,％和O 都是n 维行（列）向量，若存在一组数/1"」2,川M m ，使得a =平1+32 +川W m %，则称向量《是向量组仆叫川,％的 线性组合或称a 可由向量组叫巴2,川,口皿线性表出.定义9.20设n 维向量％冬，川，若存在一组不全为零的实数 几1,几2川石，知识 小结 教后 札记 改进 措施1、向量组的线性相关;2、线性方程组的基础解系. f l 、已知务=丨0，I1°=|o 那么I I 1丿f 3 '=1 2能否用 IT 丿«1、a 2、a 3表示呢?AX = 0的解.性质2若©是方程组AX =0的一个解，则对任意常数AX = 0的解.3、线性方程组的通解定义9.22若齐次线性方程组AX =0的有限个解向量勺厂2(1) 勺,勺川，耳线性无关;使得［存勺+32 +川U m G m =0成立，则称向量组咎,〜,川,的线性相关•否则，称向量 组a 1,5,川,ct m 线性无关.由此可得，方程组(9.3.1 )有解的充要条件是P 可由向量组p 1,p 2,川P n 线性 表出.定义9.21在向量组a 1,^2, ill,%中，若有r 个向量(r<m)线性无关，而任意 1宀川, 添加一个向量(r 个向量之外还有的话)都是线性相关，则称这 r 个向量构成该向 量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组，数r 称为向量组的秩，记作：秩（8宀2,川，G m ） =r .例如，设向量组 ％ =(1,2,-1)，2 =(2,-3,1)，3 =(4,1,-1)，则容易看出｛80 102}，｛01,4｝，｛叫如是线性无关的，而｛01,02,5｝是线性相关的，也就是说｛%,02｝， 1宀2,G 2N 3｝都是极大无关组，由此说明：一个向量组的极大无关组可能不唯，但极大无关组所含向量个数是唯一的2、齐次线性方程组解的结构对于齐次线性方程组AX=O 的解，有以下两个性质: 性质1若耳和J 是方程组AX =0的任意两个解，则上1 +上2也是方程组k ，k ©也是方程组(2 )方程组AX =0的任意一个解X都能由J川弋线性表出,则称q,J川，4为齐次线性方程AX=0的一个基础解系.其中，t=n-r，r为方程组AX =0的系数矩阵的秩，n为方程组AX = 0的未知数个数.由定义9.22不难看出，齐次线性方程组的基础解系实质上就是该方程组的解向量组的一个极大无关组.定理9.12若齐次线性方程组AX =0的系数矩阵A的秩R(A) = r v n，则方程组AX =0有非零解(无穷多个解)，这时它一定有基础解系，且基础解系含有n-r个解向量.由定理9.12可得：齐次线性方程组AX=0的全部解(通解)可由它的一个基础解系卸©,川，®』线性表出，即X = k J+ k^ 州1+ n k r・，其中，k i,k2,川,k n工为任意实数.注：方程组AX =0的基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数是相同的.如何求齐次线性方程组的通解，我们从定义9.22知道最重要的是求出AX=0 的基础解系，下面我们看个例子来说明如何求基础解系和通解【例题精讲】例1求证：任一n维向量a =(a1,a2^b n)是向量组含=（1,0,川,0），名2 =（0,1,川,0），…，名n =（0,0,川，1）的线性组合.证明：令= a1，卜乜=a，…，g = an，则有J =佝42,川an）勺育^2^2 +iH+a n g n =冷1 ”必+川+%£，即向量a是向量组茸容川严n的线性组合，或者说任意n维向量可由向量组耳严2,川，％线性2X 4 + X 2 + 3x 3 = 00，则有方程组 *3X 1+ 2X 2 + 2X 3 = 0M + X 2 - X 3 = 0例3讨论向量组的线性相关性.示方程组的通解.J 1 -2 3 -Pf-1 0 1 -3"『0 -1 3"0 1 -1 -1 「2^+3 ! 0 11 -1 -10 1 -1 -1 <0 -2 2 2> 10 0 0 0>0 0 0>2 3 4、1"1 23 4"2 3 4、0 2 0 r +2 ii >2走0 2 5 4 「2 ㈠「1 6 9 -3 0 1 -朽用T 0 169—»2541 4 0丿1 [0 -3 -2 —8丿〔-3 -2 —8丿C 2 3 4^1 「1 23 4"0 1 6913心)0 1 6 9 ，秩0 0 -7 -140 0 12(%, 503宀) =4,p 01619>1 〔00 0 —13丿解：以些,口2,«3,口4为行向量组的矩阵 A ，则1-1 -洛卡T-2 (2所以向量组 ％,(/2,口3,口4线性无关.t 34 -7 5"f-1 -23 -r0 1 -1 -11 3 Tu---- 、 0 1 -1 -1-1 -2 3T1 1 3 4 -7 5> 解：A ="1'例2 9.38讨论向量组a 1 ：= 3 ， Ct2 ：= 2 ，a3 = 2J 丿 1cb的系数行列式D = =0，即方程组有非零解，所以 a 1，-1O 1 =(123,4) , 5 =(-1,0,2,0)，a 3=(-2,3,0,1), «3 =(2,140)例4求齐次线性方程组3 +4x 2 -7x 3 +5x4 仪2 -X3 —X4 =0r1一片-2X 2 +3X 3 -x 4 =0=0的一个基础解系，并用该基础解系表的线性相关性. 解：设有一组数 x 1，x 2，x 3，使Xj q +)2+x 麥 =0」4>可得R （A ） =2 <4 = n ，则方程组有非零解，其同解方程组为'X, =X3 -3人X 2=X3+X 4 （其中X 3，X4为自由未知量）令X 3 =1,X 4 = 0,则有X i =1,X 2 =1,得到一个解向量 0 =【课堂练习】［为 一 2X 2 +X 3 +X 4 =0=0的一个基础解系，并用该基础解=0系表示方程组的通解.仁了-（其中 X 2，X3为自由未知量）.；又令 X 3 = 0, X 4 = 1，则有X i =-3,X 2 =1，又得到一个解向量f-31 0，从而得到所求的一个基础解系为所以，方程组的通解为 X +k 2©2 =k1例1求齐次线性方程组 徉-2X 2 +X 3 -X 4 * —2x 2 +x 3 +5^ 解：A = 彳-211 -2 1 1 -2 11 '-15丿-2 0 01 -2〔1 字亨）0 10-20 1 可得 R(A) =2 C4 = n ， 则方程组有非零解，其同解方程组为(其中 k 1,k^ R ).【问题思考】【知识小结］解方程组AX =0的步骤:(1)用初等行变换将系数矩阵 A 化成行简化阶梯形矩阵;(2) 将行简化阶梯形矩阵改写成方程组的形式，再写作矩阵方程的形式; (3) 直接写出基础解系和通解.【课后作业］习题9.34.5.6.四、板书设计令 X 2 =k i , X 3 =k 2，则有X i = 2 k i —k?X 2 =k i X 3 =k 2 X =0 % =2匕 +(-1)k 2 X 2 =伙 +0k 2 X 3 =0匕+你2 X4 = 0匕 + 0k 2所以，该方程组的通解为*—1、10 =k 1+ k 21 丿 0丿,0丿贝U 巴1，匸2就是我们所求的一个基础解系(其中 k i ,k^ R ).X iX 2X3令陰=课题课堂练习重点:难点:。
