下载文档原格式
*1.平面点集的一些基本概念 坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合, 称为平{}=(,)(,).E x y x y P 满足条件对与平面上所有点之间建立起了一一对应. (,)x y 在平面上确立了直角坐标系之后, 所有有序实数义域是坐标平面上的点集, 之前，有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集, 平面点集记作后退 前进 目录 退出由于二元函数的定因此在讨论二元函数例如：(i) 全平面:{}=-∞<<+∞-∞<<+∞2R (,)|,.(1)x y x y {}222(ii)(,).C x y x y r 圆:=+<(2){}=≤≤≤≤(iii)(,),,S x y a x b c y d 矩形:(3) 00(iv)(,):A x y δ点的邻域{}00(,)||,||()x y x x y y δδ与方形.-<-<=⨯[,][,].S a b c d 也常记作：{}-+-<22200(,)()()()x y x x y y δ圆形Cx y O r (a) 圆 CSx yO a b c d∙A δx y O (a) 圆邻域∙A δxy O (b) 方邻域由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一因此通常用“点 A 的 邻 δ并用记号或 来表示. (;)U A δ()U A 点 A 的空心邻域是指:{}22200(,)0()()()x y x x y y δ圆<-+-<{}0000(,)||,||,(,)(,)(),x y x x y y x y x y δδ-<-<≠方或 并用记号()(;)()U A U A δ或 来表示. 域” 或 “点 A 的邻域” 泛指这两种形状的邻域,方邻域之内(反之亦然),{}00(,)0||,0||.x y x x y y δδ<-<<-<注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出 2.点和点集之间的关系 以下三种关系之一 :2R A ∈2R E ⊂任意一点 与任意一个点集之间必有 是 E 的内点; 由 E 的全体内点所构成的集合称为 (i) 内点——若 0,(;),U A E δδ∃>⊂使则称点 A E 的内部, 记作 int E .错在何处? )(ii) 外点——若0,(;),U A E δδ∃>⋂=∅使则称 点 A 是 E 的外点； c (;)(;)U A E U A E δδ≠∅≠∅且0,δ∀>(iii) 界点—— 若恒有 c 2R \E E =( 其中), 则称点 A 是 E 的界点; .E ∂的全体界点所构成的集合称为 E 的边界; 记作 注 E 的内点必定属于 E ; E 的外点必定不属于 E ; E 的界点可能属于 E , 也可能不属于 E . 并请注意: 称为 E 的外部.由 E 的全体外点所构成的集合 由 E E E ∂⊂c E 只有当 时, E 的外部与 才是两个相同的集合.图 16 – 3x yO 12{}22(,)14.(4)D x y x y =≤+<例1 设平面点集（见图 16 – 3）满足 的一切点也224x y +=221x y +=满足的一切点是 D 的界点, 它们都属2214x y <+<满足的一切点都 是 D 的界点, 但它们都不属于 D . 是 D 的内点; 于D ;点 A 与点集 E 的上述关系是按 “内-外” 来区分的. 此外，还可按 “疏-密” 来区分， 是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系: (i) 聚点—— 若在点 A 的任何空心邻域 ()U A 内都 含有 E 中的点， 注1 聚点本身可能属于E ，也可能不属于E .注2 聚点的上述定义等同于: “在点 A 的任何邻域 ()U A 内都含有 E 中的无穷多个点”.即在点 A 的近旁 则称点 A 是点集 E 的聚点．d ();E E '或作 d E E 又称 为 E 的闭包, 记作 .E 例如, 对于例1 中的点集 D , {}d 22(,)14.D x y x y D =≤+≤=其中满足 224x y += 的那些聚点不属于D , 而其余 所有聚点都属于 D .(ii) 孤立点—— 若点 A E ∈, 但不是 E 的聚点（即 有某δ > 0, 使得 (;)),U A E δ=∅则称点 A 是E 的孤立点. 注3 E 的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集, 记它的导集与闭包同为为聚点; 例2 设点集 {}(,),.E p q p q 为任意整数= 显然, E 中所有点 ( p , q ) 全为 E 的孤立点; 并有d ,int ,.E E E E =∅=∅∂=3. 一些重要的平面点集根据点集所属的点所具有的特殊性质, 可来定义一 些重要的点集.注 孤立点必为界点; 内点和不是孤立点的界点必 既非聚点, 又非孤立点, 则必为外点.E 为闭集. 在前面列举的点集中, 闭集——若 E 的所有聚点都属于 E(),E E =即则 称 E 为闭集. 这时也称{}222(,)C x y x y r =+<是开集，{}(,),,S x y a x b c y d =≤≤≤≤是闭集{}2R (,)|,x y x y =-∞<<+∞-∞<<+∞{}=≤+<22(,)14D x y x y 既不是开集又不是闭集.开集—— 若 E 所属的每一点都是 E 的内点( 即E = int E ), 则称 E 为开集.d(),E =∅即若 E 没有聚点 既是开集又是闭集，则称 E 为开域. 闭域—— 开域连同其边界所成的集合称为闭域. 区域—— 开域、闭域、开域连同其一部分界点所 成的集合, 统称为区域.不难证明: 闭域必为闭集; 而闭集不一定为闭域. 开域——若非空开集 E 具有连通性, 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接, 在平面点集中, 只有 R 2与 是既开又闭的. 即 E 中任意两 简单地说, 开域就是非空连通开集.它是 I 、 III 两象限之并集. 不具有连通性, 0,r ∃>有界点集——对于平面点集 E , 若 使得(;),E U O r ⊂其中 O 是坐标原点(也可以是其他固定点), 为有界点集. 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 与 (5) 是无界集. 是闭域, {}(,)|0,(5)G x y xy =>上页诸例中, C 是开域, S 是闭域, R2 既是开域又又如 虽然它是开集, 但因 否则就为无界点集 (请具体写出定义). D 是区域 (既不是开域又不是闭域). 所以它既不是开域, 也不是区域. 则称 E此外，点集的有界性还可以用点集的直径来反映. 所谓点集 E 的直径, 就是1212,()sup (,),P P Ed E P P ρ∈=其中ρ(P 1, P 2) 是 P 1 (x 1, y 1) 与 P 2 (x 2, y 2)之间的距 离, 即22121212(,)()()P P x x y y ρ=-+-于是, 当且仅当 d (E ) 为有限值时, E 为有界点集. E 为有界点集的另一等价说法是: [,][,].a b c d E ⨯⊃存在矩形区域例3 证明: 对任何 2R ,S ⊂S ∂恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, S ∂为的任一聚点， （即亦为 S 0x S ∈∂的界点）. 0x 为此 0,ε∀>由聚点定义，0(;).y U x S ε∈∂S S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４ ⋅根据距离的定义, 不难证明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,).P P P P P P ρρρ≤+0x 设 欲证 存在的点. 内既有 S S (;)U y δ的点, 又有非 S 0x 0,x S ∈∂为 的界点, 即 也就证得 S ∂为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2dR ,S S⊂导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) S 0(;)U x ε内既有 的点, 又有非 S 的点. y 0(;)(;),U y U x δε∀⊂再由 为界点的定义, 在 由此推知在 的任意性,所以, 由 εS S ∂0x 0(;)U x ε(;)U y δy 图 16 –４⋅证 下面按循环流程来分别作出证明.d E E E =① 已知 为闭集( 即 ), 欲证E .E E E =∂,,p E p E E 为此或是的聚点或是的孤立点.∀∈∂d d,p E E E p E ∈⊂∈若，则由得；E E ∂⊂从而，E 于；d c c int()E E E E E E E E ==⇒∂⇒=① ② ③ ⇑ 反之显然有 .E EE ⊂∂综合起来, 便证得 int .E E E =∂而孤立点必属*2R .E ⊂例4 设 试证 E 为闭集的充要条件是：c int ().c E E E E E =∂=或.EE E ∂⊂故E EE =∂，c int ().c E E =② 已知 欲证 为此 c ,,p E p E ∀∈∉则外点, ,0,(;).U p E δδ∃>=∅按定义使c (;),U p E δ⊂c c c c int ().int ().E E E E ⊂=有这就证得反之显然③ c c d int (),.E E E EE ==已知欲证c (,,p E p E ∈∈据条件可证若不然从而由d,E ∈c >0,(;),U p E δδ∃⊂故使),p E 与为的聚点相矛盾d d ..E E E E E ⊂=故这就证得从而 c int (),p E ∈条件推知,E E p E ∂⊂而由故必为的cc c ,int().p E E E ⊂故是的内点即p ∀为此注 此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用“ EE E =∂”来定义 ( 只是使用 起来一般不如“ d E E E =”方便, 有许多便于应用的性质 )．(ii) 闭集与开集具有对偶性质 集; 过讨论来认识 E . c E 利用此性质, 有时可以通开集的余集为闭集. ——闭集的余集为开 因为有关聚点例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”；D (ii) 要判别一个点集 是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即\D D D “若为开域,则必为闭域”.∂答 (i) 例如取 {}(,)|0,S x y xy =≥ 这是一个非空连),S GG =∂坐标轴) 的并集 (即 从而 G 不是开域,但因它是 {}(,)|0G x y xy =>与其边界 (二 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义).通闭集.E 为一开域, 据定义F 则为闭域； ,D E E F ≠∂=D 故不是闭域，(a)中的点集为 D ; D(a).F EE =∂中的点集为 F(c)(ii) 如图所示, E(b)(b)中的点集为E D =易见然而(\).D D D ∂∂∂从而与不一定相同定义11. 平面点列的收敛性定义及柯西准则 系完备性的几个等价定理, 现在把这些定理推广到 R 2, 它们同样是 二元函数极限理论的基础.2{}R n P ⊂20R P ∈设为一列点, 为一固定点. 00,N ,,(;),n N n N P U P εε若使当时∀>∃∈>∈+则称点列 { P n } 收敛于点 P 0 , 记作R 2上的完备性定理论的基础. 00lim ().n n n P P P P n →∞=→→∞或反映实数 构成了一元函数极限理000(,)(,),n n n P P x y x y 当与分别为与时显然有000lim lim lim ;n n n n n n P P x x y y →∞→∞→∞=⇔==且0(,),n n P P ρρ若记=同样地有0lim lim 0.n n n n P P ρ→∞→∞=⇔=由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理.2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈证（必要性） 0lim ,n n P P →∞=设N ,()N n N n p N +∃∈>+>当也有时,00(,),(,).22n n p P P P P εερρ+<<应用三角形不等式, 立刻得到00(,)(,)(,).n n p n n p P P P P P P ρρρε++≤+<1,0,ε∀>则由定义恒有2{}R n P ⊂收敛的充要条件是:0,N ,,N n N ε使当时都有+∀>∃∈>(,),N .(6)n n p P P p ρε++<∀∈当 (6) 式成立时, 同时有||(,),n p n n n p x x P P ρε++-≤<||(,).n p n n n p y y P P ρε++-≤<这说明{ x n }和{ y n }都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 从而由点列收敛概念, 推知{P n }收敛于点 P 0(x 0, y 0).证（充分性） 00lim ,lim ,n n n n x x y y →∞→∞==设0}6{,n P E P E ⇔⊂为的聚点存在各项互异的例0lim .n n P P 使得→∞=( 这是一个重要命题, 证明留作习题.)定理16.2（闭域套定理）2. 区域套定理.设 { D n } 是 R 2中的一列闭域, 它满足： 1(i),1,2,;n n D D n +⊃=(ii)(),lim 0.n n n n d d D d →∞==则存在唯一的点0,1,2,.n P D n ∈=图 16 – 7nD ∙∙n pD +∙nP n pP +0P 证 如图16 – 7所示,,1,2,.n n P D n ∈=,n p n D D 由于因此+⊂,,n n p n P P D +∈从而有(,)0,.n n p n P P d n ρ+≤→→∞由柯西准则知道存在 20R ,P 使得∈任意取定 n , 对任何正整数 p , 有 .n p n p n P D D ++∈⊂0lim .n n P P →∞=任取点列 再令 ,p →∞由于 D n 是闭域, 故必定是闭集,推论因此 D n 的聚点必定属于 D n , 0lim ,1,2,.n p n p P P D n +→∞=∈=0P 最后证明的惟一性. 0,1,2,,n P D n '∈=若还有 则由0000(,)(,)(,)20,,n n n P P P P P P d n ρρρ''≤+≤→→∞0000(,)0,.P P P P ρ得到即''==对上述闭域套 { Dn },0,N ,N n N ε+∀>∃∈>当时,0(;).n D U P ε⊂则得注 把 { D n } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立.E定理16.3（聚点定理）证 现用闭域套定理来证明.有界, 故存在一个闭正方形 . 1D E ⊃如图 16 – 8 所示, 把 D 1分成四个 相同的小正方形, 有一小闭正方形含有 E 中无限多1D 2D 图16 –8若 2R E ⊂为有界无限点集,由于 E 则在其中至少 个点,在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.把它记为 D 2.E 1D 2D 3D 图16 –8 D 2 如上法分成四个更小的正方形,其中又至少有一个小闭正方形D 3含如此下去, 得到一个闭正方形序列：123.D D D ⊃⊃⊃很显然, { D n } 的边长随着n →∞而趋于零. 有 E 的无限多个点.定理16.3（聚点定理）若 2R E ⊂为有界无限点集, 在 中至少有一 E 2R 则 个聚点.推论最后, 由区域套定理的推论, 0,,n ε∀>当充分大时0(;).n D U M ε⊂又由 D n 的取法, 知道 0(;)U M ε中含有 E 的无限多个点, 任一有界无限点列 2{}R n P ⊂必存在收敛子列 {}.k n P ( 证明可仿照 R 中的相应命题去进行. ) 于是由闭域套定理, 存在一点0,1,2,.n M D n ∈=这就证得了M 0 是 E 的聚点.定理16.4（有限覆盖定理）注 将本定理中的 D 改设为有界闭集, 而将 {}α∆改设为一族开集, 此时定理结论依然成立 . 1.ni i D =⊂∆().D αα⊂∆即盖了 D 12,,,,n ∆∆∆个开域 它们同样覆盖了D , 即设 2R D ⊂为一有界闭域 ,为一族开域 , {}α∆{}α∆则在中必存在有限 它覆q E ⇒qE 证 (必要性) E 有界 有界, 由聚点定理 , q E 又因 的聚点亦为 E 的聚点, 而 E 是 闭集, 所以该聚点必属于 E ．.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 必有聚点.证 (充分性) 先证 E 为有界集. 倘若 E 为无界集, 则 存在各项互异的点列 {},k P E ⊂||(,),1,2,.k k P O P k k ρ=>=.E 于E 的任一无穷子集 E q 必有聚点, 且聚点恒属 0lim .k k P P →∞=现把 看作 , {}k P q E 由条件 的聚点 (即 ) 必q E 0P 属于 E , 所以 E 为闭集.易见{}k P 这个子集无聚点, 这与已知条件相矛盾. 为此设 P 0 为 E 的任一聚点, 由聚点的等价定义, 存在各项互异的点列使 {},k P E ⊂再证 E 为闭集. 使得定义2 设平面点集 ,若按照某对应法则 f , 2R D ⊂一点 P ( x , y ) 都有惟一确定的实数 z 与之对应 , 则称 f 为定义在 D 上的二元函数 R 的一个映射 ), 记作:R.(7)f D →1. 函数(或映射)是两个集合之间的一种确定的对 R 到 R 的映射是一元函数, R 2到 R 的映 射则是二元函数.二元函数应关系. D 中每 ( 或称 f 为D 到与一元函数相类似, 称 D 为 f 的定义域; 而称()(,)z f P z f x y ==或 为 f 在点 P 的函数值;值域, 记作()R.f D ⊂为 f 的自变量, 而把 z 称为因变量.也可记作(,),(,);z f x y x y D =∈或点函数形式(),.z f P P D =∈全体函数值的集合为 f 的 通常把 P 的坐标 x 与 y 称在 xOy 平面上的投影.例8 函数 25z x y =+的图像是 R 3 中的一个平面, 其定义域是 R 2, 值域是 R.当把和它所对应的 一起组成 (,)x y D ∈(,)z f x y =三维数组 ( x , y , z ) 时, {}3(,,)|(,),(,)R S x y z z f x y x y D ==∈⊂就是二元函数 f 的图像.通常该图像是一空间曲面, f 的定义域 D 是该曲面 三维点集例9 的定义域是xOy 平面上的22=-+1()z x yxy zOz1=z2=是全体非负整数, 它的图像示于图 16 – 11.图16 – 112. 若二元函数的值域是有界数集, 则称函数 ()f D f 在 D 上为一有界函数 ( 如例9 中的函数 ) . ()f D f 若是无界数集, 则称函数 在 D 上为一无界 函数 ( 如例8、10、11 中的函数 ). 与一元函数类似地, 设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使否则,(z c c =(,),z f x y =解 用为一系列常数 ) 去截曲面 得等高线方程22222222()().x y x y c x y x y c x y x y-=-=++或*例12 设函数 ( 此函数在以后还有特殊用处 )试用等高线法讨论曲面(,)z f x y = 的形状. 2222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x yx y x y f x y x yx y ⎧-≠⎪=+⎨⎪=⎩当 0c =xO y 时, 得 平面上的四条直线0,0,,.x y y x y x ====-当0c ≠时, 由等高线的直角坐标方程难以看出它 的形状. cos ,sin ,x r y r θθ==得到22sin44,4sin4.r c r c θθ==或如图16 – 12 所示,族等高线.若把它化为极坐标方程, 即令0,1,3,5c =±±±所对应的一 为+1+1+1+1 +3 +5+3 +5 +3+5+3 +5- 1- 1 - 3- 5 - 3 - 5 - 1- 3- 5- 1 - 3 - 50 00 0 0 0 0 0xy-55-55-10-50510图 16 – 13由此便可想象曲面的大致形状如图 16 – 13 所示, “山脊” 在鞍点处相汇.所有 n 个有序实数组12(,,,)n x x x 的全体称为 n维向量空间, 简称 n 维空间, 记作 R n. 序实数组 12(,,,)n x x x 称为 R n 中的一个点; 实数 12,,,n x x x 是这个点的坐标.设 E 为 R n中的点集, 若有某个对应法则 f , 中每一点 12(,,,)n P x x x 都有唯一的一个实数 y 与之对应, :R,f E n 元函数其中每个有则称 f 为定义在 E 上的 n 元函数, 记作使 E n 个1212(,,,),(,,,),n n y f x x x x x x E =∈也常写成(),.y f P P E =∈或 对于后一种被称为 “点函数” 的写法, 它可使多元 函数与一元函数在形式上尽量保持一致, 一元函数的办法来处理多元函数中的许多问题; 同时, 还可把二元函数的很多论断推广到 (3)n ≥元函数中来.以便仿照1. 试问在 R 中的开集、闭集、开域、闭域、区域等集合是数直线上怎样一些点集？2. 设E, F分别是 R2 中的开集和闭集．试问在R3中E 是否仍为开集？F 是否仍为闭集？3. R 中的单调有界性定理和确界原理, 为什么在R2 中没有直接对应的命题？4. 为什么说“在一切平面点集中，只有 R2 与是既开又闭的点集”？5. 前面正文中有如下命题：设 2R ,D ⊂则有{},lim ().k k k f D P D f P →∞⇔∃⊂=∞在上无界使试为之写出证明．2R ,D A D ⊂“若是AB 点,则直线段与D D∂AB图 16 – 14,B D 的内点是的外(16-14.)参见图6. :试讨论有哪些方法可用来论证如下命题D ∂至少有一交点.”。
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
