2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题(解析版)

第十五单元 直线与圆锥曲线的关系考点一 直线与椭圆的综合应用1.(2016年全国Ⅲ卷)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左焦点,A 、B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为( ).A.13B.12C.23D.34【解析】如图,由题意得A (-a ,0),B (a ,0),F (-c ,0).由PF ⊥x 轴,得P (-c,b 2a ).设E (0,m ), 由PF ∥OE ,得|MF||OE|=|AF||AO|, 则|MF|=m(a -c)a. ①又由OE ∥MF ,得12|OE||MF|=|BO||BF|,则|MF|=m(a+c)2a. ②由①②得a-c=12(a+c ),即a=3c ,∴e=c a =13. 【答案】A2.(2014年全国Ⅱ卷)设F 1、F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N. (1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且|MN|=5|F 1N|,求a ,b.【解析】(1)由c=√a 2-b 2及题设知M (c,b 2a),2b 2=3ac.将b 2=a 2-c 2代入2b 2=3ac ,解得c a =12或c a=-2(舍去).故C 的离心率为12.(2)由题意知,原点O 为F 1F 2的中点,MF 2∥y 轴, 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点, 故b 2a=4,即b 2=4a. ①由|MN|=5|F 1N|,得|DF 1|=2|F 1N|.设N (x 1,y 1),由题意知y 1<0,则 {2(−c -x 1)=c,-2y 1=2,即{x 1=−32c,y 1=−1. 代入C 的方程,得9c 24a 2+1b 2=1. ②将①及c=√a 2-b 2代入②,得9(a 2-4a)4a 2+14a =1, 解得a=7,b 2=4a=28,故a=7,b=2√7.3.(2017年全国Ⅰ卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(-1,√32),P 4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.【解析】(1)由于P 3,P 4两点关于y 轴对称,故由题设知椭圆C 经过P 3,P 4两点.又由1a 2+1b 2>1a 2+34b 2知,椭圆C 不经过点P 1,所以点P 2在椭圆C 上.因此{1b2=1,1a 2+34b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1.故C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1,k 2,如果l 与x 轴垂直,设l :x=t ,由题设知t ≠0,且|t|<2,可得A ,B 两点的坐标分别为(t,√4−t 22),(t,-√4−t 22).则k 1+k 2=√4−t 2-22t-√4−t 2+22t=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l :y=kx+m (m ≠1),将y=kx+m 代入x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由题设可知Δ=16(4k 2-m 2+1)>0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1.而k 1+k 2=y 1-1x 1+y 2-1x 2=kx 1+m -1x 1+kx 2+m -1x 2=2kx 1x 2+(m -1)(x 1+x 2)x 1x 2.由题设k 1+k 2=-1,故(2k+1)x 1x 2+(m-1)(x 1+x 2)=0. 即(2k+1)·4m 2-44k 2+1+(m-1)·-8km4k 2+1=0.解得k=-m+12. 当且仅当m>-1时,Δ>0.所以l :y=-m+12x+m ,即y+1=-m+12(x-2), 所以l 过定点(2,-1).4.(2015年全国Ⅱ卷)已知椭圆C :9x 2+y 2=m 2(m>0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M.(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)若l过点(m3,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率,若不能,说明理由.【解析】(1)根据题意,因为直线不平行于坐标轴,所以斜率k必然存在,故设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),则A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M).将y=kx+b代入9x2+y2=m2,得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故x M=x1+x22=-kbk2+9,y M=kx M+b=9bk2+9.于是直线OM的斜率k OM=y Mx M =-9k,即k OM·k=-9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)不妨设四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点(m3,m),所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,且k≠3.由(1)得OM的方程为y=-9kx.设点P的横坐标为x P.由{y=−9 k x,9x2+y2=m2,得x P2=k2m29k2+81,即x P=3√k+9.将点(m3,m)的坐标代入直线l的方程,得b=m(3-k)3,因此x M=k(k-3)m3(k2+9).四边形OAPB为平行四边形,当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M.于是±km3√k+9=2×k(k-3)m3(k2+9).解得k1=4-√7,k2=4+√7.因为k i>0,k i≠3,i=1,2,所以当l的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB为平行四边形.5.(2016年全国Ⅱ卷)已知椭圆E:x 2t +y23=1的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.【解析】(1)设M (x 1,y 1),则由题意知y 1>0. 当t=4时,椭圆E 的方程为x 24+y 23=1,A (-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线AM 的倾斜角为π4, 因此直线AM 的方程为y=x+2. 将x=y-2代入x 24+y 23=1,得7y 2-12y=0,解得y=0或y=127,所以y 1=127.因此△AMN 的面积S △AMN =2×12×127×127=14449. (2)由题意知t>3,k>0,A (-√t ,0).将直线AM 的方程y=k (x+√t )代入x 2t +y 23=1, 得(3+tk 2)x 2+2√t ·tk 2x+t 2k 2-3t=0.由x 1·(-√t )=t 2k 2-3t 3+tk 2,得x 1=√t(3-tk 2)3+tk 2,故|AM|=|x 1+√t |√1+k 2=6√t(1+k 2)3+tk 2.由题设知,直线AN 的方程为y=-1k (x+√t ),故同理可得|AN|=6k √t(1+k 2)3k 2+t.由2|AM|=|AN|, 得23+tk2=k 3k 2+t,即(k 3-2)t=3k (2k-1).当k=√23时上式不成立,因此t=3k(2k -1)k 3-2.t>3等价于k 3-2k 2+k -2k 3-2=(k -2)(k 2+1)k 3-2<0,即k -2k 3-2<0,由此得{k -2>0,k 3-2<0或{k -2<0,k 3-2>0,解得√23<k<2. 因此k 的取值范围是(√23,2).考点二 直线与抛物线的综合应用6.(2017年全国Ⅰ卷)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ).A.16B.14C.12D.10【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),D (x 3,y 3),E (x 4,y 4),直线l 1的方程为y=k 1(x-1),与抛物线方程y 2=4x 联立,得k 12x 2-(2k 12+4)x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理l 2与抛物线交点x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可得|AB|+|CD|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥2√16k 12k 22+8=16.当且仅当k 1=-k 2=1或k 1=-k 2=-1时取等号. 【答案】A7.(2015年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N 两点. (1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程.(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.【解析】(1)由题设可得M (2√a ,a ),N (-2√a ,a )或M (-2√a ,a ),N (2√a ,a ).又因为y'=x2,所以y=x 24在x=2√a 处的导数值为√a ,C 在点(2√a ,a )处的切线方程为y-a=√a (x-2√a ), 即√a x-y-a=0.y=x 24在x=-2√a 处的导数值为-√a ,C 在点(-2√a ,a )处的切线方程为y-a=-√a (x+2√a ),即√a x+y+a=0.故所求切线方程为√a x-y-a=0和√a x+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程,得x 2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-bx1+y2-b x2=2kx1x2+(a-b)(x1+x2)x1x2=k(a+b)a.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C与A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2,由{x=my+2,y2=2x,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=y122,x2=y222,故x1x2=(y1y2)24=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2=-44=-1.所以OA⊥OB,故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4,故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=√(m2+2)2+m2.由于圆M过点P(4,-2),因此AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·BP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,(也可结论:以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,直接写出)即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得,y1y2=-4,x1x2=4,所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为√10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l 的方程为2x+y-4=0,圆心M 的坐标为(94,-12),圆M 的半径为√854,圆M 的方程为(x -94)2+(y +12)2=8516.9.(2016年全国Ⅲ卷)已知抛物线C :y 2=2x 的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线l 1,l 2分别交C 于A ,B 两点,交C 的准线于P ,Q 两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR ∥FQ ;(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解析】由题意知F (12,0).设l 1:y=a ,l 2:y=b ,则ab ≠0,且A (a 22,a),B (b 22,b),P (-12,a),Q (-12,b),R (-12,a+b2). 记过A ,B 两点的直线为l , 则l 的方程为2x-(a+b )y+ab=0. (1)由于点F 在线段AB 上,故1+ab=0. 记AR 的斜率为k 1,FQ 的斜率为k 2,则k 1=a -b 1+a 2=a -ba 2-ab =1a =-ab a =-b=b -0-12-12=k 2. 所以AR ∥FQ.(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0), 则S △ABF =12|b-a||FD|=12|b-a||x 1-12|,S △PQF =|a -b|2. 由题设可得|b-a||x 1-12|=|a -b|2, 所以x 1=0(舍去)或x 1=1.设满足条件的AB 的中点为E (x ,y ), 当AB 与x 轴不垂直时, 由k AB =k DE ,可得2a+b =yx -1(x ≠1). 而a+b2=y ,所以y 2=x-1(x ≠1).当AB 与x 轴垂直时,E 与D 重合,此时E 点坐标为(1,0),满足方程y 2=x-1.故所求轨迹方程为y 2=x-1.考点三 直线、圆与圆锥曲线的综合10.(2017年全国Ⅱ卷)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :x 22+y 2=1上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x=-3上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【解析】(1)设P (x ,y ),M (x 0,y 0),则N (x 0,0),NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-x 0,y ),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,y 0). 由NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x-x 0,y )=√2(0,y 0), 即{x -x 0=0,y =√2y 0,解得{x 0=x,y 0=y 2代入椭圆方程x 022+y 02=1,得x 2+y 2=2,故点P 的轨迹方程为x 2+y 2=2.(2)由题意知F (-1,0),设Q (-3,t ),P (m ,n ),则OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,t ),PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-m ,-n ),OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+3m-tn ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ,n ),PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3-m ,t-n ). 由OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得-3m-m 2+tn-n 2=1, 又由(1)知m 2+n 2=2,故3+3m-tn=0.所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ,所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.11.(2013年全国Ⅰ卷)已知圆M :(x+1)2+y 2=1,圆N :(x-1)2+y 2=9,动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程;(2)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长时,求|AB|.【解析】由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),因为|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2√3.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则|QP||QM|=Rr1,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得√1+k =1,解得k=±√24.当k=√24时,y=√24x+√2代入x24+y23=1并整理,得7x2+8x-8=0,解得x1,2=4±6√27.所以|AB|=√1+k2|x2-x1|=187.当k=-√24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=2√3或|AB|=187.12.(2016年全国Ⅰ卷)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.【解析】(1)如图,圆A的圆心为A(-1,0),半径R=4,因为BE ∥AC ,所以∠C=∠EBD.又因为AC=AD ,所以∠C=∠EDB ,于是∠EBD=∠EDB ,所以|EB|=|ED|.故|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4为定值. 因为|AB|=2,点E 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆, 由c=1,a=2,得b 2=3,所以点E 的轨迹方程为x 24+y 23=1(y ≠0).(2)因为直线l 与x 轴不重合,故可设l 的方程为x=my+1, 过点B 且与l 垂直的直线方程为y=m (x-1).由{x 24+y 23=1,x =my +1,得(3m 2+4)y 2+6my-9=0.设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4. 得|MN|=√m 2+1·√(-6m 3m 2+4)2-4(-93m 2+4)=12(m 2+1)3m 2+4. 由{x 2+y 2+2x -15=0,y =m(x -1),得(m 2+1)x 2-2(m 2-1)x+m 2-15=0. 设P (x 3,y 3),Q (x 4,y 4),则x 3+x 4=2(m 2-1)m 2+1,x 3·x 4=m 2-15m 2+1. 得|PQ|=√m 2+1·√[2(m 2-1)m 2+1]2-4(m 2-15m 2+1)=4√3m 2+4m 2+1. 四边形MPNQ 的面积S=12|MN|·|PQ|=24√m 2+13m 2+4=24√13-13m 2+12, 因为m 2≥0,所以0<13m 2+12≤112,故12≤S<8√3.即四边形MPNQ 面积的取值范围是[12,8√3).高频考点:直线与圆锥曲线的位置关系及弦长、中点弦问题,最值、取值范围、证明问题,定点、定值、探索性问题.命题特点:主要考查解答题,分数为12分,常常以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”,结合曲线的定义及几何性质,利用待定系数法先确定曲线的标准方程,再进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等,题目综合性较强,往往与向量(共线、垂直、数量积)结合,涉及方程组的联立、根的判别式、根与系数的关系等.§15.1直线与圆锥曲线的位置关系一直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程.即{Ax+By+C=0,消去y,得ax2+bx+c=0.F(x,y)=0(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C;Δ=0⇔直线与圆锥曲线C;Δ<0⇔直线与圆锥曲线C.(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是;若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是.☞左学右考判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)直线l与双曲线C相切的充要条件是直线l与双曲线C只有一个公共点.()(2)经过抛物线上一点有且只有一条直线与抛物线有一个公共点.()(3)直线y=kx+1与椭圆x25+y29=1恒有两个公共点.()(4)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦中,最短的弦长是2p.()(5)过椭圆x2a2+y2b2=1的焦点的弦中,最短的弦长为2b2a.()二圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1k2·|y1-y2|=√1+1k2·√(y1+y2)2-4y1y2.三直线与圆锥曲线相交弦的中点问题中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.(1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论.(2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系.四辨明两个易误点(1)直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与抛物线的对称轴平行或重合时也相交于一点.若直线y=kx与双曲线x2-y2=2相交,则k的取值范围是().A.(0,1)B.(-√2,√2)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是().A.(13,-2 3 )B.(-23,1 3 )C.(12,-1 3 )D.(-13,1 2 )教材习题)点P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,又知点P在x轴的上方,F2是椭圆的右焦点,直线PF2的斜率为-4√3,则△PF1F2的面积为.知识清单一、(1)相交相切相离(2)平行平行或重合基础训练1.【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.【解析】双曲线x 2-y 2=2的渐近线方程为y=±x ,若直线与双曲线相交,由数形结合,得k ∈(-1,1).故选C . 【答案】C3.【解析】过点(0,1)的直线与抛物线相切时有两条,又与对称轴平行的直线y=1与抛物线也只有一个公共点,故满足条件的直线有3条. 【答案】C4.【解析】联立{y =x +1,x 2+2y 2=4,得x 2+2(x+1)2-4=0,即3x 2+4x-2=0,则弦的中点的横坐标为-23,纵坐标为-23+1=13,即(-23,13),故选B.【答案】B5.【解析】椭圆的标准方程为x 2100+y 264=1,则F 1(-6,0),F 2(6,0),故直线PF 2的方程为y=-4√3(x-6).将直线方程代入16x 2+25y 2=1600,得19x 2-225x+650=0,解得x 1=5或x 2=13019.当x 2=13019时,y 2<0.由x 1=5,得y 1=4√3,故S △PF 1F 2=12|F 1F 2||y 1|=12×12×4√3=24√3. 【答案】24√3题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用【例1】(2017宜昌一中检测)设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ).A.[-12,12] B.[-2,2] C .[-1,1] D.[-4,4]【解析】由题意可知y 2=8x 的准线为x=-2,所以点Q 的坐标为(-2,0).当直线l 的斜率k=0时,直线与抛物线的交点为(0,0);当直线l 的斜率k ≠0时,设直线l 的方程为y=k (x+2)(斜率k 显然存在),联立{y=k(x+2),y2=8x,得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,由Δ=[4(k2-2)]2-4×(4k2)×k2≥0,得-1≤k≤1且k≠0.综上可知,k的取值范围是[-1,1].故选C.【答案】C在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时,先联立方程组,再消去x或y,得到关于y或x的方程.如果是直【变式训练1】(1)(2017兰州检测)若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x2 9+y24=1的交点个数为().A.3B.2C.1D.0(2)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是().A.(-√153,√153)B.(0,√153)C.(-√153,0) D.(-√153,-1)【解析】(1)∵直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有交点,∴422>2,即m2+n2<4.∴m29+n24<m29+4−m24=1-5m236<1,∴点(m,n)在椭圆x29+y24=1的内部,∴过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点有2个.故选B.(2)(法一)由{y=kx+2,x2-y2=6,得(1-k2)x2-4kx-10=0,∵直线与双曲线右支有两个不同交点,∴{1−k2≠0,Δ=16k2-4(1-k2)×(-10)>0,x1+x2=4k1−k2>0,x1x2=−101−k2>0,解得-√153<k<-1.故选D .(法二)当直线与双曲线右支相切时,k=-√153,直线y=kx+2过定点(0,2),当k=-1时,直线与双曲线的渐近线平行,顺时针旋转直线y=-x+2时,直线与双曲线右支有两个交点,∴k 的取值范围为-√153<k<-1.【答案】(1)B (2)D题型二 中点问题【例2】中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2,直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点,线段AB的中点M 在第一象限,并且在抛物线y 2=2px (p>0)上,且点M 到抛物线焦点的距离为p ,则直线l 的斜率为( ).A.1 B .2C.32D .52【解析】因为中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线C 的离心率为2,所以√1+b 2a 2=2,即b a=√3,所以双曲线方程为x 2a 2-y 23a 2=1.因为第一象限内的点M 到抛物线y 2=2px 焦点的距离为p ,故点M 的坐标为(p2,p).(法一)由题意知直线l 的斜率存在,设直线l :y-p=k (x -p 2),联立{y -p =k (x -p2),x 2a2-y23a2=1,得(3-k 2)x 2-(2kp-k 2p )x-k 2p 24-p 2+kp 2-3a 2=0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2kp -k 2p 3−k 2.又因为x 1+x 22=p2, 所以2kp -k 2p 3−k2=p ,解得k=32.(法二)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),代入双曲线方程得x 12a 2-y 123a 2=1,x 22a 2-y 223a 2=1, 两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2,依题意x 1+x 2=p ,y 1+y 2=2p ,所以直线l 的斜率k=y 1-y 2x 1-x 2=3(x 1+x 2)y 1+y 2=32.故选C.【答案】C求解直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题主要有两种方法:一是联立直线与圆锥曲线方程,消去x 或【变式训练2】(1)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,准线方程为x=-1,直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点.若线段AB 的中点为(2,1),则直线l 的方程为( ).A.y=2x-3B.y=-2x+5C.y=-x+3D.y=x-1(2)已知点(4,2)是直线l 被椭圆x 236+y 29=1所截得的线段的中点,则直线l 的方程是 .【解析】(1)设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则p 2=1,所以抛物线的方程为y 2=4x.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),所以直线l 的斜率为k=y 1-y 2x 1-x 2=4y 1+y 2=2,所以直线l 的方程为y-1=2(x-2),即y=2x-3.故选A .(2)设直线l 与椭圆交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1236+y 129=1,x 2236+y 229=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x24(y 1+y 2).又因为x 1+x 2=8,y 1+y 2=4,所以y 1-y 2x 1-x 2=-12,故直线l 的方程为y-2=-12(x-4),即x+2y-8=0. 【答案】(1)A (2)x+2y-8=0题型三 弦长与面积问题【例3】(2017凉山一诊)设椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为12,E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E 的方程;(2)过点(0,2)且倾斜角为60°的直线交椭圆E 于A ,B 两点,求△AOB 的面积.【解析】(1)由题意得c a =12,且a-c=1,∴a=2,c=1.∴b 2=a 2-c 2=3,故椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)过点(0,2)的直线l 的方程为y=√3x+2,代入椭圆方程x 24+y 23=1,可得15x 2+16√3x+4=0,Δ>0恒成立.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-16√315,x 1x 2=415, ∴|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8√3315. ∵点O 到直线AB 的距离d=2√1+k =1,∴S △ABC =|AB|2d=4√3315.求弦长时可利用弦长公式,根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程,利用根与系【变式训练3】已知斜率为1的直线l 与椭圆x 24+y 2=1相交于A ,B 两点,则|AB|的最大值为( ).A.2B.4√55C.4√105D.8√105【解析】设A ,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),直线l 的方程为y=x+t ,由{x 2+4y 2=4,y =x +t,消去y ,得5x 2+8tx+4(t 2-1)=0,则x 1+x 2=-85t ,x 1x 2=4(t 2-1)5.∴|AB|=√1+k2|x1-x2|=√1+k2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2·√(-85t)2-4×4(t2-1)5=4√25·√5−t2,当t=0时,|AB|max=4√105.【答案】C方法对称问题求解策略【突破训练】(2015年浙江卷)已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+12对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).【解析】(1)(法一)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-1mx+b,由{x22+y2=1,y=−1mx+b,消去y,得(12+1m2)x2-2bmx+b2-1=0,∵直线y=-1m x+b与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点,∴Δ=-2b2+2+4m2>0,①将AB的中点M(2mbm2+2,m2bm2+2)代入直线方程y=mx+12,解得b=-m2+22m2,②由①②得m<-√63或m>√63.(法二)由题意知m≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆x22+y2=1上符合条件的两个点,M(x0,y0)是AB的中点,则x12 2+y12=1,x222+y22=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0.∴k AB=y1-y2x1-x2=-(x1+x2)2(y1+y2)=-x02y0.∵点A,B关于直线y=mx+12对称,∴k AB=-x02y0=-1m,即y0=m2x0,③又y0=mx0+12,④由③④得x0=1m,y0=12.∵点M(x0,y0)在椭圆内部,∴x022+y02<1,即m2>23,∴m<-√63或m>√63.(2)令t=1m∈(-√62,0)∪(0,√62),则|AB|=√t2+1·√-2t4+2t2+32t2+12,且点O到直线AB的距离为d=t2+12√2.设△AOB的面积为S(t),∴S(t)=12|AB|·d=12√-2(t2-12)2+2≤√22,当且仅当t2=12时,等号成立,故△AOB面积的最大值为√22.1.(2017山西质检)设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为().A.p2B.pC.2pD.无法确定【解析】当弦AB 垂直于对称轴时,|AB|最短,此时x=p 2,∴y=±p ,|AB|min =2p.故选C. 【答案】C2.(2017福州质检)抛物线C 的顶点为原点,焦点在x 轴上,直线x-y=0与抛物线C 交于A ,B 两点,若P (1,1)为线段AB 的中点,则抛物线C 的方程为( ).A.y=2x 2B.y 2=2x C.x 2=2yD.y 2=-2x【解析】A ,B 两点其中一个点的坐标是(0,0),由AB 的中点坐标为(1,1),可知另一个点的坐标为(2,2),代入y 2=2px 中,可得p=1,所以抛物线C 的方程为y 2=2x.【答案】B3.(2017赣州二模)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与抛物线y=x 2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为( ).A.54B.5C.√52D.√5【解析】双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线为y=ba x ,联立方程组{y =b ax,y =x 2+1,消去y ,得x 2-ba x+1=0.因为方程有唯一的解,所以Δ=(b a)2-4=0,得b a=2.所以e=c a =√a 2+b2a=√1+(b a)2=√5.选D.【答案】D4.(2017太原一模)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点,若|AB |=6,则△AOB 的面积为( ).A.√6B.2√2C.2√3D.4【解析】设直线AB 的方程为y=k (x-1), 与抛物线方程联立可得y 2-4ky-4=0,则|y 1-y 2|=4√1+1k 2.由弦长公式可得√1+1k2|y 1-y 2|=4(1+1k2)=6,∴k2=2.∴S △AOB =12×|OF |×|y 1-y 2|=12×1×2√6=√6.故选A.【答案】A5.(2017山东质检)已知双曲线C :x 24-y 25=1的右焦点为F ,过点F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,若|AB|=5,则满足条件的l 的条数为 .【解析】因为a 2=4,b 2=5,c 2=9,所以F (3,0).若点A ,B 都在双曲线的右支上,当AB 垂直于x 轴时,将x=3代入x 24-y 25=1,得y=±52,所以|AB|=5,满足题意;若点A ,B 分别在双曲线的两支上,因为a=2,所以两个顶点的距离为2+2=4<5,所以满足|AB|=5的直线有2条,且关于x 轴对称.综上可知,一共有3条.【答案】36.(2017南昌月考)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)与斜率为1的直线交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(4,1),则该双曲线的渐近线方程是 .【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减并整理,得y 2-y 1x 2-x 1=b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=4b 2a 2.∵k=1,∴4b 2a 2=1,∴b a =±12.故双曲线的渐近线方程为y=±12x.【答案】y=±12x7.(2017年北京卷)已知抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1).过点(0,12)作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ,N ,过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ,ON 交于点A ,B ,其中O 为原点. (1)求抛物线C 的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:A 为线段BM 的中点.【解析】(1)由抛物线C :y 2=2px 过点P (1,1),得p=12.所以抛物线C 的方程为y 2=x ,其焦点坐标为(14,0),准线方程为x=-14.(2)(法一)由题意,设直线l 的方程为y=kx+12(k ≠0),l 与抛物线C 的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由{y =kx +12,y 2=x,得4k 2x 2+(4k-4)x+1=0,则x 1+x 2=1−k k2,x 1x 2=14k 2.因为点P 的坐标为(1,1),所以直线OP 的方程为y=x ,点A 的坐标为(x 1,y 1). 因为直线ON 的方程为y=y2x 2x ,所以点B 的坐标为(x 1,y 2x 1x 2).因为y 1+y 2x 1x 2-2x 1=y 1x 2+y 2x 1-2x 1x 2x 2=(kx 1+12)x 2+(kx 2+12)x 1-2x 1x 2x 2=(2k -2)x 1x 2+12(x 1+x 2)x 2=(2k -2)×14k 2+1−k2k2x 2=0,所以y 1+y 2x 1x 2=2x 1.故A 为线段BM 的中点.(法二)要证A 为BM 的中点,且x A ,x B ,x M 相同,只需证2y A =y M +y B ,等式两边同时除以x M ,则有2k OA =k OM +k ON . 因为k OM +k ON =y1x 1+y2x 2=y 1x 2+y 2x 1x 1x 2=(kx 1+12)x 2+(kx 2+12)x 1x 1x 2=2kx 1x 2+12(x 1+x 2)x 1x 2=2k+14k 2+12×1−kk 214k 2=2.又k OA =k OP =1,所以等式成立,即A 为线段BM 的中点.8.(2015年四川卷)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ).A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4) 【解析】如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0), 则{y 12=4x 1,y 22=4x 2,两式相减,得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2).当l 的斜率k 不存在时,符合条件的直线l 必有两条. 当k 存在时,x 1≠x 2,则有y 1+y 22·y 1-y 2x 1-x 2=2,又y 1+y 2=2y 0,所以y 0k=2. 由CM ⊥AB ,得k ·y 0-0x 0-5=-1,即y 0k=5-x 0,因此2=5-x 0,x 0=3,即点M 必在直线x=3上.将点x=3代入y 2=4x ,得y 2=12,则有-2√3<y 0<2√3.因为点M 在圆上,所以(x 0-5)2+y 02=r 2,故r 2=y 02+4<12+4=16.又y 02+4>4(为保证有4条,当k 存在时,y 0≠0),所以4<r 2<16,即2<r<4,故选D.【答案】D9.(2017岳阳二模)直线3x-4y+4=0与抛物线x 2=4y 、圆x 2+(y-1)2=1从左至右的交点依次为A ,B ,C ,D ,则|CD||AB|的值为 .【解析】如图,抛物线x 2=4y 的焦点为F (0,1),直线3x-4y+4=0过点(0,1).设A (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由{x 2=4y,3x -4y +4=0,得4y 2-17y+4=0,解得y 1=14,y 2=4.∴A (-1,14),D (4,4),∴|AF|=54,|DF|=5,∴|CD||AB|=|DF|-1|AF|-1=5−154-1=16.【答案】1610.(2017湖南联考)已知点N (1,2),过点N 的直线交双曲线x 2-y 22=1于A ,B 两点,且ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则直线AB的方程为 .【解析】由题意知直线AB 的斜率存在,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),∴N 是AB 的中点,∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=4.∵x 12-y 122=1,x 22-y 222=1,两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2=2(x 1+x 2)y 1+y 2=1. ∴直线AB 的方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.【答案】x-y+1=011.(2017咸阳市模拟)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为12,点A 在椭圆C 上,|AF 1|=2,∠F 1AF 2=60°,过点F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,N 为PQ 的中点. (1)求椭圆C 的方程;(2)已知点M (0,18),且MN ⊥PQ ,求直线MN 所在的直线方程.【解析】(1)由e=12,得a=2c ,因为|AF 1|=2,|AF 2|=2a-2, 由余弦定理得|AF 1|2+|AF 2| 2-2|AF 1|·|AF 2|cos A=|F 1F 2|2,解得c=1,a=2,所以b 2=a 2-c 2=3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)因为直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程为y=k (x-1),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立{y =k(x -1),x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0. 则x 1+x 2=8k 23+4k 2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)-2k=-6k3+4k 2.此时N (4k 23+4k2,-3k3+4k2),又M (0,18),则k MN =18+3k 3+4k 20−4k23+4k2=-24k+3+4k 232k 2. 因为MN ⊥PQ ,所以k MN =-1k ,得k=12或k=32.则k MN =-2或k MN =-23.所以直线MN 的方程为16x+8y-1=0或16x+24y-3=0.12.(2017青岛市质检)已知椭圆Γ:x 2a2+y 2=1(a>1)的左焦点为F 1,右顶点为A 1,上顶点为B 1,过F 1,A 1,B 1三点的圆P 的圆心坐标为(√3-√22,1−√62).(1)求椭圆的方程;(2)若直线l :y=kx+m (k ,m 为常数,k ≠0)与椭圆Γ交于不同的两点M 和N. ①当直线l 过点E (1,0),且EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2EN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0时,求直线l 的方程; ②当坐标原点O 到直线l 的距离为√32,且△MON 的面积为√32时,求直线l 的倾斜角.【解析】(1)∵A 1(a ,0),B 1(0,1),∴A 1B 1的中点为(a 2,12),A 1B 1的斜率为-1a,∴A 1B 1的垂直平分线方程为y-12=a (x -a2).∵圆P 过点F 1,A 1,B 1三点,∴圆心P 在A 1B 1的垂直平分线上. ∴1−√62-12=a (√3-√22-a2),解得a=√3或a=-√2(舍去).∴椭圆的方程为x 23+y 2=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{x 23+y 2=1,y =kx +m,可得(3k 2+1)y 2-2my+m 2-3k 2=0,∴y 1+y 2=2m3k 2+1,y 1y 2=m 2-3k 23k 2+1. ③①∵直线l 过点E (1,0),∴k+m=0. ④∵EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴(x 1-1,y 1)+2(x 2-1,y 2)=(0,0).∴y 1+2y 2=0. ⑤由③④⑤可得,k=1,m=-1或k=-1,m=1.∴直线l 的方程为y=x-1或y=-x+1. ②∵坐标原点O 到直线l 的距离为√32, ∴|m|√k +1=√32⇒m 2=34(k 2+1). ⑥结合③得|MN|=√1+1k 2|y 2-y 1|=√1+1k2×√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√1+1k2×√(2m3k 2+1)2-4×m 2-3k 23k 2+1, ⑦由⑥⑦得|MN|=√3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2,∴S △MON =12|MN|×√32=√34√3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2.∵△MON 的面积为√32,∴√34√3(k 2+1)(9k 2+1)(3k 2+1)2=√32,解得k=±√33.设直线l 的倾斜角为θ,则tan θ=±√33,∵0≤θ<π,∴θ=π6或θ=5π6.§15.2 直线与椭圆的综合应用一椭圆的焦点弦1.a+c与a-c分别为椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值.,是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得的弦长2.椭圆的通径(过焦点垂直于长轴的弦)长2b2a的最小值.二直线与椭圆的位置关系的研究方法1.弦长问题,应用弦长公式及韦达定理,设而不求;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线的定义的运用,以简化运算.2.中点弦问题,除了利用韦达定理外,要注意灵活运用“点差法”,设而不求,简化运算.3.定值问题,常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无关.也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明.4.定点问题,常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求出定点.也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明.5.范围(最值)问题:(1)利用判别式构造不等关系,确定参数的取值范围(最值);(2)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,求出参数的取值范围(最值);(3)利用基本不等式,求出参数的取值范围(最值);(4)利用函数的值域,确定目标变量的取值范围(最值);(5)利用几何图形中的边角大小关系,确定参数的取值范围(最值).☞左学右考已知经过点(0,√2)且斜率为k的直线l与椭圆x 22+y2=1有两个不同的交点P和Q,则k的取值范围是().A.(-√22,√22) B.(-∞,-√22)∪(√22,+∞)C.(-√2,√2)D.(-∞,-√2)∪(√2,+∞)已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C ().A.√55B.√105C.2√55D.2√105若点O和点F分别为椭圆x 29+y28=1的中心点和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为.已知椭圆C的方程为x 24+y23=1,A、B为椭圆C的左、右顶点,P为椭圆C上不同于A、B的动点,直线x=4与直线PA、PB分别交于M、N两点.若点D(7,0),则过D、M、N三点的圆必过x轴上不同于点D的定点,其坐标为.基础训练1.【解析】由题意得,直线l的方程为y=kx+√2,代入椭圆方程并整理,得(12+k2)x2+2√2kx+1=0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4(12+k2)=4k2-2>0,解得k<-√22或k>√22,即k的取值范围为(-∞,-√2 2)∪(√22,+∞).故选B.【答案】B2.【解析】点A (-1,0)关于直线l 的对称点为A'(-3,2),连接A'B 交直线l 于点P ,则椭圆C 的长轴长的最小值为|A'B|=2√5,所以椭圆C 的离心率的最大值为c a =√5=√55,故选A. 【答案】A3.【解析】设P (x ,y )(-3≤x ≤3,-2√2≤y ≤2√2)为椭圆x 29+y 28=1上的任意一点,依题意得左焦点F (-1,0),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+1,y ),∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP⃗⃗⃗⃗⃗ =x (x+1)+y 2=x 2+x+72−8x 29=19(x +92)2+234. ∵-3≤x ≤3,∴32≤x+92≤152,∴94≤(x +92)2≤2254. ∴14≤19(x +92)2≤254,∴6≤19(x +92)2+234≤12,即6≤OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤12.故最小值为6. 【答案】64.【解析】设点P (x 0,y 0),M (4,y M ),N (4,y N ),则直线PA 、PB 所在的直线方程分别为y=y 0x 0+2(x+2)、y=y 0x 0-2(x-2),依题意,可求得y M =6y 0x 0+2,y N =2y 0x 0-2.∵DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,y M ),DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,y N ),∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9+12y 02x 02-4.又x 024+y 023=1,∴12-3x 02=4y 02,即12y 02x 02-4=-9,∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴MN 为过D 、M 、N 三点的圆的直径.设定点为E (t ,0),则MN 为线段DE 的垂直平分线,∴7+t2=4,解得t=1,故定点坐标为(1,0).【答案】(1,0)题型一 椭圆中的定值问题【例1】(2015年四川卷)如图,椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率是√22,点P (0,1)在短轴CD 上,且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1.(1)求椭圆E 的方程.(2)设O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭圆交于A ,B 两点.是否存在常数λ,使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意得,点C ,D 的坐标分别为(0,-b ),(0,b ), 又点P 的坐标为(0,1),且PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1,所以{1−b 2=−1,c a=√22,a 2-b 2=c 2,解得{a =2,b =√2,所以椭圆E 的方程为x 24+y 22=1.(2)当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立{x 24+y 22=1,y =kx +1,得(2k 2+1)x 2+4kx-2=0.其判别式Δ=(4k )2+8(2k 2+1)>0, 所以x 1+x 2=-4k2k 2+1,x 1x 2=-22k 2+1.从而OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =(-2λ-4)k 2+(−2λ-1)2k 2+1=-λ-12k 2+1-λ-2,所以当λ=1时,-λ-12k 2+1-λ-2=-3,此时OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3为定值. 当直线AB 的斜率不存在时,直线AB 即为直线CD ,。

第三章 解析几何专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律. 一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题； 二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求角． (2)当a ，b 不共线时，有〈a ，b 〉为：直角⇔a ·b ＝0；钝角⇔a ·b <0(且a ，b 不反向)；锐角⇔a ·b >0(且a ，b 不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1.（2019·浙江温州中学高三月考）设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C 【解析】设P 在平面ABCD 的投影为1P ，平面1D PM 与平面ABCD 所成的锐二面角为α 则11cos MDP D PMS S α∆∆=M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ，平面1D PM 与面11BCC B 所成的锐二面角为β则11cos CPM D PMS S β∆∆=故1111MDP CPM D PMD PMS S S S ∆∆∆∆=即11MDP CPM S S ∆∆=得到111125,522C M h h ⨯⨯=⨯⨯= 即P 到直线11C M 的距离为定值，故P 在与11C M 平行的直线上 又点P 在面11BCC B 上，故轨迹为一条线段. 故答案选C例2.（2019·四川石室中学高三开学考试（文））设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为,,A B P 是双曲线上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A.312+ B.52C.3D.5【答案】D 【解析】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，可得2222002()x a y b a-=， 则0000,y y m n x a x a ==+-，所以2202220y b mn x a a ==-， 所以()22222222323ln ln 323ln 33b b b b b mn mn m n a a a a a ⎛⎫⎛⎫+--+=+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23223()26ln 3b b b b a a a a=⋅+⨯-⨯-，设0b t a =>，则322()326ln 3f t t t t t =+--， 则322262436(2)(23)()324t t t t t f t t t t t t-+--+'=+--==， 当(0,2)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减； 当(2,)t ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增， 所以当2t =时，函数()f t 取得最小值，即当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，2b a =， 所以双曲线的离心率为2222215c a b b e a a a+===+=，故选D ． 例3.（2019·全国高考真题（文））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D 【解析】 由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒， 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，故选D ． 例4.（2018·全国高考真题（理））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680， 解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D.例5.（四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【答案】（1） ； （2）2 .【解析】 (1)设，由已知得． 所以，，．再由题意可知(＋)·，即所以曲线的方程为 .(2)设为曲线：上一点，因为所以的斜率为.因此直线的方程为即则点到的距离.又所以当时取等号，所以点到距离的最小值为2.例6.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期第二次月考）设，分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）-2;1；（2）【解析】（1）易知，，，所以，，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立消去，整理得，所以由得又所以又因为，即，所以故由①，②得例7.（江西师范大学附属中学2018届10月月考）在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹C的方程；（2）设为曲线C上一点，直线过点且与曲线C在点处的切线垂直，与C的另一个交点为，若以线段为直径的圆经过原点，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设A（a，0），M（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b∵，∴有a（x﹣a）+y=0∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0即C的方程是y=2x2；（Ⅱ）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=∴直线l的方程为y﹣2m2=（x﹣m）与y=2x2联立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与x R，且mx R=﹣m2﹣∴（2m2）y R=4（﹣m2﹣）2∵，∴mx R+（2m2）y R=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±∴直线l的方程为．例8.（江苏省苏州市2018届高三上期末）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B ，C （C 在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】 (1)由题意知，且，又，．解得，所以，所以椭圆的方程为． (2)设，又，则： ，，．所以，有． 又，所以．所以． 即，又，解得或． 又，所以．又．所以，即．所以．又由题意知，所以．【压轴训练】1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A.1 B.3C.19D.49【答案】A 【解析】试题分析：由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即222242149a b a b +=+⇒+=，所以222222222222221111(4)1414()[5][52]1999a b a b a b a b a b b a b a++=+=++≥+⋅=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A.2．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是（ ） A ．112B ．6C ．8D ．212【答案】A 【解析】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，1695AB =+= 直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设()cos ,1sin P q q +∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ= ∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A3．（2008·全国高考真题（理））若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A.221a b +≤ B.221a b +≥C.22111a b +≤D.22111a b+≥ 【答案】D 【解析】依题意可得，M 点在单位圆上，所以直线1x ya b+=与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离221111d a b =≤+，即22111a b +≥，故选D 4.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.5.（四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2019届高三第一次调研）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，可得，，，，，故选C.方法二：利用椭圆性质可得6.（2018届北京市城六区高三一模）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是（ ）A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M 在圆C 1上，点N 在圆C 2上，∴∠MON ≥90°， ∴≤0， 又OM ≤+1，ON ≤+1， ∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A 正确；设M （1+cosα，1+sinα）， N （﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；∵两圆外离，半径均为1，|C 1C 2|=2，∴2﹣2≤|MN |≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C 正确；∵﹣1≤|OM |≤+1，-1≤|ON |≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D 正确．故选B ．7.（2018届四川省蓉城名校高三4月联考）已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，则CM u u u u v的最小值为（ ）A. 22B. 23C. 4D. 25【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0-，， 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，即CM 为圆1C 的切线，要CM u u u u v 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则 ()222222010001511025391164x CM CC x y x x ⎛⎫=-=++-=+++-- ⎪⎝⎭u u u u ru u u u v20002510641,88,64x x x =++--≤≤Q ()()2min 2581086412 2.64CM -∴==+⨯-+-=u u u u r ，选A. 8．（2019·天津高三开学考试）设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(]0,2x ∈时，()22f x x x =-，()()2,010.5,12k x x g x x ⎧+<≤=⎨<≤⎩，设函数()()()h x f x g x =+，若在区间(]0,13x ∈上，函数()h x 有11个零点，则k 的取值范围是______. 【答案】21,43⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦【解析】令()()()h x f x g x =+=0，所以()()f x g x =-在区间(]0,13x ∈上，函数()f x x y 和=-g()的图像有11个交点，()()2,010.5,12k x x y g x x ⎧-+<≤=-=⎨-<≤⎩作出函数()f x 与()y g x =-的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122y g x x =-=-<„，34x <„，56x <„，78910,1112x x x <<≤<≤，）„仅有3个实数根；所以要使关于x 的方程()()f x g x =-有8个不同的实数根，则2()2y f x x x ==-，(0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点， 由(1,0)到直线+20kx y k +=的距离为1，得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =-<，Q 两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k -=，所以13k =- ∴2143k -<≤-．故答案为：21,43⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦. 9．（2019·云南师大附中高三月考（文））边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】 【解析】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ，则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π.10．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P 到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q 到直线的距离为，故答案为：．11．（2019·山东高三月考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l .若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF-=，则抛物线C 的标准方程为____.【答案】22y x = 【解析】如图所示，设(0)2AFO παα∠=<<，过点B 作BB l '⊥于点B '，由抛物线的定义知，BF BB ='，FC p =，ABB AFO α∠=∠='；在Rt AB B '∆中，cos BB BF ABABα=='，cos BF AB α=，从而(1cos )AF BF AB AB α=+=+；又1AF AF BF-=，所以(1cos )1cos AB AF AB αα+-=，即1cos 1cos AF αα+-=，所以1cos AF α=；在Rt AFC ∆中，cos CF pAFAFα==，cos p AF α=， 所以1·cos 1cos p αα==， 所以抛物线C 的标准方程为22y x =． 故答案为：22y x =．12．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，由0AB CD ⋅=u u u v u u u v得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-， 因为0a >，所以 3.a =13.（2019·江苏高三月考）设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______. 【答案】22【解析】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ， 又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b +=， 所以2222222222414()4193⎛⎫=+=++=+++≥= ⎪⎝⎭a b AB a b a b ab b a ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为1222===c e a . 故答案为2214.（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若EF 为圆22:(1)1+-=N x y 的任一条直径，求PE PF u u u v u u u v⋅的最小值．【答案】（1）2211612x y +=（2）1243-【解析】（1）设(),P x y ，则()8,Q y ()2,PC x y ∴=--u u u v ，()8,0PQ x =-u u u v221110224PC PQ PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u uv u u u v u u u v u u u v u u u u v v Q()()22212804x y x ∴-+--=，整理可得：2211612x y +=P ∴的轨迹方程为：2211612x y += （2）由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，则,E F 关于()0,1对称 设(),P x y ，()cos ,1sin E θθ+ ()cos ,1sin F θθ∴--()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-u u u v ，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+-u u u v()()222222cos 1sin 11PE PF x y x y θθ∴⋅=-+--=+--u u u v u u u v∴要求PE PF u u u v u u u v⋅得最小值，只需求解出点P 到点()0,1的距离d 的平方的最小值设()4cos ,23sin P αα()222216cos 23sin 14sin 43sin 17d αααα=+-=--+[]sin 1,1α∈-Q ∴当sin 1α=时，2d 取最小值：1343-()2min min1134311243PE PFd ∴⋅=-=--=-u u u v u u u v15．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+321（百米）.【解析】解法一：（1）过A作AE BD⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6,8DE BE AC AE CD=====.因为PB⊥AB，所以84cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321. 因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115P B =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求. 当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=+--=+.4321(13)17321因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17321+（百米）.16.（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】（1），所以从而的方程为.（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，所以，，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，，..综上，存在使得为定值.17.（河北省衡水金卷2018年调研卷（二））已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1);(2)见解析. 【解析】(1)设，由题得 又， ∴，， 由， 得，即， ∴轨迹的方程为. （2）设点，， 由，得， ∴， ∴直线的方程为令，可得， ∴点的坐标为， ∴，（*）要使方程（*）对恒成立，则必有解得. 即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为. 18. （2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-=【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=， 则124x x k +=，128x x =-， 又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=. （2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r 又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.。

2020年高考数学精选专题（含答案详解）一、解答题（共15题；共145分）1.已知直线l1:3x−y−6=0与x轴，y轴分别交于A，B，线段AB的中垂线l2与抛物线E:y2=2px(p>0)有两个不同的交点C、D．（1）求p的取值范围；（2）是否存在p，使得A，B，C，D四点共圆，若存在，请求出p的值，若不存在，请说明理由．2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2，离心率为√32，过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点，且ΔMNF2的周长为16（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+m与椭圆C分别交于A,B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．3.已知点A,B的坐标为(−√2,0)，(√2,0)，直线AE，BE相交于点E，且它们的斜率之积是−12．（1）求点E的轨迹方程；（2）设O为坐标原点，过点F(−1,0)的直线l与点E的轨迹交于M,N两点，求△MON的面积的最大值．4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P(1,32)在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．5.已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为（0,1）（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l2：y＝kx+m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝﹣1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点F到右准线的距离为3．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为√14，求△OPQ 的面积．7.如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上顶点为A(0,1)，离心率为√22.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2（圆M在椭圆C内）的两条切线分别与椭圆C相交于B，D 两点(B，D不同于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.8.已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求ΔAOB面积的最大值（O为坐标原点）．9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，点(2,√2)在C上（1）求C的方程（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴顶点分别为A,B,且短轴长为2,T为椭圆上异于A,B的任意-一点,直线TA,TB的斜率之积为−13（1）求椭圆C的方程;（2）设O为坐标原点,圆O:x2+y2=34的切线l与椭圆C相交于P,Q两点,求△POQ面积的最大值.11.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点是F1(−1,0)，F2(1,0)，且过点A(1,√22)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F1的直线l与椭圆C相交于B、D两点，O为坐标原点．问椭圆C上是否存在点P，使线段BD和线段OP相互平分？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,F1,F2为C的左､右焦点,M为C上任意一点, SΔMF1F2最大值为1.（1）求椭圆C的方程;（2）不过点F2的直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A,B两点.①若k2=12,且S△AOB=√22,求m的值.②若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.13.已知点M(−1,0),N(1,0)，若点P(x,y)满足|PM|+|PN|=4.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）过点Q(−√3,0)的直线l与（Ⅰ）中曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线l的方程.14.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右顶点A(2,0)，且离心率为√32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点O的直线l与椭圆C交于两点P、Q，直线AP和AQ分别与直线x=4交于点M、N，求ΔAPQ与ΔAMN面积之和的最小值.15.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0.焦点为F(1,1).（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标(x,y)都满足方程：x2−2xy+y2−8x−8y=0;（2）请求出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.一、解答题1.【答案】 （1）解：因为直线 l 1:3x −y −6=0 与 x 轴， y 轴分别交于 A ， B . 所以 A(2,0) ， B(0,−6) ，所以线段 AB 的中点为 (1,−3) ， k AB =3 ，所以线段 AB 的中垂线 l 2 的方程为 y +3=−13(x −1) ，即 x +3y +8=0 . 将 x =−3y −8 代入 E:y 2=2px(p >0) ， 得 y 2+6py +16p =0 ，因为 l 2 与 E 有两个不同的交点 C ， D . 所以 Δ=36p 2−4×16p >0 ， 又 p >0 ，所以 p >169，即 p 的取值范围为 (169,+∞) .（2）解：若 A ， B ， C ， D 四点共圆，由对称性可知，圆心应为线段 CD 的中点， 设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ， 则 {y 1+y 2=−6py 1y 2=16p ， 所以 y 0=y 1+y 22=−3p ， x 0=−3y 0−8=9p −8 ，|CD|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+(−3)2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =√10⋅√36p 2−4×16p =2√10⋅√9p 2−16p若 A ， B ，C ， D 四点共圆，则 |MA|=12|CD| ，即 |MA|2=14|CD|2 ，所以 (x 0−2)2+y 02=14×40(9p 2−16p) . 所以 (9p −10)2+9p 2=90p 2−160p ，解得 p =5 ， 又 p =5 满足 p >169，所以存在 p =5 ，使得 A ， B ，C ， D 四点共圆.【解析】【分析】（1）求出 A,B 两点坐标，得出其中垂线方程为 x +3y +8=0 ，与抛物线方程联立根据 Δ>0 即可得结果；（2）设 C(x 1,y 1) ， D(x 2,y 2) ，线段 CD 的中点为 M(x 0,y 0) ，将（1）和韦达定理可得 M(9p −8,−3p) ， |CD|=2√10⋅√9p 2−16p ，结合四点共圆的特征得 |MA|2=14|CD|2 ，代入两点间距离公式可解得 p 的值. 2.【答案】 （1）解：由椭圆定义知： ΔMNF 2 的周长为： 4a =16 ⇒a =4 由椭圆离心率： e =ca=√32 ⇒c =2√3 ， b 2=c 2−a 2=4 ∴ 椭圆 C 的方程：x 216+y 24=1（2）解：由题意，直线 AB 斜率存在，直线 AB 的方程为： y =kx +m设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2)联立方程 {y =kx +mx 216+y 24=1 ，消去 y 得： (1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−16=0 由已知 Δ>0 ，且 x 1+x 2=−8km4k 2+1 ， x 1x 2=4m 2−164k 2+1由 OA ⊥OB ，即 OA⇀⋅OB ⇀=0 得： x 1x 2+y 1y 2=0 即： x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=x 1x 2+k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0 ∴(k 2+1)4m 2−164k 2+1+km ⋅−8km 4k 2+1+m 2=0 ，整理得： 5m 2=16(1+k 2) ，满足 Δ>0∴ 点 O 到直线 AB 的距离： d =√1+k2=4√55为定值【解析】【分析】（1）由 ΔMNF 2 周长可求得 a =4 ，利用离心率求得 c =2√3 ，从而 b 2=c 2−a 2=4 ，从而得到椭圆方程；（2）直线 AB 方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；利用垂直关系可构造方程 x 1x 2+y 1y 2=0 ，代入韦达定理整理可得 5m 2=16(1+k 2) ；利用点到直线距离公式表示出所求距离 d ，化简可得结果.3.【答案】 （1）解：设 E(x,y) ，因为 A(−√2,0) ，所以直线 AE 的斜率 k AE =x+√2≠−√2) ， 同理直线 BE 的斜率 k BE =x−√2≠√2) ， 由已知有 x+√2×x−√2−12(x ≠±√2) ， 化简得 E 的轨迹方程为 x 22+y 2=1 (x ≠±√2) .（2）解：设过 F(−1,0) 的直线方程为 x =my −1 ，设 M(x 1,y 1) ， N(x 2,y 2) 联立直线与椭圆的方程，化简得 (m 2+2)y 2−2my −1=0 ，显然 Δ>0 ． y 1+y 2=2mm 2+2 ， y 1y 2=−1m 2+2 ，从而， |y 1−y 2|=√(2mm 2+2)2+4m 2+2=2√2(m 2+1)(m 2+2)2.所以 S △MON =12|OF|·|y 1−y 2|=√2√(m 2+2)−1(m 2+2)2，令 t =m 2+2≥2 ，则 S =√2·√−1t 2+1t =√2·√−(1t −12)2+14≤√22，当 t =2 ，即 m =0 时取等号.所以 △MON 面积的最大值为 √22.【解析】【分析】（1）设 E(x,y) ，根据斜率关系列方程化简即可；（2）设直线方程，并与曲线方程联立，求出两根之和两根之积，把面积用其表示出来，再借助于二次函数在区间上的最值求解方法即可得到结论．4.【答案】 （1）解：由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2＋1，① 又点P (1,32) 在椭圆C 上，所以 1a 2 ＋ 94b 2 ＝1，② 由①②可解得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为 x 24＋y 23＝1.（2）解：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），由 {y =kx +2x 24+y 23=1 得（4k 2＋3）x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝16（12k 2－3）＞0，所以k 2＞ 14 ，则x 1＋x 2＝ −16k4k +3 ，x 1x 2＝ 44k 2+3 .因为∠AOB 为锐角，所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞0，即x 1x 2＋y 1y 2＞0，所以x 1x 2＋（kx 1＋2）（kx 2＋2）＞0， 所以（1＋k 2）x 1x 2＋2k （x 1＋x 2）＋4＞0，即（1＋k 2）· 44k 2+3 ＋2k · −16k4k 2+3 ＋4＞0， 解得k 2＜ 43 .又k 2＞ 14 ，所以 14 ＜k 2＜ 43 ，解得－ 2√33＜k ＜－ 12 或 12 ＜k ＜2√33.所以直线l 的斜率k 的取值范围为 (−2√33,−12) ∪ (12,2√33)【解析】【分析】（1）由c ＝1得a 2＝b 2＋1，再代入P 点坐标可求得a ,b ；（2）设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A （x 1 ， y 1），B （x 2 ， y 2），直线方程与椭圆方程联立消元得 x 的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得 x 1+x 2,x 1x 2 ，条件∠AOB 为锐角对应 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 ，代入 x 1+x 2,x 1x 2 后可求得 k 的范围．5.【答案】 （1）解：由题意， p2=1 ， 所以p ＝2，∴抛物线C 的方程为：x 2＝4y（2）解：由 {x 2=4yy =kx +m得x 2﹣4kx ﹣4m ＝0（*），由直线y ＝kx +m 与抛物线C 只有一个公共点，可得 Δ=0 ，解得m ＝﹣k 2 ， 代入到（*）式得x ＝2k ， ∴P （2k ,k 2），当y ＝﹣1时，代入到y ＝kx ﹣k 2 得Q （ k −1k ，−1 ）， ∴以PQ 为直径的圆的方程为：(x −2k)[x −(k −1k )]+(y −k 2)(y +1)=0 ，整理得： (1−y)k 2−3x ⋅k +x ⋅1k +(x 2+y 2+y −2)=0 ， 若圆恒过定点，则 {1−y =0−3x =0x =0x 2+y 2+y −2=0 ， 解得 {x =0y =1， ∴存在点N （0,1），使得以PQ 为直径的圆恒过点N ．【解析】【分析】（1）根据抛物线的交点坐标，即可得到 p ，从而求得抛物线方程；（2）根据抛物线与直线相切，求得切点的坐标，以及 k,m 之间的等量关系，再求出点 Q 的坐标，从而写出圆的方程，再求圆恒过的定点即可.6.【答案】 （1）解：由题意知 c a =12 , a 2c−c =3 ,因为 b 2=a 2−c 2 ,解得a 2＝4,b 2＝3, 所以椭圆的方程为: x 24+y 23= 1（2）解：由题意知直线l 的斜率不为0,由（1）知F （1,0）, 设直线l 的方程为x ＝my+1,P （x,y ）,Q （x',y'）,联立直线l 与椭圆的方程整理得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0, 所以y+y' =−6m 4+3m 2 ,yy' =−94+3m 2 ,所以|PQ| =√1+m 2√(y +y ′)2−4yy ′=√1+m 2√36m 2(3+4m 2)2+363+4m2=12(1+m 2)3+4m 2,因为圆O:x 2+y 2＝4到l 的距离d =√1+m 2 ,被圆O:x 2+y 2＝4截得的弦长为 √14 , 所以得14＝4（4 −11+m 2 ）,解得m 2＝1,所以d =√22,|PQ| =247 ,所以S △OPQ =12⋅|PQ|⋅d =12⋅√22⋅247=6√27.【解析】【分析】（1）由题可得 ca =12 ,a 2c−c =3 ,再由 b 2=a 2−c 2 可求得 a 2,b 2 ,即可得到椭圆方程；（2）显然直线 l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得 P,Q 的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得 |PQ| ,由直线截圆的弦长求得 m ,进而求解即可.7.【答案】 （1）解：依题意可得： {b =1ca =√22a 2=b 2+c2,a =√2，b =1，c =1椭圆C ：x 22+y 2=1 ）（2）解：圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆C 的方程得： x 2+2(kx +1)2=2,x =−4k1+2k 2 ，可得 B(−4k 11+2k 12，1−2k 121+2k 12) ；同理可得 D(−4k 21+2k 22，1−2k 221+2k 22)由圆M 与l 相切得：√1+k 2=r,(1−r 2)k 2−2k +1−r 2=0由韦达定理得： k 1+k 2=21−r 2，k 1k 2=1 所以直线BD 的斜率 k =y 2−y 1x 2−x1=1−2k 221+2k 22−1−2k 121+2k 12−4k 21+2k 22+4k 11+2k 12=4k 12−4k 224(k2−k 1)(2k 1k 2−1)=−(k 1+k 2)=2r 2−1…… 直线BD 的方程为： y −1−2k 121+2k 22=2r 2−1(x +4k11+2k 12)化简为： y =2r 2−1x −1+k 12k 1×4k11+2k 12+1−2k 121+2k 12=2r 2−1x −3 ，即 y =2r 2−1x −3所以，当 r(0<r <√2−1) 变化时，直线BD 总过定点 R(0，−3)【解析】【分析】（1）根据椭圆的顶点和离心率建立方程组求解椭圆方程；（2）圆M 过A 的切线方程可设为l ： y =kx +1 ，代入椭圆，解出B ， D 坐标，根据直线与圆相切结合韦达定理得斜率 k 1，k 2 的关系，表示出直线BD 的方程即可求得过定点.8.【答案】 （1）解：由题意知 m ≠0 ，可设直线AB 的方程为 y =−1m x +b ，由 {x 22+y 2=1y =−1m x +b ， 消去 y ，得 (12+1m 2)x 2−2bm x +b 2−1=0 ，∵直线 y =−1m x +b 与椭圆 x 22+y 2=1 有两个不同的交点，∴ Δ=−2b 2+2+4m 2>0 ，①，将AB 中点 M(2mb m +2,m 2bm +2) 代入直线方程 y =mx +12 解得b =−m 2+22m 2，②。

圆锥曲线与其他知识的交汇问题考点一圆锥曲线与数列交汇【典例】(2020·重庆模拟)已知椭圆+=1的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率k PA,k PF,k PB成等差数列.【解题导思】序号题目拆解(1) 求椭圆方程根据离心率以及直线与圆的位置关系列出a,b的方程组求解(2)①求A、B两点坐标关系研究直线和圆锥曲线的基本过程——联立方程组,根与系数的关系②求点P的坐标联立两直线方程求解③求直线斜率,验证所证利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关系进行验证【解析】(1)由题意知e==,所以=,即a2=b2,又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d==b=,所以a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1.(2)当直线l1的斜率不存在时,A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),P(4,0).所以k PA=-,k PB=,k PF=0,所以2k PF=k PA+k PB.当直线l1的斜率存在时,设直线l1的方程为y=k,由得x2-8k2x+4k2-12=0.设点A(x1,y1),B,利用根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,由题意知直线l2的斜率为-,则直线l2的方程为y=-,令x=4,得P点的坐标,k PA+k PB=+=++=k×+×=k×+×=k×+×=-=2k PF,即k PA+k PB=2k PF,综上得,k PA,k PF,k PB成等差数列.圆锥曲线与数列的结合圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.(2019·成都模拟)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.(1)求+的值.(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1E∥CF2,所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,所以=,所以+=|ED|+=,又因为圆F2的半径为8,即=8,所以+=8.(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1(y ≠0),由题意,设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=,所以k1+k2=+==,因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,因为k3=,所以2×=,化简得24k 3-24k2y 0+24k-24y 0=0,对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=±3.所以存在点N(-2,±3)使得k1,k3,k2成等差数列.考点二圆锥曲线与向量交汇【典例】(2020·福州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O 对称的两个动点,当点A的坐标为时,△ABF的周长恰为7.(1)求椭圆的方程.(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=λ(λ∈R),求△ACD面积的取值范围. 【解题导思】序号题目拆解(1) 利用椭圆的定义和对称性以及点A的坐标求a,b(2) ①求|CD|将直线方程与椭圆方程联立,建立C、D两点坐标之间的关系,利用弦长公式求解②求△ACD面积求出点A到CD的距离,根据三角形面积计算公式建立目标函数③求范围根据目标函数解析式的特征,采用相应的方法,转化为函数的值域问题【解析】(1)当点A的坐标为时,==,所以|AB|=3.由对称性,+=2a,所以2a=7-3=4,得a=2,将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4,所以椭圆方程为+=1.(2)当直线AB的斜率不存在时,=2,此时S△ACD=×2×2=2.当直线AB的斜率存在时,设直线CD的方程为y=k(x+2)(k≠0).由消去y整理得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. 显然Δ>0,设C,D,则故=·=·=·=.因为=λ(λ∈R),所以CD∥AB,所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,所以S△ACD=××d=×==4=2=2,因为1+2k2>1,所以0<<1,所以0<S△ACD<2.综上,S△ACD∈(0,2].处理圆锥曲线中向量问题的基本策略就是坐标化,结合点主要有两个方面:一是向量的共线,转化为两向量所在的直线重合或平行,并且两向量模之间存在倍数关系; 二是向量数量积,直接利用坐标运算转化为点的坐标所满足的条件进行求解.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴为MN(M为上顶点).点P(4,0)满足·=15.(1)求椭圆C的方程.(2)设O为坐标原点,过点P的动直线l与椭圆交于点A、B,是否存在常数λ使得·+λ·为定值?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)·=(-4,b)·(-4,-b)=16-b2=15,所以b=1,又e=,所以=,a2=4,从而C的方程为+y2=1.(2)当l不为x轴时,设l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),联立l与C的方程可得(m2+4)y2+8my+12=0,所以y1+y2=-,y1y2=,·+λ·=x1x2+y1y2+λ[(x1-4)(x2-4)+y1y2]=(1+λ)(1+m2)y1y2+4m(y1+y2)+16=+16.因为·+λ·为定值,所以=,解得λ=,此时定值为.当l为x轴时,A(-2,0),B(2,0),·+λ·=-4+×12=.综上,存在λ=使得·+λ·为定值.考点三圆锥曲线与导数交汇【典例】(2020·西安模拟)设定点F(0,1),动点E满足:以EF为直径的圆与x轴相切.(1)求动点E的轨迹C的方程.(2)设A,B是曲线C上两点,若曲线C在点A,B处的切线互相垂直,求证:A,F,B三点共线. 【解题导思】序号题目拆解(1) 直接法将已知条件转化为点E 的坐标所满足的条件,然后化简即可(2) ①求A 、B两点处的切线斜率导数的几何意义求切线斜率②建立两点坐标关系根据切线相互垂直建立坐标之间的关系③证明三点共线利用有公共点的两直线斜率相等证明三点共线【解析】(1)设E,则EF的中点为M,依题意知M到点F的距离与它到x轴的距离相等,可得=,化简得x2=4y,即为动点E的轨迹C的方程.(2)设A,B,则由y=得y′=,知曲线C在点A,B处的切线的斜率分别是,,依题意·=-1,即x1x2=-4,可得B,所以k AF==-,k BF = = -,所以k AF=k BF,知A,F,B三点共线.导数与圆锥曲线的结合点主要有两个方面:(1)利用导数的几何意义给出直线方程;(2)利用导数法求解圆锥曲线中的最值时,若某些目标代数式的形式比较复杂,不能直接根据基本初等函数的性质求解最值,可借助导数研究函数的单调性,进而求解其最值.(2019·郑州模拟)已知动圆E经过点F(1,0),且和直线l:x=-1相切.(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程.(2)已知点A(3,0),若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A),且与曲线G交于B,C两点,求△ABC面积的最大值.【解析】(1)由题意可知点E到点F的距离等于点E到直线l的距离,所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,故轨迹G的方程是y2=4x.(2)设直线l′的方程为y=x+m,其中-3<m<0,C(x1,y1),B(x2,y2),联立得方程组消去y,得x2+(2m-4)x+m2=0,Δ=(2m-4)2-4m2=16(1-m)>0恒成立.由根与系数的关系得x1+x2=4-2m,x1·x2=m2,所以|CB|=4,点A到直线l′的距离d=,所以S△ABC=×4×=2×(3+m),令=t,t∈(1,2),则m=1-t2,所以S△ABC=2t(4-t2)=8t-2t3,令f(t)=8t-2t3,所以f′(t)=8-6t2,令f′(t)=0,得t=(负值舍去).易知y=f(t)在上单调递增,在上单调递减.所以y=f(t)在t=,即m=-时取得最大值为.所以△ABC面积的最大值为.【变式备选】1.已知平面上一动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为.(1)求点P的轨迹方程.(2)点O是坐标原点,A,B两点在点P的轨迹上,F是点C关于原点的对称点,若=λ,求λ的取值范围.【解析】(1)设P(x,y)是所求轨迹上的任意一点,由动点P到定点C(1,0)的距离与它到直线l:x=4的距离之比为,得=,化简得+=1,即点P的轨迹方程为+=1.(2)由F是点C关于原点的对称点,所以点F的坐标为(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),因为=λ,则(x1+1,y1)=λ(-1-x2,-y2),可得 ,因为+=1,即+=1 ①,又由+=1,则+=λ2②,①-②得:=1-λ2,化简得x2=,因为-2≤x2≤2,所以-2≤≤2,解得≤λ≤3,所以λ的取值范围是.2.已知椭圆N:+=1(a>b>0)经过点C(0,1),且离心率为.(1)求椭圆N的方程.(2)直线l:y=kx-与椭圆N的交点为A,B两点,线段AB的中点为M,是否存在常数λ,使∠AMC=λ·∠ABC恒成立,并说明理由.【解析】(1)因为椭圆N:+=1经过点C,且离心率为,所以b=1,又=,a2-c2=b2,可解得c=1,a=,焦距为2c=2,故所求椭圆的方程为+y2=1.存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.证明如下:由得x2-12kx-16=0,Δ>0,设A,B,则x1+x2=,x1x2=,又因为=,=,所以·=x1x2+=x1x2+=x1x2-k+=·-k· +=0,所以⊥,因为线段AB的中点为M,所以=,所以∠AMC=2∠ABC.存在常数λ=2,使∠AMC=λ∠ABC恒成立.3.(2020·福州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,△PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当l⊥x轴时|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由内切圆的性质,得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.将x=c代入+=1,得y=±,所以=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称. 当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).联立方程得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由根与系数的关系得①其中Δ>0恒成立,由TS与TR所在直线关于x轴对称,得k TS+k TR=0(显然TS,TR的斜率存在),即+=0. ②因为R,S两点在直线y=k(x-1)上,所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入②得==0,即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,③将①代入③得==0,则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.。

最后冲刺【高考预测】1.对椭圆相关知识的考查2.对双曲线相关知识的考查3.对抛物线相关知识的考查4.对直线与圆锥曲线相关知识的考查5.对轨迹问题的考查6.考察圆锥曲线中的定值与最值问题7.椭圆8.双曲线9.抛物线 10.直线与圆锥曲线 11.轨迹问题 12.圆锥曲线中的定值与最值问题 易错点1对椭圆相关知识的考查1．(典型例题Ⅰ)设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F l PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 ( )12.22.212.22.---D C B A【错误解答】 A【错解分析】 没有很好地理解椭圆的定义，错误地把||||21PF PF 当作离心率．【错误解答】 D 由题意得a=5，b=3，则c=4而双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点，则a=c =4，b=3 ∴k=43±=±a b【错解分析】 没有很好理解a 、b 、c 的实际意义．【正确解答】 C设双曲线方程为2222b y a x -=1，则由题意知c=5，c a 2=4 则a 2=20 b 2=5，而a=25 b=5∴双曲线渐近线斜率为±a b =21±4．(2020精选模拟题)设直线l 与椭圆162522y x +=1相交于A 、B 两点，l 又与双曲线x 2-y 2=1相交于C 、D 两点，C 、D 三等分线段AB ，求直线l 的方程 ( )【错误解答】 设直线l 的方程为y=kx+b如图所示，l 与椭圆，双曲线的交点为A(x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，依题意有AB DB AC ,==3CD由)1(0)40025(50)2516(1162522222=-+++⎪⎩⎪⎨⎧=++=b bkx x k y x bkx y 得所以x 1+x 2=-.2516502k bk+由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=122y x bkx y 得(1-k 2)x 2-2bkx-(b 2+1)=0(2)若k=±1，则l 与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k ≠±1所以x 3+x 4=212k bk-、由⇒=BD AC x 3-x 1=x 2-x 4⇒x 1+x 2=x 3+x 4⇒-⇒-=+2212251650k bk kbkbk=0或b =0①当k=0时，由(1)得x 1、2=±21645b - 由(2)得x 3、4=±12+b 由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 1)即1316161641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=±2251620k +，由(2)得x 3、4=211k -±由123x x CD AB -⇒==3(x 4-x 3)即.2516,25161625164022x y l k k k±=±=⇒-=+的方程为故综上所述：直线l 的方程为：y=x y 2516,1316=±【错解分析】 用斜截式设直线方程时没有注意斜率是否存在，致使造成思维片面，漏解．k=0时，由(1)得.164522,1b x -±=由(2)得x 3、4=±12+±b 由3312=-⇒=x x CD AB (x 4-x 3)．即.131611641022±=⇒+=-b b b 故l 的方程为 y=±1316 ②当b=0时，由(1)得x 1、2=2251620k +±自(2)得x 3、4=33,11122=-⇒=-±x x CD AB k 由(x4-x3)．即.25161625164022±=⇒-=+k k k故l 的方程为y=x2516±．再讨论l 与x 轴垂直时的情况．设直线l 的方程为x=c ，分别代入椭圆和双曲线方程可解得y l 、2=.25542c -±y 3、4=.||3||||3||.134122y y y y CD AB c -=-⇒=-±由即.24125,2412516255822=±=⇒-=-x l c c c 的方程为故综上所述，直线l 的方程是：y=2516±x 、y=±1316和x=24125±解法二：设l 与椭圆、双曲线的交点为：A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)、D(x 4，y 4)，则有⎪⎩⎪⎨⎧==-==+.4,3.12,1,116252222j y x i y x j ji i由i 的两个式子相减及j 的两个式子相减，得：⎩⎨⎧=-+--+=-++-+.0))(())((,0))((25))((163434343412121212y y y y x x x x y y y y x x x x因C 、D 是AB 的三等分点，故CD 的中点(x 0，y 0)与AB 的中点重合，且.3CD AB =于是x 0=,221342x x x x +=+y 0=,223412y y y y +=+x 2-x 1=3 (x 4-x 3)．因此⎩⎨⎧-=-=--=-)2().()()1(),(25)(16340340340340y y y x x x y y y x x x若x 0y 0≠0，则x 2=x 1⇔x 4=x 3⇔y 4=y 3⇔y 2=y 1．故l 的方程为：24125±=x③当x 0=0，y 0=0时，这时l 通过坐标原点且不与x 轴垂直．设l 的方程为y=kx ，分别代入椭圆、双曲线方程得：x 1、2=.11,25162024,32kx k-±=+±.2516)(33412±=⇒-=-k x x x x Θ故l 的方程为y=.2516x y ±= 综上所述，直线l 的方程是：y=x 2516±、y=1316±和x=.24125±5．(2020精选模拟题)设A 、B 是椭圆3x 2+y 2=λ上的两点，点N(1，3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点．(1)确定A 的取值范围，并求直线AB 的方程；(Ⅱ)试判断是否存在这样的A ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由．(此题不要求在答题卡上画图)【错解分析】①用“差比法”求斜率时k AB =2)(3121y y x x ++-这地方很容易出错．②N(1，3)在椭圆内，λ>3×12+32=12应用结论时也易混淆．【正确解答】 (1)解法1：依题意，可设直线AB 的方程为y=A(x-1)+3，代入3x 2+y 2=λ，整理得(k 2+3)x 2-2k(k-3)x+(k-3)2-λ=0．①设A(x 1，y 1)、B(x 2、y 2)，则x 1，x 2是方程①的两个不同的根， ∴△=4[λ(k 2+3)-3(k-3)2]>0，②且x 1+x 2=3)3(22+-k k k ，由N(1，3)是线段AB 的中点，得1221=+x x ，∴A(k-3)=k 2+3．解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是(12，+∞)．于是，直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0． 解法2：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+λλ2222212133y x y x (x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)=0依题意，x 1≠x 2，∴k AB =-2121)(3y y x x ++∵N(1，3)是AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y l +y 2=6，从而k AB =-1． 又由N(1，3)在椭圆内，∴λ>3×12+32=12， ∴λ的取值范围是(12，∞)．直线AB 的方程为y-3=-(x-1)，即x+y-4=0．(Ⅱ)解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y-3 =x-1，即x-y+2=0，代入椭圆方程，整理得4x 2+4x+4又设C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，CD 的中点为M(x 0，y 0)，则x 3， x 4是方程③的两根，∴x 3+x 4=-1，且x 0=21(x 3+x 4)=-21，y 0=x 0+2=23，即M(-21，23)．于是由弦长公式可得|CD|=.)3(2||)1(1432-=-•-+λx x k ④将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程得4x 2-8x+ 16-λ=0 ⑤ 同理可得|AB|=.)12(2||.1212-=-+λx x k ⑥∵当λ>12时，)3(2-λ>)12(2-λ,∴|AB|<|CD|∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆解法2：由(Ⅰ)解法1及λ>12，∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 方程为y-3=x-1，代入椭圆方程，整理得4x2+4x+4-λ=0．③ 将直线AB 的方程x+y-4=0，代入椭圆方程，整理得 4x 2-8x+16-λ=0．⑤解③和⑤式可得 x l ，2=.231,21224,3-±-=-±λλx不妨设A(1+)233,231(),233,231(,12213,1221-+-+---------λλλλλλD C )21233,23123()21233,23123(-------+=---+-+-+=∴λλλλλλλλCA CA计算可得0=•CA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上．又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆．(注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD) 【特别提醒】1．重点掌握椭圆的定义和性质，加强直线与椭圆位置关系问题的研究．2.注重思维的全面性，例如求椭圆方程时只考虑到焦点在，轴上的情形；研究直线与椭圆位置关系时忽略了斜率不存在的情形……3．注重思想方法的训练，在分析直线与椭圆位置关系时要利用数形结合和设而不求法与弦长公式韦达定理联系去解决；关于参数范围问题常用思路有：判别式法，自身范围法等．求椭圆的方程常用方法有：定义法，直接法，待定系数法，相关点法，参数法等．考场思维调练1 已知椭圆的中心O 是坐标原点，A 是它的左顶点，F 是它的左焦点，l 1，l 2分别为左右准线，l 1与x 轴交于O ，P 、Q 两点在椭圆上，且PM ⊥l 1于M,PN ⊥l 2于N ，QF ⊥AO ，则下列比值中等于椭圆离心率的有( )||||)5(;||||)4(;||||)3(;||||)2(;||||)1(BF QF BA AF BO AO PN PF PM PFA.1个 B ．2个 C.4个 D ．5个答案： C 解析：对(1)，(4)的正确性容易判断；对(3)，由于c aaBO AO 2||||==e ，故(3)正确；对(5)，可求得|QF|=,2a b|BF|=c b c c a 22=-,eBF QF =||||故,故(5)正确；(2)显然不对，所选C ．2 椭圆有这样的光学性质：从随圆的一个焦点出发的光线，经椭圆壁反射后，反射光线经过随圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为20，焦距为2c ，静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 ( )A ．4aB ．2(a-c)C.2(a+c) D ．以上答案均有可能答案： D 解析：(1)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(d-c)，则选B ；(2)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a+c)，则选C ；(3)静放在点A 的小球(小球的半径不计)从点A 沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a ，则选A.于是三种情况均有可能，故选D.令V=t 4+a 2t ，V ′=-24t +a 2由V ′=Oa t 2=⇒ 当时t>a 2时，V ′>0；当0<t<a 2时，V ′<0．．．10分若1≤a ≤2，则，故a 2∈[1，2]当t=a 2时，S max =a 若a>2，则0<a 2<1，∵V=t 4+ a 2t 在[1，2]上递增，进而S(t)为减函数．∴当t=1时，S max =2244a a +综上可得S max ⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤)2(44)21(22a a a a a易错点2 对双曲线相关知识的考查1．已知双曲线x 2-22y =1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且021=•MF MF ，则点M 到x轴的距离为 ( )3.332.35.34.D C B A【错误解答】 B【错解分析】 没有理解M 到x 轴的距离的意义．【正确解答】 C 由题意得a=1，b=2，c=3可设M (x 0，y 0)|MF 1|=|ex 0+a|=|3x 0+1|，|MF 2|= |ex 0-a|=|3x 0-1|由|MF 1|2+|MF 2|2=|F 1F 2|2得 x 02=.332||,3435020==y y 则即点M 到x 轴的距离为.3322．(2020精选模拟题)已知双曲线2222b y ax -=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a (O 为原点)，则两条渐近线的夹角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【错误解答】 B【错解分析】 把两条渐近线的夹角看成渐近线的倾斜角．即4e 4-25e 2+25≤0解不等式得45≤e 2≤5，所以e 的取值范围是].5,25[]25,5[⋃--【错解分析】 没有理解双曲线离心率的意义及自身存在的范围e>1．【正确解答】 解法：直线J 的方程为b ya x +=1，即 bx+ay-ab=0． 由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=.)1(22ba ab +-同理得到点（-1，0）到直线l 的距离d 2=.)1(22ba ab ++s=d 1+d 2=.2222cabba ab=+由025254.215.25,542,542222222≤+-≥-≥-≥≥e e e e c a c a c c ab c s 即于是得即得解不等式，得.525,01.5452≤≤>>≤≤e e e e 的取值范围是所以由于【特别提醒】1．注意双曲线两个定义的理解及应用，在第二定义中，要强调e>1，必须明确焦点与准线的对应性2．由给定条件求出双曲线的方程，常用待定系数法，当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，应防止遗漏．3．掌握参数a 、b 、c 、e 的关系，渐近线及其几何意义，并注意灵活运用． 【变式训练】答案：由−−→−=−−→−PMDF 1知四边形PF 1OM 为平行四边形，又由|||||||11−−→−−−→−−−→−•−−→−=−−→−−−→−−−→−•−−→−OPOMOPOMOF OPOF OP知OP 平分∠F 1OM, ∴PF 1OM 菱形，设半焦距为c ，由||1−−→−OF =c知ea c a c cPMPF PF PF PMPF =−−→−−−→−+=+−−→−=−−→−=−−→−=−−→−||||,22||||,||||1121又Θ，即c+e c a=1e 2-e-2=0, ∴e=2(e=-1舍去)(2)若此双曲线过点N(2，3)，求双曲线方程：答案：∵e=2=,a c∴c=2a, ∴双曲线方程为)3,2(,132222将点==a y a x 代入，有3a ,1434222=∴=-a a即所求双曲线方程为9322y x -=1. (3)设(2)中双曲线的虚轴端点为B 1，B 2(B 1在y 轴正半轴上)，求B 2作直线AB 与双曲线交于A 、B 两点，求B B A B 11⊥时，直线AB 的方程．答案：依题意得B1（0，3），B2（0，-3）,设直线AB 的方程为y=kx-3,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+-⇒-=193.0186)3(32222y x kx x k kx y∵双曲线的渐近线为y=±x 3,∴当k=±3时，AB 与双曲线只有一个交点，即k ≠±3.∵x 1+x 2=.318,362212k x x kk--=•-y 1+y 2=k(x 1+x 2)-6=2318k --,y 1y 2=k 2x 1x 2-k(x 1+x 2)+9=9又=−−→−AB 1（x 1，y 1-3）,−−→−BB 1=(x 2,y 2 -3),−−→−AB 1⊥−−→−B B 1,09)(3212121=++++⇒y y y y x x93183931822=+--•-+--k k ,即k 2=5, ∴k=±5.故所求直线AB 的方程为y=5x-3或y=-5x-3.3 设双曲线42x -y 2=1的右顶点为A 、P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点．(1)证明：无论P 点在什么位置，总有||||2AR OQ OP •=；答案：设OP ：y=kx 与AR ：y=联立)2(21-x解得),212,212(k kk OR--=−−→−同理可得),212,212(k k k OQ ++=−−→−所以|−−→−OQ ·−−→−OR |,|41|4422k k -+设|−−→−OP|2=（m,n ）,则由双曲线方程与OP 方程联立解得m 2=,414,4142222k k n k-=-所以|−−→−OP|2=m 2+n 2=||414422−−→−•−−→−=-+OROQkk (点在双曲线上，1-4k 2>0);(2)设动点C满足条件：)(21ARAQAC+=，求点C的轨迹方程．答案：∵Θ),(21−−→−+−−→−=−−→−ARAQAC点C为QR的中心，设C（x,y）, 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22412412kkykx，消去k,可得所求轨迹方程为x2-x2-4y2=0(x≠0).易错点3 对抛物线相关知识的考查。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题15 椭圆、双曲线与抛物线1、考情解读1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．2、重点知识梳理一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d标准方程焦点在x轴上x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)焦点在x轴上x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点在x轴正半轴上y2＝2px(p>0)图象几何性范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称质焦点 (±c,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 轴 长轴长2a ，短轴长2b 实轴长2a ，虚轴长2b 离心率 e ＝c a ＝1－b2a2(0<e<1)e ＝c a ＝1＋b2a2(e>1)e ＝1 准线 x ＝－p 2 通径 |AB |＝2b 2a |AB |＝2p 渐近线y ＝±b ax【误区警示】1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．3、高频考点突破考点1 椭圆的定义及其方程例1．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n . 又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |， S △BDN ＝12|BD |·|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1 ②①－②，得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）（x 1＋x 2）（x 1－x 2），∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12.又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1，故选D. 答案 D考点2 椭圆的几何性质例2．【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）（A）1 3（B）12（C）23（D）34【答案】A【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，点P(0，1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线P A交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b＝1，ca＝22，a2＝b2＋c2解得a2＝2，故椭圆C的方程为x22＋y2＝1.设M(x M，0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线P A的方程为y－1＝n－1m x.所以x M＝m1－n，即M⎝⎛⎭⎪⎫m1－n，0.考点3 双曲线的定义及标准方程例3．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为() A．2 B. 3C. 2D.23 3解析：取渐近线y＝ba x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b|a2＋b2，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.答案：A【变式探究】【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x yb-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD 的面积为2b，则双曲线的方程为（）（A）22443=1yx-（B）22344=1yx-（C）2224=1x yb-（D）2224=11x y-【答案】D【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.答案 B考点4 双曲线的几何性质例4．【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）(3- （C ）()0,3 （D ）(3 【答案】A【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2234m n m n ++-=，解得21m =，因为方程22113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D. 2解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M(x1，y1)在第一象限内，过M作MN⊥x轴于点N(x1，0)，∵△ABM为等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2a sin 60°＝3a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2a cos 60°＝2a.将点M(x1，y1)的坐标代入x2a2－y2b2＝1，可得a2＝b2，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝2，选D.答案 D考点5 抛物线的定义及方程例5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M 在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A. 5 B．2 2C．2 3 D．3 3答案：C【变式探究】【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线22(p0)y px=>上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )（A 3（B）23（C2（D）1【答案】C【变式探究】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B . 2 C.322D ．2 2解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32， ∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×92×223＝322. 答案 C考点6 抛物线的几何性质例6．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA→⊥OB →，即O 在圆M 上． (2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A 点纵坐标为则A 点横坐标为4p ,即4OC p=, 由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.答案 D4、真题感悟（2014-2017）1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214{ 1y xy k x ==-，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2 BCD．3【答案】A3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是ABC ．23D ．59【答案】B【解析】33e ==B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B. 5.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=m =_________.【答案】2【解析】221,a b m ==，所以c a ==，解得2m = .6.【2017课标1，理】已知双曲线C：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.【答案】233【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(),0A a ， AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o ，点(),0A a 到直线by x a=的距离221b AP b a =+，在Rt PAN V 中， cos PA PAN NA∠=，代入计算得223a b =，即3a b =，由222c a b =+得2c b =， 所以2333c e a b===. 7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。