人教版九年级数学上册第1课时二次函数与图形面积

22.3 实际问题与二次函数第1课时 二次函数与图形面积问题置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入如图22－3－1，用12米长的木料，做一个有一条横档的矩形窗框，为了使窗户透进的光线最多，窗框的长、宽应各是多少？图22－3－1[说明与建议] 说明：通过对周长一定的矩形面积最大值的实际问题的导入，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望，从而引导学生研究二次函数与图形面积问题的一般方法.建议：可以对以上问题挖空让学生填写：设宽为x 米，面积为S 米2.根据题意并结合图形可得S ＝x （6－32x ） ＝ －32x 2＋6x .∵－32 ＜ 0，∴S 有最 大 值，当x ＝ －62×（－32）＝2 时，S 最 大 ，此时6－32x ＝ 3 ，即当窗框的长为 3米 ，宽为 2米 时，窗户透进的光线最多.（1）（做一做）请你画一个周长为12厘米的矩形，算一算它的面积是多少.再和周围同学所画的矩形比一比，你发现了什么？谁画的矩形的面积最大？（2）（练一练）已知一个矩形的周长为12米，它的一边长为x 米，那么矩形面积S （平方米）与x （米）之间有怎样的关系？自变量的取值范围是什么？（3）（试一试）若想设计一个周长为12米的矩形广告牌，假如你是设计师，你知道怎么设计才能使广告牌的面积最大吗？[说明与建议] 说明：（1）题比较简单，但对学生有很大的吸引力和挑战性，可有效地激发学生的学习兴趣.（2）题在（1）题的基础上提出问题，引导学生对实际问题与二次函数展开联想.（3）题在（2）题的基础上加入实际背景求最值，这样低起点，快反馈，能有效地提高学生的数学建模能力.建议：教师要重点关注学生能否正确求解，考虑问题是否全面以及学生能否将实际问题转化为数学问题.——第49页探究1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？【模型建立】利用二次函数解决几何图形的最大（小）面积问题，先利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数解析式，再由二次函数的图象和性质确定二次函数的最大（小）值，从而确定几何图形面积的最大（小）值.【变式变形】1.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18 m，这个矩形菜园的长，宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？[答案：长为15 m，宽为7.5 m时，它的面积最大，最大面积为112.5 m2]2.如图22－3－2，用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a＝10米）：（1）如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求花圃的宽AB；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗？图22－3－2[答案：（1）AB＝5米（2）能]3.如图22－3－3，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的矩形花圃.设花圃的边AB长为x米，面积为S平方米.（1）求S与x之间的函数解析式及自变量的取值范围；（2）当x取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为8米，求围成的花圃的最大面积.图22－3－3[答案：（1）S＝－4x2＋24x（0<x<6）（2）当x＝3时，所围成的花圃面积最大，最大值为36平方米（3）最大面积是32平方米]4.[教材第52页习题22.3第9题]分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？[答案：圆理由略]——第52页习题22.3第7题如图22－3－4，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上.四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？图22－3－4【模型建立】通过设未知数建立函数关系，把几何问题转化为函数问题，把动点问题转化为函数问题，通过对函数的变化规律的研究来解决几何问题.【变式变形】如图22－3－5，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）.第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形的边上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形的边上时，记为点H；…依此操作下去.（提示：旋转前、后的图形全等.）图22－3－5（1）图②中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为等边三角形，求此时线段EF的长.（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①四边形EFGH的形状为正方形，此时AE与BF的数量关系是AE＝BF；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围.[答案：（1）EF＝－4 2＋4 6（2）y＝2x2－8x＋16（0<x<4）8≤y<16][命题角度1] 利用二次函数的性质解决图形面积的最值问题此类问题常见题型：（1）利用二次函数解决图形的最大（小）面积问题，如教材P49探究1，P52习题22.3T4，T9.（2）几何图形上点的运动问题，何时面积最大（小），如教材P52习题22.3T6，T7，解决此类问题，关键是求二次函数的最值（二次函数图象的顶点的纵坐标或在使实际问题有意义的自变量取值范围内，根据二次函数的增减性找最值）.例福建中考如图22－3－6，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另外三边一共用了100米木栏.（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值.图22－3－6[答案：（1）AD的长为10米（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S 的最大值为50a －12a 2] [命题角度2] 在几何图形运动过程中，判断函数图象此类问题一般作为中考选择题的最后一道题，难度较大.注意把几何图形的性质转化为求函数解析式的条件，然后再判断图象.例 孝感中考如图22－3－7，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝6 cm ，动点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm /s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从点A ，B 同时出发，点P 到达点B 时两点同时停止运动，则△PBQ 的面积S 与出发时间t 之间的函数关系图象大致是（ C ）图22－3－7图22－3－8[命题角度3] 二次函数与周长、面积、线段等最值存在性问题此类问题一般作为中考的压轴题，常与三角形或四边形知识紧密结合，体现了初中数学知识的灵活性和综合性.例 如图22－3－9，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x轴正半轴于点B （4，0），与过点A 的直线相交于另一点D （3，52），过点D 作DC ⊥x 轴，垂足为C.（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P 在线段OC 上（不与点O ，C 重合），过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AD 于点M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值.图22－3－9[答案：（1）y＝－34x2＋114x＋1（2）△PCM面积的最大值为2516]1. 如图，已知：正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）2. 用长度为2l的材料围成一个矩形场地，中间有2个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A．14l B．13l C．12l D．l3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为.4. 给你长8 m的铝合金条，请问：（1）你能用它制成一矩形窗框吗？（2）怎样设计，窗框的透光面积最大？（3）如何验证？参考答案1．B2．A3．50 cm24．解：（1）能.（2）设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大.（3）设矩形的一边长为x m，则另一边长为(4－x)m，设矩形窗框的面积为y m2，则y=x(4－x)=－x2+4x=－(x－2)2+4.所以当x=2时，y有最大值，y最大=4.所以当设计成边长为2 m的正方形时，窗框的透光面积最大，最大面积为4 m2.一位仁道主义的数学家——阿涅泽意大利科学家阿涅泽(Maria Gaetana Agnesi,1718~1799)在自然科学与哲学的著作对整个学术世界开启了一扇窗．而她最著名的数学作品，《分析讲义》，被公认是第一部完整的微积分教科书之一。

人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册22.3.1《二次函数与图形面积问题》这一节主要介绍了二次函数在几何图形中的应用，通过研究二次函数图象与几何图形面积的关系，让学生进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。

本节内容是初中数学的重要知识，也是中考的热点，对于学生来说，理解并掌握二次函数与图形面积问题的解决方法具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本性质和图象，对于二次函数的解析式、顶点坐标、开口方向等概念有了一定的了解。

但是，将二次函数与几何图形的面积联系起来，可能会对学生造成一定的困扰。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的二次函数知识与新的面积问题相结合，通过实例分析，让学生体会二次函数与图形面积问题的联系。

三. 教学目标1.理解二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.学会利用二次函数解决实际面积问题。

3.提高学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.难点：如何将二次函数与实际面积问题相结合，找出解决问题的方法。

五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的实例，让学生观察二次函数图象与几何图形面积的关系。

2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，解决问题，培养学生的数学思维能力。

3.小组合作法：让学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实例，以便在课堂上进行分析。

2.准备一些练习题，以便在课堂上进行操练。

3.准备多媒体教学设备，以便进行图象展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实例，引导学生回顾二次函数的基本性质和图象，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示一些实际的面积问题，让学生观察并思考这些问题与二次函数图象之间的关系。

3.操练（20分钟）让学生分组讨论，尝试利用已知的二次函数知识解决呈现的面积问题。

22．3 第1课时 二次函数与图形面积01 教学目标1．会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．02 预习反馈阅读教材P 49～50(探究1)，完成下列问题．1．一般地，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最低点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小值4ac －b 24a；当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点是最高点，也就是说，当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大值4ac －b 24a．2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球的运动时间t(单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2(0≤t≤6)，其图象如图所示．(1)小球运动的时间是3s 时，小球最高； (2)小球运动中的最大高度是45m .3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm ，其中一直角边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数的关系式是y ＝12x(20－x)，当x ＝10时，面积y 最大，为50cm 2.03 新课讲授例1 (教材P49探究)用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？【思路点拨】 先写出S 关于l 的函数解析式，再求出使S 最大的l 值．【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m ，一边长为l m ，则另一边长为(602－l )m ，∴场地的面积S ＝l (602－l )＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)．∴当l ＝－b 2a ＝－302×（－1）＝15时，S 有最大值4ac －b 24a ＝－3024×（－1）＝225．答：当l 是15 m 时，场地的面积S 最大．【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．【跟踪训练1】 (22.3第1课时习题)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2例2 (教材P49探究的变式)如图，用长为6 m 的铝合金条制成一个“日”字形窗框，已知窗框的宽为x m ，窗户的透光面积为y m 2(铝合金条的宽度不计)．(1)求出y 与x 的函数关系式；【思路点拨】由题意可知，窗户的透光面积为长方形，根据长方形的面积公式即可得到y 和x 的函数关系式．【解答】 ∵大长方形的周长为6 m ，宽为x m ， ∴长为6－3x2m.∴y ＝x ·（6－3x ）2＝－32x 2＋3x (0＜x ＜2)．【点拨】 求y 与x 的函数关系式时，一定不能漏掉自变量的取值范围．(2)如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积． 【思路点拨】 由(1)中的函数关系可知，y 和x 是二次函数关系，根据二次函数的性质即可得到最大面积．【解答】 由(1)可知，y 和x 是二次函数关系． ∵a ＝－32＜0，∴函数有最大值．当x ＝－32×（－32）＝1时，y 最大＝32 m 2，此时6－3x2＝1.5.答：窗框的长和宽分别为1.5 m 和1 m 时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5 m 2.【点拨】 要考虑x ＝1是不是在自变量的取值范围内．【跟踪训练2】 如图，点C 是线段AB 上的一点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大04 巩固训练1．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B )A ．600 m 2B ．625 m 2C ．650 m 2D ．675m 22．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m )，用80 m 长的篱笆围成一个矩形场地，当AD ＝20m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800m 2.3．(22.3第1课时习题)手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位：cm 2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？ 解：(1)S ＝－12x 2＋30x .(2)∵S ＝－12x 2＋30x ＝－12(x －30)2＋450，且a ＝－12＜0，∴当x ＝30时，S 有最大值，最大值为450.即当x 为30 cm 时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450 cm 2.05 课堂小结1．主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法．2．利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键．。