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西华大学2015年专升本考试试题（高等数学）一、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）1、若级数1||n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)n n n a ∞=-∑也收敛. ( )2、函数2x y x e =是微分方程20y y y '''-+=的解. ( )3、无穷小量的倒数是无穷大量. ( )4、方程2219z x +=在空间中所表示的图形是椭圆柱面. ( )5、n 元非齐次线性方程组AX B =有唯一解的充要条件是().r A n = ( )二、填空题（把答案填在括号中。
本大题共4个小题，每小题4分，总计16分）1、已知()f x 是R 上的连续函数，且(3)2,f =则3223212lim 156xx x x f x x x →∞⎛⎫-+⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭（ ）2、由方程xyz +所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =（ ） 3、改变二次积分2220(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的次序，则I =（ ） 4、22(sin )tan ,(01)f x x x '=<<，则()f x =（ ） 三、求解下列各题（本大题共10小题，每小题6分，总计60分）1、求极限220tan lim.1cos xx x tdtx→-⎰2、设1sin ,0(),0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩求().f x ' 3、求不定积分5cos .⎰4、求曲线sin ,2x y x z ==上点(,0,)2ππ处的切线和法平面方程.5、求微分方程2dx xydy y dx ydy +=+的通解.6、求由曲线2,2y x x y =+=及x 轴所围成的区域绕x 轴旋转所成立体的体积.7、当,a b 为何值时，线性方程组1234512345234512345323022654332x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解. 当其有解时，求出其全部解.8、计算二重积分22ln(1),Dx y dxdy ++⎰⎰其中222:(0),D x y R R +≤>0,0.x y ≥≥9、计算曲线积分22,LI y xdy x ydx =-⎰Ñ其中L 是圆周222,x y a +=逆时针方向为正.10、判别级数的敛散性.(1)1!n n n n∞=∑ (2) 11cos4nn n ππ∞=∑ 四、证明题（本大题共2小题，每题7分，总计14分）1、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0,f a f b ==证明在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()2015()0.f f ξξ'+=2、证明：对0,2x π∀<<2tan cos xx x x<<成立.西华大学2014年专升本考试试题（高等数学）一、填空题（把答案填在括号中。
绝密★启用前江苏省2015年普通高校专转本统一考试试卷高等数学 试卷注意事项：1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2、必须在答题卡上作答，作答到试题卷上无效。
作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰的填写在试题卷和答题卡上的指定位置。
3、考试结束时，需将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中选一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母涂黑）1、0x →时，函数sin ()1x f x e =-是函数()g x x =的（）B A 高阶无穷小低阶无穷小C 同阶无穷小D 等价无穷小2、函数(1),1xy x x =-<的微分dy 为（） 11 (1)[ln(1-x)+]dx B (1-x)[ln(1-x)-]dx 11C x(1)dx D -x(1)dx x x x x x x A x x xx x ------- 3、0x =是函数111,0()11,0x x e x f x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨-⎪⎪=⎩的（） A 、无穷间断点 B 、跳跃间断点 C 、可去间断点 D 、连续点4、()F x 是()f x 的一个原函数，则(32)f x dx -=⎰( )11 (32) (32) 22C 2(32)D 2(32)A F x C B F x C F x C F x C--+-+--+-+、、、、5、下列级数条件收敛的是（）221111(1)1!+1 (1) (1)21+1n n n n n n n n n n n n A B C D n n n n ∞∞∞∞====--+---∑∑∑∑、、、、6、11ln (,)()ey dy f x y dx =⎰⎰1111ln 0e 110001(,) (,) C (,) (,)x x x e x e e A dx f x y dy B dx f x y dy dx f x y dy D dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、、、、、二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7、设()lim(1)n n x f x n→∞=-则(ln 2)___________f =8、33211x t t y t ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩在点(0,2)处的切线方程为_____________9、设b 与(1,2,1)a =--平行，且12a b =则___________b =10、设1()21f x x =+，则()()_________________n f x =11、微分方程2'xy y x -=满足|12x y ==的特解为______________________12、幂级数11)n n n x ∞=-的收敛域为_________________三、计算题（每小题8分，共64分）13、求极限020arcsin lim 222x x x t tdt e x x →---⎰14、设2sin ,0()0,0x x x f x x x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求'()f x15、求过直线112215x y z +-+==与平面32100x y z ++-=的交点且与直线 230240x y z xy z -++=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程16、求不定积分317、求定积分222()sin x x xdx ππ-+⎰18、设(,())x z f x yϕ=，求2z x y ∂∂∂19求二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 由与y x =及2y =所围成20、已知2312x x x y C e C e xe =++是微分方程"'()y py qy f x ++=的通解，求该微分方程四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21、设D 是由曲线2y x =与直线(0)y ax a =>所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求（1）常数a 的值（2）平面图形D 的面积22、设函数2()(1)ax b f x x +=+在点1x =处取得极值14-，试求 （1）常数,a b 的值（2）曲线()y f x =的凹凸区间与拐点（3）曲线()y f x =的渐近线五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23、证明01x <<时，(2)ln(1)2x x x -->24、设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的函数，其中f 为可导函数 证明z z xz y x y ∂∂+=∂∂。
2015年山东专升本高数真题一二、判断题（本大题共6小题，每小题1分，共6分。
正确的划“√”，错误的划“×”） 1. 若0'()0f x =，则0x x =是函数()y f x =的极值点. 2.如果()lim x f x →+∞和()lim x f x →-∞都存在，则()lim x f x →∞存在.3. 设()F x 为()f x 在区间I 上的一个原函数，则()2F x 为()2f x 在这区间上的一个原函数.4.设()f x 在0x 的某个邻域内有定义并且在这个邻域内有()0f x ≥，若()0lim x x f x →存在等于常数A ，则有A ≥0.5. 设函数()y f x = 在点0x 处可导，则()y f x =在0x 处可微.6. 当x →∞时，2sin x 与2x 是等价无穷小量.三、计算题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 1.已知e cos3x y x -=，求y '2. 求1ln 1limcot x x arc x→+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ .3. 设函数()2,1,1x x f ax x b x ⎧≤=⎨+>⎩，在1x =处可导，求a ,b 的值.4. 求由曲线2y x =及y =所围成的平面图形的面积.四、证明题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）1. 设()f x 在区间(,)l l -上为奇函数且可导，求证：在区间(,)l l -上()f x '为偶函数.2. 设函数()f x 在(),a b 内有三阶导数，且()1f x =()2f x =()3f x =()4f x ，其中1234a x x x x <<<<<b ，证明：在(),a b 内至少存在一点ξ，使得'''()0f ξ=.2015年山东专升本高数真题二二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数1()1f x x =-，则[()]f f x = ___________. 2. 21lim (1cos )x x x→∞-=___________.3. 曲线24x t y t ⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为___________.4. 积分1∞⎰的值等于___________.5. 微分方程'tan sec y y x x -=的通解为___________. 三、计算题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1. 计算011lim()1xx x e →--2. 计算xdx3. 计算2cos Dy dxdy ⎰⎰，其中D 是由1,2x y ==和1y x =-所围成的闭区域四、综合题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1. 求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛区间与和函数2. 求曲线y =0,2x x ==围成的面积最小2015年专升本高数真题一答案二、判断题（本大题共6小题，每小题1分，共6分。
河南省2015年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．已知函数()f x x =，则1f f x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 【答案】C【解析】因为()f x x =，则11f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以111f f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．2．已知函数84()f x x x =-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】B【解析】()()8484()()f x x x x x f x -=---=-=，即()f x 为偶函数．3．已知函数12()f x x =，则()f x 的定义域是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】由12()f x x ==()f x 的定义域是[0,)+∞．4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=，则可确定m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．0【答案】B【解析】00sin()lim lim 2x x mx mxm xx →→===．5．当0x →时，若212cos ~2a x x -，则可确定a 的值一定是（ ）A ．0B ．1C ．12 D ．12-【答案】C【解析】由()212cos ~02a x x x -→，可知()2001lim 2cos lim 2x x a x x →→-=，即2cos00a -=，故12a =．6．下列极限存在的是（ ）A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01lim x x→D．x 【答案】A【解析】22111lim lim 01x x x x x x →∞→∞++==，极限存在；01lim 21xx →=∞-，极限不存在；01lim x x→=∞，极限不存在；x x =∞，极限不存在．7．已知函数sin ,0()1,0a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处，下列结论正确的是（ ）A ．1a =时，()f x 必然连续B ．0a =时，()f x 必然连续C ．1a =时，()f x 不连续D ．1a =-时，()f x 必然连续【答案】A【解析】00sin lim ()limx x a xf x a x→→==，又知(0)1f =，故1a =时，()f x 必连续．8．极限30sin lim sin x x xx →-的值是（ ）A ．16B ．13C ．0D ．∞【答案】A【解析】2332200001sin sin 1cos 12lim lim lim lim sin 336x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====．9．已知函数()()()f x x a g x =-，其中()g x 在点x a =处可导，则()f a '=（ ）A ．0B ．'()g aC ．()g aD ．()f a【答案】C 【解析】00()()()0()limlim ()x x f a x f a xg a x f a g a x x→→+-+-'===．10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =，当它们的切线相互垂直时，自变量x 的值应为（ ）A ．1-B． C ．16-D【答案】B【解析】()2f x x '=，2()3g x x '=，两曲线的切线相互垂直，即()()1f x g x ''⋅=-，即2231x x ⋅=-，即x =11．已知函数()f x x =，则该函数()f x 在点0x =处（ ） A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在【答案】C【解析】00lim ()lim 0(0)x x f x x f →→===，故()f x 在0x =处连续； 00()(0)(0)lim lim 1x x f x f x f x x ---→→--'===-，00()(0)(0)lim lim 1x x f x f xf xx +++→→-'===，故()f x 在0x =处不可导．12．已知函数()cos f x x =在闭区间[]0,2π上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2)π内使得等式'()0f ξ=成立的ξ值是（ ）A ．2πB ．πC ．0D ．2π【答案】B【解析】()cos f x x =，()sin f x x '=-，令()sin 0f x x '=-=，02x π<<，可得x π=，即ξπ=．13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续，当(,0)x δ∈-时，'()0f x <，当(0,)x δ∈时，'()0f x >，则在邻域(,)δδ-内（ ）A ．(0)f 是极小值B ．(0)f 是极大值C ．(0)f 不是极值D ．(0)f 是最大值【答案】A【解析】由题可知()f x 在(,0)δ-上单调减少，在(0,)δ上单调增加，又由()f x 在(,)δδ-内连续，可知()f x 在0x =处取得极小值．14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有：'()0f x <且"()0f x >，则在开区间(,)a b 内，()f x 是（ ） A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸C ．单调递减且形状为凹D ．单调递增且形状为凹【答案】C【解析】'()0f x <，说明()f x 在(,)a b 内单调递减，"()0f x >，说明()f x 在(,)a b 内为凹函数．15．已知曲线52y x =+，则该曲线的拐点(,)x y =（ ）A ．(0,2)B ．(1,3)C ．(0,0)D ．(1,1)-【答案】A【解析】45y x '=，320y x ''=，令0y ''=，得0x =，且0x <时0y ''<，0x >时0y ''>，故(0,2)为曲线的拐点．16．已知函数()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(2)f x dx =⎰（ ）A ．1()2F x C +B ．1(2)2F x C +C ．()F x C +D ．(2)F x C +【答案】B【解析】11(2)(2)(2)(2)22f x dx f x d x F x C ==+⎰⎰．17．已知函数0()sin xf x t tdt =⎰，则'()f x =（ ）A ．sin xB ．cos x xC ．cos x x -D ．sin x x【答案】D 【解析】()'()sin sin xf x t tdt x x '==⎰．18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则定积分4sin aa x xdx -=⎰（ ）．A ．-1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】由于被积函数4sin x x 为奇函数，故4sin 0aa x xdx -=⎰．19．已知定积分1210I x dx =⎰，1320I x dx =⎰，则有（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定【答案】A【解析】当01x ≤≤时，23x x >，且等号只在端点处成立，故112300x dx x dx >⎰⎰，即12I I >．20．已知函数()y f x =在闭区间[,]a a -上连续，且()0f x ≥，则由曲线()y f x =与直线x a =，x b =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）A ．()baf x dx ⎰B ．()abf x dx ⎰C ．()()()f b f a b a --D ．不确定【答案】A【解析】由定积分的几何意义可知A 正确．21．已知下列微分方程，则可进行分离变量的是（ ） A ．'3sin xy y x -= B ．2(cos )()0x y x dy y x dx -++=C ．'sin cos y x y =D ．'420yy y x -==【答案】C 【解析】C 中sin cos dyx y dx=，分离变量，得sin cos dy xdx y =．22．已知微分方程''5'0y y ay -+=的一个解为2x e ，则常数a =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】22()2x x e e '=，22()4x x e e ''=，代入微分方程，得2224520x x x e e ae -⨯+=，6a =．23．下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ）A ．,,446πππB ．,,432πππC ．,,434πππD ．,,433πππ【答案】D【解析】由于方向角α，β，γ必须满足222cos cos cos 1αβγ++=，可以验证只有D 正确．24．已知函数2223z x xy y =+-，则2zx y∂∂∂=（ ）A ．2-B ．2C ．6D ．3【答案】D【解析】43zx y x∂=+∂，23z z x y y x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭．25．某公司要用铁板做成一个容积为327m 的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为（ ）A ．354mB ．327mC ．39mD ．36m【答案】A【解析】设长方形的长宽分别为a 、b ，则高为27ab，于是，表面积2727545422S ab ab b a b a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，令2254205420S b a a S a bb ∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，得33a b =⎧⎨=⎩，且驻点唯一，由于实际问题最值一定存在，可知最小表面积354S m =．26．已知平面闭区域22:116D x y ≤+≤，则二重积分3Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．45πB ．45C ．48πD ．48【答案】A【解析】22333(41)45D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰，将积分次序改变，则(,)D f x y d σ=⎰⎰（ ）A ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．2101(,)y dy f x y dx ⎰⎰C ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰D ．2011(,)y dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】2110(,)(,)D y f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．已知L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰（ ）A ．2BC ．1D ．0【答案】B【解析】由于直线段L 的方程为1x y +=，故()Lx y ds +==⎰⎰29．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1(1)nn ∞=-∑B ．111(1)3n n n n ∞--=-∑ C ．1(1)sinnn nπ∞=-∑D ．2112(1)!xn n n ∞+=-∑ 【答案】B【解析】对于B 项，121(1)3n n nu --=-，111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<，故1n n u ∞=∑收敛，原级数绝对收敛．30．已知级数1n n μ∞=∑，则下列结论正确的是（ ）A ．若lim 0n x μ→∞=，则1n n μ∞=∑收敛 B ．若1n n μ∞=∑的部分和数列{}n S 有界，则1n n μ∞=∑收敛C ．若1n n μ∞=∑收敛，则1n n μ∞=∑绝对收敛D ．若1n n μ∞=∑发散，则1n n μ∞=∑也发散【答案】C【解析】A 项中若1n nμ=，结论不成立；B 项中若(1)n n μ=-，结论不成立；D 项中若1(1)nn nμ=-，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C 正确．二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知函数()1f x x =-，则()f x 的反函数y =________． 【答案】1y x =+【解析】由1y x =-，得1x y =+，交换x ，y 的位置，得反函数为1y x =+，x R ∈．32．极限21lim 31n n n →∞+=+________． 【答案】0【解析】222111lim lim 01313n n n n n n n →∞→∞++=++33．已知函数1,1()1,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则点1x =是()f x 的________间断点． 【答案】可去【解析】()11lim ()lim 12x x f x x →→=+=，而(1)1f =，故1x =是()f x 的可去间断点．34．已知函数()ln f x x =为可导函数，则()f x 在点 1.01x =处的近似值为________． 【答案】0．01【解析】由000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，故(10.01)(1)(1)0.010.01f f f '+≈+⋅=．35．不定积分cos(32)x dx +=⎰________． 【答案】1sin(32)3x C ++【解析】11cos(32)cos(32)(32)sin(32)33x dx x d x x C +=++=++⎰⎰．36．定积分0sin 2xdx π=⎰________．【答案】2 【解析】000sin 2sin 2cos22222x x x x dx d πππ==-=⎰⎰．37．已知函数22ln()z x y =+，则全微分(1,1)dz =________．【答案】dx dy +【解析】222z x x x y ∂=∂+，222z y y x y ∂=∂+，则(1,1)(1,1)(1,1)222222xy dz dx dy dx dy x y x y =+=+++．38．与向量{}3,4,1-平行的单位向量是________．【答案】± 【解析】=±=±e ．39．微分方程'x y y e -=的通解是________． 【答案】ln()x y e C =+【解析】xy dy e dx e=，分离变量，得y x e dy e dx =，两边积分，得y x e e C =+，即通解为ln()x y e C =+．40．幂级数1(21)nn n x ∞=+∑的收敛半径R =________．【答案】1 【解析】121lim lim 123n n n na n R a n +→∞→∞+===+．三、计算题（每小题5分，共50分） 41．求极限1lim(1sin )xx x →∞+．【答案】e【解析】原式111sin lim sin sin lim(1sin )x x x x xxx x ee →∞⋅⋅⋅→∞=+==．42．已知函数()f x 为可导函数，且()0f x ≠，求函数y =【解析】[]121()()2y f x f x -''=⋅．43．计算不定积分21xdxx +⎰． 【答案】21ln(1)2x C ++【解析】原式()222111ln(1)212d x x C x +==+++⎰．44．计算定积分⎰【答案】1【解析】11111t t tt te dt tde te e dt ===-=⎰⎰⎰⎰．45．求过点(1,2,1)A ，且与直线240:320x y z l x y z -+=⎧⎨--=⎩平行的直线方程． 【答案】1219710x y z ---== 【解析】所求直线的方向向量为()2419,7,10312=-=--i j ks ，又直线过点(1,2,1)A ，故所求直线方程为1219710x y z ---==． 46．已知函数(,)z f x y =由方程22240x y z z ++-=所确定，求全微分dz ． 【答案】2xdx ydy z+- 【解析】方程两边微分，得22240xdx ydy zdz dz ++-=，整理得2xdx ydy dz z +=-．47．计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰，其中D 是环形域2214x y ≤+≤．【答案】()4e e π- 【解析】()222222224011122x y r r D edxdy d e rdr e dr e e πθππ+=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰．48．求微分方程'xy e y x x+=的通解． 【答案】()1x y e C x=+ 【解析】()()11ln ln 11x xdx dx x x x x x x e e y e e dx C e e dx C e dx C e C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．49．求幂级数11(1)(1)n n n x n∞-=--∑的收敛区间． 【答案】(0,2) 【解析】11(1)lim lim 11(1)n n n n n nu x n x u n x ++→∞→∞-=⋅=-+-，令11x -<，得111x -<-<，即02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n nx∞-=∑的和函数．【答案】()()211S x x =-，()1,1x ∈-【解析】易求得此级数的收敛域为()1,1-，设()11n n S x nx ∞-==∑，()1,1x ∈-，则11000111()1xxx n n n n n n x S t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰，()1,1x ∈-，两边求导，得()()2111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，故原级数的和函数为()()211S x x =-，()1,1x ∈-．四、应用题（每小题7分，共14分）51．计算由曲线0x =，x y e =，y e =所围成的平面图形的面积．【答案】1【解析】所求平面图形的面积()101x S e e dx =-=⎰．52．某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数3()400002000.002C x x x =+-，收入函数3()3500.004R x x x =-，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？【答案】37500【解析】公司的利润22()()()3500.004400002000.002L x R x C x x x x x =-=---+21500.00240000x x =--，1500.004L x '=-，令0L '=，得唯一驻点37500x =，且0L ''<，由实际问题知最大值一定存在，故37500x =时，L 取得最大值，即生产37500辆自行车时，公司利润最大．五、证明题（6分）53．已知方程11730x x x x --+=有一正根1x =，证明方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．【证明】令1173()f x x x x x =--+，则根据题意可知(1)0f =，因为()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，故由罗尔定理可知：()0,1ξ∃∈，使得()0f ξ'=，即1062117310ξξξ--+=，故方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．。
绝密★启用前江苏省2015年普通高校专转本选拔考试高等数学 试题卷注意事项：1．本试卷分为试题卷和答题卡两部分．试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效，作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填写在试题卷和答题卡上的指定位置． 3．考试结束时，须将试题卷和答题卷一并交回．一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在下列每小题中，选出一个正确答案，请在答题卡上将所选的字母标号与黑） 1．当0=x 时，函数sin ()1e=−xf x 是函数()=g x x 的（ C ）．A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．同阶无穷小D ．等价无穷小解 sin 000()1e sin limlim lim 1()x x x x f x xg x x x→→→−−===−，答案：C ． 2．函数(1)=−x y x (1<x )的微分d y 为（ B ）．A ．(1)[ln(1)]d 1−−+−x xx x x xB ．(1)[ln(1)1−−−−x xx x x xC ．1(1)d −−x x x xD ．1(1)d −−−x x x x解 ln ln(1)y x x =−，1ln(1)1x y x yx ′=−−−，(1)[ln(1)]1x x y x x x ′=−−−−，d d (1)[ln(1)]d 1x xy y x x x x x′==−−−−，答案：B ． 3．0=x 是函数11e 10()e 110x xx f x x ⎧+⎪≠⎪=⎨−⎪⎪=⎩的（ B ）．A ．无穷间断点B ．跳跃间断点C ．可去间断点D ．连续点解 11e 1lim ()lim 1e 1xx x xf x −−→→+==−−，11110e 11e lim ()lim lim 1e 11exx x x x xxf x +−−−→→→−++===−−，答案：B ．4．设()F x 是函数()f x 的一个原函数，则(32)d −=⎰f x x ( A )．A ．1(32)2−−+F x cB ．1(32)2−+F x cC ．2(32)−−+F x cD ．2(32)−+F x c解11(32)d (32)d(32)(32)22f x x f x x F x c −=−−−=−−+⎰⎰，答案：A ． 5．下列级数条件收敛的是（ D ）．A ．()211n n nn∞=−−∑B ．11(1)21n n n n ∞=+−−∑C ．1!(1)∞=−∑nn n n n D ．211(1)∞=+−∑n n n n解 答案：D ． 6．二次积分()e11ln d ,d =⎰⎰yy f x y x （ D ）．A ．e11ln d (,)d ⎰⎰x x f x y yB ．1e0e d (,)d ⎰⎰x x f x y yC ．1e 00d (,)d ⎰⎰xx f x y yD ．1e 01d (,)d ⎰⎰x x f x y y解()e11e 1ln 01d ,d d (,)d xyy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰⎰，答案：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．设()lim(1)n n x f x n →∞=−，则(ln 2)=f ▲ ．12解 ()lim(1lim{[1()]}e n n x x x n n x x f x n n−−−→∞→∞=−=+−=，ln 21(ln 2)e 2f −==．8．设曲线33211⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩x t t y t 在点(02)，处的切线方程为 ▲ ．32y x =+ 解 由2y =得1t =，22d d 3d d d 32d yy t t x x t t==−，1d 3d t y x ==，切线方程为23y x −=，即32y x =+． 9．设向量 b 与向量(121)=−− ，，a 平行，且12⋅=a b ，则= b ▲ ．(242)−−，，解 由于||a b ，所以(2)b a λλλλ==−− ，，，则4612a b λλλλ⋅=++== ，解得2λ=， 因而(242)b =−−，，．10．设1()21=+f x x ，则()()=n f x ▲ ．()1(1)2!()(21)n n n n n f x x +−⋅=+解 111()12122f x x x ==⋅++，()111(1)!(1)2!()12(21)()2n n n n n n n n f x x x ++−−⋅==++． 11．微分方程2′−=xy y x 满足初始条件12==x y 的特解为 ▲ ．2y x x =+ 解 由2′−=xy y x 得y y x x ′−=，于是有1()p x x=−，()q x x =，则有 11d d ()d ()de (()e d )e (e d )()xx p x xp x x x x y q x x c x x c x x c −−⎰⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰，又12==x y 得1c =，所以2y x x =+ 12．幂级数1)∞=−nn n x 的收敛域为 ▲ ．13[,22解2n n ==，则有1|1|2x −<，解得1322x <<，当12x =时，级数n n ∞=收敛，当32x =时，级数n ∞=发散，因而收敛域为13[,22 ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）13． 求极限020arcsin d lim2e 22→−−−⎰xxx t t tx x ．解 20200000arcsin d arcsin 2lim lim lim lim lim 12e 222e 222e 222e 2xxx x x x x x x x t t tx x x x xx x x x x→→→→→=====−−−−−−−−⎰．14． 设2sin 0()0−⎧≠⎪=⎨⎪=⎩x x x f x x x ，求()′f x ．解 当0x ≠时，243(1cos )(sin )22sin cos ()x x x x x x x x xf x x x −−−−−′==；当0x =时，232200001()(0)sin 1cos 12(0)lim lim lim lim 336x x x x xf x f x x x f x x x x →→→→−−−′=====． 所以32sin cos 0()106x x x xx x f x x −−⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．15． 求通过直线112215x y z +−+==与平面32100++−=x y z 的交点．且与直线230240−++=⎧⎨+−−=⎩x y z x y z 平行的直线方程． 解 令112215x y z t +−+===，则有21x t =−，1y t =+，52z t =−，于是有 3(21)2(1)(52)100t t t −+++−−=，解得1t =，所以所求直线经过点(123)，，，依题意所求直线的方向向量11253211i j ks i j k =−=−++−，因而所求直线方程为123153x y z −−−==−．16．求不定积分3x ．解3x3sin x t=令3227sin 3cos d 27(1cos )sin d 3cos t t t t t t t =−⎰⎰2227(sin d cos sin d )27(cos cos d cos )t t t t t t t t =−=−+⎰⎰⎰ 39cos 27cos t t c=−+3sin xt =3122221(9)9(9)3x x c −−−+218)x c =++． 17． 计算定积分222()sin d ππ−+⎰x x x x ．解2222022222()sin d sin d sin d 2sin d x x x x x x x x x x x x x πππππππ−−−+=+=⎰⎰⎰⎰222202d cos 2(cos cos d )2sin 2x x x x x x xππππ=−=−−==⎰⎰．18． 设(())ϕ=，xz f x y ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数ϕ具有连续导数，求2∂∂∂z x y ． 解 设x u y=，()v x ϕ=，则(,)z f u v =，121()z f x f x y ϕ∂′′′=+∂，2111212321()z x x x f f f x y y y y ϕ′∂′′′′′=−−−∂∂． 19． 计算二重积分d d ⎰⎰Dxy x y ，其中D为曲线=y =y x 及直线2=y 所围成的平面闭区域．解221d d d d 2yDxy x y y y x y x y ==⋅⎰⎰22421(2)d (14y y y y y =⋅−=−=．20． 已知2312e e e =++x x x y C C x 是二阶常系数非齐次线性微分方程()′′′++=y py qy f x 的通解，试求该微分方程．解 依题意对应齐次线性方程的特征方程为(1)(2)0r r −−=，即2320r r −+=，则对应齐次线性方程为320y y y ′′′−+=；设*3e x y x =，则*333e e 3(31)e x x x y x x ′=+⋅=+，*333e (31)e 3x x y x ′′=++⋅33(32)e x x =+，于是***3()32(23)e x f x y y y x ′′′=−+=+，则该微分方程为332(23)e x y y y x ′′′−+=+四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）21．设D 是由曲线2=y x 与直线y ax =(0)>a 所围成的平面图形，已知D 分别绕两坐标轴旋转一周所形成的旋转体的体积相等，试求： （1）常数a 的值； （2）平面图形D 的面积．解 554012d 315a x a V a x x πππ=−=⎰，24401d 36a y a V y y a πππ=−=⎰． （1）依题意有x y V V =，解得54a =；（2）平面图形D 的面积223300111()d ()236aaS ax x x ax x a =−=−=⎰，当54a =时，315125(64384S ==． 22．设2()(1)+=+ax bf x x 在点1=x 处取得极值14−，试求： （1）常数，a b 的值；；（2）曲线()=y f x 的凹凸区间与拐点； （3）曲线()=y f x 的渐近线．解 243(1)()2(1)2()(1)(1)a x ax b x ax a bf x x x +−+⋅+−+−′==++．（1）依题意有11()44104a b b ⎧+=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩ ，解得10a b =−⎧⎨=⎩；（2）31()(1)x f x x −′=+，3264(1)(1)3(1)42()(1)(1)x x x xf x x x +−−⋅+−′′==++，令()0f x ′′=，解得2x =．由表可知：曲线在(,2)−∞是凹的，在(2,)+∞是凸的，拐点为2(2,)9−；（3）由于2lim ()lim0(1)x x x f x x →∞→∞−==+，211lim ()lim (1)x x xf x x →−→−−==∞+，所以曲线有一条水平渐近线0y =，一条垂直渐近线1x =−．五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23． 证明：当01<<x 时，(2)ln(1)2−−>x x x ． 证明 设()(2)ln(1)2f x x x x =−−−，2()ln(1)2ln(1)11x xf x x x x x−′=−−−=−+−−， 2211()01(1)(1)xf x x x x −′′=+=>−−−，因而当0x >时，()(0)0f x f ′′>=，从而有()(0)0f x f >=，即(2)ln(1)20x x x −−−>，即有(2)ln(1)2−−>x x x ．24． 设()=，z z x y 是由方程22()+=−y z xf y z 所确定的函数，其中f 为可导函数，证明∂∂+=∂∂z zxz y x y． 证明 依题意有2z z f xzf x x ∂∂′=−∂∂，1(22)z z x y z f y y∂∂′+=−∂∂ ，解得12z f x xzf ∂=′∂+，2112z xyf y xzf ′∂−=′∂+，于是有(21)2212121212z z xf z xyf xf xyzf z xf xyzf xf y xz y x y xzf xzf xzf xzf ′′′∂∂−+−+−++=+===′′′′∂∂++++．。
浙江省 2015年选拔优秀高职高专毕业生进入本科高等数学考试一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共 20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当x →0x 时，f(x)是g(x)的高阶无穷小，则当x →0x 时，f(x)-g(x)是g(x)的A ．等价无穷小B ．同阶无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小2.设f(x)在x=a 处可导，则()xx a f x a f x --+→)(lim 0等于 A. f ’(a) B.2 f ’(a) C.0 D. f ’(2a)3.设可导函数F(x)满足F ’(x)=f(x),且C 为任意常数，则A.⎰+=C x f dxx F )()(' B. ⎰+=C x F dx x f )()( C.⎰+=C x F dx x F )()( D. ⎰+=C x F dx x f )()(' 4.设直线L 1：231511+=-=-z y x 与L 2：⎩⎨⎧=+=32z y 1z -x ，则L 1与L 2的夹角是 A.6π B. 4π C.3π D.2π5在下列级数中，发散的是A.)1ln(1)1(11+-∑∞=-n n n B. ∑∞=-113n n n C. n n n 31)1(11∑∞=-- D . ∑∞=-113n n n 二、 填空题:本大题共10小题，每小题 4分，共40分。
6.[]=-+∞→n n ln )1(ln n lim 数列极限n 7. 的值为b 和a ，则2b ax 1x 1x lim 若2n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→ 8. 的单调减区间是)0(11)(F 函数1>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x dt t x x9. ==⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---+=a 处连续，则必有0x 在0,02,22)(f 设函数x a x x x x x10.=+=dy ），则21（ln y 设-x 11 ==-=)(f 则,1)2(f 且,)('若x x x f 12. ⎰=+dx e x 11 13. 的和为）1-n 2（1，则级数6n 1已知级数1n 221n 2∑∑∞=∞==π 14.函数lnx 在x=1处的幂级数展开式为的交点坐标是5z 2y 2x 与平面z 2-3-y 32x 直线.15=++==+三、计算题：本题共有8小题，其中16-19 小题每小题7分，20-23 小题每小题8分，共 60分。
浙江省普通高校“专升本”统考科目：2015年浙江专升本考试《高等数学》考试大纲考试要求考生应按本大纲的要求，掌握“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、常微分方程、向量代数与空间解析几何的基本概念、基本理论和基本方法。
考生应注意各部分知识的结构及知识的联系；具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算；能运用所学知识分析并解决一些简单的实际问题。
考试内容一、函数、极限和连续(一)函数1．理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值，会作出一些简单的分段函数图像。
2．掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性。
3．理解函数y =ƒ(x )与其反函数y =ƒ-1(x )之间的关系(定义域、值域、图像)，会求单调函数的反函数。
4．掌握函数的四则运算与复合运算; 掌握复合函数的复合过程。
5．掌握基本初等函数的性质及其图像。
6．理解初等函数的概念。
7．会建立一些简单实际问题的函数关系式。
(二)极限1．理解极限的概念(只要求极限的描述性定义)，能根据极限概念描述函数的变化趋势。
理解函数在一点处极限存在的充分必要条件，会求函数在一点处的左极限与右极限。
2．理解极限的唯一性、有界性和保号性，掌握极限的四则运算法则。
3．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系。
会比较无穷小量的阶(高阶、低阶、同阶和等价)。
会运用等价无穷小量替换求极限。
4．理解极限存在的两个收敛准则(夹逼准则与单调有界准则)，掌握两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e )11(lim =+∞→x x x， 并能用这两个重要极限求函数的极限。
(三)连续1．理解函数在一点处连续的概念，函数在一点处连续与函数在该点处极限存在的关系。
会判断分段函数在分段点的连续性。
2．理解函数在一点处间断的概念，会求函数的间断点，并会判断间断点的类型。
河南省2015年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效．一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．已知函数()f x x =，则1[()]f f x= A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 2．已知函数84()f x x x =-,则()f x 是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数D ．无法判断3．已知函数12()f x x =，则()f x 的定义域是A ．(0,)+∞B ．[0, )+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=，则可确定m 的值是A ．1B ．2C ．12D ．05．当0x →时，若212cos 2a x x -，则可确定a 的值一定是 A ．0 B ．1 C ．12 D ．12-6．下列极限存在的是 A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01lim x x→D．limx 7．已知函数sin 0()10a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点0x =处，下列结论正确的是A ．1a =时，()f x 必然连续B ．0a =时，()f x 必然连续C ．1a =时，()f x 不连续D ．1a =-时，()f x 必然连续8．极限30sin limsin x x xx →-的值是A ．16B ．13C ．0D ．∞9．已知函数()()()f x x a g x =-，其中()g x 在点x a =处可导，则 ()f a '= A ．0 B ．()g a ' C ．()g a D ．()f a10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =，当它们的切线相互垂直时，自变量x 的值应为A ．-1B． C ．16-D11．已知函数()||f x x =，则该函数()f x 在点0x =处 A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在12．己知函数()cos f x x =在闭区间[0,2π]上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2π)内使得等式()0f ξ'=成立的(0,2π)值是A.π2B.πC.0 D ．2π 13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续，当(,0)x δ∈-时，()0f x '<；当(0,)x δ∈时，()0f x '>，则在邻域(,)δδ-内A.(0)f 是极小值B.(0)f 是极大值C.(0)f 不是极值D.(0)f 是最大值14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有：()0f x '<且()0f x ''>，则在开区间(,)a b 内，()f x 是 A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸 C ．单调递减且形状为凹 D ．单调递增且形状为凹 15. 已知曲线52y x =+，则该曲线的拐点(,)x y =A.(0,2)B.(1,3)C.(0,0)D.(1,1)- 16．己知函数()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(2)d f x x =⎰A.1()2F x C + B.1(2)2F x C + C.()F x C + D.(2)F x C + 17．已知函数0()sin d xf x t t t =⎰,则()f x =A.sin xB.cos x xC.cos x x -D.sin x x 18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则定积分4sin d aax x x -=⎰A ．-1B ．0C ．1D ．不确定 19．已知定积分1123120d ,d ,I x x I x x ==⎰⎰ 则有A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定20． 已知函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x ≥，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成的平面图形的面积是A ．()d baf x x ⎰B ．()d abf x x ⎰C ．|()()|()f b f a b a --D ．不确定 21. 已知下列微分方程，则可进行分离变量的是 ．A ．3sin xy y x '-=B ．2(cos )d ()d 0x y x y y x x -++= C ．sin cos y x y '= D ．420yy y x '-+=22．已知微分方程50y y ay '''-+=的一个解为2xe ，则常数a = A ．4 B ．3 C. 5 D ．6 23．下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是 A ·πππ,,446 B ·πππ,,432 C ·πππ,,434 D ·πππ,,43324．己知函数2223z x xy y =+-，则2zx y∂=∂∂A ．2B ．2C ．6D ．325. 某公司要用铁板做成一个容积为27m 。
河南省专升本考试高等数学真题2015年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知函数f(x)=x，则______A．xB．x 2C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为f(x)=x，则，所以C．2.已知函数f(x)=x 8 -x 4，则f(x)是______（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数√C.非奇非偶函数D.无法判断解析：[解析] f(-x)=(-x) 8 -(-x) 4 =x 8 -x 4 =f(x)，即f(x)为偶函数．3.f(x)的定义域是______（分数：2.00）A.(0，+∞)B.[0，+∞)√C.(-∞，0)D.(-∞，0]解析：[解析] f(x)的定义域为[0，+∞)．4.已知极限，则可确定m的值是______A．1B．2C．D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析B．5.当x→0时，若，则可确定a的值一定是______A．0B．1C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由，可知2a-cos0=2a-1=0C正确．6.下列极限存在的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] A项，，极限存在；B项，，极限不存在；C项，，极限不存在；C项，，极限不存在．7.x=0处，下列结论正确的是______（分数：2.00）A.a=1时，f(x)必然连续√B.a=0时，f(x)必然连续C.a=1时，f(x)不连续D.a=-1时，f(x)必然连续解析：[解析f(0)=1，故a=1时，f(x)必然连续．8.极限的值是______A．B．C．0D．∞（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析9.已知函数f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a处可导，则f"(a)=______（分数：2.00）A.0B.g"(a)C.g(a) √D.f(a)解析：[解析10.已知曲线f(x)=x 2与g(x)=x 3，当它们的切线相互垂直时，自变量x的值应为______A．-1B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f"(x)=2x，g"(x)=3x 2，两曲线的切线相互垂直，即f"(x)·g"(x)=-1，即2x·3x 2 =1，即11.已知函数f(x)=|x|，则该函数f(x)在点x=0处______（分数：2.00）A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导√D.左右导数均不存在解析：[解析] ，故f(x)在x=0处连续．由于f" _(0)≠f" + (0)，故f(x)在x=0处不可导．12.已知函数f(x)=cosx在闭区间[0，2π]上满足罗尔定理，那么在开区间(0，2π)内使得等式f"(ξ)=0成立的ξ值是______A．B．πC．0D．2π（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f(x)=cosx，f"(x)=-sinx，令f"(x)=-sinx-0，0＜x＜2π，可知x=π，即ξ=π．13.已知函数f(x)在邻域(-δ，δ)内连续，当x∈(-δ，0)时，f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，f"(x)＞0，则在邻域(-δ，δ)内 ______（分数：2.00）A.f(0)是极小值√B.f(0)是极大值C.f(0)不是极值D.f(0)是最大值解析：[解析] 由题可知f(x)在(-δ，0)内单调减少，在(0，δ)内单调增加，又由f(x)在(-δ，δ)上连续，可知f(x)在x=0处取得极小值．14.已知函数f(x)在开区间(a，b)内有：f"(x)＜0且f"(x)＞0，则在开区间(a，b)内，f(x)是______ （分数：2.00）A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸C.单调递减且形状为凹√D.单调递增且形状为凹解析：[解析] f"(x)＜0f(x)为(a，b)内的减函数；f"(x)＞为(n，6)内的凹函数，本题选C．15.已知曲线y=2+x 5，则该曲线的拐点(x，y)=______（分数：2.00）A.(0，2) √B.(1，3)C.(0，0)D.(-1，1)解析：[解析] y"=5x 4，y"=20x 3，令y"=0，得x=0，且x＜0时，y"＜0，x＞0时，y"＞0，故(0，2)为曲线的拐点．16.已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f(2x)dx=______A．B．C．F(x)+CD．F(2x)+C（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析17.f"(x)=______（分数：2.00）A.sinxB.xcosxC.-xcosxD.xsinx √解析：[解析18.已知函数f(x)在闭区间[-a，a]（分数：2.00）A.-1B.0 √C.1D.不确定解析：[解析] 由于被积函数x 4 sinx为奇函数，故19.______（分数：2.00）A.I1＞I2 √B.I1=I2C.I1＜I2D.不确定解析：[解析] 当0≤x≤1时，x 2≥x 3，且等号只在端点处成立，故I 1＞I 2．20.已知函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积是______A．B．C．|f(b)-f(a)|(b-a)D．不确定（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由定积分的几何意义可知A正确．21.已知下列微分方程，则可进行分离变量的是______（分数：2.00）A.xy"-3y=sinxB.(x-ycosx)dy+(y+x2)dx=0C.y"=sinxcosy √D.yy"-4y+2x=0解析：[解析] C项中，，分离变量，得C正确．22.已知微分方程y"-5y"+ay=0的一个解为e 2x，则常数a=______（分数：2.00）A.4B.3C.5D.6 √解析：[解析] (e 2x )"=2e 2x，(e 2x )"=4e 2x，代入微分方程，得4e 2x -5×2e 2x +ae 2x =(a-6)e 2x =0，由于e 2x＞0，故a=6．23.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方向角α，β，γ必须满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，可以验证只有D项正确．24.已知函数z=2x 2 +3xy-y 2，则（分数：2.00）A.-2B.2C.6D.3 √解析：[解析25.某公司要用铁板做成一个容积为27m 3的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为______（分数：2.00）A.54m2 √B.27m2C.9m2D.6m2解析：[解析] 设长方体的长宽分别为a，b，则高为，于是，表面积，令，得由实际问题最值一定存在，可知最小表面积．26.已知平面闭区域D：1≤x 2 +y 2≤16，则二重积分（分数：2.00）A.45π√B.45C.48πD.48解析：[解析27.已知，若将积分次序改变，则______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题，画出积分区域如图所示，交换积分次序，得28.已知L为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段，则曲线积分∫ L (x+y)ds=______ A．2B．C．1D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于直线段的方程为x+y=1，故29.下列级数绝对收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于B项，故收敛，原级数绝对收敛．30.已知级数，则下列结论正确的是______ A．若，则收敛B．若的部分和数列{S n }有界，则收敛C．若收敛，则绝对收敛D．若发散，则也发散（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] A项中若，结论不成立；B项中若u n =(-1) n，结论不成立；D项中若，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C项正确．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数f(x)=x-1，则f(x)的反函数是y= 1．（分数：2.00）解析：x+1[解析] 由y=x-1，得x=y+1，交换x，y的位置，得反函数为y=x+1．32.极限．（分数：2.00）解析：0[解析] 由于，故为n→∞时的无穷小量，又为有界变量，故33.已知函数x=1是f(x)的 1间断点．（分数：2.00）解析：可去[解析，而f(1)=1，故x=1为f(x)的可去间断点．34.已知函数f(x)=lnx为可导函数，则f(x)在点x=1.01处的近似值为 1．（分数：2.00）解析：0.01[解析] 由f(x0+Δx)≈f(x0)+f"(x0)Δx35.不定积分∫cos(3x+2)dx= 1．（分数：2.00）解析：[解析36.定积分．（分数：2.00）解析：2[解析37.已知函数x=ln(x 2 +y 2 )，则全微分dz| (1，1) = 1．（分数：2.00）解析：dx+dy [解析] ，则38.与向量{-3，4，1)平行的单位向量是 1．（分数：2.00）解析： [解析] 向量的模为故与之平行的单位向量为39.微分方程y"=e x-y的通解是 1．（分数：2.00）解析：y=ln(e x +C) [解析 e y dy=e x dx,两边积分，得e y =e x +C，即通解为y=ln(e x +C)，C为任意常数．40.幂级数R= 1．（分数：2.00）解析：1[解析三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.已知函数f(x)为可导函数，且f(x)≠0，求函数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：45.求过点A(1，2，1)且与直线（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求直线的方向向量为故所求直线方程为：46.已知函数z=f(x，y)由方程x 2 +y 2 +z 2 -4z=0所确定，求全微分dz．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方程两边微分，得2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0整理，得47.计算二重积分D是环形域1≤x 2 +y 2≤4．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.求微分方程（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求方程通解为49.求幂级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()=|x-1|＜1．∴-1＜x-1＜1，即0＜x＜2．故收敛区间为(0，2)．50.求级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：易求得此级数的收敛域为(-1，1)，设，x∈(-1，1)．则两边求导，得故原级数的和函数为四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.计算由曲线x=0，y=e x，y=e所围成的平面图形的面积．（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()52.某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数C(x)=40000+200x-0.002x 2，收入函数R(x)=350x-0.004x 2，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大?（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：公司的利润π-R(x)-C(x)=350x-0.004x 2 -40000-200x+0.002x 2=150x-0.002x 2 -40000．π"=150-0.004x，令π"=0，得唯一驻点x=37500．由于实际问题最大值一定存在，故x=37500时，π取得最大值．即生产37500辆自行车时，公司的利润最大．五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程x 11 -x 7 -x 3 +x=0有一正根x=1，证明方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[证明] 令f(x)=x 11 -x 7 -x 3 +x，则根据题意可知f(1)=0．因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，故由罗尔定理可知：ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0，即11ξ10 -7ξ6 -3ξ2 +1=0，故方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．。
2015年专升本高数内部考试资料第一章函数、极限与连续 (1)一、函数定义域的求法 (1)二、函数相等的判定 (1)三、函数表达式的求法 (2)四、函数的基本性质 (3)五、反函数的求法 (4)六、数列极限的求法 (4)七、函数存在极限的充要条件 (4)八、函数极限的求法 (5)九、无穷小量阶的比较 (7)十、关于函数极限的反问题 (8)十一、函数在一点处的连续性 (8)十二、求函数的间断点及其类型 (9)十三、闭区间上连续函数的性质 (11)第二章一元函数微分学及其应用 (12)一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数 (12)二、利用导数的几何意义求切线或法线方程 (12)三、可导与连续的关系以及函数在一点可导性的判定 (13)四、求导法则及复合函数的导数与微分 (14)五、函数的高阶导数 (15)六、参数方程或隐函数方程的导数 (16)七、幂指函数的导数求法 (16)八、关于中值定理条件的验证 (16)九、利用拉格朗日中值定理证明不等式 (17)十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式 (18)十一、关于中值命题的证明 (18)十二、利用洛必达法则求极限 (18)十三、单调性的判定与单调区间的求法 (19)十四、利用单调性证明不等式，以及数值不等式的证法 (20)十五、利用单调性判定根的存在性或唯一性 (20)十六、关于函数的极值问题 (20)十七、函数的最值问题 (21)十八、曲线凹凸性的判定 (22)十九、曲线的拐点求法 (23)二十、曲线的渐近线求法 (24)第三章一元函数积分学及其应用 (25)一、原函数与不定积分的概念及性质 (25)二、不定积分的直接积分法 (27)三、不定积分的第一类换元积分法（凑微分法） (27)四、不定积分的第二类换元积分法 (29)五、不定积分的分部积分法 (29)六、有理分式的不定积分 (30)七、定积分的概念与性质 (30)八、积分上限函数的导数 (31)九、定积分的常规计算 (32)十、使用定积分的性质和一些重要结果计算定积分 (34)十一、广义积分的计算与敛散性的判定 (35)十二、含定积分的函数表达式求法 (36)十三、利用定积分的几何意义求平面图形的面积 (36)十四、利用定积分求特殊的空间立体的体积 (38)第四章向量代数与空间解析几何 (39)一、向量代数 (39)二、空间直线与平面的方程求法 (40)三、两点间的距离、点到平面的距离以及空间中对称点的求法 (41)四、位置关系的判定及其夹角计算 (42)五、二次曲面与旋转曲面的特征 (43)六、旋转曲面与投影曲线的求法 (44)第五章多元函数微分学 (45)一、二元函数的表达式与定义域的求法 (45)二、二元函数的极限与函数的连续性 (45)三、二元函数的偏导数与全微分 (46)四、二元复合函数的偏导数与全微分 (47)五、可微、连续、偏导数之间的关系 (47)六、高阶偏导数 (48)七、多元抽象函数的偏导数与全微分 (48)八、多元隐函数的偏导数与全微分 (49)九、方向导数与梯度 (49)十、空间曲线的切线与曲面的切平面求法 (49)十一、二元函数的极值 (50)十二、多元函数的最值问题 (51)第六章多元函数积分学 (51)一、二重积分的概念与性质 (51)二、直角坐标系下二重积分的计算 (52)三、特殊被积函数的二重积分计算 (53)四、极坐标系下的二重积分计算 (54)五、含二重积分的函数表达式求法 (55)六、两坐标系下二重积分的相互转化与交换二重积分的积分次序 (55)七、利用二重积分计算空间立体的体积 (56)八、第一类曲线积分的计算 (56)九、利用定积分计算第二类曲线积分 (57)十、格林公式与曲线积分与路径无关 (57) 第七章无穷级数 (58)一、利用定义判定级数的敛散性 (58)二、利用级数的一般性质判定级数的敛散性 (59)三、利用级数收敛的必要条件判定级数敛散性 (60)四、正项级数的敛散性判别法 (60)五、交错级数与一般项级数的敛散性判定 (62)六、阿贝尔第一定理及其应用 (63)七、幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域的求法 (64)八、幂级数的和函数与数项级数和的求法 (65)九、函数f(x)展开成幂级数的方法 (65)十、由函数的幂级数展开式，求函数的高阶导数 (66)第八章常微分方程 (66)一、微分方程的基本概念 (66)二、可分离变量的微分方程与一阶线性齐次微分方程的解法 (67)三、齐次方程的解法 (68)四、一阶线性非齐次微分方程的解法 (68)五、可降阶的高阶微分方程的解法 (69)六、线性微分方程解的结构定理应用 (70)七、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 (71)八、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 (72)九、常系数线性微分方程的反问题 (73)十、已知一个变限积分方程，求函数表达式 (74)参考答案 (74)第一章函数、极限与连续 (74)第二章函数、极限与连续 (77)第三章一元函数积分学及其应用 (82)第四章向量代数与空间解析几何 (86)第五章多元函数微分学 (88)第八章常微分方程 (94) 第一章函数、极限与连续一、函数定义域的求法1.已知函数的表达式，求函数的定义域例1函数y=ln(x-1)+arcsin(x-3)的定义域是（）A.［2，+∞)B.(2,4)C.［2,4)D.［2,4］例2函数f(x)=ln(x-1)x+1的定义域是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1，+∞)例3函数f(x)=16-x2ln(x+2)的定义域是.例4函数f(x)=2+x2-x的定义域是.例5函数y=x2-9x-3的定义域是.2.分段函数的定义域是各分段区间的并集.3.抽象函数定义域的求法例6设f(x)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为.例7设f(x)的定义域为［0,4］，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域为.例8设f(x+1)的定义域为［0，1］，则函数f(2x+3)的定义域为.例9设f(x)的定义域为（0，1），则f(ex)的定义域为（）A.（-∞,0)B.(1,e)C.(-∞,1)D.(-∞,e)二、函数相等的判定例1下列函数相同的是()A.f(x)=x2，g(x)=xB.f(x)=ddx∫x0sintdt,g(x)=sinxC.f(x)=lnx2,g(x)=2lnxD.y=x,y=sin(arcsinx)例2下列函数相同的是()A.y=1,y=xxB.y=x2-4,y=x-2·x+2C.y=x,y=cos(arccosx)D.y=x2,y=|x|例3下列函数相等的是()A.y=x2-x-2x-2与y=x+1B.y=sin2x与y=sinxC.f(x)=x2+sin2x+cos2x与g(t)=t2+1D.f(x)=sec2x-tan2x与f(x)=1三、函数表达式的求法1.已知f(x)和g(x)的表达式，求f［g(x)］或g［f(x)］的表达式例1f(x)=xx-1，则f1f(x)-1=.例2设f(x)=x，x≤0，x+x2,x>0，则f［f(x)］=.例3设g(x）=2-x,x≤0，x+2,x>0，f(x)=x2,x<0，-x,x≥0，则g［f(x)］=.例4设f(x)=x1+x2，求f［f……f(x)］n个f的表达式.2.已知f［g(x)］和g(x)，求f(x)的表达式例5设fx-2x=1+x，则f(x)=.例6设f(ex+1)=e2x+ex+x，则f(x)=.例7设fx-1x=x3-xx4+1（x≠0），求f(x).例8设f(lnx)=x3+1,则f(x)=.例9若函数fsinx2=1+cosx,则fcosx2=.3.已知f(x)和f［g(x)］的表达式，求g(x)的表达式例10已知f(x)=ln(1+x),f［g(x)］=x，求g(x).例11已知f(x)=3lnx,f［g(x)］=ln（1-2lnx），求g(x). 四、函数的基本性质掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性的概念及其性质.例1设f(x)为增函数，g(x)为减函数，则下列函数中为减函数的是()A.f［-g(x)］B.f［g(x)］C.f［f(x)］D.g［g(x)］例2函数f(x)=11+2x-12在其定义域内()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判定例3函数f（x）=x7arcsin（tanx）在其定义域内()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判定例4函数f(x)=cotx·3x-13x+1是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.无法判定例5若f(x)在（-∞,+∞）内为奇函数,则F(x)=f(x)ln(x+x2+1)在(-∞,+∞)内为()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数例6设f(x)是奇函数,且处处可导，则f′(x)是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数例7函数y=1-arctanx是()A.单调增加且有界函数B.单调减少且有界函数C.奇函数D.偶函数例8函数f(x)在(-∞，+∞)上是奇函数，当x≤0时，f(x)=x2-x，则当x>0时，f(x)的表达式是()A.x2-xB.-x2+xC.x2+xD.-x2-x例9函数y=1x在定义域内是()A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数例10下列函数不是周期函数的是()A.y=3sin(x+π)B.y=sin2xC.y=1+sin5xD.y=xsinx例11设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，若对x∈（-∞,+∞），有f(x+k)=1f(x)（k为常数）则函数f(x)具有()A.单调性B.奇偶性C.周期性D.有界性 五、反函数的求法例1设函数f(x)=log2x+8(x≥2)，则其反函数的定义域为()A.(-∞,+∞)B.［2,+∞)C.（0，2］D.［9，+∞)例2y=ax-bcx-d的反函数是()A.y=ax-bcx-dB. y=ax-dcx-bC.y=cx-dax-bD.y=dx-bcx-a六、数列极限的求法例1求下列极限:（1）limn→∞1n2+2n2+…+nn2;(2)limn→∞12n3+22n3+…+n2n3；(3)limn→∞11·2+12·3+…+1n（n+1）；(4)limn→∞1n2+1+1n2+2+…+1n2+n;（5）limn→∞1n2+n+1+2n2+n+2+…+nn2+n+n.例2极限limn→∞1+2+…+n2+n-n2的值为()A.14B.12C.-12D.-∞七、函数存在极限的充要条件1.函数f(x)在x→∞时极限存在的充要条件常见的几个极限式：limx→-∞arctanx=-π2，limx→+∞arctanx=π2,limx→+∞arccotx=0，limx→-∞arccotx=π,limx→-∞ex=0，limx→+∞ex=+∞(及其二者的推广)例1下列极限不存在的是：()A.limx→∞（2x-1）20(3x+2)30(5x+3)50B.limx→∞sinxnxnC. limx→∞xsin1xD.limx→∞ex2.函数f(x)且x→x0时极限存在的充要条件例2下列函数中，limx→0f(x)存在的是()A.f(x)=12-x,x<00,x=0 x+12,x>0B.f(x)=|x|x,x≠0x,x=0C.f(x)=x2+2,x<03,x=0sinx2x,x>0D.f(x)=e1x,x≠00,x=0例3函数f(x)=21x在x=0处()A.有定义B.极限存在C.左极限存在D.右极限存在例4下列极限存在的是()A.limx→∞4xB.limx→∞x3+13x3-1C.limx→0+lnxD.limx→1sin1x-1八、函数极限的求法1.利用极限的运算法则求极限例1求下列极限：（1）limx→-∞2x-3x2x+3x;（2）limx→+∞2x-3x2x+3x;（3）limx→∞（x+1）10（2x-1）20(3x+2)30；(4)limx→0x-sinxx+sinx.例2对任意x总有φ(x)≤f(x)≤g(x),且limx→∞［g(x)-φ(x)］=0,则limx→∞f(x)() A.存在且一定为0 B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在例3已知limx→0xf(4x)=1,求limx→0f(2x)x.2.无理分式极限的求法例4求极限：(1)limx→02x+1-3x+2-2; (2)limx→0x+1-1x;（3）limx→∞nn2+1+n2-1; （4）limx→∞x4-3x2+1-12x2-3x.3.“∞-∞”型分式极限的求法例5求极限：(1)limx→01x-1ex-1;（2）limx→21x-2-1x2-4; (3)limx→01sin2x-cos2xx2;(4)limx→01+x1-e-x-1x.4.x→x0与x→∞时，有理分式极限的求法例6求极限：(1)limx→0ex2cosxarcsin(1+x); (2)limx→0x2+2x2+x;（3）limx→1x2-3x+21-x2.例7求极限：（1）limx→∞3x2+x-82x2+5x+1; （2）limx→∞3x2+x-82x3+5x+1;（3）limx→∞3x3+x-82x2+5x+1.5.利用重要极限求极限例8求极限:（1）limx→01-cosxxsinx; (2)limx→πsinxπ-x；(3)limn→∞nsinπn； (4)limx→1sin(x2-1)x-1.例9求极限：（1）limx→∞1-1x4x+3; (2)limx→03x1+2x;(3)limx→π2（1+cosx）3secx; (4)limn→∞1+1n+1n2n;（5）limx→∞x2-1x2+1x2; (6)limx→∞1+sin2x2x;（7）limx→0(1+x2)11-cosx; (8)limn→∞（1+2n+3n）1n(洛必达).例10设f(x)=limt→0x(1+3t)xt,则f′(x)=.6.利用无穷小量的性质求极限例11求下列极限:（1）limn→∞x2+x-sinxx3-4x+5（sinx+cosx）;（2）limx→+∞x3+x2+12x+x3(sinx+cosx).(3)limx→∞(sinn2+1π);（4）limx→+∞(sinx2+1-sinx).例12当x→∞时，下列变量不是无穷小量的是()A.x2sinx2x3-1B.(x2+1)sinxx2+1C.(x3+2x)sin1x3-2xD.11-x3sin1+x32x7.利用无穷小替换求极限 例13求下列极限:（1）limx→01-e3xtan2x; （2）limx→0ln（1+4x2）sinx2;（3）limx→∞x(e2x-1); (4)limx→∞x(e2sin1x-1);(5)limx→01+xsinx-1arctanx; (6)limx→0+1-cosxx(1-cosx)；（7）limx→1x2-1lnx; (8)limx→01+tanx-1+xarcsinxarctanx2.九、无穷小量阶的比较例1当x→0+时，与x等价的无穷小量是()A.1-exB.ln（1+x）C.1+x-1D.1-cosx例2当x→0时，下列无穷小量中是其他三个高阶无穷小的是()A.x2B.1-cosxC.1-x2-1D.x-tanx例3当x→0时，函数eax-1与1+x-1是等价无穷小量，则常数a的值为()A.2B.12C.-2D.-12例4设f(x)=∫1-cosx0sint2dt，g(x)=x55+x66，则当x→0时，f(x)是g(x)的()A.低阶无穷小量B.高阶无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量例5当x→0时，函数f(x)=sinax与g(x)=ln（1-2x）为等价无穷小，则常数a的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2例6设f(x)=e-x2-1,g(x)=xtanx,当x→0时()A.f(x)是g(x)的高阶无穷小B.f(x)是g(x)的低阶无穷小C.f(x)与g(x)为同阶无穷小,但非等价无穷小D.f(x)与g(x)为等价无穷小例7当x→0时，无穷小量1-cosx2是x4()A.等价无穷小B.同阶无穷小C.较高阶无穷小D.较低阶无穷小例8下列陈述中正确的是()A.sinx22与x22是等价无穷小量（x→0）B.sinx22与x2sinx2是等价无穷小量（x→∞)C.sin2x2与1x2是等价无穷小量（x→∞） D.sin2x2与2xsin2x是等价无穷小量（x→∞）例9当x→0时,4x+5x-2是x的()A.等价无穷小B.同阶非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小例10当x→0时，与e-sinx-1比较是同阶非等价无穷小的是()A.-xB.x2C.x2D.-sinx例11当x→0时，ex-ax2-x-1是x2的高阶无穷小量，则a=.例12当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=()A.1B.2C.3D.4例13当x→0时，1+x2-ex2是x的阶无穷小量.例14当x→0+时，下列函数为无穷大量的是()A.2-x-1B.sinx1+secxC.e-xD.e1x十、关于函数极限的反问题例1若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，则()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=2,b=1例2已知limx→∞x2x+1-ax-b=0,求常数a,b.例3设limx→0ln(1+x)-(ax+bx2)x2=2,求常数a,b.十一、函数在一点处的连续性例1极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处连续的()A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充要条件D.无关条件例2极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在x=x0处可导的()A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充要条件D.无关条件例3设f(x)=1+xsinx-cosxx2，当x≠0时，F(x)=f(x),且F(x)在x=0处连续，则F(0)=() A.-1 B.0 C.1 D.2例4函数f(x)=2x,x≥1,x2,x<1在点x=1处()A.不可导B.连续C.可导且f′(1)=2D.无法判断是否可导例5设f(x)=|x2-1|x-1,x≠1，2，x=1则f(x)在点x=1处()A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.可导且导数连续例6设函数f(x)=ex,x<0,x2+2a,x≥0在点x=0处连续，则a=()A.0B.1C.-1D.12例7设f(x)=sin3xx+b,x<0，a,x=0，2x，x>0在x=0处连续，则常数a与b的值为()A.a=0,b=-3B.a=-3,b=0C.a=0,b=3D.a=0,b=-13例8已知函数f(x)=a+bx2,x≤0，sinbxx,x>0在x=0处连续，则常数a和b满足()A.a>bB.a<bC.a=bD.a与b为任意实数十二、求函数的间断点及其类型例1x=0是函数f(x)=xsin1x的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.振荡间断点D.无穷间断点例2x=0是函数f(x)=21x-1的()A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点例3设f(x)=1x-1x+11x-1-1x，则f(x)的可去间断点的个数为()A.3B.2C.1D.0 例4设f(x)=xsin1x,x≠0,0,x=0,则x=0是()A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.连续点例5设函数f(x)=sinxx-x2，x≠0,0,x=0,则f(x)的间断点为()A.x=0B.x=1C.x=0和x=1D.不存在例6设函数f(x)在［-1，1］上连续，则x=0是函数g(x)=∫x0f(t)dtx的()A.连续点B.第二类间断点C.可去间断点D.跳跃间断点例7设函数f(x)=e1x-1，x<1,lnx，x≥1,则x=1是f(x)的()A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点例8函数f(x)=e1x,x>0,ln(x+1),-1<x≤0则x=0是()A.连续点B.可去间断点C.无穷间断点D.跳跃间断点例9设f(x)=x1+e1x2,x≠0,0,x=0则x=0是()A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点例10对于函数y=x2-4x(x-2),下列结论中正确的是()A.x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点B.x=0是第二类间断点，x=2是第一类间断点C.x=0是第一类间断点，x=2是第一类间断点D.x=0是第二类间断点，x=2是第二类间断点例11设函数f(x)=1exx-1-1,则()A.x=0,x=1都是第一类间断点B.x=0,x=1都是第二类间断点C.x=0是第一类间断点，x=1是第二类间断点D.x=0是第二类间断点，x=1是第一类间断点例12函数f(x)=1e-e1x的第二类间断点的个数()A.0B.1C.2D.3 例13函数f(x)=x2-2x|x|(x2-4)的第一类间断点的个数()A.0B.1C.2D.3十三、闭区间上连续函数的性质例1设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒等于常数，则函数f(x)在（a,b）内()A.必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0例2下列方程在(0,1)内至少有一个实根的为()A.arctanx+x2+1=0B.x3-4x2+1=0C.x5-3x=1D.sinx+x+1=0例3下列区间中，使方程x4-x-1=0至少有一个根的区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.12,1D.0,12例4已知函数f(x)在［0,+∞）上可导，且f′(x)<0，f(0)>0，则方程f(x)=0在（0，+∞）上()A.有唯一实根B.至少存在一个实根C.不能确定根D.没有根例5设a2-3b<0，则方程x3+ax2+bx+c=0的实根个数()A.1B.2C.3D.无法确实根的个数例6设函数f(x)在区间［0，1］上可导，f′(x)>0，且f(0)<0,f(1)>0，则f(x)在［0,1］内()A.至少有两个零点B.有且仅有一个零点C.没有零点D.零点的个数不能确定例7设函数f(x)在闭区间［0，2］上连续，且f(2)=0，f(1)=2,求证：存在ξ∈(1,2)，使得f(ξ)=ξ.提示：令g(x)=x-f(x)，∵f(x)在［0,2］上连续，所以g(x）在［0,2］上也连续，进而在［1,2］上也连续，又g(1)=1-f(1)<0，g(2)=2-f(2)>0，由零点定理，ξ∈(1,2) （0,2），使f(ξ)=ξ. 例8设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，且0≤f(x)≤1.证明：存在ξ∈［0,1］，使f(ξ)=ξ.第二章一元函数微分学及其应用一、根据导数的定义求极限或函数在某一点的导数例1已知f(0)=0，f′(0)=1，则limx→0f(x)x=()A.2B.1C.0D.+∞例2设f(x)在x=1处可导，且f′(1)=1,则limx→1f(x)-f(1)x2-1=.例3设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则limx→0x2f(x)-2f(x3)x3=()A.-2f′(0)B.-f′(0)C.f′(0)D.0例4设函数f(x)在x=2处可导，且f′(2)=1，则limh→0f(2+h)-f(2-h)2h=()A.-1B.1C.-2D.2例5设f(x)=(x-a)g(x)，g(x)连续但不可导，且在x=a处有界，则f′(a)=()A.不存在B.0C.1D.g(a)例6设f(x)为可导的奇函数，且f′(x0)=6，则f′(-x0)=.例7设f(x)=x(x-1)(x-2)…（x-100），求f′(0),f′(50)和f′(100).例8设φ(x)在x=a处连续，f(x)=（x2-a2）φ(x),求f′(a).例9设f(x)在x=0处可导，且f(x)=f(0)-3x+α(x)，limx→0α(x)x=0,求f′(0).例10设f(x)在x=0处可导，且limx→0f(x)+1x+sinx=2,求f′(0).例11设函数f(x)满足下列条件：(1)f(x+y)=f(x)f(y)对x,y∈R都成立;（2）f(x)=1+xg(x)，而limx→0g(x)=1.试证明f(x)在R上处处可导，且f′(x)=f(x).二、利用导数的几何意义求切线或法线方程例1已知椭圆的参数方程为x=acost，y=bsint，（a>0，b>0），则椭圆在t=π4对应点处的切线斜率为()A.baB.abC.-baD.-ab 例2直线l与x轴平行且与曲线y=x-ex相切，则切点坐标为()A.（1，1）B.（-1，1）C.（0，-1）D.（0，1）例3已知函数f(x)为可导偶函数，且limx→0f(1+x)-f(1)2sinx=-2,则曲线y=f(x)在（-1，2）处的切线方程为()A.y=4x+6B.y=-4x-2C.y=x+3D.y=-x+1例4曲线y=∫x0（t-1）(t-2)dt在点（0,0）处的切线方程为.例5设函数y=f(x)在点x处可导且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点（x0，f(x0)）处的切线方程为.例6某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且通过点（e2,3），则曲线方程为.例7求曲线tanx+y+π4=ey在点(0,0)处的切线方程与法线方程.例8证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积等于常数.例9已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x),其中α（x）是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=0处可导，求曲线y=f(x)在点（6,f(6)）处的切线方程.三、可导与连续的关系以及函数在一点可导性的判定例1函数y=f(x)在点x0处可导是它在x0处连续的()A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.以上都不对例2设f(x)在x0处存在左、右导数，则f(x)在x0点()A.可导B.连续C.不可导D.不一定连续例3设f(x)在x0点不连续，则()A.f′(x0)必存在B.f′(x0)必不存在C.limx→x0f(x)必不存在D.limx→x0f(x)必存在例4已知函数f(x)=ln（1+x），-1<x≤0，ex-1,0<x<1,则f(x)在x=0处()A.无极限B.有极限，但不连续C.连续但不可导D.可导例5下列函数在点x=0处可导的是() A.3x B.e-x C.|x| D.e3x2ln（1+x）例6下列函数在点x=0处可导的是()A.y=|x|B.y=x2sin1x,x≠00,x=0C.y=2xD.y=x,x≤0x2,x>0例7设f(x）=acosx+bsinx,x<0，ex-1，x≥0在点x=0处可导，则a和b的值分别为()A.a=0,b=0B.a=1,b=0C.a=1,b=1D.a=0,b=1例8若f(x)=eax,x≤0，1+sin2x,x>0在点x=0处可导，则a=.例9函数y=|x|+1在点x=0处()A.无定义B.不连续C.可导D.连续但不可导例10函数f(x)=(x2-x-2)|x3-x|的不可导点个数为()A.3B.2C.1D.0例11函数f(x)=e|x-a|在x=a处()A.不连续B.连续但不可导C.可导但导函数不连续D.导函数连续例12若f(x)在点x0处可导，则|f(x)|在点x0处()A.必可导B.连续但不一定可导C.一定不可导D.不连续例13设函数f(x)=|x2-1|φ(x)，其中φ(x)在x=1处连续，则φ（1）=0是f(x)在x=1处可导的()A.充分必要条件B.必要条件C.充分条件D.既非充分也非必要条件四、求导法则及复合函数的导数与微分例1设f(x)=sinx,则f′(x)=.例2设函数y=11+cosx，则y′=. 例3设函数f(x)=(x+1)1x-1，则f′(x)=.例4若f(x-1)=x2-1,则f′(x)=()A.2x+2B.x(x+1)C.x(x-1)D.2x-2例5已知ddxf1x2=1x，f′12=()A.22B.-22C.-1D.1例6设f′(lnx)=x,则ddxf(sinx)=()A.esinxcosxB.ecosxsinxC.esinxD. e cosx例7某企业每月生产Q（单位：t）产品时，总成本C是产量Q的函数,即C(Q)=Q2-10Q+20,则每月生产产品8 t时的边际成本是()A.4B.6C.10D.20例8设y=lncos(ex),求dydx.例9设y=e(arctanx)2，求y′.例10若y=sine-x，则有()A.dy=cose-xdxB.dy=e-xsine-xdxC.dy=-e-xcose-xdxD.dy=e-xcose-xdx例11设y=f(sec2x)，求dy.五、函数的高阶导数例1设函数f(x)=e2x-1，则函数f(x)在x=0处的二阶导数f″(0)等于()A.0B.e-1C.4e-1D.e例2设函数y=xlnx，则y10=()A.-1x9B.1x9C.8！x9D.-8!x9例3设函数f(x)=sinx,则f(2013)（x）=()A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx例4设f(2013)（x)=x2+lnx，则f(2015)(x)=()A.2-1x2B.2+1x3C.1x2D.-1x2例5设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f′(x)=ef(x),f(2)=1，则f(2)=.例6设f(x)=x3-cosx+lnx，n>3，则f(n)(x)=.例7设f(x)=x(x+1)(2x-1)（3x+1）（4x-1），求f(5)(0)，f(6)(x). 例8设f(x)=sin4x+cos4x,求f(n)(x).例9设函数y=13x+5,则y(n)(0)=.六、参数方程或隐函数方程的导数例1设x=ln(1+t2),y=arctant,则dydx=()A.12tB.2tC.1D.t例2设x=t-1t,y=12t2+lnt,则d2ydx2=()A.tB.t+1tC.1t2+1D.t2t2+1例3已知x=sint+1，y=∫t0cosudu，则d2ydx2=.例4设y=xey+1，则dydx=()A. ey2+yB.eyy-2C.eyxey+1D.ey1-xey例5y=y(x)是由方程arctanyx=lnx2+y2确定的隐函数，则dydx=()A.y-xy+xB.y+xy-xC.x-yx+yD.x+yx-y例6设y是由方程∫y0etdt+∫xπ2sintdt=0所确定的x的函数,则dydx=()A.sinxeyB.-sinxeyC.cosxeyD.-cosxey例7已知ex-x3ey=cos(xy),且y=f(x),求y′.七、幂指函数的导数求法例1设y=xxlnx-x,求dydx.例2设y=xsinx,求dydx.例3求函数y=x-1x+2·（3-x）4·3xln(1+x)的导数.八、关于中值定理条件的验证例1下列函数在闭区间［-1,1］上满足罗尔定理条件的是()A.y=|x|B.y=x3C.y=x2D.y=1x例2下列函数在指定区间上满足罗尔定理条件的是() A.f(x)=1x ,x∈［-2,0］ B.f(x)=(x-4)2,x∈［-2,4］C.f(x)=sinx,x∈-3π2,π2D.f(x)=|x|，x∈［-1,1］例3下列函数在给定的区间上满足罗尔定理条件的是()A.y=|x-1|,［0,2］B.y=13（x-2）2，［0,2］C.y=x3-3x+2,［1,2］D.y=xarcsinx,［0,1］例4下列函数在［1，e］上满足拉格朗日中值定理条件的是()A.ln［lnx］B.lnxC.1lnxD.ln(2-x)例5函数y=sinx在闭区间［0，2π］上符合罗尔定理条件的ξ=()A.0B.π2C.πD.2π例6若函数y=x3在闭区间［0，1］上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ＝()A.33B.-33C.±33D.±3例7设函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，则()A.至少存在一点ξ∈(a,b)，使f′(ξ)=0B.当ξ∈(a,b)时,必有f′（ξ）=0C.至少存在一点ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a成立D.当ξ∈(a,b)时，必有f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a例8函数f(x)在开区间（a,b）上可导，且a<x1<x2<b,则至少存在一点ξ,使下式成立的是()A.f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)(a<ξ<b)B.f(b)-f(x1)=f′(ξ)(b-x1)(x1<ξ<b)C.f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<x2)D.f(x2)-f(a)=f′(ξ)(x2-a)(a<ξ<x2)例9不求函数f(x)=(x-2)(x-4)(x-7)的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根，并指明其所在的区间.例10设f(x)=(x2-9)(x2-16)，则f′(x)=0的实根个数是()A.1B.2C.3D.4九、利用拉格朗日中值定理证明不等式例1证明：当x>0时，11+x<ln1+xx<1x. 例2证明不等式x1+x2<arctanx<x(x>0).例3证明不等式nan-1(b-a)<bn-an<nbn-1(b-a)(0<a<b,n>1).例4证明不等式|arctana-arctanb|≤|a-b|.十、利用拉格朗日中值定理证明恒等式例1证明下列恒等式:（1）sin2x+cos2x=1；(2)1+tan2x=sec2x；(3)1+cot2x=csc2x.例2证明:当x≥1时，arctanx+12arccos2x1+x2=π4.例3设f(x)在(-∞,+∞)内满足关系式f′(x)=f(x)，且f(0)=1，则f(x)=ex.例4证明：对于任意的实数a,有∫a+Taf(x)dx=∫T0f(x)dx,其中T为连续周期函数f(x)的周期.十一、关于中值命题的证明例1设函数f(x)，g(x)在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f(b)-f(a)=g(b)-g(a)，试证明，在(a,b)内至少有一点c,使f′(c)=g′(c).例2设函数F(x)=∫x1sinx·f(t)dt，其中f(t)在［1,π］上连续，求F′（x）,并证明在（1，π)内至少存在一点ε,使得cosε·∫ε1f(x)dx+sinε·f(ε)=0.例3设函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f′(ξ)=f(ξ).例4设函数f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,又F(x)=x2f(x),证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使得F″(ξ)=0.例5设a<c<b,f(x)和g(x)都在［a,b］上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=g(a),f(c)=g(c),f(b)=g(b),则在（a,b）内至少有一点ξ，使f″（ξ）=g″(ξ).十二、利用洛必达法则求极限例1极限limx→0∫x0tan2tdtx3等于() A.+∞B.16C.0D.13例2limx→0∫x0ln(1+t3)tdtx-sinx=.例3求极限limx→0∫x0et2sintdtln(1+x2).例4limx→∞ln1+x2+xx=.例5求极限limx→+∞x+x-x-x.例6求极限limx→∞xsin5x-15sin5x.例7求极限limx→0ax+bx+cx31x（a>0,b>0,c>0）.例8下列极限问题，不能使用洛必达法则的是()A.limx→0x2sin1xsinxB.limx→+∞xπ2-arctanxC.limx→∞1+kxxD.limx→∞x-sinxxsinx例9设F(x)=x2x-a∫xaf(t)dt，其中f(x)为连续函数，则limx→aF（x）=()A.a2B.a2f(a)C.0D.不存在例10求极限limx→0+1xtanx.例11若limx→01bx-sinx∫x0t2a+t2dt=1，则()A.a=4,b=1B.a=2,b=1C.a=4,b=0D.a=2,b=1十三、单调性的判定与单调区间的求法例1函数f(x)=x-ex+1在（0，+∞）内()A.是单调增加函数B.是单调减少函数C.有极大值D.有极小值例2函数f(x)=xlnx的单调增加区间是.例3设函数f(x)在［a,b］上连续，且单调增加，求证：F(x)=1x-a∫xaf(t)dt在［a,b］上单调增加.例4设在［0,1］上f″(x)>0，则f′(0)，f′(1)，f(1)-f(0)或f(0)-f(1)几个数的大小顺序为()A.f′(1)>f′(0)>f(1)-f（0）B.f′(1)>f(1)-f(0)>f′(0)C.f(1)-f(0)>f′(1)>f′(0)D.f′(1)>f(0)-f(1)>f′(0)例5函数F(x)=∫x0dt1+t2在(-∞,+∞)范围内()A.单调增加B.有无数多条铅直渐近线 C.图像是凹的 D.没有拐点十四、利用单调性证明不等式，以及数值不等式的证法例1证明:当x>0时，ln（x+1+x2）>x1+x2.例2证明：当0<x<1时，1-x2arcsinx<(1+x)ln（1+x）.例3证明：当x>0时，(x2-1)lnx≥(x-1)2.例4证明:当x>0时，1x>arctanx-π2.例5证明：当x>0时，有(1+x)ln(1+x)>arctanx.例6证明：当0<a<b时，lnba>2（b-a）a+b.例7求证:当0<a<b<π时，bsinb+2cosb+πb>asina+2cosa+πa.例8设f(x),g(x)都是可导函数,且|f′(x)|<g′(x),证明:当x>a时，f(x)-f(a)<g(x)-g(a).十五、利用单调性判定根的存在性或唯一性例1已知函数f(x)在［0，+∞)上可导，且f′(x)<0,f(0)>0,则方程f(x)=0在（0,+∞）上()A.有唯一根B.至少存在一个根C.不能确定有根D.没有根例2设函数f(x)在区间［0,1］上可导，f′(x)>0，且f(0)<0，f(1)>0,则f(x)在［0，1］内()A.至少有两个零点B.有且仅有一个零点C.没有零点D.零点的个数不能确定例3证明：方程ex-32-∫x0dt1+t2=0在开区间（0，1）内有唯一的实根.例4设f(x)在区间［0,1］上连续，且f(x)<1,证明：方程2x-∫x0f(t)dt=1在区间（0,1）内有且仅有一个实根.十六、关于函数的极值问题例1下列结论中正确的是()A.若x0是f(x)的驻点，则一定是f(x)的极值点B.若x0是f(x)的极值点，则一定是f(x)的驻点C.若f(x)在x0处可导，则一定在x0处连续D.若f(x)在x0处连续，则一定在x0处可导例2函数f(x)=xe-x2的极大值点为()A.x=22B.x=-22C.22，22e-12D.-22，22e-12例3函数f(x)=∫x0（1+t）arctantdt的极小值为.例4函数y=x3-3x2+1的单调增加区间是，单调减少区间是，极小值点是，极大值点是.例5设一个函数的导数为x2-2x-8，则该函数的极大值与极小值之差是()A.-36B.12C.36D.-1713例6设f(x)=xsinx+cosx，则正确的是()A.f(0)是极大值，fπ2是极小值B.f(0)是极小值，fπ2是极大值C.f(0)是极大值，fπ2是极大值D.f(0)是极小值，fπ2是极小值例7设f(x)的导数在x=2处连续，又limx→2f′(x)x-2=-1,则()A.x=2是f(x)的极小值点B.x=2是f(x)的极大值点C.（2,f(2)）是曲线y=f(x)的拐点D.x=2不是f(x)的极值点，(2,f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点例8设f(x)的导数在x=a处连续，且limx→af′(x)x-a=1，则()A.x=a是f(x)的极小值点B.x=a是f(x)的极大值点C.（a,f(a)）是曲线f(x)的拐点D.x=a不是f(x)的极值点例9若f(1)=0，limx→1f(x)(x-1)2=5,则f(x)在x=1处()A.导数不存在B.不连续C.取得极大值D.取得极小值例10求f(x)=(x-1)eπ2+arctanx的单调区间和极值.例11利用第二充分条件求函数f(x)=x3-3x2-9x-5的极值.十七、函数的最值问题例1设函数f(x)在［a,b］上连续，且f(a)=f(b)，但f(x)不恒为常数，则函数f(x)在（a,b）内() A.必有最大值或最小值 B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0例2设函数f(x)=13x3-x，则x=1为f(x)在［-2，2］上的()A.极小值点，但不是最小值点B.极小值点，也是最小值点C.极大值点，但不是最大值点D.极大值点，也是最大值点例3函数y=x+1-x在［-5，1］上的最大值为()A.6-5B.54C.6+5D.45例4函数f(x)=x+9x(x>0)的最小值为.例5函数y=x·2x的最小值点为.例6函数f(x)=x4-2x2在区间［0,2］上的最小值为.例7函数y=∫x02t-1t2-t+1dt在［0，1］上的最小值是.例8在斜边长为L的直角三角形中,求最大周长的直角三角形.例9一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金每套定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每套每月需花费200元的维修费,试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?例10某厂生产某种产品,其固定成本为100元,每多生产一件产品成本增加6元,又知该产品的需求函数为Q=1000-100P.问产量为多少时可使利润最大,最大利润是多少?例11已知生产某零件Q单位时，总收入的变化率为R′(Q)=100-Q10.求:（1）求生产Q单位时的总收入R(Q);（2）如果已经生产了200个单位，求再生产200个单位时的总收入R(单位：万元).十八、曲线凹凸性的判定例1函数y=e-x在区间（-∞,+∞）内()A.单调递增且图像是凹的曲线B.单调递增且图像是凸的曲线C.单调递减且图像是凹的曲线D.单调递减且图像是凸的曲线例2曲线y=xe-x+3x+1的凹区间为()A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（-∞，-2）D.（-2，2）例3y=xarctanx的图形()A.在（-∞，+∞）内是凹的B.在（-∞，+∞）内是凸的C.在（-∞，0）内是凸的，在（0,+∞）内是凹的D.在（-∞，0）内是凹的，在（0，+∞）内是凸的例4下列曲线在其定义域内为凹的是()A.y=e-xB.y=ln(1+x2)C.y=arctanxD.y=sin(x2+2)例5设f(x)在（a,b）内二阶可导，且f′(x)>0,f″(x)<0，则f(x)在（a,b）内()A.单调增加且是凸的B.单调增加且是凹的C.单调减少且是凸的D.单调减少且是凹的例6在闭区间［-1，1］上有f′(x)=(x-1)2，则曲线f(x)在闭区间［-1，1］内是()A.单调减少且凹的B.单调减少且凸的C.单调增加且凸的D.单调增加且凹的例7下列函数对应的曲线在区间（0，+∞）内是凸函数的为()A.y=x3B.y=ln(1+x2)C.y=cos2xD.y=lnx十九、曲线的拐点求法例1曲线y=(x-2)53的拐点是()A.（0,2）B.(2,0)C.(1,0)D.(2,1)例2曲线y=x3-3x2的拐点为()A.（1，-2）B.（1，2）C.（0，0）D.（2，-4）例3设函数y=f(x)在区间（a,b）内有二阶导数，则()成立时，点（c,f(c)）(a<c<b)是曲线y=f(x)的拐点.A.f″(c)=0B.f″(x)在（a,b）内单调增加C.f″(x)在（a,b）内单调减少D.f″(c)=0且f″(x)在（a,b）内单调增加例4曲线y=x+2xx2-1的拐点坐标为.例5设f(x)=x3-3x2+2,则曲线y=f(x)的拐点是.例6已知f(x）=∫x0e-12t2dt（-∞<x<+∞），则曲线y=f(x)的拐点是. 例7已知点（0，1）是曲线y=x3+ax2+b的拐点，则a=,b=.例8点（1,2）是曲线y=ax3+bx2的拐点，则()A.a=-1,b=3B.a=0,b=1C.a为任意实数，b=3D.a=-1,b为任意实数例9若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(-1,0)，则a=,b=.例10曲线y=e-x2的拐点是.例11设f′(x0)=f″(x0)=0,f(x0)>0，则下列正确的是()A.f′(x0)是f′(x)的极大值B.f(x0)是f(x)的极大值C.f(x0)是f(x)的极小值D.（x0，f(x0)）是曲线f(x)的拐点例12设函数f(x)有连续的二阶导数，且f′(0)=0,limx→0f″(x)x=2，则()A.f(0)是函数的极大值B.f(0)是函数的极小值C.(0,f(0))是曲线f(x)的拐点D.f(0)不是f(x)的极值例13f″(x0)=0是曲线f(x)的图形在x=x0处有拐点的()A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分也非必要条件二十、曲线的渐近线求法例1下列曲线有水平渐近线的是()A.y=x2-3x+4xB.y=e1xC.y=ex1+xD.y=ln(1+x2)例2曲线y=x2+1x-1()A.有水平渐近线，无垂直渐近线B.无水平渐近线，有垂直渐近线C.无水平渐近线，也无垂直渐近线D.有水平渐近线，也有垂直渐近线例3曲线f(x)=2xsin13x()A.有且仅有水平渐近线B.有且仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线又有垂直渐近线D.没有渐近线例4曲线y=ln(1+x)x()A.有水平渐近线，无垂直渐近线B.有水平渐近线，也有垂直渐近线C.无水平渐近线，有垂直渐近线D.无水平渐近线，也无垂直渐近线。
