2018届苏教版 专题48直线与圆、圆与圆的位置关系 单元测试

高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =， 故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43， 故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可 【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。

高考数学复习知识点专题强化训练专题(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系A级——夯基保分练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B 由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B 连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.5．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 6B.5C．－ 6 D．－5解析：选BD 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.6．(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选AD 圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或10，故选A 、D.7．(2020·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.解析：设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m＝－12或－72.答案：－12或－728．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝09．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a >0)， 则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2， 解得a ＝3或－1(舍去)， 故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0， 解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．(一题两空)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________； (2)满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程为____________． 解析：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 当l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 答案：(1)x ＝1或3x ＋4y －15＝0 (2)2x －4y ＋1＝011．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——提能综合练13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB 圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2,0)，半径R ＝2.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2R ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ＝22， 即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22， ∴实数k 的取值可以是1,2.故选A 、B.14．(2020·河南洛阳二模)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |， 不妨令|AD |＝5m (m >0)， 由3AD ―→＝5DB ―→可得 |BD |＝3 m ，|AB |＝8m ， 则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，②联立①②，解得r ＝10.答案：1015．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2， 即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0， 即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2m 2－11＋k 2－2k 2m 21＋k2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2， 又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k 2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2. C 级——拔高创新练16．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52.则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。

直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.若点M(a,b)是圆x2+y2=r2内异于圆心的一点,则直线ax+by=r2与圆的交点个数为().A.0B.1C.2D.需要讨论确定答案:A解析:由题意知a2+b2<r2,所以圆心(0,0)到直线ax+by-r2=0的距离d=r2a2+b>r,即直线与圆相离,无交点.2.若点A(1,0)和点B(4,0)到直线l的距离依次为1和2,则这样的直线有().A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C解析:以点A为圆心,以1为半径长的圆的方程为(x-1)2+y2=1,以点B为圆心,且以2为半径的圆的方程为(x-4)2+y2=4,则直线l为两圆的公切线,|AB|=3=1+2,即圆A与圆B外切,因此两圆的公切线有3条,即直线l有3条,故选C.3.(2015重庆高考)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=().A.2B.42C.6D.210答案:C解析:依题意,直线l经过圆C的圆心(2,1),因此2+a-1=0,所以a=-1,因此点A的坐标为(-4,-1).又圆C 的半径r=2,由△ABC为直角三角形可得|AB|=|AC|2-r2.又|AC|=210,所以|AB|=(210)2-22=6.4.若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交,则实数m的取值范围为().A.(-∞,+∞)B.(-∞,0)C.(0,+∞)D.(-∞,0)∪(0,+∞)答案:D解析:由圆的方程可知圆心坐标为(1,1),半径为1,因为直线与圆相交,所以有2<1,解得m2>0, 所以实数m的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞).5.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B两点,则CA·CB的值为().A.-1B.0C.1D.6答案:B解析:由题意可知,圆心C(3,3)到直线AB:x-y+2=0的距离为d=1+1= 2.又因为sin∠BAC=dr =22,所以∠BAC=45°.又因为CA=CB,所以∠BCA=90°.故CA·CB=0.6.若圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切,则圆心P 的轨迹方程为().A.y2-4x+4y+8=0B.y2+2x-2y+2=0C.y2+4x-4y+8=0D.y2-2x-y-1=0答案:C解析:由圆x2+y2-ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y=x-1上,故可得a=2,即点C(-2,2),所以过点C(-2,2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x+2)2+(y-2)2=x2,整理得y2+4x-4y+8=0.7.若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是,猜想它表示的图形是.答案:2x+2y-2z-3=0线段AB的中垂面解析:由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个方程表示线段AB的中垂面.8.如果点P在平面区域2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-2≤0上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为.答案:5-1解析:由点P在平面区域2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-2≤0上,画出点P所在的平面区域.由点Q在圆x2+(y+2)2=1上,画出点Q所在的圆,如图所示.由题意结合图形,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离减去半径1.又圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离为1+2=5,此时垂足(-1,0)在满足条件的平面区域内,故|PQ|的最小值为5-1.9.已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0,m<61.(1)m取何值时两圆外切?(2)m取何值时两圆内切?(3)求当m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解:两圆的标准方程为(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圆心分别为M (1,3),N (5,6),半径分别为 11和 61-m .(1)当两圆外切时, (5-1)2+(6-3)2= 11+ 61-m ,解得m=25+10 11.(2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离5,故只有 61-m − 11=5, 解得m=25-10 11.(3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x 2+y 2-2x-6y-1)-(x 2+y 2-10x-12y+45)=0, 即4x+3y-23=0,∴公共弦长为2 ( 11)2-4+3 2=2 7.能力提升组10.若直线y=x+b 与曲线y=3- 4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是( ). A.[1-2 2,1+2 2] B.[1- 2,3] C.[-1,1+2 2] D.[1-2 2,3]答案:D解析:y=3- 4x -x 2变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x ≤4,1≤y ≤3),表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆,如图所示.若直线y=x+b 与曲线y=3- 4x -x 2有公共点,只需直线y=x+b 在图中两直线之间(包括图中两条直线),y=x+b 与下半圆相切时,圆心到直线y=x+b 的距离为2,即2=2,解得b=1-2 2或b=1+2 2(舍去),∴b 的取值范围为1-2 2≤b ≤3.故选D .11.(2015山东高考)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( ). A.-53或-35 B.-32或-23 C.-54或-45D.-43或-34答案:D解析:如图,作出点P (-2,-3)关于y 轴的对称点P 0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P 0.故设反射光线为y=k (x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.∴圆心到直线的距离d=1+k =1,解得k=-43或k=-34.12.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ). A .4π5B .3π4C.(6-2 5)πD .5π4答案:A解析:由题意可知圆C 的圆心(设其为M )为线段AB 的中点,且圆C 过原点(0,0),∵圆C 与直线2x+y-4=0相切,∴圆C 的圆心M 到原点(0,0)的距离等于M 点到直线2x+y-4=0的距离.由抛物线的定义可知,圆C 的圆心M 的轨迹是以(0,0)为焦点,2x+y-4=0为准线的抛物线.如图所示.要使圆C 面积最小,则需找出圆C 半径的最小值.由抛物线和准线的关系可知抛物线的顶点到准线的距离最短,即为(0,0)到直线2x+y-4=0的距离的一半.因此,圆C 半径的最小值为r min = 5×12=2 55. 故圆C 面积的最小值为πr min 2=π×2 552=4π5. 13.已知方程x 2+x tan θ−1sin θ=0有两个不相等实根a 和b ,那么过点A (a ,a 2),B (b ,b 2)的直线与圆x 2+y 2=1的位置关系是 . 答案:相切解析:由题意可知过A ,B 两点的直线方程为(a+b )x-y-ab=0,圆心到直线AB 的距离为d=(a +b )+1,而a+b=-1tan θ,ab=-1sin θ,因此d= 1sin θ1tan 2θ+1,化简后得d=1,故直线与圆相切.14.设M={(x ,y )|y= 2a 2-x 2,a>0},N={(x ,y )|(x-1)2+(y- 3)2=a 2,a>0},当M ∩N ≠⌀时,求a 的最大值与最小值.解:因为集合M={(x ,y )|y= 2a 2-x 2,a>0},所以集合M 表示以O (0,0)为圆心,半径为r 1= 2a 的上半圆. 同理,集合N 表示以O'(1, 3)为圆心,半径为r 2=a 的圆. 这两个圆的半径随着a 的变化而变化,但|OO'|=2.如图所示,当两圆外切时,由 2a+a=2,得a=2 2-2; 当两圆内切时,由 2a-a=2,得a=2 2+2. 所以a 的最大值为2 2+2,最小值为2 2-2. 15.已知圆O :x 2+y 2=4和点M (1,a ),(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切,求实数a 的值,并求出切线方程; (2)若a= 2,过点M 的圆O 的两条弦AC ,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值. 解:(1)由条件知点M 在圆O 上,所以1+a 2=4,解得a=± 3.当a= 3时,点M 为(1, 3),k OM = 3,k 切线=- 33,此时切线方程为y- 3=- 33(x-1),即x+ 3y-4=0.当a=- 3时,点M 为(1,- 3),k OM =- 3,k 切线= 33,此时切线方程为y+ 3=33(x-1),即x- 3y-4=0.所以所求的切线方程为x+ 3y-4=0,或x- 3y-4=0.(2)设O 到直线AC ,BD 的距离分别为d 1,d 2(d 1,d 2≥0),则d 12+d 22=|OM|2=3. 于是|AC|=2 4-d 12,|BD|=2 4-d 22.所以|AC|+|BD|=2 4-d 12+2 4-d 22.则(|AC|+|BD|)2=4(4-d 12+4-d 22+2 4-d 12 4-d 22)=4[5+2 16-4(d 12+d 22)+d 12d 22] =4(5+2 4+d 12d 22). 因为2d 1d 2≤d 12+d 22=3,所以d 12d 22≤94,当且仅当d 1=d 2= 62时取等号.所以 4+d 12d 22≤52.所以(|AC|+|BD|)2≤4× 5+2×52 =40. 所以|AC|+|BD|≤2 10, 即|AC|+|BD|的最大值为2 10.。

江苏专版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十三直线与圆圆与圆的位置关系文含解析苏教版课时跟踪检测（四十三） 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·扬州期末)已知直线l ：x ＋3y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：圆心C (0,0)到直线l 的距离d ＝|0＋3×0－2|1＋3＝1，所以AB ＝24－1＝23，故弦AB 的长为2 3.答案：2 32．(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y ＝0与圆(x －3)2＋(y －1)2＝25相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________．解析：圆(x －3)2＋(y －1)2＝25的圆心坐标为(3,1)，半径为5. ∵圆心(3,1)到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1|5＝5，∴线段AB 的长为2r 2－d 2＝225－5＝4 5. 答案：4 53．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，则圆半径r 的取值范围为________．解析：∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)的圆心坐标为(3，－5)，半径为r ， ∴圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，∵圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，∴|r －5|＜2，解得3＜r ＜7.答案：(3,7)4．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，故圆心到直线的距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1. 即|m －5|≤5，解得0≤m ≤10. 答案：[0,10]5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为C ，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则S △ABC ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，圆心为(3,0)，半径为2.∵点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23， ∴圆心(3,0)到直线AB 的距离为22－32＝1，∴S △ABC ＝12×23×1＝ 3.答案： 36．若圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与直线y ＝－1相切，其圆心在y 轴的左侧，则m ＝________.解析：圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋122，圆心到直线y ＝－1的距离m 2＋12＝|0－(－1)|，解得m ＝±3，因为圆心在y 轴的左侧，所以m ＝ 3.答案： 3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy 中，若点A 到原点的距离为2，到直线 3x ＋y －2＝0的距离为1，则满足条件的点A 的个数为________．解析：如图，作出直线3x ＋y －2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，∵原点O 到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，∴在直线3x ＋y －2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1，过原点作直线3x ＋y －2＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线3x ＋y －2＝0的距离为1.故满足条件的点A 共3个． 答案：32．(2018·苏州调研)两圆交于点A (1,3)和B (m,1)，两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上， 则m ＋c ＝________.解析：由题意可知线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，2在直线x －y ＋c 2＝0上，代入得m ＋c ＝3.答案：33．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．解析：因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT ＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8或a ＝－2或a ＝4，因为a ＞0，所以a＝4.答案：44．(2018·无锡模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，线段EF 在直线l ：y ＝x ＋1上运动，点P 为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A ，B ，使得PA ―→·PB ―→≤0，则线段EF 长度的最大值是________．解析：由PA ―→·PB ―→≤0得∠APB ≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB 才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，当∠APB ≥90°时， ∠MPN ≥90°，sin ∠MPC ＝2PC ≥sin 45°＝22，所以PC ≤2 2.另当过点P ，C 的直线与直线l ：y ＝x ＋1垂直时，PC min ＝322，以C 为圆心，CP ＝22为半径作圆交直线l 于E ，F 两点，这时的线段长即为线段EF 长度的最大值，所以EF max ＝2222－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝14. 答案：145．(2019·镇江调研)若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：如图，因为圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA . 又因为OA ＝5，O 1A ＝25，所以OO 1＝5.又A ，B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．由12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.所以AB ＝4. 答案：46．(2018·淮阴期末)圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0相内切，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋4b2的最小值为________．解析：由题意，两圆的标准方程分别为 (x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1， ∴圆心分别为(－a,0)，(0，b )，半径分别为2和1. ∵两圆相内切，∴a 2＋b 2＝1，∴a 2＋b 2＝1，∴1a 2＋4b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)＝5＋4a 2b 2＋b 2a 2≥5＋4＝9，当且仅当4a 2b 2＝b 2a 2，即a 2＝13，b 2＝23时等号成立．故1a 2＋4b2的最小值为9.答案：97．(2018·苏北四市期末)已知A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，则|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为________．解析：如图，因为A ，B 是圆C 1：x 2＋y 2＝1上的动点，AB ＝3，所以线段AB 的中点H 在圆O ：x 2＋y 2＝14上，且|PA ―→＋PB ―→|＝2|PH ―→|.因为点P 是圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1上的动点，所以5－32≤|PH ―→|≤5＋32，即72≤|PH ―→|≤132，所以7≤2|PH ―→|≤13，从而|PA ―→＋PB ―→|的取值范围为[7,13]．答案：[7,13]8．(2019·淮安模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为________．解析：圆O 的圆心为O (0,0)，半径r ＝1.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形，故有PO ＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k≤2，即1＋k ≥2，解得k ≥1，∴实数k 的最小值为1. 答案：19．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －22＋－2a ＋12＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝1－22＋－2＋12＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 所以直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．解：(1)圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以圆心C (2,0)，半径为2. 因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)， 所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0， 则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2＋m |2.因为MN ＝AB ＝22＋22＝22， 而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，解得m ＝0或m ＝－4，故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(2)假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4，PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4. 因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交， 所以点P 的个数为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)过曲线y ＝2|x －a |＋x －a 上的点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，若这样的点P 有且只有两个，则实数a 的取值范围是________．解析：根据题意，若经过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，且∠APB ＝60°，则∠OPA ＝30°，所以PO ＝2AO ＝2，故点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝4.y ＝2|x －a |＋x －a ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3a ，x ≥a ，－x ＋a ，x ＜a ，当x ≤a 时，曲线为x ＋y －a ＝0， 当x ≥a 时，曲线为3x －y －3a ＝0.故当a ＜0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|3a |1＋9＜2，即－3a10＜2， 解得a ＞－2103，即－2103＜a ＜0；当a ＝0时，曲线为y ＝2|x |＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－x ，x ＜0，符合题意；当a ＞0时，若这样的点P 有且只有两个，必有|a |1＋1＜2，解得a ＜22，即0＜a ＜22， 综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2103，222．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (1,0)的直线l 与圆x 2＋y2＝5交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且BM ―→＝2MA ―→，则直线l 的方程为__________．解析：法一：易知直线l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －1)．由BM ―→＝2MA ―→，可设BM ＝2t ，MA ＝t ，如图，过原点O 作OH ⊥l 于点H ，则BH ＝3t 2.设OH ＝d ，在Rt △OBH 中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＝r 2＝5，在Rt △OMH中，d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＝OM 2＝1，解得d 2＝12.所以d 2＝k 2k 2＋1＝12，解得k ＝1或k ＝－1，因为点A 在第一象限，BM ―→＝2MA ―→，由图知k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以MA ―→＝(x 1－1，y 1)，BM ―→＝(1－x 2，－y 2)． 因为BM ―→＝2MA ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＝2x 1－1，－y 2＝2y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝2x 1－3，－y 2＝2y 1.又x 22＋y 22＝5，所以(2x 1－3)2＋4y 21＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝5，2x 1－32＋4y 21＝5，解得x 1＝2，代入可得y 1＝±1， 又点A 在第一象限，故A (2,1)，所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝03．已知圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝4. (1)过点C 1作圆C 2的切线，求该切线方程；(2)过圆心C 1作倾斜角为θ的直线l 交圆C 2于A ，B 两点，且A 为C 1B 的中点， 求sin θ；(3)过点P (m,1)引圆C 2的两条割线l 1和l 2.直线l 1和l 2被圆C 2截得的弦的中点分别为M ，N ，试问过点P ，M ，N ，C 2的圆是否过定点(异于点C 2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为y ＝k (x ＋1)， 由题意得|5k |1＋k2＝2，解得k ＝±22121， 所以所求直线方程为y ＝±22121(x ＋1)，即2x ±21y ＋2＝0. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 则圆心C 2到直线l 的距离d ＝5k 1＋k2，设AB 的中点为R ，则AR ＝4－d 2＝12AB ＝13C 1R ＝1325－d 2，解得d 2＝118.在Rt △C 1RC 2中，sin θ＝C 2R C 1C 2＝d 5＝2220. (3)依题意，过点P ，M ，N ，C 2的圆即为以PC 2为直径的圆， 所以(x －4)(x －m )＋(y －1)(y －0)＝0， 即x 2－(m ＋4)x ＋4m ＋y 2－y ＝0，。

【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是________． 【解析】圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线与圆相交．2．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于________．【解析】圆x 2＋y 2＝4的圆心(0，0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝1，则||AB ＝2r 2－d 2＝2 3.3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为________________．题组二 常错题4．过点(2，3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为____________________．5．已知两圆O 1：x 2＋y 2＝9，O 2：(x －3)2＋(y ＋4)2＝m 2相切，则实数m 的取值组成的集合为________________．【解析】当两圆内切时， |m |－3＝ （3－0）2＋（－4－0）2⇒m ＝±8；当两圆外切时， 3＋|m |＝3－0）2＋（－4－0）2⇒m ＝±2.所以实数m 的取值组成的集合为{}－8，－2，2，8.题组三 常考题6． 设直线y ＝x ＋22与圆C ：x 2＋y 2－22y －2＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 x 2＋y 2－22y －2＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，则圆心为C (0，2)，半径为2.C 到直线y ＝x ＋22的距离d ＝|0－2＋22|2＝1，所以|AB |＝222－12＝2 3.7．若点P (－2，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________________________________________________________________________．【解析】依题意圆的方程为x 2＋y 2＝8，所以该圆在点P 处的切线方程为－2×x ＋2×y ＝8，即x －y ＋4＝0.8． 已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相外切，则a ＝________. 【解析】圆M 的圆心和半径分别为(0，a )，a ；圆N 的圆心和半径分别为(1，1)，1.依题意，两圆心的距离等于半径之和，即（1－0）2＋（1－a ）2＝1＋a ，解得a ＝14.【知识清单】考点1 直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d r =；3.代数法：0∆=，方程组有一组不同的解. 考点2 直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d r <；3.代数法：0∆>，方程组有两组不同的解. 考点3 圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆. 考点4 直线、圆的位置关系的综合应用设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C=，半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆.【考点深度剖析】直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查： (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断； (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围； (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长．【重点难点突破】考点1 直线与圆相切【1-1】设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 ；【答案】±2【解析】据题意，设直线方程为0x y a -+=.因为直线与圆相切，所以222a a =⇒=±.【1-2】过点()3,2M 作圆22:4240O x y x y ++-+=的切线方程是 ． 【答案】2y =或51290x y -+=2212311k kk --+-=+，解之得0k =或512k =.所以切线的方程为：2y =或51290x y -+=. 【思想方法】设圆的圆心为00(,)C x y 半径分别为r ，直线的方程为0Ax By C ++=.若直线与圆相切，则圆心到直线的0022Ax By C r A B++=+，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.【温馨提醒】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线． 2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单. 考点2 直线与圆相交及弦长【2-1】圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为 .【解析】将224460x y x y +-++=配方得：22(2)(2)2x y -++=，所以圆心到直线的距离为2d ==，弦长为l ===【2-2】直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程． 【答案】250x y --=或250x y -+= 【解析】【思想方法】1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长11PQ x x y y =-=-【温馨提醒】1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果. 考点3 圆与圆的位置关系【3-1】若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ． 【答案】122(,)(0,2)55--【3-2】已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3460x y -+=,245. 【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：3460x y -+=.将221:2610C x y x y ++-+=配方得： 22(1)(3)9x y ++-=，圆心到公共弦的距离为95d ==.所以弦长为1224255=⨯=. 【思想方法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【温馨提醒】比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系； 两圆方程相减即得公共弦方程；公共弦长要通过解直角三角形获得． 考点4 直线、圆的位置关系的综合应用【4-1】设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ． 【答案】46r <<【4-2】已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. ①若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；②设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程； ③设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】①3460x y +-=或2x =；②22(2)4x y -+=；③不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB .【思想方法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.【温馨提醒】数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.【易错试题常警惕】[失误与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。

让学生学会学习第14课 直线与圆的位置关系分层训练1．直线10x y ++=与圆2242x y x y +-+ 10+=的位置关系为： （ ） ()A 相离 ()B 相切 ()C 相交但直线不过圆心()D 相交且直线过圆心2．圆 222430x y x y +++-=到直线10x y ++=的点共有 （ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个3．圆22420x y x y F +-++=与y 轴交于,A B 两点，圆心为C ，若90ACB ∠=o ，则F的值是 （ ）()A - ()B ()C 3 ()D 3-4．若直线1ax by +=与圆221x y +=相交，则点(,)P a b 与圆的位置关系是 （ ）()A 在圆上 ()B 在圆外 ()C 在圆内 ()D 不能确定5．过圆上一点(3,4)P 作圆2225x y +=的切线，该切线的方程为 ． 6．与直线3y x =+垂直，且与圆228x y +=相切的直线方程是 ． 7．圆224440x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长等于 ．8．过(2,4)M 向圆22(1)(3)1x y -++=引切线，求切线方程并求切线长。

9．一个圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦长为，圆心在直线30x y -=上，求该圆的方程．拓展延伸10．已知直线2360x y ++=与圆222x y x ++60y m -+=（其圆心为点C ）交于,A B 两点，若CA CB ⊥，求实数m 的值．11．自点(3,3)P -射出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切 ，求光线l 所在直线方程．让学生学会学习本节学习疑点：。

直线与圆单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 直线与圆相切时，直线与圆心的距离等于（）。

A. 圆的半径B. 圆的直径C. 圆的周长D. 圆的面积2. 圆的方程为 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \)，其中 \( a \) 和\( b \) 分别代表（）。

A. 圆的半径和直径B. 圆的中心坐标C. 圆的周长和面积D. 圆的直径和面积3. 如果直线 \( y = mx + c \) 与圆 \( (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \) 相切，则直线到圆心的距离是（）。

A. \( \sqrt{m^2 + 1} \cdot r \)B. \( \frac{|ma - mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)C. \( \frac{|ma + mb + c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)D. \( \frac{|ma - mb - c|}{\sqrt{m^2 + 1}} \)4. 直线 \( x = 3 \) 与圆 \( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 5 \) 的位置关系是（）。

A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 圆心在原点，半径为 \( \sqrt{5} \) 的圆的方程是（）。

A. \( x^2 + y^2 = 5 \)B. \( x^2 + y^2 = 3 \)C. \( x^2 + y^2 = 4 \)D. \( x^2 + y^2 = 2 \)二、填空题（每题3分，共15分）6. 若直线 \( y = kx + 1 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 9 \) 相切，则\( k \) 的值为________。

7. 圆 \( x^2 + y^2 - 6x - 8y + 16 = 0 \) 的圆心坐标是________。

8. 若直线 \( x - 2y + 3 = 0 \) 与圆 \( x^2 + y^2 = 25 \) 相切，则圆心到直线的距离是________。

2.2.2 直线与圆的位置关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．【解析】l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l的斜率存在，∴l与圆一定相交．【答案】相交2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．1－2 【解析】由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故k AB＝－＝1.故所求直线0＋1方程为x－y－3＝0.【答案】x－y－3＝03．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.【解析】由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线|1－2－2a|方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝5，1＋a2解得a＝2.【答案】 24．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2 3时，a＝________.【解析】因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为3，所以圆心到直线的距离为1，即|a－2＋3|＝1，解得a＝± 2－1，因为a>0，所以a＝2－1.2【答案】2－15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．|－1－b|【解析】设圆心为(2，b)，则半径r＝b2＋1.又＝b2＋1，解得b＝1，r＝ 2.2【答案】 26．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有________个．|－1－2＋1| 【解析】圆心为(－1，－2)，半径r＝2 2，而圆心到直线的距离d＝＝2，2故圆上有3个点满足题意．1【答案】 37．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2 3，则c＝__________.|c| |c| 【解析】圆心到直线的距离为d＝，因为弦AB的长为2 ，所以4＝3＋2，所3 (5 )5以c＝±5.【答案】±58．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是________．【解析】设圆心为C，弦MN的中点为A，当MN＝2 3时，AC＝MC2－MA2＝4－3＝1.∴当MN≥23时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.|3k－2＋3|∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.k2＋13 ∴－≤k≤0.43【答案】[－，0]4二、解答题9．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2 7，求圆C的方程．【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，|15－－5|∴2r＝＝4 5，∴r＝2 5，22＋12|2a＋b＋15|∴＝r＝2 5，即|2a＋b＋15|＝10，①22＋1|2a＋b－5|＝r＝2 5，即|2a＋b－5|＝10，②22＋1又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，b－1 1∴＝，a－2 2由①②③解得Error!∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，2|2m|∴圆心到直线y＝x的距离为＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴2m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值.【解】(1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3,4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4,3)点在圆内．故直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．(2)因为直线经过定点P(4,3)，所以当PC与直线l垂直时，圆被直线截得的弦最短，设直线与圆的交点为A，B，1 2则由勾股定理得(AB )＝r2－|CP|2＝4－2＝2，2所以AB＝2 2，又因为PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，3－4直线PC的斜率为k PC＝＝－1，4－3所以直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.所以当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2 2.[能力提升]1．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝1－x2有两个公共点，则b的取值范围是________．【解析】如图，直线夹在l1与l2之间，不含l2含l1，故1≤b＜2.【答案】[1，2)2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．【解析】由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1<r<d＋1，∴4<r<6.【答案】(4,6)3．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PABC面积的最小值是________.3【解析】当CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0时，切线长最短，四边形PABC的面积最小，此时：|3＋4＋8| 15CP＝＝＝3.32＋42 5又r＝1，∴切线长为32－12＝2 2，1∴S＝2××22×1＝2 2.2【答案】 2 24．已知曲线C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a＝0.(1)证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；(2)当a≠2时，证明：曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；(3)若曲线C与x轴相切，求a的值．【解】(1)证明：曲线C的方程可变形为(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.由Error!解得Error!点(4，－2)满足C的方程，故曲线C过定点(4，－2)．(2)证明：配方得(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2，∵当a≠2时，5(a－2)2>0，∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是5|a－2|的圆．设圆心坐标为(x，y)，则有Error!1 消去a得y＝－x，21 故圆心必在直线y＝－x上．25 ± 5(3)由题意知5|a－2|＝|a|，解得a＝.24。