1.1 菱形的性质与判定(1)

北师大版九年级上数学科导学案（1）课题：1.1 菱形的性质与判定（1）主备：审核：初三备课组班级姓名学号家长签名学习目标：熟记菱形的定义，性质并能进行简单的运用。

一、知识回顾（课堂完成，小测）1.ABCD中，若∠A=48,BC=3cm，那么∠B=_____，∠C=_______，A D=________.2.如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA＝3，BD=8,则AC= ,OB=3.已知：如图，在□ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形。

二．预习交流（课前完成）阅读第2—4页，回答：1. 定义：有一组邻边______的平行四边形是菱形.数学语言表示:∵在□ABCD中，AB=______∴□ABCD是菱形2.从以下几方面探究菱形的性质：(1)边：_____________________________________________(2)角：_____________________________________________(3)对角线：_______________________________________(4)对称性：是___对称图形，它有___条对称轴；又是___对称图形，它的对称中心是.小结：定理（1）：菱形的四边相等。

（2）菱形的对角线互相垂直。

3. 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相较于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD 证明：CFB三．互助探究（先各自独立完成，再师友互助）例1 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相较于点O ，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB 和对角线AC 的长.四．分层提高基础题：1、已知菱形的周长为24cm ，那么菱形的边长是2、菱形的两条对角线长分别是8cm 和10cm ，则边长是3、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，已知AB=5cm ， AO=4cm ，则AC= ,AD= ,OB= ,BD=4、已知菱形边长为4cm ，一个内角为60，那么菱形的两条对角线分别是提高题：5.已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O. 求证：AC 平分∠BAD 和∠BCD ，BD 平分∠ABC 和∠ADC.6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，图中有多少个等腰三角形和直角三角形。

D O 菱形的性质： A C 边：四条边都相等， B 对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 对角线：互相垂直、平分，且每一条对角线 平分一组对角
探索
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O. （1）图中有哪些线段是相等的？哪些 D 角是相等的？
A
O C
B
探索
（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
D
AOCB源自（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置 关系？
已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对 角线AC与BD相交于点O. 求证：(1)AB=BC=CD=AD；(2)AC⊥BD.
想一想：下图中的平行四边形有什么 共同特征？
1、定义：
一组邻边相等的平形四边形是菱形。
思考：菱形是平行四边形吗？
平行四边形
菱形
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形所有的性质。
议一议
木工师傅在做菱形的窗格时，总是保证 四条边框一样长，你能说出其中的道理吗？ 与同伴交流。
定理:菱形的四条边相等.
练习2.已知菱形的周长8cm，一条对角线 长为2cm，则另一条对角线的长为____cm。
A
D
B
C
例3.P4习题1.1第3题 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AC 平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和 ∠ADC.
结论：菱形的对角线平分对角！
练习3. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是 AB和AD 上的点，且AE=AF，求证CE=CF
D
A
O
C
B
2、菱形的性质
(1)菱形具有平行四边形的所有性质 (2)菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直平分,

习题1.1
知识技能 1、2、3 数学理解 4
九年级数学(上) 第一章 特殊平行四边形
1.菱形的性质与判定（1）
驶向胜利 的彼岸
图片欣赏
与左图相比较，这种平行 四边形特殊在哪里？
探索新知
有一组邻边相等 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
条件：⑴是平行四边形； ⑵ 有一组邻边相等.
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具 有一般平行四边形的所有性质。你能列 举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等， 对角线互相平分。 菱形还具有哪些特殊的性质？请你 与同伴交流。
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形是特殊的平行四边形，它除具有 平行四边形的所有性质外，还有平行四边 形所没有的特殊性质： 定理 定理 菱形的四条边都相等。 菱形的两条对角线互相垂直。
例题：如图1-2，在菱形ABCD 中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的 边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD

为
．
第 4页（共 12页）
21．（2020 秋•兰州期末）若一个菱形的周长为 200cm，一条对角线长为 60cm，则它的面积
为
．
22．（2020 秋•昌图县期末）若某个菱形的两条对角线的长度分别为 3 和 4，则该菱形的周长
为
．
23．（2020 秋•舞钢市期末）如图，AC 是菱形 ABCD 的对角线，P 是 AC 上的一个动点，过 点 P 分别作 AB 和 BC 的垂线，垂足分别是点 F 和 E，若菱形的周长是 12cm，面积是 6cm2，
第 6页（共 12页）
GF 的最3．（2020 秋•青羊区期末）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠BAD
＝60°，AC＝12，求菱形对角线 BD 的长．
34．（2020 秋•南山区期末）如图，在菱形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，且 AE＝DE， 连接 CE． （1）求证：CE＝DE． （2）当 BE＝2，CE＝1 时，求菱形的边长．
42．（2020 秋•揭西县期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC 的垂直平分线交 AB 于点 E，连接 CE，BF∥CE 交 DE 的延长线于点 F． （1）求证：四边形 BCEF 是平行四边形； （2）当∠A 满足什么条件时，四边形 BCEF 是菱形？回答并证明你的结论．
43．（2020 秋•武功县期末）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线 AC 于点 E，F，连接 BE，DF．若 BE＝DE，求证：四边形 EBFD 是菱形．
四边形 ABCD 为菱形的是（ ）
A．AB＝CD
B．AD∥BC
C．BC＝CD
D．AB＝BC

第二环节 第三环节 第四环节 第五环节
猜想 、探究与证明 性质应用与巩固 课堂小结 布置作业:
教学后记
6
1
中卫市常乐中学教案
九年级数学（上册） 第 1 课 课 时：3
学生 2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。 教师： 同学们观察的很仔细， 像这样， “一组邻边相等的平行四边形叫做菱形” 。
第二环节
猜想 、探究与证明
【教学内容】 1、想一想 ①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。 你能列举一些这样的性质吗？ 学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。 ②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。 学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的 组员发言，并汇总结果。 教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四 边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教 师要及时评价，积极引导，激励学生。 2、做一做 教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么 位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。 教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正 确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论， 以便于后面的教学。 师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直 线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。 3、证明菱形性质 教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我 们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。 教师活动：展示题目

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
问题1: 菱形是特殊的平行四边形，它具有一 般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样 的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线 互相平分。
问题2:菱形还具有哪些特殊的性质？请你与 同伴交流。
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
定理2:菱形的两条对角线互相垂直
核心问题三： 菱形性质定理的应用
如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角 线AC的长。
目标检测
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于 点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求 BD的长.
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD, 对角线 AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD
（2）AC⊥BD.
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边 形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊 性质：
定理1:菱形的四条边都相等
问题3:请同学们用菱形纸片折一折，回答下列 问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
核心问题二： 探索并证明菱形的性质
结论： 1. 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形 两条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。 2. 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
课堂小结
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是 菱形。
2.菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是 两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等； ③菱形的对角线互相垂直平分。

一、温故互查：（二人小组互述）1. 平行四边形的定义是什么？ 2．平行四边形的性质有哪些？二、设问导读：阅读教材P 2-4完成下列问题： 1.从“菱形的定义”中可知，菱形是特殊的_________四边形。

2.菱形具有某些特殊性质。

例如菱形是轴对称图形，你是怎么知道的？3.在操作过程中通过观察与思考，从而可获得哪些结论？4.在菱形性质的证明过程中，哪些过程用到了平行四边形的性质？5.“菱形的对角线互相垂直”的证明是通过等腰三角形的什么性质得到结论的？6.如图，四边形ABCD 是菱形，图中哪些三角形是等腰三角形？哪些三角形是直角三角形？三、自学检测：1.在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AC=6,四边形ABCD 的周长为______.2. 在菱形ABCD 中，AC=6cm,BD=8cm,则第一章 特殊平行四边形 1．1 菱形的性质与判定四、巩固训练：1. 如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 _________ cm．2．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为________cm2．3．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4）B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）4.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为 _____ cm2五、拓展探究：1.如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．2.如图所示，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，求∠FPC的度数.。

菱形还具有哪些特殊的性质？请 你与同伴交流。
做一做
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几 条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？
结
论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱 形领条对角线所在的直线。两条对称轴互 相垂直。 • 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相 等。
课堂小结
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴 是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都 相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
菱形是特殊的平行四边形，它除 具有平行四边形的所有性质外，还有平行 四边形所没有的特殊性质：
定理 菱形的四条边都相等。定理ຫໍສະໝຸດ 菱形的两条对角线互相垂直。
例1
如图1-2，在菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
已知：如图1-1，在菱形ABCD中， AB=AD, 对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB=BC=CD=AD； （2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等） 又∵AB=AD ∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD ∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形 ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD

（2）AC⊥BD
A
B
O
D
C
归纳总结
如图：∵四边形ABCD是菱形
∴
,
,
,
对称轴是：
A
（边） （角） （对角线）
B
O
D
C
例题ห้องสมุดไป่ตู้析
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点O, ∠BAD=60°，BD=6， 求菱形的边长AB和对角线AC的长。
B
A
O
C
D
例题解析
B
A
O
C
D
例题解析
B
A
O
C
D
解决菱形的问题时，你会注意结合哪些图形的运用？
；
（2）角：
；
（3）对角线：
；
（4）对称性：
；
3、与平行四边形相比较，菱形特有的性质是：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
小组交流
以小组为单位，完成下列活动：（时间：8分钟）
1、把你课前备好的平行四边形改为菱形
2、利用折叠方法说明菱形的对称性
3、如图，四边形ABCD是菱形，AB=AD,
求证：（1）AB=BC=CD=AD
菱形的性质与判定（一）
图 片 欣 赏
学习目标
1、经历菱形的性质的探究过程，了解菱形的概念 及其与平行四边形的关系；
2、掌握菱形的性质并能灵活运用
3、经历折纸、说理等活动，发展合情推理能力 和逻辑推理能力
自 根据刚才的演示，探究一下问题（时间：5分钟）
主 1、菱形是平行四边形吗？
探
究
2、试写出菱形的性质 （1）边：
跟踪训练

BE D
对角线乘积的一半
C
课本第4页知识技能1、2、3、4
达标测试
必做题： 1-----14 选做： 15、16 思考： 17
Hale Waihona Puke 标测试达标测试第一章 特殊的平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
学习目标
1.掌握菱形的概念与性质，理解菱 形与平行四边形之间的联系.
2.能准确运用菱形的性质来进行有 关的论证和计算.
自学指导一
1.自学内容：第2—3页例题上面的 部分.
2.自学时间：3分钟. 3.自学要求： (1)能复述菱形的定义. (2)菱形有哪些性质？有和平行四边
自学指导二
1.自学内容：第3—4页例题 2.自学时间：5分钟 3.自学要求：
掌握例题的解题过程，能完成 与例题类似的问题.
自学指导二
4.自学检测：
已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱
形,其中对角线BD长10cm.
A
求:(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积. 菱形的面积等于两条
形相同的性质吗？
自学指导一
4.自学检测(助学P2知识梳理)： (1)菱形的定义:_______________ (2)菱形是特殊的______,除具有平行四边形 的一切性质外,还具有一些特殊的性质:
菱形的四条边都___,两条对角线___,每一条 对角线平分一组内角. (3)菱形是______图形，有__条对称轴.菱形 还是______对称图形，对称中心是 _______. (4)如果菱形的一个内角为120°，则其余各 角是多少度？该菱形有什么特殊性吗？

例1变形
菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2．
⑴求菱形ABCD的对角线的长； ⑵求菱形ABCD的面积．
B C A O D
菱形性质的应用
2、已知:如图,四边形ABCD是边长为 13cm的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
D
O
C
A
E
B
成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。 ——爱迪生
Rt△DOA 全等三角形：Rt△AOB
≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
例1 如图1-2，在菱形ABCD中，
对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD=60°，BD=6，求菱形 的边长AB和对角线AC的长。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对角 线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的 长.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
．
菱形定义的几何表示
∵ AB=BC，
ABCD
∴四边形ABCD是菱形
二、菱形的性质
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平 行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的
(1)对边平行且相等
(2)对角相等
(3)对角线互相平分
一般的平 行四边形 也具有的 性质
5
A
1 2
7
D
8
O
6 3 4
OA=OC OB=OD
B
C
∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA 相等的角：
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8

第一章特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定【课标要求】理解特殊菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理以及它的判定定理；【教材分析】教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。

在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。

所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。

【学情分析】“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。

九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。

其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

【教学目标：】知识与技能：经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；过程与方法：体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力情感与态度：在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力【教学重点：】菱形的性质以及证明【教学难点：】菱形的性质以及证明【教学过程：】一、课前预习：阅读课本P2-3内容，并完成下列题目1、理解菱形的定义与性质2、试证明菱形的特殊性质3、看会例1，并完成课后随堂练习二、课内检测1．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形2．已知菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若S菱形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（）A．12 B．8 C．4 D．23．菱形ABCD中，如图5，∠BAD=120°，AB=10cm，则AC=________cm，BD=________ cm．三、合作探究探究一：设置情境，提出课题1、观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。

（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了菱形的基本概念、性质与判定方法，以及它在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对菱形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次《菱形的性质与判定》的教学过程中，我注意到了几个值得反思的地方。首先，我发现学生在理解菱形对角线垂直平分的性质时遇到了一些困难。在讲授这一部分时，我应该更加注重直观演示和实际操作，例如使用动态教具或者让学生自己动手折叠，这样能更直观地帮助他们理解和记忆这一性质。
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过观察、分析菱形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，提高对几何图形的认知和理解。
-能够识别并描述菱形的基本性质。
-能够运用判定方法判断给定图形是否为菱形。
2.培养学生严密的逻辑思维和推理能力。
-能够运用已知性质和判定方法进行几何证明。
2.教学难点
-理解并证明菱形对角线互相垂直平分的性质，以及这一性质在解题中的应用。
-掌握判定方法中的逻辑推理过程，特别是在处理较为复杂的图形时。
-将理论知识与实际应用有效结合，灵活运用菱形的性质和判定方法。
举例解释：
-难点一：通过动态演示或实际折叠，帮助学生理解菱形对角线垂直平分的性质，并提供多个例子说明这一性质在解题时的应用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解菱形的基本概念。菱形是四边相等的平面图形，它在几何图形中有着特殊的地位。它是平面几何中的基本图形之一，具有重要的性质和应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示菱形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。