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11.2 数系的扩充与复数的引入[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝ －1＋i ii·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B解析 2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2 1－i 1＋i 1－i －2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(2018·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝ 2－i 1－2i 1＋2i 1－2i ＝－3i 3＝－i.故选C. 5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋12答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝ 2＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 6．(2017·安徽江南十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝ 2－i 2－i 2＋i 2－i ＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B.7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z －2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i ＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D 解析 由(z －i)⎝⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D. 10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立． 其中真命题为( )A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝ －1 2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.13．(2016·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 三、解答题15．(2017·徐汇模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0， 解得y ＝－2. ∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝ x －2i 2＋i 2－i 2＋i ＝ 2x ＋2 ＋ x －4 i 5， ∵z2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4.∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6，即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(2017·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值． 解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1.(2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 而|z |＝ m －1 2＋ 2m ＋1 2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。
国家高中数学课程标准正在研究的15个课题编者按：国家高中数学课程标准正在制订。
一个以“课程标准”为主题的高级研讨班己在南京举行。
为了集思广益，我们征得有关方面同意，将正在研究的15个课题内容在此发表，供关心中国未来课程发展的同志参考。
1、高中数学的选择性高中数学课程是否要有选择性，意见差异很大。
一种意见是应当文理兼通，数学不分文理。
前几年高考数学文理分卷的做法被认为不合适，某些地方己决定文理全卷。
另一种意见则相反，高中阶段应当有更大的选择空间。
一部分喜欢数学的学生，应该学得比现在课程中的数学多得多，而另一部分需要数学相对少的专业，则不必学得那么多（例如某些艺术类、高等职业类）。
文科类、一般理工类、数理科学类的学生，所要求的数学不应该是一样的。
从国际比较来看，绝大多数国家的高中数学都设置了多种选修系列。
日本高中实行学分制。
学生毕业的数学学分，从3学分到18不等，差异很大。
2、信息技术在高中课程中的位置及其作用众所周知，中国要想在科学技术领域与当今世界发达国家一较高下，必须充分发展信息技术。
这使得信息技术进入整个高中数学课程己是必然。
如何依据国家的相关需求与发展趋势，明确信息技术在未来高中数学课程中的地位与作用，将是该课题研究的主要任务。
具体内容凶手：从学生数学学习的角度不看，信息技术的意义究竟是什么；哪些信息技术可以（必须）进入高中数学课堂；科学计算器、图形计算器和CBL、计算机、网络？由于相关信息技术的介入，函数、几何、微积分、数据处理等内容将做相应的调整，有哪些需要调整、如何调整？更进一步，信息技术的介入，特别是一网以后将对学生学数学和教师教数学的方式产生什么样的影响？3、算法内容的设计与安排算法，是古代中国数学的一大特色，也是现代数学发展的一个重要方向随着计算机技术的迅猛发展，诸如排序算法、图论中的算法、无限的迭代算法等等，己为当代数学教育所密切关注。
遗憾的是，中国数学教育对此尚缺乏应有的重视。
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入增分练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入增分练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入增分练的全部内容。
第2讲数系的扩充与复数的引入板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z满足（1＋i)z＝2i，则｜z|＝( ）A。
错误! B。
错误! C.错误! D．2答案C解析错误!由（1＋i)z＝2i，得z＝错误!＝1＋i，∴|z｜＝错误!.故选C。
解法二：∵2i＝(1＋i)2，∴由（1＋i)z＝2i＝（1＋i)2，得z＝1＋i，∴|z|＝错误!。
故选C。
2．[2018·湖南模拟］已知错误!＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案D解析由错误!＝1＋i，得z＝错误!＝错误!＝错误!＝－1－i.3．［2018·江西模拟］已知复数z1＝cos23°＋isin23°和复数z2＝cos37°＋isin37°,则z1·z2为（）A。
错误!＋错误!i B.错误!＋错误!iC.错误!－错误!iD.错误!－错误!i答案A解析z1·z2＝（cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝错误!＋错误!i.故选A。
（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2讲数系的扩充与复数的引入板块一知识梳理·自主学习[必备知识］考点1 复数的有关概念1．复数的概念形如a＋b i（a,b∈R）的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a ＋b i为实数，若b≠0，则a＋b i为虚数，若a＝0，b≠0,则a＋b i为纯虚数．2．复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b,c，d∈R）．3．共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d（a,b,c，d∈R）．4．复数的模向量错误!的模r叫做复数z＝a＋b i的模，记作｜z|或｜a＋b i|,即｜z|＝｜a＋b i｜＝r ＝错误!（r≥0，r∈R）．考点2 复数的几何意义考点3 复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i（a，b,c,d∈R),则1．加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋（b＋d)i; 2．减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i）＝（a－c）＋(b－d)i；3．乘法:z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝（ac－bd)＋(ad＋bc）i；4．除法：z1z2＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i（c＋d i≠0)．［必会结论］1．（1±i）2＝±2i；错误!＝i；错误!＝－i.2．－b＋a i＝i(a＋b i）．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＊）．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＊)．［考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×")（1)方程x2＋1＝0没有解．（)(2）复数z＝a＋b i（a，b∈R)中，虚部为b i。
![[推荐学习]全国版2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引](https://img.taocdn.com/s1/m/b026f02be87101f69e31958a.png)
第2讲 数系的扩充与复数的引入板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 复数的有关概念 1．复数的概念形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．考点2 复数的几何意义考点3 复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则1．加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； 2．减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； 3．乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； 4．除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．[必会结论]1．(1±i)2＝±2i；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i.2．－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． 3．i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)．4．i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0(n ∈N *)．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．( )(4)已知复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，则z 在复平面内对应的点位于第三象限．( ) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×2．[2017·全国卷Ⅲ]复平面内表示复数z ＝i(－2＋i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 C解析 ∵z ＝i(－2＋i)＝－1－2i ，∴复数z ＝－1－2i 所对应的复平面内的点为Z (－1，－2)，位于第三象限．故选C.3．[2017·全国卷Ⅱ]3＋i 1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－3i ＋i ＋12＝2－i. 故选D.4．[2018·榆林模拟]设复数z ＝－2＋i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z －，则|(1＋z )·z －|等于( )A. 5 B ．2 5 C ．5 2 D.10 答案 D解析 ∵z ＝－2＋i ，∴z －＝－2－i ，∴|(1＋z )·z －|＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝1＋9＝10，故选D. 5．[2017·江苏高考]已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10.解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.6．[2018·湖北高中联考]已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是________．答案 1＋3i 解析 2z－z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i.板块二 典例探究·考向突破 考向复数的有关概念例 1 (1)[2017·全国卷Ⅰ]下列各式的运算结果为纯虚数的是( )A ．i(1＋i)2B ．i 2(1－i) C ．(1＋i)2 D ．i(1＋i) 答案 C解析 A 项，i(1＋i)2＝i(1＋2i ＋i 2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B 项，i 2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i ，不是纯虚数．C 项，(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，是纯虚数．D 项，i(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，不是纯虚数．故选C.(2)[2017·天津高考]已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意列方程(组)求解．【变式训练1】 (1)若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25 B ．－25i C.25 D.25i答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.故选A. (2)[2018·福州调研]已知m ∈R ，i 为虚数单位，若1－2im －i>0，则m ＝( ) A ．1 B.12 C.13 D ．－2答案 B解析 由已知得1－2i m －i ＝(1－2i )(m ＋i )(m －i )(m ＋i )＝m ＋2＋(1－2m )i m 2＋1，由1－2i m －i >0，可得1－2m ＝0，则m ＝12，选B. 考向复数的几何意义例 2 (1)[2017·北京高考]若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案 B解析 ∵(1－i)(a ＋i)＝a ＋i －a i －i 2＝a ＋1＋(1－a )i ，又∵复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.故选B.(2)[2018·贵阳模拟]已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝a －3i1－i在复平面上对应的点在y 轴上，则a ＝________.答案 －3 解析 z ＝a －3i 1－i＝(a －3i )(1＋i )2＝a ＋3＋(a －3)i2，由a ＋3＝0，得a ＝－3.触类旁通复数几何意义的理解及应用复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应着一个点(有序实数对)．复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．【变式训练2】 (1)[2018·邯郸模考]已知i 是虚数单位，若复数z ＝2＋a i 2＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A ．－2B ．1C ．2D ．3 答案 A解析 z ＝2＋a i 2＋i ＝(2＋a i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝4＋a ＋(2a －2)i 5，因为复数z ＝2＋a i2＋i在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a >0，2a －2<0，解得－4<a <1，选A.(2)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．答案 1解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.考向复数的代数运算命题角度1 复数的乘法运算例 3 [2017·山东高考]已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3答案 A解析 依题意得(a ＋3i)(a －3i)＝4，即a 2＋3＝4，∴a ＝±1.故选A.命题角度2 复数的除法运算例 4 [2015·全国卷Ⅰ]设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 A解析 由题意知1＋z ＝i －z i ，所以z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝i ，所以|z |＝1.命题角度3 复数的混合运算例 5 [2018·绍兴模拟]i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7＝________.答案 0解析 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21009＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2i 1009＋i 7＝i4×252＋1＋i 3＝i －i ＝0. 触类旁通复数的混合运算与实数的混合运算类似，需要注意i n的运算周期性．【变式训练3】 [2018·香坊模拟]已知复数z ＝5a 2＋i ＋1＋i1－i ，a ∈R ，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则实数a 的取值范围是( )A ．a >1B ．a <0C ．0<a <1D ．a <1 答案 A解析 z ＝5a (2－i )(2＋i )(2－i )＋(1＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2a ＋(1－a )i ，若复数z 对应的点在复平面内位于第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，1－a <0，解得a >1.故选A.核心规律1．实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．3．在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化．满分策略1．判定复数是不是实数，仅注意虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立.板块三 启智培优·破译高考数学思想系列12——解决复数问题的实数化思想[2018·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解题视点 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据已知中恒等的条件，列出一组含a ，b 的方程，解方程组使问题获得解决．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.答题启示 (1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把z 用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解，这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解. 跟踪训练[2018·金版创新]设复数z 满足z ＋|z －|＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－34＋i B.34＋i C ．－34－i D.34－i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，故z ＝34＋i ，故选B.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2017·全国卷Ⅲ]设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2 答案 C解析 解法一：由(1＋i)z ＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C. 解法二：∵2i ＝(1＋i)2，∴由(1＋i)z ＝2i ＝(1＋i)2，得z ＝1＋i ，∴|z |＝ 2.故选C.2．[2018·湖南模拟]已知(1－i )2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D解析 由(1－i )2z ＝1＋i ，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i.3．[2018·江西模拟]已知复数z 1＝cos23°＋isin23°和复数z 2＝cos37°＋isin37°，则z 1·z 2为( )A.12＋32iB.32＋12iC.12－32iD.32－12i 答案 A解析 z 1·z 2＝(cos23°＋isin23°)·(cos37°＋isin37°)＝cos60°＋isin60°＝12＋32i.故选A. 4．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B.35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43i答案 B解析 因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.故选B.5．[2018·天津模拟]已知复数z 满足(i －1)(z －i 3)＝2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．i －1B ．1＋2iC ．1－iD ．1－2i 答案 B解析 依题意可得z ＝2i i －1＋i 3＝－2i (1＋i )(1－i )(1＋i )－i ＝－(i －1)－i ＝1－2i ，其共轭复数为1＋2i ，故选B.6．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 20161＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i 答案 D解析 z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，则有1＋i20161＋i＝1＋11＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，选D. 7．[2018·郴州模拟]设z ＝1－i(i 是虚数单位)，若复数2z＋z 2在复平面内对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 z ＝1－i(i 是虚数单位)，复数2z ＋z 2＝21－i ＋(1－i)2＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )－2i ＝1－i.向量OZ →的模：12＋(－1)2＝ 2.故选B. 8．[2018·温州模拟]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i 2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i 1－i ＝－i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－i 2.9．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________. 答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋(－1)2＝ 5.10．[2017·浙江高考]已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.[B 级 知能提升]1．[2018·成都模拟]已知复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，线段AB 的中点C 对应的复数为 z ，则|z |＝( )A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．217 答案 A解析 复数z 1＝2＋6i ，z 2＝－2i ，若z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A (2,6)，B (0，－2)，线段AB 的中点C (1，2)对应的复数为z ＝1＋2i ，则|z |＝12＋22＝ 5.故选A.2．[2017·全国卷Ⅰ]设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.3．[2018·厦门模拟]已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 4．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位． (1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝(b i －2)(1－i )(1＋i )(1－i )＝(b －2)＋(b ＋2)i 2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．5．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i.又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z 是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。
11.2 数系的扩充与复数的引入[知识梳理]1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →.3．复数代数形式的四则运算 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是OZ 1→－OZ 2→＝Z 2Z 1→所对应的复数． 4．模的运算性质：①|z |2＝|z |2＝z ·z ；②|z 1·z 2|＝|z 1||z 2|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|. [诊断自测] 1．概念思辨(1)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且a ≠0)一定有两个根．( ) (2)若复数a ＋b i 中a ＝0，则此复数必是纯虚数．( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．教材衍化(1)(选修A1－2P 63A 组T 1(3))在复平面内，复数z ＝12＋i(i 为虚数单位)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 z ＝12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i ，其对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－15，在第四象限．故选D.(2)(选修A1－2P 61A 组T 3)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i 答案 C解析 ∵A (6,5)，B (－2,3)，∴线段AB 的中点C (2,4)，则点C 对应的复数为z ＝2＋4i.故选C.3．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案 D 解析3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i.故选D. (2)(2015·全国卷Ⅰ)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 A解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝(i －1)2(i ＋1)(i －1)＝－2i－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A.题型1 复数的有关概念典例已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .复数问题实数化．解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则y ＝a －b i ，x ＋y ＝2a ，xy ＝a 2＋b 2， 代入原式，得(2a )2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，根据复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，－3(a 2＋b 2)＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.故所求复数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．见典例．冲关针对训练(2018·山西四校联考)i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则lg (a ＋b )的值是( )A ．－2B ．－1C ．0 D.12答案 C解析 因为2＋i 1＋i ＝(2＋i )(1－i )2＝32－i 2，所以a ＝32，b ＝－12，a ＋b ＝1，所以lg (a ＋b )＝0，故选C.题型2 复数的几何意义典例1 (2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)根据复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的几何意义，写出不等式求解．答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <1⇒－3<m <1.故选A.[条件探究1] 若将典例1中条件“z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限”变为“复数z 的共轭复数z －＝1＋2i(i 为虚数单位)”，则复数z 在复平面内对应的点在第几象限？解 由条件知z ＝1－2i ，其在复平面内对应的点为(1，－2)，在第四象限． [条件探究2] 若将典例1中条件变为“复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限”，求实数a 的取值范围．解 ∵复数(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >1，∴a <－1.即实数a 的取值范围是(－∞，－1)．典例2 (2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 先求z 的代数形式，再求|z |.答案 C解析 由(1＋i)z ＝2i 得z ＝2i1＋i＝1＋i ， ∴|z |＝ 2.故选C. 方法技巧复数几何意义及应用1．复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →.见典例1.2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．3．|z |的几何意义：令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2，由此可知表示复数z 的点到原点的距离就是|z |的几何意义；|z 1－z 2|的几何意义是复平面内表示复数z 1，z 2的两点之间的距离．见典例2.冲关针对训练1．(2014·全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i 答案 A解析 由题意得z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5，故选A.2．若复数z 满足①|z |≥1；②|z ＋i|≤|－1－2i|，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．答案 4π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z |≥1及|z ＋i|≤|－1－2i|易得x 2＋y 2≥1及x 2＋(y ＋1)2≤5知z 在复平面内对应图形的面积为5π－π＝4π.题型3 复数的代数运算典例 (2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i先作乘法z ·z 运算，然后作除法运算．答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z －1＝4i4＝i ，故选C.方法技巧1．加减乘除运算法则(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．(2)记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N )．2．复数方程要求解，运用概念相等来解决解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题．冲关针对训练－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2018＝________.答案 2i解析 原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21009＝i ＋⎝⎛⎭⎪⎫2－2i 1009＝i ＋i 1009＝i ＋i 4×252＋1＝i ＋i ＝2i.1．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋(a ＋2)i5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.故选C.3．(2017·浙江高考)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________.答案 5 2解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.由(a ＋b i)2＝3＋4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2.解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2.4．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案 －2解析 ∵a ∈R ，a －i 2＋i ＝(a －i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝2a －1－(a ＋2)i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·湖南长沙四县联考)i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝－1＋i ，则复数z 的实部与虚部的和是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 复数z 满足z i ＝－1＋i ，可得z ＝－1＋i i ＝(－1＋i )ii·i ＝1＋i.故复数z 的实部与虚部的和是1＋1＝2，故选C.2．(2018·湖北优质高中联考)已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 答案 B 解析2z－z 2＝21＋i －(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.3．(2017·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A.2－iB.2＋i C ．1 D ．－1－2i 答案 A解析 复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.故选A.4．(2018·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝(2－i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－3i 3＝－i.故选C. 5．(2018·安徽江南十校联考)若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋12答案 A解析 由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 6．(2017·安徽十校联考)若z ＝2－i2＋i ，则|z |＝( )A.15 B ．1 C ．5 D ．25 答案 B解析 解法一：z ＝2－i 2＋i ＝(2－i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝35－45i ，故|z |＝1.故选B.解法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝|2－i||2＋i|＝55＝1.故选B.7．(2017·河南百校联盟模拟)已知复数z 的共轭复数为z －，若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3z 2＋z －2(1－22i)＝5－2i(i 为虚数单位)，则在复平面内，复数z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 A解析 依题意，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则3z 2＋z －2＝2a ＋b i ，故2a ＋b i ＝5－2i1－22i ＝1＋2i ，故a ＝12，b ＝2，则在复平面内，复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，位于第一象限．故选A.8．(2018·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A.[]－1，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7答案 C解析 由复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 9．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32i 答案 D 解析 由(z －i)⎝⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.10．已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D (z )＝||z ||＝|a |＋|b |，D (z 1，z 2)＝||z 1－z 2||，给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D (z )>0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D (z )＝D (z )恒成立； (3)若D (z 1)＝D (z 2)(z 1，z 2∈C )，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，结论D (z 1，z 3)≤D (z 1，z 2)＋D (z 2，z 3)恒成立． 其中真命题为( )A ．(1)(2)(3)(4)B ．(2)(3)(4)C ．(2)(4)D ．(2)(3) 答案 C解析 对于(1)，由定义知当z ＝0时，D (z )＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D (z )＝D (z )恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ，故选C.二、填空题11．(2017·江苏高考)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．答案10解析 解法一：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ， ∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 解法二：|z |＝|1＋i||1＋2i| ＝2×5＝10.12．(2016·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)(1－b i)＝a ，则a b的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a 得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b＝2.13．(2016·北京高考)设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．则z ＝________.答案 －1－2i 或－2－i解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 三、解答题15．(2017·徐汇区校级模拟)已知z 是复数，z ＋2i 与z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应点在第一象限．(1)求z 的值；(2)求实数a 的取值范围． 解 (1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，又z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＋2＝0，解得y ＝－2. ∴z2－i ＝x －2i 2－i ＝(x －2i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2x ＋2)＋(x －4)i 5， ∵z2－i 为实数，∴x －45＝0，解得x ＝4.∴z ＝4－2i.(2)∵复数(z ＋a i)2＝[4＋(a －2)i]2＝16－(a －2)2＋8(a －2)i ＝(12＋4a －a 2)＋(8a －16)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －16>0，解得2<a <6，即实数a 的取值范围是(2,6)．16．(2017·孝感期末)已知复数z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )． (1)若z 为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及|z |的最小值． 解 (1)∵z ＝(m －1)＋(2m ＋1)i(m ∈R )为纯虚数， ∴m －1＝0且2m ＋1≠0，∴m ＝1.(2)z 在复平面内的对应点为(m －1,2m ＋1)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0，2m ＋1>0，∴－12<m <1，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 而|z |＝(m －1)2＋(2m ＋1)2＝5m 2＋2m ＋2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋152＋95， 当m ＝－15∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1时，|z |min ＝95＝355.。
第讲数系的扩充与复数的引入
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点复数的有关概念
．复数的概念
形如＋(，
∈)的数叫做复数，其中，分别是它的实部和虚部．若＝，则＋为实数，若≠，则＋为虚数，若＝，≠，则＋为纯虚数．
．复数相等
＋＝＋⇔＝且＝(，，，∈)．
．共轭复数
＋与＋共轭⇔＝且＝－(，，，∈)．
．复数的模
向量的模叫做复数＝＋的模，记作或＋，即＝＋＝＝(≥，∈)．
考点复数的几何意义
考点复数的运算
设＝＋，＝＋(，，，∈)，则
．加法：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)；
．减法：－＝(＋)－(＋)＝(－)＋(－)；
．乘法：·＝(＋)·(＋)＝(－)＋(＋)；
．除法：＝＝＝＋(＋≠)．
[必会结论]
．(±)＝±；＝；＝－.
．－＋＝(＋)．
．＝，＋＝，＋＝－，＋＝－(∈*)．
．＋＋＋＋＋＋＝(∈*)．
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
()方程＋＝没有解．()
()复数＝＋(，∈)中，虚部为.()
()复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．()
()已知复数的共轭复数＝＋，则在复平面内对应的点位于第三。
1．（2018全国卷Ⅲ理）()()1i 2i +-= A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i -D ．3i +【答案】D【名师点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.由复数的乘法运算展开即可. 2．（2018浙江）复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B【解析】化简可得z =21i -()()()21+i =1i 1i 1i =+-+，∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．【名师点睛】本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．3．在下列命题中,正确命题的个数是①两个复数不能比较大小; ②复数对应的点在第四象限;③若是纯虚数,则实数;④若,则. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A4．已知复数i z x y =+(),x y ∈R ，若()1i 1i x y +=+-，则z =A ．2BCD ．5【答案】C【解析】由复数相等的充分必要条件得：111x y =⎧⎨-=⎩，即12x y =⎧⎨=⎩，则12i z =+，z ==本题选择C 选项.【名师点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.首先求得 x ,y 的值，然后求解复数z 的模即可.5．已知是虚数单位,则复数=的虚部是A ．B ．1C ．D ．【答案】B 6．已知为虚数单位,且=,则复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B7．复数()2ii 12im A B m A B -=+∈+R 、、，且0A B +=，则m 的值是A ．23-B ．23CD ．2【答案】A【解析】因为()2ii 12im A B m A B -=+∈+R 、、，所以()()2i i 12im A B -=++，即()2i 22i m A B A B -=-++，由此可得222A B A B m -=⎧⎨+=-⎩，结合0A B +=可解之得232323A B m ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩. 故应选A. 8．下面关于复数=的四个命题:的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为的虚部为-1;,其中的真命题是 A ．B ．C ．D ．【答案】C故选C ．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2x ∈-，则输出的y 值的取值范围是A ．52y ≤-或0y ≥ B ．223y -≤≤C ．2y ≤-或203y ≤≤D ．2y ≤-或23y ≥【答案】C【解析】由题意知，该程序的功能是求函数(),0211,20xx x f x x x x ⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+-≤<⎪⎩的值域．①当02x ≤≤时，()1111x f x x x ==-++在区间[]0,2上单调递增， ∴()()()02f f x f ≤≤，即()203f x ≤≤；②当20x -≤<时，()112f x x x x x ⎛⎫=+=--+≤-- ⎪-⎝⎭，当且仅当1x x -=-，即1x =-时等号成立．综上，输出的y 值的取值范围是2y ≤-或203y ≤≤． 故选C ．10．（2018全国卷II 理）为计算11111123499100S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【答案】B【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.11．习总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12…来源于<乾坤谱>中对<易传>“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前项和的程序框图.执行该程序框图,输入,则输出的 A ．100 B ．140 C ．190D ．250【答案】C故选C．S ，则判断框中M为12．某程序框图如图所示，若输出3A ．14?k <B ．14?k ≤C ．15?k ≤D ．15?k >【答案】B【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.由框图程序可知31S k =++++.13．宋元时期数学名著<算学启蒙>中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的分别为则输出的A．B．C．D．【答案】C14．用秦九韶方法求多项式=在的值时,的值为A．34 B．220C．-845 D．3392【答案】A【解析】因为=,因为=,所以.故选A．15．某班有三个小组,甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样,丙比三人中第1小组的那位的成绩低,三人中第3小组的那位比乙分数高.若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列,正确的是A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙【答案】B16．中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指<孙子算经>中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算.算筹的摆放形式有纵横两种形式.如图,表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推,例如用算筹表示就是,则用算筹表示为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得千位的1用算筹表示为“一”.故选B．17．某运动队对A，B，C，D四位运动员进行选拔，只选一人参加比赛，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教练对这四位运动员预测如下：甲说：“是C或D参加比赛”，乙说：“是B参加比赛”，丙说：“是A，D都未参加比赛”，丁说：“是C 参加比赛”.若这四位教练中只有两位说的话是对的，则获得参赛的运动员是 A ．A B ．B C ．CD ．D【答案】B【名师点睛】依次假设参赛运动员是A ，B ，C ，D ，判断甲、乙、丙、丁说法的正确性即可. 18．甲乙丙丁四名同学参加某次过关考试,甲乙丙三个人分别去老师处问询成绩,老师给每个人只提供了其他三人的成绩.然后,甲说:我们四个人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;丙说:甲乙丁恰好有一人过关.假设他们说的都是真的,则下列结论正确的是 A ．甲没过关 B ．乙没过关 C ．丙过关D ．丁过关【答案】B【解析】因为甲说:我们四人中至少两人不过关;乙说:我们四人中至多两人不过关;所以四人级有且只有两人过关,两不过关,又因为,丙说:甲乙丁恰好有一人过关,不过关的情况有三种可能:甲乙、甲丁、乙丁,根据甲不知道自己成绩的情况下说四个人中至少两人不过关,可见乙丙丁中有两人不过关,不过关的可能的情况有三种:乙丙、丙丁、乙丁,结合以上六种情况,同时成立的是乙丁不过关,所以一定正确的结论是乙没过关. 故选B ．19．用反证法证明命题“已知x ，y ∈N *，如果xy 可被7整除，那么x ，y 至少有一个能被7整除”时，假设的内容是A ．x y ，都不能被7整除B ．x y ，都能被7整除C ．x y ，只有一个能被7整除D ．只有x 不能被7整除，至少有一个能被7整除”【解析】用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x y，都不能被7整除”．的否定是“x y故选A.【名师点睛】此题考查量词的否定.至少有一个的否定是一个也没有，因此此题假设内容为都不能. 20．在一次体育兴趣小组的聚会中,要安排人的座位,使他们在如图所示的个椅子中就坐,且相邻座位(如与与)上的人要有共同的体育兴趣爱好,现已知这人的体育兴趣爱好如下表所示,且小林坐在号位置上,则号位置上坐的是A．小方B．小张C．小周D．小马【答案】A21．下图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则此数列前16项和为A．120B．163C．164D．165【名师点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列通项公式的求解，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.分别考查每行第二个数和第三个数组成的数列，然后求和两次即可求得最终结果.22．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1，2，3，4的4个位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2018次互换座位后，小兔的座位对应的编号为______________.【答案】2【解析】由图，经过4次交换后，每个小动物又回到了原来的位置，故此变换的规律是周期为4，因为 ，所以经过2018次互换座位后，小兔对应的是编号2的位置.2018=4504+2【名师点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题.解题的关键是根据前几个变换方式归纳出周期为4的规律，归纳推理的特征是由一些特例得出猜想，由猜想对事物作出判断.根据题意，交换的规律是先前后再左右，由图可以看出，此交换的周期是4,由此规律即可求解.23．“求方程的解”有如下解题思路:设,则在上单调递减,且,所以原方程有唯一解.类比上述解题思路,不等式的解集是．【答案】24．给出下列等式：π2cos4=，π2cos8=，π2cos16=，……请从中归纳出第()*n n∈N个等式：2n++个根号=___________．【答案】1π2cos2n+π2cos4=，π2cos8=，π2cos16=，……等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为12角的余弦值，角满足：1π2n+，2++=2cos 1π2n +．故答案为：2cos1π2n +．【名师点睛】本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键.通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n 个等式即可．25．有一个游戏：盒子里有n 个球，甲、乙两人依次轮流拿球（不放回），每人每次至少拿一个，至多拿三个，谁拿到最后一个球就算谁赢.若甲先拿，则下列说法正确的有__________． ①若4n =，则甲有必赢的策略； ②若6n =，则乙有必赢的策略； ③若7n =，则乙有必赢的策略； ④若9n =，则甲有必赢的策略.【答案】①②④【解析】先证明以下事实：当遇到盒中球数为3、4、5时，先拿者有必赢的策略.【名师点睛】(1)本题主要考查推理证明，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.对每一个选项逐一判断，前面3个可以举反例说明其是错误的，对最后一个要正面分析推理. (2)说明一个命题是假命题，只要列举一个反例即可,如果要说明它是真命题，则要分析推理证明.26．已知,分别求f (0)+f (1),f (﹣1)+f (2),f (﹣2)+f (3),然后归纳猜想一般性结论,并证明你的结论.【答案】见解析【解析】已知f,所以f(0)+f (1)=,f(﹣1)+f (2)=,f(﹣2)+f2 =,归纳猜想一般性结论：f(-x)+f(1+x )=.证明如下：f(﹣x)+f(x +1)=.27．设数列{a n}满足a1=12，()*11212,2nnnaa n na--+=≥∈+N.（1）证明：数列11nnaa⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=(3n+1)a n，证明：数列{c n}中任意三项不可能构成等差数列.【答案】（1）3131nn na-=+；（2）见解析.（2）证明：由（1）得，c n =(3n+1)a n =3n−1，（反证法）假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列. 则2(3m−1)=3l+3n−2，即2·3m=3l+3n ， 则有2·3m −l=1+3n −l，即2·3m −l−3n −l=1， 则有3m −l·[2−3n −l −(m −l )]=1，即3m −l ·(2−3n −m)=1.∵l ，m ，*n ∈N 且1l m n ≤<<，∴*3m l-∈N ．∴23131n mm l --⎧-=⎪⎨=⎪⎩，∴0n m m l -=⎧⎨-=⎩，∴l m n ==，这与l m n <<矛盾，故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列【名师点睛】本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，注意用反证法分析，属于难题. （1）根据题意由()*112122n n n a a n n a --+=≥∈+N ,，构造1121112n n n a a a --++=+=+()()1*13122n n a n n a --+≥∈+N ,，两式相除即可得()()*111112131n n n n a a n n a a ----=⋅≥∈++N ，，由等比数列的定义分析可得答案； （2）用反证法分析：假设存在正整数l ，m ，n 且1l m n ≤<<，使得l c ，m c ，n c 成等差数列，由等差数列的定义可得()231332m l n-=+-，即2333m l n ⋅=+，变形可得3231m l n m --⋅-=（），分析可得矛盾，即可得证明．28．(1)用数学归纳法证明:当时,++⋯+,且,);(2)求++⋯+的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】(1)①当时,等式右边====等式左边,等式成立.这就是说,当时等式也成立.根据①和②可知,对任何等式都成立.(2)由(1)可知,=, 同时求导,得-⋯-=,所以,所以.29．已知正项数列{}n a 满足112a =，且231322n n n a a a +≥+，设()112n n n n b a a a ++=-. （1）求证：1n n a a +<； （2）求证：()12112lnln ln2ln 2nn nb b b a a a a ++++>； （3）设n S 为数列{}n b 的前n项和，求证：14n S <. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.（2）猜想212n n n n b a a a +>. 要证212n n n n b a a a +>， 只需证21nn na b a +>，∵()112n n n n b a a a ++=-，∴只需证112n n n n a a a a ++->，即只需证2121n n n a a a +<+，又∵23132n n n a a a +≤-，且2232321n n n n a a a a -<+，∴2121nn n a a a +<+，∴212n n n nb a a a +>， 累乘法可得22121121214n n n n b b b a a a a a a ++⋅>=⋅， ∴()2212112121...ln ln ln 4...n n n n b b b a a a a a a ++⋅>=⋅，∴()12112lnln ln2ln2nn nb b b a a a a ++++>.【名师点睛】该题考查的是有关数列与函数和不等式的综合题，涉及到的知识点有数列单调性的证明，分析法证明结论，应用不等式的传递性将问题转化等，在解题的过程中，需要时刻注意公式的正确使用以及结论的相关条件.（1）应用作差比较法，结合题中所给的条件，进行相应的代换，将差式的符号进行判断，最后求得结果；（2）先应用分析法证得212n n n nb a a a +>，之后累乘，结合对数的运算性质证得结果； （3）结合第一问的结论，将式子变形，证得结果.________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________。
