初中数学三角形教案

第十一章三角形教材内容本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。

教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。

接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。

这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。

最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.教学目标〔知识与技能〕1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。

4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。

〔过程与方法〕- 第- 一-网1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理和进行简单推理的能力。

〔情感、态度与价值观〕重点难点三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于1800的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平页镶嵌设计是难点。

课时分配11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时本章小结………………………………………………………… 2课时11.1.1三角形的边[教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.[重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。

（4）练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学性质，提高解决问题的能力。
（5）拓展：引导学生运用特殊三角形的性质进行拓展练习，提高学生的创新思维和解决问题的能力。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如积极参与、主动探究、合作交流等，激发学生的学习积极性。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对特殊三角形性质的理解和运用程度。
4.请同学们预习下一节课的内容，提前了解特殊三角形在几何证明中的应用，为课堂学习做好准备。
5.结合本节课的学习，总结特殊三角形的性质及其应用，用思维导图的形式呈现，培养知识归纳和总结能力。
作业要求：
1.作业需独立完成，书写工整，步骤清晰，保持卷面整洁。
2.解题过程中，要注重逻辑性和条理性，体现数学思维的严密性。
1.学生对基本几何概念的理解程度，特别是对等腰、等边三角形的认识，以及直角三角形的性质。
2.学生在解决问题时，能否灵活运用特殊三角形的性质，对相关性质的理解是否深入。
3.学生的空间想象能力和逻辑思维能力，以及在学习过程中是否能够主动探究、发现和解决问题。
4.学生在小组合作中的沟通能力，以及团队合作意识的培养。
4.引导学生认识数学在科学、技术、社会等方面的广泛应用，培养学生的数学应用意识，学生数学学习的关键时期，他们在之前的学习中已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学生对特殊三角形的学习将更具挑战性和深度。然而，由于特殊三角形性质较多，学生在理解和应用上可能会存在一定困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
4.能够运用特殊三角形的性质进行简单的证明，培养逻辑思维能力和推理能力。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、小组合作等方式，让学生在探索特殊三角形性质的过程中，培养发现问题的能力，提高解决问题的能力。

初中数学教案：三角形全等的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定条件。

2. 培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 三角形全等的定义：如果两个三角形的所有对应边和对应角都相等，这两个三角形叫做全等三角形。

2. 三角形全等的判定条件：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）、AAS（角-角-边）。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形全等的判定条件及其应用。

2. 教学难点：三角形全等判定条件的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察和动手操作，加深对三角形全等概念的理解。

2. 采用案例分析法，让学生通过分析实际案例，掌握三角形全等的判定条件。

3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习已学的几何知识，引导学生进入三角形全等的新课学习。

2. 讲解三角形全等的定义和判定条件：详细讲解三角形全等的概念，以及SSS、SAS、ASA、AAS四种判定条件。

3. 案例分析：给出几个实际案例，让学生运用判定条件判断三角形是否全等。

4. 动手操作：让学生自行取材，进行三角形全等的实际操作，加深对全等三角形性质的理解。

5. 课堂练习：布置一些有关三角形全等的练习题，巩固所学知识。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何运用三角形全等的知识解决实际问题。

7. 作业布置：布置一些有关三角形全等的家庭作业，巩固所学知识。

8. 课后反思：对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和作业，评价学生对三角形全等概念和判定条件的掌握程度。

2. 观察学生在动手操作和小组合作学习中的表现，评价其观察能力、动手能力和团队协作能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和思维能力进行评价。

初二数学三角形教案1.初二数学三角形教案（精选篇1）教学目标：1.知识目标：通过折叠探索等腰三角形、等边三角形的性质。

2.能力目标：进行操作、观察、分析、比较、交流等教学活动，让学生在亲身经历类似的创造活动过程中学习数学知识。

3.情感目标：培养学生用事实验证事物的能力，而不是用主观臆断事物的属性。

教学过程：一、反馈作业1．师：昨天我们学习了哪些知识？对于等腰三角形和等边三角形，大家回家也做了探究型作业，对他们有了更深的了解。

谁来说说你还知道些什么？2.师：刚才也有同学谈到其实等腰三角形和等边三角形是对称图形。

老师说它们可以称为轴对称图形。

二、新课探究1．师：你能不能把一个等腰三角形折一折分成2个部分，使这2部分完全重合？2.师：大家都可以这样做到，那么谁能指一指我们是沿着哪一条线对折才能使图形对折后完全重合的吗？（学生指）师：我们把这条能使图形对折后重合的直线称为对称轴。

（板书）我们通常用虚线来表示对称轴。

（学生用虚线表示）3.学生探究师：你能不能用找到等腰三角形对称轴的方法来找一找等边三角形的对称轴？（学生尝试）学生交流：你是怎样找的？你找到几条？（图形对折，是否完全重合）3．小结：等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴。

而三条边都不相等的三角形却一条对称轴也没有。

三、探究作业1．在生活中还有哪些是轴对称图形，也有对称轴，我请同学们回家去找一下，用剪刀和纸把它剪出来，看谁剪得最多。

2．想不出的同学可以问问现在5年级的同学，他们会给你们帮助的。

2.初二数学三角形教案（精选篇2）教学目标⑴探索并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。

⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的能力。

⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。

教学重点：检验三角形的内角和是180°。

教学难点：引导学生通过实验探究得出三角形的内角和是180度。

初中数学教案直角三角形的性质与计算【教案】一、教学目标：1. 了解直角三角形的定义和性质；2. 掌握直角三角形内角和为90°的计算方法；3. 熟练应用勾股定理求解直角三角形的边长。

二、教学重点：1. 直角三角形的定义和性质；2. 直角三角形内角和为90°的计算方法；3. 勾股定理的应用。

三、教学内容：1. 直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角度为直角（90°）的三角形。

①直角三角形的特点：直角三角形的两条边相互垂直。

②直角三角形的性质：直角三角形的斜边是其他两条边的最大边，而其他两条边之间存在特殊的关系，即勾股定理。

2. 直角三角形内角和为90°的计算方法直角三角形有一个直角（90°）和两个锐角，三角形内角和为180°。

那么，在直角三角形中的两个锐角的和一定为90°。

3. 勾股定理的应用勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两直角边平方和。

设直角三角形的直角边分别为a、b，斜边长度为c，则有勾股定理：a^2 + b^2 = c^2四、教学过程：1. 导入：通过举例子，引出直角三角形的定义和性质；2. 演示：以标准的直角三角形为例，讲解直角三角形内角和为90°的计算方法；3. 练习：通过多组习题，让学生巩固直角三角形的定义和性质，并掌握计算直角三角形内角和的方法；4. 引导：结合实际问题，说明勾股定理的应用，并教给学生如何应用勾股定理计算直角三角形的边长；5. 练习：通过一些实际问题，让学生运用勾股定理解决直角三角形的边长问题；6. 拓展：介绍勾股定理的推广形式（奇异数的情况）；7. 总结：概括直角三角形的性质和计算方法，并复习重点内容；8. 小结：向学生总结本节课的要点，并提醒学生预习下节课内容。

五、教学辅助材料：1. 直角三角形图片和示意图；2. 直角三角形的计算题目。

六、教学评价：通过观察学生在课堂练习中的表现，检查学生对直角三角形性质的理解以及计算方法的掌握情况。

课前准备全等三角形纸片、三角板、
教学过程
一、创设情境，导入新课
1.复习：(1)三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
三个角、三个边、两边一角、两角一边。
(2)到目前为止，可
2.两角和其中一角的对边。
做一做：
三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
2、把下列各式化成最简二次根式：
六、作业
教材P、187习题11、4；A组1；B组1、
七、板书设计
数学全等三角形教案篇四
教材内容分析：
本节课内容是全章学习的开篇课，也是本章学习的主线，主要介绍全等三角形的概念和性质。通过对生活中的全等图形和抽象的几何图形的观察，使学生对全等有一个感性的认识，建立对应的概念，掌握寻找全等三角形中对应元素的方法，理解全等三角形的性质，为学习判定两个三角形全等以及第十六章轴对称图形提供了必要的理论基础。
1、被开方数的因数是整数，因式是整式、
2、被开方数中不含能开得尽方的'因数或因式、
例1?指出下列根式中的最简二次根式，并说明为什么、
分析：
说明：这里可以向学生说明，前面两小节化简二次根式，就是要求化成最简二次根式、前面二次根式的运算结果也都是最简二次根式、
例2?把下列各式化成最简二次根式：
说明：引导学生观察例2题中二次根式的特点，即被开方数是整式或整数，再启发学生总结这类题化简的方法，先将被开方数或被开方式分解因数或分解因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简、
(二)新课
由以上例子可以看出，遇到一个二次根式将它化简，为解决问题创
这两个二次根式化简前后有什么不同，这里要引导学生从两个方面考虑，一方面是被开方数的因数化简后是否是整数了，另一方面被开方数中还有没有开得尽方的因数、

新人教版九年级数学三角函数教案5篇新人教版九年级数学三角函数教案1教学目的1，使学生了解本章所要解决的新问题是：已知直角三角形的一条边和另一个元素(一边或一锐角)，求这个直角三角形的其他元素。

2，使学生了解“在直角三角形中，当锐角A取固定值时，它的对边与斜边的比值也是一个固定值。

重点、难点、关键1，重点：正弦的概念。

2，难点：正弦的概念。

3，关键：相似三角形对应边成比例的性质。

教学过程一、复习提问1、什么叫直角三角形2，如果直角三角形ABC中∠C为直角，它的直角边是什么斜边是什么这个直角三角形可用什么记号来表示二、新授1，让学生阅读教科书第一页上的插图和引例，然后回答问题：(1)这个有关测量的实际问题有什么特点(有一个重要的测量点不可能到达)(2)把这个实际问题转化为数学模型后，其图形是什么图形(直角三角形)(3)显然本例不能用勾股定理求解，那么能不能根据已知条件，在地面上或纸上画出另一个与它全等的直角三角形，并在这个全等图形上进行测量(不一定能，因为斜边即水管的长度是一个较大的数值，这样做就需要较大面积的平地或纸张，再说画图也不方便。

)(4)这个实际问题可归结为怎样的数学问题(在Rt△ABC中，已知锐角A和斜边求∠A的对边BC。

)但由于∠A不一定是特殊角，难以运用学过的定理来证明BC的长度，因此考虑能否通过式子变形和计算来求得BC的值。

2，在RT△ABC中，∠C=900，∠A=300，不管三角尺大小如何，∠A的对边与斜边的比值都等于1/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

类似地，在所有等腰的那块三角尺中，由勾股定理可得∠A的对边/斜边=BC/AB=BC/=1/=/2 这就是说，当∠A=450时，∠A的对边与斜边的比值等于/2，根据这个比值，已知斜边AB的长，就能算出∠A的对边BC的长。

那么，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值能否也是一个固定值呢(引导学生回答;在这些直角三角形中，∠A的.对边与斜边的比值仍是一个固定值。

1.1认识三角形第1课时班级姓名学习目标：1、结合具体实例，进一步认识三角形的概念及基本要素。

2、理解三角形三边关系的性质，并会初步应用它们来解决问题。

3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念和推理能力。

学习重点：三角形的有关概念及三角形三边关系的性质。

学习难点：判断三条线段能否组成三角形，过程较为复杂，是本节教学的难点一．课前预学在这座铁塔上我们可以看到许多三角形的支架，你能举出在生活中看到的三角形的例子吗？那么，怎样的图形叫做三角形呢?二、课中导学【想一想】什么是三角形？三角形：________________________________________________________________【想一想】如何表示三角形？AB C“三角形”可以用符号“____________”表示如图中顶点是A，B，C 的三角形，记作“____________ ”．读作“____________”【想一想】三角形的角可以怎么表示？AB C三角形的内角：_______________________________________如图：三角形有三个角：_________________________【想一想】三角形的边可以怎么表示？AB C a b c如图三角形中三边可表示为______________________，【思考】三角形的三个内角有什么关系？回顾我们小学做过的剪拼，你是怎样操作的？所以三角形的内角有以下性质：_____________________________________________【做一做】（1）说出图中所有的三角形，以及每一个三角形的三条边和三个内角A（2）若∠A=40°，∠C=60°，求∠ABC 的度数。

【思考】三角形怎样分类？想一想：怎样判断一个三角形的形状_______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ 三角形三边关系：文字表述：__________________________________________________几何语言：___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例1】判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由.(1)a=2.5 cm，b=3cm，c=5cm(2)e=6.3cm，f=6.3cm，g=12.6cm计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？小组交流。

初中三角形全等公开课教案教学目标：1. 知识与技能：理解并掌握三角形全等的概念及性质。

2. 过程与方法：经历观察、操作、测量等探究活动，增强动手能力和解决问题的能力。

3. 情感、态度价值观：感受生活中的数学，体会数学的魅力，从而激发学习数学的兴趣，获得成功的情感体验。

教学重难点：1. 教学重点：三角形全等的概念与性质。

2. 教学难点：三角形全等的性质。

教学过程：一、导入新课1. 图片导入：展示一些生活中的全等图形，如全等的三角形、正方形等。

2. 提问：这些图形有什么特点？它们能够完全重合，形状和大小完全相同。

3. 引导学生思考：为什么我们会说这些图形是全等的呢？二、讲解新知1. 操作观察，得出概念a. 给学生分发纸板，请他们将各自的三角尺按在纸板上，画下图形，并裁下。

b. 提问：照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？c. 预设：形状大小完全一样，能完全重合。

d. 多媒体上展示用同一张底片冲洗出来的两张尺寸大小一样的照片，请学生观察，放在一起是否也能完全重合。

e. 教师总结全等形和全等三角形的概念。

2. 平移、翻折、旋转，对应关系a. 小组活动：对一个三角形作出平移、翻折、旋转三种变换，然后动手操作进行探究，看看对于变换前后的两个三角形是否全等。

b. 学生汇报探究结果，教师引导学生总结三角形全等的性质。

三、巩固练习1. 让学生独立完成一些关于三角形全等的练习题，巩固所学知识。

2. 教师选取一些学生的作业进行点评，解答学生的疑问。

四、课堂小结1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结三角形全等的概念和性质。

2. 强调三角形全等在实际生活中的应用价值。

五、课后作业1. 请学生总结三角形全等的性质，并写在日记中。

2. 设计一些关于三角形全等的习题，提高学生的解题能力。

教学反思：本节课通过图片导入、操作观察、小组活动等方式，让学生直观地理解了三角形全等的概念和性质。

初中八年级数学教案：三角形三条边的关系知识点简介在初中数学中，三角形三条边的关系是一个重要的知识点。

通过学习这个知识点，能够帮助学生更好地了解三角形的性质和特征，同时也有助于学生更好的理解和运用勾股定理。

教学目标1.了解三角形三条边的关系；2.学会运用三角形的三条边关系求解问题；3.能够应用三角形三条边关系解决实际问题。

教学内容及教学步骤本节课主要包括三个部分：定义和基本概念、三角形三边关系推导和实际应用。

一、定义和基本概念定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条边之和大于第三条边，而任意两条边之差小于第三条边。

三角形有三个顶点和三条边，分别由两个顶点之间的线段组成。

基本概念：•等边三角形：三条边相等的三角形；•等腰三角形：两条边相等的三角形；•直角三角形：其中一个角是90度的三角形。

二、三角形三边关系推导三角形三边关系指的是三角形任意两边之和大于第三边。

通过这一关系，我们可以推导出以下三个公式：1.c<a+b2.a<b+c3.b<a+c其中，a、b和c分别表示三角形的三条边。

根据三角形三边关系，我们还可以得出以下结论：•三角形任意两边之和大于第三边；•任意两边之差小于第三边；•任意两角之和小于180度。

三、实际应用在实际应用中，三角形三边关系可以帮助我们求解各种问题，例如：例1：已知一个等边三角形的周长为18cm，求每条边的长度。

解：因为等边三角形的三条边相等，所以可以设该三条边的长度为x，则：3x=18解得：x=6因此，该等边三角形的三条边的长度均为6cm。

例2：一个三角形的三条边分别为3cm、4cm和5cm，求这个三角形的周长。

解：根据三角形三边关系，可知：a+b>cb+c>aa+c>b代入三条边的长度，得到：3+4>54+5>33+5>4因此，这三条边可以组成一个三角形，该三角形的周长为：3+4+5=12教学反思通过本节课的学习，我们可以帮助学生更好地理解三角形的基本概念和性质，同时也能够培养学生解决实际问题的能力。

初中数学三角形的魔术教案教学目标：1. 了解三角形的性质，掌握三角形的分类；2. 培养学生的观察能力、操作能力和推理能力；3. 培养学生的合作意识，提高学生的数学思维能力。

教学重点：1. 三角形的性质和分类；2. 三角形的判定方法。

教学难点：1. 三角形性质的灵活运用；2. 三角形分类的理解和应用。

教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括三角形的基本性质、分类和判定方法；2. 学生准备三角板、直尺、圆规等作图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过PPT展示一些生活中的三角形图片，引导学生观察并说出三角形的特征；2. 学生分享观察到的三角形特征，教师总结并板书。

二、探究三角形的性质（15分钟）1. 教师引导学生用三角板、直尺、圆规等作图工具，自己动手作出一个任意的三角形；2. 学生分组讨论，观察和测量作出的三角形，总结出三角形的性质；3. 各组派代表分享讨论成果，教师总结并板书。

三、学习三角形的分类（15分钟）1. 教师通过PPT介绍三角形按边分类和按角分类的方法；2. 学生根据教师提供的分类标准，对已作出的三角形进行分类；3. 教师提问，学生回答，教师点评并总结。

四、三角形判定方法的探究（15分钟）1. 教师引导学生运用已学的三角形性质，探讨三角形的判定方法；2. 学生分组讨论，总结出判定三角形的方法；3. 各组派代表分享讨论成果，教师总结并板书。

五、巩固练习（10分钟）1. 教师布置一些有关三角形性质和分类的练习题，让学生独立完成；2. 教师挑选一些学生的作业进行点评，指出错误并提出改进意见。

六、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形的性质、分类和判定方法；2. 学生分享自己的学习收获，教师给予鼓励和评价。

教学反思：本节课通过引导学生观察生活中的三角形，激发学生的学习兴趣。

在探究三角形性质的过程中，学生动手操作，合作讨论，培养了观察能力、操作能力和推理能力。

初中数学三角形教案（7篇）一、教材分析本节教材是学生对小学阶段三角形有初步了解的根底上进一步熟悉三角形的特点和性质。

三角形是最简洁、最根本，很常见的一种几何图形，在工农业生产和日常生活中有广泛的应用价值。

对学生更好地熟悉现实世界，拓展空间观念都有特别重要的作用，同时对今后学习三角形全等、相像和解直角三解形，解决相关的实际问题，都有不行低估的作用。

二、教学目标1、结合实物和图形理解三角形定义2、找到全部三角形的共同特点。

3、会用三角形顶点的三个大写字母和形象符号（“△”）来记一个三角形。

4、初步了解任意三角形三边之间的大小关系。

5、能应用所学学问解决日常生活中与三角形有关的实际问题。

6、初步感受三角形简洁、广泛地适用性。

7、培育学生动手、动脑、合作、沟通、探究意识。

三、教学重难点重点：三角形共同特点的理解及三角形三边关系性质的理解。

难点：应用三边关系性质解决简章的实际问题。

四、教具及材料预备三角板、实物的三角形、包装带、剪刀、头钉、白纸、透亮胶等（师生同备）五、学生状况及教学构思七年级学生年龄较小，思维正处在由详细形象思维向抽象规律思维转化的阶段，针对这一特点，在教学中设计了以下教学环节：从实际动身说三角形、找三角形、记三角形、画三角形、算三角形、感悟三角形、剪三角形、做三角形、小结三角形的教学环节。

六、教学实施1、师：在小学我们进一步了解了三角形，今日我们在一起进一步熟悉三角形的定义、记法及其相关性质，随之在黑板上板书课题（1熟悉三角形）哪位同学能列举日常生活中与三角形有关的实例（同学们争先举手答问）。

生：像铁塔，空调器支架、铁桥、教室里饮水机支架、屋顶支架等都是由很多三角形构成的。

师：在黑板上画出同学熟识的屋顶框架图。

2、师：既然小到生活小事，大到交通、建筑等随处可见三角形的图形，那么三角形有哪些共同特点呢？甲生：每一个三角形都有三个内角，三个顶点。

乙生：每一个三角形都由三条线段组成。

丙生：任意三角形的三内角之和都等于180°。

两角和它们的夹边分别相等 的两个三角形全等。
两角和其中一个角的对边分 别相等的两个三角形全等。
在直角三角形中，斜边和一 条直角边分别相等的两个三 角形全等。
典型例题解析
1. 题目
解析
2. 题目
解析
已知△ABC和△DEF中，AB = DE，BC = EF，∠B = ∠E，求 证：△ABC ≌ △DEF。
结合生活实际，设计具有实际 背景的题目，提高学生兴趣。
鼓励学生自行编题并相互交换 解答，培养其创新能力和合作 意识。
学生自主完成练习
学生独立完成课堂练习，巩固所学知 识。
教师巡视课堂，及时给予指导和帮助。
对于较难的题目，鼓励学生相互讨论、 合作解决。
教师点评与总结
教师对学生的练习进行批改和点评，指出错误和不足。 针对普遍存在的问题进行集中讲解和纠正。
典型例题解析
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
例题1
已知△ABC和△DEF中， AB=DE，BC=EF， ∠B=∠E，求证： △ABC≌△DEF。
解析
根据已知条件和三角形 的SAS全等判定定理， 可以证明△ABC和△DEF 全等。具体步骤为：在 △ABC和△DEF中，已知
AB=DE，BC=EF， ∠B=∠E，根据SAS全等
准确，避免出现逻辑漏洞。
分析法证明全等三角形
分析法的基本思路
从所要证明的结论出发，逆向分析，寻找使结论成立的条件。
分析法在全等三角形证明中的应用
根据所要证明的两Βιβλιοθήκη 三角形全等的结论，逆向分析需要满足的条件，并与已知条件进行比较。
注意事项
在使用分析法证明全等三角形时，需要确保逆向分析的过程逻辑清晰、严密，避免出现错误 的推导。

第十一章三角形——三角形的有关概念、分类及三边关系一、新课导入1.导入课题：三角形是我们早已熟悉的图形，你能列举出日常生活中形如三角形的物体吗？对于三角形，你了解了哪些方面的知识？你能画一个三角形吗？2.学习目标：〔1〕记住三角形的有关概念.〔2〕会用符号表示三角形，会对三角形进行分类.〔3〕能说出三角形的三边关系，并能运用三角形三边关系解决相关问题.3.学习重、难点：重点：三角形及其有关的概念；三角形的分类.难点：三角形三边关系及应用.二、分层学习1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第2页到“思考〞前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学要求：认真阅读课本的内容，划出你认为是重点的语句.〔4〕自学参考提纲：①什么样的图形叫三角形？由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.②对照右边的图形，指出三角形的边、角、顶点.线段AB、BC、CA是三角形的边，点A、B、C是三角形的顶点，∠A,∠B,∠C是三角形的角.③三角形的边有几种表示方法？对照右边的图形写出来.除了②中的表示方法，还可以用a，b，c表示.④用符号语言表述右图的三角形记作：△ABC，读作：三角形ABC.⑤什么是等腰三角形、等边三角形？等腰三角形与等边三角形之间有什么关系？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.⑥等边三角形是特殊的等腰三角形，用图示的方法表示它们之间的包容关系.2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：三角形的知识在小学已经学习过，本节知识是对三角形知识的系统学习，而本层次主要是学习三角形的相关概念及两种特殊三角形的概念，学生能很快接受.②差异指导：a.引导学生理解三角形的概念中“首尾顺次相接〞的意思;b.让学生认识到三角形的表示方法不是单一的.〔2〕生助生：学生围绕各自的学习疑点进行互助交流.4.强化：〔1〕三角形的有关概念及等腰三角形的意义.〔2〕练习：如图，共有6个三角形，其中以AC为边的三角形是△ABC,△AEC,△ADC；以∠B为内角的三角形有ABC,△DBC,△EBC.1.自学指导：〔1〕自学内容：教材第2页“思考〞到第3页“探究〞之前的内容.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：思考三角形的分类方法.〔4〕自学参考提纲：①想一想：研究三角形，我们应该从哪些方面着手？可以从角和边这两个方面着手.②试一试：按角分，可以将三角形分为哪几类？按边分，可以将三角形分为哪几类？按角分，可以分为三类：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；按边分可以分为两类：三边都相等的三角形，等腰三角形，而等腰三角形又包括底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形.③议一议：你能用图示的方法表示三角形按边分的情况吗？2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：按角分类学生比较容易理解，按边分类局部学生理解等边三角形为什么放在等腰三角形中时可能会存在一定困难.②差异指导：教师对个别学困生进行点拨指导.〔2〕生助生：学生之间相互讨论交流三角形的分类标准是什么.4.强化：三角形的分类标准，按边的分类.1.自学指导：〔1〕自学内容：探究三角形三边之间的关系.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：任意画出一个三角形ABC，思考：从B点到C 点有哪几条路径？并比较各路径的长度.〔4〕探究提纲：①如图，假设一只小虫从点B出发，沿三角形的边爬到点C，有两条路线，路线B→C最近.根据是：两点之间线段最短.于是得出结论三角形两边的和大于第三边.②在三角形ABC中，可以得出：AB+BC>AC，AC+BC>AB，AB+AC>BC.③由②还可以得出：AC－AB＜BC；AB－AC＜BC；BC－AB＜AC.由此又可得出三角形的三边关系的另一个结论是：三角形两边的差小于第三边.④以下长度的三条线段能否构成三角形，为什么？a.3、4、8b.5、6、11c.5、6、10a.不能，因为3+4<8；b.不能，因为5+6=11；c.能，因为5+6>10.⑤动手完成例题，看看你的方法和书上的方法一样吗？谁的更好？⑥思考例题〔2〕中为什么要分情况讨论？2.自学：同学们可结合自学指导进行自学.3.助学：〔1〕师助生：①明了学情：这节课中探讨三边之间的不等关系.三边关系中“两边之和大于第三边〞，学生通过观察能直接得出结论；“两边之差小于第三边〞的结论局部学生很难推导.其次，例题的解法比较多，但是学生还不习惯用方程的知识解决几何问题，因此，教师要了解学生的认知困难在哪里.②差异指导：a.引导学生先用观察或测量的方法，归纳三边之间的不等关系，形成系统的知识体系，教师讲解推导过程.b.引导学生自己动手完成例题，然后说说书上这样做的好处，让学生形成用代数方程解决几何问题的意识.〔2〕生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：〔1〕三角形三边不等关系.〔2〕归纳例题的解题要领.〔3〕练习：①一个等腰三角形的周长为24cm，只知其中一边的长为7cm，那么这个等腰三角形的腰长为7 或8.5cm.②以下长度的线段不能组成三角形的是〔A〕A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8三、评价1.学生自我评价〔围绕三维目标〕：学生总结交流自己的学习收获及存在的困惑.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生在学习过程的态度、方法、成果和缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师自我评价〔教学反思〕:教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、猜想、实验、数据处理、归纳、类比等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.一、根底稳固〔每题10分，共50分〕1.以下说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 其中正确的有〔B〕2.如图，以下不等关系成立的是(C)A.PA+PD>AMB.PN+PD>ADC.PN+PM>MND.PA+PM>MN3.以下长度的线段能组成三角形的是〔D〕A.3cm，12cm，8cmB.6cm，8cm，15cmC.2cm，3cm，5cmD.6.3cm，6.3cm，12cm4.如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是〔D〕2cm<x<8cm.二、综合应用〔第6题20分，第7题10分，共30分〕6.等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长.解：如果该等腰三角形的腰长为4，三角形的三边长分别为4，4，9.因为4+4<9,此时不能构成三角形.如果该等腰三角形的腰长为9，三角形的三边长分别为4，9，9，所以这个等腰三角形的周长为4+9+9=22.△ABC中，AB=AC，AD=BD=BC,那么图中有3个等腰三角形.三、拓展延伸〔每题10分，共20分〕8.等腰三角形的周长为20厘米.(1)假设腰长是底长的2倍，求各边的长；(2)假设一边长为6厘米，求其它两边的长.解：〔1〕设底边长为x厘米，那么腰长为2x厘米.x+2x+2x=20解得x=4.所以三边长分别为4cm,8cm,8cm.〔2〕如果6厘米长的边为底边，设腰长为x厘米，那么6+2x=20，解得x=7；如果6厘米长的边为腰，设底边长为x厘米，那么2×6+x=20，解得x=8.由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米.9.观察以下列图形，完成后面的问题.〔1〕第十个图形中共有55个阴影三角形.〔2〕用正整数n表示第n个图形中阴影三角形的个数.(n2+n)解：12第4课时教学内容两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕，关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕及其运用．教学目标理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P〔x，y〕关于原点的对称点为P′〔-x，-y〕的运用．复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．重难点、关键1．重点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P〔x，y〕•关于原点的对称点P′〔-x，-y〕及其运用．2．难点与关键：运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．教具、学具准备小黑板、三角尺教学过程一、复习引入〔学生活动〕请同学们完成下面三题．1．点A 和直线L ，如图，请画出点A 关于L 对称的点A ′．2．如图，△ABC 是正三角形，以点A 为中心，把△ADC 顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO ，绕点O 旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．〔略〕二、探索新知〔学生活动〕如图，在直角坐标系中，A 〔-3，1〕、B 〔-4，0〕、C 〔0，3〕、•D 〔2，2〕、E 〔3，-3〕、F 〔-2，-2〕，作出A 、B 、C 、D 、E 、F点关于原点O 的中心对称点，并写出它们的坐标，并答复：这些坐标与点的坐标有什么关系？老师点评：画法：〔1〕连结AO 并延长AO〔2〕在射线AO 上截取OA ′=OA〔3〕过A 作AD ′⊥x 轴于D ′点，过A ′作A ′D ″⊥x 轴于点D ″．∵△AD ′O 与△A ′D ″O 全等∴AD ′=A ′D ″，OA=OA ′∴A ′〔3，-1〕同理可得B 、C 、D 、E 、F 这些点关于原点的中心对称点的坐标．〔学生活动〕分组讨论〔每四人一组〕：讨论的内容：关于原点作中心对称时，•①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：〔1〕从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．〔2〕坐标符号相反，即设P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB 关于原点的对称线段，只要作出点A 、点B 关于原点的对称点A ′、B ′即可．解：点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点为P ′〔-x ，-y 〕，因此，线段AB 的两个端点A 〔0，-1〕，B 〔3，0〕关于原点的对称点分别为A ′〔1，0〕，B 〔-3，0〕．连结A ′B ′．那么就可得到与线段AB 关于原点对称的线段A ′B ′．〔学生活动〕例2．△ABC ，A 〔1，2〕，B 〔-1，3〕，C 〔-2，4〕利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC 关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A 、B 、C 三点并连结组成△ABC ，要作出△ABC 关于原点O 的对称三角形，只需作出△ABC 中的A 、B 、C 三点关于原点的对称点，•依次连结，便可得到所求作的△A ′B ′C ′．三、稳固练习教材 练习．四、应用拓展例3．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．〔1〕在图中画出直线A 1B 1．〔2〕求出线段A 1B 1中点的反比例函数解析式．〔3〕是否存在另一条与直线AB 平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 值相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的函数解析式，假设不存在，请说明理由． 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， 即点P 〔x ，y 〕关于原点O 的对称点P ′〔-x ，-y 〕．分析：〔1〕只需画出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1、B 1，连结A 1B 1． 〔2〕先求出A 1B 1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=k x代入求k ． 〔3〕要答复是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A 1B 1与双曲线是相切的，只要我们通过A 1B 1的线段作A 1、B 1关于原点的对称点A 2、B 2，连结A 2B 2的直线就是我们所求的直线．解：〔1〕分别作出A 、B 两点绕点O 顺时针旋转90°得到的点A 1〔1，0〕，B 1〔2，0〕，连结A 1B 1，那么直线A 1B 1就是所求的．〔2〕∵A 1B 1的中点坐标是〔1，12〕 设所求的反比例函数为y=k x 那么12=1k ，k=12∴所求的反比例函数解析式为y=12x〔3〕存在．∵设A 1B 1：y=k′x+b′过点A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕∴1`02b k b =⎧⎨=+⎩ ∴`11`2b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴y=-12x+1 把线段A 1B 1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．根据点P 〔x ，y 〕关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕得：A 1〔0，1〕，B 1〔2，0〕关于原点的对称点分别为A 2〔0，-1〕，B 2〔-2，0〕 ∵A 2B 2：y=kx+b∴102`b k b -=⎧⎨=-+⎩ ∴121k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴A 2B 2：y=-12x-1 下面证明y=-12x-1与双曲线y=12x相切 11212y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ -12x-1=12x ⇒x+2=-1x ⇒ x 2+2x+1=0，b 2-4ac=4-4×1×1=0∴直线y=-12x-1与y=12x相切 ∵A 1B 1与A 2B 2的斜率k 相等∴A 2B 2与A 1B 1平行∴A 2B 2：y=-12x-1为所求． 五、归纳小结〔学生总结，老师点评〕本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P 〔x ，y 〕，•关于原点的对称点P ′〔-x ，-y 〕，及其利用这些特点解决一些实际问题．六、布置作业1．教材 复习稳固3、4．2．选用作业设计．作业设计一、选择题1．以下函数中，图象一定关于原点对称的图象是〔〕A ．y=1xB ．y=2x+1C ．y=-2x+1D ．以上三种都不可能 2．如图，矩形ABCD 周长为56cm ，O 是对称线交点，点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm ，那么矩形边长中较长的一边等于〔〕A ．8cmB ．22cmC ．24cmD ．11cm二、填空题1．如果点P 〔-3，1〕，那么点P 〔-3，1〕关于原点的对称点P ′的坐标是P ′_______．2．写出函数y=-3x 与y=3x具有的一个共同性质________〔用对称的观点写〕． 三、综合提高题1．如图，在平面直角坐标系中，A 〔-3，1〕，B 〔-2，3〕，C 〔0，2〕，画出△ABC•关于x 轴对称的△A ′B ′C ′，再画出△A ′B ′C ′关于y 轴对称的△A ″B ″C ″，那么△A ″B ″C ″与△ABC 有什么关系，请说明理由．2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，且A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A 1B 1．〔1〕在图中画出直线A 1B 1；〔2〕求出过线段A 1B 1中点的反比例函数解析式；〔3〕是否存在另一条与直线A 1B 1平行的直线y=kx+b 〔我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等〕它与双曲线只有一个交点，假设存在，求此直线的解析式；假设不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B二、1．〔3，-1〕 2．答案不唯一 参考答案：关于原点的中心对称图形．三、1．画图略，△A ″B ″C ″与△ABC 的关系是关于原点对称．2．〔1〕如右图所示，连结A 1B 1；〔2〕A 1B 1中点P 〔1.5，-1.5〕，设反比例函数解析式为y=k x ，那么y=-2.25x ． 〔3〕A 1B 1：设y =k 1x+b 1113033b k =-⎧⎨=-⎩1113k b =⎧⎨=-⎩ ∴y=x+3∵与A 1B 1直线平行且与y=2.25x 相切的直线是A 1B 1•旋转而得到的． ∴所求的直线是y=x+3， 下面证明y=x+3与y=-2.25x 相切，x2+3x+2.25=0，b2-4ac=9-4×1×2.25=0，∴y=x+3与y=-2.25x相切．。

-鼓励学生从不同角度思考问题，勇于提出自己的观点，培养学生的创新意识。
二、学情分析
初二是学生数学学习的关键时期，他们在之前的课程中已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的几何图形识别和分析能力。在此基础上，学习全等三角形的判定，有助于巩固和提升学生的几何知识体系。然而，学生在学习过程中可能会遇到以下问题：对全等三角形的定义理解不够深入，容易混淆判定条件；在解决实际问题时，难以将问题转化为全等三角形的判定问题。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
3.空间想象能力和创新意识的培养：通过丰富的教学活动，激发学生的空间想象能力，鼓励他们从不同角度思考问题，培养创新意识。
（二）教学难点
1.全等三角形判定条件的理解与应用：学生对全等三角形的判定条件容易混淆，需要通过典型例题和练习题，帮助他们理解和掌握。
2.实际问题的转化：将实际问题转化为全等三角形的判定问题，对学生来说具有一定的挑战性，需要教师引导学生运用所学知识进行分析和解决。
-设计具有挑战性的问题，让学生在小组内充分讨论，共同寻找解决问题的方法。
2.引导学生运用几何画板、实物模型等教学工具，提高学生的实践操作能力。
-利用几何画板展示全等三角形的动态变化，让学生直观地感受全等三角形的性质。
-提供实物模型，让学生通过折叠、拼接等操作，亲身体验全等三角形的判定过程。
3.培养学生运用数学思维解决问题的能力。
在导入新课环节，我将通过以下方式激发生的兴趣和好奇心：
1.利用多媒体展示生活中全等三角形的实例，如建筑物的平面图、拼图游戏等，让学生直观地感受全等三角形的应用。
2.提问：“同学们，你们在生活中见过全等三角形吗？它们有什么特点？”引导学生回顾已知的三角形知识，为新课的学习做好铺垫。

初中数学教案：三角形的构造与计算一、三角形的构造1. 三角形构造的基本原理三角形的构造是指通过给定的条件来准确地绘制出一个三角形。

在三角形的构造中，我们需要掌握以下基本原理：（1）三角形的边长关系：任意两边之和大于第三边；（2）三角形的角度关系：三个内角之和为180度；（3）根据给定条件，利用尺规作图方法进行三角形的构造。

2. 根据边长构造三角形（1）根据给定的三边长度，我们可以使用尺规作图的方法来构造一个三角形。

首先，使用尺子将直线段绘制出来，然后取一个点作为一个顶点，以给定的边长为半径，在直线的上下方各画一条弧，两个弧的交点即为另外两个顶点，连接这三个顶点即可得到一个三角形。

（2）在构造三角形时，需要注意给定的三边长度是否满足三角形的边长关系，即任意两边之和大于第三边。

3. 根据角度构造三角形（1）根据给定的角度和一个边长，我们可以使用尺规作图的方法来构造一个三角形。

首先，将给定的边长绘制出来，然后以该边为边，以给定的角度为顶角，用尺子在该边上作一条弧，过弧上的点和两个端点分别画两条线段，这两条线段的交点即为另外两个顶点，连接这三个顶点即可得到一个三角形。

（2）在构造三角形时，需要注意给定的角度是否满足三角形的角度关系，即三个内角之和为180度。

二、三角形的计算1. 三角形的周长计算（1）三角形的周长是三条边的长度之和。

对于已知边长的三角形，计算周长就是将三条边的长度相加即可。

例如，对于一个三边分别为a、b、c的三角形，周长C=a+b+c。

（2）如果只知道三角形的两边和一个角度，可以利用三角形的边长关系和三角函数来计算第三边的长度，进而求得三角形的周长。

2. 三角形的面积计算（1）三角形的面积可以通过两个边长和它们之间的夹角来计算。

公式为：面积S=1/2×a×b×sinC，其中a、b分别是两个已知边的长度，C是它们之间的夹角。

（2）如果只知道三角形的三个边长，可以利用海伦公式来计算面积。

数学初中教案：三角形的性质和判定一、三角形的性质1. 三角形的定义和分类三角形是由三条线段组成的图形，其中每两条线段之间都相交于一个端点。

根据三个内角的大小关系，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2. 三角形内外角关系任意一个三角形，其内角之和始终等于180度。

这意味着如果一个内角为90度，则其他两个内角之和必然为90度。

根据这个性质可以判定一个三角形是否为直角三角形。

3. 等边三角形等边三角形是指具有3条相等边长的三角形。

在等边三情况下，它的3个内心均为重心坐标，3个内夹紧都是60度。

由于它的特殊性质，我们可以通过观察边长是否相等来判定一个图案是否为等边。

4. 等腰三划分等腰可被划分为以下方面：I) 内部到底：高所在两侧两底得出获同样长度；II）60º平分线：从基底中间画一斜向上的射线；III）高：从顶点到底线垂直的线；根据这些性质，我们可以用它功能了来判定一个图形是否具备等腰三角形的特征。

二、三角形的判定1. 任意两边之和大于第三边设三角形的三边分别为a、b、c，那么满足条件a+b>c、a+c>b 和 b+c>a则可以断定该图案是一个三角形。

如果不满足这个条件，则无法构成一个三角形。

2. 直角三角形判定根据勾股定理，直角三角形的两条直角边平方和等于斜边平方。

因此如果已知3条边长，可以通过计算来判断是否构成直角三角形。

此外，如果某个内角为90度，则也可以确定该图案是一个直角三解题思?3. 等腰/等边/等腰等比例问题：I) 内底：底所在端实际长度相同II) 顶线：从顶点画一向下推进的射线。

III）60º平分：从顶点与基地中间心产生一个斜着相反的量线。

鉴于上述性质表现出如下结果：-当2天长度大小相同，并且顶部夹紧为60度时，我们可以确定一个等腰分组。

-当3端实践长度均相同时，可以确定图形为等边区域。

-当内底为同样大小及上界具有60度角度时，我们可以判定图案为一个等腰/锐角三高。