精华版七年级下册第六章 变量之间的关系知识点汇总(超强总结)

数学七年级下册知识点总结之变量之间的关系变量之间的关系知识点：一理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量 Y是因变量。

自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。

2、能确定变量之间的关系式：相关公式①路程=速度时间②长方形周长=2(长+宽)③梯形面积=(上底+下底)高2 ④本息和=本金+利率本金时间。

⑤总价=单价总量。

⑥平均速度=总路程总时间3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式为y=180-2x.二、列表法：采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。

列表时要选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。

列表法最大的特点是直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象;b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义(坐标)，特别是图像的起点、拐点、交点八、事物变化趋势的描述：对事物变化趋势的描述一般有两种：1.随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而增加(大));2. 随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐减小(或者用函数语言描述也可：因变量y随着自变量x的增加(大)而减小).注意：如果在整个过程中事物的变化趋势不一样，可以采用分段描述.例如在什么范围内随着自变量x的逐渐增加(大)，因变量y逐渐增加(大)等等.九、估计(或者估算) 对事物的估计(或者估算)有三种：1.利用事物的变化规律进行估计(或者估算).例如：自变量x每增加一定量，因变量y的变化情况;平均每次(年)的变化情况(平均每次的变化量=(尾数-首数)/次数或相差年数)等等;2.利用图象：首先根据若干个对应组值，作出相应的图象，再在图象上找到对应的点对应的因变量y的值;3.利用关系式：首先求出关系式，然后直接代入求值即可.拓展：数学学习技巧一、课内重视听讲，课后及时复习。

数学：第六章?变量之间的关系?知识点总结〔北师大版七年级下〕1、变量、自变量、因变量：2、函数的三种表示法：〔1〕关系式法〔2〕列表法〔3〕图像法励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。

变量之间的关系知识点及常见题型一、基础知识1、常量：在一组数据中或者关系式中不会没发生变化的量；2、变量：变化的量（1）自变量：可以自己发生变化的量；（2）因变量：随自变量的变化而变化的量。

二、表示方式1、表格（1）借助表格可以感知因变量随自变量变化的情况；（2）从表格中可以获取一些信息，能够做出某种预测或估计； 2、关系式（1）能根据题意列简单的关系式； （2）能利用关系式进行简单的计算； 3、图像（1）识别图像是否正确；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息。

第一节 小车下滑的时间课前引入1.小张从学校给妈妈打电话，在这个过程中，打电话的时间越长，电话费就越（ ）。

2.银行的年利率是2.25%，存入的本金越多，（ ）也越多，在这个问题中，（ ）是固定不变的。

（ ）随（ ）的改变而改变。

3.球的体积V 与球的半径的关系式V=34πr 3中，（ ）是一个定值。

（ ）随（ ）的改变而改变。

经典例题下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：（1）时间为8分钟时，水的温度是多少？（2）上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （3）水的温度是怎样随时间变化的？（4）根据表格，你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少？（5）为了节约能源，在烧开水时，你认为应在几分钟左右关闭煤气？过手练习1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2上述问题中，第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位.3、据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随时间的变化，地球上的人口数量在逐渐地增加，如果用t表示时间，y表示人口数量，是自变量，是因变量。

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么?（3）你认为入学儿童的人数会变成零吗?5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？（4）从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（5）根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？第二节 变化中的三角形课前引入1.计划购买40元的某种文化用品，则所购买的总数N （个）和单价想X （元）的关系式为（ ）。

初一下册第六章复习（回忆）一、变量变数或变量，是指没有固定的值，可以改变的数。

变量以非数字的符号来表达，一般用英文或拉丁字母表示变量。

与变量对立的即是常量，常量也称作常数。

按照变量之间的时间因果等关系，可以将变量分为自变量和因变量。

在这里，为了能够更好理解这两个基本概念的联系与区别，我们通过两个角度来叙述。

（一）实践中的变量变量是指在实验中可以变化的因素。

在实验中，由实验者操纵和调控的变量叫做自变量。

例如，在探究光照强度对光合速率影响的实验中，人为控制和调节光照强度，则光照强度就是自变量。

实验中由于实验变量而引起实验对象的变化和结果叫做因变量。

例如，在探究光照强度对光合速率影响的实验中，由于光照强度不同，使得实验对象的光合速率有所变化，这个光合速率的变化就叫做因变量。

再如，我们可以分析人体这个系统中，呼吸对于维持生命的影响，那么呼吸就是自变量，而生命维持的状态被认为是因变量。

系统和模型可以是一个二元函数这么简单，也可以是整个社会这样复杂。

（二）抽象出的变量在函数关系式中，某特定的数会随一个（或几个）变动的数的变动而变动，就称为因变量。

如：Y=f(X)。

此式表示为：Y随X的变化而变化。

Y是因变量，X是自变量。

各种函数举例：①一次函数：一般式是y=kx+b(k≠0)，其中x为自变量，y为因变量，k为系数，b为常数项（常数项即为恒定不变的数值）。

②反比例函数：一般式是y=k/x，其中x为自变量，y为因变量，k为比例系数。

③二次函数：y=ax^2;+bx+c(a≠0)，其中x为自变量，y为因变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

（三）自变量与因变量区别与联系①自变量与因变量之间存在因果关系。

我们知道，变化的量称为自变量，由变化的量而引起的另一个量的变化，那么这一个量叫因变量。

很显然，这是一个由“因”导致“果”的过程，自变量是“因”，因变量是“果”。

我们在某些物理、化学、生物或心理等实验中，为了研究某种因素对实验对象的某种性质产生何种影响，以及随着该因素量或质的变化，这种影响程度将如何改变。

这一天的温差是多少？从最高温度到最低温、在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？、一天中，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时，骆驼的体温下降了多少？、在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其它时刻呢？时的温度吗？说说你的理由。

，你知道关于骆驼的一些趣事吗？例：它的体温白天，随沙漠温度的骤升，骆驼的体温也升高，当体温达到40℃时，骆驼开始出汗，骆驼体温的变化范围是什么？它的体温从最低上升到最高需要多少时时，骆驼的体温下降了多少？在什么时间范围内骆驼的体温在上升？在什么时间范围内骆驼的体温在下降？、你能看出第二天8时骆驼的体温与第一天8时有什么关系吗？其它时刻呢？点表示的是什么？还有几时的温度与A点所表示的温度相同？、在表示两变量间关系时，图象法是关系式和表格法的几何表现形式时间段中，气温持续下降；时间段比较合适。

）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？柿子熟了，从树上落下来。

下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况？、一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶。

过了一段时间，汽车到达下一个车站。

乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。

下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？、某同学从第一中学走回家，在路上他碰到两个同学，于是在文化宫玩了一会儿，①②要学会分析图象，用图象解析现实变化着的量的关系，并要从图象中获得信息有条理地进行语言表达出来。

随堂练习．小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，而最后停下，下面哪一副图可以近似地刻画出以上情况：（）．小李骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回800米，再前进1200米，则他离起点的距离s与时间t的关系示意图是：（）二、填空题．汽车以60千米/时的速度匀速行驶，随着时间t（时）的变化，汽车行驶的路程s（千米）也在变化，则s的关系式为________，当t从2时变化到3.5时，汽车行驶路程s从___变化到______．．在关系式v=14-2t 中，速度v随时间t的变化而变化，自变量是_________，因变量是_________，当t=7 时，速度为_____，此时表示__________，______时速度为4．）出租车费与路程的关系（）表示时间，。

七年级下第六章 变量之间的关系知识要点：（1）变量：一般的，在某个变化过程中可以取不同数值的量就是变量自变量：自变量是自己改变，不受其他影响就会改变的量因变量：因变量是随着自变量，根据某种规律而改变的量（2）如何准确判断一个变化过程中，哪一个是自变量，哪一个是因变量？○1从题意的文字间判断，关键字眼——“随”“因”例：某地区一天的气温随时间变化......分析：很明显从这句话可以得出这个变化过程中有两个变量：气温和时间，明显气温是随时间的变化而变化。

所以时间是自变量，温度是因变量。

○2从表格中直接得出，一般表格的第一行就是自变量，而第二行就是因变量○3从图像中直接得到，一般情况下，图像的横轴表示的量就是自变量，而纵轴表示的量就是因变量○4从表达式中得出，如：y=2x 中x 是自变量，y 是因变量当堂练习：一、选择题：1. 下面的图表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，反弹高度b 与下落高度d 的关系，则在下面的式子中能表示这种关系的是（ ）A. b d =2B. b=d 2C. b d =+25D. b d =-25 2. 已知皮球从空中落下时从地面弹起的高度y （米）与其下落的高度x （米）存在一定的关系。

下表是一组试验数据。

下列能表示这种关系的是（ ）下落的高度x （米）50 100 150 200 弹起的高度y （米）25 50 75 100 A. y=x 2 B. y=2x C. y=x-25 D. y=12x 3. 三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为am 3，平均每天流出的水量控制为bm 3，当蓄水水位低于135m 时，b a <；当蓄水水位达到135m 时，b a =，设库区的蓄水量y m ()3是随时间t （天）变化而变化的关系图像，那么这个图像大致是（ ）4.如图是反映两个变量关系的图,下列的四个情境比较合适该图的是( )A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系B. 一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系C. 一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系D.踢出的足球的速度与时间的关系5.如图，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则他们行进的速度关系是（）A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定6.如图，下图是汽车行驶速度（千米／时），和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为（）（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶；（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时；（4）第40分钟时，汽车停下来了A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.某校办工厂今年前5个月每月生产某种产品总量（件）与时间（月）的关系如下图所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是（）A. 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少B. 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量与3月持平C. 1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D. 1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产8.如图、是某地一天的气温随时间变化的图像，根据图像可知，在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是（）A. 14℃，12时B. 4℃，2时C. 12℃，14时D. 2℃，4时9.2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x立方米,水费为y元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）10. 甲乙两同学约定游戏规则:甲先骑自行车到终点后跑步回起点，而乙则跑步到终点后骑自行车回起点，两人同时出发，最后两人同时回到起点。

七年级下第六章变量之间的关系知识要点：（1）变量：一般的，在某个变化过程中可以取不同数值的量就是变量自变量：自变量是自己改变，不受其他影响就会改变的量因变量：因变量是随着自变量，根据某种规律而改变的量（2）如何准确判断一个变化过程中，哪一个是自变量，哪一个是因变量？从题意的文字间判断，关键字眼——“随”“因”例：某地区一天的气温随时间变化......分析：很明显从这句话可以得出这个变化过程中有两个变量：气温和时间，明显气温是随时间的变化而变化。

所以时间是自变量，温度是因变量。

从表格中直接得出，一般表格的第一行就是自变量，而第二行就是因变量从图像中直接得到，一般情况下，图像的横轴表示的量就是自变量，而纵轴表示的量就是因变量从表达式中得出，如：y=2x中x是自变量，y是因变量当堂练习：一、选择题：1.下面的图表列出了一项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，反弹高度b与下落高度d的关系，则在下面的式子中能表示这种关系的是（）d 50 80 100 150b 25 40 50 75A.b d=-25=2 B.b=C.b d=+25 D.b d2.已知皮球从空中落下时从地面弹起的高度y（米）与其下落的高度x（米）存在一定的关系。

下表是一组试验数据。

下列能表示这种关系的是（）下落的高度x（米）50 100 150 20025 50 75 100弹起的高度y（米）A.y=x2B.y=2xC.y=x-25D.y=x3.三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，如果平均每天流入库区的水量为am3，平均每天流出的水量控制为bm3，当蓄水水位低于135m时，b a<；当蓄水水位达到135m时，b a=，设库区的蓄水量y m()3是随时间t（天）变化而变）化的关系图像，那么这个图像大致是（4.如图是反映两个变量关系的图,下列的四个情境比较合适该图的是()A.一杯热水放在桌子上,它的水温与时间的关系B.一辆汽车从起动到匀速行驶,速度与时间的关系C.一架飞机从起飞到降落的速度与时间的关系D.踢出的足球的速度与时间的关系5.如图，射线l甲、l乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的关系，则他们行进的速度关系是（）A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲、乙同速D．不一定6.如图，下图是汽车行驶速度（千米／时），和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为（）（1）汽车行驶时间为40分钟；（2）AB表示汽车匀速行驶；（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米／时；（4）第40分钟时，汽车停下来了A.1个B.2个C.3个D.4个7.某校办工厂今年前5个月每月生产某种产品总量（件）与时间（月）的关系如下图所示，则对于该厂生产这种产品的说法正确的是（）A.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少B.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量与3月持平C.1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产D.1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产8.如图、是某地一天的气温随时间变化的图像，根据图像可知，在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是（）A.14℃，12时B.4℃，2时C.12℃，14时D.2℃，4时9.2004年6月3日中央新闻报道,为鼓励居民节约用水,北京市将出台新的居民用水收费标准:①若每月每户居民用水不超过4立方米,则按每立方米2元计算;②若每月每户居民用水超过4立方米,则超过部分按每立方米4.5元计算(不超过部分仍按每立方米2元计算).现假设该市某户居民某月用水x立方米,水费为y元,则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）10.甲乙两同学约定游戏规则:甲先骑自行车到终点后跑步回起点，而乙则跑步到终点后骑自行车回起点，两人同时出发，最后两人同时回到起点。

七年级数学下册知识点归纳6第六章变量之间的关系一、变量的相关概念：1、变量：在一个变化过程中，数值会发生变化的量称为变量。

2、常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。

3、自变量和因变量：在一个变化过程中有两个变量x和y，如果y随x的变化而变化，那么x叫自变量，y叫因变量。

二、表示变量之间关系的方法：1、表格法：2、关系式表示法：3、图象法：第七章生活中的轴对称一、轴对称和轴对称图形1、轴对称：把一个图形沿某条直线折叠后，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，能够重合的点叫做对称点，两个图形关于直线对称也叫轴对称。

2、轴对称图形：如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。

3、常见的轴对称图形：线段、角、圆、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、长方形、正方形、菱形、正多边形。

（特别注意：平行四边形不是轴对称图形。

）4、轴对称的性质：（1）、轴对称的两个图形是全等形；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对应点的连线段被对称轴垂直平分。

二、线段的垂直平分线和角的平分线的性质定理：1、线段的垂直平分线的性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。

2、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

三、等腰三角形和等边三角形：1、等腰三角形的性质：○1、等腰三角形是轴对称图形；○2等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”，它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

○3、等腰三角形的两个底角相等，简称为“等角对等边。

2、等腰三角形得到判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的变也相等，简称为“等边对等角”。

3、等边三角形的性质：○1、等边三角形是轴对称图形；○2、等边三角形的三条边线等；○3、三个内角都相等，并且每个内角都等于60°；○4、具有三个“三线合一”。

变量之间的关系(带答案)立身以立学为先，立学以读书为本变量之间的关系、表达方法复知识要点表示变量的三种方法：列表法、解析法（关系式法）、图象法要点1变量、自变量、因变量1)在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

2)在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如XXX出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

要点2列表法与变量之间的关系1)列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

2)从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时。

主动产生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小要点3用关系式表示变量之间的关系1)用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的办法之一。

2)写变化式子，实际上按照题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

3)利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值。

实质就是求代数式的值；②对于每个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

要点4用图像法透露表现变量的关系1)图像是刻画变量之间关系的又一重要体式格局，特性是十分直观。

2)通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。

3)从图像中能够获取良多信息，关键是找准图像上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图像求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判别所給图像是不是满意实际情景，所给变量之间的关系等。

4)对比看：速度—时间、路程—时间两图象若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的BL—01增长即从左向右，“上升的线段”①透露表现速度在增长；“水平线段”②透露表现速度稳定。

变量之间的相互关系一、引言在研究数据科学、统计学、经济学以及其他众多领域时，变量间的相互关系是不可或缺的议题。

这种关系描述了不同变量如何互相影响，从而帮助我们理解和预测现象。

本文将深入探讨变量间相互关系的概念、类型和测量方法。

二、变量间的关系类型1.因果关系：如果一个变量（原因）的变化导致了另一个变量（结果）的变化，则存在因果关系。

这种关系是有方向的，原因必定在前，结果只能在后。

2.相关关系：当两个或多个变量同时发生变化，但不表示因果方向时，我们称之为相关关系。

相关关系可以是正相关（一个变量增加时，另一个也增加）或负相关（一个变量增加时，另一个减少）。

3.函数关系：当一个变量（自变量）完全确定另一个变量（因变量）的值时，我们称之为函数关系。

这种情况下，因变量的变化完全依赖于自变量的变化。

三、测量变量间关系强度的方法1.皮尔逊相关系数：衡量两个连续变量的线性相关程度，取值范围在-1到1之间。

接近1表示强正相关，接近-1表示强负相关，接近0表示无相关。

2.斯皮尔曼秩相关系数：与皮尔逊相关系数类似，但适用于非参数数据。

它衡量的是两个连续变量之间的秩次相关性。

3.偏相关系数：当存在多个变量影响因变量时，偏相关系数可以用来衡量特定自变量与因变量之间的线性关系。

四、应用场景理解并测量变量间的相互关系在众多实际场景中都有应用价值。

例如，在市场营销中，通过分析消费者行为、购买历史等变量与购买决策之间的相互关系，可以更有效地制定营销策略。

在医学研究中，了解疾病症状、患者生理指标等变量之间的关系，有助于疾病的诊断和治疗。

五、结论理解并测量变量间的相互关系是数据科学和统计学中的重要概念。

通过明确关系的类型和测量方法，我们可以更好地理解和预测现象，从而在各个领域中做出更有效的决策。

随着技术的发展和数据的丰富，变量间相互关系的研究将继续深化和拓展，为我们提供更多的洞见和可能。

第6讲 变量之间的关系【学习目标】1． 通过对实际问题的分析，了解变量、自变量和因变量的意义，了解用表格表示两个变量之间的关系，培养分析问题的能力与归纳思维的能力； 2． 能根据具体情境，用关系式表示某些变量之间的关系；3． 能根据关系式求值，体会自变量和因变量的数值对应关系；4． 结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义，并能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述；【学习重点】1． 能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况； 2． 根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系；3． 结合具体情境，理解图象上点所表示的意义，并能从图象中获取变量之间关系的信息。

【学习难点】1．对表格所表达的两个变量关系的理解；2．根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系；3．能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。

【知识梳理】知识点一、（1）常量与变量的定义：常量：在一个变化的过程中，始终保持不变的量，叫做常量。

变量：在一个变化的过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）常量与变量的判断方法：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化； ③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 知识点二、自变量、因变量【典例剖析】考点一：用表格表示变量之间的关系例1. 下表是我国从1949年到1999年的人口统计数据（精确到0.01亿）从表中获取的的信 息错误的是（ ）A ．人口随时间的变化而变化，时间是自变量，人口是因变量B ．1969～1979年10年间人口增长最快C ．若按1949～1999这50年的增长平均值预测，我国2009年人口总数为14亿D ．从1949～1999这50年人口增长的速度逐渐加大A ．140B ．138C ．148D ．160 考点二：用解析式表示变量之间的关系例2.在关系式35y x =+中，下列说法：①x 是自变量，y 是因变量； ②x 的数值可以任意选择；③ y 是变量，它的值与x 的值无关； ④ 用关系式表示的，不能用图像表示；⑤y 与x 的关系还可以用列表和图像法表示;其中说法正确的是（ ）A．①②③ B ．①②④ C ．①②⑤ D ．①④⑤【变式练习】根据图示的程序计算变量y 的对应值，若输入变量x 的值为23，则输出的结果为（ ）考点三：用图象表示变量之间的关系例3．(安顺中考)如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小， 乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。

变量之间的关系知识点及常见题型一、基础知识1、常量：在一组数据中或者关系式中不会没发生变化的量；2、变量：变化的量（1）自变量：可以自己发生变化的量；（2）因变量：随自变量的变化而变化的量。

二、表示方式1、表格（1）借助表格可以感知因变量随自变量变化的情况；（2）从表格中可以获取一些信息，能够做出某种预测或估计； 2、关系式（1）能根据题意列简单的关系式； （2）能利用关系式进行简单的计算； 3、图像（1）识别图像是否正确；（2）利用图像尽可能地获取自变量因变量的信息。

第一节 小车下滑的时间课前引入1.小张从学校给妈妈打电话，在这个过程中，打电话的时间越长，电话费就越（ ）。

2.银行的年利率是2.25%，存入的本金越多，（ ）也越多，在这个问题中，（ ）是固定不变的。

（ ）随（ ）的改变而改变。

3.球的体积V 与球的半径的关系式V=34πr 3中，（ ）是一个定值。

（ ）随（ ）的改变而改变。

经典例题下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时所记录的数据：（1）时间为8分钟时，水的温度是多少？（2）上表反应了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （3）水的温度是怎样随时间变化的？（4）根据表格，你认为13分钟、14分钟时水的温度是多少？（5）为了节约能源，在烧开水时，你认为应在几分钟左右关闭煤气？过手练习1、明明从广州给远在上海的爷爷打电话，电话费随着时间的变化而变化，在这个过程中，因变量是（）A、明明B、电话费C、时间D、爷爷2上述问题中，第五排、第六排分别有个、个座位；第排有个座位.3、据世界人口组织公布，地球上的人口从1600年到1999年一直呈递增趋势，即随时间的变化，地球上的人口数量在逐渐地增加，如果用t表示时间，y表示人口数量，是自变量，是因变量。

（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）随着自变量的变化,因变量变化的趋势是什么?（3）你认为入学儿童的人数会变成零吗?5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？那个是自变量？哪个是因变量？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？（4）从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（5）根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？第二节 变化中的三角形课前引入1.计划购买40元的某种文化用品，则所购买的总数N （个）和单价想X （元）的关系式为（ ）。

第六章变量之间的关系一、要求1.理解“三个量”——变量、自变量、因变量的含义；2.掌握“三种方法“——表示变量关系的表格法、关系式法、图像法；3.认识表示变量关系的三种方法的优缺点；4.能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系；5.能够用自己的语言大致描述表格、关系式、图象所表示的关系；6.注意数形结合思想的运用，要善于从图象获取信息，能由图索数，也能由数导图；7.能根据具体问题的需要选择恰当的方式表示变量之间的关系，并能对变量之间的关系进行分析，尝试根据某些变化趋势进行预测.二、知识点（一）变量、自变量、因变量的定义在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量，若一个变量y随着另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

说明：自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量，即被动变化的量，数值保持不变的量叫做常量；自变量因变量联系 1.两者都是某变化过程中的变量；2.两者因研究的侧重点不同或先后顺序不同可以互相转化。

区别先发生变化或主动发生变化的量后发生变化或被动发生变化的量（二）表示变量关系的方法的三种方法1.表格法（列表法）借助表格，可以表示因变量随自变量的变化情况。

表示两个变量之间的关系的表格，一般用第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，从表格中可以发现因变量随自变量变化存在一定规律——或者增加或者减少或者呈规律性的起伏变化，从而利用变化趋势对结果作出预测。

说明：要会从表格中获取信息，并根据表格中的数据确定哪个是自变量，哪个是因变量；表由自变量和因变量组成。

预测变化趋势，首先分清自变量和因变量，然后再从表格中的数据入手进行分析，作出尽量合理的预测。

2.关系式法（解析式法）关系式是表示变量之间关系的另一种方法，它确定了变量之间的准确关系。

随着自变量取值的确定，因变量也得到相对应的值。

要会根据题意，写出变化的关系式，写出变化关系式的关键是生活常识或者基本公式（例如面积、体积、行程等等）写出一个等式，然后将表示因变量的字母单独写在等号的左边即可。

6.1小车下滑的时间教学目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力．教学重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况．教学难点：对表格所表达的两个变量关系的理解．教学准备：多媒体课件教学过程：一、出示投影：1．认图，你从图中看到了什么？展示从17岁以后不同年龄段男孩女孩的身高情况：（1）自身比不同年龄平均身高情况如何？（2）男、女孩不同年龄身高的比情况如何？（3）大致的描述青春期男、女生平均身高的变化情况．教师指明：这个图形还可以告诉我们很多信息，如什么时候女孩平均身高变化不大，什么时候男孩比女孩身高增长的势头大．．．．．现在我们只研究一个量（比如男孩的平均身高）与另一个量（如男孩年龄）之间的关系，学习这些知识，可以更好地了解自己，关心自己．二、探索新知识1．投影图表，学生观察思考，逐一回答下面的问题：支撑物高度10203040506070小车下滑时4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59间（1）表格中的数据告诉你什么？当支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？教师明晰：只要是表格中所提供的支撑高度，就可以通过表格容易查找到小车下滑时间的准确值．（2）如果用H表示支撑物高度，T表示小车下滑时间，随着H逐渐变大，T是如何变化的？（3）H增加10厘米时，T的变化情况相同吗？（4）估计当H＝90时，T的值是多少．你是怎样估计的？2．出示投影：议一议我国从1949年到1999年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：（1）如果用X表示时间，Y表示我国人口总数，那么随着X的变化，Y的变化趋势是什么？（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口怎样变化的？三、小结：学生对于两个变量之间的关系不是很理解，不能将两个量联系起来看．利用表格来预测一件事物的发展的题目学生不易掌握，应加强这方面的练习．四、作业：习题6.1的1、2题。