最优捕鱼策略_数学建模[精品文档]

最优捕鱼策略一.实验目的：1、了解与熟练掌握常系数线性差分方程的解法；2、通过最优捕鱼策略建模案例，使用MATLAB软件认识与掌握差分方程模型在实际生活方面的重要作用。

二.实验内容：（最优捕鱼策略）生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益。

考虑具有4个年龄鱼：1龄鱼，…，4龄鱼的某种鱼。

该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。

而据规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与个年龄鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。

使用只能捕捞3、4龄鱼的13mm网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为:1.渔业上称这种方式为固定力量捕捞。

该鱼群本身有如下数据：1．各年龄组鱼的自然死亡率为（1/年），其平均质量分别为,,,（单位：g）；2．1龄鱼和2龄鱼不产卵，产卵期间，平均每条4龄鱼产卵量为ⅹ105（个），3龄鱼为其一半；3．卵孵化的成活率为ⅹ1011/（ⅹ1011 + n）（n为产卵总量）；有如下问题需要解决：1）分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时各年龄组鱼群不变），并在此前提下得到最高收获量；2）合同要求某渔业公司在5年合同期满后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏，承包时各年龄组鱼群数量为122,,,（ⅹ109条），在固定努力量的捕捞方式下，问该公司应采取怎样的捕捞策略，才能使总收获量最高。

三. 模型建立假设a、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言，我们可以假设鱼群总量的变化随时间是连续的；b、龄鱼到来年分别长一岁成为i + 1龄鱼，i = 1，2，3；c、4龄鱼在年末留存的数量占全部数量的比例相对很小，可假设全部死亡。

d 、连续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期性变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的变化情况。

（且可设x i （t ）：在t 时刻i 龄鱼的条数，i = 1，2，3，4；n ：每年的产卵量；k ：4龄鱼捕捞强度系数；2a i0：每年初i 龄鱼的数量，i = 1，2，3，4；）进而可建立模型如下：max （total （k ））=⎰⎰+3/203/2043)(99.22)(42.0dt t kx dt t kx)(8.0)(11t x dtt dx -= t ∈[0，1]，x1（0）= n ×n +⨯⨯11111022.11022.1 )(8.0)(22t x dt t dx -= t ∈[0，1]，x2（0）= x1（1）)()42.08.0()(33t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x3（0）= x2（1） . )(8.0)(33t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x3（32-）= x3（32+）)()8.0()(44t x k dt t dx +-= t ∈[0，2/3]，x4（0）= x3（1）)(8.0)(44t x dt t dx -= t ∈[2/3，1]，x4（32-）= x4（32+）)]32()32(5.0[10109.1435++⨯=x x n四. 模型求解（含经调试后正确的源程序）1. 先建立一个的M 文件：function y=buyu(x);global a10 a20 a30 a40 total k;syms k a10;x1=dsolve('Dx1=*x1','x1(0)=a10');t=1;a20=subs(x1);x2=dsolve('Dx2=*x2','x2(0)=a20');t=1;a30=subs(x2);x31=dsolve('Dx31=-+*k)*x31','x31(0)=a30');t=2/3;a31=subs(x31);x32=dsolve('Dx32=*x32','x32(2/3)=a31');t=1;a40=subs(x32);x41=dsolve('Dx41=-+k)*x41','x41(0)=a40');t=2/3;a41=subs(x41);x42=dsolve('Dx42=*x42','x42(2/3)=a41');t=2/3;a31=subs(x31);nn=*10^5**a31+a41);Equ=a10-nn**10^11/*10^11+nn);S=solve(Equ,a10);a10=S(2,1);syms t;k=x;t3=subs(subs(int*k*x31,t,0,2/3)));t4=subs(subs(int(k*x41,t,0,2/3)));total=*t3+*t4;y=subs((-1)*total)2.再建立一个的M文件：global a10 a20 a30 a40 total;[k,mtotal]=fminbnd('buyu',0,20);ezplot(total,0,25);xlabel('');ylabel('');title('');format long;ktotal=-mtotal;a10=eval(a10)a20=eval(a20)a30=eval(a30)a40=eval(a40)format shortclear五．结果分析1．鱼总量与时间图：x 10405101520252.可以看出捕捞强度对收获量的影响：实验输出数据：y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =+011y =y =+011k =total =+011a10 =+011a20 =+010a30 =+010a40 =+007则k=时，最高年收获量为total=×1011（克），此时每年年初1，2，3，4年龄组鱼的数量分别为：×1011×1010×1010×107六．实验总结本次实验的目的是了解差分方程（递推关系）的建立及求解，以及掌握用差分方程（递推关系）来求解现实问题的方法。

最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。

(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。

(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。

孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。

(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。

(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。

(6) 四龄以上的鱼全部死亡。

(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。

2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。

3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。

最优万义亮 曾龙飞 邓巧云摘要：本文针对渔业这类可再生资源的合理运用问题进行优化设计，在稳定的前提下，讨论如何控制捕捞使持续生产量最大。

最后，运用计算机软件求出捕捞强度和最大的捕捞产量，使该渔业公司可在持续稳定的条件下进行捕捞。

对于问题（一），我们通过1龄鱼和2龄鱼在全年内只受到自然死亡的制约，写出相应的微分方程，而3龄鱼和4龄鱼，其数量在前8个月不仅受自然死亡率影响还受捕捞强度系数的影响，后4个月只受自然死亡率的影响，分阶段写出微分方程及表达式。

假设自然死亡和捕捞都是连续的，则可以建立问题（一）的数学模型，此模型为非线性规划模型，最后通过MATLAB 软件和LINGO 软件分别求解。

对于问题（二），对问题通过分析易知，可以利用问题（一）所得到的迭代方程，可以很容易确定模型中的目标函数和约束条件，也易写出5年得捕捞总量的表达式。

我们以5年捕捞总量最大为目标函数，利用MATLAB 软件可以计算出捕捞强度和最大捕捞总量，并通过模型的验证在此捕捞强度下，不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏。

我们通过用软件编程计算，得出以下结论：在保持每年开始捕捞中各年龄组鱼群条件不变，得出4龄鱼捕捞强度为17.36292，3龄鱼的捕捞强度为8.68146，总的捕捞量为1110887076.3⨯g ；渔业公司要在5年后鱼群的生产能力不受太大的破坏下，得出捕捞强度在)8.17,5.17(∈k 下，达到最大的捕捞量为12106056.1⨯g 。

关键字：非线性规划 捕捞策略 渔业 优化问题 自然死亡率一、问题的重述（略）二、问题的分析对于如何实现可持续捕捞，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，并且在此前提下得到最高的年收获量。

根据题意知，1龄鱼和2龄鱼全年只受自然死亡率的制约，而3龄鱼和4龄鱼在前2/3年除了受自然死亡率的影响还受到捕捞强度系数的制约，而后1/3年只受自然死亡率的制约。

对1龄鱼和2龄鱼可由)()(trxdttdxii-=去分析各龄鱼在t年的数量关系，而对3龄鱼和4龄鱼分析数量关系因考虑到鱼会受到捕捞强度系数的制约，则可得到关系式为：)()42.0()(3txkrdttdxi--=可得到3龄鱼和4龄鱼的数量与时间t的函数关系式，同时也可通过关系式求出各个时刻各龄鱼的数量。

数学建模论文姓名: 文勇学号：201315020220论文标题：最佳捕鱼方案1.问题的提出一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商，水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。

据估计水库内尚有草鱼25000余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤，已处于饱和，捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？2.问题分析通过简单的分析和思考，该问题可以归为一个数学规划问题。

条件（1）（2）是针对目前状况的约束，条件（3）是通过卖鱼可以获得的利润，条件（4）是对成本的约束。

在四个条件约束的情况下，我们可以建立模型。

由于对损失率的理解不同，我们进行了不同的假设，并在这些假设下建立了模型一和模型二、三。

模型一中，损失率是基于水库草鱼的总量，草鱼的损失是一些定值的累加。

而在模型二、三中，为了更接近现实生活中的情况及人们的认知观，我们对第n天草鱼的损失率的理解是基于第n-1天剩下的草鱼而言。

模型二将不考虑日供应量超过1500kg的情况，而模型三考虑。

模型三的建立采用多目标的规划方法进行求解。

3.条件假设1、日供应量不受外界条件的变化而变化，是一定的。

2、当天售出的草鱼数量等于当天捕捞的草鱼。

3、水位的变化除了每天的自然放水，不考虑蒸发等其他的情况。

4、假设在放水清库的过程中，随着水位的下降,捕捞成本成呈递减等差数列，而草鱼的损失成递增等差数列。

最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联. 所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比. 分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示五．模型建立与求解模型一. 鱼苗尾数的相对减少率为常数r . 由相对减少率的定义得()()()t t t t n n rn t +∆-=-∆ 即()()()00lim lim t t t t t t n n rn t +∆∆→∆→-=-∆ 即()t dn rn dt=- 解得0rt n n e -=模型二. 假设鱼为球体，体积为V ，表面积为S ，半径为R ，重量为G ，初始重量为0G ，鱼的密度为ρ;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为1k ），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为2k ）. 由343V R π=，2=4S R π，G V ρ=得2233S G ρ⎛⎫= ⎝⎭令23=b ρ⎛⎫ ⎝⎭又由于12=-dG k S k G dt,=0t ，0G G =所以231-11322+k t k b k b G e k k ⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦模型三. 控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用(t)n 表示，捕捞能力（E ）可以用尾数的相对减少率1dn n dt表示，从T 时刻开始捕捞，使得捕捞量W 能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一模型中的减少量）和捕捞量.此时，-(t)0(t)=-at n n e En-0-0(e )11=-=-=a e at at d n dn E n dt n dt所以，--00(t)==1+(1+)at aT T Tan e an W En dt dt e a a a ∞∞=⎰⎰ 则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四. 建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数(t)n ，还取决于鱼的重量G .即(t)TW En Gdt ∞=⎰所以，231--0113(t)22=+1+at k t T T an e k b k b W En Gdt e dt a k k ∞∞⎡⎤⎫=⎢⎥⎪⎭⎣⎦⎰⎰ 可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻T .感谢下载!欢迎您的下载，资料仅供参考。

最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。

根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。

由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。

其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。

由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。

关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。

一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。

水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。

据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。

捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。

同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。

承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。

2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。

精心整理西安邮电大学（理学院）数学建模报告摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。

问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。

最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。

???问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；m……i龄鱼每条鱼的平均重量in……9月底该种鱼总共产卵数量*n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量k……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数i四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。

那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量⎪⎩⎪⎨≤≤-=---129,1,1,1,,j c x x i j i j i i i j i j i 这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。

最优捕鱼策略高少健戴昭杰陶相芝摘要本文基于鳀鱼产卵、孵化的突变性和死亡、被捕捞的连续性的假设，建立了鳀鱼生态系统的微分——差分模型求解。

在建模过程中，我们对各年龄组鱼在同一年中的数量变化规律应用微分方程进行分析，建立捕捞期和产卵期两个阶段各组鱼群的数量随时间变化的指数方程。

此后，我们又用数值模拟的方法，分析了在各种捕捞强度下系统的稳定状态，并得到最优可持续发展下的捕捞结果，利用Matlab成功仿真出了最高年收获量的图像。

在第二、三问的过程中，我们通过采用单一变量的方法，设定符合逻辑的鱼的初始量作为前提，对各年龄鱼的死亡率分别建立微分方程进行分析及仿真，最终得到了令人信服的结果，得出其自变量对最终收获量的灵敏性。

同时，本文还在最后一问中运用生物学及生态可持续发展中的理论，提出了新型的鳀鱼资源开发利用的模型，十分符合当代与生态相结合的可持续发展的理念.一、问题重述与分析1.鱼群生活在稳定的环境中，不考虑鱼群的迁入和迁出，也不考虑鱼群的空间分布，可以近似地假设大规模鱼是随时间连续变化的；2.1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼均可以在一年即一个周期的任意时间内死亡，成活的i龄鱼(i=1,2,3)每经过一年即一个周期变为(i+1)龄鱼，而4龄鱼不变；3.持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为一年，因此可以只考虑鱼群数量在l年内的变情况4.各年龄组鱼的平均重量和自然死亡率稳定，不考虑由于饲养技术、环境等因素引起变化；5.当捕捞强度系数发生变化时，鱼群中各年龄组的鱼的数目会发生变化，即产量会发生变化，在一定捕捞强度范围内，鱼群会趋于新的稳定点，形成一种持续捕捞的局面；6.只考虑采用固定努力量捕捞方式下的捕捞策略，捕捞强度在每年中只对3、4龄鱼有效，而也将针对此进行灵敏性分析；7.不考虑环境的影响, 各年龄组的平均死亡率均为0.8(1/年)。

二、 基本假设与符号说明r: 对4龄鱼的捕捞强度t: 时间（单位/年）si: 各年龄鳀鱼的死亡率)(t x i : t 时刻i 龄鱼的数量（i=1,2,3,4）n 3 : 3龄鱼在第四季度的的产卵总量n 4 : 4龄鱼在第四季度的的产卵总量j x 0：平衡捕捞时各j 龄鱼年初的数量(j =1,2,3,4)三、 建模过程与分析(一) 对问题的分析1.本系统具有如下特点：鳀鱼的产卵量大，死亡率高，在这两个因素下，使得在一般条件下1龄鱼数目较稳定。

最佳捕鱼策略摘要为了实现鳀鱼持续的经济效益，可持续的捕捞方案必不可少。

本文建立了最优化模型，求出了在可持续条件下最大的鳀鱼年收获量以及自然死亡率和捕捞强度系数对模型的影响，并向渔业管理部门提出的鳀鱼资源利用的政策建议。

针对问题一，以一年为周期，年初各个年龄组鳀鱼的数量由上一年相关年龄组的数量决定，分别建立微分方程，得到各个年龄组鳀鱼数量与时间的关系式。

以可持续条件下各个年龄组鳀鱼数量相同为约束条件，以捕捞的3、4龄鱼最大数量为目标函数建立最优化模型。

采用Lingo17.0对模型进行求解，得到年初1龄鱼的数量为1110195994.1⨯条，年初2龄鱼的数量为1010373946.5⨯条，年初3龄鱼的数量为1010414670.2⨯条，年初4龄鱼的数量为710395523.8⨯条，年收获量最大值为1110887536.3⨯克。

针对问题二，由模型I 得出年收获量是自然死亡率和捕捞强度系数的关系。

将捕捞强度系数赋一固定值，用Matlab 软件得出了在4龄鱼的捕捞强度系数为5的情况下，年收获量和自然死亡率成反向关系。

针对问题三，由前述得到的年收获量与自然死亡率和捕捞强度系数的关系，运用Matlab2016求解得到当4龄鱼的捕捞强度系数(k)以0.01为步长，从0到20分布时对应的F(k)的数值，并以k 的取值为横坐标，对应的F(k)为纵坐标，绘制捕获量F(m)随捕捞强度系数变化的曲线图，得出年收获量与捕捞强度系数成正向关系。

最后，本文从提高捕捞技术、保护鳀鱼苗种和生存环境、开发产业链等四个方面对鳀鱼资源的综合利用提出了建议。

关键词：年收获量最优化模型1问题重述和分析本题是最优化问题，此问涉及的各个变量为：每条1龄鱼、2龄鱼、3龄鱼、4龄鱼的平均重量分别是 5.1g、11.6g、17.9g、23.0g，自然死亡率为0.8，各个年龄组鳀鱼产卵量情况，产卵孵化期为每年后4月，3龄鱼和4龄鱼捕捞强度系数比为0.42：1，卵的存活率等。

2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日最佳捕鱼策略目录摘要 (2)1.问题的重述 (4)2.模型的假设与符号的说明 (5)2. 1 模型假设 (5)2. 2 符号说明 (5)3 模型建立和求解 (6)3.1问题1 (6)3. 2问题2 (11)4 模型评价及改进 (16)摘要针对本文要求的最大收益时的捕捞强度系数和各年龄鱼群相应各年数量，本文利用微分方程建模，得到各年龄鱼群相应各年数量与捕捞强度系数的关系如式（8），然后进行后续建模计算。

对于问题一利用平均死亡率和瞬时死亡率的关系我们得到瞬时死亡率值，本文根据其定义利用微分方程建立鱼群数量的变化模型。

对于3、4龄鱼，还应考虑前8个月的捕捞，由此建立分段函数模型。

第二年的1龄鱼是由上一年的3龄鱼、4龄鱼产卵所得，我们注意到，产卵鱼群应该分为产卵后活到下一年的鱼和产卵后还未活到下一年的鱼。

本文假设每时刻鱼死亡的概率均相等，则在产卵期的四个月里的某一时刻t，鱼死亡的概率服从几何概率分布，由此得到产卵后还未活到下一年的鱼的数量，最终得到3龄鱼和4龄鱼的产卵总数，便得到第二年1龄鱼的数量。

最后得到的捕捞的3、4龄鱼的数量和每条3、4龄鱼的重量列出捕捞总量即目标函数，结合1、2、3、4龄鱼的数量的等式关系作为约束条件，利用matlab计算进行优化计算得到捕捞量最大（为3.9512×10^11g）时的四龄鱼的捕捞强度系数(为16.05)和1、2、3、4龄鱼初始数量（分别为117.23×10^9、35.17×10^9、10.55×10^9、0.04×10^9条）。

最优捕鱼策略孙亚莉刘伟伟张盼（新疆农业大学，数理学院，数学与应用数学专业，新疆乌鲁木齐市 830052）摘要本文根据题目要求，在渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型的情况下，建立捕捞情况下渔场产量模型。

根据模型，对渔场鱼量的平衡点及其稳定性进行讨论，并且在稳定的前提下，使用图解法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大。

最后，对模型的优缺点进行了讨论。

关键词：Gompertz模型；稳定性模型；图解法；引言可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一定要注意适度开发，不能为了一时的高产去“竭泽而渔”，应该在持续稳定的前提下追求产量或效益的最优化。

姜启源，谢金星，叶俊等在数学建模一书中重点研究了捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，以及鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大，最后研究捕捞过度的问题，他们所建立的模型是以Logistic模型为基础的模型，我们将在他们研究的基础下，研究以Gompertz模型为基础的最优捕鱼策略策略，并且给出姜启源等一书中所提出的所有结论（Gompertz模型下的）,Gompertz模型下建立的模型是最优捕鱼策略的有一种途径，所以我相信我们这样的研究是有意义的。

正文1 问题复述x?t??rxln已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz模型：.N，其中rx是固有增长率，N是环境容许的最大鱼量。

并且单位时间捕捞量为h?Ex，其中比例常数E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。

现要求：（1）建立在捕捞情况下渔场鱼量的数学模型，讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性；（2）在鱼量稳定的前提下，求最大持续产量hm及获得最大产量的捕捞强度Em和渔场鱼量水平x0。

*2 模型假设（1）捕捞过程视为连续性过程；（2）忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。

3 符号说明x?t?表示时刻t时渔场中的鱼量；xi?i?0,1?表示渔场鱼量平衡点；*表示获得最大持续产量的渔场鱼量水平； x0r表示种群的固有增长率；N表示环境容许的最大鱼量；f?x?表示单位时间渔场鱼量的增长量； h?x?表示单位时间的捕捞量； hm表示单位时间的最大持续产量；F?x?表示在捕捞情况下渔场的鱼量； F'?x?表示F?x?的导数；E表示单位时间捕捞率，即捕捞强度； Em表示获得最大持续产量时的捕捞强度；p表示鱼的销售单价；c表示单位捕捞率的费用；T表示单位时间的收入；S表示单位时间的支出；4 模型建立（1）在无捕捞条件下，x?t?的增长服从Gompertz规律，即x?t??f?x??rxln.N （1） x（2）单位时间的捕捞量（即产量）h?x?与渔场鱼量x?t?成正比，比例系数为E，于是单位时间的捕捞量为h?x??Ex （2）（3）由①式与②式可以得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程x?t??F?x??rxln.N?Ex （3） x5 模型求解5.1 渔场鱼量平衡点及其稳定性讨论根据上面得到的在捕捞情况下渔场的鱼量F?x?所满足的方程③式，令F?x??rxln得到两个平衡点N?Ex?0 xx0?由于F?x??rln'NeEr,x1?0 （4）N?r?E，因此有F'?x0???r?0，故x0点稳定（与E，r的大小无x关）；同时，可证x1点不稳定。

西安邮电大学（理学院）数学建模报告最优捕鱼策略专业名称：信息与计算科学班级： 1302班学生姓名：张梦倩学号（8位）： 07131057指导教师：支晓斌摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。

问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。

最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。

问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。

本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。

最终得到的捕捞策略如表1-1。

只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。

一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。

最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：
假设这种鱼分４个年龄组：称１龄鱼，……，４龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的８个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。

比例系数不妨称捕捞强度系数。

通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。

渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

１）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

最优捕鱼策略摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，实现资源的可持续发展战略。

可再生资源（渔业，林业资源）的开发必须适度。

因此本文针对可持续捕鱼提出的两个问题建立了两个优化模型。

模型1针对问题1，已知各年龄组鱼的数量变化规律，自然死亡率，3，4龄鱼的捕捞强度系数之比，捕捞和产卵时间范围，要满足在实现可持续捕捞的前提下得到最高的年收入量。

即保证每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变的情况下得到最高年收获量。

以3，4年龄鱼的年产量为目标函数，各龄鱼在年初和年末的条数为约束条件，建立规划模型，利用Matlab 数学软件进行求解。

模型2针对问题2，根据题意渔业公司承包这种鱼的捕捞，并且要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，但又要使收获量最大。

首先，题中已给出各年龄组鱼群的初始值，我们利用模型1求出第6年初各年1 龄鱼的数量； 其次，根据问题1中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式，以5年捕捞总量最大为前提，利用Matlab 数学软件求解出此时的捕捞强度系数； 再次，计算出第一年初与第六年1 龄鱼的数量之比为，得到在此捕捞强度下不会使5 年后鱼群的生产能力有太大的破坏。

关键词：自然死亡率 捕捞强度系数 Matlab 数学软件 最高收获量问题重述1） 问题背景为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业,林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。

2） 基本条件假设这种鱼分4个年龄组,称1龄鱼,...,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为:5.07, 11.55, 17.86, 22.99(克),各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁值,平均每条4龄鱼的产卵量为1109105.⨯个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n 之比)为12210122101111./(.)⨯⨯+n .渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm 网眼的拉网,这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1,渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。