2020_2021学年新教材高中数学空间向量及其运算的坐标表示课后提升训练(含解析)新人教A版选择性必修第一册

课时提升作业 (二十四)空间向量运算的坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=平行,则λ等于( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a∥b,所以=,所以λ=-.2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)【解析】选B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b等于( )A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)【解析】选B.=(-1,0,-2)=a,=(-4,9,0)=b,所以a+b=(-5,9,-2).3.(2014·临沂高二检测)已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是( )A.(2,3,1)B.(1,-1,2)C.(1,2,1)D.(1,0,3)【解析】选D.=x+y=(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解4.(2014·杭州高二检测)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4C.x=2,y=-D.x=1,y=-1【解析】选B.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),所以所以5.(2014·南宁高二检测)已知向量=(2,-2,3),向量=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为,则(x,y,z)=( )A.(-2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1)D.(2,-4,-1)【解析】选A.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以【变式训练】以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,记分1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形记分1B1B的对角线交点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选B.连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为.6.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n 的值分别为( )A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2【解析】选 A.由c=m a+n b+(4,-4,1),得c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为c与a及b都垂直,所以得c·a= m+4+m+2n-4+m-n+1=3m+n+1=0,c·b=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即m=-1,n=2.【变式训练】若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-2【解析】选D.a+λb=(λ,1+λ,-1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0,所以1+λ+1=0,解得λ=-2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·启东高二检测)与a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x= . 【解析】设x=(x,y,z),由题意得解得x=-4,y=2,z=-4.所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知A(0,2,4),B(5,1,3),在x轴上有一点P,使||=||,则P点坐标为.【解析】设P(x,0,0),则||==,||==,所以x2+20=x2-10x+35,解得x=.所以点P坐标为.答案:【举一反三】本题条件“在x轴上有一点P”改为“在y轴上有一点P”,结果如何?【解析】设P(0,y,0),则||==,||==,所以y2-4y+20=y2-2y+35,解得y=-.所以点P坐标为.9.(2014·长春高二检测)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.【解析】b-a=(1+t,1-t,t),|b-a|==≥.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x 轴,SO在z轴上.因为|P1P2|=2,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,所以P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,所以P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又|SP 1|=2,|OP1|=,所以在Rt△SOP1中,|SO|=,所以S(0,0,).所以=(1,1,-),=(0,-2,0).11.(2014·福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量的坐标.(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点D的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量和的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.所以DE=CD·sin30°=.OE=OB-BD·cos60°=1-=,所以D点坐标为,即向量的坐标为.(2)依题意:=,=(0,-1,0),=(0,1,0).所以=-=,=-=(0,2,0).由于向量和的夹角为θ,则cosθ====-.所以cosθ=-.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )A.60°B.120°C.30°D.150°【解析】选B.因为=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),所以cos<,>====-,又0°≤<,>≤180°,所以θ=<,>=120°.2.(2014·泰安高二检测)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C 的距离|CM|的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由向量加减运算法则得=(+)=(3,2,1)+(1,-1,5)=,故|CM|==.3.空间三点A(1,1,0),B(0,1,0),C,下列向量中,与平面ABC垂直的向量是( )A.(1,0,1)B.(0,1,1)C.(1,0,-1)D.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选B.=(-1,0,0),=,=,与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项A中的向量(1,0,1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项B中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项C中的向量(1,0,-1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项D中的向量(1,1,0)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意,故选B.4.(2014·长沙高二检测)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于( )A.2B.-2C.-2或D.2或-【解析】选C.由cos<a,b>=a b===,a b得54-9λ=24,即为55λ2+108λ-4=0,λ=-2或λ=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.【解析】设点P(x,y,z),则由=2,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则解得即P(-1,3,3),则||===2.答案:26.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ= .【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建立λ,μ的等量关系.【解析】因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥,即=-=,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.答案:0三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积.(2)求△ABC中AB边上的高.【解析】(1)由已知得=(1,-3,2),=(2,0,-8),所以||==,||==2,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,cos<,>===,sin<,>==.所以S△ABC=||·||·sin<,>=××2×=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3.8.(2014·银川高二检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若∥,∥,求点D的坐标.(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.【解题指南】(1)先设出点D的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点D坐标有关的等式.(2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若求出则存在,否则不存在.【解析】(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为∥,∥,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.第- 11 -页共11页。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示新课程标准学业水平要求1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示．2．掌握空间向量的数量积的坐标表示．1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题．(数学运算)2．掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(逻辑推理、数学运算)3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(逻辑推理、数学运算)必备知识·自主学习导思1.怎样用坐标进行向量的线性运算和数量积运算？2．怎样通过坐标反映向量的平行与垂直？怎样用坐标求向量的模和夹角？1.空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．2．空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝a a＝a+a a222123+；cos 〈a，b〉＝a·b|a||b|＝112233222222123123a b a b a ba a ab b b＋＋＋＋＋＋.若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则一定有a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立吗？提示：不一定，只有当b 1，b 2，b 3均不为0时，a 1b 1 ＝a 2b 2 ＝a 3b 3 成立．3．空间两点间的距离在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则12P P ＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)； P 1P 2＝|12P P |＝222212121(x x )(y y )(z z )-+--．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若a ＝(1，－2，1)，a ＋b ＝(－1，2，－1)，则b ＝(－2，4，－2).( ) (2)若a ＝(1，2，0)，b ＝(－2，0，1)，则|a |＝|b |.( ) (3)若a ＝(0，0，1)，b ＝(1，0，0)，则a ⊥b .( )(4)在空间直角坐标系中，若A(1，2，3)，B(4，5，6)，则AB →＝(－3，－3，－3).( ) (5)已知a ＝(x 1，y 1，z 1)，若x 1＝y 1＝z 1＝1，则a 为单位向量．( ) 提示：(1)√.b ＝a ＋b －a ＝(－1，2，－1) －(1，－2，1)＝(－2，4，－2). (2)√.||a ＝12＋22＋02 ＝ 5 ，||b ＝（－2）2＋02＋12 ＝ 5 ，所以||a ＝||b .(3)√.由a ·b ＝0，得a ⊥b .(4)×.由 A(1，2，3)，B(4，5，6)，得AB → ＝(4－1，5－2，6－3)＝ (3，3，3). (5)×.若x 1＝y 1＝z 1＝1，则||a ＝12＋12＋12 ＝ 3 ，所以a 不是单位向量．2．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16，0，4) B ．(8，－16，4) C ．(8，16，4) D ．(8，0，4)【解析】选D.4a ＝(12，－8，4)，2b ＝(－4，8，0)，所以4a ＋2b ＝(8，0，4). 3．已知a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，若a ⊥b ，则x 等于 ( ) A ．－26 B ．－10 C ．2 D ．10【解析】选A.由于a ＝(2，－3，1)，b ＝(4，－6，x)，且有a ⊥b ， 所以a ·b ＝2×4＋(－3)×(－6)＋1×x ＝0，解得x ＝－26.4．(教材二次开发：例题改编)已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA → 与OB →的夹角是________． 【解析】cos 〈OA → ，OB →〉＝－1×1＋（－2）×2＋6×（－6）（－1）2＋（－2）2＋62×12＋22＋（－6）2＝－4141＝－1， 所以〈OA → ，OB →〉＝π. 答案：π关键能力·合作学习类型一 空间向量的坐标运算(数学运算)1.若向量a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ，则2a －3b ＝( ) A ．()6，3，－7 B ．()－2，－1，－1 C ．()2，1，－5 D ．()14，7，－112.若a ＝()2，3，－1 ，b ＝()2，0，3 ，c ＝()0，2，2 ，则a ·()b ＋c 的值为( ) A ．()4，6，－5 B ．5 C ．7D ．363．若向量a ，b 的坐标满足a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，则a ·b 等于( ) A ．5 B ．－5 C ．7 D ．－1【解析】1.选C.因为a ＝()4，2，－4 ，b ＝()2，1，－1 ， 所以2a －3b ＝2()4，2，－4 －3()2，1，－1 ＝()2，1，－5 .2．选B.b ＋c ＝()2，0，3 ＋()0，2，2 ＝()2，2，5 ，a ·()b ＋c ＝2×2＋2×3＋(－1)×5＝5.3．选B.因为a ＋b ＝()－2，－1，2 ，a －b ＝()4，－3，－2 ，两式相加得2a ＝()2，－4，0 ，解得a ＝()1，－2，0 ，b ＝()－3，1，2 ，所以a ·b ＝1×()－3 ＋()－2 ×1＋0×2＝－5.空间向量坐标运算方法一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标，在确定了向量的坐标后，使用空间向量的加减、数乘、数量积的坐标运算公式进行计算就可以了，但要熟练应用下列有关乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.【补偿训练】已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4).求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b).【解析】(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2).(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2，0，－6).(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.(4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以(2a)·(－b)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.类型二用向量运算解决平行与垂直(数学运算、逻辑推理)【典例】已知a＝(λ＋1，1，2λ)，b＝(6，2m－1，2).(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝ 5 ，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.【思路导引】(1)根据向量平行，设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m－1，2)，列出方程组，即可得出λ与m的值；(2)由向量垂直以及模长公式得出λ＝－1，即可求出向量a . 【解析】(1)因为a ∥b ，所以设(λ＋1，1，2λ)＝k(6，2m －1，2)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋1＝6k ，1＝k （2m －1），2λ＝2k解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ＝15，m ＝3， 所以λ＝15，m ＝3.(2)因为|a |＝ 5 且a ⊥c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（λ＋1）2＋12＋（2λ）2＝5，2()λ＋1－2λ×1－λ×2λ＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0， 解得λ＝－1.因此a ＝(0，1，－2).向量平行与垂直问题的两种题型 (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意： ①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程； ②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的．1．已知向量a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k ＝( ) A ．75 B ．1 C ．35 D ．15【解析】选A.因为a ＝()1，1，0 ，b ＝()－1，0，2 ， 所以k a ＋b ＝()k －1，k ，2 ，2a －b ＝()3，2，－2 ，又因为k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以()k a ＋b ·()2a －b ＝0，所以3k －3＋2k －4＝0，解得k ＝75.2．设x ，y ∈R ，向量a ＝()x ，1，1 ，b ＝()1，y ，1 ，c ＝()2，－4，2 ，且a ⊥c ，b ∥c ，则||a ＋b ＝()A ．2 2B ．10C ．3D ．4【解析】选C.因为b ∥c ，所以2y ＝－4×1，所以y ＝－2，所以b ＝()1，－2，1 ，因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x ＋1×()－2 ＋1＝0，所以x ＝1，所以a ＝()1，1，1 ，所以a ＋b ＝()2，－1，2 ，所以||a ＋b ＝22＋()－12＋22 ＝3.类型三 用向量运算求夹角和距离(数学运算) 角度1 求夹角【典例】已知向量a ＝()1，0，－1 ，则下列向量中与a 成60°角的是( ) A ．()－1，1，0 B ．()1，－1，0 C ．()0，－1，1 D ．()－1，0，1【思路导引】用夹角公式计算夹角余弦值，进一步求角．【解析】选B.对于A 选项中的向量a 1＝()－1，1，0 ，cos 〈a ，a 1〉＝a ·a 1||a ||a 1 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 1〉＝120°；对于B 选项中的向量a 2＝()1，－1，0 ，cos 〈a ，a 2〉＝a ·a 2||a ||a 2 ＝12×2 ＝12，则〈a ，a 2〉＝60°；对于C 选项中的向量a 3＝()0，－1，1 ，cos 〈a ，a 3〉＝a ·a 3||a ||a 3 ＝－12×2＝－12 ，则〈a ，a 3〉＝120°；对于D 选项中的向量a 4＝()－1，0，1 ，此时a 4＝－a ，两向量的夹角为180°. 角度2 求距离【典例】ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱，若AB ＝1，AB 1⊥BC 1，则AA 1＝( ) A ． 2 B ．22 C ． 3 D ．33【思路导引】由题意画出图形，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，设AA 1＝a ，再由11AB BC ＝0列式求解a 值，则答案可求．【解析】选B.如图，取AB 的中点O ，连接OC ，以O 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系．设AA 1＝a ，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0 ，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，a ，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0 ，C 1⎝⎛⎭⎫0，32，a ，则1AB ＝()1，0，a ，1BC ＝⎝⎛⎭⎫－12，32，a . 由AB 1⊥BC 1得11AB BC ＝－12 ＋a 2＝0，即a ＝22 .所以AA 1＝22.利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系； (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标； (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算； (4)转化：转化为夹角与距离问题．1．在空间直角坐标系Oxyz 中，O(0，0，0)，E(2 2 ，0，0)，F(0，2 2 ，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO → |＝|CB → |＝3，若cos 〈EF → ，BC → 〉＝16 ，则OC → ·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【解析】选D.设C(x ，y ，z)，B( 2 ， 2 ，0)，OC → ＝(x ，y ，z)，BC → ＝(x － 2 ，y － 2 ，z)，EF → ＝(－2 2 ，2 2 ，0)，由cos 〈EF → ，BC → 〉＝EF →·BC →||EF →||BC→ ＝（－22，22，0）·（x －2，y －2，z ）4×3 ＝16 ，整理可得x －y ＝－22①，由|CO → |＝|CB →|＝3得x 2＋y 2 ＝（x －2）2＋（y －2）2 ，化简得x ＋y ＝ 2 ②， 由①②联立得x ＝24 ，y ＝324， 则OC → ·OF →＝(x ，y ，z)·()0，22，0 ＝2 2 y ＝3.2．已知△ABC 的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC 边上的中线长为________．【解析】设BC 边的中点为D ，则AD → ＝12(AB → ＋AC → )＝(－1，－2，2)，所以|AD → |＝1＋4＋4＝3. 答案：33．已知向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4). (1)计算2a －3b 和||2a －3b . (2)求〈a ，b 〉．【解析】(1)因为向量a ＝(2，－1，－2)，b ＝(1，1，－4)， 所以2a －3b ＝2(2，－1，－2)－3(1，1，－4)， ＝(4，－2，－4)－(3，3，－12)＝(1，－5，8)， 所以||2a －3b ＝12＋（－5）2＋82 ＝310 . (2)cos 〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝93×32＝22 .因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π4.备选类型 向量法解决存在性问题(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝ 2 ，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．【思路导引】根据图形特征建立坐标系，设出点G 的坐标，利用到点P ，B ，C ，D 的距离都相等建立方程组，考察方程组的解的情况．【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD. 又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，GC ，GP ，设AB ＝AP ＝t ，G(0，m ，0)(其中0≤m≤4－t)，则B(t ，0，0)，P(0，0，t)，D(0，4－t ，0).因为∠CDA ＝45°，所以C(1，3－t ，0).所以GC → ＝(1，3－t －m ，0)，GD → ＝(0，4－t －m ，0)，GP → ＝(0，－m ，t).由|GC → |＝|GD → |，得12＋(3－t －m)2＝(4－t －m)2， 即t ＝3－m.①由|GD → |＝|GP →|，得(4－t －m)2＝m 2＋t 2.② 由①②消去t ，化简得m 2－3m ＋4＝0.③由于方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．立体几何存在性问题的解法存在性问题通常都是假设存在，即设出点的坐标，运用题目条件建立方程或不等式，有解说明存在，无解说明不存在，即要把立体几何的存在性转化为方程或不等式有解问题．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB 和BC 的中点，在棱B 1B 上是否存在一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.若存在，求出该点；若不存在，说明理由．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，B 1(1，1，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0 ， 设M(1，1，m).连接AC ，则AC →＝(－1，1，0).而E ，F 分别为AB ，BC 的中点， 所以EF →＝12AC → ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0 . 又因为1B E ＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1 ，1D M ＝(1，1，m －1)， 而D 1M ⊥平面EFB 1，所以D 1M ⊥EF ， 且D 1M ⊥B 1E ，即1D M ·EF →＝0，且11D MB E ＝0.所以⎩⎨⎧－12＋12＋（m －1）×0＝0，0－12＋1－m ＝0，解得m ＝12，即M 为B 1B 的中点．课堂检测·素养达标1．若向量a ＝(1，1，x)，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，满足条件(c －a )·2b ＝ －2，则x 的值为( ) A ．2B ．－2C ．0D ．1【解析】选A.因为c －a ＝(1，1，1)－(1，1，x)＝(0，0，1－x)，2b ＝2(1，2，1)＝(2，4，2)，所以(c －a )·2b ＝2－2x ＝－2.所以x ＝2.2．向量a ＝(－2，－3，1)，b ＝(2，0，4)，c ＝(－4，－6，2)，下列结论正确的是( ) A ．a ∥b ，a ∥c B ．a ∥b ，a ⊥c C ．a ∥c ，a ⊥bD ．以上都不对【解析】选C.因为a·b ＝(－2，－3，1)·(2，0，4)＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，所以a ⊥b . 又因为a ＝(－2，－3，1)＝12 (－4，－6，2)＝12c ，所以a ∥c .3．(教材二次开发：习题改编)若点A(0，1，2)，B(1，0，1)，则AB → ＝________，|AB|→＝________． 【解析】AB → ＝(1，－1，－1)，|AB → |＝12＋（－1）2＋（－1）2 ＝ 3 .答案：(1，－1，－1) 34．若向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，则||2a ＋b ＝________．【解析】由于向量a ＝()1，－1，2 ，b ＝()2，1，－3 ，所以2a ＋b ＝()4，－1，1 .故||2a ＋b ＝42＋（－1）2＋12 ＝18 ＝3 2 . 答案：3 25．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB → 与CA → 的夹角的大小是________．【解析】因为AB → ＝(－2，－1，3)，CA → ＝(－1，3，－2)，cos 〈AB → ，CA → 〉＝（－2）×（－1）＋（－1）×3＋3×（－2）14×14＝－714 ＝－12 ，所以〈AB → ，CA → 〉＝120°.答案：120°。

第二章平面解析几何2.1坐标法课后篇巩固提升基础达标练1。

数轴上的三点M,N，P的坐标分别为3,-1，-5,则MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于（)A。

-4 B。

4 C.12 D.-12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =—1—3=—4。

2.数轴上点P(x），A(—8)，B(—4),若|PA|=2|PB|，则x等于（)A.0 B。

-163C.163D.0或-163｜PA|=2|PB|,所以|x+8｜=2|x+4｜，解得x=0或-163。

3。

P(1,—2）关于A(—1,1）的对称点P’的坐标为(）A.（3，4)B。

(-3,4）C.(3，-4)D。

(-3，—4)P’点坐标为(x ,y ），因为A 为PP'的中点， 所以{1+M2=-1,-2+M2=1,解得{M =-3,M =4,故P’的坐标为（—3,4）。

4。

已知平行四边形的三个顶点坐标为（3,—2）,(5,2）,(—1,4)，则第四个顶点不是( ) A.（9，—4) B 。

（1，8） C.(-3，0)D 。

(1,-3）x ，y )，然后分情况讨论。

（1）若点(3，—2),（5,2)为平行四边形的对顶点,则有3+52=-1+M 2,-2+22=4+M 2，解得x=9，y=—4,即（9,-4）;（2）若(5,2）,(—1,4）为对顶点，同理可求第四个顶点为（1，8);（3)若(3,—2),（-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为（—3,0）。

故选D 。

5。

在数轴上有点A （1）,若点A 负向移动3个单位长度到达点B ，则MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 。

向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与以B 为起点,终点坐标为 的向量是相等向量。

A (1)负向移动3个单位长度到达B 点，所以B 点坐标为-2,则向量MM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为-3，若以B 为起点的向量为—3，则终点坐标应为-5。

3 —56。

数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1课时作业14 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．空间四边形ABCD 中，M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →＝( )A ．2DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →解析：MG →－AB →＋AD →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →. 答案：B2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A ．平行四边形B ．空间四边形C ．等腰梯形D ．矩形解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形． 答案：A3．若空间中任意四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．P ∈AB B ．P ∉ABC ．点P 可能在直线AB 上D ．以上都不对解析：因为m ＋n ＝1，所以m ＝1－n ，所以OP →＝(1－n )OA →＋nOB →， 即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)， 即AP →＝nAB →，所以AP →与AB →共线． 又AP →，AB →有公共起点A ，所以P ，A ，B 三点在同一直线上，即P ∈AB . 答案：A4．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A.OM →＝3OA →－2OB →－OC →数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1B.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＝14OB →－OA →＋12OC →解析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →， ∴M 与A ，B ，C 必共面． 答案：C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝12，y ＝1C ．x ＝1，y ＝13D ．x ＝1，y ＝14解析：因为AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，所以x ＝1，y ＝14.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B ＝________.解析：如图，A 1B →＝B 1B →－B 1A 1→＝B 1B →－BA →＝－CC 1→－(CA →－CB →) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b7．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，则x ＋y ＋z ＝________.解析：在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋y 2BC →＋z3CC ′→，数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1∴⎩⎨⎧ x ＝1，y2＝1，z3＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，z ＝3，∴x ＋y ＋z ＝6.答案：6数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_18.有下列命题：①若AB →∥CD →，则A ，B ，C ，D 四点共线；②若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线；③若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥b ；④若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若AB →∥CD →，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故①错；因为AB →∥AC →且AB →，AC →有公共点A ，所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b .故③正确； 易知④也正确．答案：②③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量；(3)试写出AA 1→的相反向量．解析：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，DD 1→，D 1D →，CC 1→，C 1C →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，C 1B →，BC 1→，B 1C →，CB 1→，A 1D →，DA 1→.(3)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →，共4个．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_110．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →.解析：(1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12a ＝12a ＋12b ＋c . |能力提升|(20分钟，40分)11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在下列各结论中正确的结论共有( )①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量； ②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量． 答案：C12．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.解析：CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →，又CD →＝13CA →＋λCB →，所以λ＝23.答案：2313．如图所示，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面．M ，N 分别是AC ，BF数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1的中点．试判断CE →与MN →是否共线？解析：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB → ＝12CA →＋AF →＋12(AB →－AF →) ＝12CA →＋12AF ＋12AB ＝12(AB →＋AF →－AC →)． 又CE →＝CA →＋AF →＋FE →＝AF →－AC →＋AB →＝AB →＋AF →－AC →，所以MN →＝12CE →，所以MN →∥CE →，即CE →与MN →共线．14．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.(1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值．解析：(1)证明：∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体， ∴AA 1→＝BB 1→＝CC 1→＝DD 1→， ∴BE →＝13AA 1→，DF →＝23AA 1→，∴AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1＝AB →＋BE →＋AD →＋DF →＝AE →＋AF →，由向量共面的充要条件知A ，E ，C 1，F 四点共面．数乘运算课时作业含解析新人教A 版选修2_1(2)∵EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →)＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB ＋AD →＋13AA 1→，又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.。

高中2021级数学组归基础系列之敎耐习廳选编新人救夬版迭择牲決修~高2021級敷孝紐編2020年9月选择性必修一目录第一⅞空间向：与「: T J (1)1.1空间向量及其运算 (1)1丄1空间向量及其钱性运工 (1)1.1.2空间甸量的或、量和运彳 (2)习題1.1 (4)1.2空间向量基本定理 (6)习＜1.2 (8)1∙3空间向量及其运算的坐标表示 (9)1.3」空间直伤蜚标系 (9)1.3.2空间向量込算的出标表示 (10)习題1.3 (12)1.4空间向量的应用 (13)1.4」用空冋向量研紀直优、平面的位置关系 (13)1.4.2用空间向耆列宛犯爲、矣令问题 (15)习＜1.4 (19)复习参考题1 (23)第二章直线和圆的方程 (28)2.1直线的倾斜角与斜率 (28)2.1.1f⅛44 ⅛ 与卅牟 (28)2.1.2两芻直观平有■和麦直的学I定 (28)习＜2.1 (29)2.2直线的方程 (30)2.2.1直伐的点铜犬方程 (30)2.2.2 1 A的两点天方程 (30)2.2.3直後的一般天方程 (31)习題2.2 (32)2.3直线的交点坐标与距离公式 (33)2.3.1两条直坯的交点坐标 (33)2.3.2两点间的亚禹分天 (34)2.3.3Λ到直钱的能离分炙 (34)2.3.4两条平行直钱间的距离 (34)习< 2.3 (35)2.4圆的方程 (36)2.1.1圆的标准方程 (36)2.4.2冈的一般方程 (37)习題2.4 (37)2.5直线与圆、圆与圆的位置 (38)2.5.1 ®的位豐关系 (38)2.5.2国寺冈的位賈关系 (39)习題2.5 (39)复习参考题2 (41)第三章圆锥曲线的方程 (43)3.1椭圆 (43)3.1.1楙Ia及必标准方程 (43)3.1.2楠圆的简車几何性质 (44)习<3.1 (45)3.2双曲线 (47)3.2.1玖曲钱及其标准方程 (47)322玖曲钱的简单几何性质 (48)习題3.2 (49)3.3抛物线 (50)3.3.1极扬钱及必标複方程 (50)3.3.2拋物钱的简单几何性质 (51)习題3.3 (52)复习参考题3 (54)第一章空间向量与立体几何1∙1空间向量及其运算01.1.1 ⅛伺童及其松Fi迪耳1.如图1.1-9.已知平行四边形43CD过平面AC外一点O作射线04 OBOe r, OD,在四条射线上分别取点E, F, G, H,使詹=箸=箸=笏=血.求证：E,F,G,H四点共面.图 1.1-92.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.3.如图.E、F分别是长方体ABCD-ABCD的棱AB, CQ的屮点•化简下列表达式,并在图屮标出化简结果的向呈:V—► —> (IW-CB;(3)AB-ΛZ> + F5;4 •在图1.1-6中，用乔,刁万,兀？表示花■而及芮.l¥|l.l-G5•如图•己知四而体ABCD 、E 、F 分别是EC, CD 的中点•化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向 ⅛:;(3) AF--J(AB + AC). 6•如图，已知正方体ABCD 一 AB ,C'D∖E. F 分别是上底面Ae f 和侧而Cci 的中心•求下列各式中x, y 的(1) AC=X(AB^BC^C(2) AE = AA + XAb + y AD;(3) ΛF = AD + XAB + 加 1(I) AB ・ AD ； (2)AC ,的长(精确到0.1).8.如图1.1-13, m,n 是平面"内的两条相交直线•如果IlmJ 丄仏求证:l±a.(I)AB+BC + CD; (2)AB + ^(B D + BC)7.如图 1.1 一 12.在平行六而体 ABCD - AB tC D 中 9AB = ^.AD = 3.AA = 7∙ZBAD = GO 0, ΔBAA = ZDAA = 45\ 求:图 1.1-129•如图，在止三棱柱ASC-Λ1B1C1ψ,若43 = √2ββ1,则4B与BG所成角的大小为（）.(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°10.如图，止方体ABCD _ A B C D'的棱长为l,设AB = ^AD=b.AA, = c.求:(l)α∙ (S +c);(2)α∙ (α÷ S÷c);(3)(α + S) ∙ (S÷c).11 •如图，在平行六面体ABCD-ABC D,中= Ar) = 3, AA = 5, ΔBAD = 90°, ΔBAA! = ΔD A A = 6().求:(1)ΣJ ∙ AB; (2)AB'的长；(3)AC的长.12•如图，线段AB.BD&.平面"内，ED丄AB. A C丄⑺且AB = a.BD = b.AC = c.求CQ 两点间的距离¾½1∙v∖M'在长Z CBEBA(1)写出与向量昴相等的向量；(2)写出与向量而相反的向量；(3)写出与向量丽平行的向量.14.如图，已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列表达式,并在图中标出化简结果的向量. D CB(1)AB + BC-,、.» ■ 1 -►15.证明：如果向量&共线,那么向量2(£ +了与云共线•(3)AB + ΛP + yCC r;16.如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于α, E, F, G分别是棱AB, AD, De的中点•求:DBTk∙"2(I)AB-AC;(4)FF∙BC;⑵瓦S・DS; (5);FG •刼;⑶前疋⑹彥•房.17.如图，在平行六面体.ABCD-A B x C x D中9 AC与BD的交点为M•设A^l=a9A^D l =b9 A^A = c9则下列向量中与商相等的向量是（）.(B)Ia+ -∣S÷c(D)-Ia-∣^ + cI &如图，C知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点,求证：E, F, G,H四点共面. 19•如图，正方体ABCD - AB D,的棱长为a.⑴求丄3和BC的夹角;⑵求证：AB丄AC'.20•用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂宜，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）21•如图，在四面体OABCΦ, OA丄ECQE丄AG求证：OC丄ADAO22•如图,在四面体OABC屮，OA = OBCA = CB、E、F, G,H分别是OA. OB.BC、CA的中点,求证:四边形EFGH是矩形。

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系课后篇巩固提升基础达标练1.已知a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则b 等于( )A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2)D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2C.-1D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x =0,y =-1,∴x+y=-1.3.若△ABC 中,∠C=90°,A (1,2,-3k ),B (-2,1,0),C (4,0,-2k ),则k 的值为( ) A.√10B.-√10C.2√5D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k ),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k ), 则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k (-k )=-2k 2+20=0,∴k=±√10.4.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则( ) A.x=12,y=-4 B .x=12,y=4 C.x=2,y=-14 D .x=1,y=-1a +2b =(1+2x ,4,4-y ),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),且(a +2b )∥(2a -b ),∴3(1+2x )=4(2-x ),且3(4-y )=4(-2y-2),解得x=12,y=-4.5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形⃗ =(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|=2+22+32=√14,所以cos<a,c>=a·c|a||c|=-12,又因为<a,c>∈[0,π],所以<a,c>=2π3.7.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.a∥b,所以x=x2+y-2=y,即{y=3x,①x2+y-2=2x,②把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x=-2,y=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.当{x=1,y=3时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,此时x+y=4.8.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25,所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-5,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.答案-∞,-65∪-65,52159.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标.解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83. 10.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;(3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗+12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0),所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66. 能力提升练1.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确; BP⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确; BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确; 假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.2.已知A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√6D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ+1×√2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .3.已知A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0), AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)2×√42+(-3)2=-5√41, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.44.已知点A ,B ,C 的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P 的坐标为(x ,0,z ),若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 点的坐标为 .⃗⃗⃗ =(-x ,1,-z ), AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,1), ∴{x -1+z =0,-2x -z =0,∴{x =-1,z =2,∴P (-1,0,2).-1,0,2)5.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0).,12,0)6.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱PA ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,PA=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系,(1)求cos <AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面PAB 内找一点N ,使NE ⊥平面PAC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E0,12,1,从而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2).则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√7=3√714. ∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面PAB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z ,由NE ⊥平面PAC 可得{NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1. 7.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且a 分别与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1).素养培优练1.P 是平面ABC 外的点,四边形ABCD 是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1). (1)求证:PA ⊥平面ABCD ;(2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即PA ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴PA ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=48,又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).2.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a , 则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a 2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √6.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0), λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.。

2021年高中数学 2.3第2课时空间向量运算的坐标表示练习北师大版选修2-1一、选择题1．设P(－5,1，－2)，A(4,2，－1)，若OP→＝AB→，则点B应为( )A．(－1,3，－3) B．(9,1,1)C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1)[答案] A[解析] ∵OP→＝AB→＝OB→－OA→，∴OB→＝OP→＋OA→＝(－1,3，－3)．故选A．2．设A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，则AB的中点M到C点的距离为( )A．534B．532C．532D．132[答案] C[解析] 由题意得AB的中点M(2，32，3)，则|MC|＝2－02＋32－12＋3－02＝532.3．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，则a与b( ) A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向[答案] A[解析] 0＋(－5)×6＋6×5＝0，故a⊥B．4．已知A(2,1,3)、B(－4,2，x)、C(1，－x,2)，若向量OA→＋OB→与OC→垂直(O 为坐标原点)，则x等于( )A．－4 B．－3C．3 D．4[答案] D[解析] OA→＋OB→＝(2,1,3)＋(－4,2，x)＝(－2,3，x＋3)∵(OA→＋OB→)⊥OC→，∴－2－3x＋2x＋6＝0，解得x＝4.5．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC→＝23AB→，则C的坐标是( )A．(2，－143，103) B．(－2，143，－103)C．(2，－143，－103) D．(－2，－143，103)[答案] B[解析] ∵AB→＝(－3,7，－5)，∴OC→＝23(－3,7，－5)＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，143，－103.故选B．6．已知向量a＝(2，－1,2)，则与a平行且满足关系式a·x＝－18的向量x为( )A．(－4,2，－4) B．(－4,1，－4)C．(4,2，－4) D．(－4，－2，－4)[答案] A[解析] 向量x与a平行，则x＝λa，a·x＝λa2＝－18，解得λ＝－2，所以x＝－2a＝(－4,2，－4)．二、填空题7．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|＝________________.[答案] 310[解析] a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，所以|a －b＋2c|＝92＋32＋02＝310.8．下列各组向量中共面的为________________．(填序号)①a＝(1,2,3)，b＝(3,0,2)，c＝(4,2,5)②a＝(1,2，－1)，b＝(0,2，－4)，c＝(0，－1,2)③a ＝(1,1,0)，b ＝(1,0,1)，c ＝(0,1，－1) ④a ＝(1,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1) [答案] ①③[解析] 不妨设基底为{i ，j ，k }． ①设a ＝x b ＋y c ，则可得i ＋2j ＋3k ＝(3x ＋4y )i ＋2y j ＋(2x ＋5y )k ，∴⎩⎨⎧3x ＋4y ＝12y ＝22x ＋5y ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝－1y ＝1这表明存在实数x ＝－1，y ＝1，使a ＝x b ＋y c ， ∴a 、b 、c 共面．同理可知③中a 、b 、c 共面，其余不共面． 三、解答题9．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)设a 与b 的夹角为θ，求cos θ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． [解析] a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．(2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.10．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积．(2)若|a |＝3，且a 分别与 AB →、AC →垂直，求向量A ． [解析] (1)AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，cos θ＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12，∴sin θ＝32. ∴S ▱＝|AB →||AC →|sin θ＝7 3.∴以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，由题意，得⎩⎨⎧－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，x 2＋y 2＋z 2＝3.解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－1z ＝－1.∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．一、选择题1．已知空间四点A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，D (x ，－1,3)共面，则x 的值为( )A ．4B ．1C ．10D ．11[答案] D[解析] AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AD →＝(x －4，－2,0)， ∵A 、B 、C 、D 共面，∴AB →、AC →、AD →共面， ∴存在λ、μ，使AD →＝λAB →＋μAC →，即(x －4，－2,0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，∴⎩⎨⎧x －4＝－2λ－μ，－2＝2λ＋6μ，0＝－2λ－8μ.∴⎩⎨⎧λ＝－4，μ＝1，x ＝11.2．若向量a ＝(1－t,1－t ，t －1)，b ＝(2，t －2，t ＋1)，则|b －a |的最小值是( )A． 3 B．3C． 5 D．5[答案] B[解析] ∵b－a＝(2，t－2，t＋1)－(1－t,1－t，t－1)＝(1＋t,2t－3,2)，∴|b－a|＝1＋t2＋2t－32＋22＝5t2－10t＋14＝5t－12＋9，当t＝1时，|b－a|有最小值3.故选B．3．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是( ) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案] C[解析] AC→＝(5,1，－7)，BC→＝(2，－3,1)．因为AC→·BC→＝2×5－3×1－7×1＝0，所以AC⊥BC．所以∠ACB＝90°.又因为|AC→|＝53，|BC→|＝14，即|AC→|≠|BC→|，所以△ABC为直角三角形．4．已知两点的坐标为A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosβ，2sinβ，1)，则|AB→|的取值范围是( )A．[0,5] B．[1,5]C．(1,5) D．[1,25][答案] B[解析] AB→＝(2cosβ－3cosα，2sinβ－3sinα，0)，则|AB→|＝3cosα－2cosβ2＋3sinα－2sinβ2＝13－12cosα－β.由于cos(α－β)∈[－1,1]，所以|AB→∈[1,5]．二、填空题5．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______________.[答案] 2[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.6．已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则：(1)a·(b＋c)＝________________；(2)(a＋2b)·(a－2b)＝________________.[答案] 9 －38[解析] (1)b ＋c ＝(2,0,5)，a ·(b ＋c ) ＝(2，－3,1)·(2,0,5)＝9.(2)|a |＝14，|b |＝13，(a ＋2b )·(a －2b ) ＝|a |2－4|b |2＝－38. 三、解答题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)． (1)若DB →∥AC →，DC →∥AB →，求点D 的坐标；(2)问是否存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)，DC →＝(－x ，－y,2－z )，AB →＝(－1,1,0)．因为DB →∥AC →，DC →∥AB →， 所以⎩⎨⎧－x ，1－y ，－z ＝m －1，0，2，－x ，－y ，2－z＝n－1，1，0，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝2.即D (－1,1,2)．(2)依题意AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，BC →＝(0，－1,2)，假设存在实数α、β，使得AC →＝αAB →＋βBC →成立，则有(－1,0,2)＝α(－1,1,0)＋β(0，－1,2)＝(－α，α－β，2β)，所以⎩⎨⎧α＝1，α－β＝0，2β＝2，故存在α＝β＝1，使得AC →＝αAB →＋βBC→成立．8．已知空间三点A (1,2,3)，B (2，－1,5)，C (3,2，－5)． (1)求△ABC 的面积． (2)求△ABC 中AB 边上的高．[解析] 由已知，得AB →＝(1，－3,2)，AC →＝(2,0，－8)，∴|AB →|＝1＋9＋4＝14， |AC →|＝4＋0＋64＝217，AB →·AC →＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－1414×217＝－14217，∴sin 〈AB →，AC →〉＝1－1468＝2734.精品文档实用文档 ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin〈AB →，AC →〉 ＝12×217×14×2734＝321. (2)设AB 边上的高为CD ．则|CD →|＝2S △ABC |AB →|＝36， 即△ABC 中AB 边上的高为3 6.27643 6BFB 毻39698 9B12 鬒33894 8466 葦J25857 6501 攁23624 5C48 屈8Zn.30322 7672 癲{22285 570D 圍*@。

课时分层作业(一) 空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4．则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对D [∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2ab ＝|c |2， ∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a ||b |＝14．]2．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量AC 1→的共有 ( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→； ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→； ④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断： ①(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→． ②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→． ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→．④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→． 所以，所给4个式子的运算结果都是AC 1→．]3．如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34 B ．14 C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14．]4．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A ．12B ．22C ．－12D ．0D [如图所示，∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA |·|OC →|·cos ∠AOC －|OA →|·|OB |·cos ∠AOB ＝0，∴OA →⊥BC →，∴〈OA →，BC →〉＝π2，cos 〈OA →，BC →〉＝0．]5．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( )A ．a ＋b －cB ．a ＋b ＋cC ．12(a ＋b ＋c )D ．a ＋b ＋c )D [如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．] 二、填空题6．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则a ·b 所夹的角为________． 34π [cos 〈a ·b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－222×22＝－22， 又〈a ·b 〉的取值范围为[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝34π．]7．已知向量a ，b ，c 两两夹角都是60°，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则|a －2b ＋c |＝________．3 [∵|a －2b ＋c |2＝a 2＋4b 2＋c 2－4a ·b －4b ·c ＋2a ·c ＝1＋4＋1－4×cos 60°－4×cos 60°＋2×cos 60°＝3， ∴|a －2b ＋c |＝3．]8．四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°，则点B 与点D 1两点间的距离为________．2 [四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1各棱长均为1，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝∠BAD ＝60°．∴BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→， ∴BD 1→2＝(BA →＋AD →＋DD 1→)2＝BA →2＋AD →2＋DD 1→2＋2BA →·AD →＋2BA →·DD 1→＋2AD →·DD 1→＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2， ∴|BD 1→|＝2，∴点B 与点D 1两点间的距离为2．] 三、解答题9．已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)AA ′→－CB →； (2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→； (3)12AD →＋12AB →－12A ′A →．[解] (1)AA ′→－CB →＝AA ′→＋BC →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→．(2)AB ′→＋B ′C ′→＋C ′D ′→＝AD ′→． (3)设M 是线段AC ′的中点，则 12AD →＋12AB →－12A ′A →＝12AD →＋12AB →＋12AA ′→＝12(AD →＋AB →＋AA ′→)＝12AC ′→＝AM →． 向量AD ′→、AM →如图所示．10．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN ∶NA 1＝4∶1．用a ，b ，c 表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →．[解] (1)AM →＝12(AC 1→＋AD 1→) ＝12[(AB →＋AD →＋AA 1→)＋(AD →＋AA 1→)] ＝12(AB →＋2AD →＋2AA 1→) ＝12a ＋b ＋c ．(2)AN →＝AC →＋CN →＝AC →＋45(AA 1→－AC →) ＝15AB →＋15AD →＋45AA 1→ ＝15a ＋15b ＋45c ．11．(多选题)化简下列各式，结果为零的向量为( )A ．AB →＋BC →＋CA →B ．OA →－OD →＋AD →C ．NQ →＋QP →＋MN →－MP →D ．MN →＋BM →＋NB →ABCD [对于A ，AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝0． 对于B ，OA →－OD →＋AD →＝DA →＋AD →＝0．对于C ，NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0． 对于D ，MN →＋BM →＋NB →＝MN →＋NB →＋BM →＝MB →＋BM →＝0．]12．已知e 1，e 2是夹角为60°的两个单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角是( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．90°B [a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 1－2e 2)＝e 21－e 1·e 2－2e 22 ＝1－1×1×12－2＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝1＋1＋1＝3．|b |＝b 2＝(e 1－2e 2)2＝e 21－4e 1·e 2＋4e 22＝1－2＋4＝3．∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－323＝－12， ∴〈a ，b 〉＝120°．]13．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．－13 [∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝0， ∴a·b ＋b·c ＋c·a ＝－32＋12＋422＝－13．]14．(一题两空)如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2, 点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝______，|BC →－EF →|＝______．23 [|AB →＋BC →|＝|AC →|＝2，EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝|BC →－12BD →|2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3， 故|BC →－EF →|＝3．]15．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M ，N 分别是棱AB ，CD 上的点，且|MB →|＝2|AM →|，|CN →|＝12|ND →|，求|MN →|．[解] ∵MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →．∴MN →·MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13AB →＋13AD →＋23AC →2＝19AB →2－29AD →·AB →＋49AC →·AD →－49AB →·AC →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋29a 2－29a 2＋19a 2＋49a 2 ＝59a 2， 故|MN →|＝MN →·MN →＝53a ，即|MN →|＝53a ．。

课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示[基础巩固]一、选择题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA →，OB →，OC →不能构成空间的一个基底，则( ) A.OA →，OB →，OC →共线 B.OA →，OB →共线 C.OB →，OC →共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面3．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与A 1C →相等的向量是( )A ．－a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b ＋cD ．a ＋b －c4．已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边行OABC 的对角线的交点，则( )A.O ′D →＝－a ＋b ＋cB.O ′D →＝－b －12a －12cC.O ′D →＝12a －b －12cD.O ′D →＝12a －b ＋12c5．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 二、填空题6．若向量a ，b ，c 为空间向量的正交基底，则向量a ，b ，c 的位置关系是________． 7．若向量i ，j ，k 为空间直角坐标系上对应x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位向量，且设a ＝2i －j ＋3k ，则向量a 的坐标为________________________．8．在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上的一点，BE＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________________.三、解答题9．若{a ，b ，c }是空间一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．10．如图，在空间直角坐标系中，有长方体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝6，OC ＝8，OO ′＝5.(1)写出点B ′的坐标，给出OB ′→关于i ，j ，k 的分解式；(2)求OC ′→的坐标．[能力提升]11．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →，则( )A.OG →＝38OA →＋18OB →＋38OC →B.OG →＝78OA →＋38OB →＋38OC →C.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC →D.OG →＝18OA →＋38OB →＋38OC →12．如图在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝________. 13．如图所示，在正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1中：(1)化简A 1F 1→－EF →－BA →＋FF 1→＋CD →＋F 1A 1→，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→，并在图中标出化简结果的向量．14．在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求DO →，A 1B →的坐标．课时作业17 空间向量的正交分解及其坐标表示1．解析：当三个非零向量a ，b ，c 共面时，a ，b ，c 不能构成空间的一个基底；当{a ，b ，c }为空间的一个基底时，必有a ，b ，c 都是非零向量．故命题p 是命题q 的必要不充分条件．答案：B2．解析：由OA →，OB →，OC →不能构成基底，知OA →，OB →，OC →三向量共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面．答案：D3．解析：A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→＋C 1C →＝A 1B 1→＋A 1D 1→－AA 1→＝a ＋b －c .故选D. 答案：D4．解析：O ′D →＝O ′O →＋OD →＝－OO ′→＋12(OA →＋OC →)＝12OA →－OO ′→＋12OC →＝12a －b ＋12c .故选D.答案：D5．解析：如图，由已知OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→)＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤OA →＋13AB →＋AC → ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →， 从而x ＝y ＝z ＝14.故选A.答案：A6．解析：由正交基底的定义知，只有当向量a ，b ，c 两两垂直时，才能成为空间向量的正交基底，故向量a ，b ，c 的位置关系是两两垂直．答案：两两垂直7．解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a 的坐标为(2，－1,3)． 答案：(2，－1,3)8．解析：设AC 的中点为F ，则GE →＝GB →＋BE →＝23FB →＋34BD →＝－23×12(BC →＋BA →)＋34BD →＝－13(AC→(2)DE →＋E 1F 1→＋FD →＋BB 1→＋A 1E 1→＝DE →＋EF →＋FD →＋BB 1→＋B 1D 1→＝0＋BD 1→＝BD 1→. BD 1→在图中所示如下：14．解析：设与x 轴、y 轴、z 轴同向的单位向量分别为e 1，e 2，e 3.因为DO →＝－OD →＝－(OO 1→＋O 1D →)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤OO 1→＋12OA →＋OB →＝－OO 1→－12OA →－12OB →＝－4e 3－12×4e 1－12×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，所以DO →＝(－2，－1，－4)．因为A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→)＝－OA →＋OB →－AA 1→＝－4e 1＋2e 2－4e 3，所以A 1B →＝(－4,2，－4)．。