北京高考理科数学试题含答案(Word版)

参考答案
绝密★本科目考试启用前
2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共12页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.A
2.C
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.D
9.A 10.C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.() 4,0
12.
1
2
-
##0.5
-
13.
1 2±
14.115
mm,23mm 2
15.①③④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（1）
2π
3
A=
；
（2）选择①无解；选择②和③△ABC面积均为153 4.
17.（1）证明见解析（2）
30
18.（1）1
10
（2）(i)0.122万元 (ii)0.1252万元
19.（1）2221,4
2x y e +== （2）2t =
20.（1）单调递减区间为(1,0)-，单调递增区间为(0,)+∞.
（2）证明见解析 （3）2
21.略。

2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=， 则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点， 则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ， 所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误， 故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S > C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。

本试卷共 5 页， 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一局部〔选择题共40 分〕一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．集合 A{ x || x | 2} ， B { 1,0,1,2,3 } ，那么A B〔〕1.A. {0,1}B. {0,1, 2}C.{ 1,0,1}D. { 1,0,1, 2}【答案】 C考点：集合交集.【名师点睛】如集合 { x | y 1．首先要弄清构成集合的元素是什么f (x)} ， { y | y f (x)} ， {( x, y) | y(即元素的意义)，是数集还是点集，f ( x)} 三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因无视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，那么通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的表达和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可无视空集是任何元素的子集．2x y0假设x，y满足x y3，那么2x y的最大值为〔〕2.x0【答案】 C【解析】考点：线性规划.【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围 .假设线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解 .如变式 2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察 z 的大小变化，得到最优解 .3.执行如下图的程序框图，假设输入的 a 值为1，那么输出的k值为〔〕开始输入 ak=0,b=aa1k=k+1 1aa=b否是输出 k结束【答案】 B【解析】试题分析：输入 a 1，那么 k 0， b 1 ；进入循环体， a 11， a2，否， k2， a1，此时 a b 1，输出 k ，，否， k2则k 2，选B.考点：算法与程序框图【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值(或控 制循环的条件 )，然后看循环体，循环次数比拟少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次， 找出规律， 要特别注意最后输出的是什么， 不要出现多一次或少一次循环的错误.4.设 a ， b 是向量，那么“ | a | |b | 〞是“ | a b | | a b |〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 D考点：1.充分必要条件；2.平面向量数量积 .【名师点睛】由向量数量积的定义a b| a | |b | cos( 为 a ， b 的夹角 )可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐 标进行运算 .当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查 .求解夹角与模的题目在 近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法 .5. x ， yR ，且 xy 0 ，那么〔〕1 1 0B. sin x sin y1 x (1 yD. ln x ln yA.yC. ( ))x22【答案】 C【解析】试题分析： A ：由 x y0 ，得11 ，即 1 1 0 ， A 不正确；xy x yB ：由 x y 0及正弦函数 y sin x 的单调性，可知 sin x sin y 0 不一定成立；C ：由 011， x y0 ，得 ( 1)x( 1) y，故 ( 1) x ( 1 ) y0 ， C 正确；22222D ：由 xy 0 ，得 xy 0，不一定大于 1，故 ln x ln y 0 不一定成立，应选 C.考点： 函数性质【名师点睛】函数单调性的判断： (1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法．(2) 两个增 (减 )函数的和仍为增 (减 )函数；一个增 (减 )函数与一个减 (增 )函数的差是增 ( 减)函数；(3) 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性 .6.某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为〔〕1B.11A. C. D. 1632【答案】 A【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC ，其体积 V11 1 1 11，326应选 A.考点：1.三视图； 2.空间几何体体积计算.【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.7.将函数y sin(2 x) 图象上的点P( , t) 向左平移s〔 s 0 〕个单位长度得到点P ' ，34假设 P ' 位于函数y sin 2x 的图象上，那么〔〕1， s 的最小值为 B. t 3， s的最小值为A. t22661， s的最小值为 D. t 3， s的最小值为C. t2323【答案】 A考点：三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量 x 的系数不为 1 时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换8.袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否那么就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么〔〕A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】 C考点：概率统计分析.【名师点睛】此题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题.如果所求事件对应的根本领件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此.列举的关键是要有序(有规律 )，从而确保不重不漏.另外注意对立事件概率公式的应用.第二局部〔非选择题共 110 分〕二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．设a R ，假设复数 (1 i )(ai ) 在复平面内对应的点位于实轴上，那么a _______________.9.【答案】 1 .【解析】试题分析：(1i )(a i )a1(a1)i R a 1 ，故填： 1 .考点：复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法那么是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法那么类似于多项式乘法法那么，除法运算那么先将除式写成分式的形式，再将分母实数化10.在(12x)6的展开式中，x2的系数为__________________.〔用数字作答〕【答案】 60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式T r 1 C6r ( 2)r x r可知， x2的系数为 C62 ( 2) 260 ，故填： 60 .考点：二项式定理 .【名师点睛】 1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项T r 1 C n r a n r b r，再把系数与字母别离出来 (注意符号 ) ，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可； 2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合n的范围分析.11.在极坐标系中，直线cos 3 sin 1 0 与圆2cos 交于A，B两点，那么| AB | ______.【答案】 2考点：极坐标方程与直角方程的互相转化.【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x cos , y sin 即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用 x＝xcos , ysin 以及x2y2， tan y( x 0) ，同时要掌握必要的技巧. x12. { a n}为等差数列，S n为其前n项和，假设a1 6 ， a3a50，那么 S6 = _______..【答案】 6【解析】试题分析：∵ { a n } 是等差数列，∴ a3a5 2a4 0，a4 0，a4a13d 6 ，d 2 ，∴ S6a 15d 6 6 15 ( 2) 6 ，故填：6．61考点：等差数列根本性质 .【名师点睛】在等差数列五个根本量a1，d，n， a n， S n中，其中三个量，可以根据条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于根本量的方程(组 )来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.13.双曲线x2y21〔 a 0 ， b0 〕的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直a2 b 2OABC 的边长为 2，那么a _______________.线，点 B 为该双曲线的焦点，假设正方形【答案】 2考点：双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线： (1)掌握方程； (2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3) 会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数 ..求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2By21的形式，当A0 ， B0 ，A B时为椭圆，当AB0 时为双曲线.x33x, x a14.设函数f ( x).2x, x a①假设 a0 ，那么 f ( x) 的最大值为______________；②假设 f (x) 无最大值，那么实数 a 的取值范围是________.【答案】 2 ，( , 1).【解析】试题分析：如图作出函数g(x)x33x 与直线 y2x 的图象，它们的交点是A( 1,2) ，O(0,0) ， B(1,2) ，由g '(x)3x2 3 ，知x 1 是函数g (x)的极大值点，①当 a 0 时，f ( x)x33x, x 0，因此 f ( x) 的最大值是 f (1) 2 ；2 x, x0②由图象知当 a 1 时，f ( x)有最大值是 f (1) 2 ；只有当a 1 时，由a33a 2a ，因此 f (x) 无最大值，∴所求 a 的范围是 (,1) ，故填：2， (, 1) ．考点： 1.分段函数求最值； 2.数形结合的数学思想.【名师点睛】 1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．假设自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．假设给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围； 2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．三、解答题〔共 6 小题，共 80 分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程〕15.〔本小题13 分〕在 ABC 中，a2c2b22ac .〔1〕求B的大小；〔2〕求 2 cos A cosC的最大值 .【答案】〔 1〕；〔 2〕1.4考点： 1.三角恒等变形； 2.余弦定理 .【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量 (如面积、外接圆、内切圆半径和面积等 )提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．16.〔本小题13 分〕A 、 B、 C 三个班共有100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如下表〔单位：小时〕；A 班678B 班6789101112C 班36912〔1〕试估计 C 班的学生人数；〔2〕从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人， A 班选出的人记为甲， C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；〔3〕再从 A、 B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，〔单位：小时〕，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0 ，试判断0 和1的大小，〔结论不要求证明〕【答案】〔 1〕 40；〔 2〕3 ；〔3〕810 .【解析】试题分析：〔Ⅰ〕根据图表判断 C 班人数，由分层抽样的抽样比计算 C 班的学生人数；〔Ⅱ〕根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长〞的所有事件，由独立事件概率公式求概率 .〔Ⅲ〕根据平均数公式进行判断即可.考点： 1.分层抽样； 2.独立事件的概率； 3.平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P( A) 1P( A) ，即运用逆向思维的方法公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏多〞“至少〞等字眼的题目，用第二种方法往往显得比拟简便.(正难那么反 )求解，应用此.特别是对于含“至17.〔本小题14 分〕如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，PA PD， PA PD，AB AD， AB 1 ， AD2，AC CD 5 .〔1〕求证：PD平面PAB；（2〕求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（3〕在棱PA上是否存在点M，使得BM / /平面PCD？假设存在，求AM的值；假设不存AP在，说明理由 .【答案】〔 1〕见解析；〔 2〕3；〔 3〕存在，AM1 3AP4〔3〕设M是棱PA上一点，那么存在[0,1] 使得AMAP .因此点 M (0,1, ), BM( 1,, ) .因为 BM平面 PCD ，所以BM∥平面 PCD 当且仅当BM n0 ，即 ( 1,, ) (1,2,2) 0，解得1. 4所以在棱 PA 上存在点 M 使得 BM ∥平面PCD，此时AM1.AP4考点： 1.空间垂直判定与性质； 2.异面直线所成角的计算； 3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造 (寻找 )二面角的平面角或得到点到面的距离等.18.〔本小题13 分〕设函数 f ( x)xe a x bx ，曲线y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y(e 1)x 4 ，（1〕求a，b的值；（2〕求f ( x)的单调区间 .【答案】〔Ⅰ〕 a 2 ， b e ；〔2〕 f ( x) 的单调递增区间为( ,) .从而g(x)0, x(,) .综上可知， f ( x)0 ，x(,)，故 f (x) 的单调递增区间为(,) .考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0 的点外，还要注意定义区间内的间断点．19.〔本小题14 分〕x2y21 〔 a b 0 〕的离心率为3椭圆 C：2b2， A(a,0) ， B(0, b) ， O(0,0) ，a2OAB 的面积为 1.（1〕求椭圆 C 的方程；（2〕设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点 M ，直线 PB 与x轴交于点 N.求证：AN BM为定值 .【答案】〔 1〕2x y21；〔2〕详见解析. 4〔2〕由〔Ⅰ〕知，A( 2,0), B(0,1) ，考点： 1.方程及其性； 2.直与的位置关系.【名点睛】解决定定点方法一般有两种：(1) 从特殊入手，求出定点、定、定，再明定点、定、定与量无关； (2)直接算、推理，并在算、推理的程中消去量，从而得到定点、定、定 .注意到繁的代数运算是此的特点，而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地化运算.20.〔本小13 分〕数列A：a1， a2, ⋯a N( N).如果小于n (2n N)的每个正整数k 都有a k＜a n，称 n 是数列A的一个“G刻〞.“G ( A)是数列A的所有“ G刻〞成的集合.〔1〕数列 A ：-2， 2， -1， 1，3，写出G ( A)的所有元素；〔2〕明：假设数列 A 中存在a n使得a n > a1，G (A)；〔3〕明：假设数列 A 足a n - a n 1≤1〔n=2,3, ⋯ ,N〕 , G ( A)的元素个数不小于a N - a1 .【答案】〔 1〕G ( A)的元素2和5；〔2〕解析；〔 3〕解析 .设 G( A) n1, n2 , , n p , n1n2n p，记 n0 1 .那么a n0a n a n2a n.1p对 i 0,1,, p ，记 G i k N n i k N , a k a n i.如果G i，取 m i min G i，那么对任何1k m i , a k a n a m.i i从而 m i G( A) 且 m i n i 1.又因为 n p是G ( A)中的最大元素，所以G p.从而对任意 n p k n ，a k a n p，特别地，a N a n p.考点：数列、对新定义的理解.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想求和或应用 )、特殊到一般思想 (如：求通项公式或 q1)等.将实际问题转化为常用的数列模型，数列(如：求最值或根本量 )、转化与化归思想 (如：)、分类讨论思想 (如：等比数列求和，q 1。

20XX 年普通高等学校招生全国统一考试【北京卷】（理科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共40分）【2011⋅北京理，1】1．已知集合{}2|1P x x =≤,{}M a =.若P M P =,则a 的取值范围是( )．A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[]1,1-D ．(][),11,-∞-+∞【答案】C ．【解析】 2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]P M P a =⇒∈-．【2011⋅北京理，2】2．复数212i i-=+ ( )． A ．i B ．i - C ．4355i -- D ．4355i -+【答案】A ．【解析】 分母实数化，可求得i 2(i 2)(12i)i 12i (12i)(12i)---==++-． 【2011⋅北京理，3】3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标系是( )． A ．(1,)2πB ．(1,)2π- C ． ()1,0 D ．()1,π 【答案】B ．【解析】 222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B ．【2011⋅北京理，4】4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )．A ．3-B ．12-C ．13D ．2 【答案】D ．【解析】循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D ． 【2011⋅北京理，5】5．如图AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G ．给出下列三个结论：①AD AE AB BC CA +=++； ②AF AG AD AE ⋅=⋅；③~AFB ADG ∆∆．其中正确结论的序号是 ( )．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ 【答案】A ．【解析】 ①正确．由条件可知，BD=BF ，CF=CE ，可得CA BC AB AE AD ++=+． ②正确．通过条件可知，AD=AE ．由切割定理可得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅．③错误．连接FD （如下图），若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠．通过图像可知2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误．答案选A ．【2011⋅北京理，6】6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为()x A xf x x A A<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A ，c 为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )．A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16 【答案】D ．【解析】由条件可知，x A ≥时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)30604f c ==⇒=，()1516f A A A==⇒=，选D ． 【2011⋅北京理，7】7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )．A ．8B ．62C ．10D ．82 【答案】C ．【解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是∆PAC ，面积为10，选C ．BCAP42354【2011⋅北京理，8】8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为 ( )．A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【解析】如下图，在t=0,0<t<1,t=1时分别对应点为9,11,12，选C ．图1 t=0时情况点分布（9点）D(t+4,4)C(t,4)A(0,0)图3 t=1时情况点分布（12点）D(t+4,4)C(t,4)A(0,0)第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：（每小题5分，共30分）【2011⋅北京理，9】9．在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=，tan 2A =，则sin A = ．a =________.【答案】255；10 【解析】由tan 2A =⇒ 5sin 5A =，正弦定理可得210a = 【2011⋅北京理，10】10．已知向量3,1)=a ，(0,1)=-b ，(3)k =c ，若2-a b 与c 共线，则k = ．【解析】=a -2b ，2-a b 与c 共线可得1k =． 【2011⋅北京理，11】11．在等比数列{}n a 中，112a =，44a =-，则公比q =________； 12n a a a +++=_________．【答案】2-；1122n --． 【解析】 112a =，442a q =-⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=-．【2011⋅北京理，12】12．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 （用数字作答）． 【答案】14．【解析】个数为42214-=．【2011⋅北京理，13】13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则数k 的取值范围是 ． 【答案】()0,1． 【解析】 2()(2)f x x x=≥单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）．【2011⋅北京理，14】14．曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数()21aa >的点的轨迹．给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF ∆的面积大于212a ． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③．【解析】．① 曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么1a =，与条件不符；② 曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处212||||,PF PF a =关于原点的对称点处也一定符合212||||PF PF a =；③三角形12F F P 的面积invm S 12=12||||PF PF 121sin 2F PF ∠≤12||||PF PF =22a ．三、解答题：（本大题共6小题，共80分）【2011⋅北京理，15】15．（本小题满分13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【解析】 ．（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f 1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π． （Ⅱ）因为64x ππ-≤≤，所以22663x πππ-≤+≤． 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值1-． 【2011⋅北京理，16】16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=．(Ⅰ) 求证：BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值； (Ⅲ) 当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长． 【解析】 ．（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD.又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD.所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-= 设PB 与AC 所成角为θ，则4632226||||cos =⨯=⋅⋅AC PB AC PB . （Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=设P （0，－3，t ）（t>0），则),3,1(t --=，设平面PBC 的法向量),,(z y x m =,则0,0=⋅=⋅m m ，所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(tm =．同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(tn -=，因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ⋅=0，即03662=+-t，解得t = 所以PA=6．【2011⋅北京理，17】17．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以点X 表示．(Ⅰ) 如果8X =,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；(Ⅱ) 如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）【解析】 ．(Ⅰ) 当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为8891035;44x +++==方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s(Ⅱ) 当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P （Y=17）=.81162= 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P 99 甲组乙组89X 11 001）+21×P （Y=21）=17×81+18×41+19×41+20×41+21×81=19．【2011⋅北京理，18】18．（本小题满分13分）已知函数2()()x kf x x k e =-． (Ⅰ) 求()f x 的单调区间；(Ⅱ) 若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()f x 1e≤，求k 的取值范围． 【解析】 ．（Ⅰ）221()()xk f x x k e k'=-．令()00='f ，得k x ±=.当k >0时，)()(x f x f '与的情况如下：当k <0时，)()(x f x f '与的情况如下：（Ⅱ）当k>0时，因为e ek f k1)1(11>=++，所以不会有1(0,),()x f x e∀∈+∞≤． 当k<0时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24()k f k e-=．所以ex f x 1)(),,0(≤+∞∈∀等价于241()kf k e e --=≤． 解得021<≤-k ．故当1(0,),()x f x e ∀∈+∞≤，时，k 的取值范围是1[,0)2-．【2011⋅北京理，19】19．（本小题满分14分）已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(Ⅰ) 求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(Ⅱ) 将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值． 【解析】 ．（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以c =所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为2c e a ==． （Ⅱ）由题意知，1||≥m .当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),23,1(),23,1(- 此时3||=AB ；当1m =-时，同理可得3||=AB ；当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得，设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k mk x x +-=+=+ 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242km k k m k k +--++=2=． 由于当3±=m 时，,3||=AB所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB ．因为2|||233||||m AB m m m ==≤++， 且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2．【2011⋅北京理，20】20．（本小题满分13分）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．(Ⅰ) 写出一个满足10s a a ==，且5()0S A >的E 数列n A ；(Ⅱ) 若112a =，=2000n ，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是=2011n a ； (Ⅲ) 对任意给定的整数n （2n ≥），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()=0n S A ？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由． 【解析】 ．解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列5A ．（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A 5） （Ⅱ）必要性：因为E 数列A 5是递增数列， 所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k . 所以A 5是首项为12，公差为1的等差数列. 所以a 2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a 2000—a 1000≤1，a 2000—a 1000≤1 …… a 2—a 1≤1所以a 2000—a≤19999，即a 2000≤a 1+1999.又因为a 1=12，a 2000=2011,所以a 2000=a 1+1999.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. 综上，结论得证．（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 因为2111112c c a a c a a ++=++= ……,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n 因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以所以)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,所以要使2)1(,0)(-=n n A S n 必须使为偶数,即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即.当,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a44111(1,2,,),0,0,()0;k k n a k m a a S A +=====时有当nA E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a 当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列n A ，使得10,()0n a S A ==．20XX 年普通高等学校招生全国统一考试 【福建卷】（文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：（每小题5分，共60分） 【2011⋅福建文，1】1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N 等于( )．A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2-【答案】A ． 【解析】{}0,1M N =∩．故选A ．【2011⋅福建文，2】2．i 是虚数单位，31i +等于( )．A ． iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【答案】D ．【解析】31i 1i +=-．故选D ．【2011⋅福建文，3】3．若a R ∈，则“1a =”是“1a =”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ．【2011⋅福建文，4】4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。

A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。

A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。

A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。

A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。

A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。

若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。

A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。

四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。

则该四棱锥的高为（ ）。

A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。

年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题分，共分） ．（分）（•北京）复数（﹣）（ ） ．． ﹣ ． ﹣ ． ﹣﹣考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充与复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答： 解：原式﹣﹣（﹣）； 故选：．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意﹣． ．（分）（•北京）若，满足，则的最大值为（ ） ．．．．考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用．分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求出取得最大值． 解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得（，），目标函数，将直线进行平移， 当经过点时，目标函数达到最大值 ∴最大值故选：．点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域与简单的线性规划等知识，属于基础题．．（分）（•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）． （﹣，）． （﹣，） ． （﹣，﹣） ． （，﹣）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，，的值，当时满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 ，，， ，，不满足条件≥，﹣，，﹣，， 不满足条件≥，﹣，，﹣，，满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）， 故选：．点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，，的值是解题的关键，属于基础题．．（分）（•北京）设α，β是两个不同的平面，是直线且⊂α，“∥β“是“α∥β”的（ ）． 充分而不必要条件 ． 必要而不充分条件． 充分不要条件． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析： ∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且⊂α，显然能得到∥β，这样即可找出正确选项． 解答： 解：⊂α，∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要与α，β的交线平行即可得到∥β；α∥β，⊂α，∴与β没有公共点，∴∥β，即α∥β能得到∥β； ∴“∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选． 点评： 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．．（分）（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．．．．考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析： 根据三视图可判断直观图为：⊥面，，为中点，，，，：⊥面，，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 解答： 解：根据三视图可判断直观图为： ⊥面，，为中点，，，，∴可得⊥，⊥，运用直线平面的垂直得出：⊥面，，∴△×，△△×．△×．故该三棱锥的表面积是，故选：．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．．（分）（•北京）设{}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）． 若＞，则＞ ． 若＜，则若＜，． 若若＜＜，则． 若＜，则（﹣）（﹣）＞考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分对选项分别进行判断，即可得出结论．析： 解答： 解：若＞，则＞，＞，＞时，结论成立，即不正确；若＜，则＜，＜，＜时，结论成立，即不正确；{}是等差数列，＜＜，＞，∴＞，即正确；若＜，则（﹣）（﹣）﹣＜，即不正确． 故选：． 点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）如图，函数（）的图象为折线，则不等式（）≥（）的解集是（ ）． {﹣＜≤}． {﹣≤≤} ． {﹣＜≤} ． {﹣＜≤}考点：指、对数不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析： 在已知坐标系内作出（）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知（）的图象，在此坐标系内作出（）的图象，如图满足不等式（）≥（）的范围是﹣＜≤；所以不等式（）≥（）的解集是{﹣＜≤}；故选．本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．点评：．（分）（•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考函数的图象与图象变化．点：专创新题型；函数的性质及应用．题：分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项，消耗升汽油，乙车行驶的距离比小的很多，故错误；对于选项，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故错误，对于选项，甲车以千米小时的速度行驶小时，里程为千米，燃油效率为，故消耗升汽油，故错误，对于选项，因为在速度低于千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题分，共分）．（分）（•北京）在（）的展开式中，的系数为（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用的指数为，求出，然后求解所求数值．解解：（）的展开式的通项公式为：﹣，答：所求的系数为：．故答案为：．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．．（分）（•北京）已知双曲线﹣（＞）的一条渐近线为，则．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为±，结合条件可得，即可得到的值．解答：解：双曲线﹣的渐近线方程为±，由题意可得，解得．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．．（分）（•北京）在极坐标系中，点（，）到直线ρ（θθ）的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点（，）化为．直线ρ（θθ）化为．∴点到直线的距离．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（分）（•北京）在△中，，，，则．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出，，即可得出结论．解答：解：∵△中，，，，∴，∴，，∴．故答案为：．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）在△中，点，满足，，若，则，﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到，值．解答：解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到，；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（，）使，向量等式成立．．（分）（•北京）设函数（），①若，则（）的最小值为﹣；②若（）恰有个零点，则实数的取值范围是≤＜或≥．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设（）﹣，（）（﹣）（﹣），分两种情况讨论，即可求出的范围．解答：解：①当时，（），当＜时，（）﹣为增函数，（）＞﹣，当＞时，（）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）﹣，当＜＜时，函数单调递减，当＞时，函数单调递增，故当时，（）（）﹣，②设（）﹣，（）（﹣）（﹣）若在＜时，（）与轴有一个交点，所以＞，并且当时，（）﹣＞，所以＜＜，而函数（）（﹣）（﹣）有一个交点，所以≥，且＜，所以≤＜，若函数（）﹣在＜时，与轴没有交点，则函数（）（﹣）（﹣）有两个交点，当≤时，（）与轴无交点，（）无交点，所以不满足题意（舍去），当（）﹣≤时，即≥时，（）的两个交点为，，都是满足题意的，综上所述的取值范围是≤＜，或≥．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共小题，共分）．（分）（•北京）已知函数（）﹣．（Ⅰ）求（）的最小正周期；（Ⅱ）求（）在区间[﹣π，]上的最小值．考点：两角与与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与的正弦公式，化简（），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）（）﹣﹣（﹣）﹣（）﹣，则（）的最小正周期为π；（Ⅱ）由﹣π≤≤，可得﹣≤≤，即有﹣，则当﹣时，（）取得最小值﹣，则有（）在区间[﹣π，]上的最小值为﹣﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与的正弦公式，同时考查正弦函数的周期与值域，考查运算能力，属于中档题．．（分）（•北京），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组；，，，，，，假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件等价于“甲是组的第或第或第个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”∪∪∪∪∪∪∪∪∪，易得（）（），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第或第或第个人”∴甲的康复时间不少于天的概率（∪∪）（）（）（）；（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则∪∪∪∪∪∪∪∪∪，∴（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（Ⅲ）当为或时，，两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式与方差，属基础题．．（分）（•北京）如图，在四棱锥﹣中，△为等边三角形，平面⊥平面，∥，，，∠∠°，为的中点．（Ⅰ）求证：⊥．（Ⅱ）求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）若⊥平面，求的值．考二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂点：直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值解答：证明：（Ⅰ）∵△为等边三角形，为的中点，∴⊥，∵平面⊥平面，⊂平面，∴⊥平面∴⊥．（Ⅱ）取的中点，连接，∵是等腰梯形，∴⊥，由（Ⅰ）知⊥平面，∵⊂平面，∴⊥，建立如图的空间坐标系，则，，，﹣，°，则（，，），（，，），（，，），（﹣，，），（﹣，﹣，），设平面的法向量为（，，），则，即，令，则，﹣，即（，﹣，），平面的法向量为，则＜＞即二面角﹣﹣的余弦值为；（Ⅲ）若⊥平面，则⊥，即，∵（﹣，﹣，），（﹣，，），∴﹣（﹣）﹣（﹣），解得．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．．（分）（•北京）已知函数（），（Ⅰ）求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当∈（，）时，（）；（Ⅲ）设实数使得（）对∈（，）恒成立，求的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围．解答：解答：（）因为（）（）﹣（﹣）所以又因为（），所以曲线（）在点（，（））处的切线方程为．（）证明：令（）（）﹣（），则'（）'（）﹣（），因为'（）＞（＜＜），所以（）在区间（，）上单调递增．所以（）＞（），∈（，），即当∈（，）时，（）＞（）．（）由（）知，当≤时，（）＞对∈（，）恒成立．当＞时，令（）（）﹣，则'（）'（）﹣（），所以当时，'（）＜，因此（）在区间（，）上单调递减．当时，（）＜（），即（）＜．所以当＞时，（）＞并非对∈（，）恒成立．综上所知，的最大值为．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．．（分）（•北京）已知椭圆：（＞＞）的离心率为，点（，）与点（，）（≠）都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得∠∠？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（）求解得出（，），（，），运用图形得出∠∠，，求解即可得出即•，，根据，的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：，，∴，∵（，）与点（，），﹣＜＜∴的方程为：﹣，时，∴（，）（）∵点与点关于轴对称，点（，）（≠）∴点（，﹣）（≠）∵直线交轴于点，∴（，），∵存在点，使得∠∠，（，），∴∠∠，∴，即•，，∴，故轴上存在点，使得∠∠，（，）或（，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．．（分）（•北京）已知数列{}满足：∈*，≤，且（，，…），记集合{∈*}．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ），利用可求得集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数；（Ⅲ）分是的倍数与不是的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若，由于（，，…），{∈*}．故集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数．如果，的所有元素都是的倍数；如果＞，因为﹣，或﹣﹣，所以﹣是的倍数；于是﹣是的倍数；类似可得，﹣，…，都是的倍数；从而对任意≥，是的倍数；综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（Ⅲ）对≤，（，，…），可归纳证明对任意≥，＜（，，…）因为是正整数，，所以是的倍数．从而当≥时，是的倍数．如果是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，是的倍数．因此当≥时，∈{，，}，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，不是的倍数．因此当≥时，∈{，，，，，}，这时的元素个数不超过．当时，{，，，，，，，}，有个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。

北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函 数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的 最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标 平面上的正投影图形的面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科 网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样11.设双曲线C 经过点()2,2，且与214x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在 区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科 网求李明的投篮命中率一场超过6.0，一场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小 （只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.（1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos f x x =（1）求证：()0f x ≤（2）若sin x a b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的 最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB与圆222xy +=的位置关系，并证明 你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，学科 网对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组 成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10）5（11）221312x y -= 2y x =± （12）8 （13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=。

2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。

高考理科数学考试真题（北京卷）参考答案第一部分 （选择题 共40分）1．B 【解析】略2．D 【解析】()2234i i -=-，对应的点为()3,4-，选D3．A 【解析】当ϕπ=时，sin 2y x =-过原点；()sin 2y x ϕ=+过原点则,,0,,ϕππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅等无数个值．选A ．4．C 【解析】第一次循环1i =，23S =，第二次循环2i =，1321S =． 5．D 【解析】xy e =关于y 轴对称得xy e -=，即()f x 向右平移一个单位得xy e -=， ∴()1x f x e--=6．B【解析】∵ba±==y=． 7．C 【解析】∵l 的方程为1y =代入24x y =得2x =±，l 与C 所围成的图形的面积2230211821204123S x dx x x ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰8．C 【解析】要使可行域存在，必有m <－2m +1，要求可行域内包含直线112y x =-上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线112y x =-上方，且(-m ，m )在直线112y x =-下方，解不等式组1211212112m m m m m m ⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m ＜23-9．1【解析】(2，6π)对应的直角坐标为)，ρsin θ=2对应的直角坐标方程为2y =，∴距离为110．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--11．9,45【解析】由916PD DB =，设9,16PD a DB a ==，根据切割线定理有2PA PD PB =⋅有15a =，∴95PD =，在直角PBA ∆中，有4AB =．12．96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有44A 种方法，∴总共有44496A =13．4【解析】如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=14．25【解析】如图设11B C 的中点为M ，连接1,ME MD ， 则1C C ∥面1D DEM ，P 到直线CC 1的距离的最小值 即为1C C 到面1D DEM 的距离亦为1C 到到面1D DEM 的距离1C H ，用等积法可得125C H = 15．【解析】(1)因为a ＝3，26b =，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得326sin sin 2A A=. 所以2sin cos 26sin 3A A A =.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝231cos 3A -=.又因为∠B ＝2∠A ， 所以cos B ＝2cos 2A －1＝13. xy所以sin B3=. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝9. 所以c ＝sin sin a CA＝5. 16．【解析】设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”()1,2,3,,13i =⋅⋅⋅ 根据题意，()113i P A =，()i j A A i j φ=≠（Ⅰ）设B 为事件“此人达到当日空气重度污染”，则58B A A =．所以()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=． （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且 ()()367111P X P A A A A ==367114()()()()13P A P A P A P A == ()()1212132P X P A A A A ==1212134()()()()13P A P A P A P A ==()()()5011213P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为故X 的期望501213131313EX =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）从3月3日开始连续三天的空气质量指数方差最大． 17．【解析】(1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则1110,0,A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25⋅=n m n m .由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD ＝λ1BC ， 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD ＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD ·1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B . 此时，1925BD BC λ==. 18．【解析】(I)设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，所以()11f '=，所以L 的方程为1y x =-．(II)令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()00,1g x x x >∀>≠ ()g x 满足()10g =，且()()221ln 1x xg x f x x -+''=-=当01x <<时，210,ln 0x x -<<，所以()0g x '<，故()g x 单调递减；当1x >时，210,ln 0x x ->>，所以()0g x '>，故()g x 单调递增．∴ ()()10g x g >=所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．19．【解析】（1）椭圆W 的右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1,A m，代入椭圆方程得2m =±．所以菱形的面积是112222OB AC m ⋅=⨯⨯= （2）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点时，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为()0,0y kx m k m =+≠≠联立方程2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=设11(,)A x y ，()22,C x y ，则122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -=+，1212y y kx m kx m +=+++12()2k x x m =++228214k mm k=-++ 2214mk =+所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭因为M 为AC 和OB 的交点，且0m ≠，0k ≠ 所以直线OB 的斜率为14k-． 因为114k k ⎛⎫-≠- ⎪⎝⎭，所以CA 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．20．【解析】(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且0d ≥， 所以12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≤≤≤≤因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1,2,3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1,2,3，…)，所以A n＝B n＋d n≤B n.又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.于是，A n＝a n，B n＝a n＋1，因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m＞2.于是，B m＝A m－d m＞2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}≥2.故d m－1＝A m－1－B m－1≤2－2＝0，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.。

12B-SX-0000025-绝密★本科目启用前__2019 年普通高等学校招生全国统一考试_ - __ -数 学（理） （北京卷）__本试卷满分 150 分。

考试时长 150 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答：-号 -无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

学 -第一部分 （选择题 共 40 分）__- ___-一、 选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选___-出符合题目要求的一项。

___1_ 线 z=2+i ，则 z z（ ）已知复数_封 __密_ （ A ）3（ B ） 5_-__： -（ C ） 3（ D ）名-姓 （ 2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为-- （ A ） 1班- （ B ） 2___ -_（ C ） 3_-_（ D ） 4_ 年-____ 线__封__密_ -___ -___ -__ìx = 1 + 3t_-（ 3）已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数），则点（ 1， 0）_í_? y = 2 + 4 t_- __到直线 l 的距离是_-_ _-_ 124 6： -校 （ A ）（B ）（C ）（ D ）学 -5555（4）已知椭圆 x 2y 2 1 （ a ＞ b ＞ 0）的离心率为 1 ，则a 2b 2 2（ A ） a 2=2b 2（B ） 3a 2=4b 2（C ） a=2b（ D ） 3a=4b5 x y 满足 | x | 1y ，且 y ≥-1 3x+y的最大值为（ ）若 ， ，则（ A ） - 7（B ） 1（C ） 5（ D ） 7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足 m5 E 1 ，其中星等为的星的亮度为（ k = 1,2 ）。

已- m = lgm k 21E 2E k2知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等为-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ A ） 10 10.1（B ） 10.1（ C ） lg10.1 （D ） 10- 10.1（7）设点 A, B,C 不共线，则 “与的夹角是锐角 ”是 “”的（ A ）充分而不必要条件 （ B ）必要而不充分条件 （ C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2 + y 2=1+ x y 就是其中之一（如图） 。