高中自主招生数学试题(另附详细答案)
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2015年无为中学高中自主招生数学试题
一．选择题（共6小题）
1．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（ ）
A． 2a B． 2x C． ﹣2a D． ﹣2x
3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）
A． 1999 B． 2000 C． 2001 D． 不能确定
4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A． k1+k2 B． k1﹣k2 C． k1•k2 D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（ ）
A． （2010，2） B． （2010，﹣2） C． （2012，﹣2） D． （0，2）
6．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共7小题）
7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是
_________ ．
8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是 _________ ．
2 / 23
9．（2013•沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为
_________
；面积小于2011的阴影三角形共有 _________ 个．
10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：= _________ ．
11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为 _________ ．
12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2•i=﹣1×i=﹣i，则i2011= _________ ，②方程x2﹣2x+2=0的两根为
_________ （根用i表示）
13．（2013•日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为 _________ ．
三．解答题（共7小题）
14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：
（1）甲校选手所得分数的中位数是 _________ ，乙校选手所得分数的众数是 _________ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．
15．（2012•兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）3 / 23 的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．
16．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
17．（2012•内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
18．（2013•钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
19．（2013•益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′； 4 / 23 （3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
20．（2013•昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）
答案：5 / 23
2015年无为中学高中自主招生数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2011•随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 二次函数的图象．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三个的k值．
解答： 解：函数的图象如图：
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，
∴k=3．
故选D．
点评： 此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（ ）
A． 2a B． 2x C． ﹣2a D． ﹣2x
考点： 二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程．
专题： 计算题．
分析： 由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项即可得出结果．
解答： 解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，
∴|x|=x且x≤a．
∴a﹣x＞0，a+x＞0． 6 / 23 ∴
=﹣
=|a﹣x|﹣|a+x|
=a﹣x﹣（a+x）
=a﹣x﹣a﹣x
=﹣2x．
故选D．
点评： 本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．
3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（ ）
A． 1999 B． 2000 C． 2001 D． 不能确定
考点： 二次根式的性质与化简．
分析： 将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．
解答： 解：∵==，
∴a+b+c=，
∴a=0，b=1，c=1，
2a+999b+1001c=2000．
故选B．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．
4．（2013•莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A． k1+k2 B． k1﹣k2 C． k1•k2 D．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．
解答： 解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，
由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．
故选B．
点评： 主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，
