一维线性KleinGordon方程Neumann边值问题的高阶差分格式

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理学的多个领域中有着广泛的应用，如孤立子理论、场论和统计力学等。

由于该方程具有丰富的动力学行为和复杂的解结构，因此对其数值解法的研究具有重要意义。

本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法，用于求解一维Sine-Gordon方程。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中，U是因变量，t是时间变量，xx表示对空间的二阶导数。

该方程具有孤立子解、周期解等多种解形式，且在物理系统中表现出丰富的动力学行为。

三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积思想的数值方法，通过将计算区域划分为一系列控制体积，并对每个控制体积应用守恒律，得到一组离散化的方程组。

该方法具有高精度、稳定性好、易于实现等优点。

在本研究中，我们将高阶紧致有限体积方法应用于一维Sine-Gordon方程的求解。

具体而言，我们将计算区域划分为一系列等距的网格，每个网格点作为一个控制体积的中心。

在每个控制体积上，我们对Sine-Gordon方程进行积分，并利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化。

通过这种方法，我们可以得到一组离散化的方程组，用于求解Sine-Gordon方程的数值解。

四、数值实验与结果分析我们通过一系列数值实验来验证高阶紧致有限体积方法求解一维Sine-Gordon方程的有效性。

首先，我们设置了一组典型的初始条件，并利用该方法对Sine-Gordon方程进行求解。

通过对比不同时间步长下的数值解与精确解，我们发现该方法具有较高的精度和稳定性。

此外，我们还分析了该方法在不同网格尺寸下的数值误差，结果表明该方法在较粗的网格下仍能保持较高的精度。

为了进一步验证该方法的有效性，我们还对Sine-Gordon方程的孤立子解进行了数值模拟。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一种重要的非线性偏微分方程，在物理、工程和数学等多个领域有着广泛的应用。

近年来，随着计算科学的发展，高阶数值方法在求解这类方程时显得尤为重要。

本文将介绍一种高阶紧致有限体积方法（High-Order Compact Finite Volume Method，HOCFVM）来求解一维Sine-Gordon方程，以期提高计算精度和效率。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，具有丰富的物理背景和数学性质。

在物理中，它常用于描述孤立子、非线性波等现象。

该方程的一般形式为：U_t = sin(U)_x其中，U是因变量，t和x分别是时间和空间坐标。

该方程具有非线性和周期性等特点，使得其求解过程具有一定的挑战性。

三、高阶紧致有限体积方法为了求解一维Sine-Gordon方程，本文采用高阶紧致有限体积方法。

该方法通过将计算区域划分为有限个体积单元，然后在每个体积单元上应用有限体积原理进行离散化和求解。

通过选择适当的离散格式和紧致算子，可以在保证计算精度的同时，降低数值耗散和数值色散，提高计算效率。

四、HOCFVM方法的具体实现1. 离散化：将一维计算区域划分为N个等距的体积单元，每个体积单元的长度为Δx。

在每个体积单元上，因变量U的离散化值表示为U_i，其中i表示体积单元的编号。

2. 紧致算子的选择：选择适当的紧致算子来逼近空间导数和时间导数。

常用的紧致算子包括二阶、四阶等高阶差分算子。

在本方法中，我们选择四阶紧致算子来提高计算精度。

3. 离散方程的建立：根据有限体积原理，在每个体积单元上建立离散化方程。

通过将Sine-Gordon方程在时间和空间上进行离散化，得到一系列关于U_i的离散方程。

4. 求解离散方程：采用适当的数值方法（如迭代法、追赶法等）来求解离散方程，得到因变量U的数值解。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是一个具有非线性特性的偏微分方程，在物理学和工程学等多个领域具有广泛的应用。

传统的数值求解方法往往涉及复杂的计算过程，而且有时无法保证计算精度和稳定性。

为了更有效地求解这一类方程，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法（HOCFVM），通过此方法我们可以提高求解的效率和精度。

二、Sine-Gordon方程及其性质Sine-Gordon方程是一个非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U) + U_xx其中U为因变量，t为时间，xx表示空间二阶导数。

此方程具有孤立波解等特性，广泛应用于物理中的各种现象模拟。

三、传统数值方法的问题传统的数值方法如有限差分法、有限元法等，在求解Sine-Gordon方程时，往往存在计算复杂度高、精度低、稳定性差等问题。

为了解决这些问题，我们提出了一种高阶紧致有限体积方法。

四、高阶紧致有限体积方法（HOCFVM）1. 方法概述HOCFVM是一种基于有限体积法的数值求解方法，它通过构造高阶紧致格式的离散化方案，提高了计算精度和稳定性。

该方法在离散化过程中，将空间划分为一系列控制体积，并在每个控制体积上应用局部的离散化公式。

2. 方法实现（1）空间离散化：将空间划分为一系列等距或不等距的控制体积。

（2）时间离散化：采用合适的离散化格式对时间进行离散化。

（3）构造高阶紧致格式：在每个控制体积上，根据Taylor 级数展开和待求量的性质，构造高阶紧致格式的离散化公式。

（4）求解方程组：根据离散化后的方程组，采用适当的数值求解方法（如迭代法、线性代数方法等）求解。

五、HOCFVM在Sine-Gordon方程中的应用我们将HOCFVM应用于一维Sine-Gordon方程的求解中，通过与传统的数值方法进行比较，发现HOCFVM具有更高的计算精度和稳定性。

具体来说，HOCFVM能够更好地捕捉到Sine-Gordon方程的孤立波解等特性，且计算复杂度相对较低。

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2019,32(3):635-642求解一维对流方程的高精度紧致差分格式侯波,葛永斌(宁夏大学数学统计学院,宁夏银川750021)摘要：本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.关键词：对流方程;高精度;紧致格式;无条件稳定;有限差分法中图分类号：O241.82AMS(2000)主题分类：65M06;65M12文献标识码：A文章编号：1001-9847(2019)03-0635-081.引言对流方程在生物数学、能源开发、空气动力学等许多领域都具有十分广泛的应用,因此求解该类方程具有非常重要的理论价值和实际意义.然而,由于实际问题通常十分复杂,往往难以求得精确解,因此研究其精确稳定的数值解法是十分必要的.针对对流方程国内外很多学者提出了很多的数值方法.如张天德和孙传灼[1]针对一维对流方程采用待定系数法,得到了两层四点格式和四阶六点格式,并且是无条件稳定的,该方法适用于在点数确定的前提下,得到精度高的差分格式;于志玲和朱少红[2]针对一维问题建立了中间层为两个节点的三层显格式,其截断误差为O(τ2+h2);曾文平[3]针对一维对流方程推导出了一种两层半显式格式，其截断误差为O(τ2+h2),该格式是无条件稳定的.姚朝辉等人[5]将二阶的迎风格式和中心差分格式进行加权得到了WSUC格式,该格式是无条件稳定的;但该格式时间方向和空间方向仅有二阶精度.汤寒松等人[6]通过立方插值拟质点方法(CIP方法),给出了一些保单调的CIP格式;Erdogan[9]针对一维的对流方程推导出了一种指数拟合的差分格式,其截断误差为O(τ2+h2);Bourchtein[10]构造了对流方程的三层五点中心型蛙跳格式,该格式的截断误差为O(τ4+h4);即该格式时间和空间均具有四阶精度,但是该格式是三层的,空间方向需要五个点,并且是条件稳定的;Kim[11]构造了多层无耗散的迎风蛙跳格式,即时间和空间分别具有二阶、四阶、六阶精度,但格式为三层甚至是四层的,并且六阶格式空间方向最多需要五个点,给靠近边界的内点的计算带来困难.综上所述,文献中已经有的数值计算方法大多为低阶精度的,而高精度方法涉及多个时间层,需要一个或多个时间启动步,或者空间方向的网格节点多于三个,这都给计算造成困难或不便.为此本文将构造一种紧致格式,这里紧致格式的定义为对时间导数项的离散采用不超过∗收稿日期：2018-08-10基金项目：国家自然科学基金(11772165,11361045),宁夏自然科学基金重点项目(2018AAC02003),宁夏自治区重点研发项目(2018BEE03007)作者简介：侯波,男,汉族,河南人,研究方向：偏微分方程数值解法.通讯作者：葛永斌.636应用数学2019三个时间层,而对空间导数项的离散采用不超过三个网格点,时间和空间即可以达到高阶精度（三阶及三阶以上）的格式.本文拟构造的格式时间方向仅用到两个时间层上的函数值,在每个时间层上仅涉及到三个空间网格点,格式时间和空间具有整体的四阶精度.该格式的优点是无须启动步的计算,并且在对靠近边界点的计算时,不会用到计算域以外的网格节点.此外该格式为无条件稳定的,可以采用比较大的时间步长进行计算.最后通过数值实验验证本文格式的精确性和稳定性.2.差分格式的建立考虑如下一维对流方程：∂u ∂t +a∂u∂x=f,b≤x≤c,t≥0,(2.1)给定初始条件为:u(x,0)=φ(x),b≤x≤c,(2.2)给定周期性边界条件为:u(b,t)=u(c,t),t≥0,(2.3)其中,u(x,t)为未知函数,f为非齐次项,a为对流项系数,φ(x)为已知函数.将求解区域[b,c]等距剖分为N个子区间：b=x0,x1,···,x N−1,x N=c,并且定义h=c−bN,时间也采用等距剖分,步长用τ表示.在本文中,我们利用u ni ,u n+1i,u n+12i分别表示u在(x i,t n),(x i,t n+1)和(x i,t n+12)点处的函数值.假设方程(2.1)在点(x i,t n+12)成立,简写表示为:(∂u ∂t )n+12i+a(∂u∂x)n+12i=f n+12i.(2.4)将u n+1i 和u ni在点(x i,t n+12)处做泰勒级数展开,可得:u n+1i=u n+12i+τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i+(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.5)u ni=u n+12i−τ2(∂u∂t)n+12i+(τ2)22!(∂2u∂t2)n+12i−(τ2)33!(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4).(2.6)(2.5)-(2.6)可得:(∂u∂t)n+12i=δt u n+12i−τ224(∂3u∂t3)n+12i+O(τ4),(2.7)其中,δt u n+12i =u n+1i−u n iτ.同理可得:(∂u∂x)n+12i=δx u n+12i−h26(∂3u∂x3)n+12i+O(h4),(2.8)其中,δx u n+12i =un+12i+1−u n+12i−12h.将(2.7)和(2.8)代入(2.4)整理可得:δt u n+12i −τ224(∂3u∂t3)n+12i+aδx u n+12i−ah26(∂3u∂x3)n+12i=f n+12i+O(τ4+h4).(2.9)为了使该格式在时间方向和空间方向上均达到四阶精度,须对(2.9)式中的∂3u∂t3和∂3u∂x3项进行二阶的离散,同时为了保证本文格式的紧致性,即空间方向不超过三个网格点,我们对(2.1)式进行如下变形:∂u ∂t =−a∂u∂x+f,∂2u∂t2=a2∂2u∂x2−a∂f∂x+∂f∂t,第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式637∂3u ∂t 3=a 2∂3u ∂x 2∂t −a ∂2f ∂x∂t +∂2f ∂t 2,∂3u ∂x 3=−1a ∂3u ∂x 2∂t +1a ∂2f ∂x 2.(2.10)将上述∂3u ∂t 3和∂3u∂x 3的表达式(2.10)代入(2.9)并整理可得：δt u n +12i+aδx u n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.11)如果对上式中的δx u n +12i 项采用时间方向算术平均,即δx u n +12i =δx u n +1i+u n i 2,则会导致格式时间退化为二阶精度,为此利用(2.5)+(2.6)可得：u n +12i =12(u n +1i +u n i )−τ28(∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.12)从而可得:δx u n +12i =12δx (u n +1i +u n i )−τ28δx (∂2u ∂t2)n +12i +O (τ4).(2.13)将(2.13)代入(2.11)得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28δx (∂2u ∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+h 4).(2.14)由于δx (∂2u ∂t 2)n +12i =(∂3u ∂x∂t 2)n +12i+O (h 2),所以可得:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(∂3u ∂x∂t 2)n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t)n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).又因为∂3u ∂x∂t 2=−a ∂3u∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t ,所以有:δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )−aτ28(−a ∂3u ∂x 2∂t +∂2f ∂x∂t )n +12i +124(4h 2−a 2τ2)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i +aτ224(∂2f ∂x∂t)n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),即,δt u n +12i +a 2δx (u n +1i +u n i )+(a 2τ212+h 26)(∂3u ∂x 2∂t )n +12i −τ224(∂2f ∂t 2)n +12i −h 26(∂2f ∂x 2)n +12i −aτ212(∂2f ∂x∂t )n +12i =f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4).由于(∂3u ∂x 2∂t )n +12i=δ2x (∂u ∂t )n +12i +O (h 2),所以有:u n +1i −u n i τ+a 4h(u n +1i +1−u n +1i −1+u ni +1−u n i −1)+(h 26+a 2τ212)δ2x u n +1i −u n i τ−τ224(f n +1i −2f n +12i +f n −1i (τ2)2)−h 212[(∂2f ∂x 2)n +1i +(∂2f ∂x 2)n −1i ]−aτ12[(∂f ∂x )n +1i −(∂f ∂x)n −1i ]=f n +12i +O (τ4+τ2h 2+h 4),其中,δ2xu i =u i +1−2u i +u i −1h 2,舍去O (τ4+τ2h 2+h 4),等式两边同时乘以τ,并令λ=τ/h ,整理可得:u n +1i +aλ4(u n +1i +1−u n +1i −1)+(16+a 2λ212)(u n +1i +1−2u n +1i +u n +1i −1)638应用数学2019=u n i−aλ4(u n i +1−u n i −1)+(16+a 2λ212)(u n i +1−2u n i +u ni −1)+τ6(f n +1i −2f n +12i +f n i )+τ12(f n +1i +1−2f n +1i +f n +1i −1+f n i +1−2f n i +f n i −1)+aτλ24(f n +1i +1−f n +1i −1−f n i +1+f ni −1)+τf n +12i,即,(23−a 2λ26)u n +1i +(16+aλ4+a 2λ212)u n +1i +1+(16−aλ4+a 2λ212)u n +1i −1=(23−a 2λ26)u n i +(16−aλ4+a 2λ212)u n i +1+(16+aλ4+a 2λ212)u n i −1+(τ12+aλτ24)f n +1i +1(τ12−aλτ24)f n +1i −1+(τ12−aλτ24)f n i +1+(τ12+aλτ24)f n i −1+2τ3f n +12i .(2.15)由推导过程可知,该格式的截断误差为O (τ4+τ2h 2+h 4),即格式(2.15)在时间和空间上均可达到四阶精度.我们注意到,格式为两层格式,并且格式每层仅用到三个网格点,形成的代数方程组系数矩阵为循环三对角矩阵,可采用追赶法进行求解[8],同时由于要求未知时间层上(第n +1层)中间点的系数不能等于0,即23−a 2λ26=0,因此aλ=2.3.稳定性分析下面采用von Neumann 方法分析本文所推导的差分格式(2.15)的稳定性.对于(2.15)式,舍掉非齐次项f ,即假设f 项精确成立,令u n i =ηn e Iσx i,其中,η为振幅,σ为波数,I =√−1为虚数单位,有(23−a 2λ26)ηn +1e Iσx i +(16+aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i +1+(16−aλ4+a 2λ212)ηn +1e Iσx i −1=(23−a 2λ26)ηn e Iσx i +(16−aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i +1+(16+aλ4+a 2λ212)ηn e Iσx i −1.(3.1)两边同时约掉e Iσx i ,并整理可得：(23−a 2λ26)ηn +1+(16+a 2λ212)ηn +1(e Iσh +e −Iσh )+aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh )=(23−a 2λ26)ηn+(16+a 2λ212)ηn (e Iσh +e −Iσh )−aλ4ηn +1(e Iσh −e −Iσh ).(3.2)利用Euler 公式,即e Iσh =cos σh +I sin σh,e −Iσh =cos σh −I sin σh ,可得:(23−a 2λ26)ηn +1+[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn +1+(aλI 2sin σh )ηn +1=(23−a 2λ26)ηn +[(13+a 2λ26)cos σh ]ηn −(aλI 2sin σh )ηn .(3.3)对上式进行化简整理有[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh 2]ηn +1=[(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh 2]ηn .(3.4)从而可得格式(2.15)的误差放大因子为:G =ηn +1ηn =(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh −aλI sin σh2(23−a 2λ26)+(13+a 2λ26)cos σh +aλI sin σh2.(3.5)由von Numann 稳定性定理可知当|G |≤1时,格式是稳定的,由(3.5)可得|G |=1,因此,格式(2.15)是无条件稳定的.4.数值实验第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式639为了验证本文格式(2.15)的精确性和稳定性,现考虑以下三个具有精确解的初边值问题.分别采用Crank-Nicolson(C-N)格式,文[7]中格式和本文格式(2.15)进行计算;其中,最大绝对误差及收敛阶的定义为:L∞=maxi |u n i−u(x i,t n)|,Rate=log[L∞(h1)/L∞(h2)]log(h1/h2)L∞(h1)和L∞(h2)为空间网格步长分别为h1和h2时的最大绝对误差.问题1[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=sin[π(x−t)].表1问题1当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 2.217(-1) 4.865(-2) 1.993(-3)1/1020 5.752(-2) 1.95 1.263(-2) 1.95 1.208(-4) 4.041/2040 1.450(-2) 1.99 3.199(-3) 1.987.490(-6) 4.011/4080 3.631(-3) 2.008.038(-4) 1.99 4.672(-7) 4.001/801609.082(-4) 2.00 2.014(-4) 2.00 2.919(-8) 4.001/160320 2.271(-4) 2.00 5.041(-5) 2.00 1.824(-9) 4.00表2问题1当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文献[7]本文格式1/160.050000000.8 5.290(-2) 1.292(-2) 1.574(-5) 0.10000000 1.69.013(-2) 5.095(-2) 3.198(-3) 0.20000000 3.2 2.307(-1) 1.941(-1) 6.055(-2) 0.40000000 6.4 6.874(-1) 6.597(-1) 1.746(-2)1/320.025000000.8 1.330(-2) 3.230(-3)9.814(-7) 0.20000000 6.4 2.041(-1) 1.950(-1) 1.575(-3) 0.4000000012.8 6.668(-1) 6.601(-1) 1.916(-2)图1问题1当N=32,τ=0.03125,t=0.2时刻的数值解与精确解640应用数学2019表1给出了针对问题1三种格式在不同空间步长h下,当λ=τ/h=0.5,t=1时的最大绝对误差和收敛阶.我们发现C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,由于文[7]格式时间具有二阶精度,空间具有四阶精度,因此当取τ=O(h)时,格式空间仅有二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.图1给出N=32,τ=0.03125,t=0.2数值解与精确解对比图,可以看出数值解与精确解吻合的很好.表2给出了当h=1/16和h=1/32时,τ=λh,t=2时刻对问题1采用三种格式计算的最大绝对误差.可以看出网格比λ最大取到12.8,计算仍然是稳定的,因此本文格式是无条件稳定的.并且本文格式在所有参数下,其计算结果比C-N格式和文[7]格式计算结果更加精确.问题2[7]:∂u ∂t +∂u∂x=0,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=e cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,该问题的精确解为:u(x,t)=e cos[π(x−t)].表3问题2当λ=τ/h=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式文[7]本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate L∞误差Rate 1/510 6.754(-1) 1.428(-1) 5.567(-2)1/1020 2.310(-1) 1.55 3.099(-2) 2.20 3.041(-3) 4.191/2040 6.027(-2) 1.94 6.825(-3) 2.18 1.904(-4) 4.001/4080 1.492(-2) 2.01 1.658(-3) 2.04 1.165(-5) 4.031/80160 3.705(-3) 2.01 4.115(-4) 2.017.252(-7) 4.011/1603209.250(-4) 2.00 1.028(-4) 2.00 4.527(-8) 4.00表4问题2当τ=λh,t=2时刻的最大绝对误差hτλC-N格式文[7]本文格式1/160.050000000.8 2.171(-1) 5.372(-2) 3.897(-4) 0.10000000 1.6 3.450(-1) 2.056(-1)7.795(-3) 0.20000000 3.2 6.810(-1) 6.111(-1) 3.416(-1) 0.40000000 6.4 1.220 1.198 2.017(-1)1/320.025000000.8 5.575(-2) 1.325(-2) 2.449(-5) 0.20000000 6.4 6.302(-1) 6.109(-1) 2.350(-2) 0.4000000012.8 1.204 1.199 2.201(-1)表3和表4给出了针对问题2利用本文格式和C-N格式以及文[7]格式的计算结果.表3考察了格式的精度,表4验证了格式的稳定性.可以看出本文格式在时间和空间上均可达到四阶精度,并且是无条件稳定的.问题3∂u ∂t +a∂u∂x=f,0≤x≤2,t>0,u(x,0)=cos(πx),0≤x≤2,u(0,t)=u(2,t),t>0,f=π(1−a)sin[π(x−t)],该问题的精确解为:u(x,t)=cos[π(x−t)].第3期侯波等：求解一维对流方程的高精度紧致差分格式641表5问题3当λ=τ/h=0.5,a=0.5,t=1时刻的最大绝对误差及收敛阶h推进步数(n)C-N格式本文格式L∞误差Rate L∞误差Rate1/510 1.124(-1) 4.244(-4)1/1020 3.520(-2) 1.67 2.744(-5) 3.951/20409.957(-3) 1.82 1.739(-6) 3.981/4080 2.551(-3) 1.96 1.134(-7) 3.941/80160 6.413(-4) 1.99 1.351(-8) 3.07问题3为非齐次问题,由于文[7]的方程模型为齐次方程,不能计算非齐次问题,因此该问题我们采用本文格式和C-N进行计算和比较,表5给出了两种格式在不同空间步长h下,当t=1时的最大绝对误差和收敛阶.可以看出当λ=τ/h=0.5,a=0.5时,C-N格式在时间和空间上都为二阶精度,而本文格式时间和空间均为四阶精度.5.结论本文针对一维对流方程提出了一种两层隐式高精度紧致差分格式,时间和空间均采用泰勒级数展开法以及截断误差余项修正法进行处理,格式截断误差为O(τ4+τ2h2+h4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.并通过von Neumann方法分析得到该格式为无条件稳定的.最后通过三个数值算例验证了格式的精确性和稳定性.通过上述研究,我们可以得出如下结论:1.文献(如[10-11])中的高精度格式往往是时间多层格式,需要另外构造启动步的计算格式,如果采用低精度格式启动,必然会影响以后时间层的计算精度.而本文格式仅为两层格式,无须启动步的计算,时间即可达到四阶精度.2.文献(如[1,10-11])中的高精度格式空间方向上往往超过三个网格节点,导致靠近边界的内点计算困难,需要采用特殊处理,而本文格式仅用到三个网格节点,可以有效避免这一问题.3.尽管本文格式要求aλ=2,这是本文格式的一个缺陷,但是由于本文格式是无条件稳定的,从理论上讲可以采用任意网格比,因此可以很容易避开aλ=2的条件限制,使得这一缺陷并不太影响格式的使用.4.由于本文方法推导过程中涉及到∂2u∂t2,∂3u∂t3,∂3u∂x3的计算,需要用原方程进行多次求导并进行反复代入计算,在考虑对流项为变系数问题时,将涉及到a(x,t)关于x和t的二阶导数,由于我们考虑在时间半点处,即(x i,t n+12)处的函数值,即要用到(∂2a∂t2)n+12i,如果采用中心差分,则时间仅具有二阶精度,因此本文方法不适用于变系数问题.5.本文方法可直接推广到二维和三维问题中去,我们将另文报道.参考文献：[1]张天德,孙传灼.对流方程的差分格式[J].计算物理,1995,12(2):191-195.[2]于志玲,朱少红.关于对流方程一类三层显格式[J].南开大学学报(自然科学版),1998,31(3):27-30.[3]曾文平.解对流方程的加耗散项的差分格式[J].应用数学,2001,14(S1):154-158.[4]陆金甫,关治.偏微分方程数值解法[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]姚朝晖,张锡文,任玉新等.一种低耗散、无伪振荡的实用差分格式[J].水动力学研究与进展(A辑),2001,16(02):195-199.[6]汤寒松,张德良,李椿萱.对流方程保单调CIP格式[J].水动力学研究与进展(A辑),1997(02):181-187.[7]赵飞,蔡志权,葛永斌.一维非定常对流扩散方程的有理型高阶紧致差分公式[J].江西师范大学学报(自然科学版),2014,38(4):413-418.642应用数学2019[8]李青,王能超.解循环三对角线性方程组的追赶法[J].小型微型计算机系统,2002(23):1393-1395.[9]ERDOGAN U.Improved upwind discretization of the advection equation[J].Numer.Meth.PartDiffer.Equ.,2014,30:773-787.[10]BOURCHTEIN A,BOURCHTEIN L.Explicitfinite schemes with extended stability for advectionequations[J]put.Appl.Math.,2012,236:3591-3604.[11]KIM C.Accurate multi-level schemes for advection[J].Int.J.Numer.Methods Fluids.,2003,41:471-494.A High-Order Compact Difference Scheme for Solving the1DConvection EquationHOU Bo,GE Yongbin(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Yinchuan750021,China)Abstract:In this paper,a two-level implicit compact difference scheme for solving the one-dimensional convection equation is proposed.Taylor series expansion and correction for the third derivative in the truncation error remainder of the central difference scheme are used for the discretization of time and space.The local truncation error of the scheme is O(τ4+τ2h2+h4),i.e.,it has the fourth-order accuracy in both time and space.The unconditional stability is obtained by the von Neumann method. The accuracy and the stability of the present scheme are validated by some numerical experiments.Key words:Convection equation;High accuracy;Compact difference scheme;Unconditional sta-bility;Finite difference method。

分数阶 klein-gordon 方程分数阶Klein-Gordon方程是经典场论中重要的方程之一，描述了一个零自旋、质量m的粒子的行为。

与标准的Klein-Gordon方程不同，分数阶Klein-Gordon方程引入了分数阶导数来描述粒子的运动特征。

本文将介绍分数阶导数和分数阶Klein-Gordon方程的基本概念和数学表达式。

首先，我们来了解一下分数阶导数。

在标准的微积分中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

一阶导数代表了变化率的速度，二阶导数代表了变化率的加速度。

然而，在某些实际情况下，物理过程的变化可能不仅仅服从整数阶的导数，而是服从分数阶的导数。

分数阶导数可以用极限定义和积分定义来描述。

在极限定义中，分数阶导数是函数的分数阶差分的极限。

在积分定义中，分数阶导数是函数的分数阶积分的反函数。

在分数阶Klein-Gordon方程中，我们引入了分数阶导数来描述粒子的运动。

该方程的数学表达式可以写作：D^α ϕ + m^2 ϕ = 0其中，D^α 表示分数阶导数，ϕ表示场的波函数，m表示粒子的质量。

方程中的指数α是分数阶导数的阶数。

该方程包含了一阶导数和二阶导数的项，并且方程中的质量项是一个常数。

分数阶Klein-Gordon方程可以用来描述包括扩散和非局域行为在内的一系列物理过程。

由于分数阶导数的引入，分数阶Klein-Gordon方程的解具有一些特殊的性质。

首先，分数阶Klein-Gordon方程的解在更长的时间尺度上呈现出不同寻常的行为，比如超扩散或亚扩散行为。

其次，分数阶Klein-Gordon方程的解可以在空间中表现出非局域性，即一个点的变化会影响附近的所有点。

分数阶Klein-Gordon方程在不同的物理学领域都有重要的应用。

在量子力学中，该方程可以用来描述粒子的运动状态。

在相对论中，该方程可以用来描述场的运动行为。

在固体物理学和化学中，该方程可以用来描述材料中的电子结构和动力学行为。

龙格库塔高阶常微分方程组龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种数值解常微分方程的方法，它由卡尔·龙格（Carl Runge）和马丁·康托尔·库塔（Martin Kutta）分别独立发现。

这种方法常常被用来解决高阶常微分方程组，其优点在于精度高且适用范围广。

1. 龙格库塔法的基本原理我们来简要介绍一下龙格库塔法的基本原理。

对于一个一阶常微分方程y′=f(x,y)，我们可以通过欧拉法进行数值解，其迭代公式为y_(n+1) = y_n + hf(x_n, y_n)。

而龙格库塔法则通过多个步骤的迭代来提高精度。

常见的四阶龙格库塔法的迭代公式如下：k1 = hf(x_n, y_n)k2 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k1)k3 = hf(x_n+1/2h, y_n+1/2k2)k4 = hf(x_n+h, y_n+k3)y_(n+1) = y_n + 1/6(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)2. 高阶常微分方程组的数值解对于高阶常微分方程组，我们可以通过变量替换的方式将其转化为一组一阶微分方程，然后利用龙格库塔法进行数值解。

以二阶常微分方程为例，我们可以令y1 = y，y2 = y'，然后构造一组一阶微分方程：y1' = y2y2' = f(x,y1,y2)这样，我们就可以利用龙格库塔法对其进行数值解了。

3. 个人观点和理解在我看来，龙格库塔法是一种非常有效的数值解法，尤其适用于高阶常微分方程组。

通过多步迭代的方式，可以大大提高数值解的精度，从而在实际问题中得到更为可靠的结果。

当然，龙格库塔法也存在一定的局限性，比如对于一些特殊形式的方程可能不够有效，需要结合其他方法进行求解。

总结回顾通过本文的介绍，我们对龙格库塔法有了更深入的了解。

从基本原理到在高阶常微分方程组中的应用，我们了解了其在数值计算中的重要性。

我也分享了自己对这一方法的个人观点和理解。

《一维Sine-Gordon方程高阶紧致有限体积方法》篇一一、引言一维Sine-Gordon方程是物理学中常见的非线性偏微分方程，广泛应用于描述各种物理现象，如孤立波的传播、非线性振荡等。

求解该方程对于理解这些物理现象具有重要意义。

传统的方法包括有限差分法、有限元法等，但这些方法在处理高阶导数和边界条件时可能存在一定局限性。

近年来，高阶紧致有限体积方法因其良好的数值稳定性和高精度，在求解一维Sine-Gordon方程方面展现出优越性。

本文将介绍一种一维Sine-Gordon方程的高阶紧致有限体积方法。

二、Sine-Gordon方程及其性质一维Sine-Gordon方程是一种非线性偏微分方程，其形式为：U_t = sin(U_xx)其中，U为因变量，t为时间，x为空间坐标。

该方程具有孤立波解和非线性振荡等特性，是研究非线性物理现象的重要工具。

三、高阶紧致有限体积方法高阶紧致有限体积方法是一种基于有限体积的数值方法，其核心思想是将计算区域划分为有限个控制体积，通过在控制体积上对守恒律进行积分来求解偏微分方程。

该方法具有计算精度高、数值稳定性好等优点。

针对一维Sine-Gordon方程，我们采用高阶紧致有限体积方法进行求解。

首先，将计算区域划分为若干个等距的控制体积，每个控制体积的大小根据需求确定。

然后，在每个控制体积上对Sine-Gordon方程进行积分，得到一组离散的有限体积方程组。

接着，利用高阶紧致格式对空间导数进行离散化处理，得到高精度的数值解。

最后，通过时间迭代法求解该数值解。

四、数值实验与结果分析为了验证高阶紧致有限体积方法的有效性，我们进行了一系列的数值实验。

首先，我们设定了一组初始条件和边界条件，然后利用高阶紧致有限体积方法对一维Sine-Gordon方程进行求解。

通过与真实解进行比较，我们发现该方法具有较高的计算精度和良好的数值稳定性。

此外，我们还对不同控制体积大小和时间步长对计算结果的影响进行了分析，发现适当的选择控制体积大小和时间步长可以进一步提高计算精度和稳定性。

常微分方程边值问题解法
常微分方程边值问题解法：
常微分方程边值问题是指在一定区间内，给定一个微分方程的初始条件和边界条件，求解微分方程的解在这个区间内满足这些条件的问题。

常见的边值问题有两种类型：Dirichlet边界条件和Neumann边界条件。

解决常微分方程边值问题的方法有很多种，下面介绍其中两种常用的方法：
1. 有限差分法：
有限差分法是利用差分近似替代微分，将微分方程转化为一组代数方程。

首先将区间离散化，将连续的函数转化为离散的数值，然后利用中心差分、前向差分或后向差分的方法，将微分方程变为代数方程组，最后利用线性代数的方法求解这个方程组。

2. 有限元法：
有限元法是将区间划分为若干个小的子区间，将微分方程转化为一组局部的代数方程组，然后将这些方程组组合成整个问题的全局方程组。

有限元法可以适用于更加复杂的边值问题，但是需要更多的计算量和更高的数学水平。

总之，常微分方程边值问题的解法有很多种，需要根据具体情况选择不同的方法。