菱形形的性质和判定

初中数学《菱形的性质与判定》微课精讲+知识点+教案课件+习题知识点：1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半视频教学：练习：1.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，则添加下列条件之一，不能使它成为菱形的是（）A.AB=ADB.AC=BDC.BD平分∠ABCD.AC⊥BD2.如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是。

3.如图，下列对菱形ABCD表述正确的有。

①AC=BD；②∠OAB=∠OBA；③AC⊥BD；④有4条对称轴；⑤AD=BD；⑥∠OAB=∠OAD。

4.如图，四边形ABCD是菱形，AC BD相交于点O,AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长为。

5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=120°，则菱形ABCD的面积是。

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=128°，则∠AOE的度数为（）A.62°B.52°C.68°D.64°课件：教案：【教学目标】1.通过“热身训练”问题的解决，梳理菱形的知识点，建立知识体系。

2.通过“变式训练”建立知识间的联系，进一步提高解题的技能。

菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。

菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。

菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。

菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。

由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。

如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。

菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。

在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。

本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。

一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。

这是菱形的最基本特征。

2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。

换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。

3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。

4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。

二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。

2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。

如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。

3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。

例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。

以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。

在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。

值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。

必须满足菱形的所有性质才能确定。

三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。

2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识一菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.. 二菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分;每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称三菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； 四菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算S=21底×高 2、用对角线计算面积的两对角线的积的一半 S=21ab二、例题讲解BCDE（A ） 一组对边相等;另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有 A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O;M 、N 分别是边AB 、AD 的中点;连接OM 、ON 、MN;则下列叙述正确的是A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图;在三角形ABC 中;AB ＞AC ;D 、E 分别是AB 、AC 上的点;△ADE 沿线段DE 翻折;使点A 落在边BC 上;记为A '．若四边形ADA E '是菱形;则下列说法正确的是A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABDEA '练习4：如图;下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③DBA NM O例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．练习1：如图;AD 是Rt △ABC 斜边上的高;BE 平分∠B 交AD 于G;交AC 于E;过E 作EF ⊥BC 于F;试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图;E 是菱形ABCD 边AD 的中点;EF ⊥AC 于点H;交CB 延长线于点F;交AB 于点G;求证：AB 与EF 互相平分.. ABCDA H GEDA B练习3：如图;在Rt △ABC 中;∠ACB ＝90°;∠BAC ＝60°;DE 垂直平分BC;垂足为D;交AB 于点E;又点F 在DE 的延长线上;且AF ＝CE;求证：四边形ACEF 是菱形..考点二：菱形的性质例1：如图;四边形ABCD 中;∠ADC ＝90°;AC ＝CB;E 、F 分别是AC 、AB 的中点;且∠DEA ＝∠ACB ＝45°;BG ⊥AE 于G;求证：1四边形AFGD 是菱形； 2若AC ＝BC ＝10;求菱形的面积..练习1：如图;在菱形ABCD 中;E 是AB 中点;且DE ⊥AB;AB ＝4; 求：1∠ABC 的度数； 2菱形ABCD 的面积.. FE DCBAED CBAGFED CBA例2 ：如图 5;ABCD 是菱形;对角线AC 与BD 相交于O ;306ACD BD ∠==°，． 1求证：△ABD 是正三角形； 2求 AC 的长结果可保留根号．练习1：若菱形的边长为1cm;其中一内角为60°;则它的面积为 A．2cm 2B2 C ．22cm D．2 练习2：若菱形的周长为16cm;两相邻角的度数之比是1：2;则菱形的面积是（A ） 4错误!cm B8错误!cm C16错误!cm D20错误!cm练习3：已知菱形的周长为96㎝;两个邻角的比是1︰2;这个菱形的较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝例3： 如图;将一个长为10cm;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmA BCDO DB A练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm;则菱形的周长是 A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm练习2：若菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC 于E;AE ＝1cm;则BC 的长是 A1cm B2cm C3cm D4cm练习3:若菱形周长为52cm;一条对角线长为10cm;则其面积为A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm 2例4:如图;菱形ABCD;E;F 分别是BC;CD 上的点;∠B ＝∠EAF ＝60°;∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数..练习1:如图;菱形ABCD 中;∠B ＝60°;AB ＝2;E 、F 分别是B C ．CD 的中点;连接AE 、EF 、AF ;则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3AD F CEBF D CB A EBCADO练习2：如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=°;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是_____________．练习3：如图所示;已知菱形ABCD 中;E 、F 分别在BC 和CD 上;且∠B=∠EAF=60°;∠BAE=15°; 求∠CEF 的度数..例5：如图;菱形ABCD 是边长为13cm;其中对角线AC=10cm; 求1菱形ABCD 的面积；2作BC 边上的高AH;求出AH 的长度BCADO练习1：如图;在菱形ABCD 中;∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2;周长是48cm ． 求：1两条对角线的长度； 2菱形的面积．例6： 已知：如图;在菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且CE=CF..过点C 作CG ∥EA 交AF 于H;交AD 于G;若∠BAE=25°;∠BCD=130°;求∠AHC 的度数..练习1： 如图所示;已知菱形ABCD 中E 在BC 上;且AB=AE;∠BAE=21∠EAD;AE 交BD 于M;试说明BE=AM..HGF EDC B A练习2：如图;菱形ABCD 的边长为2;BD ＝2;E 、F 分别是边AD ;CD 上的两个动点;且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状;并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ;求S 的取值范围．考点三：综合例1：如图;菱形111AB C D 的边长为1;160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ;以2AD 为一边;做第二个菱形222AB C D ;使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ;以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ;使360B ∠=；依此类推;这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．例2：菱形ABCD 的对角线交于O;AO=1;且∠ABC ∶∠BAD=1∶2;∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8;其中正确的有 A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③ 1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1 ABCDO例3：如图所示;在Rt ABC △中;90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上;再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． 1求证：四边形AFCD 是菱形；2连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形 为什么课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍;则它的一个较小内角的度数是 ..2、如图1;在菱形ABCD 中;AB = 5;∠BCD = 120°;则对 角线AC 等于 A ．20 B ．15 C ．10D ．53、菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC ;垂足为E ;AB ＝4cm ．那么;菱形ABCD 的面积是 ;对角线BD 的长是 ．ADFCEGBBACD114、如图;在菱形ABCD 中;∠A =110°;E ;F 分别是边AB 和BC 的中点;EP ⊥CD 于点P ;则∠FPC = A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°5、已知：如图;四边形ABCD 是菱形;过AB 的中点E 作AC 的垂线EF;交AD 于点M;交CD 的延长线于点F. 1求证：AM=DM ；2若DF =2;求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F MBADEP CB F。

第一章特殊平行四边形第一节菱形的性质与判定一、什么是菱形菱形是一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 强调两部分：一是菱形是平行四边形二是菱形一组邻边相等二、菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质三、一般平行四边形的性质有：对边相等且互相平行，对角相等，对角线互相平分四、菱形的性质：菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，两条对称轴互相垂直。

也就是他的两条对角线互相垂直。

五、菱形的两条定理：菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直。

六、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形课后练习：1、四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长。

解答：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ， ∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=3452222=-=-AO AB∴BD=2BO=2×3=6.2、在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B ，试求出∠B 的度数，并说明△ABC 是等边三角形。

解答：在菱形ABCD 中，∠B+∠BAD=180∘.又∵∠BAD=2∠B ，∴∠B=60∘.∴△ABC 是等边三角形。

3、如图，在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，求菱形的周长。

解答：在菱形ABCD 中，BD=6，AC=8，∴OA=21AC=4,OB=21BD=3，AC ⊥BD ，∴AB=5342222=+=+OB OA∴菱形的周长为：4×5=20.4、已知，如图在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.解答：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD=AB=DC=BC ，∠ADC=∠ABC ，在△ADC 和△ABC 中，∵AD=DC∠ADC=∠ABCAB=BC ，∴△ADC≌△ABC，∴AC平分∠BAD和∠BCD，同理：△DAB≌△DCB，所以BD平分∠ABC和∠ADC.5、如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,图中有多少个等腰三角形和直角三角形？解答：∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD=BC=DC∴△ABD、△ABC、△ADC、△BCD均是等腰三角形，∵AC⊥BD∴△DOA、△AOB、△COB、△COD均是直角三角形故图中的等腰三角形有：△ABD、△ABC、△ADC、△BCD，共4个；直角三角形有：△DOA、△AOB、△COB、△COD，共4个。

教学设计九：《菱形的性质与判定》
一、教学目标
1.理解菱形的概念。

2.掌握菱形的性质和判定方法。

3.能运用菱形知识解决问题。

二、教学重难点
1.重点：菱形的性质和判定。

2.难点：菱形性质和判定的应用。

三、教学方法
讲授法、演示法、讨论法。

四、教学过程
1.导入
展示菱形图案引出菱形概念。

2.讲解菱形的概念
（1）定义：一组邻边相等的平行四边形。

（2）与平行四边形的关系。

3.菱形的性质
（1）边、角、对角线的性质。

（2）通过图形和推理讲解。

4.菱形的判定方法
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四条边相等的四边形是菱形。

5.例题讲解
运用菱形性质和判定的例题分析。

6.课堂练习
学生进行菱形知识的练习。

7.小组讨论
讨论菱形在实际生活中的应用。

8.总结归纳
总结菱形的概念、性质和判定方法。

9.作业布置
布置课后作业，巩固菱形知识。

1菱形的性质和判定菱形的基本性质及判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形性质：菱形具有平行四边形的一切性质，还具有自己独特的性质 ①菱形的四边都相等②菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形 判定：①一组邻边相等的四边形是菱形②对角线互相垂直平分的四边形是菱形 ③四条边相等的四边形是菱形 面积公式：S =底⨯高=12对角线乘积 知识解读：利用菱形的性质可证明线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可以与勾股定理联系起来，可得对角线与边长之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和． 4、菱形的基本图形：若 ︒=∠=∠60EDF A ，则EDF ∆ 是等边三角形W是AC 上任意一点，则ADW ABW ∆∆≌2思考菱形与平行四边形区别：在菱形ABCD 中，BC AE ⊥、CD AF ⊥,则EAF B ∠=∠在菱形ABCD 中，DE AB ⊥,则S 菱形=12AB DE AC BD ⨯=⨯〖经典例题〗类型一：菱形的判定例题1.（用三种种方法证明）如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．3变式1..如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，DE∥BF，连接BE，DF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若BE＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF．（1）求证△ADE≌△CBF；（2）连接AF，CE，若AB＝AD，求证：四边形AFCE是菱形．43.如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．4．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分别在边BC，AD上的点E与点F关于AC对称，连接EF，AE，CF，DE．（1）求证：四边形AECF为菱形；5类型二菱形性质例题1.如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM＝CN．变式练习：如图，已知菱形ABCD，点E和点F分别在BC、CD上，且BE＝DF，连接AE，AF．求证：∠BAE＝∠DAF．6例题2如图，在△ABC中，DE分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝6，∠BEF＝120°，求菱形BCFE的面积．例题3如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：BD＝EC；（2）若∠E＝57°，求∠BAO的大小．7变式1如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC 为°．2．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，AC＝16，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为．8例题4．如图，A（0，4），B（8，0），点C是x轴正半轴上一点，D是平面内任意一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为．变式1如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y 轴上，则点D的坐标是．变式2如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0）、（3，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．9例题6．菱形有一个内角为120°，较长的对角线长为6，则它的面积为．变式1．若一个菱形的周长为200cm，一条对角线长为60cm，则它的面积为．2．若某个菱形的两条对角线的长度分别为3和4，则该菱形的周长为．课后练习1．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝cm．2．菱形ABCD中，对角线AC长为10cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的面积为cm2．3．在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线交于原点O，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（﹣1，），则点D的坐标为．4.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．105.如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．6.如图，在菱形ABCD中，E、F是AC上两点，AE＝CF．求证：四边形BFDE是菱形．11。

第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。

答案：cm cm 6,4。

【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。

【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。

2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。

3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。

4、四条边都相等。

5、对角相等，邻角互补。

6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。

7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。

菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。

数学菱形判定知识点总结一、菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它具有以下特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。

2. 对角线相等：菱形的对角线长度相等。

3. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。

4. 相邻角互补：菱形的相邻角互补，即相邻的两个角的和为180°。

二、菱形的判定方法1. 利用对角线判定菱形：如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是菱形；即AC=BD，则ABCD为菱形。

2. 利用边长判定菱形：如果一个四边形的四边相等，则这个四边形是菱形；即AB=BC=CD=DA，则ABCD为菱形。

3. 利用角度判定菱形：如果一个四边形的相邻角互补且对角线相等，则这个四边形是菱形；即∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°，并且AC=BD，则ABCD为菱形。

三、菱形的性质1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直；即AC⊥BD。

2. 对角线平分：菱形的对角线互相平分；即AC=BD。

3. 角性质：菱形的内角为90°；即∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

4. 边长性质：菱形的四边相等；即AB=BC=CD=DA。

四、菱形的应用1. 解题方法：在解题过程中，如果遇到了菱形的相关问题，可以根据菱形的判定方法和性质来解答。

通过判定四边形是否满足菱形的条件，再根据菱形的性质进行推理和计算，从而得出答案。

2. 几何证明：在几何证明中，菱形的性质和判定方法经常被应用。

可以利用菱形的对角线垂直、对角线平分等性质，来推导出与菱形相关的定理和结论。

3. 建模应用：菱形作为一种特殊的几何图形，在建模过程中也有着特殊的应用。

例如在建筑、设计等领域中，可以利用菱形的性质和特点来构建特定的结构和图案。

五、拓展延伸菱形是一种特殊的四边形，它的性质和应用涉及到了数学的多个知识点。

在学习菱形的基础上，可以进一步拓展延伸相关的数学知识，例如平行四边形、矩形、正方形等特殊的四边形，从而更好地理解和运用几何知识。

第1讲 菱形的性质与判定1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

知识点 1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

知识点2：菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BD AC BD AC S S AOB Rt ABCD •=••⨯==∆2121212144菱形知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

【题型1菱形的概念和性质】【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（）A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，则∠A的度数为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【变式1-2】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式1-3】如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式2-3】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【题型2：菱形的判定】【典例4】依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC＝BD【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AO＝BO【变式4-3】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）A．度量四个内角是否相等B．测量两条对角线是否相等C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合【典例5】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-1】（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．【变式5-2】（2022•天宁区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．【题型3：菱形的性质与判定综合】【典例6】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-2】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【变式6-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．1．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 2．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D 作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8 3．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．6C．12D．30 4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB ＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5.（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．6．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．7．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE ＝AF．求证：CE＝CF．8．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．9．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）2．（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5 3．（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022秋•南海区期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的周长是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 5．（2021秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．8C．12D．16 6．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192B．48C．96D．40 7．（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC 于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°9.（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直10.（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形11．（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．12.（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．13.（2022秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．。

菱形的断定及知识点归纳
菱形的断定
① 四条边都相等的四边形是菱形。

② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。

③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联络，
可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的断定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形
=1/2×ab(a、b为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。

初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。