2019届高三数学一轮复习培优讲义含课时作业：第11章第3讲合情推理与演绎推理Word版含答案

§合情推理与演绎推理命题探究考纲解读分析解读推理与证明是新课标新增加的内容,江苏高考一般很少单独考查,但是演绎推理是解答试题必需的过程,所以仍需要认真掌握.五年高考考点一合情推理.(课标全国Ⅱ文改编分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有位优秀位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则以下四种说法正确的是.①乙可以知道四人的成绩;②丁可以知道四人的成绩;③乙、丁可以知道对方的成绩;④乙、丁可以知道自己的成绩.答案④.(山东分)观察下列等式:××;××;…××;…××;……照此规律,….答案考点二 演绎推理.(北京理分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数,点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数. ①记为第名工人在这一天中加工的零件总数,则中最大的是;②记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则中最大的是.答案 ① ②.(重庆理分)对正整数,记{,…}.()求集合中元素的个数;()若的子集中任意两个元素之和不是．．整数的平方,则称为“稀疏集”.求的最大值,使能分成两个不相交的稀疏集的并.解析 ()当时,中有个数与中的个数重复,因此中元素的个数为×.()先证当≥时不能分成两个不相交的稀疏集的并.若不然,设为不相交的稀疏集,使∪⊇.不妨设∈,则因,故∉,即∈.同理∈∈,又推得∈,但,这与为稀疏集矛盾.再证符合要求.当时可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取{}{},则为稀疏集,且∪.当时,集中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并.当时,集中除正整数外剩下的数组成集,,,,…,,,可分解为下面两稀疏集的并:。

第四课时推理课前预习案1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用。

2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3.掌握演绎推理的“三段论”进行一些简单演绎推理。

1．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由的推理．它的特点是：前提为真时，结论必然_________.(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断(2)传递性关系推理推理规则是：“如果，则”（其中表示具有传递性的关系），这种推理叫传递性关系推理，如：推出。

（3）完全归纳推理把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理.1.（2011江西理7）观察下列各式： =3125， =15625， =78125，…，则的末四位数字为（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81252.(2010山东文10)观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=( )（A） (B) (C) (D)课堂探究案考点一归纳推理【典例1】观察下列等式：可以推测：13＋23＋33＋…＋n 3＝________ (n ∈N *，用含有n 的代数式表示)【变式1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m ，n 都成立的条件不等式________ ． 【变式2】（2011山东理15）设函数()(0)2x f x x x =>+,观察:1()(),2x f x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516x f x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得： 当且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .【变式3】（2012江西理 6）观察下列各式： 3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则（ ）A ．28B ．76C ．123D ．199考点二 类比推理【典例2】在平面几何里，有“若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，则三角形面积为S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，则四面体的体积为__________________________【变式4】在正三角形中，设它的内切圆的半径为r ，容易求得正三角形的周长面积，发现，这是平面几何中的一个重要发现。

第3讲合情推理与演绎推理，[学生用书P208］）1．推理(1）定义：是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程．（2)分类:推理错误!2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1）定义：从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．(3）模式：三段论错误!1．辨明两个易误点(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题,注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．(2）合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．2．把握合情推理与演绎推理的三个特点（1）合情推理包括归纳推理和类比推理,所得到的结论都不一定正确,其结论的正确性是需要证明的．（2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误．（3)应用三段论解决问题时,应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的,结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．1．数列2，5，11,20,x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27B [解析] 由5－2＝3,11－5＝6，20－11＝9，则x－20＝12，因此x＝32。

2．推理“①矩形是平行四边形,②三角形不是平行四边形，③三角形不是矩形”中的小前提是（)A．①B．②C．③D．①和②B ［解析］由演绎推理三段论可知,①是大前提,②是小前提,③是结论．3。

错误!观察下列不等式:1＋错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＜错误!，1＋错误!＋错误!＋错误!＜错误!，…照此规律，第五个不等式为________________．［解析] 左边的式子的通项是1＋错误!＋错误!＋…＋错误!，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!.[答案] 1＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋错误!<错误!4。

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第三节合情推理与演绎推理A组基础题组1.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（）A。

121 B.123 C。

231 D。

2112。

观察(x2)'=2x，(x4)’=4x3,(cos x）’=—sin x，由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x)满足f（-x）=f(x）,记g(x）为f（x）的导函数,则g（—x）=( )A。

f(x) B.-f（x) C。

g（x) D。

-g（x)3.某种树的分枝生长规律如图所示,第1年到第5年的分枝数分别为1,1，2，3,5，则预计第10年树的分枝数为（)A。

21 B。

34 C。

52 D.554。

设△ABC的三边长分别为a、b、c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r，则r=,类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4,内切球的半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R=（)A。

B。

C. D.5。

学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好"。

2019年高考数学一轮复习第十一章复数、算法、推理与证明第三节合情推理与演绎推理夯基提能作业本文1.观察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,……,则52 017的末四位数字为( )A.3 125B.5 625C.0 625D.8 1252.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cos x)'=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)3.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,……,则a10+b10=( )A.28B.76C.123D.1994.给出以下数对序列:(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij,如a43=(3,2),则a nm=( )A.(m,n-m+1)B.(m-1,n-m)C.(m-1,n-m+1)D.(m,n-m)5.(xx北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,下图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢,第三个图有19个蜂巢,……,按此规律,以f(n)表示第n个图的蜂巢总数.则f(4)= , f(n)= .7.(xx北京朝阳一模)甲乙两人做游戏,游戏的规则如下:两人轮流从1(1必须报)开始连续报数,每人一次最少要报一个数,最多可以连续报7个数(如,一个人先报数“1,2”,则下一个人可以有“3”,“3,4”,…,“3,4,5,6,7,8,9”等七种报数方法),谁抢先报到“100”则谁获胜.如果从甲开始,则甲要想获胜,第一次报的数应该是.8.(xx北京东城一模)已知甲、乙、丙三人组成考察小组,每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物,且计划每天向沙漠深处走30千米,每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人,然后独自返回.若组员甲与其他两个人合作,且要求三个人都能够安全返回,则甲最远能深入沙漠千米.B组提升题组9.(xx北京朝阳期中)5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( )A.总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多B.总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多C.总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D.总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个10.(xx北京海淀一模)如图,在公路MN(图中粗线)两侧分别有A1,A2,…,A7七个工厂,各工厂与公路MN之间有小公路连接.现在需要在公路MN上设置一个车站,选择站址的标准是“使各工厂到车站的距离之和越小越好”,则下面结论中正确的是( )①车站的位置设在C点好于B点;②车站的位置设在B点与C点之间任意一点效果一样;③车站位置的设置与各段小公路的长短无关.A.①B.②C.①③D.②③11.(xx北京海淀一模)某生产基地有五台机器设备,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作获得的效益值如下表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则下列描述正确的是( )工作机器效益值一二三四五甲15 17 14 17 15乙22 23 21 20 20丙9 13 14 12 10丁7 9 11 9 11戊13 15 14 15 11A.甲只能承担第四项工作B.乙不能承担第二项工作C.丙可以不承担第三项工作D.获得的效益值总和为7812.(xx北京丰台一模)某校举行了以“重温时代经典,唱响回声嘹亮”为主题的歌咏比赛.该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛,其中有两个班获奖.比赛结果揭晓之前,甲同学说:“两个获奖班级在2班、3班、4班中”,乙同学说:“2班没有获奖,3班获奖了”,丙同学说:“1班、4班中有且只有一个班获奖”,丁同学说:“乙说得对”.已知这四人中有且只有两人的说法是正确的,则这两人是( )A.乙,丁B.甲,丙C.甲,丁D.乙,丙13.(xx北京朝阳二模)“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”,规定每一项运动的前三名得分分别为a,b,c(a>b>c且a,b,c∈N*),选手最终得分为各项得分之和.已知甲最终得22分,乙和丙最终各得9分,且乙获得了马术比赛的第一名,则游泳比赛的第三名是( )A.甲B.乙C.丙D.乙和丙都有可能14.(xx北京朝阳一模)如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯,开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是( )A.只需要按开关A,C可以将四盏灯全部熄灭B.只需要按开关B,C可以将四盏灯全部熄灭C.按开关A,B,C可以将四盏灯全部熄灭D.按开关A,B,C无法将四盏灯全部熄灭15.(xx北京西城二模)在某中学的“校园微电影节”活动中,学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影,则称A电影不亚于B电影.已知共有5部微电影参展,如果某部电影不亚于其他4部,那么就称此部电影为优秀影片.那么在这5部微电影中,最多可能有部优秀影片.答案精解精析A组基础题组1.A 55=3 125,56=15 625,57=78 125,58=390 625,59=1 953 125,510=9 765 625,……,可得59与55,510与56的末四位数字相同,……,由此可归纳出5m+4k与5m(k∈N*,m=5,6,7,8)的末四位数字相同,又xx=4×503+5,所以52 017与55的末四位数字相同,故52 017的末四位数字为3 125,故选A.2.D 由已知归纳得,偶函数的导函数为奇函数,又由题意知f(x)是偶函数,所以其导函数应为奇函数,故g(-x)=-g(x).选D.3.C 解法一:由a+b=1,a2+b2=3得ab=-1,则a10+b10=(a5+b5)2-2a5b5=123,故选C.解法二:令a n=a n+b n,则a1=1,a2=3,a3=4,a4=7,a5=11,……,得a n+2=a n+a n+1,从而a6=18,a7=29,a8=47,a9=76,a10=123,故选C.4.A 由前4行的特点,归纳可得:若a nm=(x,y),则x=m,y=n-m+1,∴a nm=(m,n-m+1).5.B 因为这10名学生中进入立定跳远决赛的有8人,故立定跳远成绩排名最后的9号和10号学生就被淘汰了.又因为同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则1~8号学生中必有2人被淘汰,因为a-1<a,其余数字最小的为60,故有以下几种情况:①若a-1≥63,此时淘汰的不止2人,故此种情况不可能;②若a-1<a<60,此时被淘汰的为2号和8号;③若60≤a-1<a≤63,此时被淘汰的为4号和8号.综上,8,9,10号学生一定会被淘汰,2号有可能会被淘汰,故选B.6.答案37;3n2-3n+1解析因为f(1)=1, f(2)=7=1+6, f(3)=19=1+6+12,所以f(4)=1+6+12+18=37,所以f(n)=1+6+12+18+…+6(n-1)=3n2-3n+1.7.答案1,2,3,4解析甲先报1,2,3,4,然后不管乙报几个数,甲只需要每次报数的个数与乙报数的个数和为8即可,因为100-4=96=8×12,故12轮过后,甲获胜.8.答案810解析设x天后,第一次有人返程,不妨设丙,则丙已经消耗了x天的水和食物,丙安全返程仍需x天的水和食物,所以丙剩余(36-2x)天的水和食物给甲和乙,甲乙二人各得(18-x)天的水和食物.若要甲能深入沙漠最远,则(18-x)+(36-x)=36,解得x=9.设又过了y天,乙也返程,乙安全返程需要(9+y)天的水和食物,所以乙能够留给甲[36-y-(9+y)]天的水和食物,要使甲能够深入沙漠最远,则[36-y-(9+y)]+(36-y)=36,解得y=9.设再过z天,甲返程,此时9+9+z=36-z,解得z=9.综上,甲最远能深入沙漠30×(9+9+9)=810千米.B组提升题组9.A 5为奇数,4为偶数,且5>4,故总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多,故选A.10.C 如图.∵A、D、E点各有一个工厂相连,B,C点各有两个工厂相连,把工厂看作“人”,可简化为“A、B、C、D、E处分别站着1,2,2,1,1个人,求一点,使所有人走到这一点的距离和最小”.把人尽量靠拢,显然把人聚到B,C最合适,靠拢完的结果变成B点有3人,C点有4人,显然移动3个人比移动4个人的路程少.所以车站设在C点好于B点,且与各段小公路的长度无关.故选C.11.B 甲与戊均可承担第二、四项工作,乙承担第一项工作,丙承担第三项工作,丁承担第五项工作,获得的效益值总和为79.12.B 由题意可知乙与丁的说法同时正确或者同时错误.若乙与丁的说法同时正确,根据乙的说法:“2班没有获奖,3班获奖了”知中奖情况有两种:1班和3班获奖或者4班和3班获奖,两种情况都说明丙同学的说法正确,这样就有丙,乙,丁三位同学的说法正确,所以不符合题意,故只能乙、丁两位同学的说法同时错误,从而知甲、丙两位同学的说法正确,故选B. 13.D 由题意可知,五项运动前三名得分总和为22+9×2=40分,故每项运动前三名得分总和为a+b+c=40÷5=8分(a>b>c且a,b,c∈N*).(1)当c≥2时,乙、丙的最低得分大于或等于2×5=10分,不符合题意,故c=1,b>1;(2)当b≥3时,a≤4,甲最高得分小于或等于4×5=20分,不符合题意,故b=2,于是可得a=5,b=2,c=1.由乙获得了马术比赛的第一名可知乙在该项运动得分为5分,又乙最终得分为9分,所以乙在其余四项运动中得分均为1分,即均为第三名.因为甲最终得22分,所以甲必须得四个第一名,一个第二名,此时,丙获得三个第二名,一个第三名.故游泳比赛的第三名可能是乙或丙.14.D 由题意易排除A,B.假设按a次A开关,b次B开关,c次C开关后四盏灯全部熄灭,则1号灯变化了(b+c)次,2号灯变化了(a+c)次,3号灯变化了(a+b)次,4号灯变化了(a+b+c)次.要想让4盏灯全部熄灭,每个灯都应变化奇数次,即b+c,a+c,a+b,a+b+c均为奇数,所以(a+b)+(b+c)+(a+c)+(a+b+c)=3(a+b+c)应为偶数,这与a+b+c为奇数矛盾,故选D.15.答案 5解析将这5部电影分别记为A、B、C、D、E.若点播量和专家评分(5分制)如下表,则优秀影片最多.A B C D E点播量 1 2 3 4 5专家评5 4 3 2 1分对于A电影,专家评分高于B、C、D、E,则A为优秀影片.对于B电影,点播量高于A,则B不亚于A;专家评分高于C、D、E,则B不亚于C、D、E,故B为优秀影片. 同理,C、D、E均为优秀影片. bh28929 7101 焁27505 6B71 歱 27143 6A07 樇833394 8272 色!25357 630D 挍P23933 5D7D 嵽35457 8A81 誁。

第3节合情推理与演绎推理课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.推理“①矩形是平行四边形;②三角形不是平行四边形;③三角形不是矩形”中的小前提是( B )(A)① (B)② (C)③ (D)①和②解析:由演绎推理三段论可知,①是大前提;②是小前提;③是结论.故选B.2.(2013河南焦作二模)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R 为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则a-b=0⇒a=b”类比推出“若a,b∈C,则a-b=0⇒a=b”;②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d”类比推出“若a, b,c,d∈Q,则a+b=c+d⇒a=c,b=d”;③若“a,b∈R,则a-b>0⇒a>b”类比推出“若a,b∈C,则a-b>0⇒a>b”.其中类比结论正确的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:①②正确,③错误,因为两个复数如果不是实数,不能比较大小.故选C.3.(2013上海闸北二模)平面内有n条直线,最多可将平面分成f(n)个区域,则f(n)的表达式为( C )(A)n+1 (B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1条直线将平面分成1+1个区域;2条直线最多可将平面分成1+(1+2)=4个区域;3条直线最多可将平面分成1+(1+2+3)=7个区域; ……;n条直线最多可将平面分成1+(1+2+3+…+n)=1+=个区域,选C.4.定义A*B,B*C,C*D,D*A的运算分别对应图中的(1)(2)(3)(4),那么如图中(a)(b)所对应的运算结果可能是( B )(A)B*D,A*D (B)B*D,A*C(C)B*C,A*D (D)C*D,A*D解析:观察图形及对应运算分析可知,基本元素为A→|,B→□,C→—,D→○,从而可知图(a)对应B*D,图(b)对应A*C.故选B.5.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是( B )(A)(7,5) (B)(5,7) (C)(2,10) (D)(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且有n个整数对.这样前n组一共有个整数对.注意到<60<.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).故选B.6.对于a、b∈(0,+∞),a+b≥2(大前提),x+≥2(小前提),所以x+≥2(结论).以上推理过程中的错误为( A )(A)小前提(B)大前提(C)结论 (D)无错误解析:大前提是a,b∈(0,+∞),a+b≥2,要求a、b都是正数;x+≥2是小前提,没写出x的取值范围,因此本题中的小前提有错误.故选A.二、填空题7.(2013山东实验中学一模)以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足+=1,则a≤”的证明过程:证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a 1+a2≤.根据上述证明方法,若n个正实数满足++…+=1时,你能得到的结论为.(不必证明)解析:由题意可构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,即a 1+a2+…+a n≤.答案:a 1+a2+…+a n≤8.(2013茂名一模)已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,24×1×3×5×7=5×6×7×8,…依此类推,第n个等式为.解析:由前4个等式可归纳得出第n个等式为2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n).答案:2n×1×3×5×…×(2n-1)=(n+1)(n+2)…(n+n)9.(2013江西师大附中模拟)若数轴上不同的两点A,B分别与实数x1,x2对应,则线段AB的中点M与实数对应,由此结论类比到平面得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3)对应,则△ABC的重心G与对应.解析:由类比推理得,若平面上不共线的三点A,B,C分别与二元实数对(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)对应,则△ABC的重心G与(,)对应.答案:(,)10.设等差数列{a n}的前n项和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n}的前n项积为T n,则T4,, ,成等比数列.解析:对于等比数列,通过类比等差数列的差与等比数列的商,可得T4,,,成等比数列.答案:11.用黑白两种颜色的正方形地砖依照如图所示的规律拼成若干个图形,则按此规律,第100个图形中有白色地砖块;现将一粒豆子随机撒在第100个图中,则豆子落在白色地砖上的概率是.解析:按拼图的规律,第1个图有白色地砖3×3-1(块),第2个图有白色地砖3×5-2(块),第3个图有白色地砖3×7-3(块),…,则第100个图中有白色地砖3×201-100=503(块).第100个图中黑白地砖共有603块,则将一粒豆子随机撒在第100个图中,豆子落在白色地砖上的概率是.答案:503三、解答题12.在锐角三角形ABC中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+ cos C.证明:∵△ABC为锐角三角形,∴A+B>,∴A>-B,∵y=sin x在上是增函数,∴sin A>sin=cos B,同理可得sin B>cos C,sin C>cos A,∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C.B组13.在实数集R中定义一种运算“*”,对任意给定的a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;(2)对任意a∈R,a*0=a;(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.关于函数f(x)=(3x)*的性质,有如下说法①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为,.其中所有正确说法的个数为( B )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:f(x)=f(x)*0=*0=0*+[(3x)*0]+-2×0=3x×+3x+=3x++1.当x=-1时,f(x)<0,故①错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x),所以②错误;令f'(x)=3->0,得x>或x<-,因此函数f(x)的单调递增区间为,,③正确.故选B. 14.(2013中山市高三期末)如图,对大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”:仿此,62的“分裂”中最大的数是;20133的“分裂”中最大的数是.解析:22的“分裂”中最大的数是3=2×2-1,32的“分裂”中最大的数是5=2×3-1,42的“分裂”中最大的数是7=2×4-1,…,由归纳推理可得62的“分裂”中最大的数是2×6-1=11;23的“分裂”中最大的数是5=22+1,33的“分裂”中最大的数是11=32+2,43的“分裂”中最大的数是19=42+3,…,由归纳推理可得20133的“分裂”中最大的数是20132+2012.答案:11 20132+201215.已知函数f(x)=,(1)分别求f(2)+f(),f(3)+f(),f(4)+f()的值;(2)归纳猜想一般性结论,并给出证明;(3)求值:f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f().解:(1)∵f(x)=,∴f(2)+f()=+=+=1,同理可得f(3)+f()=1,f(4)+f()=1.(2)由(1)猜想f(x)+f()=1,证明:f(x)+f()=+=+=1.(3)f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f()+f()+…+f() =f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+…+[f(2013)+f()]=+=+2012=.。

第3讲合情推理与演绎推理板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1合情推理考点2演绎推理1．定义:从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．模式:“三段论"是演绎推理的一般模式：1．合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确．2．合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√"，错误的打“×”)（1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（)(2)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（)(3)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（)（4）“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数",这是三段论推理，但其结论是错误的．()答案(1）×（2)×（3)×（4）√2．[2018·长春模拟］设n∈N*,则＝()答案A3．［课本改编]下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．答案错误!解析由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2,第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3,第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝错误!.4．[课本改编］在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案1∶8解析因为两个正三角形是相似的三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体,体积之比为相似比的立方．所以它们的体积比为1∶8.5．[2015·陕西高考］观察下列等式1－错误!＝错误!1－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!1－错误!＋错误!－错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋错误!…据此规律,第n个等式可为________．答案1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!解析观察所给等式的左右可以归纳出1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!.6．［2018·东北三省模拟］在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀"；乙说：“我得了优秀”；甲说:“丙说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话,那么得优秀的同学是________．答案丙解析分析题意只有一人说假话可知,甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀,甲也没有得优秀，得优秀的是丙．板块二典例探究·考向突破考向归纳推理命题角度1数字的归纳例1［2018·浙江模拟］“杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记a n为图中第n行各个数之和,则a5＋a11的值为(）A．528 B．1020C．1038 D．1040答案D解析第一行数字之和为a1＝1＝21－1，第二行数字之和为a2＝2＝22－1，第三行数字之和为a3＝4＝23－1，第四行数字之和为a4＝8＝24－1,……第n行数字之和为a n＝2n－1，∴a5＋a11＝24＋210＝1040。