高二数学3月月考月考六试题 文

长兴中学2012学年3月月考高二数学试题卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共50分）1. 如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是 ( ) A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数 B. ξ取所有可能值的概率之和为1 C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有 ( ) A.6种 B.8种 C.10种 D.16种 3．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率是 （ ）A ．0.6B ．115 C ．75.0 D ．1164. 某一随机变量ξ的概率分布如下表，且2m n + 1.2=，则2n m -的值为 （ ）A.－0.2；B.0.2；C.0.1；D.－0.15.乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为 （ ）A.23332()55C ⋅B.22332()()53CC.33432()()55CD.33421()()33C 6.已知2()(1,)nnf n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是 ( )A. 2B. 3C.4D.无数个 7．设n a 为()nx +1展开式中2x 项的系数，则1032111a a a +⋅⋅⋅++等于 （ ）A ．2B ．59 C ．511 D ．18．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2，则ab 的最大值为 （ ） A ．148B ．124C ．112D ．169．若()621x -的展开式中的第二项小于第一项，但不小于第三项，则x 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,121C ． ⎥⎦⎤⎝⎛-0,121D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,5110．设}10,,2,1{ =A ，若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,，且方程至少有一根A a ∈”，就称该方程为“漂亮方程”。

2024学年黑龙江省虎林市高三3月月考（数学试题文）考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14152．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．63．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B 22C ．2D ．134．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺5．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．157．将函数f (x )=sin 3x -3cos 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④8．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．62海里B ．3C ．2海里D ．39．设命题p ：,a b R ∀∈，a b a b -<+，则p ⌝为 A ．,a b R ∀∈，a b a b -≥+ B ．,a b R ∃∈，a b a b -<+ C ．,a b R ∃∈，a b a b ->+D ．,a b R ∃∈，a b a b -≥+10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（ ）A ．1313 B ．413C 27D ．4711．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -12．设不等式组030x y x +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．1724二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数的导数是（ ）()cos 2f x x =A ．B ．C ．D ．2cos 2x 2cos 2x-2sin 2x2sin 2x-D【分析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】令，则.2u x =cos y u =(cos )()(sin )sin .x u x y y u u x u x '''=⋅=⋅=-=-''2222故选：D2．函数f (x )＝ex －ex ，x ∈的单调递增区间是（ ）R A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D【分析】求得，令，即可求得单调增区间.()f x '()0f x '>【详解】由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故的单调增区间为.()f x ()1,+∞故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.3．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，312++物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）A ．8种B ．12种C ．15种D ．20种B【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，122C =政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，246C =所以学生不同的选科方案共有种.2612⨯=故选：B4．已知函数f (x )可导，且满足，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导0(3)l (m2i 3)x f f x x ∆→-+∆=∆数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以()()()()()3333limlim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆.()32f '=-故选：B.5．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数()2f x x =1x =()e xg x a ==a A BCD．B【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数()2f x x =1x =图象的切线，设出切点即可求解.()e xg x a =【详解】由，得，则，()2f x x =()2f x x'=()12f '=又，所以函数的图象在处的切线为，即.(1)1f =()2f x x =1x =12(1)y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点,21y x =-()e x g x a =00(,)x y 由，可得e ()x g x a '=0000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B.本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，25C 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方254!240C ⨯=案，故选：C.本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最x t =2(),()ln f x x g x x ==,M N MN 小时的值为tA ．1B ．CD 12D【详解】由题，不妨令，则，令2ln MN x x=-(0)x >2()ln h x x x =-1'()2h x x x =-解得时，，当时，，所'()0h x =x x ∈'()0h x <)x ∈+∞'()0h x >以当时，达到最小．即．x =MN t =8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则()f x ()0+∞，()*()k f x y k x =∈N ()0+∞，称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的()f x k 2()ln f x m x x x =+-1m 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A【分析】由题知在上为增函数，故令()ln f x mx x x x =+-()0+∞，，进而在上恒成立，()ln ,0mg x x x x x =+->()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥()0+∞，即在上恒成立，再求函数最值即可．2m x x ≤-()0+∞，()2,0y x x x =-∈+∞，【详解】解：因为函数为“阶比增函数”，2()ln f x m x x x =+-1所以函数在上为增函数，()ln f x mx x x x =+-()0+∞，所以令，()ln ,0mg x x x x x =+->故在上恒成立，()2221'10m x x mg x x x x --=-+-=≥()0+∞，所以在上恒成立，2m x x ≤-()0+∞，由于，()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，所以.()2min14m x x ≤-=-故实数的取值范围是m 1,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦故选：A 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．函数在处取得最小值B ．是函数的极值点()y f x =4x =-0x =()y f x =C ．在区间上单调递增D ．在处切线的斜率大于零()y f x =(4,1)-()y f x =1x =ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，(,4)x ∈-∞-()0f x '<(4,)x ∈-+∞，()0f x '≥函数在上单调递减，在上单调递增，且故C 正确；∴()y f x =(,4)-∞-(4,)-+∞易知函数在处取得最小值，故正确；()y f x =4x =-A 在上单调递增，故不是函数的极值点，故B 不正确； (4,)-+∞0x =()y f x =函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D 正确.()y f x =1x =∴故选：ACD ．10．函数的一个零点在区间内，则实数a 的可能取值是（ ）2()2x f x ax =--(1,2)A ．0B ．1C ．2D ．3BC【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定()22x f x a x =--理可得，从而可得结果.()()120f f <【详解】因为函数在定义域上单调递增，22x y y x ==-、{}0x x ≠所以函数在上单调递增，()22x f x a x =--{}0x x ≠由函数的一个零点在区间内，()22x f x a x =--()1,2得，()()()()12(22)(41)30f f a a a a ⨯=----=-⨯-<解得,0<<3a 故选：BC11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，②个位数为或，然后根024据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，②十位为，③十位为，然后根012据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A 不正确；124444348A A =⨯⨯=对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，0244312A =⨯=②个位数为或，则有种，24A A A =⨯⨯=11123323318所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B 正确；121830+=对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，0244312A =⨯=②十位为，则有种，123326A =⨯=③十位为，则有种,222212A =⨯=所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为， 故C 正确，D 不正确.126220++=故选：BC.12．已知函数有两个互异的极值点，下列32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()1212,x x x x <说话正确的是（ ）A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．时，在区间上单调递减0a >()f x 12(,)x x D ．时，为极大值，为极小值0a <1()f x 2()f x ABC求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.2()32f x ax bx c '=++()f x ()1212,x x x x <【详解】因为函数，32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠所以，2()32f x ax bx c '=++因为有两个互异的极值点，()f x ()1212,x x x x <所以，故A 正确；()()22212430b ac b ac ∆=-=->所以若有三个零点则，故B 正确；()f x 12()()0f x f x <当时，开口向上，则时，，所以区0a >2()32f x ax bx c '=++12(,)x x x ∈()0f x '<()f x 间上单调递减，故C 正确；12(,)x x 当时，当或时，，当时，，所以为极0a <1x x <2x x >()0f x '<12x x x <<()0f x '>1()f x小值，为极大值，故D 错误；2()f x 故选：ABC本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则________．34m m C C =21889m m m C C C --++=120【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质m 递推关系及组合数公式即可求解11m m m n n nC C C -+=+【详解】由，得，解得.34mmC C=!!!()!!()!m m m m =--33447m =所以.562188988997677910120m m m C C C C C C C C C --++=++==+=故答案为.12014．若函数的极值点为，则__________．()e xf x x =0x x =()0f x =1e -1e--【分析】根据求导公式和运算法则可得，结合极值点的定义求出()e e x xf x x ='+，进而求出即可.01x =-(1)f -【详解】由题意得，，所以，()e x f x x =()e e x x f x x ='+因为是函数的极值点，0x x =()f x 所以，即，0000()e e 0x x f x x '=+=00e (1)0x x +=解得，易得－1是极小值点，所以.01x =-01()(1)e f x f =-=-故答案为.1e-15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为____________．120【分析】根据题意，先排好7个空座位，由于空座位是相同的，形成6个空位是符合条件的，再将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可.【详解】解：10个座位中，除了甲、乙、丙3人的座位，还有7个座位，形成6个空位，所以只需将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可，故有（种）.36654120A =´´=所以每人左右两边都有空位的坐法种数为.120故120四、双空题16．己知函数，若，且，则实数k 的取值范231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m k ==围为_______，设，则t 的取值范围为______________．t n m =- 04k <≤171,12⎤⎥⎦【分析】画出函数图象，由图象得出k 的取值范围，用表示出，结合二次函数的n m 性质求得的取值范围.t n m =-【详解】画出图象如下图所示，()fx 当时，，令，解得1x =(1)3114f =⨯+=()2140x x -=>x =因为，()()f n f m k ==由图象可知，；04k <≤由得，，且()(),n m f n f m >=2311m n+=-223n m -=1n <所以，(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭t，当取得最小值为.2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭n =t212133-⨯+=所以的取值范围是.t 171,12⎤-⎥⎦故；.04k <≤171,12⎤⎥⎦五、解答题17．已知函数．2ln y x x =(1)求这个函数的图象在处的切线方程；1x =(2)若过点的直线l 与这个函数图象相切，求l 的方程．(0,0)(1)；1y x =-(2).1e y x=-【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜()y f x =(1)f '(1)0f =式方程即可求出切线方程；(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切2000(,ln )x x x 线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即10e -=x 可得出结果.【详解】(1)令，则，()y f x =2()ln f x x x =函数的定义域为，，()f x (0,)+∞()2ln f x x x x '=+所以，又，(1)2ln111f '=+=(1)0f =所以函数在处的切线方程为；1x =1y x =-(2)设切点为，2000(,ln )x x x 由(1)知，，0000()2ln f x x x x '=+又直线l 的斜率为，200000ln ln l x x k x x x ==有，解得，0002ln x x x +00ln x x =10e -=x 所以，100ln e l k x x -==-所以直线l 的方程为.1e y x=-18．(1)若，求正整数；33210n n A A =n (2)已知，求.56711710n n nC C C -=8n C (1)8(2)28【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；()()()()221221012n n n n n n --=--（2）利用组合数公式可得，即求.223420n n -+=【详解】(1)由得，33210n n A A =，又，()()()()221221012n n n n n n --=--*3,N n n ≥∈∴，即，()()22152n n -=-8n =∴正整数为8.n (2)由得，56711710n n nC C C -=，()()()!5!!6!7!7!5!6!107!n n n n n n --⨯--=⨯∴即，()()6761660n n n ----=223420n n -+=解得或，又，2n =21n =05n ≤≤∴，2n =∴.88228n C C ==19．新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，x 需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，()C x (万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口()2123C x x x=+()36ln 17e C x x x x =++-罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售()p x x =收入固定成本流动成本)--（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩3e 最大利润为8万元.（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种07x <<7x ≥情况，得到关于的分段函数关系式；()p x x （2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根07x <<()p x 7x ≥据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.x 6x 依题意得，当时，，07x <<()22116254533p x x x x x x =---=-+-当时，，7x ≥()33661712l ln 5n x e e p x x x x x x ⎛⎫=-++--=--⎪⎝⎭∴，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，07x <<()()21673p x x =--+∴当时，的最大值为(万元)，6x =()p x ()67p =当时，，∴，7x ≥()3ln 12x e p x x =--()33221e e xp x x x x -'=-+=∴当时，单调递增，当，单调递减，37x e ≤<()p x 3x e ≥()p x ∴当时，取最大值(万元)，3x e =()p x ()3312ln 18p e e=--=∵，∴当时，取得最大值8万元，87>3x e =()p x 当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.3e 本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.20．设函数．()()1ln 0f x ax x a x=+>（1）当时，求的极值；1a =()f x（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．()f x ax ()0,∞+a （1）有极小值，没有极大值；（2）．()11f =20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数1a =极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.a 试题解析：（1）由已知，当时，，∴，1a =()1ln f x x x x =+()21ln 1f x x x +-'=()312f x x x +'=>'∴在上单调递增，且，()f x '()0,+∞()10f '=，随变化如下表：()f x '()f x x x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x ↘极小值↗∴有极小值，没有极大值． ()f x ()11f =（2）（方法一）由题可得恒成立，()211ln a x x -≤当时，上式恒成立；x e ≥当时，，又，故0x e <<()211ln a x x ≤-0a >()211ln x x a≥-令，则， 令，()()21ln h x x x =-()()12ln h x x x =-'()0h x '=x =∴当 时， ，0x <<()0h x '>x e <<()0h x '<∴，()(max 12eh x he ==-=∴，解得：，∴的取值范围是． 12ea ≥20a e <≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法二）由题可得， 设，则，()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->()21ln g x a x x ='-∵，∴在上单调递增，，，0a >()g x '()0,+∞()110g '=-<12110a ag e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭∴使得，则， 101,a x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=2001ln a x x =由知，且时， ，时， ，0a >01x >00x x <<()0g x '<0x x >()0g x '>∴，∴，∴∴，()()00min 002ln 10ln x g x g x x x -==≥01ln 2x ≥0x ≥2a e ≤∴的取值范围是．a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法三）由题可得恒成立，()21ln 0f x a ax a xx -=+-≥令，则， ()21ln h x a x a x =+-()h x'=∴时， ，0x<<()0h x '<x >，∴，()0h x '>()min 20h x a a ==≥∴，解得：，∴的取值范围是． 2ln 1a ≥2a e ≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦21．如图，从左到右共有5个空格.（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？（1）36个；（2）48种；（3）16800种.【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，12C 13C 共有个五位奇数.11323336C C A =（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，共有种涂色方案.43248⨯=（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，37C 在5个位置全排列有种方法；35754200C A =7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，227522C C A 在5个位置全排列有种方法；2257552212600C C A A =所以共有种方法.42001260016800+=22．已知函数．323()22f x x ax b=-+(1)讨论的单调性；()f x (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出,a b ()f x [0,1]1-1a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)当时，)在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在单调递增.0a =()f x (),-∞+∞当时，)在上单调递增，在上单调递减.0a <()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)或0,1a b ==-8,13a b ==【分析】（1）由，得出，求出的两根，比较根的大小并分类讨论，()f x ()'f x ()0f x '=进而求出函数的单调性；()f x （2）利用（1）中的单调区间讨论在上的最值，最终确定参数的值.()f x ()f x []0,1,a b 【详解】(1)由，得.323()22f x x ax b =-+()2()6332f x x ax x x a '=-=-令，即，解得或.()0f x '=()320x x a -=0x =2a x =若，则当时，；0a >(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则在上恒成立，0a =2()60f x x '=≥R 所以在单调递增.()f x (),-∞+∞若，则当时，；0a <(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)满足题设条件的存在.,a b 当时，由（1）知，在单调递增，0a ≤()f x []0,1所以在区间的最小值为，最大值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 1b =-3212a b -+=0,1a b ==-当即时，由（1）知，在单调递减，12a≥2a ≥()f x []0,1所以在区间的最大值为，最小值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 3212a b -+=-1b =8,13a b ==(ii)当即时，由（1）知，012a<<02a <<)在上单调递减，在上单调递增.()f x 0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，取得极小值即为的最小值，2ax =()f x ()f x 3233()222228a a a a f a b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为或.()f x ()0f b =()3122f a b =-+若，，则矛盾.318a b -+=-1b =a =02a <<若，则或，与矛盾318a b -+=-3212a b -+=a =a =-0a =02a <<综上，当或时，在区间的最小值为且最大值为.0,1a b ==-8,13a b ==()f x [0,1]1-1。

安徽省安庆市太湖县第二中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i参考答案：C略2. 已知集合，则（）A、B、C、D、参考答案：C略3. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项.【详解】，，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“”是“”的充分不必要条件，故本题选A.4. 已知x>0，由不等式x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，…，我们可以得出推广结论：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝( )A．2n B．n2 C．3n D．n n参考答案：D略5. 复数的共轭复数是（）A.i－1B. i+1C. －1－iD.1－i参考答案：A因为，所以复数的共轭复数是-1，选A.6. 某中学从已编号（1～60）的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是（）. 6,16,26,36,46,56 . 3,10,17,24,31,38. 4,11,18,25,32,39 . 5,14,23,32,41,50参考答案：A分6组，每组10个班，间隔为107. a、b、c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是（）Ａ．相交Ｂ．共面Ｃ．异面或相交Ｄ．相交，平行，异面都可能参考答案：C略8. 在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．9. 已知直线l过点P(1,0,－1)，平行于向量，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是( )A. (1,－4,2)B.C.D. (0,－1,1)参考答案：D10. 已知函数在处的导数为1，则=A．3 B． C．D．参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 下列函数中：（1）（2）（3）（4）（5），其中最小值为2的函数是（填正确命题的序号）参考答案：（1）（3）【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；换元法；不等式．【分析】由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”，逐个选项验证可得．【解答】解：（1）≥2=2，当且仅当|x|=即x=±1时取等号，故正确；（2）==+≥2，但当=时，x不存在，故错误；（3）≥2﹣2=2，当且仅当=即x=4时取等号，故正确；（4）的x正负不确定，当x为负数时，得不出最小值为2，故错误；（5），取等号的条件为sinx=即sinx=1，而当0＜x＜时sinx 取不到1，故错误．故答案为：（1）（3）．【点评】本题考查基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”是解决问题的关键，属基础题．12. 函数y=lg（12+x﹣x2）的定义域是．参考答案：{x|﹣3＜x＜4}【考点】函数的定义域及其求法．【分析】令12+x﹣x2＞0，解不等式即可．【解答】解：由12+x﹣x2＞0，即x2﹣x﹣12＜0解得﹣3＜x＜4．所以函数的定义域为{x|﹣3＜x＜4}．故答案为：{x|﹣3＜x＜4}．13. f(x)＝2x4－3x2＋1在上的最大值、最小值分别是参考答案：21，.14. 曲线在点处的切线方程是。

四川省巴中市平昌县镇龙中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段A1B1，CC1上两个动点且，则下列结论中正确的是（）A．存在某个位置E，F，使B．存在某个位置E，F，使EF∥平面C.三棱锥的体积为定值D．的面积与的面积相等参考答案：B以为坐标原点建立空间直角坐标系，故，，，，.要垂直，则需圆与直线有交点，由于画出图象如下图所示，由图可知无交点，故选项错误. 平面的法向量为，所以，则需圆与直线有交点，由于画出图象如下图所示，由图可知，图象有交点，故选项正确.本题答案选.2. 给出下列四个命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两条直线平行；（3）垂直于同一直线的两条直线平行；（4）垂直于同一平面的两条直线平行．其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：A【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】对四个选项逐一分析，找出正确的命题．【解答】解：对于命题（1），平行于同一直线的两个平面有可能相交；故是假命题；对于命题（2）平行于同一平面的两条直线有相交、平行、异面三种可能；故是假命题；对于命题（3）垂直于同一直线的两条直线有相交、平行和异面三种可能；故是假命题；对于命题（4）垂直于同一平面的两条直线平行，根据线面垂直的性质可以判断两直线平行；故是真命题．故选A．3. 已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，斜率不0的直线l过点F1，且交椭圆于A，B两点，则的周长为（）．A．10 B．16 C．20D．25参考答案：C解：由题意可得，周长：，故选．4. 已知集合，，则P∩Q=（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】首先解出集合中的不等式，再和集合求交集即可【详解】由题意得所以，所以选择B 【点睛】本题主要考查了集合中交集的运算，属于基础题。

2023-2024学年山西省晋中市平遥县高二下册3月月考数学试题一、单选题1．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（）A ．48种B ．36种C ．24种D ．12种【正确答案】B利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有23636⨯⨯=不同的选取方法，故选：B2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（）A ．910B ．1518C ．95D ．185【正确答案】D【分析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求．【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯===⨯，故选D.等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题．3．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）A ．8B ．10C ．12D ．14【正确答案】A【分析】分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果.【详解】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有12326C A =种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有222A =种，共计有628+=种，故选：A.4．设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，点M 在C 上，点N 在准线l 上且MN 平行于x 轴，若NF MN =，则MF =（）A ．3B ．1C ．3D ．4【正确答案】D【分析】由抛物线方程可知焦点坐标及准线方程，设准线l 与x 轴交点为E ，画出图象，由抛物线定义及NF MN =可知MNF 是正三角形，结合平行关系可判断60EFN ∠=︒，利用直角三角形性质即可求解.【详解】由题可知，2p =，抛物线焦点F 为()1,0，准线l 为=1x -，设准线l 与x 轴的交点为E ，如图所示，由题知MN l ⊥，由抛物线的定义可知MN MF =，因为NF MN =，所以MNF 是正三角形，则在Rt NEF 中，因为MN EF ∥，所以60EFN MNF ∠=∠=︒，所以224MF NF EF p ====．故选：D5．三棱锥A BCD -中，AC ⊥平面BCD ，BD CD ⊥．若3AB =，1BD =，则该三棱锥体积的最大值为（）A ．2B ．43C ．1D ．23【正确答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得BD ⊥平面ACD 、BD AD ⊥与AC CD ⊥，从而利用基本不等式求得2ACDS≤，进而得到23A BCDB ACD V V --=≤，由此得解.【详解】因为AC ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，所以AC BD ⊥，又BD CD ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BD ⊥平面ACD ，因为AD ⊂平面ACD ，所以BD AD ⊥，在Rt △ABD 中，3AB =，1BD =，则AD ==，因为AC ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AC CD ⊥，在Rt ACD △中，不妨设(),0,0AC a CD b a b ==>>，则由222AC CD AD +=得228a b +=，所以()221111222244ACDSAC CD ab ab a b =⋅==⨯≤+=，当且仅当a b =且228a b +=，即2a b ==时，等号成立，所以11221333A BCDB ACD ACDV V SBD --==⋅≤⨯⨯=，所以该三棱锥体积的最大值为23.故选：D..6．()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -项的系数为160，则=a （）A ．2B ．4C ．2-D ．-【正确答案】C先求得()61ay +展开式中3y 的系数，可得()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数，从而得答案.【详解】二项式()61ay +展开式的通项为()6166C 1C rr rr r r r T ay a y -+=⨯=，令3r =可得二项式()61ay +展开式中3y 的系数为336C a ，∴()62121ay x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中23x y -的系数为()3361C 160a -=，可得38a =-，解得2a =-，故选：C ．7．甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次（无并列名次），已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有（）种A ．5B ．8C ．14D ．21【正确答案】C【分析】按乙排第五和不是第五分类讨论．【详解】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．关键点点睛：本题考查排列组合的综合应用，解题关键是确定完成事件的方法：是先分类还是先分步：分类后每一类再分步．然后结合计数原理求解．8．设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A ．()()f x g x <B ．()()f xg x >C ．()()()()f x g a g x f a +<+D ．()()()()f xg b g x f b +<+【正确答案】C【分析】对于AB ，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD ，构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数与函数单调性的关系证得()h x 在R 上单调递减，从而得以判断.【详解】对于AB ，不妨设()2f x x =-，()1g x =，则()2f x '=-，()0g x '=，满足题意，若()1,x a b =-∈，则()()21f x g x =>=，故A 错误，若()0,x a b =∈，则()()01f x g x =<=，故B 错误；对于CD ，因为()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，令()()()h x f x g x =-，则()()()0h x f x g x ''-'=<，所以()h x 在R 上单调递减，因为(),x a b ∈，即a x b <<，所以()()()h b h x h a <<，由()()h x h a <得()()()()f x g x f a g a -<-，则()()()()f x g a g x f a +<+，故C 正确；由()()h b h x <得()()()()f b g b f x g x -<-，则()()()()f x g b g x f b +>+，故D 错误.故选：C.二、多选题9．有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，则下列说法正确的是（）A ．共有66A 种不同的排法B ．男生不在两端共有2424A A 种排法C ．男生甲、乙相邻共有2525A A 种排法D ．三位女生不相邻共有3333A A 种排法【正确答案】AC【分析】根据给定条件，利用无限制条件的排列判断A ；利用有位置条件的排列判断B ；利用相邻、不相邻问题的排列判断C ，D 作答.【详解】有3位男生和3位女生，要在某风景点前站成一排照合影，共有66A 种不同的排法，A 正确；男生不在两端，从3位女生中取2人站两端，再排余下4人，共有2434A A 种排法，B 不正确；男生甲、乙相邻，视甲乙为1人与其余4人全排列，再排甲乙，共有2525A A 种排法，C 正确；三位女生不相邻，先排3位男生，再在2个间隙及两端4个位置中插入3位女生，共有3334A A种排法，D 不正确.故选：AC 10．()20232202301220231ax a a x a x a x +=++++ ，若16069a =-，则下列结论正确的有（）A ．3a =B ．202301220232a a a a ++++=- C ．202312220231333a a a +++=- D ．()20231ax +的展开式中第1012项的系数最大【正确答案】BC【分析】利用二项式展开式的通项公式求解含x 项的系数，从而求解a ，即可判断选项A ，赋值法即可求解系数和问题，从而判断选项B 、C ，利用展开式系数符合规律判断选项D 【详解】对于A ，112023C 20236069a a a =⋅==-，可得3a =-，故A 错误；对于B ，因为()2023201213x a a x a x -=++20232023a x ++ ，令1x =，则()202320230122023132a a a a ++++=-=- ，故B 正确；对于C ，令0x =，则01a =，令13x =，则2023202312002202311313333a a a a a ⎛⎫+++=-⨯-=-=- ⎪⎝⎭ ，故C 正确；对于D ，由展开式知，20n a >，210n a -<，故第1012项的系数10110a <，不会是展开式中系数最大的项，故D 错误.故选：BC11．对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数()()3211R 32f x x x x b b =-++∈，则（）A ．()f x 一定有两个极值点B ．函数()y f x =在R 上单调递增C ．过点()0,b 可以作曲线()y f x =的2条切线D ．当712b =时，123202220222023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【正确答案】BCD【分析】对()f x 求导，得出()0f x ¢>，没有极值点，可判断A ，B ；由导数的几何意义求过点()0,b 的切线方程条数可判断C ；求出三次函数()f x 的对称中心，由于函数的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()12f x f x +-=，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.【详解】由题意知()21f x x x '=-+，1430∆=-=-<，()0f x ¢>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，没有极值点，A 错误，B 正确；设切点为3211,32m m m m b ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则()21k f m m m '==-+，切线方程为()()32211132y m m m b m m x m ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，代入点()0,b 得32321132m m m m m m -+-=-+-，即322132m m =，解得0m =或34m =，所以切线方程为y x b =+或1316y x b =+，C 正确；易知()21f x x ''=-，令()0f x ''=，则12x =．当712b =时，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭''，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点1,12⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x +-=．令123202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 20222023⎛⎫ ⎪⎝⎭，又20222021202012023202320232023S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12022220232023S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22021202212022240442023202320232023f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=⨯= ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ ，所以2022S =，D 正确．故选：BCD.12．已知椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，直线l ：()0y kx k =≠与椭圆C 交于M ，N 两点，12F MF ∠的角平分线与x 轴相交于点E ，与y 轴相交于点()0,G m ，则（）A ．四边形12MF NF 的周长为8B ．1114MF NF +的最小值为9C ．直线BM ，BN 的斜率之积为34-D ．当12m =-时，12:2:1F E F E =【正确答案】AC【分析】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为4a 即可求解；对B 选项，由直线()0y kx k =≠与椭圆相交的对称性知：12NF MF =，11121414MF NF MF MF ∴+=+，借助基本不等式可得1114MF NF +的最小值；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，由点()11,M x y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值；对D 选项，设出()()11,0t E t -<<，由条件推出()121MF t =+，()221MF t =-，又在椭圆C 中，由其第二定义1MF e =得()1112212MF x t =+=+，从而得到M ，E ，G 三点坐标，再根据其三点共线，化简求解即可．【详解】对A 选项，由椭圆的定义知，四边形12MF NF 的周长为2248a a a +==，A 正确；对B 选项，1112141414MF NF MF MF +=+=()21121212414191444MF MF MF MF MF MF MF MF ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，当且仅当1248,33MF MF ==时等号成立，故B 错误；对C 选项，设()11,M x y ，则()11,N x y --，又(B，所以211121113BM BNy y y k k x x x --⋅=⋅=-．因为点()11,M x y 在椭圆上，所以2211143x y +=，即()222111441333y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以2121334BM BNy k k x -⋅==-，C 正确；对D 选项，设()()11,0t E t -<<，则12F E F E 1211MF t t MF +==-，124MF MF +=所以()121MF t =+，()221MF t =-，在椭圆C ：22143x y +=中，由其第二定义1MF e d =（d 指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得221111()()22M a a MF de x e x e x c c ==+⋅=+⋅=+，12MF ∴=+()11212x t =+，所以14x t =，故()14,M t y ，(),0E t ，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭G ，因为三点共线，所以1123y t t =，解得132y =，则29164143t +=，解得14t =±，当14t =时，1211541314F E F E +==-，当14t =-时，1211341514F E F E -==+，故D 错误．故选：AC方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习加以强化.三、填空题....道上有编号1，2，.3，....10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足条件的关灯方法有__________种.【正确答案】20【分析】采用插空法即可求解.【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有36C 20=种方法，故答案为.2014．我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童.若一刍童为正棱台，其上、下底1，则该刍童的外接球的表面积为______.【正确答案】20π【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解．【详解】设该刍童外接球的球心为O ，半径为R ，上底面中心为1O ，下底面中心为2O ，则由题意，121O O =，22AO =，111A O =，1R OA OA ==．如图，当O 在12O O 的延长线上时，设2OO h =，则在2AOO 中，22R 4h =+①，在11A OO 中，()22R 11h =++②，联立①②得1h =，2R 5=，所以刍童外接球的表面积为20π，同理，当O 在线段12O O 上时，设1OO h =，则有22R 1h =+，()22R 14h =-+，解得2h =，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故20π．15．两名学生一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是170．”若每个参加面试的人被招聘的可能性相同，则根据这位负责人的话，可以推断出参加面试的人数为______．【正确答案】21【分析】利用古典概型的概率公式求解.【详解】设参加面试的人数为n ，依题意有()()()()2122362C C 61C 12170n nn n n n n n --===---，即()()242020210n n n n --=+-=，解得21n =或20n -（舍去）．16．南宋数学家杨辉善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为求离散量的垛积问题，在他的专著《详解九章算法·商功》中给出了著名的三角垛公式()()()()()1112123123126n n n n ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++，则数列{}22n n +的前n 项和为____________．【正确答案】()()1121226n n n n ++++-【分析】由三角垛公式可知数列()12n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，根据()212222n n n n n n ++=⨯-+，采用分组求和法，结合等差、等比求和公式可求得结果.【详解】()11232n n n ++++⋅⋅⋅+=，∴数列()12n n +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为()()1126n n n ++，()212222n n n n n n ++=⨯-+ ，∴数列{}22n n +的前n 项和()()()1211223212222222n n n n S n +⎛⎫⨯⨯=⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()()()()()121211211122232126n n n n n n n n n n +-+++=++-+=+--.故答案为.()()1121226n n n n ++++-关键点点睛：本题考查数列中的分组求和法的应用，解题关键是能够将所求数列的通项进行变型，从而与已知的三角垛公式联系起来，利用所给的三角垛公式来进行求和.四、解答题17．现有一些小球和盒子，完成下面的问题．(1)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中（允许有空盒子），一共有多少种不同的放法？(2)4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有多少种？【正确答案】(1)256；【分析】（1）根据题意分析将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算即可得出答案；（2）根据题意，分两步进行，①将4个小球分为3组，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，根据分步计数原理计算即可得出答案；【详解】（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则4个小球有4444256⨯⨯⨯=种不同的放法；（2）①将4个小球分为3组，有24C 6=种分组方法，②在4个盒子中任选3个，放入三组小球，有3343C A 24=种情况，则624144⨯=种不同的放法．18．如图，四边形ABCD 是圆柱底面的内接四边形，AC 是圆柱的底面直径，PC 是圆柱的母线，E 是AC 与BD 的交点，AB AD =，60BAD ∠=︒．(1)记圆柱的体积为1V ，四棱锥P ABCD -的体积为2V ，求12V V ；(2)设点F 在线段AP 上，4,4PA PF PC CE ==，求二面角F CD P --的余弦值．【正确答案】【分析】（1）利用平面几何的知识推得AC BD ⊥，进而得到BD =与4AC EC =，从而利用柱体与锥体的体积公式求得12,V V 关于,EC PC 的表达式，由此得解；（2）根据题意建立空间直角坐标系，设1CE = ，结合（1）中结论与（2）中所给条件得到所需向量的坐标表示，从而求得平面FCD 与平面PCD 的法向量n 与m ，由此利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】（1）因为ABD ∠与ACD ∠是底面圆弧AD 所对的圆周角，所以ABD ACD ∠=∠，因为AB AD =，所以在等腰ABD △中，ABD ADE ∠=∠，所以ADE ACD ∠=∠，因为AC 是圆柱的底面直径，所以90ADC ∠=︒，则90CAD ACD ∠+∠=︒，所以90CAD ADE ∠+∠=︒，则90AED ∠=︒，即AC BD ⊥，所以在等腰ABD △，BE DE =，AC 平分BAD ∠，则1302CAD BAD ∠=∠=︒，所以60ADE ∠=︒，则30∠=︒CDE ，故在Rt CED 中，2CD EC =，DE ，则2BD DE ==，在Rt ACD △中，24AC CD EC ==，因为PC 是圆柱的母线，所以PC ⊥面ABCD ，所以()22211ππ24π2V AC CP EC PC EC PC ⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，2211143263V AC BD PC EC PC EC PC =⨯⋅⋅=⨯⨯⋅=⋅，所以12V V =．（2）以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CE = ，则44AC EC ==，DE =44PC CE ==，则()()()()0,0,0,4,0,0,1,,0,0,4C A D P ，所以()CD = ，()0,0,4CP = ，()4,0,4PA =- ，因为4PA PF =，所以()11,0,14PF PA ==- ，则()()01,0,1(1,0,3,0,4)CF CP PF ==+=-+ ，设平面FCD 的法向量(,,)n x y z = ，则00n CF n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令3x =-，则1y z ==，故(n =- ，设平面PCD 的法向量(,,)m p q r = ，则00m CP m CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即400r p =⎧⎪⎨=⎪⎩，令3p =-，则0q r ==，故(m =- ，设二面角F CD P --的平面角为θ，易知π02θ<<，所以cos cos ,13||||n m n m n m θ⋅====⋅ ，因此二面角F CD P --19．记数列{}n a 的前n 项和为n T ，且111,(2)n n a a T n -==≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设m 为整数，且对任意*n ∈N ，1212nn m a a a ≥+++ ，求m 的最小值．【正确答案】(1)21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩(2)7【分析】（1）由数列n a 与n T 的关系可得()122n n a a n +=≥，再结合等比数列的通项可得解；（2）利用错位相减法求出1212nn a a a +++ ，结合范围即可得解.【详解】（1）因为111,(2)n n a a T n -==≥，所以211a a ==，当2n ≥时，112n n n n n a T T a a +-+===，故()222222n n n a a n --==⋅≥，且11a =不满足上式，故数列{}n a 的通项公式为21,1,2, 2.n n n a n -=⎧=⎨≥⎩（2）设1212n nn S a a a =+++ ，则11S =，当2n ≥时，102122322n n S n --=+⋅++⋅+⋅ ，故112112232222n n S n ---=+⋅+⋅+⋅+ ，于是()122115222222n n n S n ----=++++-⋅ ()121121252212n n n -----=+-⋅-．整理可得27(2)2n n S n -=-+，所以7n S <，又54968S =>，所以符合题设条件的m 的最小值为7．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．(1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．【正确答案】(1)221169x y -=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意列方程组求出,a b ，即可得出C 的方程；（2）根据,,,D E H G 四点共线，要证||||||||GD HD GE HE =即证HE GE G H D D ⋅=⋅，设出直线:DE y x =-，()()1122,,,G x y H x y，)E t ，联立直线方程与椭圆方程得出1212,x x x x +，将其代入G G HE E DH D ⋅-⋅ ，计算结果为零，即证出．【详解】（1）由题意可得2232910a b-==，故4,3a b ==，所以C 的方程为221169x y -=．（2）设)E t ，()()1122,,,G x y H x y ，当x =2321169y -=，解得3=±y ，则||3t <， 双曲线的渐近线方程为34y x =±，故当直线DE 与渐近线平行时，此时和双曲线仅有一个交点，此时直线DE方程为(34y x =±-，令x =y =||t ≠则直线:DE y x =-．由221169y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得()222292161440t x x t -+--=，所以212229x x t +=-，21221614429t x x t +=-．()()()()11221122,,,G HE GE DH x y x t x D y t y x y ⋅-⋅=--⋅----⋅-)()121212122232x x y y x x t y y =+-+-++()2221212243244t x x t x x t ⎛⎛⎫=+-++++ ⎪⎝⎭⎝()()()222222248943244322929t t t t t t t +++=-++--0=．所以HE GE G H D D ⋅=⋅ ，所以cos0cos0HE G G E D DH = 即||||||||GD HD GE HE =．关键点睛：本题第二问不能直接计算长度，否则计算量过大，而是转化为证明向量数量积之间的关系，采取设)E t ，从而得到直线DE 方程，再使用经典的联立法，得到韦达定理式，然后证明0HE GE G D D H ⋅-⋅= 即可.21．设()()21031x Q x x ax b -=-++，其中()Q x 是关于x 的多项式，a ，b ∈R ．（1）求a ，b 的值；（2）若28ax b +=，求103x -除以81的余数．【正确答案】（1）10a =，12b =-；（2）28.【分析】（1）利用二项式定理及已知即求；（2）由题可知x 的值，然后利用二项式定理可求.【详解】（1）由已知等式，得()()()1021131x Q x x ax b -+-=-++⎡⎤⎣⎦，∴()()()()10920189101010101010C 1C 1C 1C 1C 3x x x x -+-+⋅⋅⋅+-+-+-()()21Q x x ax b =-++，∴()()()()()8722018101010C 1C 1C 110121x x x x Q x x ax b ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+-+-=-++⎣⎦，∴1012x ax b -=+，∴10a =，12b =-．（2）∵28ax b +=，即101228x -=，∴4x =，∴103x -1043=-()10313=+-0101991010101010C 3C 3C 3C 3=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+-()406156441010103C 3C 3C 4035328=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯+⨯+()0615610101081C 3C 3C 4528=⨯⨯+⨯+⋅⋅⋅+++，∴所求的余数为28．22．已知函数()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦（其中e 为自然对数的底数）．(1)若1k =，求函数()f x 的单调区间；(2)若12k ≤≤，求证：[]0,x k ∀∈，()2f x x <．【正确答案】(1)单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-；(2)见解析.【分析】（1）求导，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，即可解决；（2）由()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令新函数()21()1e 6x g x x x k=---，求导，由()()1e 6k g k k k =---，再令新函数()()()1e 6k h k g k k k ==---，证明()0h k <在12k ≤≤上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知()()1e 6x f x k x ⎡⎤=--⎣⎦，所以()()e 1e e x x x f x k x kx '⎡⎤=+-=⎣⎦，当1k =时，()e x f x x '=，当()0f x '≥时，0x ≥，当()0f x '<时，0x <，所以()f x 的单调递增区间为[)0,∞+，单调递减区间为(),0∞-，（2）由题知12k ≤≤，[]0,x k ∀∈，()2f x x <，所以()21e 60x k x x ⎡⎤---<⎣⎦，因为12k ≤≤，所以()211e 60x x x k ⎡⎤---<⎣⎦令()21()1e 6x g x x x k=---即证()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，因为22()e (e )x x g x x x x k k'=-=-当()0g x '=时，2ln x k=，当()0g x '≥时，2lnx k ≥，即()g x 在2ln ,k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当()0g x '≤时，2ln x k ≤，即()g x 在20,ln k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为(0)70g =-<，()()1e 6k g k k k =---，令()()()1e 6k h k g k k k ==---，所以()e 1k h k k '=-，因为12k ≤≤，所以()e 10k h k k '=->，所以()h k 在[]1,2上单调递增，所以2max ()(2)e 80h k h ==-<，所以()0g k <恒成立，因为(0)0,()0g g k <<，所以()21()1e 60x g x x x k =---<在[]0,x k ∈上恒成立，即得证.。

2022-2023学年上海市闵行区闵行中学、文绮中学高二下学期3月月考数学试题一、填空题1．小张同学计划从6本历史类读本、5本军事类读本和3本哲学类读本中任选1本阅读，则不同的选法共有______种．【答案】14【分析】根据分类加法计数原理可得答案.【详解】解：根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法．65314++=故答案为：14.2．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______种．【答案】53【分析】每名旅客都有种选择，根据分步乘法计数原理可得出五名旅客投宿的方法种数.3【详解】由于每名旅客都有种选择，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有种.353故答案为：.53【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题.3．计算：__________.01220232023202320232023C C C C ++++= 【答案】20232【分析】由二项式定理性质可知所有二项式系数和为，即可得出结果.()1nx +2n【详解】由题意可知，()1202C 1C C C nn nn n n n x x x x+=⋅⋅+++⋅+ 当时，令，即可得.2023n =1x =012202320232023202320232023C C C C 2++++= 故答案为：202324．在5名男生和4名女生中选出3人，至少有一名男生的选法有________种（填写数值）.【答案】80【分析】先由题意，分别确定从5名男生和4名女生中选出3人，和选出的3人全部都是女生对应的选法种数，进而可求出结果.【详解】从5名男生和4名女生中选出3人，共有种选法；3998784321C ⨯⨯==⨯⨯选出的3人全部都是女生，共有种选法；344C =因此，至少有一名男生的选法有种.84480-=故答案为80【点睛】本题主要考查组合问题，熟记组合的概念，以及组合数的计算公式即可，属于常考题型.5．若，则______.()()34222141214112x x x a a x a x a x +-⋅-=++++ 12314a a a a ++++= 【答案】0【分析】赋值法求二项展开式部分项的系数之和.【详解】令，()()()342221401214112f x x x x a a x a x a x =+-⋅-=++++ 则，，()001f a ==()12310411a a a f a a +++=+=+ 所以.()()12314100a a a a f f ++++=-= 故答案为：0.6．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中能被5整除的数共有______个．【答案】216【分析】分个位是0或者5两种情况利用排列知识讨论得解.【详解】当个位是0时，前面四位有种排法，此时共有120个五位数满足题意；45120A =当个位是5时，首位不能是0，所以首位有4种排法，中间三位有种排法，所以此时共有4424A =个五位数满足题意.424=96⨯所以满足题意的五位数共有个.120+96=216故答案为216【点睛】本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．在的展开式中，项的系数为_____________.（用数字作答）()9a b c ++432a b c 【答案】1260【分析】由，然后利用二项式定理得出含项为，然后利用()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦4a ()5549C a b c +二项式展开式通项求出中项的系数，与相乘即可得出结果.()5b c +32b c 59C 【详解】，展开式中含的项为，()()99a b c a b c ++=++⎡⎤⎣⎦ 4a ()5549C a b c +中含项为，()5b c +32b c 2325C b c 因此，的展开式中项的系数为.()9a b c ++432a b c 52951260C C =故答案为.1260【点睛】本题考查二项展开式的应用，在处理含三项的问题时，可将其转化为两项的和来处理，考查运算求解能力，属于中等题.8．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_____种不同的方法（用数字作答）【答案】1260【详解】同色球不加以区分，共有(种)排法．【解析】排列与组合.9．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种44A 【解析】排列、组合及简单计数问题10．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有__________种.【答案】37【分析】按照所选得6人中所含会划左右桨的人数进行分类，即可得到答案.【详解】第一类：参加比赛的6人中没有会划左右桨的，共有种，3333C C 1=第二类：参加比赛的6人中有1人会划左右桨的，共有种，1322332C C C 12=第三类：参加比赛的6人中有2人会划左右桨的，共有种，132233332C C 2C C 24+=则共有种.1122437++=故答案为：3711．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种__________.【答案】186【详解】试题分析：设取红球个，白球个，则x y 5(04){27(06)x y x x y y +=≤≤+≥≤≤，取法为.234{,{,{321x x x y y y ===∴===233241464646186C C C C C C ++=【解析】古典概型.12．定义域为集合上的函数满足：{1,2,3,,12}⋅⋅⋅()f x ①；②（）；③、、成等比数列；这样的不同(1)1f =|(1)()|1f x f x +-=1,2,,11x =⋅⋅⋅(1)f (6)f (12)f 函数的个数为________()f x 【答案】155【分析】分析出f （x ）的所有可能的取值，得到使f （x ）中f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f （x ）的个数即可．【详解】解：经分析，f （x ）的取值的最大值为x ，最小值为2﹣x ，并且成以2为公差的等差数列，故f （6）的取值为6，4，2，0，﹣2，﹣4．f （12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，﹣2，﹣4，﹣6，﹣8，﹣10，所以能使f （x ）中的f （1）、f （6）、f （12）成等比数列时，f （1）、f （6）、f （12）的取值只有两种情况：①f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4；②f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4．|f （x +1）﹣f （x ）|＝1（x ＝1，2，…，11），f （x +1）＝f （x ）+1，或者f （x +1）＝f （x ）﹣1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f （1）＝1、f （6）＝2、f （12）＝4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为10种．35C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为15种．46C =根据分步乘法原理，共有10×15＝150种方法．（2）当f （1）＝1、f （6）＝﹣2、f （12）＝4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f （1）变化到f （6），第二步：从f （6）变化的f （12）．从f （1）变化到f （6）时有5次变化，函数值从1变化到﹣2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为5种．15C =从f （6）变化到f （12）时有6次变化，函数值从﹣2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为1种．66C =根据分步乘法原理，共有5×1＝5种方法．综上，满足条件的f （x ）共有：150+5＝155种．故填：155．【点睛】解决本题的难点在于发现 f （x ）的取值规律，并找到使f （1）、f （6）、f （12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．二、单选题13．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项.10(1)x -A ．6B ．5C ．4和6D ．5和7【答案】A【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，10(1)x -易知当r ＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.10rC 故选：A14．将4名新老师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，则不同的安排方案的种数是,,A B C （ ）A ．54B ．36C ．24D ．18【答案】B【分析】分类讨论分别有两名新教师的情况，进而计算出4名新教师安排到三所学校,,A B C ,,A B C 去任教每所学校至少一人的所有情况，【详解】将4名新教师安排到三所学校去任教，每所学校至少一人，分配方案是：，,,A B C 1,1,2学校有两名新老师：；A 2142C C 12=学校有两名新老师：；B 2142C C 12=学校有两名新老师：C 2142C C 12=所以共有种情况，2142363C C =故选：B.15．已知，则被10除所得的余数为（ ）122332020202020201C 2C 2C 2C 2a =+++++ a A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案.()10201039101a ===-【详解】，()201223320202010202020201C 2C 2C 2C 21239a =+++++=+== 又因为，()()()()10290101928910101010101C 10C 101C 101C 1011a =-=+-+-++-+ 又因为都是10的倍数，()()()290101928910101010C 10,C 101,C 101,,C 101--- 所以被除所得的余数为.a 101故选：B16．已知r ，s ，t 为整数，集合A ＝{a |a ＝2r +2s +2t ，0≤r ＜s ＜t }中的数从小到大排列，组成数列{an }，如a 1＝7，a 2＝11，a 121＝（ ）A ．515B ．896C ．1027D ．1792【答案】C【解析】（1）由于为整数且，下面对进行分类讨论:最小取2时，符合条件 r s t 、、0,r s t ≤<<t t 同理可得,,……，时符合条件的的个数，最后利用加法原理计算即127,11,a a ==3t =4t =10t =a 得．【详解】为整数且最小取,此时符合条件的数有,当时,可 r s t 、、0,r s t t ≤<<∴2a 221C =3t =,s r 在0,1,2中取,符合条件有的数有所以a 233C =,同理0120130231232227,22211,22213a a a =++==++==++= 时,符合条件有的数有,……,时,符合条件有的数有4t =a 246C =t n =a 2nC ,且,是的最小值,即时,.222234123++++n n C C C C C += (3)10=120C 121a 111n +=10t =01101212221027a =++=故选:.C 【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.三、解答题17．解方程（1）；421010x C C +=（2）.4321126n n P P +=【答案】（1）或；（2）2x =4x =4n =【分析】（1）根据得到或，计算得到答案；421010x C C +=24x +=26x +=（2）根据排列公式计算得到答案.4321126n n P P +=【详解】（1）则或，解得或 421010x C C +=24x +=26x +=2x =4x =（2），即4321126n n P P +=(21)(2)(21)(22)126(1)(2)n n n n n n n +--=--化简得到：，解得或（舍去）28631240n n -+=4n =318n =【点睛】本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力.18．晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：（1）3个舞蹈节目排在一起；（2）3个舞蹈节目彼此分开；（3）3个舞蹈节目先后顺序一定；（4）前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】（1）4320；（2）14400；（3）6720；（4）37440.【分析】(1)要把个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另3外个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列.5(2)个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把个唱歌节目排列，形成个位置,选三个356把舞蹈节目排列.(3)使用倍分法分析:先求出个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计8算可得答案.(4)先不考虑限制条件，个节目全排列有种方法前 个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是888P 唱歌有用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果.4454P P 【详解】(1)，33664320P P =(2)，535614400P P =(3)，33886720P P =(4).84485437440P P P -=【点睛】本题主要考查的是排列组合公式的应用，以及捆绑法、插空法、倍分法的应用，是基础题.19．（1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值；nn （2）求展开式所有的有理项；8（3）求展开式中系数最大的项.8【答案】（1）；（2）；（3）84112,256x x -731792x-【分析】（1）先求各项系数和，再求二项式系数和计算求解即可；（2）先写出展开式的通项公式，按照有理项求解即可；（3）根据通项公式求出系数，计算系数最大可得，再应用通项公式求解即得.6r =【详解】（1）令可得，展开式中各项系数之和为，而展开式中的二项式系数之和为，1x =(1)n-2n，2(1)255,8n n n ∴--=∴=（2）；883322188C (2)(2)C r r rr r rrr r T x xx----+=-=- 当为整数时，为有理项，则或832r r--1r T +2r =8r =所以展开式所有的有理项为：；4112,256x x -（3）设第项最大，且为偶数1r +r 则，解得：，22882288(2)C (2)C (2)C (2)C r r r r r r r r ++--⎧-≥-⎨-≥-⎩6r =所以展开式中系数最大的项为：.8667663238(2)C 1792xx----=20．设函数，其中.()223ln 1f x a x ax x =+-+0a >(1)当时，求函数在处的切线方程；1a =()y f x =()1,3(2)讨论的单调性；()y f x =(3)若的图象与轴没有公共点，求的取值范围.()y f x =x a【答案】(1)3y =(2)函数在上单调递减，在上单调递增()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(3)1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，得切线方程；（2）求出函数导数，解关于导函数的不等式即可得出单调区间；（3）根据函数有最小值，只需满足最小值大于0即可得解.【详解】（1）当时，，故，1a =()()233ln 1,21f x x x x f x x x =+-+=+-'()10f '=此时函数在处的切线方程为：.()y f x =()1,33y =（2）由题意，的定义域为，()f x ()0,∞+，()()()2221233232ax ax a x ax f x a x a x x x -++-='=+-=则当时，单调递增；当时，单调递减.1x a >()()0,f x f x '>10x a <<()()0,f x f x '<故函数在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3）由（2）知函数的最小值为， ()f x 1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭又，且的图象与轴没有公共点，()2110f a a =++>()y f x =x 只需的最小值恒大于0，即恒成立，()f x 10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭故，得，221113ln 10a a a a a ⎛⎫⋅-+> ⎪⎝⎭+1e >a 所以的取值范围为.a 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭21．我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，()*n n ∈N ()12,,,nx x x n 12nxx x +++ 已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为n ()12,,,n a x x x ={}1,0,1,1,2,i x i n∈-= n a，这个向量的范数之和为.nA nA nB(1)求和的值；2A 2B (2)求的值；2023A (3)当为偶数时，证明：.n ()131n n B n -=⋅-【答案】(1)224,4A B ==(2)2023312+(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）类比（1），结合排列组合的知识，二项式定理，求解即可；2023A （3）类比（2）的考虑方法，可得，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --=⋅+⋅++⋅ ，由二项式定理可得，根据组合数的运()()113311C 23C 2C2n n n n nnnB n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 312n nA -=算性质化简得解.nB 【详解】（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，()()()()1,0,1,0,0,1,0,1--它们的范数依次为，1,1,1,1；224,4A B ∴==（2）当为奇数时，在向量的个坐标中，n ()12,,n a x x x =n要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，可按照含0个数为进行讨论：∴0,2,4,,1n - 的个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；0C 2n n ⋅a n 的个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，an 共有个，每个的范数为；22C 2n n -⋅a 2n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，an n 1-共有个，每个的范数为1；1C 2n n -⋅a ，0221C 2C 2C 2n n n n n n n A --∴=⋅+⋅++⋅ ，0221(21)C 2C 2C 2C n n n n n n n n n --+=⋅+⋅++⋅+，022(21)22C C C (1)n n n n n n n n --=⋅-⋅++- 两式相加除以2得：022131C 2C 2C 22n n n n n n n n A --+=⋅+⋅++⋅= .20232023312A +∴=（3）当为偶数时，在向量的个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一n ()123,,,,n a x x x x =n 定是奇数，所以可按照含0个数为：进行讨论：的个坐标中含1个0，其余坐标为11,3,,1n ⋯-a n 或-1，共有个，每个的范数为；11C 2n n -⋅a n 1-的个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有个，每个的范数为；a n 33C 2n n -⋅a 3n -的个坐标中含个0，其余坐标为1或-1，a n n 1-共有个，每个的范数为1；所以，1C 2n n -⋅a 11331C 2C 2C 2n n n n n n n A ---=⋅+⋅++⋅ .()()113311232C 2n n nn n n n B n C n C ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ 因为，①01122(21)C 2C 2C 2C n n n n nn n n n --+=⋅+⋅+⋅++ ，②01122(21)C 2C 2C 2(1)C n n n n n nn n n n ---=⋅-⋅+⋅-+- 得，，2-①②113331C 2C 22n n n n n ---⋅+⋅+= 所以.312n n A -=思路一：因为，()()()()()11!!C C !!!1!kk n n n n n k n k n n k n k k n k --⇒-=-⋅=⋅=---所以.()()113311C 23C 2C 2n n nn n n n B n n ---=-⋅⋅+-⋅⋅++⋅ ()11331111C 2C 2C 2n n nn n n n ------=⋅+⋅++⋅ ()123411112C 2C 2C n n nn n n n ------=⋅+⋅++ .()11312312n n n n --⎛⎫-=⋅=⋅- ⎪⎝⎭思路二：得，.2+①②02231C 2C 22n n n n n -+⋅+⋅+= 又因为，()()()()111!!C C !!1!!k k n n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---所以()()()()111!!C C !!1!!k kn n n n k k n n k n k k n k ---=⋅=⋅=---()()()1133111331C 2C 2C 2C 23C 21C 2n n n n n nn n n n n n n n ------=⋅+⋅++⋅-⋅+⋅⋅++-⋅⋅()()10123211113131C 2C 2C 23122n n n n n n n n n n nA n n n --------⎛⎫-+=-⋅+⋅++⋅=⋅-=⋅- ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题的难点在于理解新定义，学会类比的方法从特殊到一般，其次对组合数，二项式式定理的的灵活运用，化简变形要求较高，属于难题.。

2023-2024学年河南省南阳市高二下册3月月考数学模拟试题第I卷（选择题，共60分）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．在等比数列{a n}中，若a1＝27，，则a3＝（）A．3或﹣3B．3C．﹣9或9D．92．在等差数列{a n}中，已知a10＝13，a3+a4+a9+a16＝28，则{a n}的前17项和为（）A．166B．172C．168D．1703．若数列{}是等差数列，a1＝l，a3＝﹣，则a5＝（）A．﹣B．C．D．﹣4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝310，S20＝930，则S30＝（）A．1240B．1550C．1860D．21705．在等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，则公差为（）A．1B．2C．3D．46．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S8≥S7≥S9，则公差d的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若＝，则＝（）A．B．43C．D．418．已知等差数列{a n}的首项a1＝2，公差d＝8，在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}，则b2023＝（）A．4044B．4046C．4048D．40509．等差数列{a n}的前n项和是S n，且满足S5＝S10，若S n存在最大值，则下列说法正确的是（）A．a1+a16＞0B．a2+a15＜0C．a1+a14＜0D．a2+a14＞010．已知等比数列{a n}满足：a2+a4+a6+a8＝20，a2⋅a8＝8，则的值为（）A．20B．10C．5D．11．已知数列{a n}满足a n＝2n+kn，若{a n}为递增数列，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若，则＝（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题,共90分）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．等差数列{a n}的前n项和是S n，若S n＝3（n+1）2﹣n﹣a，则实数a＝．14．若等比数列{a n}的各项均为正数，且，则lna1+lna2+⋯+lna7＝．15．在等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，记数列{a n}的前n项和、前n项积分别为S n，T n，则的最大值是．16．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n}，其前n项和为S n，现有下列4个命题：①若S8＜S9，则S9＜S10；②若S11＝0，则a2+a10＝0；③若S13＞0，S14＜0，则{S n}中S7最大；④若S2＝S10，则S n＞0的n的最大值为11．使其中所有真命题的序号是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．已知等差数列{a n}满足a4＝6，a6＝10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}各项均为正数，其前n项和T n，若b3＝a3，b5＝a9，求T n．18．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a5﹣a1＝90，S4＝90．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知数列{b n}中，满足b n＝a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．20．已知数列{a n}中，a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令{}的前n项和为T n，求证：T n＜．21．在等差数列{a n}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．22．已知数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，且满足a1＝1，a n+1＝2．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，设数列{b n}的前n项和为T n，若∀n∈N*，不等式T n﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围．答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．解：因为a3是a1和a5的等比中项，则，解得a3＝±3，由等比数列的符号特征知a3＝3．故选：B．2．解：在等差数列{a n}中，∵a3+a4+a9+a16＝4a8＝28，∴a8＝7，又a10＝13，∴S17＝．故选：D．3．解：数列{}是等差数列，设其公差为d，则2d＝，∴，可得，即a5＝．故选：D．4．解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S10，S20﹣S10，S30﹣S20构成等差数列，∴2（S20﹣S10）＝S10+S30﹣S20，即2×（930﹣310）＝310+S30﹣930，∴S30＝1860．故选：C．5．解：等差数列{a n}中，a1+a3＝8，a2a4＝40，∴，解得a1＝1，d＝3．故选：C．6．解：∵{a n}为等差数列，a1＝2，∴，∴．故选：A．7．解：设S3＝x，则S6＝7x，由＝，可得q≠1，因为{a n}为等比数列，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6仍成等比数列．因为＝＝6，所以S9﹣S6＝36x，所以S9＝43x，故＝．故选：A．8．解：设数列{b n}的公差为d1，由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，b5﹣b1＝a2﹣a1＝8＝4d1，故d1＝2，故b n＝2n，则b2023＝2023×2＝4046，故选：B．9．解：因为等差数列S n存在最大项，故等差数列的公差d＜0，又S5＝S10，即a6+a7+a8+a9+a10＝0，即a8＝0，则a1+a16＜a1+a15＝0，故选项A错误；a2+a15＜a1+a15＝0，故选项B正确；a1+a14＞a1+a15＝0，故选项C错误；而a2+a14＝a1+a15＝0，故选项D错误．故选：B．10．解：在等比数列{a n}中，由等比数列的性质可得：a4⋅a6＝a2⋅a8＝8．所以．故选：D．11．解：若{a n}为递增数列，则a n+1﹣a n＞0，则有2n+1+k（n+1）﹣（2n+kn）＝2n+1﹣2n+k＝2n+k＞0，对于n∈N+恒成立．∴k＞﹣2n，对于n∈N+恒成立，∴k＞﹣2．故选：A．12．解：根据条件：＝．故选：A．二．填空题（共4小题）13．解：因为，当n≥2时，，因为{a n}是等差数列，所以当n＝1时，a1＝11﹣a也符合上式，故a＝3．故3．14．解：∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2a6＝a42，又a42+a2a6＝2e6，∴2a42＝2e6，又a4＞0，∴a4＝e3，∴lna1+lna2+•••+lna7＝ln（a1a2•••a7）＝lna47＝7lne3＝21．故21．15．解：等比数列{a n}中，a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，所以q＝＝2，a1＝＝＝1，所以数列{a n}的前n项和为S n＝＝2n﹣1，前n项积为T n＝1×2×22×...×2n﹣1＝2...+...+（n﹣1）＝，所以＝＝，当n＝2或n＝3时，＝3，所以的最大值是23＝8．故8．16．解：对于①，S8＜S9，则a9＞0，无法推得a10是否大于0，即S9＜S10无法确定，故①错误；对于②，∵S11＝0，∴＝，即a2+a10＝0，故②正确；对于③，S13＞0，S14＜0，则，即a7＞0，，即a7+a8＜0，故a7＞0，a8＜0，公差d＜0，首项为正数，故{S n}中S7最大，故③正确；对于④，若S2＝S10，则a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10＝0，即4（a3+a10）＝0，故a3+a10＝2a1+11d＝0，即，∵a1＞0，∴d＜0，∴＝＝，令S n＞0，则0＜n＜12，n∈N*，故S n＞0的n的最大值为11，故④正确．故②③④．三．解答题（共6小题）17．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a4＝6，a6＝10，∴，解得，故数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣2；（2）设各项均为正数的等比数列{b n}的公比为q（q＞0），∵a n＝2n﹣2，则a3＝4，a9＝16，∵a3＝b3，a9＝b5，∴b3＝4，b5＝16，即，解得2或﹣2（舍去），∴．18．解：（1）记等比数列{a n}的公比为q，由a5﹣a1≠0可知q≠1，，，解得a1＝6，q＝2，所以数列{a n}的通项公式为．（2）∵，∴＝3×++n•log23＝3×2n+1++n•log23﹣6．19．解：（1）设公差为d，则∵S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列∴4a1+6d＝14，（a1+2d）2＝a1（a1+6d）∵d≠0，∴d＝1，a1＝2，∴a n＝n+1（2）＝∴T n＝﹣+﹣+…+＝＝．20．解：（1）由a2＝，a n＝a n+1+2a n a n+1，可得a1＝a2+2a1a2＝+a1，解得a1＝1，又对a n＝a n+1+2a n a n+1两边取倒数，可得﹣＝2，则{}是首项为1，公差为2的等差数列，可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以a n＝；（2）证明：由（1）可得＝＝（﹣），所以T n＝（1﹣+﹣+﹣......+﹣+﹣）＝[﹣]，因为n∈N*，所以＞0，则T n＜×＝．21．解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项，可得a22＝a1a4，即（a1+2）2＝a1（a1+6），解得a1＝2，则a n＝a1+（n﹣1）d＝2+2（n﹣1）＝2n；（Ⅱ）数列{b n}满足：，可得a1＝，即b1＝8；n≥2时，a n﹣1＝++…+，与，相减可得2＝，即有b n＝2（3n+1），上式对n＝1也成立，可得b n＝2（3n+1），n∈N*；（Ⅲ）＝n（3n+1），则前n项和T n＝（1•3+2•32+…+n•3n）+（1+2+…+n），设S n＝1•3+2•32+…+n•3n，3S n＝1•32+2•33+…+n•3n+1，相减可得﹣2S n＝3+32+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得S n＝，则T n＝+n（n+1）．22．解：（Ⅰ）由得，故，∵an＞0，∴S n＞0，∴＝+1，（2分）∴数列是首项为，公差为1的等差数列．（3分）∴，∴，…（4分）当n≥2时，，a1＝1，…（5分）又a1＝1适合上式，∴a n＝2n﹣1．…（6分）（Ⅱ）将a n＝2n﹣1代入，…（7分）∴…（9分）∵T n﹣na＜0，∴，∵n∈N+，∴…（10分）∴，∵2n+1≥3，，，∴．（12分）。