基本初等函数复习资料学生版

基本初等函数知识点归纳1.常值函数：常值函数是指在定义域上的值始终相同的函数。

常见的常值函数有恒等于0的零函数和恒等于1的单位函数。

常值函数的图像是一条与x轴平行的直线。

2.幂函数：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。

当n 为正偶数时，函数的图像在原点右侧递增；当n为正奇数时，图像在全定义域递增；当n为负数时，图像在全定义域递减。

特殊地，当n为0时，函数为常值函数13.指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为正实数且a≠1、指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，具体取决于底数a的大小关系。

当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减。

指数函数特点是它们的图像都经过点(0,1)。

4. 对数函数：对数函数是指形如y = log_a(x)的函数，其中a为正实数且a ≠ 1、对数函数是指数函数的反函数，因此它们的图像是关于y = x对称的。

对数函数的图像在定义域上递增，对数函数的唯一一个特殊点是(1,0)。

5. 三角函数：三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。

这些函数在三角学中起着重要的作用，并且它们的图像都是周期性的。

正弦函数和余弦函数的图像是一条在[-1,1]之间往复的波浪线，而正切函数和余切函数的图像是一条通过原点的无数个波浪线。

6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。

反三角函数包括反正弦函数asin(x)、反余弦函数acos(x)、反正切函数atan(x)等。

它们的定义域和值域与所对应的三角函数的范围正好相反。

反三角函数的图像和所对应的三角函数的图像关于y = x对称。

以上是基本初等函数的主要内容，它们是数学中最常见的函数，不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且还在高中数学的教学中起到了重要的作用。

通过对这些函数的学习与理解，可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。

第二章 函数性质与基本初等函数 复习作业A一、单选题1．（2024高二下·浙江绍兴·学业考试）函数()2f x =的定义域为（ ）A ．RB ．[)0,∞+C ．(],0-∞D ．()(),00,∞-+∞2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若1e ()sin 1e xx a f x x -=+为偶函数，则=a （ ）A ．1B ．0C ．1-D ．23．（2024·安徽合肥·模拟预测）函数()()2e cos 2e e 1x x x f x =-（e 为自然函数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减，且()20f =，则满足()()120m f m --≤的m 的取值范围是（ ）A ．(],4∞-B ．(][],01,4∞-⋃C ．[][]1,02,5-⋃D ．[]1,5-5．（2024·全国·高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞6．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，对任意x ∈R 都有()()11f x f x +=-，当()32f -=-时，则()2023f 等于（ ）A ．2B ．2-C ．0D ．4-7．已知函数()2+1f x x x x =-+，则下列结论正确的是A ．()f x 是偶函数B ．()f x 的递减区间是(1,1)-C ．若方程()+0f x k =有三个不同的实数根，则20k -≤≤D ．任意的0a >，1(lg )(lg )2f a f a +=8．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =二、多选题9．已知函数()f x 的定义域为R ，若()()()f xy yf x xf y =+，则以下一定成立的是（ ） A ．()10f = B ．()22f = C ．()f x 为奇函数 D ．()f x 在()1,∞+上是增函数10．已知函数()()()log 1m f x x m m =+>的定义域为()4,-+∞，则（ ）A ．4m =B ．()122f -= C ．3是()f x 的零点 D ．()12f x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭三、填空题11．三个数0.540.54,0.5,log 4a b c ===的大小关系为 ．12．已知函数f （x ）=x 2﹣a x （a ＞0且a≠1），当x∈（﹣1，1）时，1()2f x <恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13．（2024·全国·高考真题）已知1a >且8115log log 42a a -=-，则=a ．。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第5节指数与指数函数考试要求1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图像；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.1.根式的概念及性质(1)概念：式子na 叫作根式，其中n 叫作根指数，a 叫作被开方数.(2)性质：(na )n ＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，a ≥0，a ，a <0.2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝na m (a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1na m(a >0，m ，n ∈N +，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈R .4.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫作指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数1.画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，12.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究.3.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像越高，底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4（－4）4＝－4.()(2)分数指数幂a mn 可以理解为mn 个a 相乘.()(3)函数y ＝2x －1是指数函数.()(4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).()2.(易错题)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________.3.(易错题)函数y ＝21x －1的值域是________.4.函数f (x )＝a x －1＋2(a >0且a ≠1)的图像恒过定点________.5.(2021·贵阳一中月考)3213－76＋814×42－－2323________.6.已知a 35－13，b 35－14，c ＝3234，则a ，b ，c 的大小关系是________.考点一指数幂的运算1.计算：823－－780＋4（3－π）4＋[(－2)6]12＝________.2.[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝________.3.(2021·沧州七校联考1412·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12(a >0，b >0)＝________.4.已知f (x )＝3x ＋3－x ，f (b )＝4，则f (2b )＝________.考点二指数函数的图像及应用例1(1)已知实数a ，b 满足等式2022a ＝2023b ，下列等式一定不成立的是()A.a ＝b ＝0B.a <b <0C.0<a <bD.0<b <a(2)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.训练1(1)函数f (x )＝a x －b 的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A.a >1，b <0B.a >1，b >0C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0(2)如果函数y ＝|3x －1|＋m 的图像不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________.考点三解决与指数函数性质有关的问题角度1比较指数式的大小例2(1)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a(2)若e a＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是()A.a＋b≤0B.a－b≥0C.a－b≤0D.a＋b≥0角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1，函数f(x)4x，x≥0，2a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________.(2)若2x2＋114x－2，则函数y＝2x的值域是()A.18，2 B.18，2C.－∞，18 D.[2，＋∞)角度3指数函数性质的综合应用例4(1)不等式4x－2x＋1＋a>0，对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________.(2)已知定义域为R的函数f(x)＝－12＋12x＋1，则关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0的解集为________.训练2(1)(2021·郑州调研)已知函数f(x)＝4x－12x，a＝f(20.3)，b＝f(0.20.3)，c＝f(log0.32)，则a，b，c的大小关系为()A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b(2)若函数f (x )2＋2x ＋3，19，则f (x )的单调递增区间是______.(3)函数y ＋1在区间[－3，2]上的值域是________.1.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f (－1)＝()A.1B.2C.3D.32.(2021·成都诊断)不论a 为何值，函数y ＝(a －1)2x －a2恒过定点，则这个定点的坐标是()113.(2022·哈尔滨质检)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是()4.(2020·天津卷)设a ＝30.7，b 0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b5.(2021·衡水中学检测)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是()A.(－2，1)B.(－4，3)C.(－3，4)D.(－1，2)6.(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天7.化简：（a23·b－1）－12·a－12·b136a·b5(a>0，b>0)＝________.8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是____________.9.已知函数f(x)，a≤x<0，x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是________.10.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋2为奇函数.(1)求b的值；(2)任意t∈R，f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.11.已知函数f(x)＝4x＋m2x是奇函数.(1)求实数m的值；(2)设g(x)＝2x＋1－a，若函数f(x)与g(x)的图像有公共点，求实数a的取值范围.12.若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0，且a≠1)有两个不相等的实根，则a的取值范围是()A.0，12(1，＋∞) B.0，12C.12，1 D.(1，＋∞)13.(2022·邯郸模拟)设f(x)|2x－1|，x≤2，－x＋5，x>2，若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是()A.(16，32)B.(18，34)C.(17，35)D.(6，7)14.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－12|x|.(1)若f(x)＝32，求x的值；(2)若2t f(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.。

指数函数总复习【知识点回顾】一、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二、指数函数及其性质 （4）指数函数定义域R值域（0,+∞）过定点图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x轴．在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x轴．【考点链接】考点一、指数的运算xay=xy(0,1)O1y=xay=xy(0,1)O1y=例1．化简：1114424111244()a b b a a b --=- ．例2. 根据下列条件求值：已知32121=+-xx ，求23222323-+-+--x x x x 的值；练习1：计算：（1）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⋅-（2）120.750311(0.064)()16()2322----÷+-．(3) 2433221)(---⋅÷⋅a b b a（4）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭考点二、定义域例3． 求下列函数的定义域：21(1).2-=x y 31(2).3-⎛⎫= ⎪⎝⎭xy练习2．求下列函数的定义域:（1）1x 21y ()2-= （2）2x 3y 5-=考点三、值域例4． 函数11x x e y e -=+的值域练习3、(1)求函数2(0)21xxy x =>+的值域．(2)求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）11()2x y =-（3）3x y -=考点四、指数型函数例5. 已知函数3234+⋅-=x x y 的定义域为[0，1]，则值域为 。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。

2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1．指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－e x －1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( )A.116B.19C.18D.162．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．696．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥27．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22D ．b －a>lg 610．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________.14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．。

第1讲函数及其表示【高考会这样考】1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象，应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误．本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法；(2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用．基础梳理1．函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域．值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据．2．函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．3．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性． 三个要素函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .双基自测1．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析 ∵3x ＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x ＋1)＞log 21＝0. 答案 A2．(2011·江西)若f (x )＝1log12x ＋，则f (x )的定义域为( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析 由log 12(2x ＋1)＞0，即0＜2x ＋1＜1，解得－12＜x ＜0.答案 A3．下列各对函数中，表示同一函数的是( )． A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．f (x )＝lg x ＋1x －1，g (x )＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝ 1＋v1－vD ．f (x )＝(x )2，g (x )＝x 2 答案 C4．(2010·陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )． A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410 D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310.故选B. 答案 B5．函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．解析 任作直线x ＝a ，当a 不在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )图象没有交点；当a 在函数y ＝f (x )定义域内时，直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有且只有一个交点．任作直线y ＝b ，当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有交点，则b 在函数y ＝f (x )的值域内；当直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象没有交点，则b 不在函数y ＝f (x )的值域内．答案 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]考向一 求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域： (1)f (x )＝|x －2|－1log 2x －；(2)f (x )＝x ＋－x 2－3x ＋4.[审题视点] 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得．解(1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧|x －2|－1≥0，x －1>0，x －1≠1.解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须且只须⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎨⎧x >－1，x ＋x －，解得：－1<x <1.因此f (x )的定义域为(－1,1)．求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零；(2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.【训练1】 (2012·天津耀华中学月考)(1)已知f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，求函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－x －12的定义域；(2)已知函数f (3－2x )的定义域为[－1,2]，求f (x )的定义域． 解 (1)令x 2－x －12＝t ，知f (t )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪－12≤t ≤12，∴－12≤x 2－x －12≤12，整理得⎩⎨⎧x 2－x ≥0，x 2－x －1≤0⇒⎩⎨⎧x ≤0或x ≥1，1－52≤x ≤1＋52，∴所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－52，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋52. (2)用换元思想，令3－2x ＝t ，f (t )的定义域即为f (x )的定义域， ∵t ＝3－2x (x ∈[－1,2])，∴－1≤t ≤5， 故f (x )的定义域为[－1,5]．考向二 求函数的解析式【例2】►(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[审题视点] (1)用代换法求解；(2)构造方程组求解． 解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．求函数解析式的方法主要有：(1)代入法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)解函数方程等．【训练2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．(2)已知f (x )＋2f (1x)＝2x ＋1，求f (x )．解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1 ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1 ∴⎩⎨⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝12，b ＝12.因此f (x )＝12x 2＋12x .(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝2x ＋1，消去f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，得f (x )＝4＋x －2x 23x.考向三 分段函数【例3】►(2011·辽宁)设函数f (x )＝⎩⎨⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞) [审题视点] 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集． 解析 f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2或⎩⎨⎧x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D.答案 D分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x ≤1和x ＞1时分别解得x 的范围，再求其并集．【训练3】 (2011·江苏)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 解析 分类讨论：(1)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ， 解得a ＝－32，不符合题意，舍去．(2)当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ， 解得a ＝－34.综合(1)，(2)知a 的值为－34.答案 －34阅卷报告1——忽视函数的定义域【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误．【防范措施】 研究函数的任何问题时，把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．【示例】► 求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．错因 忽视函数的定义域，把函数y ＝log 13t 的定义域误认为R 导致出错．实录 设t ＝x 2－3x .∵函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增．∴函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.正解 设t ＝x 2－3x ，由t ＞0，得x ＜0或x ＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t 的对称轴为直线x ＝32，故t 在(－∞，0)上单调递减，在()3，＋∞上单调递增．而函数y ＝log 13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【试一试】 求函数f (x )＝log 2(x 2－2x －3)的单调区间． [尝试解答] 由x 2－2x －3＞0，得x ＜－1或x ＞3， 即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t ＝x 2－2x －3，则其对称轴为x ＝1，故t 在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数． 又y ＝log 2t 为单调增函数．故函数y ＝log 2(x 2－2x －3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．第2讲函数的单调性与最值【高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．【复习指导】本讲复习首先回扣课本，从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握．基础梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x )在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M满足条件 .①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .结论M 为最大值 M 为最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 两种形式设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1＜x 2，那么 ①f x 1－f x 2x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．双基自测1．设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )＜0的解集为( )．A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)答案 C2．(2011·湖南)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析 函数f (x )的值域是(－1，＋∞)，要使得f (a )＝g (b )，必须使得－x 2＋4x －3＞－1.即x 2－4x ＋2＜0，解得2－2＜x ＜2＋ 2. 答案 B3．(2012·保定一中质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )． A ．(－1,1) B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 由已知条件：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1，不等式等价于⎩⎨⎧|x |<1，x ≠0，解得－1<x <1，且x ≠0.答案 C4．(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是______．解析 要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞5．若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．解析 ∵x ＞0，则x ＋2x≥2x ·2x＝2 2 当且仅当x ＝2x，即x ＝ 2时，等号成立，因此x ＋2x的最小值为2 2.答案 2 2考向一 函数的单调性的判断【例1】►试讨论函数f (x )＝x x 2＋1的单调性．[审题视点] 可采用定义法或导数法判断．解 法一 f (x )的定义域为R ，在定义域内任取x 1＜x 2，都有f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1－x 2－x 1x 2x 21＋x 22＋，其中x 1－x 2＜0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0.①当x 1，x 2∈(－1,1)时，即|x 1|＜1，|x 2|＜1，∴|x 1x 2|＜1，则x 1x 2＜1,1－x 1x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＜0，f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )为增函数． ②当x 1，x 2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时， 1－x 1x 2＜0，f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )为减函数．综上所述，f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．法二 ∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋1′＝x 2＋1－x x 2＋x 2＋2＝x 2＋1－2x 2x 2＋2＝1－x 2x 2＋2，∴由f ′(x )＞0解得－1＜x ＜1.由f ′(x )＜0解得x ＜－1或x ＞1，∴f (x )在[－1,1]上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．判断(或证明)函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义；(2)观察函数的图象；(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等． 【训练1】 讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1 ＝ax 2－x 1x 1－x 2－当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增．考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)【例2】►已知函数f (x )＝x 2＋ax (a >0)在(2，＋∞)上递增，求实数a 的取值范围．[审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性．解 法一 设2<x 1<x 2，由已知条件f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22＋ax 2＝(x 1－x 2)＋ax 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－ax 1x 2<0恒成立．即当2<x 1<x 2时，x 1x 2>a 恒成立．又x 1x 2>4，则0<a ≤4.法二 f (x )＝x ＋ax，f ′(x )＝1－a x2＞0得f (x )的递增区间是(－∞，－a )，(a ，＋∞)，根据已知条件a ≤2，解得0<a ≤4.已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解．【训练2】 函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )．A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3解析 y ＝x －5x －a －2＝1＋a －3x －a ＋，需⎩⎨⎧a －3<0，a ＋2≤－1，即⎩⎨⎧a <3，a ≤－3，∴a ≤－3.答案 C考向三 利用函数的单调性求最值【例3】►已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[审题视点] 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形． (1)证明 法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0. 再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0，∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数． 法二 设x 1＞x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x ＞0时，f (x )＜0，而x 1－x 2＞0， ∴f (x 1－x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等．【训练3】 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x 1＝x 2＞0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2，则x 1x 2＞1， 由于当x ＞1时，f (x )＜0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.规范解答2——如何解不等式恒成立问题【问题研究】 在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置.【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题，或者区间根的分布问题，进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等.【示例】►(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．利用函数性质求f (x )的最值，从而解不等式f (x )min ≥a ，得a 的取值范围．解题过程中要注意a 的范围的讨论．[解答示范] ∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a (1分) (1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.(3分)要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ， 解得a ≥－3，即－3≤a ＜－1.(6分)(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.(8分) 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2－a 2≥a (10分)解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.(11分)综上所述，实数a 的取值范围为[－3,1](12分)本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号，从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．【试一试】 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析 法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，又函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x 在(1,2)上递增，则f (x )>－5， 则m ≤－5.法二 设g (x )＝x 2＋mx ＋4当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ， 当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得： ⎩⎨⎧m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎨⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5 答案 (－∞，－5]第3讲 函数的奇偶性与周期性【高考会这样考】 1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．基础梳理1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数． (3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.双基自测1．(2011·全国)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )．A.－12B.－14C.14D.12解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A2．(2012·福州一中月考)f (x )＝1x－x 的图象关于( )．A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1－x －(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称． 答案 C3．(2011·广东)设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 答案 A4．(2011·福建)对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )． A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2解析 ∵f (1)＝a sin 1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f (1)＋f (－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D. 答案 D5．(2011·浙江)若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析 法一 ∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0对于x ∈R 恒成立，故a ＝0. 法二 由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，得a ＝0. 答案0考向一 判断函数的奇偶性【例1】►下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x .其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断．解析 ①f (x )＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f (－x )＝±f (x )＝0， 则f (x )＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数； ②f (x )＝x 3－x 的定义域为R ，又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－(x 3－x )＝－f (x )， 则f (x )＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x |≥0知f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ， 又f (－x )＝ln(－x ＋－x2＋1)＝ln1x ＋x 2＋1＝－ln(x ＋x 2＋1)＝－f (x )， 则f (x )为奇函数；④f (x )＝3x －3－x2的定义域为R ，又f (－x )＝3－x －3x 2＝－3x －3－x2＝－f (x )，则f (x )为奇函数； ⑤由1－x 1＋x >0得－1<x <1，f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝ln1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )， 则f (x )为奇函数． 答案 D判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断． 【训练1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.解 (1)解不等式组⎩⎨⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x <0，或0<x ≤2，因此函数f (x )的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 则f (x )＝4－x 2x.f (－x )＝4－－x2－x ＝－4－x 2x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是(－∞，＋∞)． 当a ＝0时，f (x )＝x 2－|x |＋2，f (－x )＝x 2－|－x |＋2＝x 2－|x |＋2＝f (x )． 因此f (x )是偶函数； 当a ≠0时，f (a )＝a 2＋2，f (－a )＝a 2－|2a |＋2，f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )． 因此f (x )既不是偶函数也不是奇函数．考向二 函数奇偶性的应用【例2】►已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性；(2)证明：f (x )＞0.[审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于0.(1)解 法一 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1.∴f (－x )＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f (x )．故f (x )是偶函数．法二 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f (1)＝32，f (－1)＝32，∴f (x )不是奇函数．∵f (x )－f (－x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x 1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x2x－1＋1＝x (－1＋1)＝0， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数． (2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0， 所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＞0，又f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，所以f (x )＞0. 综上，均有f (x )＞0.根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可．【训练2】 已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)＜0的实数m 的取值范围． 解 ∵f (x )的定义域为[－2,2]， ∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )＜－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m ＞m 2－1， 即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.考向三 函数的奇偶性与周期性【例3】►已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1， (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．[审题视点] (1)只需证明f (x ＋T )＝f (x )，即可说明f (x )为周期函数；(2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)图象关于x＝1对称求得f(x)在[1,2]上的解析式；(3)由周期性求和的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题．【训练3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C规范解答3——如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题.【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x ＋T与f x的关系，它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.【示例】►(本题满分12分)(2011·沈阳模拟)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(π)；第(2)问，推断函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出．[解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分)∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(4分)(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(6分)又0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．(8分)当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.(10分)(3)函数f(x)的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间[4k＋1,4k ＋3](k∈Z)．(12分)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．【试一试】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)[尝试解答] 由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.答案 D第4讲指数与指数函数【高考会这样考】1．考查指数函数的图象与性质及其应用．2．以指数与指数函数为知识载体，考查指数的运算和函数图象的应用．3．以指数或指数型函数为命题背景，重点考查参数的计算或比较大小．【复习指导】1．熟练掌握指数的运算是学好该部分知识的基础，较高的运算能力是高考得分的保障，所以熟练掌握这一基本技能是重中之重．2．本讲复习，还应结合具体实例了解指数函数的模型，利用图象掌握指数函数的性质．重点解决：(1)指数幂的运算；(2)指数函数的图象与性质.基础梳理1．根式 (1)根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号na 表示．②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－na 表示．正负两个n 次方根可以合写为±na (a ＞0)． ③⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n ＝a . ④当n 为奇数时，na n ＝a ；当n 为偶数时，na n＝ |a |＝⎩⎨⎧a a－a a ＜.⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)；②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)；③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)；④正分数指数幂：a m n＝na m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n＝1am n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s＝ar ＋s(a ＞0，r 、s ∈Q )②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r 、s ∈Q ) ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过定点(0,1)x ＜0时，0＜y ＜1x ＜0时，y ＞1. 在(－∞，＋∞)上是减函数当x ＞0时，0＜y ＜1； 当x ＞0时，y ＞1； 在(－∞，＋∞)上是增函数一个关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算． 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论． (2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a .双基自测1．(2011·山东)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )．A ．0 B.33C ．1 D. 3解析 由题意有3a ＝9，则a ＝2，∴tan a π6＝tanπ3＝ 3. 答案 D2．(2012·郴州五校联考)函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )．解析f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x <1，故选B.答案 B 3．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )． A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值解析 设y ＝f (x )，t ＝2x ＋1， 则y ＝1t，t ＝2x ＋1，x ∈(－∞，＋∞)t ＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上递增，值域为(1，＋∞)．。

基本初等函数复习知识点1. 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

其中+∈>N n n ,1.2. 当n 为奇数时，=n n a 当n 为偶数时，=n na .3. 我们规定： ⑴=mna()1,,,0*>∈>m N n m a ；⑵=-n a 4. 运算性质：⑴=sr aa ⑵()=sr a ⑶()=rab6.⇔=N a x；（指数式换成对数式）=N a a log =1log a =a a log 7.当0,0,1,0>>≠>N M a a 时：⑴()=MN a log ；⑵=⎪⎭⎫ ⎝⎛N M a log ；⑶=na M log 。

8.换底公式：=b a log ()0,1,0,1,0>≠>≠>bc c a a .=⋅a b ba log log ，②=n a b m log 。

9.函数()1,0log ≠>=a a x ya 的图像和性质10.幂函数定义：一般地，形如 )(R a ∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 11.幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点 ；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是 ．0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是集合复习知识点1.把研究的对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。

集合三要素： 。

2. 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合 。

3.常见集合：自然数集合 正整数集合： 整数集合： 有理数集合： 实数集合：4.集合的表示方法： 。

5. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 。

记作6.如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的 .记作：7. 把不含任何元素的集合叫做 .记作： .并规定：空集是任何集合的8.如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有 个子集.9.集合间的基本运算1.设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2. 一个函数的构成要素为： .如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称 .3. 函数的三种表示方法：4.设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当 时，都有 ，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数.5. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于 对称.6. 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有 ，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于 对称.7.(0)y kx b k =+≠叫做一次函数，它的定义域和值域皆为8.函数性质：①当k >0时，为 函数，当k <0时，为 函数；(增减性) ②当b =0时，函数(0)y kx k =≠为正比例函数； 9. 二次函数的解析式的三种形式：①一般式 ；②顶点式 ；③零点式 ； 10.二次函数的图象与性质①()222424b ac b f x ax bx c a x a a -⎛⎫=++=++⎪⎝⎭(0)a ≠的图象是一条抛物线，顶点坐标为 ，对称轴方程为 ，当0a >时开口向上, 当0a <时开口向下；②()2400,0b ac ∆=->∆=∆<时，抛物线与x 轴有 交点.③单调性：当0a >时，()f x 在 上是减函数； 在 上是增函数.0a <，相反. ④奇偶性：()0当时，为b f x = 函数；()0当时，b f x ≠为 函数；。

基本初等函数复习一、知识梳理1．知识网络2．要点归纳 (1)分数指数幂①m na ＝na m (a >0、m 、n ∈N *、且n >1)． ②1m n m naa-=(a >0、m 、n ∈N *、且n >1)．(2)根式的性质 ①(na )n ＝a .②当n 为奇数时、na n ＝a ；当n 为偶数时、na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a >0、r 、s ∈R )． ②(a r )s ＝a rs (a >0、r 、s ∈R )． ③(ab )r ＝a r b r (a >0、b >0、r ∈R )． (4)指数式与对数式的互化式log a N ＝b ⇔a b ＝N (a >0、且a ≠1、N >0)． (5)对数的换底公式log a N ＝log m Nlog m a(a >0、且a ≠1、m >0、且m ≠1、N >0)．推论：log m na b ＝n m log a b (a >0、且a ≠1、m 、n >0、且m ≠1、n ≠1、b >0)．(6)对数的四则运算法则若a >0、且a ≠1、M >0、N >0、则 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． (7)指数函数①理解指数函数概念及单调性．②会画具体指数函数图象并掌握图象通过的特殊点． (8)对数函数①理解对数函数概念及单调性．②会画具体对数函数图象并掌握图象通过的特殊点． ③了解y ＝a x 、y ＝log a x (a >0、且a ≠1)互为反函数． (9)幂函数①了解幂函数的概念．②结合y ＝x α、α＝－1、12、1、2、3的图象、了解它们的性质．二、专题讲解1、 指数、对数的运算1、化简：(1)2932)-⨯ (2)2log 32－log 3329＋log 38－5log 325.2、已知22(xxa a -+=为常数、)x Z ∈、求88x x -+的值3、计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．4、22(lg 2)(lg 5)2lg 2lg 5++⋅= 5、设,,a b c 都是正数、且346a b c ==、则下列正确的是（ ）111.A c a b =+ 221.B c a b =+ 122.C c a b =+ 212.D c a b =+ 6、已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28=2、函数的解析式1、函数()xa a a 33y 2+-=是指数函数、求a 的值。

基本初等函数1.若函数y ＝f (x )的定义域是[0, 2 018]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________． 解析：要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x ＋1)的定义域为[－1,2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x <1或1<x ≤2 017.故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 2解析：∵ƒ(x )＝log 2(x 2＋a )且ƒ(3)＝1，∴1＝log 2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴a ＝－7. 答案：－73.若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x (m－2)(m ＋1)的图象不经过原点，则实数m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，(m －2)(m ＋1)≤0，解得m ＝1或2，经检验m ＝1或2都适合．答案：1或24.下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是________． A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝x 3＋1C ．f (x )＝log 2(x 2＋1＋x )D ．f (x )＝1－2x1＋2x解析：依题意，对于选项A ，注意到f (0)＝f (π)，因此函数f (x )＝sin x 在其定义域上不是增函数；对于选项B ，注意到f (x )的定义域为R ，但f (0)＝1≠0，因此函数f (x )＝x 3＋1不是奇函数；对于选项C ，注意到f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝log 2(x 2＋1－x )＝log 21x 2＋1＋x＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )，因此f (x )是奇函数，且f (x )在R 上是增函数；对于选项D ，注意到f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－1＋21＋2x 在R 上是减函数．故选C. 5.函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数为_______．解析：函数f (x )＝|log 2 x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2 x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2 x |，g (x )＝2－x ，画出两函数的图象，如图．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2 x |＋x －2＝0的解的个数为2.6.已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为 .A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b解析：∵ c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴ log35>log372>log33＝1，∴ c >a >1.∵ y ＝14x 在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ 1413<140＝1，即b <1.∴ c >a >b . 故选D.7.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0均成立，若a ＝f (334)，b＝f (943-)，c ＝f (－543)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <c <a解析：因为偶函数f (x )满足对任意的0<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0均成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．因为幂函数y ＝x 43在(0，＋∞)上是增函数，指数函数y ＝3x 在(0，＋∞)上是增函数，所以343<543，943-＝383-<334<343，故c ＝f (－543)＝f (543)>a ＝f (334)>b ＝f (943-)，故b <a <c ，故选A.8.已知f (x )是R 上的奇函数,且f (x )=则f = .[解析] f=-f =-f =-f =-log 2=-log 22-1=1.9.若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵|1－x |≥0，∴0<⎝⎛⎭⎫12|1－x |≤1，由题意得0<－m ≤1，即－1≤m <0. 答案：[－1,0)10.已知函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,若对于任意x ∈(0,+∞),都有f =2,则f的值是 . 因为函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数,且f=2恒成立,所以f (x )-为一个大于0的常数,令这个常数为n (n>0),则有f (x )-=n ,且f (n )=2,所以f (n )=+n=2,解得n=1,所以f (x )=1+,11.设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x ＋10存在整数零点，则符合条件的m 的个数为 .解析：由f (x )＝0得m ＝2x ＋1010－x .又m ∈N ，因此有⎩⎪⎨⎪⎧10－x >0，2x ＋10≥0，解得－5≤x <10，x ∈Z ，∴x＝－5，－4，－3，…，1,2,3，…，8,9，将它们分别代入m ＝2x ＋1010－x，一一验证得，符合条件的m 的取值为0,4,11,28，共4个.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋2|，－3≤x <0，log a x ，x >0，其中a >0且a ≠1，若函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，则实数a 的取值范围是 . 解析：∵函数f (x )的图象上有且仅有一对点关于y 轴对称，∴f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象与f (x )＝log a x (x >0)的图象有且只有一个交点．记f (x )＝|x ＋2|(－3≤x <0)的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )＝|x －2|(0<x ≤3)，作出函数f (x )与g (x )的大致图象．当0<a <1时，如图(1)，显然g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，符合题意；当a >1时，如图(2)，要使g (x )的图象与f (x )(x >0)的图象有且只有一个交点，则需log a 3>1，∴ 1<a <3.综上a ∈(0,1)∪(1,3).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |，0<x <3，13x 2－103x ＋8，x ≥3，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )＝f (d )，其中d >c >b >a >0，则abcd 的取值范围是 .解析：画出f (x )的图象，如图．由图象知0<a <1,1<b <3，则f (a )＝|log 3a |＝－log 3a ，f (b )＝|log 3b |＝log 3b ，∵f (a )＝f (b )，∴－log 3a ＝log 3b ，∴ab ＝1.又由图象知，3<c <4，d >6，点(c ，f (c ))和点(d ，f (d ))均在二次函数y ＝13x 2－103x ＋8的图象上，故有c ＋d 2＝5，∴d ＝10－c ，∴abcd ＝c (10－c )＝－c 2＋10c ＝－(c －5)2＋25，∵3<c <4，∴21<－(c －5)2＋25<24，即21<abcd <24.14．已知f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，则实数a 的值为________．解析：设函数g (x )＝2|x |＋x 2，因为g (－x )＝g (x )，所以函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝2x ＋x 2，为增函数；当x <0时，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋x 2，为减函数，所以g (x )≥g (0)＝1.因为f (x )＝2|x |＋x 2＋a 有唯一的零点，所以y ＝g (x )与y ＝－a 有唯一的交点，即a ＝－1. 答案：－115.已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理：若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意．综上，可得nm＝9.答案：916.函数f (x )的定义域为D ,若满足f (x )在D 内是单调函数,且存在[a ,b ]⊆D ,使得f (x )在[a ,b ]上的值域为,则称函数f (x )为“成功函数”.若函数f (x )=log m (m x +2t )(其中m>0且m ≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为 .[解析] 无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m(m x+2t)都是R上的增函数,故应有则问题可转化为已知f(x)=,即log m(m x+2t)=,即m x+2t=在R上有两个不相等的实数根,求实数t的取值范围.令λ=(λ>0),则m x+2t=可化为2t=λ-λ2=-+,结合图像(图略)可得t∈.。

专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象．．
．．
2023春·广东韶关·高二统考期末）
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是（
．．
． ．
2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为（ ）
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示，则该函数是（
A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数． ．
． ．
2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A．B．
C．D．
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A．2
=-B．
4
y x x。

基本初等函数知识点大一初等函数是数学中最基础的一类函数，也是我们在大一学习数学中首要接触的内容。

初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。

它们在数学、物理、工程等众多领域都有广泛的应用。

本文将以大一课程中的基本初等函数知识点为重点，进行全面的介绍和细致的解析。

一、常数函数常数函数是最简单的初等函数形式，其表达式为f(x) = c，其中c为常数。

常数函数的图像始终平行于x轴，例如当函数为f(x) = 3时，其图像为一条平行于x轴且与x轴距离为3的直线。

常数函数的特点是在定义域上的每一个点的函数值都相等。

二、幂函数幂函数是形如f(x) = x^n的函数，其中n为常数。

幂函数的图像形状与n的正负、奇偶有关。

当n为正数时，随着x的增大，函数值也随之增大，图像呈现出右上方向延伸的趋势；当n为负数时，随着x的增大，函数值变小，图像呈现出右下方向延伸的趋势；当n为偶数时，图像关于y轴对称；当n为奇数时，图像则不对称。

三、指数函数指数函数是形如f(x) = a^x的函数，其中a为底数，且a不等于0且不等于1。

指数函数的图像与底数a的大小有关。

当0<a<1时，函数值随着x的增大而迅速减小，图像接近于x轴；当a>1时，函数值随着x的增大而迅速增大，图像上升较快。

指数函数的特点是它们增长或减小的速度非常快，因此在许多领域中有广泛的应用。

四、对数函数对数函数是指满足f(x) = logₐ(x)的函数，其中a为底数。

对数函数是指数函数的反函数，它们具有互为反函数的关系。

对数函数的图像与底数a的大小和函数定义域相关。

当0<a<1时，函数图像下降；当a>1时，函数图像上升。

对数函数的特点是其定义域为正实数集合，值域为实数集合。

五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数是以弧度为单位的角度度量的三角函数。

它们在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。

基本初等函数复习1、指数与指数函数【知识梳理】一．根式与分数指数幂1. 若n x a=，则x叫做a的n n>1，且n N*∈.n次方根（*1,n n N>∈且）有如下恒等式：n a=,||,a na n⎧⎨⎩为奇数为偶数；==2. 规定正数的分数指数幂：mna=（0,,,1a m n N n*>∈>且）；1mnmnaa-==二、指数幂的运算律m na a=()m na=m ma b=例1 化简（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b-÷-=（2例2函数()x bf x a-=的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（）.A．1,0a b><B．1,0a b>>C．01,0a b<<>D．01,0a b<<<（2）在同一坐标系下，函数,,,x x x xy a y b y c y d====的图，则,,,,1a b c d之间从小到大的顺序是__________．★指数函数图像的排列规律：例3. 比较下列各题中两个值的大小（用“<”或“>”填空）：(1) 2.51.731.7； (2)0.10.8-0.20.8-； (3)0.31.7 3.10.9★比较大小的方法：例4. 求下列函数的值域（1）()f x=(2)193 5 [1,2]x xy x+=++∈（3）2221()2x xy--=2、对数与对数函数【知识梳理】一．对数的概念与运算律1. 定义：如果x a N=(0,1)a a>≠，那么数x叫做以a为底N的对数记作logax N=2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N简记为lg N以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数logeN简记作ln N（e=2.71828……）3.对数与指数间的互化关系：当0,1a a>≠时，log baN b a N=⇔=.4. 负数与零没有对数；log10a=，log1aa=5.对数的运算法则：log()aM N=，logaMN=，log naM=，练习：用log,log,loga a ax y z表示下列各式：①logaxyz；②log a6. 对数的换底公式logloglogbabNNa=. 如果令N=b，则得到了对数的倒数公式logab=同样，也可以推导出一些对数恒等式，如log lognnaaN N=，log logmnaanN Nm=二、对数函数1.定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数ay=log x叫做对数函数，函数的定义域是（0，+∞）.2.性质【典例分析】例1求下列各式的值：⑴lg100 ⑵2ln e - ⑶ 91log 529-⑷21log 32.51log 6.25lg 2100+++ （5）33(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++（6）已知log 2,log 3,a a m n ==求2m na +的值例2．（1）已知0x y z ≠ ，346xyz==，求证1112z x y-=（2）已知18log 9,185b a ==，用,a b 表示36log 5例3．如右图是对数函数①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系是★指数函数图像的排列规律： 例4．比较大小（1）2log 3.4 2l o g 8.5 （2）0.3log 1.8 0.3l o g 2.7 （3）6log 7 7l o g 6 （4）3log 2 2l o g 0.9 （5）lg 0.1 l n 0.1 （6）30.40.4log 3 0.4 3 例5．求下列函数的值域（1）2lg(22)y x x =++； （2）()()1122log 1log 3y x x =-++ （3）()22log log 2884x xy x =≤≤例6．（1） 函数22log (2)y x x =++的单调增区间为 ，减区间为 （2） 函数2lg(235)y x x =--的单调增区间为 ，减区间为（3） 函数212log (23)y x x =-++的单调增区间为 ，减区间为（4）已知函数()2log 3y ax =-在[]0,2x ∈上是减函数，则实数a 的取值范围为3、幂函数【知识梳理】一． 幂函数的定义1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，3y x =，12y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 二、幂函数的图象和性质观察出幂函数的共性，总结如下：（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数. （2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.【典例分析】例：已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.4、函数的应用【知识梳理】一、方程的根与函数的零点 1．方程的根与函数零点的关系2．零点存在性定理：【典例分析】例1.(1)若函数()2f x x ax b =--的两个零点是2和3，函数()21g x bx ax ==--的零点为_________(2)若函数()1f x ax a =-+在区间()1,2-内存在零点，则实数a 的取值范围是_________ 例2.(1)函数()333f x x x =--有零点的区间是（ ）A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,3 (2)函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A.()2,3 B.(),e +∞ C.()1,2 D.()1,e 和(),e +∞ （3）求函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数．。

湖州二中高二数学第二学期导学案1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) 知识点一 导数运算法则思考 (1)函数g(x )＝c ·f (x )(c 为常数)的导数是什么？(2)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的情况下分母不为0)可导吗？反之如何？(3)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导成立吗？知识点二 复合函数的导数思考 设函数y ＝f (u )，u ＝g (v )，v ＝φ(x )，如何求函数y ＝f (g (φ(x )))的导数？题型一 导数运算法则的应用例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋23x 3； (2)y ＝lg x －e x ； (3)y ＝1x·cos x ； (4)y ＝x －sin x 2·cos x 2.跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.题型二 复合函数求导法则的应用例2 求下列函数的导数：(1) y ＝(1＋cos 2x )3； (2) y ＝sin 2 1x； (3) y ＝11－2x2； (4) y ＝(2x 2－3)1＋x 2.跟踪训练2 求下列函数的导数：(1) y ＝(2x ＋1)5； (2) y ＝1(1－3x )4； (3) y ＝31－3x ； (4) y ＝x ·2x －1； (5) y ＝lg(2x 2＋3x ＋1)； (6) y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.题型三 导数几何意义的应用例3 (1)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程是 .(2)已知函数f (x )＝k ＋ln x e x(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则k 的值为 .跟踪训练3 (1)若曲线y ＝x 3＋ax 在(0,0)处的切线方程为2x －y ＝0，则实数a 的值为 .(2)若函数f (x )＝e x x在x ＝a 处的导数值与函数值互为相反数，则a 的值为 .例4 求函数y ＝sin n x cos nx 的导数.1.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193 B.103 C.133 D.1632.函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C.e x －e －xD.e x ＋e －x 3.f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1＋x ，则f ′(x )等于( )A.11＋xB.－11＋xC.1(1＋x )2D.－1(1＋x )2 4.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ∈R ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)的值为 .5.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝ .。