衡水桃城中学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试(含答案解析)

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数学九年级上册《二次函数》单元测试含答案

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．2m (m 2﹣4)B ．12 m 2﹣2C ．2m (4﹣m 2)D ．2﹣12m 2 2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣12或( )A ．0B ．1C ．2D ．33．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -4．如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,45OBC ∠=︒,则下列各式成立的是( ).A ．10b c --=B ．10b c ++=C ．10b c -+=D ．10b c +-=5．将抛物线y=3x 2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为( ) A ．y=3(x ﹣2)2﹣1B ．y=3(x ﹣2)2+5C ．y=3(x+2)2﹣1D ．y=3(x+2)2+56．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y 1与y 2的大小关系是( ) A ．y 1>y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1<y 2 D ．不能确定7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是( )A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)8．抛物线y＝﹣13(x﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( )A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有()①设正方形的边长为x面积为y,则y与x有函数关系；②x个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y与x之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y与x有函数关系；④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系．A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y=x2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b的值是()A．4 B．5 C．6 D．711．抛物线y＝3(x﹣2)2+5的顶点坐标是()A．(﹣2,5) B．(﹣2,﹣5) C．(2,5) D．(2,﹣5)12．抛物线y＝x2+x﹣1的对称轴是()A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝﹣12D．直线x＝12二、填空题13．如图,抛物线y＝14x2＋x＋3的顶点为P,与y轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____． 15．抛物线22(5)3y x =-+-的顶点坐标是__________.16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．三、简答题17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为100米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．18．已知243(3)5mm y m x +-=++是关于x 的二次函数.(1)求m 的值. (2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？19．如图,抛物线y=2(x-2)2与平行于x轴的直线交于点A,B,抛物线顶点为C,△ABC为等边三角形,求S△AB C;20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边长为y米,直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S与x之间的函数关系．21．已知二次函数y=x2+3x+m的图象与x轴交于点A(﹣4,0)．(1)求m的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m时,则水面的宽度为多少？23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．参考答案1．如图,抛物线y=﹣2x 2+4x 与x 轴的另一个交点为A,现将抛物线向右平移m(m ＞2)个单位长度,所得抛物线与x 轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△PCD 的面积为S,则用m 表示S 正确的是( )A ．(m 2﹣4)B ． m 2﹣2C ．(4﹣m 2)D ．2﹣m 2 【答案】B【解析】【分析】先求出A 的坐标,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,根据题意可知x 1+x 2=2,x 1﹣x 2=m ,从而求出x 1与x 2的表达式．【详解】∵y =﹣2x 2+4x =y =﹣2(x -1)2+2,∴抛物线的对称轴为：x =1,令y =0代入y =﹣2x 2+4x ,∴0=﹣2x 2+4x ,∴x =0或x =2,∴A (2,0),∴OA =2,设P 关于x =1的对称点为Q ,且设P 的横坐标为x 1,Q 的横坐标为x 2,∴． ∵抛物线向右平移m (m ＞2)个单位长度,∴PQ =m ,∴x 1﹣x 2=m ,∴,解得：x 1=,x 2=．把x 1=代入y =﹣2x 2+4x ,∴y =2﹣＜0,∴在△PCD 中,CD 边上的高为：﹣2． ∵OA =CD =2,∴S △PCD =×2×()=﹣2．故选B ．2m 122m 121212x x +=12122x x x x m +=⎧⎨-=⎩22m +22m -22m +22m 22m 12222m -22m【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点,解题的关键是求出P 的坐标,然后根据三角形面积公式即可求出△PCD 的面积,本题属于中等题型．2．已知抛物线y 1=﹣2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,对应的函数值分别为y 1、y 2．若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2,记M=y 1．例如：当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1＜y 2,此时M=0．下列判断：①当x ＞0时,y 1＞y 2；②当x ＜0时,x 值越大,M 值越大；③使得M 大于2的x 值不存在；④使得M=1的x 值是﹣或．其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D 【解析】【分析】关键函数的增减性,以及M 的定义,逐一判断即可．【详解】解：∵x ＞0时,函数y 2的图象在上面,∴y 2＞y 1,故①错误．当x ＜0时,M 的值=y 1或y 2,122∵x ＜0,y 随x 增大而增大,∴x 值越大,M 值越大,故②正确．刚才图象可知M 的最大值为2,∴使得M 大于2的x 值不存在,故③正确,y 2=1时,x=-, y 1=1时观察图象可知：x=-或时,M=1,故④正确．故选D ．【点评】本题考查二次函数的性质,解题的关键是理解题意,灵活运用函数的性质解决问题3．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ．【答案】A【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0(a,b,c 是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax 2叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项．其中a,b,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．【详解】解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6．故选A ．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 121222316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=4．如图,抛物线与轴交于点、,与轴交于点,,则下列各式成立的是( ).A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】根据,有,可设点C 、B 的坐标为,代入解析式,即可解得答案.【详解】,OB=OC,可设点C 、B 的坐标为(0,c)、(c,0),把B(c,0)代入,得即故选：B【点评】本题考查了抛物线与x 轴有交点,根据题意得到点C 、B 的坐标是解题的关键.2y x bx c =++x A B y C 45OBC ∠=︒10b c --=10b c ++=10b c -+=10b c +-=45OBC ∠=︒OB OC =()()0,,0c c、45OBC ∠=︒∴2y x bx c =++20,c bc c ++=(1)0c c b ++=0c ≠∴10b c ++=5．将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则得到的抛物线的解析式为() A．y=3(x﹣2)2﹣1 B．y=3(x﹣2)2+5C．y=3(x+2)2﹣1 D．y=3(x+2)2+5【答案】C【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】将抛物线y=3x2+2向左平移2个单位所得直线解析式为：y=3(x+2)2+2；再向下平移3个单位为：y=3(x+2)2+2﹣3,即y=3(x+2)2﹣1．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律：左加右减,上加下减．6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),C(－5,y 1),D(5,y 2)四点,则y1与y2的大小关系是( ) A．y1>y2B．y1＝y2C．y1<y2D．不能确定【答案】A【解析】【分析】根据二次函数图象的对称轴位置以及开口方向,可得C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,进而即可得到答案．【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0),B(1,0),∴抛物线的对称轴是：直线x=-1,且开口向下,∵C(－5,y 1)距对称轴的距离比D(5,y 2)距对称轴的距离小,∴y1>y2,故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握用抛物线的轴对称性比较二次函数值的大小,是解题的关键．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示,下列关于此函数图象的描述中,错误的是()A ．对称轴是直线x ＝1B ．当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大C ．图象的顶点坐标是(1,4)D ．图象与x 轴的另一个交点是(4,0)【答案】D 【解析】【分析】利用二次函数的图像与性质,判断选项的正误即可.【详解】由函数图像可知,对称轴是直线x ＝1故选项A 正确；当x ＜0时,函数y 随x 增大而增大,故选项B 正确；图象的顶点坐标是(1,4),故选项C 正确；图象与x 轴的另一个交点是(3,0),故选项D 错误.故选D【点评】本题考查了二次函数的图像与性质,熟练掌握性质是解题的关键.8．抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个【答案】D 【解析】【分析】通过解方程﹣(x ﹣4)2+1＝0 可判断抛物线与 x 轴有 2 个交点,通过计算自变量为 0 对应的函数值得到抛物线与 y 轴的交点,从而可判断抛物线 y ＝﹣(x ﹣4)2+1 与坐标轴的交点个数．【详解】解：当 y ＝0 时,﹣(x ﹣4)2+1＝0,解得 x 1＝x 2＝4则抛物线与x 轴的交点坐标为(4+；13131313当 x ＝0 时,y ＝﹣( x ﹣4)2+1＝﹣,则抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,﹣)．故选D ．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y ＝ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数,a ≠0)与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程．9．在下列4个不同的情境中,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有( )①设正方形的边长为x 面积为y,则y 与x 有函数关系；②x 个球队参加比赛,每两个队之间比赛一场,则比赛的场次数y 与x 之间有函数关系；③设正方体的棱长为x,表面积为y,则y 与x 有函数关系；④若一辆汽车以120km/h 的速度匀速行驶,那么汽车行驶的里程y(km)与行驶时间x(h)有函数关系． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】【分析】根据题意列出函数关系式,然后由二次函数的定义进行判断．【详解】①依题意得：y=x 2,属于二次函数关系,故正确；②依题意得：y=x(x-1)=x 2-x,属于二次函数关系,故正确；③依题意得：y=6x 2,属于二次函数关系,故正确；④依题意得：y=120x,属于一次函数关系,故错误；综上所述,两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有3个．故选C ．【点评】本题考查二次函数的定义：一般地,形如y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数．其中x 、y 是变量,a 、b 、c 是常量,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．y═ax 2+bx+c(a 、b 、c 是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式．1313313310．二次函数y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=﹣3,则b 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式可求得二次函数的对称轴,结合条件可得到关于b 的方程,可求得b 的值．【详解】∵y=x 2+bx+1, ∴对称轴为x=-, ∵y=x 2+bx+1的对称轴是直线x=-3,∴-=-3,解得b=6, 故选C ．【点评】本题主要考查二次函数的对称轴,掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键,即二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-． 11．抛物线y ＝3(x ﹣2)2+5的顶点坐标是( )A ．(﹣2,5)B ．(﹣2,﹣5)C ．(2,5)D ．(2,﹣5)【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质y ＝a(x ﹣h)2+k 的顶点坐标是(h,k)进行求解即可.【详解】∵抛物线解析式为y=3(x-2)2+5,∴二次函数图象的顶点坐标是(2,5),故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,根据抛物线的顶点式,可确定抛物线的开口方向,顶点坐标(对称轴),最大(最小)值,增减性等．12．抛物线y ＝x 2+x ﹣1的对称轴是( )2b 2b 2b aA ．直线x ＝﹣1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝﹣D ．直线x ＝【答案】C【解析】【分析】由对称轴公式x ＝﹣可得对称轴．【详解】∵对称轴x ＝﹣﹣＝﹣＝﹣, ∴对称轴是直线x ＝﹣．故选C ．【点评】本题考查了二次函数的性质,熟练运用对称轴公式．也可以运用配方法写成顶点式求对称轴． 13．如图,抛物线y ＝x 2＋x ＋3的顶点为P,与y 轴交于点A,若向右平移4个单位,向下平移4个单位,则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意求得A,P 的坐标,再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形,以及A′,P 的坐标,然后求得AD,PP′的长,再求出面积即可.【详解】如图,连接AP,AP′,过点A 作AD ⊥PP′于D 点,由题意可得,四边形APP′A′为平行四边形,1212b 2ab 2a 121 121214将x=0代入函数得y=3,∴点A 的坐标为(0,3),又∵抛物线y ＝x 2＋x ＋3=(x 2+4x+4)+2=(x+2)2+2, ∴顶点P 的坐标为(﹣2,2),∵将抛物线向右平移4个单位,向下平移4个单位,∴点A′(4,﹣1),点P′(2,﹣2),∴∠AOP ＝45°,∴△AOD 为等腰直角三角形,∴AD=OD,在Rt △AOD 中,AD 2+OD 2=9,即2AD 2=9, ∴则抛物线上PA 段扫过的区域(阴影部分)的面积为×=12. 故答案为12.14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,则该抛物线的对称轴是_____．【答案】直线x ＝2【解析】【分析】根据二次函数图象的轴对称性,即可得到答案．【详解】∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(﹣1,0)和(5,0)两点,∴其对称轴为：直线x ＝．故答案为：直线x ＝2．14141421522【点评】本题主要考查二次函数的轴对称性,掌握二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点关于抛物线的对称轴对称,是解题的关键．15．抛物线的顶点坐标是__________.【答案】(-5,-3)【解析】【分析】由于抛物线y=a(x-h)2+k 的顶点坐标为(h,k),由此即可求解．【详解】∵抛物线y=-2(x+5)2-3,∴顶点坐标为：(-5,-3)．故答案为(-5,-3).【点评】此题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式即可解决问题． 16．拋物线的顶点为(2,﹣3),与y 轴交于点(0,﹣7),则该抛物线的解析式为_____．【答案】y=﹣(x ﹣2)2﹣3【解析】【分析】因知道了顶点坐标,所以可设顶点式求解,即设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入即可求出a 的值.【详解】设y =a (x -2)2 -3,然后把(0,﹣7)代入,得-7=a (0-2)2 -3,解之得,a =-1.∴y =-(x -2)2 -3.故答案为y =-(x -2)2 -3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键. 17．空地上有一段长为a 米的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长为10022(5)3y x =-+-米．(1)已知a=20,矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏,且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1,求所利用旧墙AD 的长；(2)已知0＜α＜50,且空地足够大,如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案,使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大,并求面积的最大值．【答案】(1)利用旧墙AD 的长为10米．(2)见解析.【解析】【分析】(1)按题意设出AD,表示AB 构成方程；(2)根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽,注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．【详解】(1)设AD=x 米,则AB=米依题意得,＝450 解得x 1=10,x 2=90∵a=20,且x≤a∴x=90舍去∴利用旧墙AD 的长为10米．(2)设AD=x 米,矩形ABCD 的面积为S 平方米①如果按图一方案围成矩形菜园,依题意得：1002x (100)2x xS=,0＜x ＜a ∵0＜a ＜50∴x ＜a ＜50时,S 随x 的增大而增大当x=a 时,S 最大=50a-a 2②如按图2方案围成矩形菜园,依题意得S=,a≤x ＜50+ 当a ＜25+＜50时,即0＜a ＜时, 则x=25+时,S 最大=(25+)2=, 当25+≤a ,即≤a ＜50时,S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时,S 最大==, 综合①②,当0＜a ＜时,-()=＞0 ＞,此时,按图2方案围成矩形菜园面积最大,最大面积为平方米 2(100)1(50)125022x x x ---+＝1222(1002)[(25)](25)244x a x a a x +---+++＝2a 4a 10034a 4a 21000020016a a ++4a 1003(1002)2a a a +-21502a a -100321000020016a a ++21502a a -2(3100)16a -21000020016a a ++21502a a -21000020016a a ++当≤a ＜50时,两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a ＜时,围成长和宽均为(25+)米的矩形菜园面积最大,最大面积为平方米；当≤a ＜50时,围成长为a 米,宽为(50-)米的矩形菜园面积最大,最大面积为()平方米．【点评】本题以实际应用为背景,考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论,解得时注意分类讨论变量大小关系．18．已知是关于x 的二次函数.(1)求m 的值.(2)当m 为何值时,该函数图象的开口向上？(3)当m 为何值时,该函数有最大值？【答案】(1)或.(2)当时,该函数图象的开口向上.(3)当时,该函数有最大值.【解析】【分析】根据题意可知,本题考查是二次函数的基础性质,(1)根据x 的次数为2且二次项系数不为0,判断m 的值；(2)通过二次项系数的正负判断开口方向,为正开口向上,为负开口向下；(3)对任意的x 值,函数有最大值,在函数开口向下时,函数才有最高点,即二次项系数小于0. 【详解】解：(1)根据题意,得解得 ∴或.(2)∵函数图象的开口向上,∴,∴∴.∴当时,该函数图象的开口向上.(3)∵函数有最大值,∴.100310034a 21000020016a a ++10032a 21502a a -243(3)5mm y m x +-=++5m =-1m =1m =5m =-2432,30,m m m ⎧+-=⎨+≠⎩51,3.m m m =-=⎧⎨≠-⎩或5m =-1m =30m +>3m >-1m =1m =30m +<∴,∴.∴当时,该函数有最大值.【点评】本题关键点：二次函数中,；时开口向下,函数有最高点,即有最大值,时开口向上,函数有最低点,即有最小值.19．如图,抛物线y =2(x -2)2与平行于x 轴的直线交于点A ,B ,抛物线顶点为C ,△ABC 为等边三角形,求S △AB C;【解析】【分析】过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), 于是得到对称轴为直线x=2,设B(m,n),根据△ABC 是等边三角形,得到BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,求出由于PB=n=,于是得到 ,解方程得到m 的值,然后根据三角形的面积公式即可得到结果．【详解】解：过B 作BP ⊥x 轴交于点P,连接AC,BC,由抛物线y=得C(2,0), ∴对称轴为直线x=2,设B(m,n),∴CP=m-2,∵AB ∥x 轴,3m <-5m =-5m =-2y ax bx c =++0a ≠0a <0a >222x -（）222m -（）222m -（）222x -（）∴AB=2m-4,∵△ABC 是等边三角形,∴BC=AB=2m-4,∠BCP=∠ABC=60°,∴∵PB=n=,, 解得不合题意,舍去), ∴, ∴S △ABC =．【点评】本题考查二次函数的性质.20．晨光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．(1)若平行于墙的一边长为y 米,直接写出y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围；(2)设这个苗圃园的面积为S,求S 与x 之间的函数关系．222m -（）222m -（）321322=【答案】(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)S ＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【解析】【分析】(1)由总长度−垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度,根据墙的长度就可以求出的取值范围；(2)由长方形的面积公式建立二次函数即可.【详解】解：(1)y ＝30﹣2x,(6≤x ＜15)；(2)设矩形苗圃的面积为SS ＝xy ＝x(30﹣2x)＝﹣2(x ﹣7.5)2+112.5．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型.21．已知二次函数y =x 2+3x +m 的图象与x 轴交于点A (﹣4,0)．(1)求m 的值；(2)求该函数图象与坐标轴其余交点的坐标．【答案】(1)m =-4；(2)(0,﹣4),(1,0)．【解析】【分析】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m ,即可求解；(2)令x =0时,则：y =﹣4,令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,即可求解．【详解】(1)将A 点坐标(﹣4,0)代入y =x 2+3x +m 得：16﹣12+m =0,解得：m =﹣4；(2)当x =0时,则：y =﹣4,∴函数图象与y 轴的交点为(0,﹣4)．令y =0,则x 2+3x ﹣4=0,解得：x 1=1,x 2=﹣4,∴函数图象与x 轴的另一个交点为(1,0)．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴的交点,是二次函数基础类题目．22．图中是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2m 时,水面宽4m,建立如图所示的平面直角坐标系：x(1)求拱桥所在抛物线的解析式；(2)当水面下降1m 时,则水面的宽度为多少？【答案】(1)y=﹣x 2+2;(2)【解析】【分析】(1)设出抛物线解析式,由已知条件求出点B 、点C 的坐标,将B 、C 的坐标代入抛物线解析式,列方程组求出未知参数即可；(2)令y =﹣1,解出x ,即可求出水面的宽度.【详解】解：(1)由题意设抛物线解析式为：y =ax 2+b (a ≠0),∵当拱顶离水面2m 时,水面宽4m ,∴点C (0,2),点B (2,0),代入得：, 解得：,∴拱桥所在抛物线的解析式为y =﹣x 2+2； (2)当水位下降1m 时,水位纵坐标为﹣1,令y =﹣1,则﹣1=﹣x 2+2, 解得x 12240b a b =⎧⎨+=⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1212∴水面宽度为.【点评】本题主要考查二次函数的应用,建立直角坐标系,求出抛物线的解析式是解题的关键.23．如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】y=﹣4t2+24t(0＜t＜6)【解析】【分析】先根据两点移动速度以及移动方向得出BP以及BQ的长；然后根据所求三角形的面积与时间的关系,得出S与t的函数关系式；最后根据动点在直角三角形的直角边上运动的时间,求出t的取值范围即可.【详解】△PBQ的面积S随出发时间t(s)成二次函数关系变化,∵在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,∴BP=12﹣2t,BQ=4t,∴△PBQ的面积S随出发时间t(s)的解析式为：y=(12﹣2t)×4t=﹣4t2+24t,(0＜t＜6)．【点评】本题考查了二次函数的应用---动点的函数问题,用含t的代数式表示出BP以及BQ的长是解答本题的关键.24．在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC如图放置,点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),将此平行四边形绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′．(1)如抛物线经过点C、A、A′,求此抛物线的解析式；(2)在(1)情况下,点M是第一象限内抛物线上的一动点,问：当点M在何处时,△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；(3)在(1)的情况下,若P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,点Q坐标为(1, 0),当P、N、B、Q构成以BQ作为一边的平行四边形时,求点P的坐标．【答案】(1) 抛物线的解析式为：y=−x2+3x+4；(2) 当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,M的坐标为：(2, 6)；(3) 点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【解析】【分析】(1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为：y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点M的坐标为：(x,-x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案；(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．【详解】解：(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90∘,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0, 4), ∴点A′的坐标为：(4, 0),∵点A、C的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),抛物线经过点C、A、A′,设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,∴{a−b+c=0c=416a+4b+c=0,解得：{a =−1b =3c =4,∴此抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4；(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为：y =kx +b ,∴{b =44k +b =0, 解得：{k =−1b =4, ∴直线AA′的解析式为：y =−x +4,设点M 的坐标为：(x, −x 2+3x +4),则S △AMA′=12×4×[−x 2+3x +4−(−x +4)]=−2x 2+8x =−2(x −2)2+8,∴当x =2时,△AMA′的面积最大,最大值S △AMA′=8,∴M 的坐标为：(2, 6)；(3)设点P 的坐标为(x, −x 2+3x +4),当P,N,B,Q 构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC 中,点A 、C 的坐标分别是(0, 4)、(−1, 0),∴点B 的坐标为(1, 4),∵点Q 坐标为(1, 0),P 为抛物线上一动点,N 为x 轴上的一动点,①当BQ为边时,PN // BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴−x2+3x+4=±4,当−x2+3x+4=4时,解得：x1=0,x2=3, ∴P1(0, 4),P2(3, 4)；当−x2+3x+4=−4时,解得：x3=3+√412,x4=3−√412,∴P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)；②当BQ为对角线时,BP // QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合；综上可得：点P的坐标为：P1(0, 4),P2(3, 4),P3(3+√412, −4),P4(3−√412, −4)【点评】此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．。

九年级上册数学二次函数单元测试卷(解析版)

九年级上册数学二次函数单元测试卷（解析版）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线y＝1 2 x﹣2相交于坐标轴上的B、C两点，动点P在直线BC下方的二次函数的图象上．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；（3）如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ＝2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝12x2﹣32x﹣2；（2）﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）Q的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【解析】【分析】（1）根据题意先求出点B、C的坐标，进而利用待定系数法即可求解；（2）由题意过点P作PH//y轴交BC于点H，并设点P（x，12x2﹣32x﹣2），进而根据S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C），进行计算即可求解；（3）根据题意分点Q在BC下方、点Q在BC上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点H的坐标，进而分析求解．【详解】解：（1）对于直线y＝12x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，令y＝0，即12x﹣2＝0，解得：x＝4，故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2），抛物线过点A、B两点，则y＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）如图2，过点P作PH//y轴交BC于点H，设点P（x，12x2﹣32x﹣2），则点H（x，12x﹣2），S＝S△PHB+S△PHC＝12PH•（x B﹣x C）＝12×4×（12x﹣2﹣12x2+32x+2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，S的最大值为4；（3）①当点Q在BC下方时，如图2，延长BQ交y轴于点H，过点Q作QC⊥BC交x轴于点R，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵∠ABQ＝2∠ABC，则BC是∠ABH的角平分线，则△RQB为等腰三角形，则点C是RQ的中点，在△BOC中，tan∠OBC＝OCOB＝12＝tan∠ROC＝RCBC，则设RC＝x＝QB，则BC＝2x，则RB22(2)x x5＝BQ，在△QRB中，S△RQB＝12×QR•BC＝12BR•QK，即122x•2x＝125，解得：KQ5∴sin∠RBQ＝KQBQ55x＝45，则tanRBH＝43，在Rt △OBH 中，OH ＝OB•tan ∠RBH ＝4×43＝163，则点H （0，﹣163），由点B 、H 的坐标得，直线BH 的表达式为y ＝43（x ﹣4）②，联立①②并解得：x ＝4（舍去）或53，当x ＝53时，y ＝﹣289，故点Q （53，﹣289）； ②当点Q 在BC 上方时，同理可得：点Q 的坐标为（﹣113，929）；综上，点Q 的坐标为（53，﹣289）或（﹣113，929）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、面积的计算等，注意分类讨论思维的应用，避免遗漏．2．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：（1）填空：1a = ，1b = ；（2）求出2C 与3C 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，23126y x x =-；（3）①()2212123n n y x x n -=-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】【分析】（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．【详解】解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0， x 1=0，x 2=b 1， ∴A 1（b 1，0），由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1， ∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12b-）， ∵B 1在抛物线c 上，则12b =(12b )2，解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2， ∴D 1（1，-1），把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1， ∴a 1=1，故答案为1，2；（2）当20y =时，有()220a x x b -=，解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴. 由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，222,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.解得24b =或20b =（不合舍去），()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上，()22224a ∴-=-.解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，解得3x b =，或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,22bb D ⎛⎫- ⎪⎝⎭.3B 在抛物线2C 上，2333122222b b b⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去），()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上，()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯，2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞⎛⎫-=-⎪⎝⎭， 20182019y y ∴＞.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．3．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝﹣x 2+2x +b 经过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫' ⎪⎝⎭；②45°【解析】【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．（3）①由（2）可知m ＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．【详解】（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3， ∴y ＝3， ∴B （0，3），把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m＝52时，S取得最大值258．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d 1+d 2＝BF ，此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒，∴点F 在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H ， ∵点C 在线段BM′上， ∴F 在优弧'BM H 上， ∴当F 与M′重合时， BF 可取得最大值，此时BM′⊥l 1，∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74）， ∴由勾股定理可求得：AB 10，M′B 55M′A 85，过点M′作M′G ⊥AB 于点G ，设BG ＝x ，∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2， ∴851610﹣x ）2＝12516﹣x 2，∴x ＝5108， cos ∠M′BG ＝'BG BM ＝22，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1∴∠B M′P=∠BCA＝90︒，又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒∴∠BAC＝45︒．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．4．已知点P(2，﹣3)在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过(3，3)时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M(x1，y1)，N(x2，y2)是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．y=2x-4x-3，顶点坐标(1，-【答案】（1）k=-3-a；对称轴x＝1；y轴交点(0，-3)；（2）25)；（3）-5≤a ＜-4；（4）-1≤t ≤2．【解析】【分析】（1）将点P(2，-3)代入抛物线上，求得k 用a 表示的关系式；抛物线L 的对称轴为直线2ax==12a--，并求得抛物线与y 轴交点；（2）将点(3，3)代入抛物线的解析式，且k=-3-a ，解得a=2，k=-5，即可求得抛物线解析式与顶点坐标；（3）抛物线L 顶点坐标(1，-a-3)，点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1，可得1＜-a-3≤2，即可求得a 的取值范围；（4）分类讨论取a ＞0与a ＜0的情况进行讨论，找出1x 的取值范围，即可求出t 的取值范围．【详解】解：（1）∵将点P(2，-3)代入抛物线L ：2y=ax -2ax+a+k ，∴-3=4a 4a a+k=a+k -+ ∴k=-3-a ；抛物线L 的对称轴为直线-2ax=-=12a，即x ＝1；将x=0代入抛物线可得：y=a+k=a+(-3-a)=-3，故与y 轴交点坐标为(0，-3)；（2）∵L 经过点(3，3)，将该点代入解析式中， ∴9a-6a+a+k=3，且由（1）可得k=-3-a ， ∴4a+k=3a-3=3，解得a=2，k=-5，∴L 的表达式为2y=2x -4x-3；将其表示为顶点式：2y=2(x-1)-5， ∴顶点坐标为(1，-5)；（3）解析式L 的顶点坐标(1，-a-3)，∵在点C ，P 之间的部分与线段CP 所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，这四个整点都在x=1这条直线上，且y 的取值分别为-2、-1、0、1， ∴1＜-a-3≤2， ∴-5≤a ＜-4；（4）①当a ＜0时，∵2x 3≥，为保证12y y ≥，且抛物线L 的对称轴为x=1， ∴就要保证1x 的取值范围要在[-1,3]上，即t ≥-1且t+1≤3，解得-1≤t ≤2；②当a ＞0时，抛物线开口向上，t ≥3或t+1≤-1，解得：t ≥3或t ≤-2，但会有不符合题意的点存在，故舍去，综上所述：-1≤t ≤2．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．5．如图，在平面直角坐标系x O y中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A （-3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；（3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-32，154），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，3）或（-2，3【解析】【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式；（2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标；（3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），∴9303a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2）∵A（-3，0），B（0，3），∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°，∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°，又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形，∴PD 越大，△PDE 的周长越大，易得直线AB 的解析式为y=x+3，设与AB 平行的直线解析式为y=x+m ，联立223y x m y x x =+⎧⎨=--+⎩，消掉y 得，x 2+3x+m-3=0，当△=9-4（m-3）=0，即m=214时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长，此时x=-32，y=154，∴点（-32，154），△PDE 的周长最大；（3）设直线x=-2与x 轴交于点E ，作点A 关于直线x=-2的对称点D ，则D （-1，0），连接MA ，MD ，MC ．∴MA=MD ，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ，∴∠CMD=∠DCM∴MD=CD=2 ， ∴ME=3∴点M （-2，3）或（-2，-3）．【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析6．如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0k y x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．【答案】（1）①1944y x =-+；②不完全同意小明的说法；理由见详解；当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；（2）109n ≥；【解析】【分析】（1）①直接利用待定系数法，即可求出函数的表达式；②由①得直线AB 为1944y x =-+，则21944k x x =-+，利用二次函数的性质，即可求出答案；（2）根据题意，求出直线AB 的直线为21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），则得到221044n n k x x --=-，讨论最高项的系数，再由一次函数及二次函数的性质，得到对称轴52b a-≥，即可求出n 的取值范围．【详解】解：（1）当1n =时，点B 为（5，1），①设直线AB 为y ax b =+，则251a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴1944y x =-+； ②不完全同意小明的说法；理由如下：由①得1944y x =-+，设点P 为（x ，k x），由点P 在线段AB 上则 1944k x x =-+， ∴22191981()444216k x x x =-+=--+；4∴当92x =时，k 有最大值8116；当1x =时，k 有最小值2；∴点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值先增大后减小，当点P 在点A 位置时k 值最小，在92x =的位置时k 值最大．（2）∵()1,2A 、()5,B n ，设直线AB 为y ax b =+，则25a b a b n +=⎧⎨+=⎩，解得：24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴21044n n y x --=+，设点P 为（x ，k x ），由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=-，当204n -=，即n=2时，2k x =，则k 随x 的增大而增大，如何题意；当n≠2时，则对称轴为：101042242n n x n n --==--； ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．即k 在15x ≤≤中，k 随x 的增大而增大；当204n ->时，有 ∴20410124n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩，解得：26n n >⎧⎨≥-⎩， ∴不等式组的解集为：2n >；当204n -<时，有∴410524nn⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩，解得：1029n≤<，∴综合上述，n的取值范围为：109n≥．【点睛】本题考查了二次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，以及解不等式组，解题的关键是熟练掌握所学的知识，掌握所学函数的性质进行解题，注意利用分类讨论的思想进行分析．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．（1）P的坐标，C的坐标；（2）直线1上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（3，4），（0，﹣5）；（2）存在，点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，令x=0，可得y=-5，推出C（0，-5）；（2）直线PC的解析式为y=3x-5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE=2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴顶点P（3，4），令x＝0得到y＝﹣5，∴C（0，﹣5）．故答案为：（3，4），（0，﹣5）；（2）令y＝0，x2﹣6x+5＝0，解得：x＝1或x＝5，∴A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有534 bk b=-⎧⎨+=⎩，解得：35 kb=⎧⎨=-⎩，∴直线PC的解析式为：y＝3x﹣5，设直线交x轴于D，则D（53，0），设直线PQ交x轴于E，当BE＝2AD时，△PBQ的面积等于△PAC的面积的2倍，∵AD＝23，∴BE＝43，∴E（113，0）或E′（193，0），则直线PE的解析式为：y＝﹣6x+22，∴Q（92，﹣5），直线PE′的解析式为y＝﹣65x+385，∴Q′（212，﹣5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（92，﹣5）或（212，﹣5）；【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）．（1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=k x的图象上，则k= ；（2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，或m=32；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解析式，求解即可．【详解】（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k x中，得到k =－2．故答案为：－2．（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．得到：2442a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：13103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11033y x =+． ∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =13x +103，90．（3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．解得：121122m m ==（不合题意，舍去）．所以m = ③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．解得：123322m m ==（不合题意，舍去）．所以32m +=．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m =12+或m =32．（4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称．∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）．①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8．②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．9．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172) 【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-．∴此时点M 的坐标为（12-+，32-）或（12-，32+）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．10．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______；（2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）；（3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点；①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？【答案】（1）()1,41m --+，13x ；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【解析】【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空；（2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解．【详解】解：（1）12b x a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+，由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x ；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m ---，0)，D 点坐标为41(3m m-+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2，即22242(4)x =+-，解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。

数学九年级上册《二次函数》单元测试(含答案)

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷【考试时间:90分钟分数:100分】一．选择题(每题3分，共30分)1．经过原点的抛物线是( )A．y＝2x2+x B．y＝2(x+1)2C．y＝2x2﹣1 D．y＝2x2+1 2．二次函数y＝x2﹣4x+7的最小值为( )A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣33．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则( )A．ac+1＝b B．ab+1＝c C．bc+1＝a D．以上都不是4．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线y＝ax2+2ax+4(0＜a＜3)上，若x1＜x2，x1+x2＝1﹣a，则( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1与y2大小不能确定5．直角三角形两直角边之和为定值，其面积S与一直角边x之间的函数关系大致图象是下列中的( )A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A(﹣1，1)和B(2，4)两点，则当y1＜y2时x的取值范围是( )A．x＜﹣1 B．x＞2 C．﹣1＜x＜2 D．x＜﹣1或x＞2 7．二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0 8．抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为( )A．y＝x2+4x+3 B．y＝x2+4x+5 C．y＝x2﹣4x+3 D．y＝x2﹣4x﹣5 9．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的( )A．B．C．D．10．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c＜0;③b2﹣4ac＞0;④当y＜0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题(每题4分，共20分)11．抛物线y＝(k﹣1)x2﹣x+1与x轴有交点，则k的取值范围是．12．二次函数图象过A(﹣1，0)，B(2，0)，C(0，﹣2)，则此二次函数的解析式是．13．若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为;若直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个交点，则m的取值范围是．14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．15．已知函数y＝a(x+2)(x﹣)，有下列说法:①若平移函数图象，使得平移后的图象经过原点，则只有唯一平移方法:向右平移2个单位;②当0＜a＜1时，抛物线的顶点在第四象限;③方程a(x+2)(x﹣)＝﹣4必有实数根;④若a＜0，则当x＜﹣2时，y随x的增大而增大．其中说法正确的是．(填写序号)三．解答题(每题10分，共50分)16．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，且k≠0，顶点为P．(1)求a的值;(2)求点P的坐标(用含k的式子表示);(3)已知点A(0，1)，B(2，1)，若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象与线段AB恰有一个公共点，直接写出k的取值范围．17．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米． (1)若苗圃园的面积为72平方米，求x 的值．(2)若平行于墙的一边长不小于8米，当x 取何值时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是多少？18．如图，已知抛物线的顶点为A (1，4)，抛物线与y 轴交于点B (0，3)，与x 轴交于C 、D 两点．点P 是抛物线上的一个动点． (1)求此抛物线的解析式．(2)求C 、D 两点坐标及△BCD 的面积．(3)若点P 在x 轴下方的抛物线上．满足S △PCD ＝S △BCD ，求点P 的坐标．19．某品牌服装公司经过市场调査，得到某种运动服的月销量y (件)是售价x (元/件)的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w (元)的三组对应值如下表: 注:月销售利润＝月销售量×(售价一进价)售价x (元/件) 130 150 180 月销售量y (件) 210 150 60 月销售利润w (元)10500105006000(1)求y 关于x 的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围); (2)当售价是多少时，月销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为响应号召，该公司决定每售出1件服装，就捐赠a 元(a ＞0)，商家规定该服装售价不得超过200元，月销售量仍满足上关系，若此时月销售最大利润仍可达9600元，求a 的值．20．抛物线C:y＝ax2+c与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C(0，﹣1)，且AB＝4OC．(1)直接写出抛物线C的解析式;(2)如图1，点M在y轴左侧的抛物线C上，将点M先向右平移4个单位长度，再向下平移n(n≥0)个单位长度，得到的对应点N恰好落在抛物线C上．若S＝2，求点M的坐△MNC 标;(3)如图2，将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C，一次函数y＝kx+b的图象1l与抛物线C只有一个公共点E，与x轴交于点F，探究:y轴上是否存在定点G满足∠EGF1＝90°？若存在，求出点G的坐标;若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题1．解:将(0，0)代入A 得，左边＝0，右边＝2×0+0＝0，左边＝右边，成立．将(0，0)分别代入B ，C ，D 得，左边≠右边，等式均不成立．故选:A ．2．解:∵原式可化为y ＝x 2﹣4x +4+3＝(x ﹣2)2+3， ∴最小值为3．故选:C ． 3．解:∵OA ＝OC ，∴点A 、C 的坐标为(﹣c ，0)，(0，c )， ∴把点A 的坐标代入y ＝ax 2+bx +c 得，ac 2﹣bc +c ＝0，∴c (ac ﹣b +1)＝0， ∵c ≠0 ∴ac ﹣b +1＝0， ∴ac +1＝b ．故选:A ．4．解:将点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别代入y ＝ax 2+2ax +4(0＜a ＜3)中，得:y 1＝ax 12+2ax 1+4﹣﹣﹣﹣①， y 2＝ax 22+2ax 2+4﹣﹣﹣﹣②，②﹣①得:y 2﹣y 1＝(x 2﹣x 1)[a (3﹣a )]，因为x 1＜x 2，3﹣a ＞0，则y 2﹣y 1＞0，即y 1＜y 2．故选:B ．5．解:设直角三角形两直角边之和为a ，其中一直角边为x ，则另一直角边为(a ﹣x )．根据三角形面积公式则有:y ＝ax ﹣x 2，以上是二次函数的表达式，图象是一条抛物线，故选B ．6．解:∵一次函数y 1＝kx +b 与二次函数y 2＝ax 2交于A (﹣1，1)和B (2，4)两点，从图象上看出，当x ＞2时，y 1的图象在y 2的图象的下方，即y 1＜y 2，当x ＜﹣1时，y 1的图象在y 2的图象的下方，即y 1＜y 2． ∴当x ＜﹣1或x ＞2时，y 1＜y 2．故选:D ．7．解:∵二次函数y ＝kx 2﹣6x +3的图象与x 轴有交点， ∴方程kx 2﹣6x +3＝0(k ≠0)有实数根，即△＝36﹣12k ≥0，k ≤3，由于是二次函数，故k ≠0，则k 的取值范围是k ≤3且k ≠0．故选:D ．8．解:原抛物线的顶点为(0，0)，向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么新抛物线的顶点为(﹣2，﹣1)．可设新抛物线的解析式为:y ＝(x ﹣h )2+k ，代入得:y ＝(x +2)2﹣1，化成一般形式得:y ＝x 2+4x +3．故选A ． 9．解:因为函数y ＝ax 2+bx +c ，当y ＞0时，所以可判断a ＜0，可知﹣＝﹣+＝﹣，＝﹣×＝﹣ 所以可知a ＝6b ，a ＝﹣6c ，则b ＝﹣c ，不妨设c ＝1 则函数y ＝cx 2﹣bx +a 为函数y ＝x 2+x ﹣6 即y ＝(x ﹣2)(x +3)则可判断与x 轴的交点坐标是(2，0)，(﹣3，0)，故选:A ．10．解:∵抛物线的对称轴为x ＝1，过(﹣1，0)， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)，∴当x ＝1时，y ＝a +b +c ，即(1，a +b +c )为最高点，因此①正确; ∵当x ＝﹣1时，a ﹣b +c ＝0， ∴②不正确;抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，故③正确;由图象可知，当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，当x ＜﹣1或x ＞3时，y ＜0，因此④不正确; 综上所述，正确的有:①③，故选:B ．二．填空题(共5小题)11．解:∵抛物线y ＝(k ﹣1)x 2﹣x +1与x 轴有交点， ∴△＝(﹣1)2﹣4×(k ﹣1)×1≥0，解得k ≤，又∵k ﹣1≠0， ∴k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤且k ≠1; 故答案为:k ≤且k ≠1．12．解:∵二次函数图象经过A (﹣1，0)，B (2，0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x +1)(x ﹣2)，将C (0，﹣2)代入，得:﹣2a ＝﹣2，解得a ＝1，则抛物线解析式为y ＝(x +1)(x ﹣2)＝x 2﹣x ﹣2，故答案为:y ＝x 2﹣x ﹣2．13．解:(1)令y ＝|x 2﹣2x ﹣3|＝0，即x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴函数与x 轴的坐标为(﹣1，0)，(3，0)，作出y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象，如图所示，当直线y ＝x +m 经过点(3，0)时与函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象只有一个交点，故若直线y ＝x +m 与函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象只有一个交点，则交点坐标为(3，0)，故答案为(3，0);(2)由函数图象可知y ＝，联立，消去y 后可得:x 2﹣x +m ﹣3＝0，令△＝0，可得:1﹣4(m ﹣3)＝0，解得，m＝，即m＝时，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，当直线过点(﹣1，0)时，此时m＝1，直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象只有3个交点，∴直线y＝x+m与函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象有四个公共点时，m的范围为:1＜m＜，故答案为:1＜m＜．14．解:由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为(﹣1，0)，故抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)，故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．15．解:当函数图象向上平移4个单位时，解析式为y＝ax2+2(a﹣1)x，则其图象过原点，故①不正确;在y＝ax2+2(a﹣1)x﹣4中，令x＝0可得y＝﹣4，当0＜a＜1时，其对称轴为x＝﹣＞0，此时其顶点坐标在第四象限，故②正确;∵y＝a(x+2)(x﹣)＝ax2+2(a﹣1)x﹣4，∴方程a(x+2)(x﹣)＝﹣4可化为ax2+2(a﹣1)x﹣4＝﹣4，即ax2+2(a﹣1)x＝0，该方程有实数根，故③正确;当a＜0时，抛物线开口向下，且对称轴在y轴的左侧，但无法确定其在x＝﹣2的左侧还是右侧，故④不正确;综上可知正确的是②③，故答案为②③．三．解答题(共5小题)16．解:(1)∵二次函数y＝ax2﹣2kx+k2+k图象的对称轴为直线x＝k，∴﹣，∴a＝1;(2)把a＝1代入y＝ax2﹣2kx+k2+k得，y＝x2﹣2kx+k2+k，当x＝k时，y＝k2﹣2k2+k2+k＝k，∴顶点P(k，k);(3)∵函数y＝ax2﹣2kx+k2+k＝x2﹣2kx+k2+k＝(x﹣k)2+k，∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为x＝k，顶点为(k，k)，∵点A(0，1)，B(2，1)，∴①当k＞1时，抛物线的顶点在直线AB的上方，抛物线与直线AB没有公共点，则函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象与线段AB没有公共点;②当k＝1时，顶点(1，1)在线段AB上，即函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象与线段AB恰有一个公共点;③当k＜0时，则x＝k+1或k﹣1时，y＝1+k＜1，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象在线段AB下方，没有公共点;④当k＝0时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k＝x2，与线段AB恰有一个公共点(1，1);⑤当0＜k＜1时，若函数图象过A(0，1)时，k2+k＝1，解得k＝＜0(舍去)，或k＝，∵0＜＜1，∴根据抛物线的对称性知，当≤k＜1时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象与线段AB有两个公共点，当0＜k＜时，函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x ≤k+1)的图象与线段AB恰有一个公共点;综上所述:若函数y＝ax2﹣2kx+k2+k(k﹣1≤x≤k+1)的图象与线段AB恰有一个公共点，则0≤k＜或k＝1;17．解:(1)由题意可得，x(30﹣2x)＝72，即x2﹣15x+36＝0，解得，x1＝3，x2＝12，当x＝3时，30﹣2x＝24＞18，故舍去;当x＝12时，30﹣2x＝6，由上可得，x的值是12;(2)设这个苗圃园的面积为S平方米，由题意可得，S＝x(30﹣2x)＝﹣2(x﹣)2+，∵平行于墙的一边长不小于8米，且不大于18米，∴8≤30﹣2x≤18，解得，6≤x≤11，∴当x＝时，S取得最大值，此时S＝，答:当x＝时，这个苗圃园的面积有最大值，最大值是平方米．18．解:(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，∴设抛物线的解析式y＝a(x﹣1)2+4，把点B(0，3)代入得，a+4＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣1)2+4;(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣1)2+4;令y＝0，则0＝﹣(x﹣1)2+4，∴x＝﹣1或x＝3，∴C(﹣1，0)，D(3，0);∴CD＝4，∴S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6;(3)由(2)知，S△BCD＝CD×|y B|＝×4×3＝6;CD＝4，∵S△PCD ＝S△BCD，∴S△PCD＝CD×|y P|＝×4×|y P|＝2，∴|y P|＝1，∵点P在x轴下方的抛物线上，∴y P＜0，∴y P＝﹣1，∵抛物线的解析式为y＝﹣(x﹣1)2+4;∴﹣1＝﹣(x﹣1)2+4，∴x＝1±，∴P(1+，﹣1)，或P(1﹣，﹣1)．19．解:(1)设y关于x的函数解析式为:y＝kx+b(k≠0)由题意得:，解得:∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+600;(2)运动服的进价是:130﹣10500÷210＝80(元)月销售利润w＝(x﹣80)(﹣3x+600)＝﹣3x2+840x﹣48000＝﹣3(x﹣140)2+10800∴当售价是140元时，月销售利润最大，最大利润为10800元;(3)由题意得:w＝(x﹣80﹣a)(﹣3x+600)＝﹣3x2+(840+3a)x﹣48000﹣600a∴当x＝140+a时，w有最大值．∵a＞0，且a≤140﹣80∴140＜140+a≤170＜200∵商家规定该服装售价不得超过200元，此时月销售最大利润仍可达9600元，∴当x＝140+a时，有，解得，a＝120﹣80，或a＝120+80(舍去)，故a＝120﹣80．20．解:(1)∵点C(0，﹣1)，且AB＝4OC．∴OC＝1，AB＝4，∵抛物线的对称轴为y轴，∴点A(﹣2，0)，点B(2，0)，∴∴∴抛物线解析式为:y＝x2﹣1;(2)设点M(m，m2﹣1)，则N[m+4，(m+4)2﹣1]∵点C(0，﹣1)，∴设直线MC解析式为y＝kx﹣1，即:m2﹣1＝mk﹣1，∴k＝m，∴直线MC解析式为y＝mx﹣1，如图，过点N作NE∥y轴交CM于E，∴点E[m+4，m(m+4)﹣1]，若点N在y轴左侧，EN＝﹣m﹣4，∵S△MNC ＝S△MNE+S△CNE，∴2＝×(﹣m﹣4)×(﹣m)∴m1＝﹣2﹣2，m2＝﹣2+2(舍去)，当点N在y轴右侧，EN＝m+4，∵S△MNC ＝S△MNE﹣S△CNE，∴2＝×(m+4)×(﹣m)∴m1＝m2＝﹣2综上所述点M(﹣2，0)或(﹣2﹣2，2+2);(3)∵将抛物线C向上平移2个单位长度得到抛物线C1，∴抛物线C1的解析式为y＝x2+1，设点E(m，m2+1)，则直线l的解析式为:y＝kx﹣km+m2+1，联立方程组可得:∴x2﹣kx+km﹣m2＝0∵一次函数y＝kx+b的图象l与抛物线C1只有一个公共点E，∴△＝k2﹣km+m2＝0，∴k＝m，∴直线l的解析式为:y＝mx﹣m×m+m2+1＝mx﹣m2+1，∴当y＝0时，x＝m﹣，∴点F(m﹣，0)，如图，过点E作EH⊥y轴于点H，则EH＝m，OH＝m2+1，∵∠EHG＝∠EGF＝∠GOF＝90°，∴∠EGH+∠FGO＝90°，∠FGO+∠GFO＝90°，∴∠EGH＝∠GFO，∴△EGH∽△GFO，∴，∴∴OG＝2，∴点G(0，2)．。

新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(含答案解析)(5)

一、选择题1．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（） A ．当1x >时，12y y C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >2．已第二次函数()2240y ax ax a =-+->图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．132y y y <<B ．312y y y <<C ．123y y y <<D ．213y y y <<3．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，在ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则PBQ △的面积S 随出发时间t 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．点()13,P y 、Q ()24,y 是二次函数245y x x =-+的图象上两点，则1y 与2y 的大小关系为（） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定6．若()14,A y -，()21,B y -，()30,C y 为二次函数2(2)3y x =-++的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．123y y y <=B ．312y y y =<C ．312 y y y <<D ．123y y y =<7．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,18．若二次的数2y ax bx c =++的x 与y 的部分对应值如下表： x 7-6- 5- 4-3-2-y27- 13-3-353A ．5B ．3-C ．13-D ．27-9．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．10．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（） A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位 B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位 C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位 D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位11．已知一次函数y ax c =+与2y ax bx c =++，它们在同一坐标系内的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．12．在平面直角坐标系中，将函数25y x =-的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的解析式是（）A ．25(1)3y x =-++B ．25(1)3y x =--+C ．25(1)3y x =-+-D ．25(1)3y x =---二、填空题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．14．一条抛物线与x 轴相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），若点M ，N 的坐标分别为（－1，－2），（1，－2），抛物线顶点P 在线段MN 上移动．点B 的横坐标的最大值为3，则点A 的横坐标的最小值为__________．15．如图所示为抛物线223y ax ax =-+，则一元二次方程2230ax ax -+=两根为______．16．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．17．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．18．2251=-+-y x x 的图象不经过__________象限； 19．设A （－3，y 1），B （－2，y 2），C （12，y 3）是抛物线y ＝（x+1）2－m 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_______．（用“＞”连接）20．在平面直角坐标系xOy 中，函数y=x 2的图象经过点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，若﹣4＜x 1＜﹣2，0＜x 2＜2，则y 1 ______y 2 ．（用“＜”，“=”或“＞”号连接）三、解答题21．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0-，()2,5-．求此抛物线的解析式． 22．“新冠肺炎”疫情期间某工厂为支持国家抗击疫情每天连夜生产急缺的消毒液，已知每瓶消毒液的生产成本为20元，为了合理定价，根据市场调查发现，当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，但要求销售单价不能低于成本且不高于30元.（1）求每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（3）该工厂负责人决定将每天的利润全部捐献出来进一步支持国家抗击“新冠肺炎”疫情，则当销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得△ACM 的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -，交y 轴于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）将点C向右平移n个单位，再次落在二次函数图象上，求n的值；（3）对于这个二次函数，若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．25．为了在体育中考中取得更好地成绩，小明积极训练.在某次试投中，实心球经过的路线是如图所示的抛物线的一部份.已知实心球出手处A距离地面的高度是169米，当实心球运行的水平距离为3米时，达到最大高度259米的B处，实心球的落地点为C.（1）如图，已知AD CD于D，以D为原点，CD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B的坐标为________；（2）小明此次投掷的成绩是多少米？26．某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2，故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．2．B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y <<【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．3．D解析：D 【分析】先假设0c <，根据二次函数2y ax bx c =++图象与y 轴交点的位置可判断A ，C 是否成立；再假设0c >，0b <，判断一次函数y cx b =-的图象位置及增减性，再根据二次函数2y ax bx c =++的开口方向及对称轴位置确定B ，D 是否成立．【详解】解：若0c <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而减小，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点在y 轴负半轴，故A ，C 错；若0c >，0b <，则一次函数y cx b =-图象y 随x 的增大而增大，且图象与y 的交点在y 轴正半轴上，此时二次函数2y ax bx c =++的图象与y 轴的交点也在y 轴正半轴，若0a >，则对称轴bx 02a =->，故B 错；若0a <，则对称轴02b x a=-<，则D 可能成立．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数图象与二次函数图象的综合判断问题，解答时可假设一次函数图象成立，分析二次函数的图象是否符合即可．4．D解析：D 【分析】先根据运动速度和AB 、BC 的长可得t 的取值范围，再根据运动速度可得,2AP tcm BQ tcm ==，然后利用直角三角形的面积公式可得S 与t 之间的函数关系式，最后根据二次函数的图象特点即可得．【详解】设运动时间为ts ，点P 到达点B 所需时间为31AB s =，点Q 到达点C 所需时间为32BCs =， ∴点P 、Q 同时停止运动，且t 的取值范围为03t ≤≤，由题意，,2AP tcm BQ tcm ==，3AB cm =，()3BP AB AP t cm ∴=-=-，()21132322S BP BQ t t t t ∴=⋅=-⋅=-+，则S 与t 之间的函数图象是抛物线在03t ≤≤的部分，且开口向下，观察四个选项可知，只有选项D 符合，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确求出S 与t 之间的函数关系式是解题关键．5．B解析：B 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2，在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点， 2＜3＜4， ∴y 1＜y 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键6．B解析：B 【分析】根据二次函数的解析式可得图象开口向下，对称轴为2x =-，故点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称，即13y y =，再根据点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小即可得出结论．【详解】解：二次函数2(2)3y x =-++的图象开口向下，对称轴为2x =-， ∴点()14,A y -与点()30,C y 关于对称轴对称， ∴13y y =，∵点()21,B y -与点()30,C y 在对称轴右侧，y 随x 增大而减小， ∴23y y >， ∴312y y y =<，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，根据二次函数解析式得到对称轴是解题的关键．7．B解析：B 【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．8．D解析：D 【分析】首先观察表格可得二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，则可求得此抛物线的对称轴，然后由对称性求得答案．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++过点(4,3)-与(2,3)-，∴此抛物线的对称轴为：直线4(2)32x -+-==-， ∴横坐标为1x =的点的对称点的横坐标为7x =-， ∴当1x =时，27y =-．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的对称性，根据表格中的数据找到对称轴是解题的关键．9．B解析：B 【解析】解：A 、∵抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，c ＞0，ac ＜0，故本选项错误；B 、∵抛物线对称轴是x=1，与x 轴交于（3，0），∴抛物线与x 轴另一交点为（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3，故本选项正确；C 、∵抛物线对称轴为，∴b=-2a ，∴2a+b=0，故本选项错误；D 、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．故选B ．根据抛物线的开口方向，对称轴，与x 轴、y 轴的交点，逐一判断．10．C解析：C 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．11．D解析：D 【分析】先根据各项中一次函数与二次函数的图象判断a 、c 的正负，二者一致的即为正确答案．【详解】解：A 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＜0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；B 、由一次函数图象可得：a ＞0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＜0，矛盾，故本选项不符合题意；C 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＞0，c ＞0，矛盾，故本选项不符合题意；D 、由一次函数图象可得：a ＜0，c ＞0，由二次函数图象可得a ＜0，c ＞0，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二者的图象是解题的关键．12．B解析：B 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线25y x =-的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：()251y x =--；由“上加下减”的原则可知，抛物线()251y x =--的图象向上平移3个单位长度所得函数图象的关系式是()2513y x =--+．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象平移，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．二、填空题13．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 14．-3【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动又知点MN 的坐标分别为(-1-2)(1-2)分别求出对称轴过点M 和N 时的情况即可判断出A 点横坐标的最小值【详解】根据题意知点B 的横坐标的最大值为3即可知当对称轴解析：-3【分析】根据顶点P 在线段MN 上移动，又知点M 、N 的坐标分别为(-1，-2)、(1，-2)，分别求出对称轴过点M 和N 时的情况，即可判断出A 点横坐标的最小值．【详解】根据题意知，点B 的横坐标的最大值为3，即可知当对称轴过N 点时，点B 的横坐标最大，此时的A 点坐标为(-1，0)，当对称轴过M 点时，点A 的横坐标最小，此时B 点坐标为(1，0)，此时A 点的坐标最小为(-3，0)，故点A 的横坐标的最小值为-3，故答案为：-3．【点睛】本题主要考査二次函数的综合，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点．15．【分析】先求得对称轴再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标即可求解【详解】抛物线的对称轴由图象得抛物线与轴的一个交点的坐标为(30)∴抛物线与轴的另一个交点的坐标为(-10)∴元二次解析：11x =-，23x =【分析】先求得对称轴1x =，再根据抛物线的对称性求得抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可求解．【详解】抛物线的对称轴212a x a-=-=，由图象得抛物线与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(-1，0)，∴元二次方程2230ax ax -+=两根为1213x x =-=，．故答案为：1213x x =-=，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，理解方程20ax bx c ++=的根就是函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象与x 轴的交点的横坐标是解题的关键． 16．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．17．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（21），或（2，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得12=2+222x x =，P 点坐标为（2，1），或（2，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（21），或（2，1）故答案为：(2，-1)或（2，1），或（2，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．18．第二【分析】可得知该函数的图象开口向下再分别求出该函数的对称轴和与y 轴的交点利用函数的增减性即可做出判断【详解】解：对于∵a=﹣2﹤0b=5∴该函数的图象开口向下对称轴为直线x=∴当x ﹤时函数y 随x 解析：第二【分析】可得知该函数的图象开口向下，再分别求出该函数的对称轴和与y 轴的交点，利用函数的增减性即可做出判断．【详解】解：对于2251=-+-y x x ，∵a=﹣2﹤0，b=5，∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线x=54， ∴当x ﹤54时，函数y 随x 的增大而增大，又∵当x=0时，y=﹣1，∴当x ﹤0时，y ﹤﹣1，即y ﹤0，∴函数图象不经过第二象限，故答案为：第二．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，属于二次函数的基础题，解答的关键是掌握二次函数的性质，利用二次函数的增减性解决问题．19．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案【详解】解：∵二次函数的解析式为∴抛物线的对称轴是直线∴当时随的增大而减小；当时随的增大而增大∵是抛物线上的三个点∴∴∴故答案是：【点睛】解析：132y y y >>【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数图像性质即可得到答案．【详解】解：∵二次函数的解析式为()21y x m =+-∴抛物线的对称轴是直线1x =- ，10a =>∴当1x <-时，y 随x 的增大而减小；当1x >-时，y 随x 的增大而增大∵()13,A y -、()22,B y -、31,2C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线()21y x m =+-上的三个点 ∴()132---=，()121---=，()13122--= ∴3212>>∴132y y y >>．故答案是：132y y y >>【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，能利用图像的增减性进行解答．20．＞【分析】根据二次函数的性质即可求解【详解】解：由y=x2可知∵a=1＞0∴抛物线的开口向上∵抛物线的对称轴为y 轴∴当x ＞0时y 随x 的增大而增大∵-4＜x1＜-20＜x2＜2∴2＜-x1＜4∴y1＞解析：＞【分析】根据二次函数的性质即可求解．【详解】解：由y=x 2可知，∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y 轴，∴当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵-4＜x 1＜-2，0＜x 2＜2，∴2＜-x 1＜4，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质．当a ＞0时，开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0，开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小；三、解答题21．223y x x =--+【分析】将点3,0，2,5代入抛物线23y ax bx =++解方程组求出b 、c 的值即可得答案．【详解】由题意得，93304235a b a b -+=⎧⎨++=-⎩ 解得，12a b =-⎧⎨=-⎩，则二次函数的解析式为223y x x =--+．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值是解题关键．22．（1）函数关系式为y =-1000x +36000；（2）函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000；（3）当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【分析】（1）抓住关键的已知条件：当销售单价为30元时，每天的销售量为6000瓶，若销售单价每降低1元，则每天能多销售1000瓶，由此可得到y 与x 之间的函数解析式. （2）利用根据每天的利润=每一件的利润×销售量，列出w 与x 之间的函数解析式. （3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可得结果.【详解】（1）解：由题意得y =（30-x ）×1×1000+6000=-1000x +36000.∴每天的销售量y （瓶）与销售单价x （元）之间的函数关系式为y =-1000x +36000. （2）解：由题意得w =（x -20）（-1000x +36000）=-1000x 2+56000x -720000.∴每天的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式为w =-1000x 2+56000x -720000. （3）解：w =-1000x 2+56000x -720000=-1000（x -28）2+64000.∵a =-1000＜0∴当x =28时，w 有最大值为64000.答：当销售单价为28元时，最大利润是64000元.【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用-销售问题；二次函数顶点式的转化也是本题求最值问题的关键．23．（1）223y x x =--；（2）存在，M （1，﹣2）【分析】（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 可求出a 、b 、c 的值，即可确定二次函数关系式；（2）由对称可知，直线BC 与直线x ＝1的交点就是要求的点M ，求出直线BC 的关系式即可．【详解】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得，123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴抛物线的关系式为223y x x =--；（2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， ∵点M 在对称轴x ＝1上，且△ACM 的周长最短，∴MC +MA 最小，∵点A 、点B 关于直线x ＝1对称，∴连接BC 交直线x ＝1于点M ，此时MC +MA 最小，设直BC 的关系式为y ＝kx +b ，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当x ＝1时，132y =-=-，∴点M （1，﹣2），∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得△ACM 的周长最短，此时M （1，﹣2）．【点睛】本题考查二次函数综合，解题的关键是掌握抛物线解析式的方法和利用轴对称的性质解决线段和最短问题．24．（1）234y x x =--；（2）3n =；（3）12x >-【分析】（1）把A,B 代入解析式求出b,c ，即可得到抛物线解析式；（2）根据抛物线的对称性即可求得；（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x 的取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数2+y x bx c =+的图象与x 轴交于点()4,0A 和()1,0B -， ∴164010b c b c ++=⎧⎨-+=⎩，解得34b c =-⎧⎨=-⎩， ∴234y x x =--．（2）依题意，点C 的坐标为()0,4-，该二次函数图象的对称轴为322b x =-=，设点C 向右平移n 个单位后，所得到的点为D ，由于点D 在抛物线上，∴C ，D 两点关于二次函数的对称轴32x =对称． ∴点D 的坐标为()3,4-．∴3n CD ==．（3）依题意，即当自变量取4x +时的函数值，大于自变量为x 时的函数值．结合函数图象，由于对称轴为32x =，分为以下三种情况： ①当342x x <+≤时，函数值y 随x 的增大而减小，与题意不符； ② 当342x x <<+时，需使得33422x x -<+-，方可满足题意，联立解得1322x -<<； ③342x x ≤<+时，函数值y 随x 的增大而增大，符合题意，此时32x ≥．综上所述，自变量x 的取值范围是12x >-．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．25．（1）253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）8米【分析】（1）根据题意直接写出坐标即可；（2）求出二次函数表达式，求C 点横坐标即可；【详解】（1）坐标系253,9B ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设抛物线的表达式为225(3)(0)9y a x a =-+≠ 由抛物线经过点160,9A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 得21625(3)99a =-+解得19a =- 2125(3)99y x =--+ 0y =时，18x =，22x =-（舍）答：小明此次投掷的成绩是8米【点睛】此题考查利用二次函数解决实际问题，理解函数定义是关键26．（1）()605x -，()4x +；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为320元．【分析】（1）根据销售单价上涨x 元，每天销售量减少5x 瓶即可得，再根据“每瓶的利润=售价-成本价”即可得；（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y 达到300元”可建立关于x 的一元二次方程，再解方程即可得；（3）根据“每天的利润=（每瓶的售价-每瓶的成本价）⨯每天的销售量”可得y 与x 的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得．【详解】（1）由题意得：当销售单价上涨x 元时，每天销售量会减少5x 瓶，则每天的销售量为()605x -瓶，每瓶洗手液的利润是20164x x +-=+（元），故答案为：()605x -，()4x +；（2）由题意得：()()6054300x x -+=，解得16x =，22x =，答：销售单价应上涨2元或6元；（3）由题意得：(605)(4)y x x =-+，化成顶点式为25(4)320x y =--+，由二次函数的性质可知，当4x =时，y 取得最大值，最大值为320，答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y 最大，最大利润为320元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．。

(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax2+bx+c （a≠0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y…﹣3﹣13…） A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．3x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩ 3．若整数a 使得关于x 的分式方程12322ax xx x -+=--有整数解，且使得二次函数y ＝(a ﹣2)x 2+2(a ﹣1)x +a +1的值恒为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（） A ．12 B ．15 C ．17 D ．204．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（） A ．当1x >时，12y y C ．当0.5x <时，12y y <D ．当5x >时，12y y >5．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，顶点坐标为(1,)n 与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）．有下列结论：①24ac b <；②30a b +>；③420a b c ++>；④当0y >时，x 的取值范围为13x；⑤当0x >时，y 随着x的增大而减小；⑥若抛物线经过点()12,y -、23,2y ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()33,y ，则312y y y <<．其中正确的有（）A ．②③⑤B ．①③④C ．①③⑥D ．②③⑥6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：x﹣1234y 5 0 ﹣4 ﹣3 0A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x ＝2C ．当0≤x ≤4时，y ≥0D ．若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1<x 27．已知二次函数22236y x ax a a =-+-+（其中x 是自变量）的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（） A ．2a -C ．12a -<≤D ．12a -≤<8．已知二次函数22(0)y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点(1,0)-，当-a b 为整数时，ab 的值为( )A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12D ．14或129．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的一个交点B （4，0），直线y 2＝mx +n （m ≠0）与抛物线交于A 、B 两点．下列结论：①2a +b ＝0；②abc ＞0；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑥a +b ≥m （am +b ）（m 实数）其中正确的是（）A ．①②③⑥B ．①③④C ．①③⑤⑥D ．②④⑤10．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（） A ．开口方向向上 B ．顶点坐标为()1,2- C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-11．把函数2(1)2y x =-+图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（） A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =-+12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中：①20a b +>；②()a b m am b +≠+（1m ≠的实数）；③2a c +>；④在10x -<<中存在一个实数0x 、使得0a bx a+=-其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．小明研究抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数）性质时得到如下结论： ①这条抛物线的顶点始终在直线y =x +1上；②当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围为a ≥2；③点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在函数图象上，若x 1＜x 2，x 1+x 2＞2a ，则y 1＞y 2； ④只存在一个a 的值，使得抛物线与x 轴的两个交点及抛物线的顶点构成等腰直角三角形；其中正确结论的序号是____．14．把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为_____．15．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．16．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．17．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．18．已知二次函数246y x x =--，若16x -≤≤，则y 的取值范围为____．19．二次函数y=（x+2）2-5的最小值为_______． 20．已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于A 、B 两点，P 为抛物线上一点，且1APB S ∆=，则P 的坐标为_______．三、解答题21．新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%． (1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？22．某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费1.8万元购进的甲种水果与2.4万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多2元．（1）求甲、乙两种水果的单价；（2）车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各0.5千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的57还要多3元．调查发现，以28元的定价进行销售，每天只能卖出3000听，超市对它进行促销，每降低1元，平均每天可多卖出1000听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？（3）若想使得该种罐头的销售利润每天达到6万元，并且保证降价的幅度不超过定价的15%，每听罐头的价钱应为多少钱？23．已知二次函数y ＝﹣x 2+4x +5，完成下列各题：（1）求出该函数的顶点坐标．（2）求出它的图象与x 轴的交点坐标．（3）直接写出：当x 为何值时，y ＞0．24．某片果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系如图所示．（1）求每棵果树产果y (千克)与增种果树x (棵)之间的函数关系式；（2）设果园的总产量为w (千克)，求w 与x 之间的函数表达式；（3）试说明（2）中总产量w (千克)随增种果树x (棵)的变化而变化的情况，并指出增种果树x 为多少棵时获得最大产量，最大产量w 是多少？25．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4）（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是．26．若二次函数y ＝x 2-x-2的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）若P(m ，-2)为二次函数y ＝x 2-x-2图象上一点，求m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ）， ∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，故B 选项错误；当a ＞0，c ＜0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，故C 选项错误；当a ＜0，c ＞0时，二次函数开口向下，一次函数经过一、二、四象限，故A 选项错误，D 选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y 轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．2．A解析：A 【分析】根据二次函数的对称性知：抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线的开口向上，由此确定答案．【详解】∵x ＝1和x ＝3时，y ＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的开口向上，∴x ＝0和x ＝4的函数值相等且大于0， ∴x ＝0，y ＝﹣3错误．故选：A ．【点睛】此题考查抛物线的对称性，抛物线的性质，读懂表格掌握二次函数的对称性解决问题是解题的关键．3．B解析：B 【分析】由抛物线的性质得到20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤然后通过解分式方程求得a 的取值，然后求和．【详解】解：∵二次函数y =（a -2）x 2+2（a -1）x +a +1的值恒为非负数， ∴20a -＞，2=4(1)4(2)(1)0a a a ∆---+≤ 解得3a ≥解分式方程12322ax xx x-+=--解得：62xa=-由x≠2得，a≠5，由于a、x是整数，所以a=3，x=6，a=4，x=3，a=8，x=1，同理符合a≥3的a值共有3，4，8，故所有满足条件的整数a的值之和=3+4+8=15，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线和x轴交点，涉及到解分式方程，正确理解二次函数的值恒为非负数是解题的关键．4．D解析：D【分析】当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，则m＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y1＝y2，即（x﹣2）（x﹣m）＝3x，把x＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m）＝3，∴m＝4，∴y1＝（x﹣2）（x﹣4），抛物线的对称轴为：x＝3，如下图：设点A、B的横坐标分别为1，5，则点A、B关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B处，即x＝5时，y1＞y2，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．5．B【分析】根据二次函数图像可知1x =为抛物线的对称轴，可以求出与x 轴正半轴交点坐标，可解④⑤，开口朝下，与y 轴交于正半轴，可知：0a ＜，23c ≤≤，根据对称轴公式可得：0b ＞，可解①②③，根据图像可解⑥．【详解】∵抛物线开口朝下， ∴0a ＜，∵与y 轴的交点在(0,2)、(0,3) 之间（包含端点）， ∴23c ≤≤， ∴4ac ＜0， ∴24ac b ＜， ∴①正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴12ba-=， ∴0b ＞，12a b =-， ∴313202a b b b b +=-+=-＜，∴②不正确；∵1x =-时，0a b c -+=， ∴32c b =， ∴1424202a b c b b c c ⎛⎫++=⨯-++= ⎪⎝⎭＞ ∴③正确；∵1x =为抛物线的对称轴，(1,0)A -， ∴B 点坐标为（3,0），∴当0y >时，x 的取值范围为13x∴④正确；∵1x =为抛物线的对称轴， ∴1x ＞时，y 随着x 的增大而减小， ∴⑤不正确；由图像可知：213000y y y =＜，＞，， ∴132y y y ＜＜， ∴⑥不正确；故选：B ．本题主要考查的是二次函数图像的性质以及二次函数对称轴，数量掌握二次函数图像的性质是解决本题的关键．6．B解析：B 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x ＝042＝2，故选项B 正确；当x ＜2 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故选项A 错误；当0≤x ≤4时，y ≤0，故选项C 错误；由二次函数图象具有对称性可知，若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2或x 2＜x 1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．D解析：D 【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，再求出抛物线的对称轴为直线x=a ，根据二次函数的性质得到a≥-1，从而得到实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．【详解】解∵抛物线22236y x ax a a =-+-+与x 轴没有公共点，∴△=（-2a ）2-4（a 2-3a+6）＜0，解得a ＜2，∵抛物线的对称轴为直线x=-22a-=a ，抛物线开口向上，而当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小， ∴a≥-1，∴实数a 的取值范围是-1≤a ＜2．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．8．A解析：A 【分析】由题意易得20a b +-=，且0,0a b >>，则有当x=1时，y<0，即20a b --<，进而可得22a b -<-<，然后由-a b 为整数，则有1a b -=或0或-1，最后求解即可．【详解】解：∵二次函数()220y ax bx a =--≠的图象的顶点在第四象限，且过点()1,0-，∴20a b +-=，且0,0a b >>，当x=1时，y<0，即20a b --<， ∴2a b +=，且0,2a a b >-<， ∴02,02a b <<<<， ∴22a b -<-<， ∵-a b 为整数，∴1a b -=或0或-1，若1a b -=时，则有31,22a b ==，从而34ab =；若0a b -=时，则有1,1a b ==，从而1ab =；若1a b -=-时，则有13,22a b ==，从而34ab =；故选A ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．9．C解析：C 【分析】根据拋物线的开口方向以及对称轴为x ＝1，即可得出a 、b 之间的关系以及ab 的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上，可知c 为正结合a ＜0、b ＞0即可得出②错误；将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x 轴只有一个交点从而得知③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x ＝1以及点B 的坐标，即可得出抛物线与x 轴的另一交点坐标，④正确；⑤根据两函数图象的上下位置关系即可判断y 2＜y 1，故⑤正确；当1x ＝时y 1有最大值，a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即可判断⑥正确．【详解】解：由抛物线对称轴为直线x ＝2ba-，从而b ＝﹣2a ，则2a ＋b ＝0，故①正确；抛物线开口向下，与y 轴相交于正半轴，则a ＜0，c ＞0，而b ＝﹣2a ＞0，因而abc ＜0，故②错误；方程ax 2＋bx ＋c ＝3从函数角度可以看做是y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝3求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），则抛物线与直线有且只有一个交点故方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，故③正确；由抛物线对称性，与x 轴的一个交点B （4，0），则另一个交点坐标为（﹣2，0），故④错误；由图象可知，当1＜x ＜4时，y 2＜y 1，故⑤正确；因为x ＝1时，y 1有最大值，所以a ＋b ＋c ≥am 2＋bm ＋c ，即a ＋b ≥m （am ＋b ）（m 实数），故⑥正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识考查知识点较多．解答的关键在于读懂图象信息，掌握二次函数知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．B解析：B【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线y=-x 2+2x-3=-（x-1）2-2，∴该抛物线的开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为()1,2-，故选项B 正确；当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x 轴没有交点，故选项C 错误；对称轴是直线x=1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．C解析：C【分析】先求出y=（x-1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：二次函数y=（x-1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y=（x-2）2+2．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．12．B解析：B【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判定即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：12b a -< 由抛物线的图象可知：a ＞0，∴-b ＜2a ，∴2a+b ＞0，故①正确；②当x=1时，y=a+b+c=0，当y=ax 2+bx+c=0，∴x=1或x=m ，∴当m≠1时，a+b=am 2+bm ，故②错误；③由图象可知：x=-1，y=2，即a-b+c=2，∵a+b+c=0，∴b=-1，∴c=1-a∴a+c=a+1-a=1＜2，故③错误；④由于a+b=-c=a-1，∵c ＜0，∴a-1＞0，∴a ＞1，∴0＜11a< ∵x 0=111,a a a--=-+ ∴-1＜-1+1a ＜0 ∴-1＜x 0＜0，故④正确；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是应用数形结合思想解题．二、填空题13．②③④【分析】由题意易得顶点坐标为（a ﹣a+1）所以这个函数图象的顶点始终在直线y=﹣x+1上抛物线开口向下对称轴为直线x=a 由此可判定②由可判定③假设存在一个a 的值使得函数图象的顶点与x 轴的两个交解析：②③④【分析】由题意易得顶点坐标为（a ，﹣a +1），所以这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，由此可判定②，由122x x a +>可判定③，假设存在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，进而可求解．【详解】解：抛物线y =﹣（x ﹣a ）2﹣a +1（a 为常数），①∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），∴这个函数图象的顶点始终在直线y =﹣x +1上，故结论①错误；②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =a ，当﹣1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，∴a 的取值范围为a ≥2，故结论②正确；③∵x 1+x 2＞2a ， ∴122x x a +>， ∵抛物线对称轴为直线x =a ，∴点A 离对称轴的距离小于点B 离对称轴的距离，∴y 1＞y 2，故结论③正确；④假设存在一个a 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，令y =0，得﹣（x ﹣a ）2﹣a +1=0，其中a ≤1，解得：x 1=a ，x 2=a ．∵顶点坐标为（a ，﹣a +1），且顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，∴|﹣a +1|=|a ﹣（a ）|，解得：a =0或1，当a =1时，二次函数y =﹣（x ﹣1）2，此时顶点为（1，0），与x 轴的交点也为（1，0），不构成三角形，舍去；∴存在a =0，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形，故结论④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 14．y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点进而可得新抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为解析：y ＝（x ﹣2）2+2【分析】根据原二次函数的解析式可得原抛物线的顶点，进而可得新抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数利用顶点式可得新函数解析式．【详解】∵二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y ＝（x ﹣2）2+2．故答案为y ＝（x ﹣2）2+2．【点睛】本题考查了二次函数的平移问题；用到的知识点为：平移不改变二次项的系数；二次函数的平移，看顶点的坐标平移即可，用顶点式较简便．15．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点．故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．16．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上， ∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 18．【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标从而可得到y 的最小值然后再求得最大值即可【详解】解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10∴当x=2时y 有最小值最小值为-10∵∴当x=解析：106y -≤≤【分析】先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y 的最小值，然后再求得最大值即可．【详解】解：y=x 2-4x-6=x 2-4x+4-10=（x-2）2-10．∴当x=2时，y 有最小值，最小值为-10．∵16x -≤≤，∴当x=6时，y 有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．∴y 的取值范围为106y -≤≤．故答案为：106y -≤≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时函数有最小值为-5故答案为-5【点睛】本题主要考查了二次函数的最值掌握根据二次函数的顶点式求最解析：-5【分析】根据二次函数的顶点式的意义即可确定函数的最值．【详解】解：∵y=（x+2）2-5∴当x=-2时，函数有最小值为-5．故答案为-5．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握根据二次函数的顶点式求最值的方法是解答本题的关键．20．(2-1)或（2-1）或（2+1）【分析】当y=0时求得x 的值确定AB 的长设点P 坐标为根据三角形面积公式列方程求解即可【详解】解：当y=0时解得：∴AB=2设点P 坐标为∴∴当时解得x=2此时P 点坐标解析：(2，-1)或（1），或（，1）．【分析】当y=0时，求得x 的值，确定AB 的长，设点P 坐标为2(,43)x x x -+，根据三角形面积公式列方程求解即可．【详解】解：当y=0时，243=0x x -+解得：121,3x x ==∴AB=2设点P 坐标为2(,43)x x x -+， ∴214312APB S AB x x ∆=-+= ∴2431x x -+=当2431x x -+=-时，解得x=2，此时P 点坐标为(2，-1)当2431x x -+=时，解得122x x =P 点坐标为（，1），或（，1）综上，P 的坐标为：(2，-1)或（1），或（，1）故答案为：(2，-1)或（，1），或（，1）．【点睛】本题考查二次函数与图形，利用数形结合思想列方程求解是解题关键．三、解答题21．（1）()104002024y x x =-+≤≤；（2）当销售单价定为24元时，利润最大，为1280元．【分析】（1）根据题意易得每天减少的销量为()1020x -本，然后问题可求解；（2）设每天的利润为w 元，根据题意可得()()21610400105606400w x x x x =--+=-+-，然后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：()200102010400y x x =--=-+，∵书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%，∴1625161650x ⨯≤-≤⨯％％，解得：2024x ≤≤，∴每天的销售量y (本)与销售单价x (元)之间的函数关系式为()104002024y x x =-+≤≤；（2）设每天的利润为w 元，根据题意得：()()()22161040010560640010281440w x x x x x =--+=-+-=--+， ∵100a =-<，开口向下，对称轴为直线28x =，∴当2024x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当x=24时，利润最大，最大值为：()221028144010414401280w x =--+=-⨯+=（元）；答：当销售单价定为24元时，每天的利润最大，最大利润是1280元．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键． 22．（1）甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）每听罐头的价钱应为25元【分析】（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，列出分式方程进行求解；（2）先根据（1）中的结果算出水果成本，然后设降价m 元，表示出销量和单个利润，列出总利润的表达式，最后求出最值；（3）令（2）中的利润为6万元，列式求出m 的值，取范围内的值求出罐头价钱．【详解】解：（1）设甲种水果的单价为x 元/千克，乙种水果的单价为()2x +元/千克，根据题意得，180********x x =+，解得：6x =，经检验，6x =是方程的根，28x ∴+=，答：甲、乙两种水果的单价分别为6元/千克、8元/千克；（2）由（1）知每听罐头的水果成本为：60.580.57⨯+⨯=元，每听罐头的总成本为：5773157+⨯+=元，设降价m 元，则利润()()22815300010001000W m m m =--+=-+()210000390001000564000m m +=--+，10000-<，∴当5m =时，W 有最大值为64000，∴当售价为23元时，利润最大，最大利润为64000元；（3）由（2）知，()2100056400060000W m =--+=，解得：7m =或3m =，但是降价的幅度不超过定价的15%，3m ∴=， ∴售价为28325-=（元），答：每听罐头的价钱应为25元．【点睛】本题考查分式方程的应用和二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出方程或者函数表达式进行求解．23．（1）（2，9）；（2）（5，0）、（﹣1，0）；（3）当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【分析】（1）由y=-x 2+4x+5=-（x-2）2+9即可求解；（2）令y=-x 2+4x+5=0，解得x=5或-1，即可求解；（3）a=-1＜0，则抛物线开口向下，即可求解．【详解】解：（1）y ＝﹣x 2+4x +5＝﹣（x ﹣2）2+9，则抛物线的顶点坐标为（2，9）；（2）令y ＝﹣x 2+4x +5＝0，∴()-5(1=0x x ++）解得x ＝5或﹣1，故图象与x 轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；（3）∵a ＝﹣1＜0，故抛物线开口向下，故当﹣1＜x ＜5时，y ＞0．【点睛】【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．24．（1）1802y x =-+；（2）215048002w x x =-++ ；（3）当x=50时，w 的最大值为6050．【分析】（1）由图像可得坐标()()12,74,28,66，设y kx b =+，然后代入求解即可；（2）根据（1）及题意可直接进行求解；（3）由（2）及二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1））由图像可得坐标()()12,74,28,66，则设y kx b =+，把点()()12,74,28,66代入得：12742866k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1280k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴1802y x =-+；（2）由（1）及题意得：()()16060802w x y x x ⎛⎫=+⋅=+⋅-+ ⎪⎝⎭215048002x x =-++；（3）由（2）得：()221150480050605022w x x x =-++=--+， ∴102a =-<，开口向下，对称轴为直线50x =， ∴当50x ≤时，y 随x 的增大而增大，当50x ≥时，y 随x 的增大而减小，∴当50x =时，w 取最大，最大值为6050．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．25．（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得：314c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．26．（1）A (-1，0)，B(2，0)；（2）0或1【分析】（1）解方程x 2-x-2=0可得A ，B 两点的坐标；（2）把P （m ，-2）代入y=x 2-x-2得m 2-m-2=-2，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：（1）当y ＝0时，x 2-x-2＝0，解得x 1＝-1，x 2＝2，∴A （-1，0），B （2，0）；（2）把P （m ，-2）代入y ＝x 2-x-2得m 2-m-2＝-2，解得m 1＝0，m 2＝1，∴m 的值为0或1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．。

九年级上册数学《二次函数》单元测试题(含答案)

九年级上册数学《二次函数》单元测试卷（满分120分,考试用时120分钟）一、单选题（共10题；共30分）1.下列函数中是二次函数的是（）A. y=2（x﹣1）B. y=（x﹣1）2﹣x2C. y=a（x﹣1）2D. y=2x2﹣12.二次函数的最小值是A. B. 1 C. D. 23.抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A. （3,4）B. （3,﹣4）C. （﹣3,4）D. （﹣3,﹣4）4.函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c-4=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个异号的实数根C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根5.已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2,下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3,﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0,﹣2）；④当x≤3时,y随x的增大而减小,其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6.二次函数y＝x2－6x＋5的图像的顶点坐标是（）A. (－3,4)B. (3,4)C. (－1,2)D. (3,－4)7.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A. B.C. D.8.点A,B的坐标分别为（﹣2,3）和（1,3）,抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时,形状保持不变,且与x轴交于C,D两点（C在D的左侧）,给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时,y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5,则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时,．其中正确的是（）A. ②④B. ②③C. ①③④D. ①②④9.如图1,菱形纸片ABCD的边长为2,∠ABC=60°,将菱形ABCD沿EF,GH折叠,使得点B,D两点重合于对角线BD上一点P（如图2）,则六边形AEFCHG面积的最大值是（）A. B. C. 2﹣ D. 1+10.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(－3,－6),有以下结论：①当a＞0时,b2＞4ac；②当a＞0时,ax2+bx+c≥-6；③若点(－2,m) ,(-5,n) 在抛物线上,则m＜n；④若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一根为－5,则另一根为－1．其中正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③④D. ①②④二、填空题（共10题；共30分）11.若抛物线y＝x2－2x－3与x轴分别交于A,B两点,则AB的长为________．12.二次函数y=－2x2+3的开口方向是_________．13.抛物线与轴只有一个公共点,则的值为．14.已知一个二次函数的图象开口向上,顶点坐标为（0,﹣1 ）,那么这个二次函数的解析式可以是_________．（只需写一个）15.已知,当_______时,函数值随x的增大而减小.16.若将二次函数y = x2- 2x + 3配方为y = （x - h ）2 + k的形式,则y = ________．17.已知抛物线y=x2+2（m+2）+m2与x轴有两个交点,则m的取值范围________．18.如果A（﹣1,y1）,B（﹣2,y2）是二次函数y=x2+m图象上的两个点,那么y1________y2（填“＜”或者“＞”）19.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数,小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球,假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t= ．20.对于一个函数,如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时,−1≤y≤1,则称这个函数为“闭函数”.例如：y=x,y=−x 均是“闭函数”. 已知 y = ax2+ bx + c(a≠0) 是“闭函数”,且抛物线经过点A(1,−1)和点 B(−1,1),则 a 的取值范围是______________.三、解答题（共8题；共60分）21.抛物线y=-x2+bx+c过点（0,-3）和（2,1）,试确定抛物线的解析式,并求出抛物线与x轴的交点坐标．22.如图,用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园,写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数．23.抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2,1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后,所得新抛物线与x轴交于A、B两点,如果AB=2,求新抛物线的表达式．24.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数）的对称轴为x=1,与y轴的交点为c（0,4）,y的最大值为5,顶点为M,过点D（0,1）且平行于x轴的直线与抛物线交于点A,B．（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A、B的坐标；（Ⅱ）点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,求出所有点P的坐标．25.如图是一座古拱桥的截面图．在水平面上取点为原点,以水平面为轴建立直角坐标系,桥洞上沿形状恰好是抛物线的图像．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米高的景观灯．请求出这两盏景观灯间的水平距离．26.已知：如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,B（3,0）,与y轴交于点C．过点C作CD∥x 轴,交抛物线的对称轴于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m个单位,使其顶点落在D点,求m的值．27.已知二次函数的图象的顶点在原点O,且经过点A（1,）．（1）求此函数的解析式；（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处,直线x=2分别交原抛物和新抛物线于点M和N,且S△PMN=, 求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．28.为鼓励大学毕业生自主创业,某市政府出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数:y=-10x+500 ．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元,那么政府这个月为他承担的总差价为多少元? （2）设李明获得的利润为W（元）,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?（3）物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元?参考答案一、单选题（共10题；共30分）1.下列函数中是二次函数的是（）A. y=2（x﹣1）B. y=（x﹣1）2﹣x2C. y=a（x﹣1）2D. y=2x2﹣1【答案】D【解析】根据二次函数的概念,形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数是二次函数,可知：A、y=2x﹣2,是一次函数,B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1,是一次函数,C、当a=0时,y=a（x﹣1）2不是二次函数,D、y=2x2﹣1是二次函数．故选：D．2.二次函数的最小值是A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】试题分析：∵(x-1)2>O∴(x-1)2+2≥2 ∴当x=1时,y有最小值,y=2考点：二次函数的顶点解析式点评：要求学生熟练的掌握二次函数的三种表达式,有一般式,两点式,顶点式。

(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》检测(包含答案解析)(1)

一、选择题1．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =-．下列结论：①240b ac ->，②0abc <，③420a b c -+>．其中正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 2．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为（）A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣5D ．﹣7 4．已知函数221y x x =--，下列结论正确的是（）A ．函数图象过点()1,1-B ．函数图象与x 轴无交点C ．当1≥x 时， y 随x 的增大而减小D ．当1x ≤时， y 随x 的增大而减小 5．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图，图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，下列结论：①a ﹣b +c ＝0；②2a +b ＝0； ③4ac ﹣b 2＞0；④a +b ≥am 2+bm （m 为实数）；⑤3a +c ＞0．则其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个6．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac ＜0；②b ＜0；③4ac ﹣b 2＜0；④当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc <；②420a b c ++>；③b a c <+；④230c b -<；⑤2(1)a b an bn n +>+≠，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在平面直角坐标系中抛物线2y x =的图象如图所示，已知点A 坐标为(1，1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A 过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ，……则点2020A 的坐标为（）A ．(1011， 21011)B ．(-1011， 21011)C ．(-1010， 21011)D ．(1010， 21011)9．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（） x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 10．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,1 11．抛物线()2526y x =-+-可由25y x =-如何平移得到（）A ．先向右平移2个单位，再向下平移6个单位B ．先向右平移2个单位，再向上平移6个单位C ．先向左平移2个单位，再向下平移6个单位D ．先向左平移2个单位，再向上平移6个单位12．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（）A ．3a 1-<<-B ．2a 1-<<C ．1a 0-<<D ．2a 4<<二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．14．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C ．若点1(2,)M y ，2(1,)N y -，3(8,)K y 也在二次函数2y ax bx c =++的图象上，则1y ，2y ，2y 的从小到大的关系是___．15．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．16．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．17．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________18．二次函数2y ax bx c =++的图象经过(1,0)A ，对称轴为1x =-，其图像如图所示，则化简2244||b bc c a b c +++-+的结果为___________．19．将抛物线223y x x =---向右平移三个单位，再绕原点O 旋转180°，则所得抛物线的解析式____．20．抛物线y ＝x²－x 的顶点坐标是________三、解答题21．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中自变量x 和函数值y 的部分对应值如表：（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为．22．在“万众创业、大众创新”的新时代下，大学毕业生小张响应国家号召，开办了家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润且让利给顾客，现将饰品售价降价x （元/件）（且x 为整数），每月饰品销量为y （件），月利润为w （元）．（1）写出y 与x 之间的函数解析式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润等于6000元时，应如何确定销售价格．23．如图1，抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），连接AC ，若OC =2OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴l 上有一动点P ，当PC +PA 最小时，求出点P 的坐标；（3）如图2所示，连接BC ，M 是线段BC 上（不与B 、C 重合）的一个动点．过点M 作直线l '∥l ，交抛物线于点N ，连接CN ，BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？24．已知二次函数2(21)3y x m x m =-+-．（1）若2m =，写出该函数的表达式，并求出函数图象的对称轴．（2）已知点()1,P m y ，()24,Q m y +在该函数图象上，试比较1y ，2y 的大小．（3）对于此函数，在13x -≤≤的范围内函数最大值为-2，求m 的值．25．已知抛物线的顶点为()1,4-，且过点()2,5-．（1）求抛物线的解析式；（2）当0y >时，自变量x 的取值范围是______（直接写出结果）．26．已知关于x 的方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=．（1）若2b =，且2x =是此方程的根，求a 的值；（2）若此方程有实数根，当51a -<<-时，求函数242y a a ab =++的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】先由抛物线与x 轴的交点个数判断出结论①，再根据二次函数图像的开口方向，及与y 轴的交点位置，对称轴的位置分别判断出,,a b c 的符号可判断结论②,最后用2x =-时，抛物线再x 轴上方判断结论③．【详解】由图象知,抛物线与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b 2-4ac>0,故①正确，由图象知抛物线的开口向下0a <，抛物线与y 轴交于正半轴0c >，对称轴直线为1x =-， ∴102b a-=-<，可推出0b <， ∴0abc >，故②错误，由图象知,当x=-2与x=0对应的y 值相同，0y >，∴420a b c -+>，故③正确．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线的开口方向，与y 轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解题的关键2．B解析：B【分析】根据△=24b ac -与零的关系即可判断出二次函数的图象与x 轴的交点问题；【详解】∵ ()()22356y x x x x =--=-+， ∴ △=24b ac -=25-24=1＞0∴二次函数()()23y x x =--与x 轴有两个交点；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，熟练掌握判别式△=24b ac -是解题的关键； 3．C解析：C【分析】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，求出a ＝13；当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，求出x 值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B 时，点N 的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣1）2﹣3，把点N 的坐标代入得：0＝a （4﹣1）2﹣3，解得：a ＝13，当顶点在点A 时，M 点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y ＝13（x ＋2）2﹣3，令y ＝0，则x ＝﹣5或1，即点M 的横坐标的最小值为﹣5，故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数与x 轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．4．D解析：D【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．【详解】解：A 、当x=-1时，221y x x =--=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误； B 、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故此选项错误；C 、∵221y x x =--=（x ﹣1）2﹣2，且1＞0，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，故此选项错误；D 、当x≤1,时，y 随x 的增大而减小，此选项正确，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质、抛物线与x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．5．B解析：B【分析】由抛物线过点A(3，0)及对称轴为直线x=1，可得抛物线与x 轴的另一个交点，则可判断①②是否正确；由抛物线与x 轴有两个交点，可得△>0，据此可判断③是否正确；由x=1时，函数取得最大值，可判断④是否正确；把b=-2a 代入a-b+c=0得3a+c=0，则可判断⑤是否正确．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，∴点A （3，0）关于直线x ＝1对称点为（﹣1，0），∴当x ＝﹣1时，y ＝0，即a ﹣b +c ＝0．故①正确；∵对称轴为直线x ＝1，∴﹣2b a＝1，∴b ＝﹣2a ，∴2a +b ＝0，故②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ﹣b 2＜0，故③错误； ∵当x ＝1时，函数有最大值，∴a +b +c ≥am 2+bm +c ，∴a +b ≥am 2+bm ，故④正确； ∵b ＝﹣2a ，a ﹣b +c ＝0，∴a +2a +c ＝0，即3a +c ＝0，故⑤错误；综上，正确的有①②④．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键．6．B解析：B【分析】由抛物线的开口方向判定a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a ＞0；又∵二次函数的图象与y 轴的交点在负半轴，∴c ＜0；∴ac ＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x ＝2b a-＝1，则b ＝﹣2a ＜0．故②正确； ③由图象知，抛物线与x 轴有2个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故③正确；④由图象可知当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：B ．【点睛】此题考查学生掌握二次函数的图像与性质，考查了数形结合的数学思想，解本题的关键是根据图像找出抛物线的对称轴．7．D解析：D【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、以及不等式的性质进行判断即可．【详解】抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x ＝−b 2a ＝1＞0，a 、b 异号，因此b ＞0，且2a ＋b ＝0，抛物线与y 轴的交点在正半轴，因此c ＞0，所以：abc ＜0，因此①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＞0，因此②正确；当x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＜0，即，a ＋c ＜b ，因此③不正确；∵a−b ＋c ＜0，2a ＋b ＝0，∴−12b−b ＋c ＜0，即2c−3b ＜0，因此④正确；当x ＝1时，y 最大值＝a ＋b ＋c ，当x ＝n （n≠1）时，y ＝an 2＋bn ＋c ＜y 最大值，即：a ＋b＋c ＞an 2＋b ＋c ，也就是2a+b an +bn(n 1)>≠，因此⑤正确，正确的结论有：①②④⑤，故选：D ．【点睛】考查二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．8．A解析：A根据二次函数性质可得出点A 1的坐标，求得直线A 1A 2为y ＝x ＋2，联立方程求得A 2的坐标，即可求得A 3的坐标，同理求得A 4的坐标，即可求得A 5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A 2020的坐标．【详解】∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（−1，1），∵A 1A 2∥OA ，设直线A 1A 2为y ＝x ＋b把A 1（−1，1）代入得1=-1+b解得b=2∴直线A 1A 2为y ＝x ＋2，解22y x y x=+⎧⎨=⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（−2，4），∵A 3A 4∥OA ，设直线A 3A 4为y ＝x ＋n ，把A 3（−2，4）代入得4＝-2＋n ，解得n=6∴直线A 3A 4为y ＝x ＋6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（−3，9）同理求出A 6（4，16），A 7（-4,16）A 8（5，25），A 9（-5,25）A 10（6，36），A 11（-6,36） …，∴A 2n 为22222,22n n ⎡⎤++⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ∴A 2020（1011，10112），故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．9．B解析：B【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=0，∴抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；①正确；抛物线对称轴为：直线0212x +==，即12b a-=，∴2a +b =0，②正确；当y=0时，x=0或x=2且抛物线顶点坐标为（1，-1）∴抛物线开口向上，当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；③正确由以上分析可知当x=1时，y 取得最小值为a+b+c 若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm+c≥a+b+c ．即am 2＋bm≥a+b ，④错误故选：B【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．C解析：C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．【详解】解：因为()2526y x =-+-．所以将抛物线25y x =-先向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到抛物线()2526y x =-+-．故选：C ．【点睛】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 12．C解析：C【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题13．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上，∴F 点的纵坐标为：2x -又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 14．【分析】根据点ABC 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性由此即可得【详解】点在二次函数的图象上此二次函数的对称轴为点BC 的横坐标大小关系为纵坐标大小关系为当时y 随x 的增大而增大；当时y 随x 的增大而减小解析：123y y y <<【分析】根据点A 、B 、C 的坐标可得二次函数的对称轴和增减性，由此即可得．【详解】点(1,2)A ，(3,2)B ，(5,7)C 在二次函数2y ax bx c =++的图象上， ∴此二次函数的对称轴为1322+=，点B 、C 的横坐标大小关系为532>>，纵坐标大小关系为72，∴当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小，由二次函数的对称性得：1x =-时的函数值与5x =时的函数值相等，即为27y =，又点1(2,)M y ，3(8,)K y 在二次函数2y ax bx c =++的图象上，且258， 137y y ，即123y y y <<，故答案为：123y y y <<．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．15．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】 2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)，所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++．故答案为：2710y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 16．【分析】先求出函数图像的对称轴然后根据二次函数的增减性即可解答【详解】解：∵函数图像的对称轴为x=1∴当数值随的增大而减小故答案为【点睛】本题考查了二次函数的增减性确定二次函数的对称轴是解答本题的关键解析：1x <【分析】先求出函数图像的对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解答．【详解】解：∵函数223y x x =--图像的对称轴为x=1∴当1x <，数值y 随x 的增大而减小．故答案为1x <．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，确定二次函数的对称轴是解答本题的关键．17．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 18．【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性二次根式的性质求解即可【详解】解：观察图象得：a<0c>0把A(10)代入得a+b+c=0∴c=-a-b ∵=-1∴b=2a<0∴c=-a-2a=-3a>0∴解析：2a b c -+-【分析】根据二次函数的性质及绝对值的非负性，二次根式的性质求解即可．【详解】解：观察图象得：a<0，c>0，把A(1，0)代入2y ax bx c =++得a+b+c=0，∴c= -a-b ， ∵2b a -= -1，∴b=2a<0，∴c=-a-2a=-3a>0，∴2b+c=4a-3a=a<0，a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，∴||a b c -+=a b c -+=-(2b+c)+a-b+c=-2b-c+a-b+c= -3b+a=-5a ，故答案为-5a ．【点睛】本题考查了二次函数的性质及绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 19．【分析】先求出抛物线的顶点坐标再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标然后根据平移旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可【详解析：2(2)2y x =++【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．【详解】223y x x =---()22113x x =-+++-2(1)2x =-+-，所以，抛物线的顶点坐标为（-1，-2）．∵向右平移三个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，-2）．∵再绕原点O 旋转180°，∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（-2，2），且开口向上∴所得抛物线解析式为2(2)2y x =++．故答案为：2(2)2y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．20．【分析】先把函数解析式配成顶点式得到然后根据顶点式即可得到顶点坐标【详解】解：所以抛物线的顶点坐标为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式解析：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先把函数解析式配成顶点式得到21124()y x =--，然后根据顶点式即可得到顶点坐标．【详解】解：2211()24y x x x =-=--，所以抛物线的顶点坐标为11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：11,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握将二次函数的一般形式化为顶点式．三、解答题21．（1）y ＝x 2﹣4x+5．（2）见解析；（3）y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【分析】（1）当x=1或3时，y 均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a 的值，也就求得了二次函数的值；（2）描点、连线画出函数图象即可；（3）根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可求得．【详解】解：（1）由图表可知抛物线y ＝ax 2+bx+c 过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x ＝132+＝2； ∴顶点坐标为：（2，1），∴设y ＝a （x ﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a ＝1，∴二次函数的解析式为：y ＝（x ﹣2）2+1，即y ＝x 2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y ＝x 2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象关于x 轴对称，∴﹣y ＝x 2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y ＝﹣x 2+4x ﹣5，故答案为y ＝﹣x 2+4x ﹣5．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．（1）y ＝300+20x ；（2）当售价为57元时，利润最大，最大利润为6120元；（3）将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【分析】（1）由售价每下降1元每月要多卖20件，可得y 与x 之间的函数解析式；（2）由月利润=单件利润×数量，可得w 与x 的函数解析式，由二次函数的性质可求解；（3）将w=6000代入解析式，解方程可求解．【详解】（1）由题意可得：30020y x =+；（2）由题意可得：()()2203002020( 2.5)6125w x x x =-+=--+，由题意可知x 应取整数，当2x =或3元时，w 有最大值，∵让利给顾客，∴3x =，即当售价为57元时，利润最大，∴最大利润为6120元；（3）由题意，令w=6000，即25600020()61252x =--+，解得10x =（舍去），25x =，故将销售价格为55元，才能使每月利润等于6000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的性质，找出正确的函数关系式是本题的关键．23．（1）y =x 2-3x +2；（2）点P 的坐标为（32，12）；（3）当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【分析】（1）先确定c ，然后再根据OC =2OA 确定A 点的坐标，再将A 点的坐标代入解析式求得b 即可解答；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '，此时PA+PB 最小；然后求得直线BC 的解析式，最后确定P '的坐标即可；（3）先求出M 点坐标，然后再根据S △BCN =S △MNC +S △MNB 确定二次函数关系式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 过点C （0，2），∴c =2又∵OC =2OA ，∴OA =1，即A （1，0）；又∵点A 在抛物线y =x 2+bx +2上，∴0=12+b ×1+2，b =-3；∴抛物线对应的二次函数的解析式为y =x 2-3x +2；（2）如图：作点A 关于直线l 对称的对称点，即点B ，连接BC ，与直线l 交于点P '，则PA +PC 的最小值为P 'B +P 'C =BC ，设BC 的解析式为y =mx +n ，令x 2-3x +2=0，解得：x =1或2，∴B （2，0），又∵C （0，2）， ∴202m n n +=⎧⎨=⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y =-x +2，令x =32，代入，得：y =12，∴当PC +PA 最小时，点P 的坐标为（32，12）；（3）如图：∵点M 是直线l '和线段BC 的交点，∴M 点的坐标为（t ，-t +2）（0＜t ＜2），∴MN =-t +2-（t 2-3t +2）=-t 2+2t ，，∴S △BCN =S △MNC +S △MNB =12MN ▪t +12MN ▪（2-t ）=12MN ▪（t +2-t ）=MN =-t 2+2t （0＜t ＜2）， ∴S △BCN =-t 2+2t =-（t -1）2+1，∴当t =1时，S △BCN 的最大值为1．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，正确求出函数解析式并掌握数形结合思想是解答本题的关键．24．（1）256y x x =--，直线52x =；（2）21y y >；（3）4 【分析】（1）把m=2代入y=x 2-（2m+1）x-3m 即可求得函数的表达式，进而根据对称轴x=-2b a 求得对称轴；（2）把P （m ，y 1），Q （m+4，y 2）两点代入y=x 2-（2m+1）x-3m 比较即可；（3）分132m +>，1132m -≤+≤，112m +<-三种情况，列式求解即可．【详解】解：（1）2(21)3y x m x m =-+-，∴当2m =时，256y x x =--，对称轴：直线55222b x a -=-=-=， ∴函数的解析式为：256y x x =--，对称轴为：直线52x =．（2）2(21)3y x m x m =-+-，∴对称轴为直线(21)1222b m x m a -+=-=-=+， ∵抛物线开口向上，(,)P m y 距对称轴为：1122m m +-=， ()24,Q m y +距对称轴为：17422m m +--=， ∴Q 离对称轴更远，2y 值更大． 21y y ∴>．（3）2(21)3y x m x m =-+-， ∴对称轴为：12x m =+， ①当132m +>，即52m >，当1x =-时，max 2y =-，12132m m ∴++-=-，4m ∴=，符合52m >．．②当1132m -≤+≤时，即3522m -≤≤，若1x =-时，y 取最大-2， 12132m m ∴++-=-，解得4m =，不符合：3522m -≤≤（舍）若3x =时，y 取最大-2，则93(21)32m m -+-=-，解得：89m =，符合3522m -≤≤，当89m =时，对称轴：81259218x =+=， 2518x =离3x =距离为：2918，2518x =离1x =-距离为：4318， ∴离1x =-更远，最大值应在1x =-处取得，与3x =处取最大值矛盾，故舍去．③当112m +<-时，即32m <-时，3x =处，取最大值，如图，93(21)32m m ∴-+-=-，解得：89x =，不符合32m <-，故舍去．综上所述，m 的值为4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意得到一元一次不等式．25．（1）()214y x =--或223y x x =--；（2）1x <-或3x >【分析】（1）直接利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）首先求出图象与x 轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围．【详解】（1）设抛物线的解析式为()214y a x =--把点()2,5-代入得()25214a =---∴1a =∴()214y x =--或223y x x =-- （2）（2）当y ＝0可得，0＝（x−1）2−4，解得：1x ＝3，2x ＝−1，故抛物线与x 轴的交点为：（−1，0），（3，0），如图所示：可得：当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围为：x ＜−1或x ＞3．【点睛】此题主要考查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x 轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．26．（1）12；（2）27y -≤< 【分析】（1）把2b =、2x =代入方程可得()()22212222210a a +⋅-+⋅++=，然后解a 关于的方程即可得解；（2）根据根的判别式的意义可得()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦，整理得()210ab -≤，利用非负数的性质得到1ab =，则函数242y a a ab =++为：()222y a =+-，再由51a -<<-可求得函数的取值范围．【详解】解：（1）∵若2b =，且2x =是此方程的根∴()()22212222210a a +⋅-+⋅++= ∴2102a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ∴1212a a ==∴a 的值为12．（2）∵方程222(1)2()10a x a b x b +-+++=有实数根∴()()()2222424110b ac a b a b ∆=-=-+-⋅+⋅+≥⎡⎤⎣⎦ ∴()210ab -≤ ∴10ab -=∴1ab =∴函数242y a a ab =++为：()224222y a a a =++=+-∵51a -<<-∴可画出函数图象，如图：∴函数242y a a ab =++的取值范围是：27y -≤<．【点睛】本题考查了含参数的一元二次方程、一元二次方程的根的判别式、由自变量取值范围求函数取值范围等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．。

新人教版初中数学九年级数学上册第二单元《二次函数》测试题(包含答案解析)(4)

一、选择题1．设A(﹣2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 22．已知抛物线()20y ax bx c a =++<过()30A -,、()1,0O 、()15,B y -、()25,C y 四点，则1y 与2y 的大小关系是（） A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定3．设函数()()12y x x m =--，23y x=，若当1x =时，12y y =，则（） A ．当1x >时，12y y C ．当0.5x <时，12y y < D ．当5x >时，12y y >4．根据下列表格中的对应值：x1.98 1.992.00 2.01 2y ax bx c =++-0.06-0.05-0.030.01判断方程0ax bx c ++=（，a ，b ，c 为常数）一个根x 的范围是（）A ．1.00 1.98x <图象上三点()11,A y -、()21,B y 、()32,C y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．132y y y <B ．12y y <C ．12y y =D ．无法确定8．二次函数2y ax bx c =++()0a ≠的图象如图所示，观察得出了下面4条信息：①0abc >；②0a b c -+>；③230a b -=；④240b ac ->．你认为其中正确的结论有（）A ．1B ．2C ．3D ．49．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（）A ．13米 B ．12米 C ．25米 D ．35米 10．抛物线()2512y x =--+的顶点坐标为（） A ．()1,2-B ．()1,2C ．()1,2-D ．()2,111．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A ．0b C ．0a b c ++=D ．240b ac -<二、填空题13．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_____________．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则bc 的值为_____（填正或负）．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x x 2=--分别交y 轴，x 轴于点A ，B ，动点E 在抛物线上，EF x ⊥轴，交直线AB 于点F ．则EF 的长为______（用含字母x 的式子来表示）．16．已知二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0,0a c ≠>）上有五点()()1,01,(),p t n -、、()()2,3,0t 、；有下列结论：①0b >；②关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是1-和3；③20p t +<；④()(4m am b a c m +≤--为任意实数）．其中正确的结论_______________（填序号即可）． 17．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y125－3－4－3512利用二次函数的图象可知，当函数值时，x 的取值范围是．18．已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的图象上，则y 1_____y 2（填“＜”或“＞”或“＝”）．19．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道．20．二次函数2y x bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程28x bx c ++=-的根是____________．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．（1）若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？22．如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，6cm AC =，8cm BC =，点P 由A 出发向点C 移动，点Q 由C 出发向点B 移动，两点同时出发，速度均为1cm/s ，运动时间为t 秒．（1）几秒时PCQ △的面积为4？（2）是否存在t 的值，使PCQ △的面积为5？若存在，求这个t 值，若不存在，说明理由．（3）几秒时PCQ △的面积最大，最大面积是多少？23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题： ①若向左平移，则n 的取值范围是______． ②若向右平移，则n 的取值范围是______．24．某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：第x 天售价（元件）日销售量（件）130x ≤≤ 60x + 30010x -已知该商品的进价为40元/件．设销售该商品的日销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？（3）问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元．请直接写出结果． 25．有一块缺角矩形地皮ABCDE （如下图），其中110m AB =，80m BC =，90m CD =，135EDC ∠=︒，现准备用此地建一座地基为长方形（图中用阴影部分表示）的数学大楼，建筑公司在接受任务后，设计了A 、B 、C 、D 四种方案，请你研究探索应选用哪一种方案，才能使地基面积最大？（1）求出A 、B 两种方案的面积．（2）若设地基的面积为S ，宽为x ，写出方案C （或D ）中S 与x 的关系式．（3）根据（2）完成下表地基的宽()m x506070757879808182地基的面积（2m ）（5）用配方法对（2）中的S 与x 之间的关系式进行分析，并检验你的猜测是否正确．（6）你认为A 、B 、C 、D 中哪一种方案合理？26．地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售．已知这种玩具销售量y （个）与每个降价x （元）（020x <<）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y 与x 之间的函数解析式．（2）该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据二次函数的性质解答．【详解】由抛物线y ＝﹣（x ＋1）2＋a 可知：抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1， ∴点离对称轴越近该点的函数值越大， ∵2(1)1(1)2(1)---<--<--， ∴y 1＞y 2＞y 3，故选：A ．【点睛】此题考查二次函数的增减性：当a>0时，对称轴左减右增；当a<0时，对称轴左增右减．2．A解析：A 【分析】根据A （-3，0）、O （1，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，B 、C 两点与对称轴的远近，判断y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵抛物线过A （-3，0）、O （1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为x=312-+=-1， ∵a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，由()15,B y -、()25,C y 可知C 点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y 1＞y 2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．3．D解析：D 【分析】当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3，则m ＝4，画出函数图象即可求解．【详解】解：当y 1＝y 2，即（x ﹣2）（x ﹣m ）＝3x，把x ＝1代入得，（1﹣2）（1﹣m ）＝3， ∴m ＝4，∴y 1＝（x ﹣2）（x ﹣4），抛物线的对称轴为：x ＝3，如下图：设点A 、B 的横坐标分别为1，5，则点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，从图象看在点B 处，即x ＝5时，y 1＞y 2，故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式（组），主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解不等式．4．D解析：D 【分析】根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】由表格可知，在1.98 2.01x ≤≤内，y 随x 的增大而增大，当 2.00x =时，0.030y =-<，当 2.01x =时，0.010y =>，∴在2.00 2.01x <<内，必有一个x 的值对应的函数值0y =，∴方程20ax bx c ++=（0a ≠，,,a b c 为常数）一个根x 的范围是2.00 2.01x <<，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．5．B解析：B 【分析】把三点横坐标代入函数解析式，求出函数值，再进行比较大小即可．【详解】解：当x=-1时，y=-2a-a-4=-3a-4；当x=1时，y=-2a+a-4=-a-4；当x=2时，y=-8a+2a-4=-6a-4； ∵a ＞0∴-6a-4＜-3a-4＜-a-4 ∴312y y y << 故选B 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，可以判断y 1，y 2，y 3的大小．6．C解析：C 【分析】根据图像判断二次函数的系数a 、b 、c 的正负性，即可求得．【详解】∵二次函数图像开口向下 ∴a ＜0又∵二次函数图形与y 轴交点在y 正半轴上 ∴c ＞0∵对称轴在y 轴左侧∴02ba -< ∴b ＜0∴ac ＜0，bc ＜0∴点(,)A ac bc 在第三象限故选C 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题关键．7．B解析：B 【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A 、B 的横坐标的大小即可判断出y 1与y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y=x 2-4x+5的图象的对称轴是x=2，在对称轴的右面y 随x 的增大而增大，∵点P （3，y 1）、Q （4，y 2）是二次函数y=x 2-4x+5的图象上两点， 2＜3＜4， ∴y 1＜y 2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键8．C解析：C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行分析，进而对所得结论进行判断．【详解】①由二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上可知a ＞0，图象与y 轴交点在负半轴，c ＜0，对称轴b 1x=-=2a 3，2b=-a 3＜0，因此0abc >，故正确； ②由图象可知x ＝−1时，y ＝a−b ＋c ＞0，故正确；③对称轴b 1x=-=2a 3，2+30a b =，故错误； ④由图象与x 轴有两个交点，可知240b ac ->，故正确．所以①②④三项正确，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 系数符号的确定．9．C解析：C 【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ．解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．10．B解析：B【分析】由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【详解】解：∵y=-5（x-1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．11．C解析：C【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-，∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上，∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【详解】A ．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y 轴右侧，则-2b a>0，所以b>0，故A 错误；B ．抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴，则c<0，故B 错误；C ．抛物线与x 轴一个交点为（1，0），则x=1时，0y a b c =++=，故C 正确；D ．抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ∆=->，故D 错误，故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键. 二、填空题13．【分析】根据AB 两点的横坐标可得−1<x<3时ax2+c<mx+n 即可得出ax2−mx+c<n 的解集【详解】∵抛物线与直线交于A(−1p)B(3q)抛物线开口向上∴−1<x<3时ax2+c<mx+n解析：13x【分析】根据A 、B 两点的横坐标可得 −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，即可得出 ax 2−mx+c<n 的解集．【详解】∵抛物线与直线交于 A(−1，p) ， B(3，q) ，抛物线开口向上，∴ −1<x<3 时， ax 2+c<mx+n ，∴ ax 2−mx+c<n 的解集为 −1<x<3 ．故答案为： −1<x<3【点睛】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的上下关系找出不等式的解集是解题关键． 14．正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0根据对称轴位于y 轴左侧判定ab 同号根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号【详解】解：由图可知抛物线的开口方向向下则a ＜0抛物线的对称轴位于y 轴的左侧则ab 同号即解析：正【分析】根据抛物线的开口方向判定a<0，根据对称轴位于y 轴左侧判定a 、b 同号，根据抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号．【详解】解：由图可知，抛物线的开口方向向下，则a ＜0，抛物线的对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，即b ＜0，抛物线与y 轴交于负半轴，则c ＜0，所以bc ＞0，即bc 的值为正，故答案为：正．【点睛】本题考察抛物线与x 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，解题此题的关键是掌握抛物线()20y ax bx c a =++≠中a 、b 、c 所表示的几何意义． 15．【分析】先分别令y=0x=0求出AB 点的坐标求出直线AB 的解析式在用字母分别表示出EF 点的纵坐标相减即可【详解】令y=0得解得：B （20）令x=0得y=-2A （0-2）设AB 所在直线解析式为：代入A 解析：22x x -【分析】先分别令y =0，x =0，求出A 、B 点的坐标，求出直线AB 的解析式，在用字母分别表示出E 、F 点的纵坐标，相减即可．【详解】令y =0,得220x x --=解得：121,2x x =-=∴ B （2,0）令x =0，得y =-2，∴A （0，-2）设AB 所在直线解析式为：y kx b =+代入A 、B 解得：2y x =-设动点E 的横坐标为x ，∴ F 点的横坐标为x ，E 点的纵坐标为：22x x -- 又F 点在直线AB 之上， ∴F 点的纵坐标为：2x - 又EF x ⊥∴EF 的长度为：22(2)x x x ---- 化简得：22x x - 故答案为：22x x -【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与一次函数的综合问题以及线段长度的计算，分别用字母表示出E 、F 点的纵坐标是解决本题的关键． 16．【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为可得即是方程的两个根再根据题目当中给出的条件代入解析式判断求解即可；【详解】当和时∴对称轴为∴当时y 的值相等∴∴是方程的两个根故②正确；∵当时且c ＞0∴＞0∴＞0 解析：①②④【分析】由抛物线的对称性可知对称轴为0212x +==，可得0p =，即1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，再根据题目当中给出的条件，代入解析式判断求解即可；【详解】当0x =和2x =时，y t =，∴对称轴为0212x +==， ∴当1x =-，3x =时，y 的值相等，∴0p =，∴1x =-，3x =是方程20ax bx c ++=的两个根，故②正确；∵当0x =时，y t =，且c ＞0，∴t c =＞0，∴202p t t +=+＞0，故③错误；∵2x =，y t =＞0，3x =，0y =，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，∴a ＜0，∵12b x a=-=， ∴2b a =-＞0，故①正确；∵当3x =时，0y =， ∴930a b c ++=，∴30a c +=，∴3c a =-，∴443a c a a a --=-+=-，∵顶点坐标为()1,n ，a ＜0，∴2am bm c a b c ++≤++，∴2am bm a b +≤+，∴2am bm a +≤-， ∴24am bm a c +≤--，故④正确；综上所述：结论正确的是①②④；故答案是：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键． 17．或【分析】由表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x >【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．18．＞【分析】根据抛物线y ＝﹣（x+1）2+3得到开口向下对称轴为直线x ＝﹣1然后根据二次函数的性质判断函数值的大小【详解】解：∵抛物线y ＝﹣（x+1）2+3的开口向下对称轴为直线x ＝﹣1∴当x ＞﹣1时解析：＞【分析】根据抛物线y ＝﹣（x +1）2+3得到开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣（x +1）2+3的开口向下，对称轴为直线x ＝﹣1，∴当x ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2，∴y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质是解题的关键．19．不能【分析】根据题意将x=2代入求出相应的y 值然后与车高比较大小即可解答本题【详解】解：将x=2代入y=-x2+325得y=-×22+325=275∵275＜3∴该车不能通过隧道故答案为：不能【点睛解析：不能．【分析】根据题意，将x=2代入求出相应的y 值，然后与车高比较大小即可解答本题．【详解】解：将x=2代入y=-18x 2+3.25，得 y=-18×22+3.25=2.75， ∵2.75＜3，∴该车不能通过隧道，故答案为：不能．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20．【分析】根据题目中的函数解析式可知当时从而可得到一元二次方程的根本题得以解决【详解】由图象可知当时即时∴一元二次方程的根是故答案为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系解答本题的关键是明确解析：122x x ==-【分析】根据题目中的函数解析式可知，当8y =-时，2x =-，从而可得到一元二次方程28x bx c ++=-的根，本题得以解决．【详解】由图象可知，当8y =-时，2x =-，即2x =-时，28x bx c ++=-，∴一元二次方程28x bx c ++=-的根是122x x ==-，故答案为：122x x ==-．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．（1）每件衬衫应降价20元；（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多．【分析】（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到关于x 的一元二次方程，解方程即可得到问题解答；（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式，然后根据函数的性质可以得到问题解答．【详解】解：（1）设每件衬衫应降价x 元，由题意可以得到：（10+x ）（40-x ）=600，解之得：x=10或x=20，因为尽快减少库存，∴每件衬衫降价20元时，商场平均每天赢利600元；（2）把每件衬衫的降价看成自变量x ，商场平均每天赢利看成因变量y ，由题意可以得到y 与x 之间的函数关系式为：y=（10+x ）（40-x ），配方得：()215625y x =--+，∴当x=15时，y 取得最大值625，即当每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，且赢利为625元．【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的综合运用，根据题意列出一元二次方程或函数关系式，并根据方程的解或函数的性质作答是解题关键．22．（1）2s 或4s ；（2）不存在，证明见解析；（3）3秒，92【分析】（1）根据题意，利用t 表示个线段长度，根据面积为4可列出方程求解．（2）利用第一问中PCQ △的面积的表示方法，使其等于5，根据判别式判断方程是否有解．（3）利用求得的PCQ △的面积的表示的二次函数解析式，求出二次函数的最大值，符合题意即为所求最大面积．【详解】解：（1）由题意得：AP CQ t ==，6PC AC AP t ∴=-=-， 11(6)422PCQ S PC CQ t t ∴=⋅=-⋅=， 2680t t ∴-+=，(2)(4)0t t --=，12t =，24t =，∴2s 或4s 后PCQ △的面积为4．（2）1(6)52PCQ S t t =-=，26100t t -+=， 2(6)41040∆=--⨯=-<，方程无解，故PCQ △的面积不能为5．（3）1(6)2PCQ S t t =-()216992t t =--+-219(3)22t =--+，， ∴当3t =时，max 92PCQ S=．【点睛】本题考查的是一元二次方程以及二次函数的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况．23．（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解；（2）将点B 坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m-=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．24．（1）y=2101006000x x -++；（2）第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元；（3）14天【分析】（1）根据日销售利润等于单件利润乘以销售量即可得解；（2）化二次函数一般式为顶点式，即可判断求解；（3）根据题意列不等式求解即可；【详解】解：（1）()()604030010=+--y x x ，2101006000x x =-++；（2）当130x ≤≤时，2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，∵10a =-＜0，∴二次函数开口向下，由题可知：函数对称轴为5x =，∴当5x =时，最大值为6250；答：第五天日销售利润最大，最大日销售利润为6250元．（3）∵2101006000=-++y x x ()21056250=--+x ，当5400y ≥时，()210562505400--+≥x ，解得：414x -≤≤，∵130x ≤≤，∴共有14天．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确分析计算是解题的关键．25．（1）方案A 的面积为27200m ，方案B 的面积为26600m ；（2）2170S x x =-+；（3）S 的值从左到右依次为6000，6600，7000，7125，7176，7189，7200，7209，7216；（4）当80x ≤时，S 随x 的增大而增大；（5）当80x =时，S 最大值为27200m ，见解析；（6）选A 种方案【分析】（1）根据矩形的面积公式求解即可；（2）选方案C ，由等腰直角三角形的性质可得DF=MF=80﹣x ，可用x 表示出长BN=170﹣x ，根据矩形的面积公式表示出S 与x 的关系式；（3）根据（2）中关系式，分别代入x 值，求出对应的S 值，即可完成填表；（4）通过配方，分析S 随x 的变化情况即可得出结论；（5）结合（4）中分析即可做出判断．【详解】（1）根据题意，方案A 的面积为280907200m ⨯=，方案B ：如图B ，DF ⊥EG ，∵∠EDC=135°，∴△EFD 是等腰直角三角形，又AB=110，CD=90，∴EF=FD=110﹣90=20，∴方案B 的面积为()211080206600m ⨯-=；；（2）如图，∵MN=x ，80MF x =-，135EDC ∠=︒，∴△MFD 是等腰直角三角形，∴80DF x =-，()9080170NB CD DF x x =+=+-=-，∴()170S x x =-，即2170S x x =-+；（3）S 的值从左到右依次为6000，6600，7000，7125，7176，7189，7200，7209，7216；（4）猜想：当80x ≤时，S 随x 的增大而增大；（5）配方，得：()2221708585S x x x =-+=--+，∵﹣1＜0，∴当85x ≤时，S 随x 的增大而增大，∵80x ≤，∴当80x =时，S 最大值为27200m ．（6）根据当x=80时，S 取得最大值，故选A 种方案合理．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、二次函数的性质，解答的关键是掌握等腰直角三角形的性质，会借助二次函数求最值的方法求最大面积，注意x 的取值范围．26．（1）()10100020y x x =+<<；（2）每个降价5元时，获利最大，最大利润是2250元【分析】（1）由待定系数法可以得到解答；（2）由题意可以得到获利与降价之间的函数关系，根据所得函数的性质即可得到答案．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数解析式为y kx b =+，当1x =时，110y =；当4x =时，140y =，∴110,4140,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得10,100,k b =⎧⎨=⎩ ∴y 与x 之间的函数解析式为()10100020y x x =+<<．（2）设该玩具每个降价x 元时，小王获利最大，最大利润是w 元．根据题意得()()2604010100101002000w x x x x =--+=-++， ∴()21052250w x =--+，故该玩具每个降价5元时，小王获利最大，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，由题意得到有关变量的函数解析式是解题关键．。

九年级上册数学《二次函数》单元测试(含答案)

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析:可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
详解:A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误;
B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得:a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣ ＞0．故选项正确;
15.抛物线y=x2﹣4与y轴的交点坐标是_____，与x轴的交点坐标是_____，简要步骤:_____
16.抛物线y=x2﹣4x﹣5与x轴有_____个交点．
17.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象的对称轴是直线x=﹣1，与x轴的一个交点是A(﹣3，0)其图象的一部分如图所示，对于下列说法:①2a=b;②abc＞0，③若点B(﹣2，y1)，C(﹣ ，y2)是图象上两点，则y1＜y2;④图象与x轴的另一个交点的坐标为(1，0)．其中正确的是_____(把正确说法的序号都填上)
九年级上册数学《二次函数》单元测试卷
(满分120分，考试用时120分钟)
一．选择题(共10小题，共30分)
1.对于函数y＝5x2，下列结论正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.图象开口向下
C.图象关于y轴对称
D.无论x取何值，y的值总是正的
2.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=2x2不动，而坐标轴向上，向右平移2个单位长度，那么新坐标系抛物线的解析式是()
∴二次函数表达式为
∵ ，抛物线开口向下;∴选项A错误;
∵ 函数图象与的正半轴相交;∴选项B错误;
当x=－1时， ;∴选项C错误;

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一、选择题1．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象大致如图所示，下列说法： ①2a +b ＝0；②当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当x 1＜x 2时，y 1＜y 2； ④9a +3b +c ＝0，其中正确的是（）A ．①②④B ．①④C ．①②③D ．③④2．如图是抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a ﹣b+c ＞0； ②3a+b ＝0； ③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．若飞机着陆后滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，则函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．已知抛物线2y x bx c =++的顶点在x 轴上，且经过点(3,)A m n -、(3,)B m n +，则n 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．125．二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=（t 为实数）在23x -<<的范围内有解，则t 的取值范围是（）A ．1t ≥-B ．13t -≤<C ．18t -≤<D ．38t <<6．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣1 0 2 3 4 y5﹣4﹣3A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x ＝2C ．当0≤x ≤4时，y ≥0D ．若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1<x 27．已知函数235y x =-+经过A （m ，1y ）、B （m−1，2y ），若12y y >．则m 的取值范围是（） A ．0m ≤B ．12m <C ．102m <<D ．12m <<8．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（）A ．13米 B ．12米 C ．25米 D ．35米 9．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0abc >B ．20a b +<C ．关于x 的方程230ax bx c +++=有两个相等的实数根D ．930a b c ++<11．抛物线2288y x x =-+-的对称轴是（） A ．2x =B ．2x =-C ．4x =D ．4x =-12．在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间满足函数解析式y 112=-x 223+x 53+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（） A ．6米B ．8米C ．10米D ．12米二、填空题13．已知抛物线2y x bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是______．14．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为______． 15．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：x－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 y125－3－4－3512利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．16．抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为________17．某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm ，这个酒杯的杯口直径为______cm ．18．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．19．定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：()3,0B 、()1,3C -都是“整点”．抛物线()2220y ax ax a a =++->与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是_______．20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝x 2﹣3x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是对称轴右侧抛物线上一点，且tan ∠DCB ＝3，则点D 的坐标为_____．三、解答题21．某超市进了一款新型玩具，预计平均每天售出20个，每个玩具盈利25元．为了增加盈利，超市老板决定采取降价措施．销售价格每降低1元，超市平均每天多售出2个玩具．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具售价应降低多少元？（2）若使超市卖玩具平均每天的盈利最多，每个玩具售价应降低多少元？22．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．（1）求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 23．如图，□ABCD 中，AB=c ，AC=b ，BC=a ．（1）若四边形ABCD 是正方形，求抛物线2y ax bx c =+-的对称轴；（2）若抛物线2y ax bx c =+-的对称轴为直线34x =-，抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -．且1b c =+，求四边形ABCD 的面积． 24．已知：二次函数2y x bx c =++过点（0，－3），（1，－4）（1）求出二次函数的表达式；（2）在给定坐标系中画出这个二次函数的图像；（3）根据图像回答：当0≤x ＜3时，y 的取值范围是．25．如图，已知二次函数21y ax bx =+-的图象经过点D （-1，0）和C （4，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中画出直线1y x =+，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．26．对于抛物线243y x x =-+．（1）求抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）求抛物线的顶点坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x ＝3122ba-=-，则2a+b ＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x ＜3时，y ＜0，故说法正确；③若（x 1，y 1）（x 2，y 2）在函数图象上，当1＜x 1＜x 2时，y 1 y 2，故说法错误； ④由图示知，当x ＝3时，y ＝0，即9a+3b+c ＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A ．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．C解析：C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为（1，n ）， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， ∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，即-2ba=1， ∴2a+b=0， ∵a≠0，∴3a+b≠0，故②错误； ∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与直线y=n 有唯一一个交点，即方程ax 2+bx+c=n 有两个相等的实数根， ∴△=b 2-4a （c-n ）=0， ∴b 2=4a （c-n ），故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴y 最大=n ，∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确；故选：C ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．3．C解析：C 【分析】根据关系式可得图象的开口方向，可求出函数的顶点坐标，根据s 从0开始到最大值时停止，可得t 的取值范围，即可得答案．【详解】∵滑行的距离()s m 与滑行的时间()t s 之间的关系式为s=60t-1.5t 2，-1.5＜0， ∴图象的开口向下，∵s=60t-1.5t 2=-1.5（t-20）2+600， ∴顶点坐标为（20，600）， ∵s 从0开始到最大值时停止， ∴0≤t≤20， ∴C 选项符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．4．C解析：C 【分析】先根据A 、B 两点的坐标可求出抛物线的对称轴，然后确定顶点坐标为(,0)m ，进而求得m 的值，最后代入即可．【详解】解：∵抛物线26y x x c =++经过(3,)A m n -、(3,)B m n +，∴抛物线对称轴为直线332m m x m -++==，∵抛物线与x 轴只有一个交点，故顶点为(,0)m ，2()y x m ∴=-．当3x m =+时，239y ==．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、运用二次函数顶点坐标与对称轴的求解等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．5．C解析：C 【分析】根据对称轴求出b 的值，从而得到23x -<<时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x 2+bx-t=0（t 为实数）在-1＜x ＜4的范围内有解相当于y=x 2+bx 与y=t 在x 的范围内有交点解答．【详解】解：对称轴为直线x=-21b⨯=1，解得b=-2，所以二次函数解析式为y=x 2-2x ， y=（x-1）2-1， x=1时，y=-1，x=-2时，y=4-2×（-2）=8，∵x 2+bx-t=0的解相当于y=x 2+bx 与直线y=t 的交点的横坐标， ∴当-1≤t ＜8时，在-1＜x ＜4的范围内有解．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．6．B解析：B 【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x ＝042＝2，故选项B 正确；当x ＜2 时，y 随x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故选项A 错误；当0≤x ≤4时，y ≤0，故选项C 错误；由二次函数图象具有对称性可知，若A （x 1，2），B （x 2，3）是抛物线上两点，则x 1＜x 2或x 2＜x 1，故选项D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7．B解析：B 【分析】由235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0知，要使12y y >，需使A 点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m 的不等式解之即可．【详解】解：∵235y x =-+图像开口向下，对称轴为y =0且12y y >∴1m m <-，下面解此不等式．第一种情况，当m ＜0时，得1m m -<-，解得m ＜0；第二种情况，当01m ≤<时，得1m m <-，解得12m <；第三种情况，当m 1≥时，得1m m <-，解得，无解；综上所述得12m <．故选：B ．【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小．8．C解析：C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a-＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y ＝ax 2－a ． ∵OH ＝2×15×12＝0.2，则点H 的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F 的坐标为（-0.6，0）．∴PH ＝a×(-0.2)2-a ＝－0.96aEF ＝a×(-0.6)2-a ＝－0.64a ．又∵PQ ＝EF ＝1－（－0.96a ）＝－0.64a∴1＋0.96a ＝－0.64a ．解得a ＝58-．∴y ＝58-x 2＋58． ∴EF ＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．9．C解析：C【分析】分a ＞0与a ＜0两种情况考虑两函数图象的特点，再对照四个选项中图形即可得出结论．【详解】解：①当a ＞0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向上、对称轴为y 轴、顶点在y 轴负半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、三、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2-a 的图象开口向下、对称轴为y 轴、顶点在y 轴正半轴，一次函数y=ax-a(a≠0)的图象经过第一、二、四象限，且两个函数的图象交于y 轴同一点．对照四个选项可知C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数图象与系数的关系，根据二次函数及一次函数系数找出其大概图象是解题的关键．10．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知：a ＜0，b ＞0，c ＞0，abc ＜0，故A 选项错误；对称轴为x=-2b a=1，得2a=-b ， ∴2a+b=0，故B 错误；由图像可得二次函数的图象与x 轴有两个交点，故230ax bx c +++=有两个相等的实数根的说法错误，故C 错误；∵对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点得横坐标小于2，∴当x=3时，y=9a+3b+c ＜0，故D 正确；【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．11．A解析：A【分析】利用抛物线对称轴公式求解即可．【详解】解：∵2288y x x =-+-，∴对称轴为直线x=-822(2)=⨯-，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可．【详解】解：当y =0时，即y 112=-x 223+x 53+=0，解得：x =﹣2（舍去），x =10．∴该生此次实心球训练的成绩为10米．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．二、填空题13．【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标再根据图象法即可得【详解】由图象可知抛物线的对称轴为与x 轴的一个交点坐标为则其与x 轴的另一个交点坐标为结合图象得：当时故答案为：【点睛】本题解析：13x【分析】先根据二次函数的对称性求出其与x 轴的另一个交点坐标，再根据图象法即可得．【详解】由图象可知，抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，则其与x 轴的另一个交点坐标为(3,0)，结合图象得：当0y <时，13x，故答案为：13x．【点睛】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．14．；【分析】先令y=0求得点AB 的坐标再求得顶点M 的坐标根据题意即可得出平移的方向和距离进而可求得平移后的解析式【详解】解：令y=0则有解得：x1=1x2=3∴A(10)B(30)∵=（x ﹣2）2﹣1解析：221y x x =++；【分析】先令y=0求得点A 、B 的坐标，再求得顶点M 的坐标，根据题意即可得出平移的方向和距离，进而可求得平移后的解析式．【详解】解：令y=0，则有2043x x =-+，解得：x 1=1，x 2=3，∴A(1，0)，B(3，0)，∵243y x x =-+=（x ﹣2）2﹣1，∴顶点M 的坐标为（2，﹣1），∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴将原抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到平移后的抛物线，∴平移后的顶点坐标为（﹣1，0），即平移后的解析式为y=（x+1）2=x 2+2x+1，故答案为：221y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图像与几何变换，会求抛物线与坐标轴的交点和顶点坐标，熟练掌握抛物线平移的变换规律是解答的关键． 15．或【分析】由表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x >【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．16．【分析】根据二次函数的平移规律上加下减左加右减即可求解【详解】解：抛物线先向上平移1个单位再向左平移1个单位所得的抛物线为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的平移掌握二次函数的平移规律上加下减左加右减解析：()2311y x =++【分析】根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．【详解】解：抛物线23y x =先向上平移1个单位，再向左平移1个单位，所得的抛物线为()2311y x =++，故答案为：()2311y x =++．【点睛】本题考查抛物线的平移，掌握二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 17．【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系相当于抛物线经过点(00)(11)求得解析式为y=x²设杯口直径为2d 设倒满酒时酒的高度为m 相当于抛物线经过(dm)再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 解析：319+【分析】建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm 时将m 用d 代数式表示，再代入解析式中求出d 即可．【详解】解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax²，当酒水深为lcm 时，液面宽为2cm ，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，故抛物线解析式为：y=x²，设杯口直径为2d ，设倒满酒时酒的高度为m ，相当于抛物线经过(d,m)，由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d ，在Rt △EDF 中，EF=2DF=2d ，3d ，在Rt △OEC 中，OE=2EC=4，∴OD=OE+ED=43d ， ∴m=OD=43d , ∴将点(,43d d )，代入y=x²，即：243d d ，解得：3192d (负值舍去)， 319【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题目意思，学会建立直角坐标系并求出对应解析式是解决本题的关键．18．24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴则可以确定AB 的长度然后根据等边三角形的周长公式即可求解【详解】抛物线的对称轴是过点作于点如下图所示则则则以为边的等边的周长为故答案为24【点睛】此题考查解析：24【分析】根据抛物线的解析式即可确定对称轴，则可以确定AB 的长度，然后根据等边三角形的周长公式即可求解．【详解】抛物线2(4)y a x k =-+的对称轴是4x =过C 点作CD AB ⊥于点D ，如下图所示则4=AD ，则28AB AD ==则以AB 为边的等边ABC 的周长为2483=⨯．故答案为24．【点睛】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的解析式确定对称轴，从而求得AB 的长是关键．19．1＜a≤2【分析】画出图象找到该抛物线在MN 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界利用与y 交点位置可得a 的取值范围【详解】解：抛物线y ＝ax2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点解析：1＜a≤2【分析】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得a 的取值范围．【详解】解：抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋a−2（a ＞0）化为顶点式为y ＝a （x ＋1）2−2，∴函数的对称轴：x ＝−1，顶点坐标为（−1，−2），∴M 和N 两点关于x ＝−1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a−2，∴−1＜a−2≤0，当x ＝1时，y ＝4a−2＞0，即：120 420aa--≤-⎧⎨⎩＜＞，解得1＜a≤2，故答案为：1＜a≤2．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．20．（）【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于AB两点与y轴交于点C 得A（10）B（20）C（02）过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M过点M作MG⊥x轴于点G易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角解析：（715 ,24）【分析】根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析式为y＝12x+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC∴∠OBC＝45°，如图，过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，∴∠COB＝∠MGB＝90°∴∠CBO+∠MBG＝90°∴∠MBG＝45°∴MG＝BG∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM∴BC BM ＝OC BG ∵tan ∠DCB ＝MB BC ＝3 ∴123BG= ∴BG ＝6∴MG ＝6 ∴M （8，6）设直线CM 解析式为y ＝kx +b ，把C （0，2），M （8，6）代入，解得k ＝12，b ＝2 所以直线CM 的解析式为y ＝12x +2 联立212232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得1102x y =⎧⎨=⎩，2272154x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴D （715,24）故答案为（715,24）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．三、解答题21．（1）若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元；（2）若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元【分析】（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元，根据题意列出方程()()20225600x x +-=，求解即可；（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元，则()()20225y x x =+-，利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）设若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低x 元根据题意得，()()20225600x x +-=解这个方程得，1x 5=，210x =答：若超市卖玩具平均每天盈利600元，每个玩具应降低5元或10元（2）设超市卖玩具平均每天盈利y 元，每个玩具售价降低x 元根据题意得，()()20225y x x =+-∴()227.5612.5y x =--+ ∵20-<∴若使超市卖玩具平均每天盈利最多，每个玩具售价应降低7.5元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用、二次函数的应用，理解题意并列出方程是解题的关键．22．（1）S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2，9000元．【分析】（1）根据矩形的面积公式和已知条件列出S 与x 之间的函数关系式并确定自变量x 的取值范围即可；（2）根据（1）得出的关系式，利用配方法求出函数的最大值即可．【详解】解：（1）∵矩形的一边长为x 米，∴另一边长为1222x -米，即（6﹣x ）米， ∴S ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+6x ，即S ＝﹣x 2+6x ，其中0＜x ＜6；（2）根据（1）得：S ＝x （6﹣x ）＝﹣（x ﹣3）2+9，则矩形一边长为3m 时，面积最大为9m 2．则此时最大费用为9×1000＝9000（元）．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形中的应用，根据题意确定S 与x 之间的函数关系式成为解答本题的关键．23．(1)x=2-；（2） ABCD S =四边形【分析】（1）由正方形推出a ，利用对称轴公式求对称轴（2）对称轴为直线34x =-利用公式得b=32a ，抛物线与x 轴交点为(),0c -代入得20ac bc c --=，1b c =+求出a b c 、、的值，由=a c 推出四边形ABCD 为菱形，利用菱形面积公式求出即可【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，AC=2BC ，b=2c=2a2y ax bx c =+-=a (x 2+2x-1)对称轴为x=222b a a --==- (2) 对称轴为直线34x =-， ∴利用对称轴公式得b=32a 抛物线2y ax bx c =+-与x 轴的一个交点为(),0c -代入抛物线20ac bc c --=由c>0、b>0、a>0，10ac b --=∴10132ac b b c b a ⎧⎪--=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，解得232a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩（负值已舍去），∵ABCD ，=2a c =∴四边形ABCD 为菱形连BD 交AC 于O ，BO ⊥AO ，AO=OC=1.5在RtΔABO 中，由勾股定理2272OB AB AO =-=，AD=2OB=7 ∴ABCD 137732S =⨯⨯=四边形【点睛】本题考查正方形的性质与菱形的性质，掌握正方形的性质与菱形性质和菱形面积求法，会用正方形的性质推出a b c 、、之间关系，进而求对称轴，会利用对称轴推出a b 、关系，利用点C 在抛物线上，确定a b c 、、之间关系会解方程组解决问题24．（1）2-2-3y x x =；（2）见解析；（3）－4≤y ＜0【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，即可求出答案；（2）根据函数的解析式画出抛物线即可；（3）把二次函数解析式化成顶点式，再根据图形分析计算y 的取值范围即可．【详解】解：（1）将点（0，－3），（1，－4）代入二次函数2y x bx c =++得：314c b c =-⎧⎨++=-⎩，解得：23b c =-⎧⎨=-⎩，所以，二次函数的表达式为：223y x x =--；（2）二次函数的图象如下：（3）∵()214y x =--∴当x ＝1时，有最小值－4，当x ＝0时，y ＝（0−1）2－4＝−3，当x ＝3时，y ＝（3−1）2－4＝0，又对称轴为x ＝1，∴当0≤x ＜3时，y 的取值范围是−4＜y≤0．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、也考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的三种常用形式：一般式、顶点式、交点式．25．（1）211122y x x =--；（2）-1＜x ＜4．【分析】（1）根据二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，代入得出关于a ，b 的二元一次方程组，求得a ，b ，从而得出二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，令y=0，解一元二次方程，求得x 的值，从而得出与x 轴的另一个交点坐标；画出图象，再根据图象直接得出答案．【详解】（1）∵二次函数21y ax bx =+-的图象过D （-1，0）和C （4，5）两点，∴1016415a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴12a =，12b =-， ∴二次函数的解析式为211122y x x =--；（2）当0y =时，得：01x =+，解得1x =-，当4x =时，得：5y =，解得1x =-，∴直线1y x =+经过点D （-1，0）和C （4，5）两点，∴图象如图，观察图象，当-1＜x ＜4时，直线1y x =+在抛物线的上方，∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是-1＜x ＜4．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题，数形结合是解题的关键．26．（1）该抛物线与x 轴交点的坐标为()1,0， ()3,0，与y 轴交点的坐标为()0,3；（2）抛物线的顶点坐标是()2,1-．【分析】（1）运用二次函数与x 轴相交时，0y =，与y 轴相交时， 0x =，计算即可；（2）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后得到顶点坐标即可．【详解】（1）令y ＝0，则2430x x -+=，解得x 1＝1，x 2＝3，所以该抛物线与x 轴交点的坐标为：()1,0，()3,0，令x ＝0，则y ＝3，所以该抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．（2）由抛物线()224321y x x x =-+=--知，该抛物线的顶点坐标是()2,1-．【点睛】此题主要考查了二次函数与坐标轴的交点求法，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需要熟悉抛物线解析式的三种不同形式间的转化．。

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