高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案

1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

描述：例题：高中数学选修2-2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 导数及其应用 1.3 导数的应用
一、学习任务
1. 理解函数的单调性与导数的关系；会利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式
函数的单调区间．2. 了解函数的极大（小）值，最大（小）值的概念；了解函数的极值与最值的区别和联系；掌
握求函数的极值与最值的方法．
3. 体会导数在解决实际问题中的作用；会利用导数解决实际生活中的有关利润最大、用料最
省、效率最高等优化问题；掌握最优化问题的建模及求解．二、知识清单
导数与函数的图象
利用导数研究函数的单调性
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的最值
利用导数处理生活中的优化问题
三、知识讲解
1.导数与函数的图象
（1）导数 表示函数 在点 处的切线斜率．当切线斜率为正值时，
切线的倾斜角小于 ，函数曲线呈上升状态；当切线的斜率为负值时，切线的倾斜角大于 且小于 ，函数曲线呈下降状态．
（2）如果在区间 内恒有 ，那么函数 在区间 内是常函数．
()f ′x 0y =f (x )(,f ()x 0x 090∘90∘180∘(a ,
b )
(x )=0f ′y =f (x )(a ,b ) 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选
项中的（ ）
(x )f ′f (x )y =(x )f ′f (x )
y=f
(x)
已知函数 的图象如图所示，则导函数
f(x)(a,b)则函数 在开区间
0.001 m
）？
S
（2）求面积 的最大值．解：（1）依题意，以
y=f(x)(−3,1)
2。

第一章 1.3 第1课时一、选择题1．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) [答案] A[解析] y ′＝4x 3－4x ， 令y ′＝0，则4x 3－4x ＝0， 解x ＝0或x ＝±1， 列表如下：2．函数f (x )＝2x －sin x ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A[解析] f ′(x )＝2－cos x >0在(－∞，＋∞)上恒成立．故选A. 3．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是增函数 D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是减函数 [答案] C[解析] f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(x )<0，当1e<x <1时，f ′(x )>0. ∴函数在⎝⎛⎭⎫0，1e 上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e ，1上是增函数． 4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 当x ∈(－∞，0)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为减函数，则f ′(x )<0.故选D.5．三次函数y ＝f (x )＝ax 3＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13[答案] A[解析] 由题意可知f ′(x )≥0恒成立，即3ax 2＋1≥0恒成立，显然B ，C ，D 都不能使3ax 2＋1≥0恒成立，故选A.6．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0D ．不能确定[答案] A[解析] ∵在区间(a ，b )内有f ′(x )>0， ∴函数f (x )在区间(a ，b )内是递增的， ∵f (a )≥0，∴f (x )>f (a )≥0.故选A.7．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫0，π2 C.⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎫π2，π [答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0.故选A.8．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2014)>e 2014f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2014)>e 2014f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2014)<e 2014f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2014)<e 2014f (0) [答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f (x )ex 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2014)<e 2014f (0)．故选C. 二、填空题9．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．[答案] (－1,11)[解析] 本题主要考查求导公式和单调区间． f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 由(x －11)(x ＋1)<0得－1<x <11 ∴f (x )的单调减区间为(－1,11)．10．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． [答案] a ≥1[解析] 由f (x )>1得ax －ln x －1>0，即a >ln x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ln x ＋1x ，g ′(x )＝－ln xx2.∵x >1，∴g ′(x )<0，∴g (x )单调递减． 所以g (x )<g (1)＝1在区间(1，＋∞)恒成立．11．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． [答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立， 即a ≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3.三、解答题12．确定下列函数的单调区间． (1)y ＝x －x 3； (2)y ＝x 3－9x 2＋24x .[解析] (1)y ′＝1－3x 2＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋33⎝⎛⎭⎫x －33， 由y ′>0得－33<x <33； 由y ′<0得x <－33或x >33. ∴增区间为⎝⎛⎭⎫－33，33； 减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞.(2)y ′＝3x 2－18x ＋24＝3(x －2)(x －4)， 由y ′>0得x <2或x >4；由y ′<0得2<x <4.∴增区间是(－∞，2)，(4，＋∞)； 减区间是(2,4).一、选择题1．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )·f (n )<0，则方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上( ) A ．至少有三个实数根 B ．至少有两个实根 C ．有且只有一个实数根 D ．无实根 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝－3x 2－1<0，∴f (x )在区间[m ，n ]上是减函数，又f (m )·f (n )<0，故方程f (x )＝0在区间[m ，n ]上有且只有一个实数根．故选C.2．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B ，故选D.3．(2014·天门市调研)已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数记为f ′(x )，若对于任意实数x ，有f (x )>f ′(x )，且y ＝f (x )－1为奇函数，则不等式f (x )<e x 的解集为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，e 4)D ．(e 4，＋∞)[答案] B[解析] 令g (x )＝f (x )ex ，则g ′(x )＝f ′(x )·e x －f (x )·e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0，所以g (x )在R 上是减函数，又y ＝f (x )－1为奇函数，所以f (0)－1＝0，所以f (0)＝1，g (0)＝1，所以原不等式可化为g (x )＝f (x )e x<1＝g (0)，所以x >0，故选B. 4．(2014·郑州一中期中)函数f (x )的定义域为R ，f (－2)＝2013，对任意x ∈R ，都有f ′(x )<2x 成立，则不等式f (x )>x 2＋2009的解集为( )A ．(－2,2)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 令F (x )＝f (x )－x 2－2009，则F ′(x )＝f ′(x )－2x <0，∴F (x )在R 上为减函数， 又F (－2)＝f (－2)－4－2009＝2013－2013＝0， ∴当x <－2时，F (x )>F (－2)＝0，∴不等式f (x )>x 2＋2009的解集为(－∞，－2)． 二、填空题5．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________． [答案] ⎣⎡⎭⎫13，＋∞ [解析] f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，依题意可知f (x )在R 上只能单调递增，所以Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.6．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．7．(2014·郑州网校期中联考)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．[答案] b ≤－1[解析]f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝－x＋bx＋2，∴－x＋bx＋2≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，∴b≤－1.三、解答题8．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，∴f(1)＝2.∴a＋b＝1. ①又函数图象在点P处的切线斜率为8，∴f′(1)＝8，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5. ②解由①②组成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′(x)＝3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>13；令f′(x)<0，可得－3<x<13.∴函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．9．(2013·全国大纲文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．[解析](1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－62x＋3.令f′(x)＝0，得x1＝2－1，x2＝2＋1.当x∈(－∞，2－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－1)上是增函数；当x∈(2－1，2＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(2－1，2＋1)上是减函数；当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3(x 2－52x ＋1)＝3(x －12)(x －2)>0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是[－54，＋∞)．。

数学人教B 选修2-2第一章导数及其应用知识建构专题应用专题一 用导数的定义解题对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的步骤以及用定义求导数的一些简单变形．应用若函数y ＝f (x )在点x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝________.专题二 切线问题求切线实际考查的是导数的几何意义，这类问题可以是以小题也可以是以大题形式出现，有时以求函数的导数、导数的应用以及函数的其他知识等综合题形式出现，这时多为中档题．应用已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．提示：(1)求曲线上某点处的切线的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再由点斜式写出直线方程．(2)求面积用S ＝12ah 即可完成．专题三 函数的单调性与极值、最大(小)值 (1)求可导函数f (x )单调区间的步骤： ①求f ′(x )；②解不等式f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)； ③确认并指出函数的单调区间．(2)求可导函数f (x )在区间[a ，b ]上最大(小)值的步骤： ①求出f (x )在区间(a ，b )内的极值；②将f (x )在区间(a ，b )内的极值与f (a )、f (b )比较，确定f (x )的最大值与最小值．应用1设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a ＞ln 2－1，且x ＞0时，e x ＞x 2－2ax ＋1. 提示：先求导，利用导函数求解与证明．应用2设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间(0,1]上的最大值为12，求a 的值．专题四 用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用，几种典型的平面图形的面积计算如下：设由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积为S .(1)如图①所示，f (x )＞0，ba⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝ba⎰f (x )d x .(2)如图②所示，f (x )＜0，ba ⎰f (x )d x ＜0，所以S ＝()d baf x x ⎰＝－b a⎰f (x )d x .(3)如图③所示，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，ca ⎰f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，bc⎰f (x )d x ＞0，所以S ＝()d caf x x ⎰＋bc⎰f (x )d x ＝－ca⎰f (x )d x＋bc⎰f (x )d x .由两条曲线f (x )和g (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成的平面图形的面积为S .如图④所示，f (x )＞g (x )，则S ＝ba⎰[f (x )－g (x )]d x .解题步骤如下：(1)画出图形；(2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的位置；(4)写出平面图形面积的定积分表达式；(5)运用微积分基本定理公式计算定积分，求出平面图形的面积．应用计算由曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成的图形的面积． 提示：先将图形面积借助于定积分表示出来，然后再求解． 真题放送1．(2011·福建高考卷)1⎰(e x ＋2x )d x 等于( )．A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 2．(2010·山东高考卷)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )．A ．112B ．14C ．13D ．7123．(2010·江西高考卷)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )．A ．26B ．29C ．212D ．215 4．(2010·江西高考卷)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )．5．(2011·陕西高考卷)设f (x )＝2lg , 0,3d ,0,ax x x t t x >⎧⎪⎨+≤⎪⎩⎰若f (f (1))＝1，则a ＝__________.6．(2011·陕西高考卷)如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(2≤k ≤n )； (2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.7．(2011·安徽高考卷)设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 答案： 专题应用 专题一应用：2f ′(x 0) 原式＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim －h →0f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝2f ′(x 0)． 专题二应用：解：(1)由已知得y ′＝2x ＋1，由于曲线过点(1,0)， 所以y ′|x ＝1＝3.所以直线l 1的方程为y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，所以2b ＋1＝－13，b ＝－23.所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52，所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为S ＝12×⎝⎛⎭⎫1＋223×⎪⎪⎪⎪－52＝12512. 专题三应用1：(1)解：由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x R ，知f ′(x )＝e x －2，x R .令f故f f (x )在x ＝ln 2处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．(2)证明：设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x R .由(1)知当a ＞ln 2－1时，g ′(x )的最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )＞0. 于是对任意x R ，都有g ′(x )＞0，所以g (x )在R 内单调递增， 于是当a ＞ln 2－1时，对任意x (0，＋∞)，都有g (x )＞g (0)， 而g (0)＝0，从而对任意x (0，＋∞)，g (x )＞0. 即e x －x 2＋2ax －1＞0，故e x ＞x 2－2ax ＋1. 应用2：解：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)，(2)当x (0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a ＞0，所以f (x )在区间(0,1]上单调递增，故f (x )在区间(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.专题四 应用：解：先画出草图，如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3. 解得x 1＝0，x 2＝3，从而所求图形的面积为S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x ＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x ，因为⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2′＝－x 2＋3x ， 所以S ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 2|30＝92. 真题放送1．C ∵被积函数e x ＋2x 的原函数为e x ＋x 2，∴∫10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋0)＝e. 2．A 封闭图形面积为 ⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 4|10＝112.3．C 函数f (x )的展开式中含x 项的系数为a 1a 2…a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212，而f ′(0)＝a 1a 2…a 8＝212.4．A 当五角星匀速地升出水面时，五角星露出水面的面积S (t )单调递增，则S ′(t )＞0，导函数的图象要在x 轴上方，排除选项B ；当露出部分到达图中的点B 和点C 之间时，S (t )增长速度变缓，S ′(t )图象要下降，排除选项C ；当露出部分在B 点上下一瞬间时，S (t )突然变大，此时在点B 处的S ′(t )不存在，排除选项D ，而选项A 符合条件，故选A.5．1 ∵1＞0，∴f (1)＝lg 1＝0，∴f (f (1))＝f (0)．又∵0≤0.∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.6．解：(1)设P k －1(x k －1,0)，由y ′＝e x ，得曲线在Q k －1(x k －1，e x k －1)点处的切线方程为y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，得x k ＝x k －1－1(2≤k ≤n )．(2)由x 1＝0，x k －x k －1＝－1，得x k ＝－(k －1)，所以|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是S n ＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－n e －1. 7．解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x 1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.。

第一章 导数及其应用一、知识体系：1．导数的概念如果函数)(x f y = ，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为 或 。

（答：满足xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(000lim存在，00),(x x y x f =''）2．函数)(x f y = ，就说)(x f 在区间（b a ,）内可导，其导数也是（b a ,）内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作 或 。

（答：在开区间（a,b ）内每一点都可导，y x f ''),(）3．函数=y )(x f 在点0x 处可导是函数)(x f y =在点0x 处连续的 条件。

（答：充分而不必要）4．导数的几何意义：①设函数)(x f y =在点0x 处可导，那么 等于函数所表示曲线的相应点),(00y x M 处的切线斜率。

（答：)(0x f '）②设)(t s s =是位移函数，则 表示物体在0t t =时刻瞬时速度。

（答：)(0t s '）5．几种常见函数的导数：①='c （答：0） ②=')(nx （答：nx n-1）③=')(sin x （答：cosx ）④=')(cos x （答：-sinx ） ⑤=')(xe （答：e x）⑥=')(xa （答：a xlna ）⑦=')(ln x （答：1x ）⑧=')(log x a （答：1x log a e ）6．两个函数的四则运算的导数： 若)(),(x v x u 的导数都存在，则①='±)(v u （答：v u '±'）②='⋅)(v u , =')(cu （答：v u v u '÷'） ③=')(v u （答：2vv u v u '-'） 7．复合函数的导数：设 ，则复合函数))((x f y φ=在点x 处可导，且='x y 。

第一章 1.1 第2课时一、选择题1．某质点的运动方程是s ＝t －(2t －1)2，则在t ＝1s 时的瞬时速度为( )A ．－1B ．－3C ．7D ．13 [答案] B[解析] ∵Δs Δt＝1＋Δt －[2(1＋Δt )－1]2－1＋(2×1－1)2Δt＝－3－4Δt ，∴f ′(1)＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3－4Δt )＝－3. 2．设函数f (x )＝ax ＋2，若f ′(1)＝3，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] C[解析] f ′(1)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋2－a －2Δx＝a ＝3. 3．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3) [答案] C[解析] 原式＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．故选C. 4．已知物体做自由落体运动的方程为s (t )＝12gt 2，若Δt →0时，s (1＋Δt )－s (1)Δt无限趋近于9.8m/s ，则正确的说法是( )A ．9.8m/s 是物体在0～1s 这段时间内的速度B ．9.8m/s 是物体在1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．9.8m/s 是物体在t ＝1s 这一时刻的速度D ．9.8m/s 是物体从1s ～(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度[答案] C[解析] 由瞬时速度的定义可知选C ，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念．5．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关[答案] B[解析] 由导数的定义可知选B.6．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A ．1B ．18 C.12D ．14[答案] C[解析] Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，Δs Δt ＝12＋18Δt ， 则s ′|t ＝2＝lim Δt →0 ⎝⎛⎭⎫12＋18Δt ＝12.故选C. 7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 [答案] A[解析] f ′(1)＝lim x →1 f (x )－f (1)x －1＝lim x →1a ＝a ＝2.故选A. 8．若f ′(x 0)＝2，则lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)2k等于( ) A ．－1 B ．－2C ．1D ．12 [答案] A[解析] lim k →0 f (x 0－k )－f (x 0)2k＝－12·lim k →0 f [x 0＋(－k )]－f (x 0)－k＝－12f ′(x 0)＝－1.故选A. 二、填空题9．函数y ＝5x 2＋6在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________．[答案] 20＋5Δx[解析] ∵Δy ＝5(2＋Δx )2＋6－5×22－6＝20Δx ＋5Δx 2，∴平均变化率为Δy Δx＝20＋5Δx . 10．物体自由落体的运动方程是s ＝12gt 2(g ＝9.8m/s 2)，则物体在t ＝3s 这一时刻的速度为____________．[答案] 29.4m/s[解析] 平均速度Δs Δt ＝g 2(6＋Δt )． 当Δt →0时，v ＝g 2×6＝29.4(m/s)． 11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________. lim x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________.[答案] －11 －112[解析] lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0)＝－11； lim x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝－12f ′(x 0)＝－112. 三、解答题12．已知f (x )＝x 2＋3.(1)求f (x )在x ＝1处的导数；(2)求f (x )在x ＝a 处的导数．[解析] (1)因为Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，2＋Δx 无限趋近于2，所以f (x )在x ＝1处的导数等于2.(2)因为Δy Δx ＝f (a ＋Δx )－f (a )Δx＝(a ＋Δx )2＋3－(a 2＋3)Δx＝2a ＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ，所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .一、选择题1．(2014·枣阳一中，襄州一中，宜城一中，曾都一中期中联考)在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (m )与起跳后的时间t (s )存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0m/s 的时刻是( )A.6598s B ．6549s C.9865s D ．4965s [答案] A[解析] h ′(t )＝－9.8t ＋6.5，由h ′(t )＝0得t ＝6598，故选A. 2．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( ) A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 [答案] B[解析] lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)． 3．一物体作直线运动，其运动方程为s (t )＝－3t 2＋t ，则该物体的初速度为( )A ．－3B ．－2C ．0D ．1[答案] D[解析] ∵Δs ＝－3(0＋Δt )2＋(0＋Δt )－(－3×02＋0)＝－3(Δt )2＋Δt .Δs Δt＝－3Δt ＋1. ∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(－3Δt ＋1)＝1. 4．(2013·北师大附中期中)已知f ′(x 0)＝a ，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx 的值为( ) A ．－2aB ．2aC ．aD ．－a [答案] B[解析] ∵f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝a ， ∴lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0－3Δx )2Δx＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－3Δx )2Δx ＝12lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＋32lim Δx →0 f (x 0－3Δx )－f (x 0)－3Δx＝a 2＋3a 2＝2a ，故选B. 二、填空题5．已知函数y ＝x 3，当x ＝2时，lim Δx →0 Δy Δx＝________. [答案] 12[解析] lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )3－23Δx ＝lim Δx →0(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋6Δx ＋12]＝12. 6．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________． [答案] 0[解析] ∵Δy ＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－11＝Δx －1＋11＋Δx ＝(Δx )21＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δx 1＋Δx＝0. 7．一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.[答案] 1[解析] lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →07(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8Δt ＝lim Δt →07(Δt )2＋14Δt ·t 0－13Δt Δt ＝lim Δt →0(7Δt ＋14t 0－13) ＝14t 0－13令14t 0－13＝1，∴t 0＝1.三、解答题8．已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度． [解析] 当t ＝1时，Δs ＝3(Δt ＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt 2＋6Δt ，∴Δs Δt ＝3Δt ＋6，∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，Δs ＝29＋3(Δt ＋4－3)2－29－3(4－3)2＝3Δt 2＋6Δt ，∴Δs Δt＝3Δt ＋6， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝6， 即当t ＝4时的瞬时速度为6.9．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋5＝g ′(x 0)的x 0值．[解析] 由导数的定义可知f ′(x 0)＝lim Δx →0＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝2x 0， g ′(x 0)＝lim Δx →0(x 0＋Δx )3－x 30Δx ＝3x 20，因为f′(x0)＋5＝g′(x0)，所以2x0＋5＝3x20，即3x20－2x0－5＝0解得：x0＝－1或x0＝53.。