2021新高考一轮复习专题2.1 函数概念及三要素(解析版)

高一数学函数的三要素知识点在高一数学学习中，函数是一个重要的概念和工具。

理解和掌握函数的三要素是学好数学的基础。

本文将介绍函数的三要素的知识点，包括定义域、值域和图像。

一、定义域定义域是指函数所能接受的自变量的取值范围。

对于一个函数来说，它并不是任意定义的，而是有一定的限制。

在确定定义域时，需要考虑函数中出现的各种运算，比如平方根、分母不能为零等。

例如，对于函数y = √x，由于不能对负数开平方根，因此定义域为x ≥ 0；对于函数y = 1/x，由于分母不能为零，因此定义域为x ≠ 0。

需要注意的是，对于一些复杂的函数，确定定义域可能需要借助一些技巧和方法。

二、值域值域是函数所有可能的输出值的集合。

它是定义域经过函数变换后得到的结果。

确定值域的方法通常有两种：代数方法和图像法。

在使用代数方法确定值域时，可以分析函数的性质和特点，并求出函数的最值。

例如，对于函数y = x^2，在定义域为实数集时，函数的最小值为0，因此值域为y ≥ 0；对于函数y = sinx，在定义域为实数集时，由于正弦函数的取值范围是[-1, 1]，因此值域为-1 ≤ y ≤ 1。

图像法是通过作出函数的图像来确定值域。

通过观察函数的图像，我们可以直观地判断函数的值域。

例如，对于函数y = 2x + 1，在作出其图像后，我们可以看到函数的图像是一条直线，它包含了所有的实数，因此值域为实数集。

三、图像函数的图像是函数在坐标系上的表示。

通过观察函数的图像，我们可以了解函数的性质和特点，进而更好地理解函数的三要素。

在绘制函数的图像时，需要根据定义域和值域的情况选择适当的坐标系和标尺。

对于简单的函数，可以通过画出一些特殊点和关键点，再通过描点连线的方法绘制函数的图像；对于复杂的函数，则可以借助计算机绘图工具进行绘制。

无论使用哪种方法，绘制的图像应该准确反映函数的性质，直观地展示函数的变化趋势。

综上所述，函数的三要素——定义域、值域和图像，是理解和掌握高一数学函数的关键知识点。

知识点总结 3-1函数概念一．函数的概念1．定义一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 注：函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(函数问题定义域优先)(2)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．5.复合函数如果函数y=f(t)的定义域为A, 函数t=g(x) 的定义域为B, 值域为C, 则当C ⊆A 时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在B 的复合函数，其中t 叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.提示：①内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集.②函数f(g(x))的定义域是指x 的取值范围，而不是g(x)的取值范围.常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．二．求函数定义域时常用限制条件：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数大于或等于零：(3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零；(5)三角函数中的正切tan y x =的定义域是{,x x R ∈且x ≠kπ+π2,k ∈Z}；(6)①若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；②已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a,b ])的值域.(7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．三．函数的值域1.求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．2.基本初等函数的值域(1))0(≠+=k b kx y 的值域是R ．(2))0(2≠++=a c bx axy 的值域是：当0>a 时，值域为[4ac−b 24a ,+∞)；当0<a 时，值域为(−∞,4ac−b 24a ]． (3)y =k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)0(>=a a y x 且)1≠a 的值域是)0(∞+，． (5)0(log >=a x y a 且)1≠a 的值域是R ．3.区间：设a,b ∈R ，且a <b ，我们规定： 集合区间名称 符号表示 数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间 [a ，b ]{x |a <x <b } 开区间 (a ，b ){x |a ≤x <b } 左闭右开区间 [a ，b ){x |a <x ≤b } 左开右闭区间 (a ，b ]{x |x ≥a } [a ，＋∞){x |x >a } (a ，＋∞){x |x ≤a } (－∞，a ]{x |x <a }(－∞，a )R(－∞，＋∞) 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．(1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏．。

2021年高考数学一轮复习函数知识点：函数的概念知识点总结函数的定义通常分为传统定义和近代定义，下面是____年高考数学一轮复习函数知识点：函数的概念，希望对考生复习有帮助。

（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数_，在集合B中都有唯一确定的数()f_和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f_是整式时，定义域是全体实数．②()f_是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f_是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f_是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．____年高考数学一轮复习函数知识点：函数的概念就为大家分享到这里，更多精彩内容请关注高考数学知识点栏目。

高一函数三要素的知识点函数是数学中的重要概念，是描述两个变量之间关系的工具。

在高一数学中，函数的学习是一个重要的内容，其中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则。

本文将深入探讨这些要素的含义和相关的知识点。

1. 定义域定义域是函数中自变量的取值范围。

在一个函数中，自变量的取值不能超出定义域的范围。

例如，对于一个以年龄为自变量，身高为因变量的函数，定义域可能是年龄范围在0至100岁之间的实数集合。

在某些情况下，定义域可能受到一些限制。

比如，对于一个以分母为自变量，分数值为因变量的函数，定义域就不能包含分母为零的情况，因为分母为零时函数无法定义。

因此，理解函数的定义域是非常重要的，它有助于我们确定函数的有效取值范围。

2. 值域值域是函数中因变量的取值范围。

它表示函数在定义域内所有可能的因变量取值。

例如，对于一个以时间为自变量，距离为因变量的函数，值域可能是非负实数集合，因为距离不可能为负数。

值域的分析有助于我们理解函数的变化趋势和范围。

通过确定值域，我们可以确定函数的最大值、最小值等特征。

同时，对于一些特殊函数，比如二次函数，我们还可以通过分析值域来确定函数的开口方向和是否有最值的情况。

3. 对应法则对应法则是函数中自变量与因变量之间的关系。

它描述了自变量和因变量之间的映射规律。

例如，对于一个以温度为自变量，压强为因变量的函数，对应法则可能是温度每上升1摄氏度，压强上升0.1帕斯卡。

对应法则是函数中最核心的部分，它决定了函数的性质和变化规律。

理解对应法则有助于我们分析函数的特点，如函数的增减性、奇偶性、周期性等。

在实际问题中，研究对应法则可以帮助我们建立数学模型，并通过函数来解决实际问题。

除了以上三个要素，高一数学中还涉及了函数的图像、反函数、复合函数等内容。

通过对这些内容的学习，我们可以更全面地了解函数的性质和应用。

总结起来，高一函数三要素的知识点包括定义域、值域和对应法则。

这些要素是函数研究的基础，对于解决实际问题和深入理解数学知识都起到了重要的作用。

高考一轮复习函数知识点函数作为数学的一个重要概念，在高中数学课程中占据着非常重要的地位。

对于学生来说，掌握好函数的相关知识点不仅有助于在高考中取得更好的成绩，还能为将来的学习和工作打下坚实的数学基础。

在本文中，我们将介绍一些高考中常见的函数知识点，希望能对大家的复习提供一些帮助。

一、函数的定义函数是一种对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。

在数学中，我们常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的定义包括定义域、值域和对应关系三个要素。

在复习函数的过程中，我们要注意区分函数和方程的概念，理解函数作为一种映射关系的特性。

二、常见函数类型1. 一次函数一次函数，也称线性函数，是指函数的表达式中只含有一次幂的变量。

例如，f(x) = ax + b就是一个一次函数，其中a和b为常数。

在高考中，一次函数的性质和应用经常会被考察，我们要掌握一次函数的图像特征、截距和斜率等重要概念。

2. 二次函数二次函数是函数的表达式中含有二次幂的变量。

例如，f(x) =ax^2 + bx + c就是一个二次函数，其中a、b和c为常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为抛物线，我们需要对二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴等进行熟练掌握。

3. 指数函数指数函数是以一个常数为底数，自变量是指数的函数。

例如，f(x) = a^x就是一个指数函数，其中a为常数。

指数函数在自然界和社会现象中有广泛应用，我们要了解指数函数的增减性、图像特征和指数函数与对数函数的相关性质。

4. 对数函数对数函数是指以某个正常数为底数，自变量为真数的对数的函数。

例如，f(x) = loga(x)就是一个对数函数，其中a为大于0且不等于1的常数。

在复习对数函数时，我们要熟练掌握对数函数的单调性、图像特征和对数函数与指数函数的性质。

5. 三角函数三角函数是以角度（或弧度）为自变量的周期函数。

例如，f(x) = sin(x)就是一个正弦函数，其中x可以表示角度或弧度。

第一讲 函数的概念及三要素1．函数与映射函数映射两个集合A ，B设A ，B 是两个非空数集设A ，B 是两个非空集合对应法则f ：A→B如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应如果按某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 与之对应名称 称y ＝f (x )，x ∈A 为从集合A 到集合B 的一个函数称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法 函数y ＝f (x )，x ∈A映射：f ：A →B2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应．我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一 函数、映射的判断【例1】（1）若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【套路秘籍】---千里之行始于足下（2）集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x【答案】（1）B （2）C【解析】（1）A 中函数定义域不是[－2，2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0，2]. （2）依据函数概念，集合A 中任一元素在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，选项C 不符合．【举一反三】1．下列从集合M 到集合N 的对应关系中，其中y 是x 的函数的是 A ．M ={x|x ∈Z},N ={y|y ∈Z}，对应关系f:x →y ,其中y =x2B ．M ={x|x >0,x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =±2xC ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R},对应关系f:x →y ,其中y =x 2D ．M ={x|x ∈R},N ={y|y ∈R}，对应关系f:x →y ,其中y =2x 【答案】C【解析】对于A ，M 中的奇数在N 中无元素与之对应y 不是x 的函数； 对于B ,M 中每个元素在N 中都有两个不同元素对之对应，y 不是x 的函数； 对于C ,M 中每个元素在N 中都有唯一元素与之对应，y 是x 的函数； 对于D ,M 中x =0在N 中没有元素对应，y 不是x 的函数，故选C.【数学套路】1. 是否为函数关系的判断（1）两个非空数集，即函数的定义域和值域是否为空，函数的定义域和值域不能为空 （2）看是否满足一个x 只能对应的y,或者多个x 对应一个y ，即为函数。

§2.1函数的概念命题探究答案:解析:易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. ∵f(x)=x3-2x+e x -,∴f(-x)=(-x)3-2(-x)+e-x -=-x3+2x+-e x=-f(x),∴f(x)为奇函数,又f '(x)=3x2-2+e x +≥3x2-2+2=3x2≥0(当且仅当x=0时,取“=”),所以f(x)在R上单调递增,所以f(a-1)+f(2a2)≤0⇔f(a-1)≤f(-2a2)⇔-2a2≥a-1,解得-1≤a≤.考纲解读常考题型函数的表求参数分析解读函数的概念是学习函数的基础,重点考查函数定义域和值域的求法,一般和常见的初等函数综合命题.五年高考考点一函数的基本概念1.(2017山东理改编,1,5分)设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=.答案[-2,1)2.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]3.(2016课标全国Ⅱ改编,10,5分)函数y=10lg x的定义域和值域分别是,.答案(0,+∞);(0,+∞)4.(2014江西改编,2,5分)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为.答案(-∞,0)∪(1,+∞)5.(2014山东改编,3,5分)函数f(x)=的定义域为.答案∪(2,+∞)6.(2013陕西理改编,1,5分)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则∁R M为.答案(-∞,-1)∪(1,+∞)考点二函数的表示方法1.(2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f=f,则f(5a)的值是.答案-2.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))=,f(x)的最小值是.3.(2015山东改编,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是.答案4.(2014江西改编,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f [g(1)]=1,则a=.答案 1考点三分段函数1.(2017课标全国Ⅲ文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.答案2.(2017山东文改编,9,5分)设f(x)=若f(a)=f(a+1),则f=.答案 63.(2015课标Ⅱ改编,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=.答案94.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=.答案 1教师用书专用(5)5.(2014浙江,15,5分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的基本概念1.(2017江苏徐州沛县中学第一次质检,4)函数y=lg(3x+1)+的定义域是.答案2.(2017江苏泰州二中期初,6)函数y=的值域为.答案{y∈R|y≠3}3.(苏教必1,二,3,8,变式)函数f(x)=+的定义域为.4.(2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,8)函数f(x)=的定义域是.答案[-2,2]5.(2017江苏前黄高级中学上学期第二次学情调研,1)函数y=的定义域为A,值域为B,则A∪B=.答案[-4,3]考点二函数的表示方法6.(2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称,且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点.则满足题意的f(x)的一个解析式为.答案f(x)=7.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=.答案+8.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)满足f=log2,则f(x)的解析式是.答案f(x)=-log2x考点三分段函数9.(2018江苏天一中学调研)f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=则f的值为.答案-10.(2018江苏无锡高三期中)若函数f(x)=则f(5)=.答案 211.(2018江苏常熟期中)若函数f(x)=(a>0,且a≠1)的值域为[6,+∞),则实数a的取值范围是.答案(1,2]12.(2016江苏扬州中学期初质检,6)设函数f(x)=则f=.答案 1B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏金陵中学月考)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.答案0<k<1或1<k<22.(苏教必1,二,1,13,变式)已知函数f(x)=-1的定义域是[a,B](a,B∈Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,B)共有个.答案 53.(2016江苏南通海安期末,14)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=(x∈[0,2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角θ,若∀θ∈[0,α],旋转后所得曲线都是某个函数的图象,则α的最大值是.答案4.函数f(x)=的值域为.答案C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的定义域1.若函数y=的定义域为R,则实数a的取值范围是.答案[0,3)方法2 求函数解析式的常用方法2.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式. 解析解法一:令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).∵f(0)=1,∴f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).再令-y=x,代入上式,得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1).则f(x)=x2+x+1.方法3 分段函数的相关问题3.已知f(x)=其中i是虚数单位,则f(f(1-i))=.答案 3。

高三数学函数三要素知识点函数是数学中的一种重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在高三数学中扮演着重要的角色。

理解和掌握函数的三要素是高中数学学习的基础，也是考试中常见的考点。

本文将详细介绍函数的三要素，包括定义域与值域、图像与性质以及解析式与关系式。

一、定义域与值域函数的定义域是指函数中自变量取值范围的集合，可以是实数集、整数集或其他特定集合，记作D(f)。

而值域则是函数通过自变量变化所能取得的函数值的集合，记作R(f)。

在探究函数的定义域和值域时，可以借助图像来进行分析和判断。

例如，对于一元函数y=f(x)，如果函数的解析式为y=x^2+1，我们可以通过观察解析式中的幂函数性质得知，这个函数的定义域是实数集R，因为幂函数的定义域是整个实数集。

而对于函数的值域，我们可以通过画出函数的图像来观察。

通过分析得知，y=f(x)的图像为抛物线，开口向上，顶点在(0,1)处，因此值域为{y∈R | y≥1}。

二、图像与性质函数的图像可以直观地展示函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性、最值等。

我们可以通过图像的形状和关键点来确定函数的性质。

以一元函数y=f(x)为例，通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性。

如果函数在定义域内任意两点的连线均不与函数图像相交，那么这个函数是严格单调递增或递减的。

如果函数在某一区间内是单调递增或递减的，并且在该区间内等号成立，那么这个函数是递增或递减的。

此外，通过观察图像的对称性，我们可以判断函数的奇偶性。

如果函数满足f(-x)=f(x)，那么这个函数是偶函数；如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么这个函数是奇函数。

另外，通过直观观察函数图像的开口方向和顶点位置，还可以判断函数的最值。

对于抛物线函数来说，开口向上的抛物线的最小值在顶点处，最大值不存在；开口向下的抛物线的最大值在顶点处，最小值不存在。

对于其他类型的函数，可以通过函数图像的分析来得到相应的最值性质。

三、解析式与关系式函数的解析式是函数的一种表示形式，通常使用代数式来表示。

高一函数三大要素知识点函数是数学中非常重要的概念，也是高中数学的重要内容之一。

在高中数学的学习过程中，学生会接触到许多与函数有关的知识点。

其中，函数的三大要素是一个非常基础且重要的内容。

本文将对高一函数的三大要素进行详细讨论。

函数的三大要素指的是定义域、值域和对应法则。

下面我将分别对这三个要素进行阐述。

一、定义域在进行函数的研究和运算时，定义域是必不可少的概念。

定义域就是函数中自变量可以取值的范围。

简单来说，就是函数能够接受的输入值。

对于一个给定的函数，定义域可以是实数集、有理数集或者其他特定的集合。

在确定一个函数的定义域时，我们需要注意可能存在的限制条件。

例如，对于一个含有分式的函数，我们需要考虑分母不能为零的情况，因此需要排除分母为零的那些自变量。

此外，对于开方函数，也要考虑被开方的数不能为负数的情况。

二、值域值域是函数中的另一个重要概念，它是函数在定义域内所有可能的函数值的集合。

简单来说，就是函数能够输出的结果。

在研究一个函数的性质时，了解它的值域是非常有帮助的。

对于连续函数，我们可以通过分析其图像和性质来确定其值域。

但对于一些复杂的函数，我们可能需要使用一些数学方法来确定其值域。

例如，我们可以使用一些函数的性质和定理，如中值定理、最大值最小值定理等，来确定值域的范围。

三、对应法则对应法则是函数的第三个要素，它是函数中自变量和因变量之间的关系规律。

在数学中，我们通常用一个表达式、方程或者图像来表示对应法则。

函数的对应法则可以是简单的代数式或者复杂的方程组。

例如，我们可以用线性函数 y=2x+3 来表示一个自变量 x 和因变量 y 之间的关系。

在函数的研究过程中，我们可以通过对对应法则的分析，来探究函数的性质和变化规律。

除了了解这三大要素之外，我们还需要对其进行综合应用。

在解决实际问题时，我们可以通过分析问题的背景和条件，确定合适的定义域和值域，并找到合适的对应法则，从而解决问题。

总之，函数的三大要素是高一数学中非常重要的知识点。

函数概念及其三要素函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的关系。

它是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。

函数常用于描述数量之间的对应关系，如时间和距离之间的关系、温度和压力之间的关系等。

函数的三要素包括定义域、值域和对应关系。

定义域是自变量的所有可能取值的集合，通常用符号表示为D。

值域是因变量的所有可能取值的集合，通常用符号表示为R。

对应关系指明了自变量和因变量之间的关系，一般用符号y或f(x)表示。

首先，我们来看函数的定义域。

定义域是指自变量的所有可能取值的集合。

函数的定义域是所有满足函数中自变量合法的取值范围。

例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方根的定义域是非负实数，因此该函数的定义域是所有实数。

有时候，定义域可能受到其他限制条件的约束，如分母不能为零等。

因此，在定义函数时需要明确确定定义域。

其次，我们来看函数的值域。

值域是指函数所有可能取值的集合。

值域可以通过函数的定义来确定。

例如，对于函数f(x)=x^2，因为平方的结果始终为非负数，所以该函数的值域是非负实数。

有时候，值域可能受到定义域的限制，如分母不能为零等。

值域是确定函数取值范围的重要依据。

最后，我们来看函数的对应关系。

对应关系是函数描述自变量和因变量之间的关系。

函数的对应关系通常用符号y或f(x)表示。

函数的对应关系可以通过不同的数学表达式或方程来表示，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

例如，函数f(x)=2x+1表示一个线性函数，它表示自变量x与因变量y之间的线性关系，即y等于2倍的x加1函数的三要素相互关联，定义域和值域是函数定义和取值范围的限制条件，而对应关系则描述了自变量和因变量之间的关系。

在实际问题中，我们常常需要通过函数来描述一些现象或规律，通过研究函数的三要素，可以更好地理解和应用函数。

除了了解函数的三要素，我们还需要了解函数的图像和性质。

函数的图像是描述函数对应关系的一种可视化方式，通常使用平面直角坐标系来绘制。

函 数一、函数及其表示自主梳理1．函数的基本概念 (1)函数定义设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，__________________叫做函数的值域．(2)函数的三要素__________、________和____________． (3)函数的表示法表示函数的常用方法有：________、________、________. (4)函数相等如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函数相等，这是判定两函数相等的依据． (5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________． 2．映射的概念 (1)映射的定义设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B中 确定的元素y 与之对应，那么就称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的 .（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.自我检测1．(2011·佛山模拟)设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2010·湖北)函数y ＝1log 0.5x －的定义域为( )A ．(34，1)B ．(34，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(34，1)∪(1，＋∞)3．(2010·湖北)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x， x ≤0，则f(f (19))等于( )A ．4 B.14C ．－4D ．－144．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝(x )2C ．y ＝lg 10xD ．y ＝2log 2x5．(2011·衡水月考)函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，求a 的取值范围．探究点一 函数与映射的概念例1 (教材改编)下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(1)P ＝Z ，Q ＝N *，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；（2）P ={-1,1,-2,2}，Q ={1，4}，对应关系:f :x →y =x 2,x ∈P ,y ∈Q ;(3)P ={三角形}，Q ={x |x >0}，对应关系f :对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对应.变式迁移1 已知映射f :A →B .其中B ．其中A ＝B ＝R ，对应关系f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是 ( )A ．k >1B ．k ≥1C ．k <1D ．k ≤1 探究点二 求函数的定义域例2 (1)求函数y ＝x ＋1＋x －0－x的定义域；(2)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，求f (x )的定义域．变式迁移2 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，那么g (x )＝f x 21＋x ＋的定义域是________________________________________________________________________．探究点三 求函数的解析式例3 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1x)＝3x ，求f (x )．变式迁移3 (2011·武汉模拟)给出下列两个条件： (1)f (x ＋1)＝x ＋2x ；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试分别求出f (x )的解析式．探究点四 分段函数的应用例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4变式迁移4 (2010·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________________．1．与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由f (x )的定义域确定函数f [g (x )]的定义域或由f [g (x )]的定义域确定函数f (x )的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． 2．解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )(1)y 1＝x ＋3x －5x ＋3，y 2＝x －5；(2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝x ＋1x －1；(3)f (x )＝x ，g (x )＝x 2；(4)f (x )＝3x 4－x 3，F (x )＝x 3x －1；(5)f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5.A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(4)D ．(3)(5)2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( ) A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．(2011·洛阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，若f (x )＝3，则x 的值是 ( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D. 34．(2009·江西)函数y ＝x ＋－x 2－3x ＋4的定义域为 ( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]5.（2011·台州模拟）设f :x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B ={1，2}，则A ∩B 为 ( )A ．∅B ．{1} C6．下列四个命题：(1)f (x )＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y ＝2x (x∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2，x <0的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1 xx 2x，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2x x，则f [g (3)]＝________，g [f (－12)]＝________.8．(2010·陕西)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝______.三、解答题(共38分)9．(12分)(1)若f (x ＋1)＝2x 2＋1，求f (x )的表达式； (2)若2f (x )－f (－x )＝x ＋1，求f (x )的表达式； (3)若函数f (x )＝xax ＋b，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的表达式．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋2x －3，用图象法表示函数g (x )＝f x ＋|f x2，并写出g (x )的解析式．11．(14分)(2011·湛江模拟)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8， 0≤x ≤5，10.2， x >5.假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？一、函数及其表示答案 自主梳理 1．(1)数集 任意一个数x 都有唯一确定的数f(x)和它对应 定义域 函数值的集合{f(x)|x∈A} (2)定义域 值域 对应关系 (3)解析法 列表法 图象法 (4)对应关系 (5)定义域 对应关系 并集 并集 2.(1)都有唯一 一个映射 (2)函数 非空自我检测1．B [对于题图(1)：M 中属于(1,2]的元素，在N 中没有象，不符合定义；对于题图(2)：M 中属于(43，2]的元素的象，不属于集合N ，因此它不表示M 到N 的函数关系；对于题图(3)：符合M 到N 的函数关系；对于题图(4)：其象不唯一，因此也不表示M 到N 的函数关系．]2．A 3.B 4.C5．解 函数y ＝lg(ax 2－ax ＋1)的定义域是R ，即ax 2－ax ＋1>0恒成立． ①当a ＝0时，1>0恒成立；②当a ≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0， ∴0<a <4.综上所述，a 的取值范围为0≤a <4. 课堂活动区例1 解题导引 函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应关系是否给出；②根据给出的对应关系，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值．(2)解析 由于(1)中集合P 中元素0在集合Q 中没有对应元素，并且(3)中集合P 不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P 上的函数．由题意知，(2)正确．变式迁移1 A [由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根．∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．]例2 解题导引 在(2)中函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)是指x 的取值范围还是2x ＋1的取值范围？f (x )中的x 与f (2x ＋1)中的2x ＋1的取值范围有什么关系？解 (1)要使函数有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，2－x >0，2－x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，x <2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <2，x ≠1.所以函数的定义域是{x |－1≤x <1或1<x <2}． (2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)， ∴1<2x ＋1<3，所以f (x )的定义域是(1,3)．变式迁移2 (－1，－910)∪(－910，2]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2≤2x ＋1>01＋x ＋得－1<x ≤2且x ≠－910. 即定义域为(－1，－910)∪(－910，2]．例3 解题导引 函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．(3)已知f (x )满足某个等式，这个等式除f (x )是未知量外，还出现其他未知量，如f (－x )、f (1x)等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．解 (1)令2x ＋1＝t ，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，∴f (x )＝lg 2x －1，x ∈(1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)2f (x )＋f (1x)＝3x ， ①把①中的x 换成1x，得学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间D 上是______________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的__________．(4)函数y ＝x ＋a x(a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上是单调________；在(－a ，0)，(0，a )上是单调______________；函数y ＝x ＋a x(a <0)在______________上单调递增．2．最值 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M (f (x )≥M )；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，称M 是函数y ＝f (x )的____________．自我检测1．(2011·杭州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是 ( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有 ( )A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2＋a )<f (a )D ．f (a 2＋1)>f (a )3．下列函数在(0,1)上是增函数的是 ( ) A ．y ＝1－2x B ．y ＝x －1C ．y ＝－x 2＋2x D ．y ＝54．(2011·合肥月考)设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是 ( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为 ( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ]探究点一 函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f x，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二 函数的单调性与最值例2 (2011·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三 抽象函数的单调性例3 (2011·厦门模拟)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (12分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值． 【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1) 当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[3分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[6分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[9分](4)当a >2时，由图④可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. 综上，(1)当a <0时，f (x )min ＝－1，f (x )max ＝3－4a ；(2)当0≤a <1时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝3－4a ；(3)当1<a ≤2时，f (x )min ＝－1－a 2，f (x )max ＝－1； (4)当a >2时，f (x )min ＝3－4a ，f (x )max ＝－1.[12分] 【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x ＝a ，而a 的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a <0,0≤a ≤2，a >2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f (0)，也有可能是f (2)．1．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．2．若函数f (x )，g (x )在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质： (1)f (x )与f (x )＋C 具有相同的单调性．(2)f (x )与af (x )，当a >0时，具有相同的单调性，当a <0时，具有相反的单调性．(3)当f (x )恒不等于零时，f (x )与1f x具有相反的单调性．(4)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )＋g (x )是增(减)函数．(5)当f (x )，g (x )都是增(减)函数时，则f (x )·g (x )当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·泉州模拟)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2009·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．(2009·宁夏，海南)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．74．(2011·丹东月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]5．(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f x是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·湖州模拟)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(12分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)(2011·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f a ＋f ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案 自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数 减函数 (3)单调区间 (4)递增 递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.最大(小)值自我检测 1．B [由已知得a <0，b <0.所以二次函数对称轴为直线x ＝－b2a<0，且图象开口向下．]2．D [∵a 2＋1>a ，f (x )在R 上单调递增，∴f (a 2＋1)>f (a )．]3．C [常数函数不具有单调性．]4．D [在本题中，x 1，x 2不在同一单调区间内，故无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小．]5．C [∵f (x )＝3(x －23)2－43＋c ，x ∈[0,5]，∴当x ＝23时，f (x )min ＝－43＋c ；当x ＝5时，f (x )max ＝55＋c .]课堂活动区例1 解题导引 对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解 在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2， 则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝x 2＋a x 1＋b －x 2＋b x 1＋a x 1＋b x 2＋b＝b －a x 2－x 1x 1＋b x 2＋b.∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0， 又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，函数才单调．当x 1<x 2<－b ，或－b <x 1<x 2时，f (x 2)－f (x 1)<0，即Δy <0.∴y ＝f (x )在(－∞，－b )上是单调减函数，在(－b ，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1 解 在R 上任取x 1、x 2，设x 1<x 2，∴f (x 2)>f (x 1)，F (x 2)－F (x 1)＝[f (x 2)＋1f x 2]－[f (x 1)＋1f x 1]＝[f (x 2)－f (x 1)][1－1f x 1f x 2]，∵f (x )是R 上的增函数，且f (5)＝1，∴当x <5时，0<f (x )<1，而当x >5时f (x )>1； ①若x 1<x 2<5，则0<f (x 1)<f (x 2)<1，∴0<f (x 1)f (x 2)<1，∴1－1f x 1f x 2<0，∴F (x 2)<F (x 1)；②若x 2>x 1>5，则f (x 2)>f (x 1)>1，∴f (x 1)·f (x 2)>1，∴1－1f x 1f x 2>0，∴F (x 2)>F (x 1)．综上，F (x )在(－∞，5)为减函数，在(5，＋∞)为增函数．例2 解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，设x 1，x 2∈[1，＋∞)且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)(1－12x 1x 2)∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，又∵1<x 1<x 2，∴1－12x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2) ∴f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )在区间[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72.(2)方法一 在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立，等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)， y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a ，于是当且仅当y min ＝3＋a >0时，函数f (x )恒成立， 故a >－3.方法二 f (x )＝x ＋a x＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立， 故a >－3.方法三 在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解 设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．(1)证明 设x 1>x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)解 ∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1， 由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)， ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9； 当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}． 课后练习区1．A [f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．]2．C [由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.]3．C [由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．]4．D [f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.]5．A [∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )． 又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.]6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －x xx －x x.画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析 举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x －x ，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．……………………………………………………………………………………………(6分)(2)解 由题意a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………………………………………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．…………………………………………………………(10分) 故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(12分) 10．解 设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．……………………………………………………………(4分)(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分) (3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7. 又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(12分) 11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分) (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1分∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m |≥2.……………………………………………………(14分) 2f (1x )＋f (x )＝3x， ②①×2－②，得3f (x )＝6x －3x，∴f (x )＝2x －1x.变式迁移3 解 (1)令t ＝x ＋1，∴t ≥1，x ＝(t －1)2.则f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，即f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞)．(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∴f (x ＋2)＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋c ， 则f (x ＋2)－f (x )＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.又f (0)＝3，∴c ＝3，∴f (x )＝x 2－x ＋3.例4 解题导引 ①本题可以先确定解析式，然后通过解方程f (x )＝x 来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁．②对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应关系． ③分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决．C [方法一 若x ≤0，则f (x )＝x 2＋bx ＋c . ∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋b －＋c ＝c ，－2＋b －＋c ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.当x ≤0，由f (x )＝x ，得x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－2，或x ＝－1；当x >0时，由f (x )＝x ，得x ＝2. ∴方程f (x )＝x 有3个解．方法二 由f (－4)＝f (0)且f (－2)＝－2，可得f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－2，且顶点为(－2，－2)，于是可得到f (x )的简图(如图所示)．方程f (x )＝x 的解的个数就是函数图象y ＝f (x )与y ＝x 的图象的交点的个数，所以有3个解．]变式迁移4 (－1，2－1)解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0的图象如图所示：f (1－x 2)>f (2x )⇔⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x1－x 2>0，解得－1<x <2－1.课后练习区1．C [(1)定义域不同；(2)定义域不同；(3)对应关系不同；(4)定义域相同，且对应关系相同；(5)定义域不同．]2．C [有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x ＝1仅有一个函数值．]3．D [该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)，∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1<x <2，∴x ＝ 3.]4．C5．D [由已知x 2＝1或x 2＝2，解之得，x ＝±1或x ＝±2，若1∈A ，则A ∩B ＝{1}，若1∉A ，则A ∩B ＝∅，故A ∩B ＝∅或{1}．] 6．1解析 (1)x ≥2且x ≤1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线．故只有(2)正确．7．7 31168．29．解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，∴f (t )＝2(t －1)2＋1＝2t 2－4t ＋3，∴f (x )＝2x 2－4x ＋3.………………………………………………………………………………………………(4分)(2)∵2f (x )－f (－x )＝x ＋1，用－x 去替换式子中的x ，得2f (－x )－f (x )＝－x ＋1，……(6分)即有⎩⎪⎨⎪⎧2f x －f －x ＝x ＋12f －x －f x ＝－x ＋1，解方程组消去f (－x )，得f (x )＝x3＋1.……………………………………………………(8分)(3)由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x (1ax ＋b －1)＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba，…(10分)又∵方程有唯一解， ∴1－b a ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，∴f (x )＝2xx ＋2.……………………………………………………………………………(12分)10．解 函数f (x )的图象如图所示，……………………………………(6分) g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3 x ≤－3或x 0 －3<x …………………………………………………(12分)11．解 依题意，G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ， x >5.………………………………………………(4分)(1)要使工厂赢利，则有f (x )>0.当0≤x ≤5时，有－0.4x 2＋3.2x －2.8>0，得1<x <7，所以1<x ≤5.………………………………………………………………(8分) 当x >5时，有8.2－x >0， 得x <8.2，所以5<x <8.2.综上所述，要使工厂赢利，应满足1<x <8.2，即产品应控制在大于100台小于820台的范围内．……………………………………………………………………………………(10分)(2)当0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6.故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6.…………………………………………………………(12分) 而当x >5时，f (x )<8.2－5＝3.2.所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，x ＝4时，每台产品售价为R4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)．……………………………………………………………………………(14分)学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___ 对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性． 3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝________，则称f (x )为________函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2011·茂名月考)如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是 ( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－53．函数y ＝x －1x的图象 ( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称4．(2009·江西改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为 ( )A ．－2B ．－1C ．1D ．25．(2011·开封模拟)设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 (2011·承德模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则f (x )( )A ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数B ．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数C ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D ．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用例 (12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[7分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)[8分] ∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[10分]又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D. ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.[11分]解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[12分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·吉林模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( )A ．－13 B.13C.12 D ．－122．(2010·银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为 ( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞)3．(2011·鞍山月考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)等于 ( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.54．(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于 ( )A ．3B ．1C ．－1D ．－35．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系是 ( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C6．(2010·辽宁部分重点中学5月联考)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．(2011·咸阳月考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)(2011·汕头模拟)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(12分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3) (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)(2011·舟山调研)已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案 自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x ) 2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反3．(1)f(x ) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.] 2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．] 3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]4．C [f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.] 5．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f(x)＝xx 12-是奇函数，故a ＝－1.课堂活动区例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x )为偶函数． (3)基本函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求xx+-11≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x )＝－x )21121(+--x＝－x )21212(+-x x ＝)21122(--x x x ＝)21121(+-xx ＝f(x)． ∴f(x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1) ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x，f (－x )＝－4－x2x∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12xx －12即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.。

2021年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.1函数及其表示一、求函数的定义域、值域 1、确定函数的定义域的原那么〔1〕当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x 的集合;〔2〕当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合； 〔3〕当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合； 〔4〕当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。

2、确定函数定义域的依据〔1〕假设f(x)是整式，那么定义域为全体实数；〔2〕假设f(x)是分式，那么定义域为使分式的分母不为零的x 取值的集合； 〔3〕当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x 取值的集合； 〔4〕当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值的集合；〔5〕假设函数f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f(g(x))定义域由不等式a ≤g(x)≤b 解出; (6)假设函数f(g(x))的定义域为[a,b]，那么f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a,b]时的值域。

3、求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图象观察法；(3)单调性法；(4)别离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.4、例题解析〖例1〗(2021·大连模拟)求函数()()-=-22lg x 2x f x 9x的定义域;(2)函数f(2x )的定义域是［-1,1］，求f(x)的定义域； (3)求以下函数的值域. ①y=x 2+2x,x ∈［0,3］, ②y=log 3x+log x 3-1, ③.-=2x 1y 2分析：(1)根据解析式，构建使解析式有意义的不等式组求解即可； (2)要明确2x 与f(x)中x 的含义，从而构建不等式求解;(3)根据解析式的特点，分别选用①图象观察法；②均值不等式法；③单调性法求值域.解答：(1)要使该函数有意义，需要⎧-⎪⎨-⎪⎩22x 2x 09x 0＞，＞那么有：⎧⎨-⎩x 0x 23x 3＜或＞，＜＜ 解得:-3＜x ＜0或2＜x ＜3,所以所求函数的定义域为 (-3,0)∪(2,3). (2)∵f(2x )的定义域为［-1，1］， 即-1≤x ≤1,12∴≤≤x 22，故f(x)的定义域为［1,22］. (3)①y=(x+1)2-1在［0,3］上的图象如下图,由图象知：0≤y ≤32+2×3=15,所以函数y=x 2+2x ，x ∈［0,3］的值域为［0,15］. ②=+-331y log x 1log x,定义域为(0,1)∪(1,+∞)， 当0＜x ＜1时，()(),≤--⋅--=-331y 2log x 13log x当x ＞1时，,≥⋅-=331y 2log x 11log x综上可知，其值域为(-∞,-3］∪［1,+∞). ③因为x 2-1≥-1，又y=2x 在R 上为增函数, ∴-=2x 1y 2≥2-1=12.故值域为［12,+∞).【规律方法】求函数定义域的方法 (1) 求具体函数y=f(x)的定义域： (2)(2)求抽象函数的定义域：①假设函数f(x)的定义域为［a,b ］，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a ≤g(x)≤b 求出. ②假设函数f(g(x))的定义域为［a,b ］，那么f(x)的定义域为g(x)在x ∈［a,b ］时的值域. 提醒：定义域必须写成集合或区间的形式.〖例2〗设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 那么不等式)1()(f x f >的解集是〔 A 〕.),3()1,3(+∞⋃-B.),2()1,3(+∞⋃-C.),3()1,1(+∞⋃-D.)3,1()3,(⋃--∞解析 由，函数先增后减再增当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

姓名，年级：时间：第二章函数、导数及其应用第一讲函数及其表示ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一函数的概念及表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f:A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中有唯一的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应名称称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f:A→B是一个映射（1）函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．(2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则。

（3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法。

（4）两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．知识点二分段函数及应用在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数,分段函数是一个函数而不是几个函数．错误!错误!错误!错误!1．映射：(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射，A，B为非空数集的映射就是函数；（2）映射的两个特征：第一，在A中取元素的任意性;第二,在B中对应元素的唯一性；（3)映射问题允许多对一，但不允许一对多．2．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．4．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．(多选题)下列判断不正确的为( ABC ）A．函数f(x)的图象与直线x＝1的交点只有1个B．已知f(x）＝m(x∈R)，则f（m3）等于m3C．y＝ln x2与y＝2ln x表示同一函数D．f(x)＝错误!则f(－x)＝错误!题组二走进教材2．(必修P23T2改编)下列所给图象是函数图象的个数为（ B )A．1 B．2C．3 D．4［解析] ①中当x〉0时，每一个x的值对应两个不同的y值,因此不是函数图象,②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y值，因此是函数图象．3．（必修1P24T4改编)已知f（x5）＝lg x，则f(2)等于( D ）A．lg 2 B．lg 32C．lg 错误!D．错误!lg 2［解析］解法一：由题意知x>0,令t＝x5，则t>0，x＝t错误!,∴f(t）＝lg t 15＝错误!lg t，即f(x）＝错误!lg x(x>0）,∴f（2)＝错误!lg 2，故选D．解法二：令x5＝2，则x＝2错误!，∴f（2)＝lg 2错误!＝错误!lg 2.故选D．4．（必修1P25BT1改编）函数y＝f(x）的图象如图所示，那么f(x)的定义域是［－3，0]∪［2，3］;值域是[1,5];其中只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2）∪(4,5］.题组三考题再现5．（2019·江苏,5分）函数y＝错误!的定义域是［－1,7］.［解析］要使函数有意义，则7＋6x－x2>0，解得－1≤x≤7，则函数的定义域是[－1，7］．6．（2015·陕西,5分）设f(x)＝错误!则f［f(－2）］＝（ C ）A．－1 B．错误!C．错误!D．错误![解析] ∵f（－2)＝2－2＝错误!，∴f［f（－2)］＝f(错误!)＝1－错误!＝错误!，故选C．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一函数的概念及表示考向1 函数与映射的概念——自主练透例1 （1）下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝｛1,2，3}，B＝R，f(1）＝f（2）＝3，f（3）＝4。

高中数学第二章函数2.1 函数的概念—三要素的求法素材苏教版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章函数2.1 函数的概念—三要素的求法素材苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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函数的概念三要素的求法一、函数的概念：1． 函数的概念:函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x )和它对应，那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 记作:y = f （x ）,x ∈A 。

其中,x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合｛f (x ) ｜ x ∈A ｝叫做函数的值域。

显然,值域是集合B 的子集.（2）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来,得到的式子叫做解析式。

2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.（3）典型例题：1. 函数y = f (x )表示（ ） A ．y 等于f 与x 的乘积 B ．f （x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2。

下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 （ ）A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ )A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4。

2021届高考函数知识点近年来，高考成为了每个学生追求梦想的关键之一。

而在高考数学科目中，函数作为重要的知识点之一，扮演着举足轻重的角色。

本文将就2021届高考函数知识点进行探讨，帮助学生更好地备考。

1. 函数的定义与性质函数是数学中的一个重要概念，即输入一个自变量，通过特定的关系式得到一个唯一的函数值。

函数由定义域、值域以及定义关系构成。

在高考中，函数的性质是考查的重点之一，包括奇偶性、周期性、单调性等。

2. 函数的图像与性质函数的图像是通过将自变量和函数值绘制在直角坐标系中所得的曲线。

对于一些特殊函数，比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，其图像具有一些特殊性质。

在高考中，了解这些特性可以帮助学生更好地判断函数的性质以及解题。

3. 复合函数与反函数复合函数是指由两个或多个函数组成的函数，其中一个函数的输出是另一个函数的输入。

复合函数在高考中常用于求解多个函数之间的关系。

反函数是指与原函数互为自变量和函数值的函数，也即对原函数进行一对一映射后得到的函数。

4. 函数的极限与连续性函数的极限是指当自变量无限接近某个值时，函数值趋于的一个确定的值。

极限有左极限和右极限之分。

连续函数是指在其定义域内，函数图像上的每一点都能与相邻的点连成一条不断变化的曲线。

在高考中，极限与连续性是非常重要的理论基础。

5. 函数的导数与导数应用导数是函数在某一点上的变化率，表示了函数图像在该点的切线斜率。

导数具有一些基本运算法则，如常数法则、和差法则、导数积法则等。

导数的应用包括切线问题、极值问题、函数图像的凹凸性等，在高考中经常出现。

6. 函数的定积分与定积分应用定积分是函数在一定区间内的面积或曲线长度。

定积分具有一些基本性质，如线性性、区间可加性、积分中值定理等。

定积分的应用包括求曲线下面积、求曲线长度、求质量、求均值等，是高考数学中的难点。

函数作为高考数学的一个重要知识点，承载着数学推理与应用能力的培养。

在备考过程中，学生应该注重思维的培养，注重理论与应用的结合。