2014版高考一轮复习 第1讲 合情推理与演绎推理

第五节合情推理与演绎推理[备考方向要明了]式，并能运用[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．[探究] 1.归纳推理的结论一定正确吗？提示：不一定，结论是否真实，还需要经过严格的逻辑证明和实践检验．2．演绎推理(1)模式：三段论①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[探究] 2.演绎推理所获得的结论一定可靠吗？提示：不一定，只有前提是正确的，推理形式是正确的，结论才一定是真实的，错误的前提则可能导致错误的结论．[自测·牛刀小试]1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，由此得出凸多边形的内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④解析：选C ①是类比推理，②④是归纳推理，③是非合情推理．2．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A．3 125 B．5 625C．0 625 D．8 125解析：选A 55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 013＝4×502＋5，所以52 013与55后四位数字相同为3 125.3．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①②不正确，③正确．4．(教材习题改编)有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：选A 大前提是错误的，直线平行于平面，则不一定平行于平面内所有直线，还有异面直线的情况．5．(教材习题改编)在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想，在n 边形A 1A 2…A n 中，成立的不等式为________．解析：∵9＝32,16＝42,25＝52，且1＝3－2,2＝4－2,3＝5－2，…，故在n 边形A 1A 2…A n中，有不等式1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π成立．答案：1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2n －2π(n ≥3)[例1] (1)(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199(2)设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．[自主解答] (1)记a n ＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. (2)f (0)＋f (1)＝33，f (－1)＋f (2)＝33，f (－2)＋f (3)＝33， 猜想f (x )＋f (1－x )＝33， 证明：∵f (x )＝13x＋3， ∴f (1－x )＝131－x ＋3＝3x3＋3·3x ＝3x33＋3x.∴f(x)＋f(1－x)＝13x＋3＋3x33＋3x＝3＋3x 33＋3x＝13＝33.[答案] (1)C利用本例(2)的结论计算f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)的值．解：∵f(x)＋f(1－x)＝33，∴f(－2 014)＋f(－2 013)＋…＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 015)＝[f(－2 014)＋f(2 015)]＋[f(－2 013)＋f(2 014)]＋…＋[f(0)＋f(1)]＝2 015×33＝2 015 33.———————————————————归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．1．观察下列等式：1＝11＋2＝31＋2＋3＝61＋2＋3＋4＝101＋2＋3＋4＋5＝15…13＝113＋23＝913＋23＋33＝3613＋23＋33＋43＝10013＋23＋33＋43＋53＝225…可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(n∈N*，用含n的代数式表示)．解析：第二列等式右边分别是1×1,3×3,6×6,10×10，15×15，与第一列等式右边比较即可得，13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝14n2(n＋1)2.答案：14n2(n＋1)2[例2] (2013·广州模拟)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －ma n －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.[自主解答] 法一：设数列{a n }的公差为d 1，则d 1＝a n －a m n －m ＝b －an －m. 所以a m ＋n ＝a m ＋nd 1＝a ＋n ·b －a n －m ＝bn －amn －m. 类比推导方法可知：设数列{b n }的公比为q ，由b n ＝b m qn －m可知d ＝cq n －m，所以q ＝n －m dc，所以b m ＋n ＝b m q n＝c ·n －m⎝ ⎛⎭⎪⎫d c n ＝n －m d nc m . 法二：(直接类比)设数列{a n }的公差为d 1，数列{b n }的公比为q ， 因为等差数列中a n ＝a 1＋(n －1)d 1，等比数列中b n ＝b 1qn －1，因为a m ＋n ＝nb －man －m，所以b m＋n ＝n －m d nc m. [答案] n －m d nc m———————————————————类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．————————————————————————————————————————2．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D . 求证：1AD＝1AB＋1AC .那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由． 证明：如图所示，∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴△ABD ∽△CAD ，△ABC ∽△DBA ， ∴AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC ＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt△ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE2＝1AB2＋1AF 2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC 2＋1AD 2. ∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．理[例3] 已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3) 的值．[自主解答] (1)证明：函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知得y ＝－a a x ＋a，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x＋a ， ∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)可知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.则f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3. ———————————————————演绎推理的结构特点(1)演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．3．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，试确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：法一：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab 时，∵a >0，b >0， ∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b，ax 1x 2>b ， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x 2>x 1≥a b >0时，x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数． 法二：∵a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)， ∴令f ′(x )＝－a x 2＋b ＝0，得x ＝ a b， 当0＜x ≤a b 时，－ax2≤－b ， ∴－ax2＋b ≤0，即f ′(x )≤0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0， a b 上是减函数； 当x ≥ a b 时，－ax2＋b ≥0，即f ′(x )≥0， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增函数．2个步骤——归纳推理与类比推理的步骤 (1)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；③检验猜想．实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；③检验猜想．观察、比较→联想、类推→猜想新结论1个区别——合情推理与演绎推理的区别(1)归纳是由特殊到一般的推理；(2)类比是由特殊到特殊的推理；(3)演绎推理是由一般到特殊的推理；(4)从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；若大前提和小前提正确，则演绎推理得到的结论一定正确.创新交汇——合情推理与证明的交汇创新1．归纳推理主要有数与式的归纳推理、图形中的归纳推理、数列中的归纳推理；类比推理主要有运算的类比、性质的类比、平面与空间的类比．题型多为客观题，而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中，是高考命题的一个创新．2．解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；最后对所得的一般性命题进行检验．[典例] (2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；(2)sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；(3)sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解] 法一：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：(1)同法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos 60°－2α2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34. [名师点评] 1．本题的创新点(1)本题给出一个等于同一个常数的5个代数式，但没有给出具体的值，需要学生求出这个常数，这打破以往给出具体关系式的模式．(2)本题没有给出具体的三角恒等式，需要考生归纳并给出证明，打破了以往只归纳不证明的方式．2．解决本题的关键(1)正确应用三角恒等变换，用一个式子把常数求出来．(2)通过观察各个等式的特点，找出共性，利用归纳推理正确得出一个三角恒等式，并给出正确的证明．[变式训练] 阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明： cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C ，试判断△ABC 的形状．(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解：(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos 2A －cos 2B ＝1－cos 2C 可化为1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ，所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 由于f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．2．(2013·银川模拟)当x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，由此可以推广为x ＋pxn ≥n ＋1，取值p 等于( )A ．n nB ．n 2C ．nD ．n ＋1解析：选A ∵x ∈(0，＋∞)时可得到不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n 的指数次方，即p ＝n n.3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝ab ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．4．(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92解析：选B 通过观察可以发现|x |＋|y |的值为1,2,3时，对应的(x ，y )的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x |＋|y |＝n 时，对应的不同整数解(x ，y )的个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为80.5．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体S －ABC 的体积为V ，则R ＝( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C 设三棱锥的内切球球心为O ，那么由V ＝V O －ABC ＋V O －SAB ＋V O －SAC ＋V O －SBC ， 即：V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，可得：R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.6．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：选B 依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知第n 组整数对的和为n ＋1，且有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)．二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·陕西高考)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， …照此规律，第五个不等式为________．解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．即1＋122＋132＋142＋152＋…＋1n 2<2n －1n(n ∈N *，n ≥2)，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162<116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2012·湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个． 解析：从左右对称入手考虑．(1)4位回文数第1、4位取1,2,3,4,5,6,7,8,9之一有C 19＝9种选法．第2、3位可取0，有10种选法，故有9×10＝90个，即4位回文数有90个．(2)首位和末位不能取0，故有9种选法，其余位关于中间数对称，每两数都有10种选法，中间数也有10种选法，故2n ＋1(n ∈N *)位回文数有9×10n个．答案：90 9×10n9．(2013·包头模拟)如图，矩形ABCD 和矩形A ′B ′C ′D ′夹在两条平行线l 1、l 2之间，且A ′B ′＝mAB ，则容易得到矩形ABCD 的面积S 1与矩形A ′B ′C ′D ′的面积S 2满足：S 2＝mS 1.由此类比，如图，夹在两条平行线l 1、l 2之间的两个平行封闭图形T 1、T 2，如果任意作一条与l 1平行的直线l ，l 分别与两个图形T 1、T 2的边界交于M 、N 、M ′、N ′，且M ′N ′＝mMN ，则T 1、T 2的面积S 1、S 2满足________．椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2是夹在直线y ＝a 和y ＝－a 之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为________．解析：如图，任取一条与x 轴平行的直线，设该直线与x 轴相距h ，则这条直线被椭圆截得的弦长l 1＝2b a 2－h2a，被圆截得的弦长l 2＝2a 2－h 2， 则l 1l 2＝ba ，即S 椭圆S 圆＝b a. 故S 椭圆＝b a·πa 2＝πab . 答案：S 2＝mS 1 πab三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 …4 4 8 12其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)．解：表4为1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．11．已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a －y 2b＝1写出具有类似特征的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知的双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理：y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋nx ＋m＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．12．观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的．1.正方形ABCD 的边长是a ，依次连接正方形ABCD 各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依此得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A 点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( )A.1 0232 048a 2B.1 023768a 2C.5111 024a 2D.2 0474 096a 2解析：选A 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为a 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝14a 2，第二段长度的平方为a 22＝⎝⎛⎭⎪⎫24a 2＝18a 2，…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以a 21＝14a 2为首项，12为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S 10＝14a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12101－12＝1 0232 048a 2. 2．观察下列等式： ①cos 2α＝2cos 2α－1；②cos 4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos 6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos 8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos 10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1.可以推测，m －n ＋p ＝________.解析：观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故m ＝128×4＝512；取α＝0，则cos α＝1，cos 10α＝1，代入等式⑤，得1＝m －1 280＋1 120＋n ＋p －1，即n ＋p ＝－350；(1)取α＝π3，则cos α＝12，cos 10α＝－12，代入等式⑤，得－12＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1210－1 280×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＋1 120×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，即n ＋4p ＝－200，(2)联立(1)(2)，得n ＝－400，p ＝50. 故m －n ＋p ＝512－(－400)＋50＝962. 答案：9623．阅读以下求1＋2＋3＋…＋n (n ∈N *)的过程：因为(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1，n 2－(n －1)2＝2(n －1)＋1，…，22－12＝2×1＋1， 以上各式相加得(n ＋1)2－12＝2(1＋2＋…＋n )＋n ，所以1＋2＋3＋…＋n ＝n 2＋2n －n2＝n n ＋12.类比上述过程，可得12＋22＋32＋…＋n 2＝________(n ∈N *)．解析：由(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1，n 3－(n －1)3＝3(n －1)2＋3(n －1)＋1，…，23－13＝3×12＋3×1＋1，以上各式相加得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n 2)＋3(1＋2＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝n n ＋12n ＋16.答案：n n ＋12n ＋164.已知：在梯形ABCD 中，如图，AB ＝DC ＝DA ，AC 和BD 是梯形的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，DB 平分∠CBA .解：∵等腰三角形两底角相等，(大前提)△ADC 是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD 、BC 被AC 截得的内错角，(小前提) ∴∠1＝∠3.(结论)∵等于同一个角的两个角相等，(大前提) ∠2＝∠1，∠3＝∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3，即AC 平分∠BCD .(结论) 同理可证DB 平分∠CBA .。

[第67讲 合情推理与演绎推理](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．[2013·太原检测] 下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间正四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．[2013·洛阳检测] “因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝13x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错3．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 009，则i 与j 的和为( )1 2 4 3 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24A ．105B ．106C ．107D ．108 4．[2013·山西五校联考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为n ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0能力提升5．[2013·哈尔滨模拟] 观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 1256．在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，公比q >1，则b 4，b 5，b 7，b 8的一个不等关系是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 4＋b 8<b 5＋b 7C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 7<b 5＋b 87．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2 013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x8．[2013·江西卷] 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．1999．[2013·太原模拟] 四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1、2、3、4号位置上(如图K67－1)，第一次前后排动物互换位置，第二次左右列互换座位，…，这 )K67A ．编号1 B ．编号2 C ．编号3 D ．编号410．[2013·郑州模拟] 设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________．图K67－211．[2013·大连检测] 现有一个关于平面图形的命题：如图K67－2所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．12．观察下列等式： C 15＋C 55＝23－2， C 19＋C 59＋C 99＝27＋23， C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25， C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝________． 13．[2013·郑州模拟] (1)已知等差数列的定义为：在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它的前一项的差都为同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义为________________________________________________________________________．(2)已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________．这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________．14．(10分)[2013·洛阳模拟] 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．15．(13分)(1)已知：a ，b ，x 均是正数，且a >b ，求证：1<a ＋x b ＋x <ab；(2)当a ，b ，x 均是正数，且a <b 时，对真分数a b，给出类似上小题的结论，并予以证明； (3)证明：△ABC 中，sin A sin B ＋sin C ＋sin B sin C ＋sin A ＋sin C sin A ＋sin B<2；(可直接应用第(1)、(2)小题结论)(4)自己设计一道可直接应用第(1)、(2)小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程．难点突破 16．(12分)点P 为斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．课时作业(六十七)【基础热身】1．A [解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A ＋∠B ＝180°——结论．故A 是演绎推理，而B ，D 是归纳推理，C 是类比推理．故选A.2．A [解析] y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错． 3．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i ＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923，2 009＝1 923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.4．A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，即x ＋2y －z －2＝0.【能力提升】5．D [解析] ∵55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，510＝9 765 625，…，∴5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n ∈Z 且n ≥5)的末四位数为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)， ∴52 011与57的末四位数相同，均为8 125.故选D.6．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7，∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6)＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b 1q 3(q 3－1)(q －1)．∵q >1，b n >0，∴b 4＋b 8>b 5＋b 7.故选A. 7．C [解析] f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ， f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ＝f 1(x )， f 6(x )＝(cos x )′＝－sin x ＝f 2(x )， f n ＋4(x )＝…＝…＝f n (x )，故可猜测f n (x )以4为周期，有f 4n ＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝f 2(x )＝－sin x ， f 4n ＋3(x )＝f 3(x )＝－cos x ，f 4n ＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ， 所以f 2 013(x )＝f 503×4＋1(x )＝f 1(x )＝cos x ，故选C.8．C [解析] 考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与前两项结果之间的关系．由于a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和．因此，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，故选C.9．C [解析] 交换4次是一个周期，第2 014次小兔的位置和第2次小兔的位置一样．10.x（2n －1）x ＋2n [解析] 观察1，3，7，15，…与对应项的关系，显然满足2n－1，观察2，4，8，16，…与对应项的关系，显然满足2n，故f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n .11.a 38 [解析] 平面内⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22类比到空间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝a 38.12．24n －1＋(－1)n 22n －1 [解析] 给出的一系列等式中，右边为两项2s形式加减轮换的规律，其中第一个2s 的指数由3，7，11，…，4n －1构成，第二个2s的指数由1，3，5，7，…，2n －1构成．由此可归纳为：第二个2s 前有(－1)n ，二项指数分别为24n －1，22n －1，所以，对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝24n －1＋(－1)n 22n －1.13．(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)3 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n2，n 为偶数[解析] (1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．(2)由题意知数列{a n }为2，3，2，3，2，3，…，故a 18＝3；当n 为偶数时，S n ＝5·n2＝5n 2；当n 为奇数时，S n ＝5（n －1）2＋2＝5n －12. 14．解：当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a 24，即2624>a24，所以a <26.而a 是正整数，所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.(1)当n ＝1时，已证；(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524.则当n ＝k ＋1时，有1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋13（k ＋1）＋1 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6（k ＋1）9k 2＋18k ＋8>23（k ＋1），所以13k ＋2＋13k ＋4－23（k ＋1）>0.所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切正整数n ，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，所以a 的最大值等于25.15．解：(1)∵a ＋x >b ＋x >0，∴1<a ＋xb ＋x，又a ＋x b ＋x －a b ＝x （b －a ）b （b ＋x ）<0，∴1<a ＋x b ＋x <a b. (2)∵a <b ，∴b a >1，应用第(1)小题结论，得1<b ＋x a ＋x <b a ，取倒数，得a b <a ＋xb ＋x<1.(3)由正弦定理，原题△ABC 中，求证：ab ＋c ＋bc ＋a ＋ca ＋b<2.证明：由(2)的结论得a ，b ，c >0，且a b ＋c ，b c ＋a ，ca ＋b均小于1，∴ab ＋c <2a a ＋b ＋c ，b c ＋a <2b a ＋b ＋c ，c a ＋b <2ca ＋b ＋c ，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b <2a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋2c a ＋b ＋c ＝2. (4)如得出：四边形ABCD 中，各边长分别为a ，b ，c ，d ，求证：a b ＋c ＋d ＋b c ＋d ＋a ＋ca ＋b ＋d＋da ＋b ＋c<2.如得出：凸n 边形A 1A 2A 3…A n 中，各边长依次为a 1，a 2，…，a n ，求证：a 1a 2＋a 3＋…＋a n ＋a 2a 1＋a 3＋…＋a n ＋…＋a na 1＋a 2＋…＋a n －1<2.如得出：{a n }为各项为正数的等差数列(d ≠0)，求证： a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 2n －1a 2n <a 2a 3＋a 4a 5＋…＋a 2n a 2n ＋1. 【难点突破】16．解：(1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，又PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN .∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN .(2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1SACC 1A 1cos α. 其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所成的二面角． 证明如下：∵CC 1⊥平面PMN ，∴上述的二面角的平面角为∠MNP . 在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于SBCC 1B 1＝PN ·CC 1，SACC 1A 1＝MN ·CC 1， SABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1， ∴S 2ABB 1A 1＝S 2BCC 1B 1＋S 2ACC 1A 1－2SBCC 1B 1·SACC 1A 1·cos α.。

第1讲合情推理与演绎推理【2014年高考会这样考】1．考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论．2．考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合．对应学生187考点梳理1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【助学·微博】一个防X合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规X性．(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．考点自测1．(2013·某某质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )．A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提错误D．使用了“三段论”，但小前提错误解析大前提是特称命题，而小前提是全称命题．答案 C2．(2012·某某)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )．A．28 B．76 C．123 D．199解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.答案 C3．(2013·某某二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有________．解析分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和．答案n2＝1＋3＋…＋(2n－1)4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案1∶85．(2011·某某)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第n个等式应为________．解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2对应学生188考向一 归纳推理【例1】►观察下列等式： 1＝1，1＋2＝3，1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15， 13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，13＋23＋33＋43＋53＝225.可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________(n ∈N *，用含有n 的代数式表示)． [审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论．解析 第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…，第n 项a n 与第n －1项a n －1(n ≥2)的差为：a n －a n －1＝n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，等号的左右两端分别相加得，a n ＝a 1＋2＋3＋…＋n ，其中a 1＝1，∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ，即a n ＝n n ＋12，∴a 2n ＝14n 2(n＋1)2.答案 14n 2(n ＋1)2(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．【训练1】 (2012·某某模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．解析 观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1n ＋12n，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n .答案31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝1－1n ＋12n (n ∈N *) 考向二 类比推理【例2】►在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为________”． [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．解析 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中12类比为三维图形中的13，得V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r . 答案 V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r(1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．【训练2】 (2013·某某模拟)已知P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y 2＝2px 两边同时对x 求导，得2yy ′＝2p ，则y ′＝p y ，所以过P 的切线的斜率k ＝p y 0.类比上述方法求出双曲线x 2－y 22＝1在P (2，2)处的切线方程为________．解析 将双曲线方程化为y 2＝2(x 2－1)，类比上述方法两边同时对x 求导得2yy ′＝4x ，则y ′＝2x y ，即过P 的切线的斜率k ＝2x 0y 0，由于P (2，2)，故切线斜率k ＝222＝2，因此切线方程为y －2＝2(x －2)，整理得2x －y －2＝0. 答案 2x －y －2＝0考向三 演绎推理【例3】►数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)．证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．(1)由等比数列的定义及S n 与a n 的关系证明；(2)由(1)可推得． 证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)， ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1 ＝4a n (n ≥2)，(小前提)又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略． 【训练3】 已知函数f (x )＝ 2x－12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．解 (1)对任意x ∈R 有－x ∈R ，并且f (－x )＝2－x－12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x－12x＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )在R 上单调递增，证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，并且x 1＞x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－12x 1＋1－2x 2－12x 2＋1 ＝2x 1－12x 2＋1－2x 2－12x 1＋12x 1＋12x 2＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.∵x 1＞x 2，∴2x 1＞2x 2＞0，即2x 1－2x 2＞0. 又∵2x 1＋1＞0,2x 2＋1＞0， ∴22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )在R 上为单调递增函数．对应学生189方法优化20——活用归纳推理巧解题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，合情推理重点考查归纳推理，主要以函数、数列、不等式等知识为背景，以选择题或填空题的形式进行命题，试题难度不大． 【真题探究】► (2012·某某)观察下列不等式 1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为________．[教你审题] 根据已知的不等式归纳两边式子的特征，找出其规律性． [优美解法] 观察三个不等式发现：第一个不等式左边为两式之和，且分母为两个连续整数的平方；右边为2×2－12；第二个不等式左边为三式之和，且分母为三个连续整数的平方；右边为2×3－13；第三个不等式左边为四式之和，且分母为四个连续整数的平方；右边为2×4－14；…归纳推理知：第五个不等式为： 1＋122＋132＋142＋152＋162<116.[反思] (1)对有限的条件进行观察、分析，先把已知条件的形式整理成统一的形式． (2)对有限的条件进行归纳、整理，一般的思路是先整体，后部分． (3)提出归纳推理的结论． 【试一试】 已知下列不等式：x ＋1x ≥2，x ＋4x2≥3，x ＋27x3≥4，…则第n 个不等式为________．解析 所给的不等式的左边的第一个式子都是x ，不同之处在于第二个式子，当n ＝1时，为1x ；当n ＝2时，为4x 2；当n ＝3时，为27x3；…….显然式子中的分子与分母是对应的，分母为x n，分子是n n，所以不等式左边的式子为x ＋n nxn .显然不等式右边的式子为n ＋1，所以第n 个不等式为x ＋n n x n ≥n ＋1，n ∈N *.答案 x ＋n n xn ≥n ＋1，n ∈N *对应学生345A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式解析 A 、D 是归纳推理，B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理． 答案 C2．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )． A ．f (x ) B ．－f (x ) C ．g (x ) D ．－g (x )解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )． 答案 D3．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1”．其中类比结论正确的个数有( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析类比结论正确的只有①②.答案 B4．(2011·某某)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A．3 125 B．5 625 C．0 625 D．8 125解析∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·某某省实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1，a2满足a21＋a22＝1，则a1＋a2≤2”的证明过程：证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数满足a21＋a22＋…＋a2n＝1时，你能得到的结论为________________________________(不必证明)．解析依题意，构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2，则有f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋1，Δ＝[－2(a1＋a2＋…＋a n)]2－4n＝4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n≤0，即有a1＋a2＋…＋a n≤n.答案a1＋a2＋…＋a n≤n6．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图所示的规律拼成若干个图形，则按此规律，第100个图形中有白色地砖________块；现将一粒豆子随机撒在第100个图中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．[ ]解析 按拼图的规律，第1个图有白色地砖3×3－1(块)，第2个图有白色地砖3×5－2(块)，第3个图有白色地砖3×7－3(块)，…，则第100个图中有白色地砖3×201－100＝503(块)．第100个图中黑白地砖共有603块，则将一粒豆子随机撒在第100个图中，豆子落在白色地砖上的概率是503603.答案 503503603三、解答题(共25分)7．(12分)给出下面的数表序列： 表1 表2 表31 1 3 1 3 5 4 4 8 12…其中表n (n ＝1,2,3，…)有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n ≥3)(不要求证明)． 解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n (n ≥3)，即表n (n ≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．8．(13分)(2012·某某)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sinα)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·某某质检)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B. 答案 B2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )． A ．289 B ．1 024 C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·某某模拟)对一个边长为1的正方形进行如下操作；第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图1所示的几何图形，其面积S 1＝59；第二步，将图1的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图2；依此类推，到第n 步，所得图形的面积S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫59n.若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n 步，所得几何体的体积V n ＝________.解析 对一个棱长为1的正方体进行如下操作：第一步，将它分割成3×3×3个小正方体，接着用中心和8个角的9个小正方体，构成新1几何体，其体积V 1＝927＝13；第二步，将新1几何体的9个小正方体中的每个小正方体都进行与第一步相同的操作，得到新2几何体，其体积V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132；…，依此类推，到第n 步，所得新n 几何体的体积V n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.答案⎝ ⎛⎭⎪⎫13n4．(2012·某某)设N ＝2n(n ∈N *，n ≥2)，将N 个数x 1，x 2，…，x N 依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列P 0＝x 1x 2…x N .将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N 2和后N2个位置，得到排列P 1＝x 1x 3…x N －1x 2x 4…x N ，将此操作称为C 变换．将P 1分成两段，每段N2个数，并对每段作C 变换，得到P 2；当2≤i ≤n －2时，将P i 分成2i 段，每段N2i 个数，并对每段作C 变换，得到P i ＋1.例如，当N ＝8时，P 2＝x 1x 5x 3x 7x 2x 6x 4x 8，此时x 7位于P 2中的第4个位置．(1)当N ＝16时，x 7位于P 2中的第________个位置； (2)当N ＝2n(n ≥8)时，x 173位于P 4中的第________个位置．解析 (1)当N ＝16时，P 1＝x 1x 3x 5x 7x 9…x 16，此时x 7在第一段内，再把这段变换x 7位于偶数位的第2个位置，故在P 2中，x 7位于后半段的第2个位置，即在P 2中x 7位于第6个位置． (2)在P 1中，x 173位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在P 2中x 173位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得P 3时，x 173位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，x 173位于十六段中的第四段的第11个位置上，也就是位于P 4中的第(3×2n－4＋11)个位置上．答案 6 3×2n －4＋11三、解答题(共25分)[ ] 5．(12分)观察下表： 1， 2,3 4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15， …问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2 013是第几行的第几个数？ 解 (1)∵第n ＋1行的第1个数是2n， ∴第n 行的最后一个数是2n－1. (2)2n －1＋(2n －1＋1)＋(2n －1＋2)＋…＋(2n－1)＝2n －1＋2n －1·2n －12＝3·22n －3－2n －2.(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 013<2 048， ∴2 013在第11行，该行第1个数是210＝1 024，由2 013－1 024＋1＝990，知2 013是第11行的第990个数．6．(13分)(2013·某某二模)将各项均为正数的数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数a 1，a 2，a 4，a 7，…，构成数列{b n }，各行的最后一个数a 1，a 3，a 6，a 10，…，构成数列{}，第n 行所有数的和为S n (n ＝1,2,3,4，…)．已知数列{b n }是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序每一个数与它前面一个数的比是常数q ，且a 1＝a 13＝1，a 31＝53.(1)求数列{}，{S n }的通项公式； (2)求数列{}的前n 项和T n 的表达式．解 (1)b n ＝dn －d ＋1，前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12个数，因为13＝4×52＋3，所以a 13＝b 5×q 2，即(4d ＋1)q 2＝1，又因为31＝7×82＋3，所以a 31＝b 8×q 2，即(7d ＋1)q 2＝53，解得d ＝2，q ＝13，所以b n ＝2n －1，＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2n －13n －1，S n ＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32(2n －1)·3n－13n .(2)T n ＝11＋33＋532＋…＋2n －13n －1，①13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －13n .② ①②两式相减，得23T n ＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－2n －13n＝1＋2×13－13n1－13－2n －13n ＝2－2n ＋23n ，所以T n ＝3－n ＋13n －1.。

第1讲合情推理与演绎推理自主梳理1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断，我们将这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由到，由到的推理；(2)由归纳推理得到的结论正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理．4．类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象，我们把这种推理过程称为类比推理．类比推理是之间的推理．5．合情推理：合情推理是根据和的结果、个人的和、和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式．合情推理的结果正确．6．在数学中，证明一个命题，就是根据命题的条件和已知的，利用的法则将命题推导出来．7．三段论探究点一归纳推理例1在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)(1)求a2，a3，a4，a5；(2)归纳猜想通项公式a n.探究点二：归纳推理在图形变化中的应用例2 在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝_；f(n)＝ (答案用含n的代数式表示)．变式迁移2：在平面内观察：凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 凸六边形有9条对角线， …由此猜想凸n (n ≥4且n ∈N *)边形有几条对角线？ 探究点三：归纳推理在算式问题中的应用例3 观察下列等式，并从中归纳出一般法则．(1)1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52， ……(2)1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92， ……变式迁移3：在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中成立的不等式为 探究点四：类比推理在几何中的应用例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p ch c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22，将此结论类比到空间有_______________________________________________． 探究点五：定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明：等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N *)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式______成立． 变式迁移5：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4， ， ，T 16T 12成等比数列． 探究点六：演绎推理三段论的应用例3 在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足．求证：AB 的中点M 到D 、E的距离相等．变式迁移6已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF∥平面BCD.课后小试身手一、选择题1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于() A．47 B．65 C．63 D．1282．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)3．下列推理正确的是() A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin (x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④5．①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．上表述正确的是()6．下列说法不正确的是() A．演绎推理是由一般到特殊的推理B．赋值法是演绎推理C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D ．归纳推理的结论都不可靠7． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin (x 2＋1)是奇函数．以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确8．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 9． 下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图10． 把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是( )A ．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交B ．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直C ．如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行D ．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行 二、选择题11． f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．12． 已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________.13． 如图，观察图形规律，在其右下的的空格处画上合适的图形，应为________． 14． 在等差数列{a n }中，若a n >0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是________． ①b 4＋b 8>b 5＋b 7；②b 5＋b 7>b 4＋b 8；③b 4＋b 7>b 5＋b 8；④b 4＋b 5>b 7＋b 8.15． 类比平面直角坐标系中△ABC 的重点G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 4)为顶点的四面体A —BCD 的重点G (x ，y ，z )的公式为________．16．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．三，解答题17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．18．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．(1)3条直线最多将平面分成多少部分？(2)设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； (3)求出f (n )．19．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间 四面体性质的猜想．20．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．。

第十一章 推理与证明、算法初步与复数第1节 合情推理与演绎推理基础打磨1.(2020届福建宁德期中)已知√2+23=2√23,√3+38=3√38,√4+415=4√415,…,依此规律,若√9+b a =9√b a,则a+2b 的值为( ).A .79B .81C .100D .982.(2020届河北石家庄期末)有6名选手参加演讲比赛,观众甲猜测:1、2、6号选手中的一位获得第一名.观众乙猜测:4、5、6号选手都不可能获得第一名.观众丙猜测:4号或5号选手得第一名.观众丁猜测:3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果,此人是( ). A .甲 B .乙 C .丙 D .丁3.(2020届广东佛山模拟)若点P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)内,则被P 0平分的弦所在的直线方程是x 0x a 2+y 0y b 2=x 02a 2+y 02b 2,通过类比的方法,可得被P (1,1)所平分的双曲线x 24-y 2=1的弦所在的直线方程是( ). A .x-4y+3=0B .x+4y-5=0C .x-4y-5=0D .x+4y+3=04.(2020届江西吉安月考)“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“n 阶幻方(n ≥3,n ∈N *)”是由前n 2个正整数组成的—个n 阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为( ).81 6 35 7 4 9 2A .75B .65C .55D .455.(2020届陕西榆林三模)西安市为了缓解交通压力,实行机动车限行政策,每辆机动车每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行.某公司有A ,B ,C ,D ,E 五辆车,每天至少有四辆车可以上路行驶.已知E 车周四限行,B 车昨天限行,从今天算起,A ,C 两车连续四天都能上路行驶,E 车明天可以上路,由此可知下列推测一定正确的是( ).A .今天是周四B .今天是周六C .A 车周三限行D .C 车周五限行6.(2020届河北唐山调研)已知数列{a n }为等差数列,若a m =a ,a n =b (n-m ≥1,m ,n ∈N *),则a m+n =nb-ma n-m .类比上述结论,对于等比数列{b n }(b n >0,n ∈N *),若b m =c ,b n =d (n-m ≥2,m ,n ∈N *),则b m+n = .7.(2020届吉林省模拟)若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的任意n 个值x 1,x 2,…,x n ,总满足f(x 1)+f(x 2)+…+f(x n )n ≤f (x 1+x 2+…+x n n ),则称f (x )为D 上的凸函数.现已知f (x )=cos x 在(0,π2)上是凸函数,则在锐角三角形ABC 中,cos A+cos B+cos C 的最大值是 .能力拔高8.(2020届北京市通州区一模)由正整数组成的数对按规律排列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,若数对(m ,n )满足(m 2-1)(n 2-3)=2019,其中m ,n ∈N *,则数对(m ,n )排在( ).A .第351位B .第353位C .第378位D .第380位9.(2020届北京市昌平区第二次统考)一次数学竞赛,共有6道选择题,规定每道题答对得5分,不答得1分,答错倒扣1分.一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛,这个小组的人数与总得分情况为( ). A .当小组的总得分为偶数时,小组人数一定为奇数B .当小组的总得分为偶数时,小组人数一定为偶数C .小组的总得分一定为偶数,与小组人数无关D .小组的总得分一定为奇数,与小组人数无关10.(2020届湖南一模)已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为3,5,第三行为7,9,11,第四行为13,15,17,19,如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为a i ,j ,比如a 3,2=9,a 4,2=15,a 5,4=23,若a i ,j =2019,则i+j=( ).A .72B .71C .66D .65。

第1讲合情推理与演绎推理，能利用归纳和类比等进展简单的推理，，掌握演绎推理的根本形式，并能运用它们进展一些简单推理；3.理解合情推理和演绎推理之间的联络和差异．知识梳理1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的局部对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理由局部到整体、由个别到一般类比推理根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或一样)的性质的推理由特殊到特殊(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论〞是演绎推理的一般形式，包括：①大前提——的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)精彩PPT展示(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为适宜．(×)(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A．28 B．32 C．33 D．27解析5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，所以x＝32.答案 B3．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进展精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：那么最短交货期为________个工作日．解析先由徒弟粗加工原料B，6个工作日，再由师傅精加工21个工作日，在这期间徒弟再粗加工原料A，9工作日不计，再由师傅精加工15个工作日，共有6＋21＋15＝42.答案424．(2021·福建卷)集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且以下三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，那么100a＋10b＋c等于________．解析可分以下三种情形：(1)假设只有①正确，那么a≠2，b≠2，c＝0，又a≠2且b≠2，∴c＝2与c＝0矛盾，此时不合题意；(2)假设只有②正确，那么a＝2，b＝2与集合中元素的互异性矛盾，此时不合题意；(3)假设只有③正确，那么a＝2，b≠2，c≠0，即有a＝2，b＝0，c＝1(符合题意)．∴100a ＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.答案2015．(人教A选修2－2P93A5改编)在等差数列{an}中，假设a10＝0，那么有a1＋a2＋…＋an ＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，假设b9＝1，那么b1b2b3…bn＝________．答案b1b2b3b4…b17－n(n＜17，n∈N*)考点一归纳推理【例1】(2021·海口调研)如图是按一定规律排列的三角形等式表，现将等式从左至右，从上到下依次编上序号，即第一个等式为20＋21＝3，第二个等式为20＋22＝5，第三个等式为21＋22＝6，第四个等式为20＋23＝9，第五个等式为21＋23＝10，……，依此类推，那么第99个等式为()20＋21＝320＋22＝521＋22＝620＋23＝921＋23＝1022＋23＝1220＋24＝1721＋24＝1822＋24＝2023＋24＝24……A ．27＋213＝8 320B ．27＋214＝16 512C ．28＋214＝16 640D ．28＋213＝8 448解析 依题意，用(t ，s)表示2t ＋2s ，题中的等式的规律为：第一行为3(0，1)；第二行为5(0，2)，6(1，2)；第三行为9(0，3)，10(1，3)，12(2，3)；第四行为17(0，4)，18(1，4)，20(2，4)，24(3，4)；……，又因为99＝(1＋2＋3＋…＋13)＋8，因此第99个等式应位于第14行的从左到右的第8个位置，即是27＋214＝16 512，应选B. 答案 B规律方法 归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．【训练1】 ( ·济南模拟)有一个奇数组成的数阵排列如下： 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … … 19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … …那么第30行从左到右第3个数是________．解析 先求第30行的第1个数，再求第30行的第3个数．观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是1＋4＋6＋8＋10＋…＋60＝30×〔2＋60〕2，第3个数比第2个数大2n ＋2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是929＋60＋62＝1 051.答案 1 051 考点二 类比推理【例2】 (1)假设数列{an}是等差数列，那么数列{bn}⎝⎛⎭⎫bn ＝a1＋a2＋…＋an n也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，那么dn 的表达式应为( )A ．dn ＝c1＋c2＋…＋cn nB ．dn ＝c1·c2·…·cnn C ．dn ＝n cn 1＋cn 2＋…＋cn n nD ．dn ＝n c1·c2·…·cn (2)在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为1∶2，那么它们的体积比为________． 解析 (1)法一 从商类比开方，从和类比积，那么算术平均数可以类比几何平均数，故dn 的表达式为dn ＝nc1·c2·…·cn.法二 假设{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋an ＝na1＋n 〔n －1〕2d ，∴bn ＝a1＋〔n －1〕2d ＝d 2n ＋a1－d2，即{bn}为等差数列；假设{cn}是等比数列，那么c1·c2·…·cn ＝cn 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝cn 1·q n 〔n －1〕2，∴dn ＝nc1·c2·…·cn ＝c1·q n －12，即{dn}为等比数列，应选D.(2)由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1∶2，那么它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8. 答案 (1)D (2)1∶8规律方法 在进展类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：(1)找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；(2)找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．【训练2】 把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，那么矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a2＋b22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________．解析 由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径． 答案a2＋b2＋c22考点三 演绎推理【例3】 数列{an}的前n 项和记为Sn ，a1＝1，an ＋1＝n ＋2n Sn(n ∈N*)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 是等比数列；(2)Sn ＋1＝4an.证明 (1)∵an ＋1＝Sn ＋1－Sn ，an ＋1＝n ＋2n Sn ， ∴(n ＋2)Sn ＝n(Sn ＋1－Sn)，即nSn ＋1＝2(n ＋1)Sn. ∴Sn ＋1n ＋1＝2·Sn n ，又S11＝1≠0，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫Sn n 是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知Sn ＋1n ＋1＝4·Sn －1n －1(n≥2)，∴Sn ＋1＝4(n ＋1)·Sn －1n －1＝4·n －1＋2n －1·Sn －1＝4an (n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提) ∴对于任意正整数n ，都有Sn ＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的条件)规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是显然的，那么可以省略． 【训练3】 “因为对数函数y ＝logax 是增函数(大前提)，而y ＝log 14x 是对数函数(小前提)，所以y ＝log 14x 是增函数(结论)〞，以上推理的错误是( ) A ．大前提错误导致结论错误 B ．小前提错误导致结论错误 C ．推理形式错误导致结论错误 D ．大前提和小前提错误导致结论错误解析 当a ＞1时，函数y ＝logax 是增函数；当0＜a ＜1时，函数y ＝logax 是减函数．故大前提错误导致结论错误． 答案 A[思想方法]1．合情推理的过程概括为从详细问题出发―→观察、分析、比拟、联想―→ 归纳、类比―→提出猜测2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般形式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进展． [易错防范]1．合情推理是从的结论推测未知的结论，发现与猜测的结论都要经过进一步严格证明． 2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的标准性．3．合情推理中运用猜测不能凭空想象，要有猜测或拓展根据.根底稳固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．观察(x2)′＝2x ，(x4)′＝4x3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理得：假设定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(－x)＝( )A ．f(x)B ．－f(x)C ．g(x)D ．－g(x)解析 由得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 答案 D2．观察以下各式：a ＋b ＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199解析 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开场，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，那么a10＋b10＝123. 答案 C3．平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，那么f(n)的表达式为( ) A ．n ＋1B ．2n C.n2＋n ＋22D ．n2＋n ＋1解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n 〔n ＋1〕2＝n2＋n ＋22个区域，选C. 答案 C4．(2021·北京卷)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀〞“合格〞“不合格〞．假设学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，那么称“学生甲比学生乙成绩好〞．假如一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩一样、数学成绩也一样的两位学生，那么这组学生最多有()A．2人B．3人C．4人D．5人解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格，而语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B的也最多只有1个，语文成绩得C的也最多只有1个，因此学生最多只有3个，显然(A，C)，(B，B)，(C，A)，满足条件．故学生最多3个．答案 B5．由代数式的乘法法那么类比推导向量的数量积的运算法那么：①“mn＝nm〞类比得到“a·b＝b·a〞；②“(m＋n)t＝mt＋nt〞类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c〞；③“(m·n)t＝m(n·t)〞类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)〞；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x〞类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x〞；⑤“|m·n|＝|m|·|n|〞类比得到“|a·b|＝|a|·|b|〞；⑥“acbc＝ab〞类比得到“a·cb·c＝ab〞．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4解析①②正确；③④⑤⑥错误．答案 B二、填空题6．( ·东北三省三校联考)观察以下等式：13＝12，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，……，根据上述规律，第n 个等式为________．解析 观察所给等式左右两边的构成易得第n 个等式为13＋23＋…＋n3＝⎣⎡⎦⎤n 〔n ＋1〕22＝n2〔n ＋1〕24. 答案 13＋23＋…＋n3＝n2〔n ＋1〕247．(2021·南昌模拟)观察以下等式：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，53＝21＋23＋25＋27＋29，……，假设类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，那么正整数m 等于________．解析 依题意，注意到从23到m3(m≥2，m ∈N)的分拆中共含有2＋3＋…＋m ＝〔m －1〕〔m ＋2〕2个正整数，且最大的正整数为2×〔m －1〕〔m ＋2〕2＋1＝(m －1)(m ＋2)＋1，且109＝(10－1)×(10＋2)＋1，因此所求的正整数m ＝10. 答案 108．命题p ：椭圆x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，F1，F2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M ，那么OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，F1，F2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过点F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M ，那么OM 的长为定值．解析 对于椭圆，延长F2M 与F1P ，M 为F2Q 的中点，且PF2＝PQ ，从而OM ∥F1Q 且OM ＝12F1Q.而F1Q ＝F1P ＋PQ ＝F1P ＋PF2＝2a ，曲线，过点F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a. 答案 内角平分线 三、解答题9．给出下面的数表序列： 表1 表2 表3 1 1 3 1 3 5 4 4 8 12 …其中表n(n ＝1，2，3，…)有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，2n －1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解 表4为 1 3 5 7 4 8 12 12 20 32它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n ，公比为2的等比数列．10．f(x)＝13x ＋3，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜测一般性结论，并给出证明．解 f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13〔1＋3〕＝33〔1＋3〕＋13〔1＋3〕＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f(－2)＋f(3)＝33. 由此猜测f(x)＋f(1－x)＝33.证明：f(x)＋f(1－x)＝13x ＋3＋131－x ＋3＝13x ＋3＋3x 3＋3·3x ＝13x ＋3＋3x 3〔3＋3x 〕 ＝3＋3x 3〔3＋3x 〕＝33.才能提升题组 (建议用时：25分钟)11．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：①“假设a ，b ∈R ，那么a －b ＝0⇒a ＝b 〞类比推出“假设a ，b ∈C ，那么a －b ＝0⇒a ＝b 〞； ②“假设a ，b ，c ，d ∈R ，那么复数a ＋bi ＝c ＋di ⇒a ＝c ，b ＝d 〞类比推出“假设a ，b ，c ，d ∈Q ，那么a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d 〞；③假设“a ，b ∈R ，那么a －b>0⇒a>b 〞类比推出“假设a ，b ∈C ，那么a －b>0⇒a>b 〞．其中类比结论正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②正确，③错误．因为两个复数假如不全是实数，不能比拟大小． 答案 C12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数． 比方：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378解析观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，那么a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝n〔n＋1〕2，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，那么bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1 225.答案 C13．( ·武汉调研)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)〞时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)， 2×3＝13(2×3×4－1×2×3)， ……n(n ＋1)＝13[n(n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n(n ＋1)]． 相加，得1×2＋2×3＋…＋n(n ＋1)＝13n(n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n ＋1)(n ＋2)〞，其结果是________(结果写成关于n 的一次因式的积的形式)．解析 先改写第k 项：k(k ＋1)(k ＋2)＝14[k(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k(k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，……，n(n ＋1)(n ＋2)＝14[n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n(n ＋1)(n ＋2)]，相加得1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n ＋1)(n ＋2)＝14n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．答案 14n(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)14．在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜测，并说明理由． 证明 如下图，由射影定理，得 AD2＝BD·DC ，AB2＝BD·BC ， AC2＝BC·DC ， ∴1AD2＝1BD ·DC＝BC2BD ·BC ·DC ·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD2＝AB2＋AC2AB2·AC2＝1AB2＋1AC2.猜测，在四面体ABCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD，那么1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2，∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2.第2讲直接证明与间接证明最新考纲 1.理解直接证明的两种根本方法——分析法和综合法；理解分析法和综合法的考虑过程和特点；2.理解反证法的考虑过程和特点．知识梳理1．直接证明内容综合法分析法定义利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)为止本质由因导果执果索因框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语因为……所以……或由……得……要证……只需证……即证……言间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进展推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√〞或“×〞)精彩PPT展示(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(×)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)(3)用反证法证明结论“a>b〞时，应假设“a<b〞．(×)(4)反证法是指将结论和条件同时否认，推出矛盾．(×)2．(2021·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，那么方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根〞时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根〞等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1〞，所以要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根〞．答案 A3．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝ex(x<0)，那么a 与b 的大小关系为( ) A ．a>b B ．a<b C ．a ＝b D ．a ≤b解析 a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝ex ，当x<0时，0<b<1， ∴a>b. 答案 A4．假设a ，b ，c 为实数，且a<b<0，那么以下命题正确的选项是( ) A ．ac2<bc2 B ．a2>ab>b2 C.1a <1b D.b a >a b解析 a2－ab ＝a(a －b)，∵a<b<0，∴a －b<0，∴a2－ab>0， ∴a2>ab.①又ab －b2＝b(a －b)>0，∴ab>b2，② 由①②得a2>ab>b2. 答案 B5．(人教A 选修2－2P96例1改编)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，那么△ABC 的形状为________． 解析 由题意2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，又b2＝ac ，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝a2＋c2－ac ， ∴a2＋c2－2ac ＝0，即(a －c)2＝0，∴a ＝c ， ∴A ＝C ，∴A ＝B ＝C ＝π3，∴△ABC 为等边三角形． 答案 等边三角形考点一 综合法的应用【例1】 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1.证明 (1)由a2＋b2≥2ab ，b2＋c2≥2bc ，c2＋a2≥2ac 得 a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca. 由题设得(a ＋b ＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca≤13. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． (2)因为a2b ＋b≥2a ，b2c ＋c≥2b ，c2a ＋a≥2c ， 故a2b ＋b2c ＋c2a ＋(a ＋b ＋c)≥2(a ＋b ＋c)， 即a2b ＋b2c ＋c2a ≥a a2b ＋b2c ＋c2a ≥1. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．规律方法 用综合法证题是从条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．在使用综合法证明时，易出现的错误是因果关系不明确，逻辑表达混乱．【训练1】 在△ABC 中，设CB →＝a ，CA →＝b ，求证：S △ABC ＝12|a|2|b|2－〔a·b 〕2. 证明 ∵S △ABC ＝12|a||b|sin C ，cos C ＝a·b|a||b|，∴S2△ABC ＝14|a|2|b|2sin2C ＝14|a|2|b|2(1－cos2C) ＝14|a|2|b|2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫a·b |a||b|2＝14[|a|2|b|2－(a·b)2]∴S △ABC ＝12|a|2|b|2－〔a·b 〕2. 考点二 分析法的应用【例2】 a≥b ＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 证明 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b 成立， 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b ≥0， 即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0.∵a ≥b ＞0，∴a －b≥0，a ＋b ＞0，2a ＋b ＞0， 从而(a ＋b)(a －b)(2a ＋b)≥0成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.规律方法 (1)分析法采用逆向思维，当条件与结论之间的联络不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、详细时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……〞或用“⇐〞．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．【训练2】 m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a2＋mb21＋m .证明 ∵m ＞0，∴1，只需证(a ＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)即证m(a2－2ab ＋b2)≥0，即证(a －b)2≥0， 而(a －b)2≥0显然成立，故原不等式得证． 考点三 反证法的应用【例3】 设{an}是公比为q 的等比数列． (1)推导{an}的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an ＋1}不是等比数列． (1)解 设{an}的前n 项和为Sn ， 当q ＝1时，Sn ＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 当q≠1时，Sn ＝a1＋a1q ＋a1q2＋…＋a1qn －1.① qSn ＝a1q ＋a1q2＋…＋a1qn ，② ①－②得，(1－q)Sn ＝a1－a1qn ，∴Sn ＝a1〔1－qn 〕1－q ，∴Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧na1，q ＝1，a1〔1－qn 〕1－q ，q ≠1.(2)证明 假设{an ＋1}是等比数列，那么对任意的k ∈N*， (ak ＋1＋1)2＝(ak ＋1)(ak ＋2＋1)，a2k ＋1＋2ak ＋1＋1＝akak ＋2＋ak ＋ak ＋2＋1，a21q2k ＋2a1qk ＝a1qk －1·a1qk ＋1＋a1qk －1＋a1qk ＋1， ∵a1≠0，∴2qk ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与矛盾． ∴假设不成立，故{an ＋1}不是等比数列．规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否认结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．【训练3】 a≠0，证明关于x 的方程ax ＝b 有且只有一个根． 证明 由于a≠0，因此方程至少有一个根x ＝ba . 假设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b ，① ax2＝b ，②由①－②得a(x1－x2)＝0， 因为x1≠x2，所以x1－x2≠0， 所以a ＝0，这与矛盾，故假设错误． 所以当a≠0时，方程ax ＝b 有且只有一个根.[思想方法]1．综合法的特点是：以“〞看“可知〞，逐步推向“未知〞，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法的特点是：从“未知〞看“需知〞，逐步靠拢“〞，逐步寻找结论成立的充分条件． 2．分析法和综合法各有优缺点．分析法考虑起来比拟自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，表达较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于考虑．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探究证明途径，然后再用综合法表达出来． 3．利用反证法证明数学问题时，要假设结论不成立，并用假设的命题进展推理，不用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的． [易错防范]注意推理的严谨性，在证明过程中每一步推理都要有充分的根据，这些根据就是命题的条件和已经掌握了的数学结论，不可盲目使用正确性未知的自造结论．在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是〞的否认是“不都是〞“至少一个〞的否认是“不存在〞等.根底稳固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题1．假设a ，b ∈R ，那么下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a2)>0B ．a2＋b2≥2(a －b －1)C ．a2＋3ab>2b2D.a b <a ＋1b ＋1解析 在B 中，∵a2＋b2－2(a －b －1)＝(a2－2a ＋1)＋(b2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a －b －1)恒成立． 答案 B2．m>1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，那么以下结论正确的选项是( ) A ．a>b B ．a<bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定 解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m>m ＋m －1＞0(m ＞1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a<b. 答案 B3．“a ＝14〞是“对任意正数x ，均有x ＋ax ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当a ＝14时，x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，当且仅当x ＝14x ，即x ＝12时取等号；反之，显然不成立． 答案 A4．分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b2－ac ＜3a 〞索的因应是( )A ．a －b ＞0B ．a －c ＞0C ．(a －b)(a －c)＞0D ．(a －b)(a －c)＜0解析 由题意知b2－ac ＜3a ⇐b2－ac ＜3a2 ⇐(a ＋c)2－ac ＜3a2 ⇐a2＋2ac ＋c2－ac －3a2＜0 ⇐－2a2＋ac ＋c2＜0 ⇐2a2－ac －c2＞0⇐(a －c)(2a ＋c)＞0⇐(a －c)(a －b)＞0. 答案 C5．①p3＋q3＝2，求证p ＋q≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q≥2；②a ，b ∈R ，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的选项是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确解析 反证法的本质是否认结论，对于①，其结论的反面是p ＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确． 答案 D 二、填空题6.6＋7与22＋5的大小关系为________． 解析 要比拟6＋7与22＋5的大小， 只需比拟(6＋7)2与(22＋5)2的大小， 只需比拟6＋7＋242与8＋5＋410的大小， 只需比拟42与210的大小， 只需比拟42与40的大小， ∵42>40，∴6＋7>22＋ 5. 答案6＋7>22＋ 57．以下条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的序号是________．解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且a b >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④能使ba ＋ab ≥2成立． 答案 ①③④8．设a ，b 是两个实数，给出以下条件：①a ＋b ＞2；②a 2＋b2＞2.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件的是________(填上序号)． 答案 ①三、解答题9．假设a ，b ，c 是不全相等的正数，求证： lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c. 证明 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c2≥ac ＞0. 又上述三个不等式中等号不能同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立． 上式两边同时取常用对数， 得lg⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg abc ， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c.10．设数列{an}是公比为q 的等比数列，Sn 是它的前n 项和． (1)求证：数列{Sn}不是等比数列； (2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明 假设数列{Sn}是等比数列，那么S22＝S1S3， 即a21(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q ＋q2)， 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q ＋q2， 即q ＝0，这与公比q≠0矛盾， 所以数列{Sn}不是等比数列．(2)解 当q ＝1时，Sn ＝na1，故{Sn}是等差数列； 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否那么2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q ＋q2)， 得q ＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q ＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列． 才能提升题组 (建议用时：25分钟)11．设a ，b ，c 均为正实数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋ ⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，“＝〞成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2. 答案 D12．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x，a ，b 是正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f(ab)，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，那么A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析 ∵a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f(x)＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上是减函数，∴f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f(ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b .答案 A13．a ，b ，μ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，那么使得a ＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________． 解析 ∵a ，b ∈(0，＋∞)，且1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋⎝⎛⎭⎫9a b ＋b a ≥10＋29＝16(当且仅当a ＝4，b ＝12时等号成立)， ∴a ＋b 的最小值为16.∴要使a ＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.答案 (0，16]14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)·cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)·cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 法一 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α ＝34sin2α＋34cos2α＝34.法二 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sin α]＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)[(cos 30°cos α＋ sin 30°sin α)－sin α]＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)·(cos 30°cos α－ sin 30°sin α)＝sin2α＋(cos 30°cos α)2－(sin 30°sin α)2 ＝sin2α＋34cos2α－14sin2α ＝34sin2α＋34cos2α ＝34.法三 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos 〔60°－2α〕2－sin α(cos 30°cos α＋ sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝1－cos 2α2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2α＋32sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α)＝34.第3讲 数学归纳法及其应用最新考纲 1.理解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知 识 梳 理 1．数学归纳法证明一个与正整数n 有关的命题，可按以下步骤进展： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k(k≥n 0，k ∈N*)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开场的所有正整数n 都成立． 2．数学归纳法的框图表示诊 断 自 测1．判断正误(请在括号中打“√〞或“×〞)精彩PPT 展示(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n ＝1时结论成立．(×) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(×) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(×)(4)不管是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项．(×)2．用数学归纳法证明1＋a ＋a2＋…＋an ＋1＝1－an ＋21－a (a≠1，n ∈N*)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a2D ．1＋a ＋a2＋a3 答案 C3．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝n4＋n22(n ∈N*)，那么从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边应添加的项为( ) A ．k2＋1 B ．(k ＋1)2C.〔k ＋1〕4＋〔k ＋1〕22D ．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k ＋1)2解析 n ＝k 时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2，n ＝k ＋1时，等式左边＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2.比拟上述两个式子，n ＝k ＋1时，等式的左边是在假设n ＝k 时等式成立的根底上，等式的左边加上了(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k ＋1)2. 答案 D4．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn ＋yn 能被x ＋y 整除〞，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 答案 2k ＋15．(人教A 选修2－2P94例2改编){an}满足an ＋1＝a2n －nan ＋1，n ∈N*，且a12＝______，a3＝________，a4＝________．猜测an ＝________． 答案 3 4 5 n ＋1考点一 用数学归纳法证明等式【例1】 用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n 〔2n ＋2〕＝n 4〔n ＋1〕(n ∈N*)． 证明 (1)当n ＝1时， 左边＝12×1×〔2×1＋2〕＝18，右边＝14〔1＋1〕＝18，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n ＝k(k ∈N*)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 〔2k ＋2〕＝k 4〔k ＋1〕， 那么当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k 〔2k ＋2〕＋12〔k ＋1〕[2〔k ＋1〕＋2]＝k 4〔k ＋1〕＋14〔k ＋1〕〔k ＋2〕＝k 〔k ＋2〕＋14〔k ＋1〕〔k ＋2〕 ＝〔k ＋1〕24〔k ＋1〕〔k ＋2〕＝k ＋14〔k ＋2〕＝k ＋14〔k ＋1＋1〕. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N*等式都成立．规律方法 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项〞，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明． 【训练1】 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n)＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N*)． 证明 (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N*)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k)＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)．当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k)·(2k ＋1)＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)(2)知，对n ∈N*，原等式成立． 考点二 用数学归纳法证明不等式【例2】 等比数列{an}的前n 项和为Sn.对任意的n ∈N*，点(n ，Sn)均在函数y ＝bx ＋r(b>0，且b≠1，b ，r 均为常数)的图象上． (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记bn ＝2(log2an ＋1)(n ∈N*)．证明：对任意的n ∈N*，不等式b1＋1b1·b2＋1b2·…·bn ＋1bn >n ＋1成立． (1)解 由题意，Sn ＝bn ＋r ， 当n≥2时，Sn －1＝bn －1＋r ， 所以an ＝Sn －Sn －1＝bn －1(b －1)，由于b>0，且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b 为公比的等比数列，又a1＝b ＋r ，a2＝b(b －1)，a2a1＝b ，即b 〔b －1〕b ＋r＝b ，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)知an ＝2n －1，因此bn ＝2n(n ∈N*)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1. ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2， 左式>右式，所以结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32〔k ＋1〕>k ＋1·2k ＋32〔k ＋1〕＝2k ＋32k ＋1，要证当n ＝k ＋1时结论成立，。