师大附属中学自主招生试题(数学))

师大附中数学试卷（安徽）

一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分. 把答案填在题中横线上）

1、已知函数 y | x 1| | 2x 4 | | 3x 1| ，则 y 的最小值为 .

2、化简： 5 3 3 2 2 .

5 3 3 2

3、如图， ABC 内接于⊙ O ，3， AC 1， A B 90 °，则⊙ O 的面积为 .

4、母亲节快到了， 小红，小莉，小莹到花店提前订花并准备在母亲节送给自己

的母亲 . 小红订了 3 支玫瑰、 7 支康乃馨、 1 支百合花， 支付了 14 元，小莉订了 4

支玫瑰、 10 支康乃馨、 1 支百合花，支付了 16 元，小莹订了上面三种花各 3

支，则她应支付元 .

5、已知关于 x 的方程 x2 2(1 a) x 3a2 4ab 4b2 2 0 有实根，则实数 a b .

6、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为 2011，

那么它的周长为 .

7、如图，矩形的边 AB 2 ， BC 1，且顶点 A、B 分别在 x 轴、 y 轴上，若 A、 B

两点分别在 x 轴、 y 轴上滑动，顶点 C 到坐标原点 O的距离的最大值为 .

8、 如图，已知菱形的顶点 G在矩形的边上， 矩形的顶点 A 在菱形的边上， 若 a ，

BC b ， F 30 °，则菱形的边长为 .

二、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分，答题应写出文字说明、证明过程或演

算步骤）

9、 （本小题满分 14 分）如图，将一个很大的三角板的直角顶点放在平面直角

k

坐标系的原点 O上，直角边与函数 y （ x 0 ）的图象交于点 A，直角边与 y

k

x x

（

x

0 ）的图象交于点

B.

（ 1）证明：；

（ 2） 若将三角板绕点

O 旋转，并在某一时刻使得过

A、B

两点的直线与直线

y 1 x平行，且

AB

5 ，求

k 的值 .

2

10、 （本小题满分 14 分）如图，在⊙ O 中，弦垂直于直径， 4， N是的中点，

的延长线交⊙ O 于点 E，与交于点 M.

（ 1）求证： M、 C、 E、 N四点共圆；

（ 2）求 的值 .

11、 （本小题满分 16 分）已知抛物线 y 1 x2 mx 18m2 m 与 x 轴交于 A( x1,0) 、

8

B( x2 ,0) 两点，与 y 轴正半轴交于点 C（ 0,b ），O为原点 .

（ 1）求 m 的取值范围；

（ 2）若 OA OB OC ，求抛物线的解析式；

（ 3）在（ 2）的情形下，点 P、 Q分别从 A、 O两点同时出发，如图点 P 沿运动到 B，点 Q沿运动到 C，且 P 点运动的速度是 Q点运动速度的 3 倍，作直线与直

线交于

M，设 k ，问是否存在

k 值，使以

P、B、M

为顶点的三角形与

ABC 相似，

若存在，求所有

k 值，若不存在，请说明理由

.

安师大附中 2012 年初三素质测试数学试题参考答案

一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 7 分，共 56 分. 把答案填在题中横线上）

1、 16 2、 5 2 3、 5 4、30

3 2

5、 1

2

6、4046132 （或答 2011 2012 ， 20112 +2011 也正确） 7、21

8、 2ab

二、解答题（本大题共 3 小题，共 44 分，答题应

写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9、证明：（1）证法一：过 A 作 x 轴垂线，垂足为C，过 B 作 y 轴垂线，垂足为 D，∵∠ 90°，∠ 90°， ∴∠∠，又∵∠∠ 90°，

∴△∽△ . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3 分）

又点 A、B 分别在函数 y k 与 y k 的图象上，

| k | x x

∴SAOC ，即△与△的相似比为 1:1 ， S BOD

2

所以△≌△，即 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 7 分）

证法二：过 A 作 x 轴垂线，垂足为 C，过 B 作 y 轴垂线，垂足为 D，

∵∠ 90°，∠ 90°，∴∠∠，

令∠∠ ，∴ A(| OA | cos ,| OA | sin ) ， B( | OB | sin ,| OB | cos ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 3

分）

又点 A、B 分别在函数 y k 与 y k 的图象上，

k x x

|OA | sin

∴ | OA | cos ，即 k |OA |2 cos sin | OB |2 cos sin ，∴. ⋯⋯⋯⋯ （ 7

|OB | cos k

|OB | sin

分）

（ 2 ） 设 A (a,b) ， 则

B( b, a) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 8

分）

∵直线与直线 y 1 x 平行，∴设直线的解析式为 y 1 x m ，且过 A、 B 两点，

2 2

b 1 a m

即 2 ， 消 去 m 得 ： b 3a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1 a b m 2

① ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）

又 AB 5 ，且△为等腰直角三角形，∴ OA 5 ，即 a2 b2 5 ⋯⋯⋯⋯⋯

2 2

② ⋯⋯⋯⋯⋯（ 12 分）

联立①②解之得： a 1 , b 3 . 2 2

故

k a b 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 14 分）

10、证：⑴∵垂直平分，∴弧等于弧，

AED

ABC,,

Q OB

OC ，

ABC

OCB ，

AED

OCB ，

故

四

点

共

圆 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 6 分）

（ 2）连 , 延长交⊙ O于 K,如图，∵四点共圆，

∴ NME NCE ，又 NCE EAB ， NME EAB ，∴∥ .

又∵ N为中点，∴ M为中点 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 10 分）

故 1, 由相交弦定理 , ·· 1×3=3 .

11 、 解 ： ⑴ 由题意得： 0

m 0 18m2

m 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 4 分）

18

（注：若只有 0 解出 m 0 或 m 1 得 2分）.

20

（ 2）Q x1 0, x2 0， OA x1 , OB x2 ，Q OA OB OC ， x1 x2

（7 分）

即 18m2 9m 0 解得 m 0 或 m 1 .

2

又 由 （ 1 ） 知 m 0或 m 1 ， 18

1 x2

1 x

y 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 9 分）

8 2

， 解 得 m 0 或

b 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1

m ， 故 2

（ 3）解法一：由（ 2）知： A( 8,0), B(4,0), C (0,4) ，

∵ PBM ABC ，要使 PBM ∽ ABC ，只需条件 BPM BAC 或 BPM BCA 成

立即可 .

（ⅰ）若 BPM BAC ，此时∥，又 OQ k, PO 8 3k ，

∴ OQ OC 1 ， 即 k 1 ， 解 之 得 PO OA 2 8 3k 2

k 8 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 12 分）

5

BCA ，此时点 P 在线段上，如

（ⅱ）若 BPM

图，过点 B 作⊥，垂足为 N，

∴ QPO BCN，∴ tan QPO tan BCN ， 即

OQ BN ，

OP CN

又 12 ， CN 24 4 ， ∴ BN

5 4 5

5 5 k

8 12 5 1 ，解之得 k 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （15 分）

3k 5 4 3

8

综 上 可 知 ： 当 k 或 k 3时，以 P、 B、 M 为顶点的三角形与 ABC相

5

似 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（

解法二：由（ 2）知： A( 8,0), B(4,0), C (0,4) ， P(3k

∵ PBMABC ，要使 PBM ∽ ABC ，只需条件

又∵直线的解析式为 y x 4 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯①

直线的解析式为 y k x k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯②

3k 8 16 分）

8,0), Q(0, k) ，

BM BP或BM BP 成立即可 .

BC BABA BC

联立①②解出点M 的坐标为

3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 13 分） BM2k

2 (8 3k , 3 k) . ∴

2 2

（ⅰ）若 BM 3 2k 12 3k ，解得： k 8 .

BP，即2

2

BC BA 4 12 5

BM BP 3 2k 12 3k

（ⅱ）若 ， 即 2 ，解得： BA BC 124 2

k 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 15 分）

综 上 可 知 ： 当 k 8 或 k 3 时，以 P、 B、 M 为顶点的三角形与 ABC相

似 . 5

16 分）

⋯⋯⋯⋯⋯⋯（