九年级数学 2.4 分解因式法

2.4 用因式分解法求解一元二次方程

一、选择题

1．方程(x－2)(x＋3)＝0的解是( )

A．x＝2 B．x＝－3

C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3

2．方程x2－5x＝0的解是( )

A．x1＝0，x2＝－5 B．x＝5

C．x1＝0，x2＝5 D．x＝0

3．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( )

A．x＝2 B．x＝3

C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝3

4．在解方程(x＋2)(x－2)＝5时，甲同学说：由于5＝1×5，可令x＋2＝1，x－2＝5，解得x1＝－1，x2＝7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2－9＝0，再分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0，解得x1＝－3，x2＝3.对于甲、乙两名同学的做法，下列判断正确的是( )

A．甲的错误，乙的正确 B．甲的正确，乙的错误

C．两人的都正确 D．两人的都错误

二、填空题

5．一元二次方程7x2＝2x的解为____________．

6．一元二次方程x(x－1)＝x的解是__________．

7．若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2和6，则x2＋bx＋c分解因式的结果是______________．

8．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2－3x＝4(x－3)的两个实数根，则该等腰三角形的周长是__________．

9．已知(x2＋4x－5)0＝x2－4x＋5，则x＝________．

三、解答题

10．解下列方程：

(1)4x2－225＝0；

(2)5x2＋20x＋20＝0；

(3)(2x－1)2＝3x(2x－1)；

(4)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；

(5)2(t－1)2＋t＝1；

(6)2(x－3)2＝x2－9；

(7)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.

4 用因式分解法求解一元二次方程

课标要求

【知识与技能】

能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程．能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法．

【过程与方法】

通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力．

【情感态度】

通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法．

【教学重点】

用因式分解法解一元二次方程．

【教学难点】

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

教学过程

一、情景导入，初步认识

复习：将下列各式分解因式

(1)5x2－4x；

(2)x2－4x＋4；

(3)4x(x－1)－2＋2x；

(4)x2－4；

(5)(2x－1)2－x2.

【教学说明】

通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度．

二、思考探究，获取新知

一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程．

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法．

【教学说明】

在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据．

三、运用新知，深化理解

1．解方程5x2＝4x.

解：原方程可变形为x(5x－4)＝0……第一步

∴x＝0或5x－4＝0……第二步

∴x1＝0，x2＝45.

【教学说明】 教师提问、板书，学生回答．

分析步骤(一)第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤(二)对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．

北师大版数学九年级上册（新）（教案）：2.4《用因式分解法求解一元二次方程》

一、教学内容

《用因式分解法求解一元二次方程》选自北师大版数学九年级上册第二章第四节。本节课主要内容为：1. 理解一元二次方程的因式分解法求解原理；2. 学会运用十字相乘法和公式法进行因式分解；3. 掌握求解一元二次方程的步骤，并能解决实际问题。具体包括以下例题和练习：

（1）求解方程x^2-5x+6=0；

（2）利用因式分解法求解实际问题：一个长方形的长比宽多3米，面积比宽多6平方米，求长方形的长和宽；

（3）课后习题：求解方程x^2-4x-5=0，并解释其在实际情境中的应用。

二、核心素养目标

本节课旨在培养学生的以下核心素养：

1. 数学抽象：通过因式分解法求解一元二次方程，使学生理解数学表达式的内在联系，提高数学抽象能力；

2. 逻辑推理：学会运用十字相乘法和公式法进行因式分解，培养学生严密的逻辑推理能力；

3. 数学建模：将实际问题转化为数学方程，通过求解方程解决实际问题，提高学生数学建模素养；

4. 数学运算：掌握一元二次方程求解步骤，加强数学运算能力，培养学生准确快速解题的能力；

5. 数据分析：通过课后习题的解答，使学生能够分析数据，发现规律，提高数据分析素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解并掌握因式分解法求解一元二次方程的基本原理和方法。

- 能够运用十字相乘法和公式法进行因式分解，并求解一元二次方程。

- 通过具体例题和练习，使学生熟练掌握求解一元二次方程的步骤和技巧。

- 将数学知识应用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

举例：

（1）求解方程x^2-5x+6=0时，重点讲解如何找到两个数，使其相乘等于6，相加等于-5，从而进行因式分解。

（2）强调在利用因式分解法求解一元二次方程时，要注意检查解是否满足原方程，确保解题过程无误。

2. 教学难点

- 理解和掌握因式分解的方法，特别是十字相乘法的应用。

第 1 页 因式分解法解一元二次方程说课稿

我是_________选手。我今天说课的课题是 因式分解法解一元二次方程选自北师大版九年级上册第二章第四节。

我说课的流程主要分为五大步：一、教材分析 二、学情分析 三、教法学法 四、教学过程 五、教学反思向大家介绍一下我对本节课的理解与分析。

一、教材分析

1、教材的地位和作用

一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。第 2 页 而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。

2、学生学情分析

任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。

3、教学目标

根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：